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因式分解 单元同步检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．n2-5n+6=n（n-5）+6 B．4x2-1=（2x-1）2
C．y2-4y-4=（y-2）2 D．4t2-4t+1=（2t-1）2
3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x-1）=x2-1 B．x2-2x+1=x（x-2）+1
C．x2-4y2=（x+4y）（x-4y） D．（x-1）（x-3）+1=（x-2）2
4．下列各个多项式中， 不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B．一 C． D．
5．如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．课堂上老师在黑板上布置了下框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？
用公式法分解下列各式：
．
．
．
．
A． B． C． D．
7．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．把多项式p2(a－1)＋p(1－a)分解因式的结果是( )
A．(a－1)(p2＋p) B．(a－1)(p2－p)
C．p(a－1)(p－1) D．p(a－1)(p＋1)
9．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x3y-xy2=2xy(x2-y) B．-xy2+2xy-y=-y(xy-2x)
C．x2-x-5=x(x-1)-5 D．2x2-8x+8=2(x-2)2
10．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （ ）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．多项式各项的公因式是 ．
12．因式分解 ．
13．已知 ， ，则 .
14．分解因式： ．
15．因式分解： ．
16．因式分解：-mb2+2mb-m＝ .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．按要求解答
（1）分解因式：
（2）解不等式组，并求出所有整数解的和．
18．观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．
19．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
20．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
= y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2 （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.
21．分解因式．
（1）；
（2）．
22．发现与探索．
（1）根据小明的解答（图1）将下列各式因式分解
①a2﹣12a+20
②a2﹣6ab+5b2
（2）根据小丽的思考（图2）解决问题．
试说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．
23．因式分解：
（1）4x2y﹣4xy2+y3．
（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．
24．
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
25．如图
我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释 ，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 的大正方形，两块是边长都为 的小正方形，五块是长为 ，宽为 的全等小长方形，且 ．（以上长度单位： ）
（1）观察图形，可以发现代数式 可以分解因式为
（2）若每块小长方形的面积为 ，四个正方形的面积和为 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
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因式分解 单元同步检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．n2-5n+6=n（n-5）+6 B．4x2-1=（2x-1）2
C．y2-4y-4=（y-2）2 D．4t2-4t+1=（2t-1）2
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，选项A不是因式分解，故答案为：A错误；
B、4x2-1= ，故答案为：B因式分解不正确；
C、 ，故C选项错误；
D、 ，故答案为：D因式分解正确；
故答案为：D.
【分析】A、根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”可知这个选项不是因式分解；
B、根据平方差公式的特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（2x+1）（2x-1）；
C、根据完全平方公式的特征“a2-2ab+b2=(a-b)2”可知多项式y2-4y-4不能用完全平方公式分解；
D、根据完全平方公式的特征“a2-2ab+b2=(a-b)2”可得原式=（2t-1）2.
3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x-1）=x2-1 B．x2-2x+1=x（x-2）+1
C．x2-4y2=（x+4y）（x-4y） D．（x-1）（x-3）+1=（x-2）2
【答案】D
【解析】【解答】A、是整式的乘法，故不是分解因式；
B、结果中含有和的形式，故不是分解因式；
C、x2-4y2=（x+2y）（x-2y），原选项解答错误；
D、是分解因式.故答案为：D.
【分析】0把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
4．下列各个多项式中， 不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B．一 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、=n2-m2=(n+m)(n-m) ，故不符合题意；
B、 一 ， 不能用平方差公式进行因式分解 ，故符合题意；
C、=(2m+1)(2m-1) ，故不符合题意；
D、 =(m+n+3)(m-n-3) ，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) ，据此逐项判断即可.
5．如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．课堂上老师在黑板上布置了下框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？
用公式法分解下列各式：
．
．
．
．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：（1）a2-b2=(a+b)(a-b)，故此道题目是正确的；
（2）-x2-y2，该二项式两项符号相同，不能使用平方差公式分解，故此道题目是错误的；
（3）-x2-y2-2xy=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2，故此道题目是正确的；
（4）16m2-40mn+25n2=(4m)2-2×4m×5n+(5n)2=(4m-5n)2，故此道题目是正确的.
故答案为：B.
【分析】一个二项式中每一项都能写成一个整式的完全平方，且这两项的符号相反，那么这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此可判断（1）和（2）；一个三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，这样的三项式就能使用完全平方公式分解因式，据此可判断（3）和（4）.
7．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是因式分解；
B、不是因式分解；
C、是因式分解；
D、不是因式分解；
故答案为：C．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
8．把多项式p2(a－1)＋p(1－a)分解因式的结果是( )
A．(a－1)(p2＋p) B．(a－1)(p2－p)
C．p(a－1)(p－1) D．p(a－1)(p＋1)
【答案】C
9．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x3y-xy2=2xy(x2-y) B．-xy2+2xy-y=-y(xy-2x)
C．x2-x-5=x(x-1)-5 D．2x2-8x+8=2(x-2)2
【答案】D
【解析】【解答】A、2x3y-xy2=xy(2x2-y)，不符合题意；
B、 -xy2+2xy-y=-y(xy-2x+1)，不符合题意；
C、x(x-1)-5不是连乘积形式，不符合题意；
D、2x2-8x+8=2(x2-4x+4)=2(x-2)2，符合题意。
故答案为：D.
【分析】分解因式时，有公因式先提取公因式，然后符合公式再用公式再继续分解，分解的结果是几个因式连乘积形式。提取负号时，注意变号。
10．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （ ）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
【答案】B
【解析】【解答】解：∵n3-n=n(n2-1)=n(n+1)(n-1)，又n是任意正整数，
∴n3-n的计算结果一定能被6整除，
∵388947÷6=64824……3，
388944÷6=64824，
388953÷6=64825……3，
388949÷6=64824……5，
∴n3-n的计算结果，其中正确的结果可能是388944.
故答案为：B.
【分析】将n3-n先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法进行第二次分解后就会发现：“n3-n”可以表示为三个连续正整数的乘积，而三个连续正整数的乘积一定能被6整除，从而判断四个选项中的数谁能被6整除即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．多项式各项的公因式是 ．
【答案】xy
【解析】【解答】解：多项式中各项都含有x、y，且x、y的最高低次数都是1，
多项式的公因式为：xy.
故答案为：xy.
【分析】根据公因式的定义求解即可.
12．因式分解 ．
【答案】2x（2x +5)
【解析】【解答】 2x（2x +5)
【分析】提取公因式解题即可
13．已知 ， ，则 .
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：-3.
【分析】先将待求式子利用提取公因式法分解因式，然后整体代入计算即可.
14．分解因式： ．
【答案】
【解析】【解答】解：4-4x+x2=(2-x)2.
故答案为：(2-x)2.
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.
15．因式分解： ．
【答案】（x＋y＋1）（x＋y－1）
【解析】【解答】解：原式＝（x＋y＋1）（x＋y－1）．
故答案为：（x＋y＋1）（x＋y－1）．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可。
16．因式分解：-mb2+2mb-m＝ .
【答案】
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】先提取公因式-m，再利用完全平方公式分解即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．按要求解答
（1）分解因式：
（2）解不等式组，并求出所有整数解的和．
【答案】（1）解： ，
，
，
（2）解：
解不等式①得： ，
解不等式①得： ，
所以该不等式组的解集为 ，
所以该不等式组的所有整数解为： ，
所以该不等式组的所有整数解的和为
【解析】【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用不等式的性质求出该不等式组的解集为 ，再计算求解即可。
18．观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．
【答案】（1）解：2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）
＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）
＝（a+3b）（2﹣3m）；
或 2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）
＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）
＝（2﹣3m）（a+3b）；
（2）解：∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，
∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，
∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，
∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，
∴a＝c 或 a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用分组分解因式即可；
（2）先将代数式a2﹣ac﹣ab+bc＝0变形为（a﹣c）（a﹣b）＝0，求出a＝c 或 a＝b，即可得到△ABC是等腰三角形。
19．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）解：
＝ab( )
（2）解：
=
=2(x+2)(x-2)
（3）解：
=
=
（4）解：
=
=
【解析】【分析】（1）提取公因式ab即可；
（2）先提取公因式2x，再利用平方差公式因式分解即可；
（3）先提取公因式-y，再利用完全平方公式，因式分解即可；
（4）先利用平方差公式因式分解再利用完全平方公式因式分解即可。
20．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
= y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2 （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.
【答案】（1）C
（2）不彻底；
（3）解：设x2-2x=y.
（x2-2x）（x2-2x+2）+1，
=y（y+2）+1，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（x2-2x+1）2，
=（x-1）4.
【解析】【解答】（2）解：x2-4x+4还可以分解，分解不彻底；
设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4
= y2+8y+16
=（y+4）2
=（x2－4x+4）2
=
【分析】（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）x2-4x+4还可以分解，所以是不彻底.（3）按照例题的分解方法进行分解即可.
21．分解因式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
22．发现与探索．
（1）根据小明的解答（图1）将下列各式因式分解
①a2﹣12a+20
②a2﹣6ab+5b2
（2）根据小丽的思考（图2）解决问题．
试说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．
【答案】（1）解：①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-42
=（a-10）（a-2）；
②a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=（a-3b）2-4b2
=（a-5b）（a-b）；
（2）解：a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-16，
无论a取何值（a-6）2都大于等于0，再加上-16，
则代数式（a-6）2-16大于等于-16，
则a2-12a+20的最小值为-16；
【解析】【分析】（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；（2）仿照小丽的思考过程、利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答。
23．因式分解：
（1）4x2y﹣4xy2+y3．
（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．
【答案】（1）解：原式＝y（4x2﹣4xy+y2）
＝y（2x﹣y）2；
（2）解：原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣b2）
＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．
【解析】【分析】（1）将原式提取公因式即可得出答案；
（2）利用公因式法、公式法即可得出答案。
24．
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
【答案】（1）因式分解
（2）整式的乘法
（3）(x+2y)(x-2y)
【解析】【解答】(1)∵左式是一个多项式，右式是两个因式的乘积，
∴该变形是：因式分解.
(2)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴该变形是：整式的乘法.
(3)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴根据因式分解的意义， 因式分解的结果是：(x+2y)(x-2y) .
【分析】(1)将一个多项式化为几个整式的积的形式的这种变形叫因式分解，从而得出因式分解的有两个条件：等号右边必须是整式的积的形式，二、必须是整式；则可解答.
(2)整式的乘法与因式分解是相反的过程，依此即可得出结论；
(3)根据因式分解的定义，即可作答.
25．如图
我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释 ，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 的大正方形，两块是边长都为 的小正方形，五块是长为 ，宽为 的全等小长方形，且 ．（以上长度单位： ）
（1）观察图形，可以发现代数式 可以分解因式为
（2）若每块小长方形的面积为 ，四个正方形的面积和为 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
【答案】（1）（m+2n）（2m+n）
（2）解：依题意得 ，
，
根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是：
图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 ．
【解析】【解答】（1）根据图形，依题意可得：
【分析】（1）求出即可作答；
（2）利用完全平方公式计算求解即可。
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