1.2.3 充分条件、必要条件
1.若a为实数，则“a＜1”是“＞1”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.使x＞1成立的一个充分条件是（ ）
A.x＞0 B.x＞2
C.x＜0 D.x＜2
3.设x∈R，则“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.若关于x的不等式｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，1] B.（－∞，1）
C.（3，＋∞） D.[3，＋∞）
5.（多选）对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中为真命题是（ ）
A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件
D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
6.王大妈在地摊上因为一时贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的 条件.
7.设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么丙是甲的 条件.
8.若“1－m＜x＋m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 .
9.设全集U＝R，集合A＝{x｜m－2＜x＜m＋2，m∈R}，集合B＝{x｜－4＜x＜4}.
（1）当m＝3时，求A∩B，A∪B；
（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
10.已知p： x∈[3，4），x2－a≥0，则p成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A.a＜9 B.a＞9
C.a＜16 D.a＞16
11.（多选）设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是（ ）
12.已知P＝{x｜1≤x≤2}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
13.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ（a，b）＝－a－b，那么φ（a，b）＝0是a与b互补的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.已知a，b，c均为实数，证明“ac＜0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
1.2.3 充分条件、必要条件
1.B 由＞1得0＜a＜1，
则“a＜1”是“＞1”的必要不充分条件，故选B.
2.B 根据充分条件的定义，由x＞2可以得出x＞1，B正确；
若x＞0，取x＝，无法得到x＞1，A错误；C显然错误；
若x＜2，取x＝，无法得到x＞1，D错误.故选B.
3.B “1＜x＜2” “1＜x＜3”，反之不成立.
∴“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的充分不必要条件.故选B.
4.D ｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则a＞0，｜x－1｜＜a 1－a＜x＜1＋a，所以 a≥3.故选D.
5.CD 对于A，因为“a＝b”时ac＝bc成立，ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错；对于B，a＝－1，b＝－2，a＞b时，a2＜b2；a＝－2，b＝1，a2＞b2时，a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“a＜3”时一定有“a＜5”成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，C正确；对于D“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确.
6.充分不必要 解析：“便宜没好货”的另一种理解是“好货不便宜”，而“好货不便宜”是真命题.
所以“好货” “不便宜”，
所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件.
7.充分不必要 解析：∵甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，
∴乙 甲，丙 乙，乙推不出丙，∴丙 甲，且甲不能推出丙，
∴丙是甲的充分不必要条件.
8.（1，＋∞） 解析：不等式0＜＜1的解集为（－1，1），不等式1－m＜x＋m＜2m的解集为（1－2m，m），
因为“1－m＜x＋m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分条件，
所以（－1，1） （1－2m，m），所以或解得m＞1，所以实数m的取值范围为（1，＋∞）.
9.解：（1）当m＝3时，A＝{x｜1＜x＜5}，
∴A∩B＝{x｜1＜x＜4}，A∪B＝{x｜－4＜x＜5}.
（2）若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，
∴或
解得：－2≤m≤2，
∴实数m的取值范围是[－2，2].
10.A 当p真时，a≤x2在区间[3，4）上恒成立，所以a≤9，所以p成立的一个充分不必要条件可以是a＜9.故选A.
11.BD 由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选B、D.
12.解：（1）要使x∈P是x∈S的充分条件，需使P S，即解得m≥1，所以存在实数m≥1，使x∈P是x∈S的充分条件.
（2）要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S P.
当S＝ 时，1－m＞1＋m，解得m＜0，满足题意；
当S≠ 时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S P，则有解得m≤0，所以m＝0.
综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件.
13.C φ（a，b）＝－a－b＝0，得＝a＋b，∴ab＝0，故a，b至少有一个为0，
不妨设a＝0，由＝a＋b得＝b，于是b≥0，同理可得a≥0，故a与b互补；
反之若a与b互补，则a≥0，b≥0且ab＝0，
不妨设a＝0，则φ（a，b）＝－a－b＝－b＝b－b＝0，即φ（a，b）＝0.
综上：φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件.故选C.
14.证明：若ac＜0成立，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，且两根之积＜0，
所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，即充分性成立，
反之，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，则两根之积＜0，
所以ac＜0成立，即必要性成立，
综上，“ac＜0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
2 / 21.2.3 充分条件、必要条件
新课程标准解读 核心素养
1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、逻辑推理
3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.
【问题】 （1）A开关闭合时B灯一定亮吗？
（2）B灯亮时A开关一定闭合吗？
知识点一 充分条件与必要条件
命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件，q是p的 条件 p不是q的 条件，q不是p的 条件
【想一想】
在逻辑推理中p q能表达成哪几种说法？
知识点二 充要条件
如果 ，且 ，就记作 .此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的 条件，简称为充要条件.
【想一想】
1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
1.“x，y∈Q”是“xy∈Q”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0的根”的 条件（填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一个）
题型一 充分、必要、充要条件的判断
【例1】 （1）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（3）“x＜2”是“＜0”的（ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
尝试解答
通性通法
充分、必要、充要条件的判断方法
（1）定义法：若p q，q / p，则p是q的充分不必要条件；
若p / q，q p，则p是q的必要不充分条件；
若p q，q p，则p是q的充要条件；
若p / q，q / p，则p是q的既不充分也不必要条件.
（2）集合法：对于集合A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q}，具体情况如下：
若A B，则p是q的充分条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A B，则p是q的充分不必要条件；
若A B，则p是q的必要不充分条件.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝x2－4x－2，则“x＝3”是“f（x）＝－5”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（多选）下列选项中p是q的必要条件的是（ ）
A.p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B.p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D.p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解
题型二 充分条件、必要条件、充要条件的探求
【例2】 （1）不等式x（x－2）＜0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A.x∈（0，2） B.x∈[－1，＋∞）
C.x∈（0，1） D.x∈（1，3）
（2）函数y＝ax2＋2x＋1（a≠0）的图象与x轴的交点，一个在原点的左侧，一个在原点的右侧的充分不必要条件是（ ）
A.a＜0 B.a＞0
C.a＜－1 D.a＞1
（3）在平面直角坐标系中，点（x，1－x）在第一象限的充要条件是 .
尝试解答
通性通法
探求充分条件、必要条件、充要条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件.
【跟踪训练】
1.“x－1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A.x＞1 B.x＞2
C.x＜3 D.x＞0
2.（多选）使a∈R，｜a｜＜4成立的充分不必要条件可以是（ ）
A.a＜4 B.｜a｜＜3
C.－4＜a＜4 D.0＜a＜3
题型三 充要条件的证明
【例3】 已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
尝试解答
通性通法
充要条件的证明思路
（1）在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反；
（2）证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立.若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明.
提醒 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向.
【跟踪训练】
证明：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
题型四 利用充分条件、必要条件求参数的范围
【例4】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
2.（变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
通性通法
充分条件与必要条件的应用技巧
（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
（2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
【跟踪训练】
1.“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为（ ）
A.（3，＋∞） B.（－∞，2）
C.（－∞，2] D.[0，＋∞）
2.设p：m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）；q：1≤x≤3.若q是p的充分条件，则实数m的取值范围为 .
1.若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.a＜0，b＜0的一个必要条件为（ ）
A.＞1 B.＜－1
C.a＋b＜0 D.a－b＞0
3.（多选）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A.“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件
B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C.关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实数根的充要条件是Δ＝b2－4ac≥0
D.若集合A B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件
4.设p：0＜x＜a（a＞0），q：x＜8－3a，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .
1.2.3 充分条件、必要条件
【基础知识·重落实】
知识点一
/ 充分 必要 充分 必要
想一想
提示：以下5种说法：①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q.
知识点二
p q q p p q 充分必要
想一想
1.提示：正确.若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
2.提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
自我诊断
1.A 若x，y∈Q，则xy∈Q，x，y∈Q是xy∈Q的充分条件，反之，若xy∈Q，不一定推出x，y∈Q，如当x＝y＝时，x，y Q，xy＝2∈Q.所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分不必要条件.故选A.
2.B 由“－3＜x＜4”不能推出“－2＜x≤3”，但是由“－2＜x≤3”能推出“－3＜x＜4”，故“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的必要不充分条件.故选B.
3.充要 解析：因为x2－2x＋1＝0，所以x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0的根”的充要条件.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）B （3）A 解析：（1）由a2＞a得a＞1或a＜0，反之，由a＞1得a2＞a，则“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A.
（2）由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立.即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件.故选B.
（3）由＜0得x－2＜0得x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件，故选A.
跟踪训练
1.A 显然f（3）＝－5，但由x2－4x－2＝－5可以得出x＝3或x＝1，所以“x＝3”是“f（x）＝－5”的充分不必要条件.故选A.
2.CD 对于A，p：3x＋2＞5 x＞1，q：－2x－3＞－5 x＜1，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要条件；
对于B，p：a＞2，b＜2 q：a＞b；当a＝1，b＝0时，满足a＞b但q推不出p，故p是q的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立 “两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要条件；
对于D，p：a≠0 q：关于x的方程ax＝1有唯一解，故p是q的充分必要条件.故选C、D.
【例2】 （1）B （2）C （3）0＜x＜1 解析：（1）∵x（x－2）＜0的解集为（0，2），且（0，2） [－1，＋∞），∴“x∈[－1，＋∞）”是“不等式x（x－2）＜0成立”的一个必要不充分条件.
（2）∵函数图象一定过（0，1）点，∴函数图象与x轴的两个交点在原点左、右两侧各一个的充要条件为a＜0.结合选项知，充分不必要条件是a＜－1.故选C.
（3）由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1.
跟踪训练
1.D 因为x－1＞0 x＞1，所以A为“x－1＞0”成立的充要条件；B为“x－1＞0”成立的充分不必要条件；C为“x－1＞0”成立的既不充分也不必要条件；D为“x－1＞0”成立的必要不充分条件.故选D.
2.BD 由｜a｜＜4可得a的集合是（－4，4），
A.由（－4，4） （－∞，4），所以a＜4是｜a｜＜4成立的一个必要不充分条件；
B.由（－3，3） （－4，4），所以｜a｜＜3是｜a｜＜4成立的一个充分不必要条件；
C.由（－4，4）＝（－4，4），所以－4＜a＜4是｜a｜＜4成立的一个充要条件；
D.由（0，3） （－4，4），所以0＜a＜3是｜a｜＜4成立的一个充分不必要条件.故选B、D.
【例3】 证明：充分性：
若a＋b＝1，
则a2＋b2－a－b＋2ab＝（a＋b）2－（a＋b）＝1－1＝0，即充分性成立.
必要性：
若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则（a＋b）2－（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b－1）＝0.
∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，
即必要性成立.
综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
跟踪训练
证明：先证充分性：
由a＋b＋c＝0可得c＝－a－b，所以ax2＋bx＋c＝0可化为ax2＋bx－a－b＝0，即（x－1）（ax＋a＋b）＝0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
再证必要性：
方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足ax2＋bx＋c＝0，所以a＋b＋c＝0.
综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【例4】 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x｜1－m≤x≤1＋m} {x｜－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}.
母题探究
1.解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A B.
所以或
解得m≥9.
即实数m的取值范围是{m｜m≥9}.
2.解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
若p是q的充要条件，则方程组无解.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
跟踪训练
1.B 由题意得，{x｜x≥2}是{x｜x≥a}的真子集，故a＜2.故选B.
2. 解析：p所对集合为：{x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，q所对集合为：{x｜1≤x≤3}，
因q是p的充分条件，则必有{x｜1≤x≤3} {x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，
于是得解得－≤m≤0，所以实数m的取值范围为－≤m≤0.
随堂检测
1.A 由a2＝b2可得，a＝b或a＝－b，∴“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件.故选A.
2.C a＜0，b＜0 a＋b＜0，反之不成立.
3.AC {x｜x＞2} {x｜x＜3}且{x｜x＜3} {x｜x＞2}，所以A正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；
一元二次方程有实根则Δ≥0，反之亦然，故C正确；
当集合A＝B时，为充要条件，故D不正确.故选A、C.
4.（0，2] 解析：因为q是p的必要不充分条件，所以 0＜a≤2.
4 / 5(共68张PPT)
1.2.3
充分条件、必要条件
新课程标准解读 核心素养
1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件
的关系 数学抽象、逻辑
推理
2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件
的关系 数学抽象、逻辑
推理
3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件
的关系 数学抽象、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，
任意一个开关都能够独立控制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”
开关，如图所示.
【问题】 （1） A 开关闭合时 B 灯一定亮吗？
（2） B 灯亮时 A 开关一定闭合吗？
知识点一 充分条件与必要条件
命题真
假 “如果 p ，那么 q ”是真
命题 “如果 p ，那么 q ”是假命题
推出关
系 p q p q
条件关
系 p 是 q 的 条件，
q 是 p 的 条件 p 不是 q 的 条件， q 不
是 p 的 条件
/
充分
必要
充分
必要
【想一想】
在逻辑推理中 p q 能表达成哪几种说法？
提示：以下5种说法：①“若 p ，则 q ”为真命题；② p 是 q 的充分条
件；③ q 是 p 的必要条件；④ q 的充分条件是 p ；⑤ p 的必要条件是 q .
知识点二 充要条件
如果 ，且 ，就记作 .此时， p 既是 q 的
充分条件，也是 q 的必要条件，我们就说 p 是 q 的 条件，
简称为充要条件.
p q
q p
p q
充分必要
【想一想】
1. 若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题，这种说
法对吗？
提示：正确.若 p 是 q 的充要条件，则 p q ，即 p 等价于 q .
2. “ p 是 q 的充要条件”与“ p 的充要条件是 q ”的区别在哪里？
提示：① p 是 q 的充要条件说明 p 是条件， q 是结论.
② p 的充要条件是 q 说明 q 是条件， p 是结论.
1. “ x ， y ∈Q”是“ xy ∈Q”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 若 x ， y ∈Q，则 xy ∈Q， x ， y ∈Q是 xy ∈Q的充分条
件，反之，若 xy ∈Q，不一定推出 x ， y ∈Q，如当 x ＝ y ＝ 时，
x ， y Q， xy ＝2∈Q. 所以“ x ， y ∈Q”是“ xy ∈Q”的充分不必
要条件.故选A.
2. “－3＜ x ＜4”是“－2＜ x ≤3”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 由“－3＜ x ＜4”不能推出“－2＜ x ≤3”，但是由“－
2＜ x ≤3”能推出“－3＜ x ＜4”，故“－3＜ x ＜4”是“－2＜ x
≤3”的必要不充分条件.故选B.
3. “ x ＝1”是“ x2－2 x ＋1＝0的根”的 条件（填充分不必
要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一个）
解析：因为 x2－2 x ＋1＝0，所以 x ＝1，所以“ x ＝1”是“ x2－2 x
＋1＝0的根”的充要条件.
充要
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 充分、必要、充要条件的判断
【例1】 （1）设 a ∈R，则“ a ＞1”是“ a2＞ a ”的（ A ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：由 a2＞ a 得 a ＞1或 a ＜0，反之，由 a ＞1得 a2＞ a ，则“ a ＞
1”是“ a2＞ a ”的充分不必要条件，故选A.
（2）“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（ B ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成
立.即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不
充分条件.故选B.
（3）“ x ＜2”是“ ＜0”的（ A ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：由 ＜0得 x －2＜0得 x ＜2，即“ x ＜2”是“ ＜0”
的充要条件，故选A.
通性通法
充分、必要、充要条件的判断方法
（1）定义法：若 p q ， q / p ，则 p 是 q 的充分不必要条件；
若 p / q ， q p ，则 p 是 q 的必要不充分条件；
若 p q ， q p ，则 p 是 q 的充要条件；
若 p / q ， q / p ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
（2）集合法：对于集合 A ＝{ x ｜ x 满足条件 p }， B ＝{ x ｜ x 满足条件
q }，具体情况如下：
若 A B ，则 p 是 q 的充分条件；
若 A B ，则 p 是 q 的必要条件；
若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条件；
若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要条件；
若 A B ，则 p 是 q 的必要不充分条件.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝ x2－4 x －2，则“ x ＝3”是“ f （ x ）＝－5”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 显然 f （3）＝－5，但由 x2－4 x －2＝－5可以得出 x
＝3或 x ＝1，所以“ x ＝3”是“ f （ x ）＝－5”的充分不必要
条件.故选A.
2. （多选）下列选项中 p 是 q 的必要条件的是（ ）
A. p ：3 x ＋2＞5， q ：－2 x －3＞－5
B. p ： a ＞2， b ＜2， q ： a ＞ b
C. p ：四边形的两条对角线互相垂直平分， q ：四边形是正方形
D. p ： a ≠0， q ：关于 x 的方程 ax ＝1有唯一解
解析： 对于A， p ：3 x ＋2＞5 x ＞1， q ：－2 x －3＞－5 x
＜1，∴ p 推不出 q ， q 推不出 p ， p 是 q 既不充分也不必要条件；
对于B， p ： a ＞2， b ＜2 q ： a ＞ b ；当 a ＝1， b ＝0时，满足 a ＞
b 但 q 推不出 p ，故 p 是 q 的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正
方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立 “两条对角线互相垂直平分”
成立，故 p 是 q 的必要条件；
对于D， p ： a ≠0 q ：关于 x 的方程 ax ＝1有唯一解，故 p 是 q 的充
分必要条件.故选C、D.
题型二 充分条件、必要条件、充要条件的探求
【例2】 （1）不等式 x （ x －2）＜0成立的一个必要不充分条件是
（ B ）
A. x ∈（0，2） B. x ∈[－1，＋∞）
C. x ∈（0，1） D. x ∈（1，3）
解析：∵ x （ x －2）＜0的解集为（0，2），且（0，2） [－1，＋
∞），∴“ x ∈[－1，＋∞）”是“不等式 x （ x －2）＜0成立”的一
个必要不充分条件.
（2）函数 y ＝ ax2＋2 x ＋1（ a ≠0）的图象与 x 轴的交点，一个在原点
的左侧，一个在原点的右侧的充分不必要条件是（ C ）
A. a ＜0 B. a ＞0
C. a ＜－1 D. a ＞1
解析：∵函数图象一定过（0，1）点，∴函数图象与 x 轴的两个
交点在原点左、右两侧各一个的充要条件为 a ＜0.结合选项知，
充分不必要条件是 a ＜－1.故选C.
（3）在平面直角坐标系中，点（ x ，1－ x ）在第一象限的充要条件
是 .
解析：由题意，可得 x ＞0，且1－ x ＞0，∴0＜ x ＜1.
0＜ x ＜1
通性通法
探求充分条件、必要条件、充要条件问题时，首先应确定
“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通
法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即
得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结
论”的充分不必要条件.
【跟踪训练】
1. “ x －1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A. x ＞1 B. x ＞2
C. x ＜3 D. x ＞0
解析： 因为 x －1＞0 x ＞1，所以A为“ x －1＞0”成立的充要
条件；B为“ x －1＞0”成立的充分不必要条件；C为“ x －1＞0”
成立的既不充分也不必要条件；D为“ x －1＞0”成立的必要不充
分条件.故选D.
2. （多选）使 a ∈R，｜ a ｜＜4成立的充分不必要条件可以是
（ ）
A. a ＜4 B. ｜ a ｜＜3
C. －4＜ a ＜4 D. 0＜ a ＜3
解析： 由｜ a ｜＜4可得 a 的集合是（－4，4），
A. 由（－4，4） （－∞，4），所以 a ＜4是｜ a ｜＜4成立的一个
必要不充分条件；
B. 由（－3，3） （－4，4），所以｜ a ｜＜3是｜ a ｜＜4成立的
一个充分不必要条件；
C. 由（－4，4）＝（－4，4），所以－4＜ a ＜4是｜ a ｜＜4成立的
一个充要条件；
D. 由（0，3） （－4，4），所以0＜ a ＜3是｜ a ｜＜4成立的一个
充分不必要条件.故选B、D.
题型三 充要条件的证明
【例3】 已知 a ＋ b ≠0，证明： a2＋ b2－ a － b ＋2 ab ＝0成立的充要
条件是 a ＋ b ＝1.
证明：充分性：
若 a ＋ b ＝1，则 a2＋ b2－ a － b ＋2 ab ＝（ a ＋ b ）2－（ a ＋ b ）＝1－
1＝0，即充分性成立.
必要性：
若 a2＋ b2－ a － b ＋2 ab ＝0，则（ a ＋ b ）2－（ a ＋ b ）＝（ a ＋
b ）·（ a ＋ b －1）＝0.
∵ a ＋ b ≠0，∴ a ＋ b －1＝0，
即必要性成立.
综上， a2＋ b2－ a － b ＋2 ab ＝0成立的充要条件是 a ＋ b ＝1.
通性通法
充要条件的证明思路
（1）在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要
性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“ p 的充要条
件是 q ”，那么“充分性”是 q p ，“必要性”是 p q ；若证
明“ p 是 q 的充要条件”，则与之相反；
（2）证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆
命题都成立.若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价
转换，然后加以证明.
提醒 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性
的证明方向.
【跟踪训练】
证明：关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个根为1的充要条件是 a ＋ b
＋ c ＝0.
证明：先证充分性：
由 a ＋ b ＋ c ＝0可得 c ＝－ a － b ，所以 ax2＋ bx ＋ c ＝0可化为 ax2＋ bx
－ a － b ＝0，即（ x －1）（ ax ＋ a ＋ b ）＝0，所以方程 ax2＋ bx ＋ c
＝0有一个根为1.
再证必要性：
方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个根为1，所以 x ＝1满足 ax2＋ bx ＋ c ＝0，所
以 a ＋ b ＋ c ＝0.
综上，关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个根为1的充要条件是 a ＋ b
＋ c ＝0.
题型四 利用充分条件、必要条件求参数的范围
【例4】 已知 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0），若
p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
因为 p 是 q 的必要不充分条件，
所以 q 是 p 的充分不必要条件，
即{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m } { x ｜－2≤ x ≤10}，
故有
解得 m ≤3.
又 m ＞0，所以实数 m 的取值范围为{ m ｜0＜ m ≤3}.
【母题探究】
1. （变条件）若本例中“ p 是 q 的必要不充分条件”改为“ p 是 q 的充
分不必要条件”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围.
解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
因为 p 是 q 的充分不必要条件，
设 p 代表的集合为 A ， q 代表的集合为 B ，所以 A B .
所以解得 m ≥9.
即实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥9}.
2. （变设问）本例中 p ， q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条
件？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
解：因为 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
若 p 是 q 的充要条件，则方程组无解.
故不存在实数 m ，使得 p 是 q 的充要条件.
通性通法
充分条件与必要条件的应用技巧
（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求
参数的值或取值范围问题；
（2）求解步骤：先把 p ， q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集
合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
【跟踪训练】
1. “ x ≥ a ”是“ x ≥2”的必要不充分条件，则 a 的取值范围为
（ ）
A. （3，＋∞） B. （－∞，2）
C. （－∞，2] D. [0，＋∞）
解析： 由题意得，{ x ｜ x ≥2}是{ x ｜ x ≥ a }的真子集，故 a ＜2.
故选B.
2. 设 p ： m ＋1≤ x ≤2 m ＋4（ m ∈R）； q ：1≤ x ≤3.若 q 是 p 的充分
条件，则实数 m 的取值范围为 .
解析： p 所对集合为：{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m ＋4（ m ∈R）}， q 所对
集合为：{ x ｜1≤ x ≤3}，
因 q 是 p 的充分条件，则必有{ x ｜1≤ x ≤3} { x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m
＋4（ m ∈R）}，
于是得解得－ ≤ m ≤0，
所以实数 m 的取值范围为－ ≤ m ≤0.
1. 若 a ， b ∈R，则“ a ＝ b ”是“ a2＝ b2”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 由 a2＝ b2可得， a ＝ b 或 a ＝－ b ，∴“ a ＝ b ”是“ a2＝
b2”的充分不必要条件.故选A.
2. a ＜0， b ＜0的一个必要条件为（ ）
A. ＞1 B. ＜－1
C. a ＋ b ＜0 D. a － b ＞0
解析： a ＜0， b ＜0 a ＋ b ＜0，反之不成立.
3. （多选）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A. “ x ＞2”是“ x ＜3”的既不充分也不必要条件
B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条
件
C. 关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有实数根的充要条件是Δ＝
b2－4 ac ≥0
D. 若集合 A B ，则 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分不必要条件
解析： { x ｜ x ＞2} { x ｜ x ＜3}且{ x ｜ x ＜3} { x ｜ x ＞
2}，所以A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一
定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三
角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则
Δ≥0，反之亦然，故C正确；当集合 A ＝ B 时，为充要条件，故
D不正确.故选A、C.
4. 设 p ：0＜ x ＜ a （ a ＞0）， q ： x ＜8－3 a ，若 q 是 p 的必要不充分
条件，则实数 a 的取值范围是 .
解析：因为 q 是 p 的必要不充分条件，
所以 0＜ a ≤2.
（0，2]
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若 a 为实数，则“ a ＜1”是“ ＞1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析： 由 ＞1得0＜ a ＜1，
则“ a ＜1”是“ ＞1”的必要不充分条件，故选B.
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2. 使 x ＞1成立的一个充分条件是（ ）
A. x ＞0 B. x ＞2
C. x ＜0 D. x ＜2
解析： 根据充分条件的定义，由 x ＞2可以得出 x ＞1，B正确；
若 x ＞0，取 x ＝ ，无法得到 x ＞1，A错误；C显然错误；若 x ＜2，
取 x ＝ ，无法得到 x ＞1，D错误.故选B.
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3. 设 x ∈R，则“1＜ x ＜2”是“1＜ x ＜3”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析： “1＜ x ＜2” “1＜ x ＜3”，反之不成立.
∴“1＜ x ＜2”是“1＜ x ＜3”的充分不必要条件.故选B.
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4. 若关于 x 的不等式｜ x －1｜＜ a 成立的充分条件是0＜ x ＜4，则实数
a 的取值范围是（ ）
A. （－∞，1] B. （－∞，1）
C. （3，＋∞） D. [3，＋∞）
解析： ｜ x －1｜＜ a 成立的充分条件是0＜ x ＜4，则 a ＞0，｜ x
－1｜＜ a 1－ a ＜ x ＜1＋ a ，所以 a ≥3.故选D.
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5. （多选）对任意实数 a ， b ， c ，给出下列命题，其中为真命题是
（ ）
A. “ a ＝ b ”是“ ac ＝ bc ”的充要条件
B. “ a ＞ b ”是“ a2＞ b2”的充分条件
C. “ a ＜5”是“ a ＜3”的必要条件
D. “ a ＋5是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件
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解析： 对于A，因为“ a ＝ b ”时 ac ＝ bc 成立， ac ＝ bc ， c ＝
0时， a ＝ b 不一定成立，所以“ a ＝ b ”是“ ac ＝ bc ”的充分不必
要条件，故A错；对于B， a ＝－1， b ＝－2， a ＞ b 时， a2＜ b2； a
＝－2， b ＝1， a2＞ b2时， a ＜ b ，所以“ a ＞ b ”是“ a2＞ b2”的
既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“ a ＜3”时一定有
“ a ＜5”成立，所以“ a ＜5”是“ a ＜3”的必要条件，C正确；
对于D“ a ＋5是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件，D正确.
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6. 王大妈在地摊上因为一时贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了
句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便
宜”的 条件.
解析：“便宜没好货”的另一种理解是“好货不便宜”，而“好货
不便宜”是真命题.
所以“好货” “不便宜”，
所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件.
充分不必要
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7. 设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条
件但不是乙的必要条件，那么丙是甲的 条件.
解析：∵甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要
条件，
∴乙 甲，丙 乙，乙推不出丙，∴丙 甲，且甲不能推出丙，
∴丙是甲的充分不必要条件.
充分不必要
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8. 若“1－ m ＜ x ＋ m ＜2 m ”是“0＜ ＜1”的必要不充分条件，则
实数 m 的取值范围为 .
解析：不等式0＜ ＜1的解集为（－1，1），不等式1－ m ＜ x ＋
m ＜2 m 的解集为（1－2 m ， m ），因为“1－ m ＜ x ＋ m ＜2 m ”是
“0＜ ＜1”的必要不充分条件，所以（－1，1） （1－2 m ，
m ），所以解得 m ＞1，所
以实数 m 的取值范围为（1，＋∞）.
（1，＋∞）
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9. 设全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ m －2＜ x ＜ m ＋2， m ∈R}，集合 B
＝{ x ｜－4＜ x ＜4}.
（1）当 m ＝3时，求 A ∩ B ， A ∪ B ；
解：当 m ＝3时， A ＝{ x ｜1＜ x ＜5}，
∴ A ∩ B ＝{ x ｜1＜ x ＜4}， A ∪ B ＝{ x ｜－4＜ x ＜5}.
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（2）设命题 p ： x ∈ A ，命题 q ： x ∈ B ，若 p 是 q 的充分不必要条
件，求实数 m 的取值范围.
解：若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A 是 B 的真子集，
∴
解得：－2≤ m ≤2，
∴实数 m 的取值范围是[－2，2].
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10. 已知 p ： x ∈[3，4）， x2－ a ≥0，则 p 成立的一个充分不必要条
件可以是（ ）
A. a ＜9 B. a ＞9
C. a ＜16 D. a ＞16
解析： 当 p 真时， a ≤ x2在区间[3，4）上恒成立，所以 a ≤9，
所以 p 成立的一个充分不必要条件可以是 a ＜9.故选A.
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11. （多选）设计如图所示的四个电路图，若 p ：开关S闭合， q ：灯
泡L亮，则 p 是 q 的充要条件的电路图是（ ）
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解析： 由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L
亮开关S不一定闭合，故A中 p 是 q 的充分不必要条件；电路图B
中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B
中 p 是 q 的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，
灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中 p 是 q 的必要不充分条件；电路
图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D
中 p 是 q 的充要条件.故选B、D.
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12. 已知 P ＝{ x ｜1≤ x ≤2}， S ＝{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m }.
（1）是否存在实数 m ，使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充分条件？若存在，求
出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由；
解：要使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充分条件，需使 P S ，即
解得 m ≥1，所以存在实数 m ≥1，使 x ∈ P 是 x
∈ S 的充分条件.
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（2）是否存在实数 m ，使 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件？若存在，求
出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：要使 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件，需使 S P .
当 S ＝ 时，1－ m ＞1＋ m ，解得 m ＜0，满足题意；
当 S ≠ 时，1－ m ≤1＋ m ，解得 m ≥0，要使 S P ，则有
解得 m ≤0，所以 m ＝0.
综上可得，当实数 m ≤0时， x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件.
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13. 若实数 a ， b 满足 a ≥0， b ≥0，且 ab ＝0，则称 a 与 b 互补，记φ
（ a ， b ）＝ － a － b ，那么φ（ a ， b ）＝0是 a 与 b 互补
的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： φ（ a ， b ）＝ － a － b ＝0，得 ＝ a ＋
b ，∴ ab ＝0，故 a ， b 至少有一个为0，
不妨设 a ＝0，由 ＝ a ＋ b 得 ＝ b ，于是 b ≥0，同理可
得 a ≥0，故 a 与 b 互补；
反之若 a 与 b 互补，则 a ≥0， b ≥0且 ab ＝0，
不妨设 a ＝0，则φ（ a ， b ）＝ － a － b ＝ － b ＝ b － b
＝0，即φ（ a ， b ）＝0.
综上：φ（ a ， b ）＝0是 a 与 b 互补的充要条件.故选C.
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14. 已知 a ， b ， c 均为实数，证明“ ac ＜0”是“关于 x 的方程 ax2＋
bx ＋ c ＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明：若 ac ＜0成立，则关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的判别式Δ＝
b2－4 ac ＞0，且两根之积 ＜0，
所以关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一正根和一负根成立，即充分
性成立，
反之，若关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一正根和一负根成立，
则两根之积 ＜0，
所以 ac ＜0成立，即必要性成立，
综上，“ ac ＜0”是“关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一正根和一
负根”的充要条件.
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