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一元二次方程 单元同步练习提升卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
2．某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了张，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为( )
A． B．
C． D．
3．一元二次方程x（3x+2）= 6（3x+2）的解是（ ）
A．x=6 B．x=
C．x1=6，x2= D．x1=-6，x2=
4．若m，n满足，，且，则的值（ ）
A． B． C． D．
5．已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k<1 B．k<1且k≠0 C．k≠1 D．k>1
7．将方程进行配方，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 是方程 的一个实数根，则代数式 的值（ ）
A．2 B． C． D．
10．欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．AC B．AD C．AB D．BC
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点则78是前 行的点数和．
12．方程 的根的判别式的值为 ．
13．若x1，x2是方程x2＋2x﹣3＝0两个根，则x12x2＋x1x22的值为 ．
14．在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为 ．
15．已知x1、x2是方程x2-2x-1＝0的两根，则＝ ．
16．已知的两边是关于的方程的两根，第三边长为，当是等腰三角形时，则的值是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．A地区2015年公民出境旅游总人数约600万人，2017年公民出境旅游总人数约864万人，若2016年、2017年公民出境旅游总人数逐年递增，求2016、2017这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率？
18．某工厂生产的一种产品按供需要求分成十个档次，若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产这种产品的档次．
19．随着人民生活水平的提高，汽车的需求量日益增长．某汽车销售公司2020年盈利1500万元，2022年盈利2160万元，且从2020年到2022年，每年盈利的年增长率相同，求平均每年的增长率．
20．已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0.
（1）若该方程有一个根为﹣3，求方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
21．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）．
（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式： ．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？
22．已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足 ，求a的值。
23．计算：
（1）已知关于x的一元二次方程kx2+5x﹣10＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
（2）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中，a满足a2﹣4＝0．
24．某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与房价x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如下表：
x（元） 180 260 280 300
y（间） 100 60 50 40
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出60元，当房价为多少元时，宾馆获得7200元的利润 （宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出）
25．观察下列分解因式的过程： .
解：原式=
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.
（1）请你运用上述配方法分解因式： ；
（2）代数式 是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由.
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一元二次方程 单元同步练习提升卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
2．某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了张，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
3．一元二次方程x（3x+2）= 6（3x+2）的解是（ ）
A．x=6 B．x=
C．x1=6，x2= D．x1=-6，x2=
【答案】C
【解析】【解答】解： x（3x+2）= 6（3x+2），
∴（x-6）（3x+2）=0，
∴x1=6，x2=-.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法求解即可.
4．若m，n满足，，且，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵、满足，，
∴、是方程的根，
∴由根与系数的关系可知，
，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得m、n是方程x2-5x+6=0的两根，由根与系数的关系可得m+n=5，mn=6，对待求式通分可得，然后代入进行计算.
5．已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得3×4﹣2a＝0，解得a＝6．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程解的定义，把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得12﹣2a＝0，然后解关于a的方程即可．
6．若关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k<1 B．k<1且k≠0 C．k≠1 D．k>1
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ=（-6）2-4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
7．将方程进行配方，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：D.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
8．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】点的坐标为在反比例函数上，
．
．
反比例函数的解析式为．
点在反比例函数图象上，
可设．
．
∵正方形，
∴
，．
，
．
．
故选：B．
【分析】
先利用待定系数法求出，然后再由反比例函数图象上点的坐标特征设，则可表示出AD与ED的长，再由正方形的各边相等可建立关于的方程，最后再求解并对根进行适当取舍即可．
9．已知 是方程 的一个实数根，则代数式 的值（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】因为m是方程3x2-2x-2=0的一个实数根，
所以3m2-2m-2=0
所以3m2-2m=2，
所以
故答案为：C
【分析】把m代入方程，根据等式性质得3m2-2m=2， ，再代入可得.
10．欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．AC B．AD C．AB D．BC
【答案】B
【解析】【解答】解： x2+ax＝b2 ，
即x2+ax-b2=0 ，
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
则
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点则78是前 行的点数和．
【答案】12
12．方程 的根的判别式的值为 ．
【答案】40
【解析】【解答】解：一元二次方程 中的 ，
则其根的判别式为 ，
故答案为：40．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算得到答案即可。
13．若x1，x2是方程x2＋2x﹣3＝0两个根，则x12x2＋x1x22的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：方程x2＋2x﹣3＝0，
，
∵x1，x2是方程x2＋2x﹣3＝0两个根，
∴ ， ，
∴x12x2＋x1x22＝ ，
故答案为： 6 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，再将x12x2＋x1x22变形为，最后将数据代入计算即可。
14．在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为 ．
【答案】x1=3，x2=8
【解析】【解答】解：原式变形为：（x-3）2-5（x-3）=0，
∴（x-3）（x-3-5）=0，
x-3=0，x-3-5=0，
解得：x1=3，x2=8．
故答案为：x1=3，x2=8．
【分析】根据定义新运算得出方程（x-3）2-5（x-3）=0，解出方程即可.
15．已知x1、x2是方程x2-2x-1＝0的两根，则＝ ．
【答案】6
【解析】【解答】解：x1+x2==2，x1x2==-1
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=22-2×（-1）=6
故答案为：6
【分析】由韦达定理结合x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2的变形代入求解即可。
16．已知的两边是关于的方程的两根，第三边长为，当是等腰三角形时，则的值是 ．
【答案】2或3
【解析】【解答】解：，
，
或，
的两边是方程的两根，
的两边为、，
当是等腰三角形且第三边为时，
当时，解得：，
∴三边分别为，，，
∵2+2=4，
∴三边2，2，4不能构成三角形，故不符合题意；
当时，解得：，
∴三边分别为，，，
∵3+4=7＞4，
∴三边3，4，4能构成三角形，故符合题意；
当时，解得：，
三边分别为，，，
∵4+4=8＞6，
∴三边4，4，6能构成三角形，故符合题意；
综上可得：k的值为2或3.
故答案为：或．
【分析】根据题意先求方程的两根，即可将三角形另外两边用含k的代数式表示出来，再根据等腰三角形两腰相等可得关于k的方程，解方程求出k的值，然后根据三角形三边关系定理即可判断求解．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．A地区2015年公民出境旅游总人数约600万人，2017年公民出境旅游总人数约864万人，若2016年、2017年公民出境旅游总人数逐年递增，求2016、2017这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率？
【答案】2016、2017这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率
18．某工厂生产的一种产品按供需要求分成十个档次，若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产这种产品的档次．
【答案】生产这种产品为5档时，一天的总利润为1080元
19．随着人民生活水平的提高，汽车的需求量日益增长．某汽车销售公司2020年盈利1500万元，2022年盈利2160万元，且从2020年到2022年，每年盈利的年增长率相同，求平均每年的增长率．
【答案】平均每年的增长率为
20．已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0.
（1）若该方程有一个根为﹣3，求方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
【答案】（1）解：把x＝﹣3代入方程得9﹣3m+m﹣3＝0，解得m＝3，
方程变形为x2+3x＝0，
设方程的另一个根为t，
根据题意得﹣3+t＝﹣3，解得t＝0，
即方程的另一根为0；
（2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣3）
＝（m﹣2）2+8，
∵（m﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
【解析】【分析】（1）由题意把x=-3代入原方程得关于m的方程，解方程可求得m的值；设方程的另一个根为t，根据一元二次方程的根与系数的关系可得关于t的方程，解方程可求解；
（2）由题意先计算b2-4ac的值，根据平方的非负性可得b2-4ac≥0，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解.
21．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）．
（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式： ．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？
【答案】（1）y=﹣0.02x+8
（2）解：当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤100时，W=（6﹣2）x=4x；
当x=100时，W有最大值400元；
当100＜x≤200时，W=（y﹣2）x=（﹣0.02x+6）x=﹣0.02（x﹣150）2+450．
∵当x=150时，W有最大值为450元．
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元．
（3）解：∵418＜450，
∴根据（2）可得，﹣0.02（x﹣150）2+450=418，
解得：x1=110，x 2=190．
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．
【解析】【解答】解：（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，
∴ ，解得： ．
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣0.02x+8．
【分析】（1）利用待定系数法求出当100（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可；
（3）根据（2）中所求得出：0.02（x﹣150）2+450=418，求出即可。
22．已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足 ，求a的值。
【答案】（1）解：∵△=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a
∵方程有两个不相等的实数根
∴△>0，即4+4a>0，解得a>-1，
∴a的取值范围是a>-1
（2）解：由题意，得x1+x2=2，x1x2=-a
∵
∴a=3
【解析】【分析】（1）根据已知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围。
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2，x1x2的值，再将等式转化为，再代入建立关于a的方程，解方程求出a的值。
23．计算：
（1）已知关于x的一元二次方程kx2+5x﹣10＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
（2）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中，a满足a2﹣4＝0．
【答案】（1）解：Δ＝52﹣4×k×（﹣10）＝25+40k，
由题意得：k≠0，25+40k＞0，
解得：k＞﹣且k≠0
（2）解：原式
，
解方程a2﹣4＝0，得a1＝2，a2＝﹣2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
当a＝﹣2时，原式
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式Δ＝52﹣4×k×（﹣10）＝25+40k>0，再求出k的取值范围即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将a2﹣4＝0整体代入计算即可。
24．某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与房价x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如下表：
x（元） 180 260 280 300
y（间） 100 60 50 40
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出60元，当房价为多少元时，宾馆获得7200元的利润 （宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出）
【答案】（1）解：设一次函数的表达式为，
将（180，100），（260，60）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为： （180≤x≤300）.
（2）解：设房价为x元（180 x 300）时，依题意得：
即
整理得：
即
解得
180 x 300
答：当房价为260元时，宾馆当日利润为7200元.
【解析】【分析】（1）利用已知条件设y=kx+b（k≠0），代入两组x，y的值，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；
（2）设房价为x元（180 x 300），根据宾馆的总收入-入住客房的开支-空置客房的开支=宾馆获得的利润，结合利润=7200元，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值.
25．观察下列分解因式的过程： .
解：原式=
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.
（1）请你运用上述配方法分解因式： ；
（2）代数式 是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： ，
，
，
，
；
（2）解：代数式 ，
=a2+2a+1+b2-6b+9-1-9+12，
= ，
，
∴当 ，b-3=0即 ，b=3时原式有最小值，最小值是2.
【解析】【分析】（1）理解题意，按题意所给方法分解因式即可；
（2）利用配方法将代数式 转化为完全平方与和的形，然后利用非负数的性质进行解答．
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