1.2.1 命题与量词
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是( )
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy
2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A. x∈R,|x|>0 B. x∈R,|x|>0
C. x∈R,|x|≤0 D. x∈R,|x|≤0
3.设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则( )
A. x∈Q,有x∈P
B. x Q,有x P
C. x Q,使得x∈P
D. x∈P,使得x Q
4.有下列命题:① x∈R,+1>0;② x∈N,x2>0;③ x∈N,x∈[-3,-1).其中真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.0
5.(多选)下列命题错误的是( )
A. x∈{-1,1},2x+1>0
B. x∈Q,x2=3
C. x∈R,x2-1>0
D. x∈N,|x|≤0
6.给出下列命题,①存在a,b∈R,使得a2+b2-2a-2b+2<0;②任何实数都有算术平方根;③某些四边形不存在外接圆;④ x,y∈R,都有x2+|y|>0.
其中正确命题的序号为 .
7.能够说明“设x,y,z是任意实数.若x>y>z,则x>y+z”是假命题的一组整数x,y,z的值依次为 .
8.已知命题p:“ x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的最大值是 .
9.写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)正方形都是菱形;
(2) x∈R,使4x-3>x;
(3) x∈R,有x+1=2x;
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集.
10.已知a>0,函数y=ax2+bx+c,若m满足关于x的方程2ax+b=0,当x=m时的函数值记为M,则下列选项中的命题为假命题的是( )
A. x∈R,ax2+bx+c≤M
B. x∈R,ax2+bx+c≥M
C. x∈R,ax2+bx+c≤M
D. x∈R,ax2+bx+c≥M
11.若命题“ x∈R,x2+3≤m”为假命题,则满足条件的一个自然数m的值为 .
12.已知命题p: 1≤x≤3,都有m≥x,命题q: 1≤x≤3,使m≥x,若命题p为真命题,命题q的否定为假命题,求实数m的取值范围.
13.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下:若命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”是假命题,求m范围.小李略加思索,反手给了小王一道题:若命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题,求m范围.你认为,两位同学题中m的范围是否一致? .(填“是”“否”中的一种)
14.从两个符号“ ”“ ”中任选一个补充在下面的问题中,并完成下面的问题.
已知集合A={x|5≤x≤6},B={x|m+1≤x≤2m-1},若命题: x∈A,则x∈B是真命题,求m的取值范围.
注:如果选择两个条件分别解答,则按第一个解答计分.
1.2.1 命题与量词
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.A “x2+y2≥2xy”是指对任意x,y∈R都有x2+y2≥2xy成立,故选项A正确.
2.C 由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,然后再否定结论,所以选C.
3.B ∵P∩Q=P,∴P Q,如图,
∴A错误;B正确;C错误;D错误.故选B.
4.A 对于①, x∈R,≥0,则+1>0,①是真命题;
对于②,因x=0时,x∈N,x2=0,②是假命题;
对于③,因 x∈N,x≥0,即x [-3,-1),③是假命题.
所以真命题的序号是①,共1个.故选A.
5.ABC 对于A,x=-1时,不合题意,A错误;
对于B,x=±,B错误;
对于C,比如x=0时,-1<0,C错误;
D选项正确.故选A、B、C.
6.③ 解析:①是假命题,因为对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-12)≥0;
②是假命题,例如-4没有算术平方根;
③是真命题,因为只有对角互补的四边形有外接圆;
④为假命题,当x=y=0时,x2+|y|=0.
7.3,2,1(答案不唯一) 解析:由题意,整数x,y,z满足x>y>z,但不满足x>y+z,所以x,y,z的值依次可以为3,2,1.
8.5 解析:当x≥3时,2x≥6 2x-1≥5,因为“ x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,所以m≤5.
9.解:(1)命题的否定:正方形不都是菱形,是假命题.
(2)命题的否定: x∈R,有4x-3≤x.因为当x=2时,4×2-3=5>2,所以“ x∈R,有4x-3≤x”是假命题.
(3)命题的否定: x∈R,使x+1≠2x.因为当x=2时,x+1=2+1=3≠2×2,所以“ x∈R,使x+1≠2x”是真命题.
(4)命题的否定:集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集,是假命题.
10.C 方程2ax+b=0的解为m=-.由当x=m时的函数值记为M知A、B为真命题;
∵a>0,∴函数y=ax2+bx+c在x=-=m处取得最小值.∴M是函数y=ax2+bx+c的最小值,因此D为真命题,C为假命题.故选C.
11.2(答案不唯一) 解析:因为x2+3≥3,又命题 “ x∈R,x3+3≤m”为假命题,所以m<3,因为m为自然数,所以m为0,1,2都可以.
12.解:因为 q为假命题,所以q为真命题,
命题p: 1≤x≤3,都有m≥x, 为真命题,则m≥xmax,即m≥3.
命题q: 1≤x≤3,使m≥x,为真命题,则m≥xmin,即m≥1.
因为命题p,q同时为真命题,所以解得m≥3,
故实数m的取值范围是[3,+∞).
13.是 解析:∵命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”的否定是“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”.而命题“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”是假命题,则其否定“ x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题.∴两位同学题中m的范围是一致的.
14.解:由已知集合A={x|5≤x≤6},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
若选 ,则“ x∈A,则x∈B”是真命题,则A B,
所以解得≤m≤4.
若选 ,则p:“ x∈A,则x∈B”是真命题,
若 p即“ x∈A,则x B”为真命题,则m+1>2m-1或或
解得m<3,或m>5,故若p为真,只需3≤m≤5.
2 / 21.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗.
【问题】 (1)在这4句诗中,哪几句是疑问句?哪几句是陈述句?
(2)疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题?
知识点一 命题
1.命题:可供真假判断的 .
2.真命题: 的语句.
3.假命题: 的语句.
提醒 若一个语句为命题,则需满足两点:①陈述句;②能够判断真假.
知识点二 全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号
命题 含有 的命题称为全称量词命题 含有 的命题称为存在量词命题
命题 形式 “对集合M中的所有元素x,r(x)”,可用符号简记为“ ” “存在集合M中的元素x, s(x)”,可用符号简记为“ ”
【想一想】
1.如何判定全称量词命题为假命题?
2.如何判定存在量词命题为真命题?
知识点三 全称量词命题与存在量词命题的否定
q q 结论
全称量词命题 x∈M,q(x) x∈M, q(x) 全称量词命题的否定是
存在量词命题 x∈M,p(x) 存在量词命题的否定是
提醒 命题p与其否定 p,必定是一个真命题一个假命题.
1.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是( )
A. x∈R,有=x
B.所有的质数都是奇数
C.至少有一个实数x,使x2≤0
D.有的正方形的四条边不相等
2.命题“ x∈R,|x|+≥0”的否定是( )
A. x∈R,|x|+≥0
B. x∈R,|x|+<0
C. x∈R,|x|+<0
D. x R,|x|+<0
3.选择适当的符号“ ”,“ ”表述下列命题:有一个实数x,使x2+2x+3=0: .
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】 判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)矩形的对角线不相等;
(3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;
(4)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(5)方程3x-2y=10有整数解.
尝试解答
通性通法
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒 全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略.
【跟踪训练】
1.给出下列命题:
①存在实数x>1,使x2>1;
②全等的三角形必相似;
③有些相似三角形全等;
④至少有一个实数a,使ax2-ax+1=0的根为负数.
其中存在量词命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题:
(1)当x为有理数时,x2+x+1也是有理数;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)有些整数既能被2整除,又能被3整除.
题型二 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
【例2】 (链接教科书第26页例)判断下列命题的真假:
(1) x∈Z,x3<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4) x∈N,x2>0.
尝试解答
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可;
(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题.
【跟踪训练】
1.下列是全称量词命题且是真命题的为( )
A. x∈R,x2>2x-1
B. x,y∈Q,都有x+y∈Q
C. x∈Z,-x2+1≥1
D. x,y∈R,|x|+|y|>0
2.下列命题中是假命题的是( )
A. x∈R,x2≥0
B. x∈R,使x2≤0
C. x∈R,使x2<0
D. x∈R,使x2>0
题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定
【例3】 (链接教科书第30页例1)(1)命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
(2)命题“ x∈R, n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A. x∈R, n∈N*,使得n<x2
B. x∈R, n∈N*,使得n<x2
C. x∈R, n∈N*,使得n<x2
D. x∈R, n∈N*,使得n<x2
尝试解答
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词, 同时否定结论;
(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.
【跟踪训练】
1.命题“ x∈R,x2+1≥x”的否定为( )
A. x∈R,x2+1≤x B. x∈R,x2+1≤x
C. x∈R,x2+1<x D. x∈R,x2+1<x
2.已知命题p: a∈N,a≥100,则 p为( )
A. a∈N,a≤100
B. a∈N,a<100
C. a∈N,a≤100
D. a∈N,a<100
题型四 全称量词命题与存在量词命题的应用
【例4】 (1)若“ x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则实数a的取值范围是 ;
(2)已知命题p:“ x∈R,x2-2x+m>0”是真命题,则实数m的取值范围是 .
尝试解答
通性通法
利用含量词的命题的真假求参数的范围的方法
(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的取值范围,如: x∈m,a>f(x) a>f(x)max; x∈m,a<f(x) a<f(x)min;
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的范围,如: x∈m,a>f(x) a>f(x)min; x∈m,a<f(x) a<f(x)max.
【跟踪训练】
1.若 x∈R,x2-a>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.a>0 B.a<0
C.a≥0 D.a≤0
2.(多选)已知命题p: x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则实数a的取值可以是( )
A.1 B.0
C.3 D.-3
1.下列是存在量词命题且是真命题的是( )
A. x∈R,x3>0
B. x∈Z,x2>2
C. x∈N,x2∈N
D. x,y∈R,x2+y2<0
2.命题p: x∈N,x3>x2的否定形式 p为( )
A. x∈N,x3≤x2 B. x∈N,x3>x2
C. x∈N,x3<x2 D. x∈N,x3≤x2
3.下列四个命题:
① x∈R,x2-x+≥0;②不存在实数x,使x3+1=0;③ n∈R,n2≥n;④至少有一个实数x,使得x3+1=0.
其中真命题的序号是( )
A.①③ B.②③
C.②④ D.①④
4.若p:存在x<5,使2x+a>0是真命题,则实数a的取值范围是 .
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【基础知识·重落实】
知识点一
1.陈述语句 2.判断为真 3.判断为假
知识点二
全称量词 存在量词 x∈M,r(x) x∈M,s(x)
想一想
1.提示:只要找到一个x∈M,r(x)不成立.
2.提示:只要找到一个x∈M,s(x)成立.
知识点三
存在量词命题 x∈M, p(x) 全称量词命题
自我诊断
1.A 对于A,是全称量词命题,且为真命题,所以A正确;
对于B,是全称量词命题,2是质数,但2不是奇数,所以此命题为假命题,所以B错误;
对于C,是存在量词命题,所以C错误;
对于D,是存在量词命题,且为假命题,所以D错误.故选A.
2.C 命题“ x∈R,|x|+≥0”的否定是“ x∈R,|x|+<0”.故选C.
3. x∈R,有x2+2x+3=0
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称量词命题.
(2)可以改为所有矩形的对角线不相等,故为全称量词命题.
(3)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题.
(4)含存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(5)可改写为:存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立,故为存在量词命题.
跟踪训练
1.C ①③④为存在量词命题,②为全称量词命题,故选C.
2.解:(1) x∈Q,x2+x+1是有理数.
(2) a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解.
(3) x∈Z,x既能被2整除,又能被3整除.
【例2】 解:(1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,所以“ x∈Z,x3<1”是真命题.
(2)真命题,如梯形.
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)因为0∈N,02=0,所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
跟踪训练
1.B A:当x=1时,不等式x2>2x-1不成立,因此命题是假命题,不符合题意;
B:因为 x,y∈Q,都有x+y∈Q是真命题,且是全称命题,符合题意;
C:命题是存在量词命题,不符合题意;
D:因为当x=y=0时,|x|+|y|>0不成立,因此命题是假命题,不符合题意.故选B.
2.C x∈R,x2≥0,故A正确,C错误;因为02=0,故B正确;因为12>0,故D正确.故选C.
【例3】 (1)C (2)D 解析:(1)利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知,原命题的否定为:对于任意的实数x,都有x≤1.
(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题,全称量词命题的否定形式是存在量词命题,所以“ x∈R, n∈N*,使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R, n∈N*,使得n<x2”.
跟踪训练
1.C 由于全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“ x∈R,x2+1≥x”的否定为“ x∈R,x2+1<x”.故选C.
2.D ∵命题p: a∈N,a≥100,∴ p:为 a∈N,a<100.故选D.
【例4】 (1){a|a>-1} (2)(1,+∞)
解析:(1)若“ x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,
则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1,则实数a的取值范围是{a|a>-1}.
(2)p:“ x∈R,x2-2x+m>0”是真命题,即m>-x2+2x=-(x-1)2+1,x∈R恒成立,
设函数y=-(x-1)2+1,由二次函数的性质知,
当x=1时,y最大值=1,
所以m>y最大值=1,
即实数m的取值范围是(1,+∞).
跟踪训练
1.B 因为 x∈R,x2-a>0恒成立,所以 x∈R,x2>a恒成立,即 x∈R,a<(x2)min.因为当x∈R时,(x2)min=0,所以a<0.故选B.
2.AC 由于命题p: x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则Δ=22-4(2-a)=4a-4≥0,解得a≥1.符合条件的为A、C选项.故选A、C.
随堂检测
1.B 对于A, x∈R,x3>0是全称量词命题,不合题意;
对于B, x∈Z,x2>2是存在量词命题,且是真命题,满足题意;
对于C, x∈N,x2∈N是全称量词命题,不合题意;
对于D, x,y∈R,x2+y2<0是存在量词命题,是假命题,不合题意,故选B.
2.D 命题p: x∈N,x3>x2的否定形式是存在量词命题;所以 p:“ x∈N,x3≤x2”.故选D.
3.D ①,x2-x+=≥0,当x=时等号成立. ①正确.
②④,x=-1时,x3+1=0,②错误,④正确.
③,n=时,n2<n,③错误.所以正确的为①④.故选D.
4.{a|a>-10} 解析:存在x<5,使2x+a>0,即存在x<5,使a>-2x,所以a>-10.
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1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词
的意义 数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐
代诗人王维的《相思》诗.
【问题】 (1)在这4句诗中,哪几句是疑问句?哪几句是陈述句?
(2)疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题?
知识点一 命题
1. 命题:可供真假判断的 .
2. 真命题: 的语句.
3. 假命题: 的语句.
提醒 若一个语句为命题,则需满足两点:①陈述句;②能够判断
真假.
陈述语句
判断为真
判断为假
知识点二 全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号
命题 含有 的命题称
为全称量词命题 含有 的命题称为
存在量词命题
命题 形式 “对集合 M 中的所有元素 x ,
r ( x )”,可用符号简记为
“ ” “存在集合 M 中的元素 x , s
( x )”,可用符号简记为
“ ”
全称量词
存在量词
x ∈ M , r ( x )
x ∈ M , s ( x )
【想一想】
1. 如何判定全称量词命题为假命题?
提示:只要找到一个 x ∈ M , r ( x )不成立.
2. 如何判定存在量词命题为真命题?
提示:只要找到一个 x ∈ M , s ( x )成立.
知识点三 全称量词命题与存在量词命题的否定
q q 结论
全称量词命题 x ∈
M , q ( x ) x ∈ M , q ( x ) 全称量词命题的否定
是
存在量词命题 x ∈
M , p ( x )
存在量词命题的否定
是
提醒 命题 p 与其否定 p ,必定是一个真命题一个假命题.
存在量词命题
x ∈ M , p
( x )
全称量词命题
1. 下列命题既是全称量词命题又是真命题的是( )
A. x ∈R,有 = x
B. 所有的质数都是奇数
C. 至少有一个实数 x ,使 x2≤0
D. 有的正方形的四条边不相等
解析: 对于A,是全称量词命题,且为真命题,所以A正确;对
于B,是全称量词命题,2是质数,但2不是奇数,所以此命题为假
命题,所以B错误;对于C,是存在量词命题,所以C错误;对于
D,是存在量词命题,且为假命题,所以D错误.故选A.
2. 命题“ x ∈R,| x |+ ≥0”的否定是( )
A. x ∈R,| x |+ ≥0
B. x ∈R,| x |+ <0
C. x ∈R,| x |+ <0
D. x R,| x |+ <0
解析: 命题“ x ∈R,| x |+ ≥0”的否定是“ x ∈R,|
x |+ <0”.故选C.
3. 选择适当的符号“ ”,“ ”表述下列命题:有一个实数 x ,使 x2
+2 x +3=0: .
x ∈R,有 x2+2 x +3=0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】 判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
解:可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称量词命题.
(2)矩形的对角线不相等;
解:可以改为所有矩形的对角线不相等,故为全称量词命题.
(3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;
解:若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称
量词命题.
(4)有些实数 a , b 能使| a - b |=| a |+| b |;
解:含存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(5)方程3 x -2 y =10有整数解.
解:可改写为:存在一对整数 x , y ,使3 x -2 y =10成
立,故为存在量词命题.
通性通法
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒 全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一
般不能省略.
【跟踪训练】
1. 给出下列命题:
①存在实数 x >1,使 x2>1;
②全等的三角形必相似;
③有些相似三角形全等;
④至少有一个实数 a ,使 ax2- ax +1=0的根为负数.
其中存在量词命题的个数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析: ①③④为存在量词命题,②为全称量词命题,故选C.
2. 用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题:
(1)当 x 为有理数时, x2+ x +1也是有理数;
解: x ∈Q, x2+ x +1是有理数.
(2)对所有实数 a , b ,方程 ax + b =0恰有一个解;
解: a , b ∈R,方程 ax + b =0恰有一解.
(3)有些整数既能被2整除,又能被3整除.
解: x ∈Z, x 既能被2整除,又能被3整除.
题型二 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
【例2】 (链接教科书第26页例)判断下列命题的真假:
(1) x ∈Z, x3<1;
解:因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,所以“ x ∈Z,
x3<1”是真命题.
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
解:真命题,如梯形.
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对( x , y )都对应一点
P ;
解:由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4) x ∈N, x2>0.
解:因为0∈N,02=0,所以命题“ x ∈N, x2>0”是假命题.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每
个元素 x 验证 p ( x )成立;但要判定全称量词命题是假命题,
只要能举出集合 M 中的一个 x ,使得 p ( x )不成立即可;
(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合 M 中,能
找到一个 x 使 p ( x )成立即可;否则,这个存在量词命题就是
假命题.
【跟踪训练】
1. 下列是全称量词命题且是真命题的为( )
A. x ∈R, x2>2 x -1
B. x , y ∈Q,都有 x + y ∈Q
C. x ∈Z,- x2+1≥1
D. x , y ∈R,| x |+| y |>0
解析: A:当 x =1时,不等式 x2>2 x -1不成立,因此命题是假
命题,不符合题意;B:因为 x , y ∈Q,都有 x + y ∈Q是真命
题,且是全称命题,符合题意;C:命题是存在量词命题,不符合
题意;D:因为当 x = y =0时,| x |+| y |>0不成立,因此命
题是假命题,不符合题意.故选B.
2. 下列命题中是假命题的是( )
A. x ∈R, x2≥0 B. x ∈R,使 x2≤0
C. x ∈R,使 x2<0 D. x ∈R,使 x2>0
解析: x ∈R, x2≥0,故A正确,C错误;因为02=0,故B正
确;因为12>0,故D正确.故选C.
题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定
【例3】 (链接教科书第30页例1)(1)命题“存在实数 x ,使 x >
1”的否定是( C )
A. 对任意实数 x ,都有 x >1 B. 不存在实数 x ,使 x ≤1
C. 对任意实数 x ,都有 x ≤1 D. 存在实数 x ,使 x ≤1
解析:利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知,原命题的否定
为:对于任意的实数 x ,都有 x ≤1.
(2)命题“ x ∈R, n ∈N*,使得 n ≥ x2”的否定形式是( D )
A. x ∈R, n ∈N*,使得 n < x2
B. x ∈R, n ∈N*,使得 n < x2
C. x ∈R, n ∈N*,使得 n < x2
D. x ∈R, n ∈N*,使得 n < x2
解析:由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题,全称量
词命题的否定形式是存在量词命题,所以“ x ∈R, n ∈N*,
使得 n ≥ x2”的否定形式为“ x ∈R, n ∈N*,使得 n < x2”.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题
是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,
然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量
词, 同时否定结论;
(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含
量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.
【跟踪训练】
1. 命题“ x ∈R, x2+1≥ x ”的否定为( )
A. x ∈R, x2+1≤ x B. x ∈R, x2+1≤ x
C. x ∈R, x2+1< x D. x ∈R, x2+1< x
解析: 由于全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“
x ∈R, x2+1≥ x ”的否定为“ x ∈R, x2+1< x ”.故选C.
2. 已知命题 p : a ∈N, a ≥100,则 p 为( )
A. a ∈N, a ≤100 B. a ∈N, a <100
C. a ∈N, a ≤100 D. a ∈N, a <100
解析: ∵命题 p : a ∈N, a ≥100,∴ p :为 a ∈N, a <
100.故选D.
题型四 全称量词命题与存在量词命题的应用
【例4】 (1)若“ x ∈R, x2+2 x - a <0”是真命题,则实数 a 的
取值范围是 ;
解析:若“ x ∈R, x2+2 x - a <0”是真命题,
则Δ>0,即4+4 a >0,解得 a >-1,则实数 a 的取值范围是{ a | a >
-1}.
{ a | a >-1}
(2)已知命题 p :“ x ∈R, x2-2 x + m >0”是真命题,则实数 m
的取值范围是 .
解析: p :“ x ∈R, x2-2 x + m >0”是真命题,即 m >- x2
+2 x =-( x -1)2+1, x ∈R恒成立,
设函数 y =-( x -1)2+1,由二次函数的性质知,
当 x =1时, y最大值=1,所以 m > y最大值=1,
即实数 m 的取值范围是(1,+∞).
(1,+∞)
通性通法
利用含量词的命题的真假求参数的范围的方法
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问
题来处理,可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的范围,如:
x ∈ m , a > f ( x ) a > f ( x )min; x ∈ m , a < f ( x )
a < f ( x )max.
(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可借
助判别式Δ、函数最值来确定参数的取值范围,如: x ∈ m , a
> f ( x ) a > f ( x )max; x ∈ m , a < f ( x ) a < f ( x )
min;
【跟踪训练】
1. 若 x ∈R, x2- a >0恒成立,则实数 a 的取值范围是( )
A. a >0 B. a <0
C. a ≥0 D. a ≤0
解析: 因为 x ∈R, x2- a >0恒成立,所以 x ∈R, x2> a 恒
成立,即 x ∈R, a <( x2)min.因为当 x ∈R时,( x2)min=0,所
以 a <0.故选B.
2. (多选)已知命题 p : x ∈R, x2+2 x +2- a =0为真命题,则实
数 a 的取值可以是( )
A. 1 B. 0
C. 3 D. -3
解析: 由于命题 p : x ∈R, x2+2 x +2- a =0为真命题,则
Δ=22-4(2- a )=4 a -4≥0,解得 a ≥1.符合条件的为A、C选
项.故选A、C.
1. 下列是存在量词命题且是真命题的是( )
A. x ∈R, x3>0 B. x ∈Z, x2>2
C. x ∈N, x2∈N D. x , y ∈R, x2+ y2<0
解析: 对于A, x ∈R, x3>0是全称量词命题,不合题意;对
于B, x ∈Z, x2>2是存在量词命题,且是真命题,满足题意;对
于C, x ∈N, x2∈N是全称量词命题,不合题意;对于D, x , y
∈R, x2+ y2<0是存在量词命题,是假命题,不合题意,故选B.
2. 命题 p : x ∈N, x3> x2的否定形式 p 为( )
A. x ∈N, x3≤ x2 B. x ∈N, x3> x2
C. x ∈N, x3< x2 D. x ∈N, x3≤ x2
解析:D 命题 p : x ∈N, x3> x2的否定形式是存在量词命题;所
以 p :“ x ∈N, x3≤ x2”.故选D.
3. 下列四个命题:
① x ∈R, x2- x + ≥0;
②不存在实数 x ,使 x3+1=0;
③ n ∈R, n2≥ n ;
④至少有一个实数 x ,使得 x3+1=0.
其中真命题的序号是( )
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
解析: ①, x2- x + = ≥0,当 x = 时等号成立. ①正
确.②④, x =-1时, x3+1=0,②错误,④正确.③, n = 时, n2
< n ,③错误.所以正确的为①④.故选D.
4. 若 p :存在 x <5,使2 x + a >0是真命题,则实数 a 的取值范围
是 .
解析:存在 x <5,使2 x + a >0,即存在 x <5,使 a >-2 x ,所以
a >-10.
{ a | a >-10}
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 将“ x2+ y2≥2 xy ”改写成全称量词命题,下列说法正确的是( )
A. 对任意 x , y ∈R,都有 x2+ y2≥2 xy
B. 存在 x , y ∈R,使 x2+ y2≥2 xy
C. 对任意 x >0, y >0,都有 x2+ y2≥2 xy
D. 存在 x <0, y <0,使 x2+ y2≥2 xy
解析: “ x2+ y2≥2 xy ”是指对任意 x , y ∈R都有 x2+ y2≥2 xy
成立,故选项A正确.
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2. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A. x ∈R,| x |>0 B. x ∈R,| x |>0
C. x ∈R,| x |≤0 D. x ∈R,| x |≤0
解析: 由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为
全称量词命题,然后再否定结论,所以选C.
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3. 设非空集合 P , Q 满足 P ∩ Q = P ,则( )
A. x ∈ Q ,有 x ∈ P B. x Q ,有 x P
C. x Q ,使得 x ∈ P D. x ∈ P ,使得 x Q
解析: ∵ P ∩ Q = P ,∴ P Q ,如图,
∴A错误;B正确;C错误;D错误.故选B.
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4. 有下列命题:① x ∈R, +1>0;② x ∈N, x2>0;③ x
∈N, x ∈[-3,-1).其中真命题的个数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
解析: 对于①, x ∈R, ≥0,则 +1>0,①是真
命题;
对于②,因 x =0时, x ∈N, x2=0,②是假命题;
对于③,因 x ∈N, x ≥0,即 x [-3,-1),③是假命题.
所以真命题的序号是①,共1个.故选A.
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5. (多选)下列命题错误的是( )
A. x ∈{-1,1},2 x +1>0
B. x ∈Q, x2=3
C. x ∈R, x2-1>0
D. x ∈N,| x |≤0
解析:ABC 对于A, x =-1时,不合题意,A错误;
对于B, x =± ,B错误;
对于C,比如 x =0时,-1<0,C错误;
D选项正确.故选A、B、C.
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6. 给出下列命题,①存在 a , b ∈R,使得 a2+ b2-2 a -2 b +2<0;
②任何实数都有算术平方根;③某些四边形不存在外接圆;④ x ,
y ∈R,都有 x2+| y |>0.
其中正确命题的序号为 .
解析:①是假命题,因为对任意的 a , b ∈R,都有 a2+ b2-2 a -2
b +2=( a -1)2+( b -12)≥0;
②是假命题,例如-4没有算术平方根;
③是真命题,因为只有对角互补的四边形有外接圆;
④为假命题,当 x = y =0时, x2+| y |=0.
③
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7. 能够说明“设 x , y , z 是任意实数.若 x > y > z ,则 x > y + z ”是假
命题的一组整数 x , y , z 的值依次为 .
解析:由题意,整数 x , y , z 满足 x > y > z ,但不满足 x > y + z ,
所以 x , y , z 的值依次可以为3,2,1.
3,2,1(答案不唯一)
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8. 已知命题 p :“ x ≥3,使得2 x -1≥ m ”是真命题,则实数 m 的最
大值是 .
解析:当 x ≥3时,2 x ≥6 2 x -1≥5,因为“ x ≥3,使得2 x -
1≥ m ”是真命题,所以 m ≤5.
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9. 写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)正方形都是菱形;
解:命题的否定:正方形不都是菱形,是假命题.
(2) x ∈R,使4 x -3> x ;
解:命题的否定: x ∈R,有4 x -3≤ x .因为当 x =2时,4×2-3=5>2,所以“ x ∈R,有4 x -3≤ x ”是假命题.
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(3) x ∈R,有 x +1=2 x ;
解:命题的否定: x ∈R,使 x +1≠2 x .因为当 x =2时, x +1=2+1=3≠2×2,所以“ x ∈R,使 x +1≠2 x ”是真命题.
(4)集合 A 是集合 A ∩ B 或集合 A ∪ B 的子集.
解:命题的否定:集合 A 既不是集合 A ∩ B 的子集也不是集合 A ∪ B 的子集,是假命题.
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10. 已知 a >0,函数 y = ax2+ bx + c ,若 m 满足关于 x 的方程2 ax + b
=0,当 x = m 时的函数值记为 M ,则下列选项中的命题为假命题
的是( )
A. x ∈R, ax2+ bx + c ≤ M
B. x ∈R, ax2+ bx + c ≥ M
C. x ∈R, ax2+ bx + c ≤ M
D. x ∈R, ax2+ bx + c ≥ M
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解析: 方程2 ax + b =0的解为 m =- .由当 x = m 时的函数值
记为 M 知A、B为真命题;
∵ a >0,∴函数 y = ax2+ bx + c 在 x =- = m 处取得最小值.
∴ M 是函数 y = ax2+ bx + c 的最小值,因此D为真命题,C为假命
题.故选C.
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11. 若命题“ x ∈R, x2+3≤ m ”为假命题,则满足条件的一个自然
数 m 的值为 .
解析:因为 x2+3≥3,又命题 “ x ∈R, x3+3≤ m ”为假命题,
所以 m <3,因为 m 为自然数,所以 m 为0,1,2都可以.
2(答案不唯一)
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12. 已知命题 p : 1≤ x ≤3,都有 m ≥ x ,命题 q : 1≤ x ≤3,使 m ≥
x ,若命题 p 为真命题,命题 q 的否定为假命题,求实数 m 的取值
范围.
解:因为 q 为假命题,所以 q 为真命题,
命题 p : 1≤ x ≤3,都有 m ≥ x , 为真命题,则 m ≥ xmax,即 m
≥3.
命题 q : 1≤ x ≤3,使 m ≥ x ,为真命题,则 m ≥ xmin,即 m ≥1.
因为命题 p , q 同时为真命题,所以解得 m ≥3,
故实数 m 的取值范围是[3,+∞).
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13. 某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组小王同学给组内小
李同学出题如下:若命题“ x ∈R,函数 y = x2+2 x + m 的图象在
x 轴的下方”是假命题,求 m 范围.小李略加思索,反手给了小王一
道题:若命题“ x ∈R,函数 y = x2+2 x + m 的图象在 x 轴的上方
或 x 轴上”是真命题,求 m 范围.你认为,两位同学题中 m 的范围是
否一致? .(填“是”“否”中的一种)
是
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解析:∵命题“ x ∈R,函数 y = x2+2 x + m 的图象在 x 轴的
下方”的否定是“ x ∈R,函数 y = x2+2 x + m 的图象在 x 轴
的上方或 x 轴上”.而命题“ x ∈R,函数 y = x2+2 x + m 的图
象在 x 轴的下方”是假命题,则其否定“ x ∈R,函数 y = x2
+2 x + m 的图象在 x 轴的上方或 x 轴上”为真命题.∴两位同学
题中 m 的范围是一致的.
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14. 从两个符号“ ”“ ”中任选一个补充在下面的问题中,并完成
下面的问题.
已知集合 A ={ x |5≤ x ≤6}, B ={ x | m +1≤ x ≤2 m -1},若
命题: x ∈ A ,则 x ∈ B 是真命题,求 m 的取值范围.
注:如果选择两个条件分别解答,则按第一个解答计分.
解:由已知集合 A ={ x |5≤ x ≤6}, B ={ x | m +1≤ x ≤2 m -
1}.
若选 ,则“ x ∈ A ,则 x ∈ B ”是真命题,则 A B ,
所以≤ m ≤4.
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若选 ,则 p :“ x ∈ A ,则 x ∈ B ”是真命题,
若 p 即“ x ∈ A ,则 x B ”为真命题,则 m +1>2 m -1或
或
解得 m <3,或 m >5,故若 p 为真,只需3≤ m ≤5.
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谢 谢 观 看!