一、数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系，在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中.
培优一 集合的基本概念
【例1】 （1）定义集合运算：A*B＝{z｜z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}.若集合A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，则 （A*B）A＝（ ）
A.{0} B.{0，4}
C.{0，6} D.{0，4，6}
（2）已知集合{1，a，2b}＝，则a＋b＝ .
尝试解答
二、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中.
培优二 集合的运算
【例2】 （1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（ ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z}
B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}
D.
（2）已知集合A＝{x｜2≤x＜7}，B＝{x｜3＜x＜10}，C＝{x｜x＜a}.
①求A∪B，（ RA）∩B；
②若A∩C≠ ，求a的取值范围.
尝试解答
三、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题中.
培优三 集合间的关系
【例3】 （1）（多选）已知集合M＝{2，3，4}，集合M N {1，2，3，4，5}，则集合N可以是（ ）
A.{2，3，4} B.{2，3，5}
C.{1，2，3，4} D.{1，2，3，4，5}
（2）已知集合A＝{x｜0＜x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a｜0＜a＜4} B.{a｜－8＜a＜4}
C.{a｜a≥4} D.{a｜a＞4}
（3）已知集合A＝{x｜y＝x2，0≤x≤1}，B＝{y｜y＝x2，0≤x≤1}，那么集合A与集合B的关系是（ ）
A.A∈B B.A∪B＝R
C.A＝B D.A∩B＝
尝试解答
培优四 充分条件与必要条件的判定
【例4】 （1）“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）已知p：x＜m，q：－1≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则m的值可能为 .（填一个满足条件的值即可）
尝试解答
培优五 充分条件与必要条件的探求及应用
【例5】 在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由.
问题：已知集合A＝{x｜x2－4x≤0}，集合B＝{x｜1－a≤x≤1＋a}（a＞0），是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的 ？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
尝试解答
培优六 全称量词命题和存在量词命题及其否定
【例6】 分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
（1）“ x∈[a，＋∞），x2≥1”是真命题；
（2）“ x∈（－∞，a]，x2＝1”是假命题.
尝试解答
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章中，主要表现在集合的实际应用问题中.
培优七 集合的实际应用
【例7】 向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 （1）D （2）2或4或1 解析：（1）因为A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{1，2}，A∪B＝{0，1，2，3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z＝0，1，2，3，4，6，所以A*B＝{0，1，2，3，4，6}，所以 （A*B）A＝{0，4，6}，故选D.
（2）∵{1，a，2b}＝，∴2∈{1，a，2b}，
∴a＝2或2b＝2，即a＝2或b＝1.
当a＝2时，{1，2，2b}＝{2，b2，1}，即b2＝2b，解得b＝0或b＝2，此时a＋b＝2＋0＝2或a＋b＝2＋2＝4，
当b＝1时，{1，a，2}＝，即a＝，解得a＝0，a＋b＝0＋1＝1.
综上a＋b＝2或4或1.
【例2】 （1）A 法一（列举法） M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法） 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
（2）解：①因为A＝{x｜2≤x＜7}，B＝{x｜3＜x＜10}，
所以A∪B＝{x｜2≤x＜10}.
因为A＝{x｜2≤x＜7}，
所以 RA＝{x｜x＜2，或x≥7}，
则（ RA）∩B＝{x｜7≤x＜10}.
②因为A＝{x｜2≤x＜7}，C＝{x｜x＜a}，
且A∩C≠ ，所以a＞2，
所以a的取值范围是{a｜a＞2}.
【例3】 （1）ACD （2）C （3）C 解析：（1）∵M N {1，2，3，4，5}，而M＝{2，3，4}，
∴N＝{2，3，4}或N＝{2，3，4，5}或N＝{1，2，3，4}或N＝{1，2，3，4，5}，故选A、C、D.
（2）在数轴上标出A，B两集合如图所示，
结合数轴知，若A B，则a≥4.故选C.
（3）由题得A＝[0，1]，B＝[0，1]，所以A＝B.故选C.
【例4】 （1）A （2）4（答案不唯一） 解析：（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件.若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件.故选A.
（2）∵p是q的必要不充分条件，∴m＞3.故答案可为4.
【例5】 解：若选①，则A是B的真子集，又A＝[0，4]，
所以1－a≤0且1＋a≥4（两等号不同时取得），
又a＞0解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合M＝{a｜a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4（两等号不同时取得），
又a＞0解得0＜a≤1，
所以存在a，a的取值集合M＝{a｜0＜a≤1}.
若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a＞0，无解，所以不存在满足条件的a.
【例6】 解：（1）当x2≥1时，解得x≥1或x≤－1.又因为“ x∈[a，＋∞），x2≥1”为真命题.故a∈[1，＋∞）.
（2）求解x2＝1可得x＝±1，又“ x∈（－∞，a]，x2＝1”为假命题，故“ x∈（－∞，a]，x2≠1”，故a∈（－∞，－1）.
【例7】 解：赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30＋3＝33，
记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N，设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的人数为＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x，作出维恩图如图所示，依题意可得（30－x）＋（33－x）＋x＋＝50，解得x＝21，所以对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人.
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章末复习与总结
一、数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究
对象的素养.主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模
型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系，在本章中，主要表
现在集合概念的理解及应用中.
培优一 集合的基本概念
【例1】 （1）定义集合运算：A*B＝{ z ｜ z ＝ xy ， x ∈ A ∩ B ， y ∈
A ∪ B }.若集合 A ＝{1，2，3}， B ＝{0，1，2}，则 （A*B） A ＝
（ D ）
A. {0} B. {0，4}
C. {0，6} D. {0，4，6}
解析：因为 A ＝{1，2，3}， B ＝{0，1，2}，
所以 A ∩ B ＝{1，2}， A ∪ B ＝{0，1，2，3}，
所以当 x ∈ A ∩ B ， y ∈ A ∪ B 时， z ＝0，1，2，3，4，6，
所以 A * B ＝{0，1，2，3，4，6}，所以 （ A* B） A ＝{0，4，6}，
故选D.
（2）已知集合{1， a ，2 b }＝ ，则 a ＋ b ＝ .
解析：∵{1， a ，2 b }＝ ，∴2∈{1， a ，2 b }，
∴ a ＝2或2 b ＝2，即 a ＝2或 b ＝1.
当 a ＝2时，{1，2，2 b }＝{2， b2，1}，即 b2＝2 b ，解得 b ＝0
或 b ＝2，此时 a ＋ b ＝2＋0＝2或 a ＋ b ＝2＋2＝4，
当 b ＝1时，{1， a ，2}＝ ，即 a ＝ ，
解得 a ＝0， a ＋ b ＝0＋1＝1.
综上 a ＋ b ＝2或4或1.
2或4或1
二、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决
数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，
探究运算思路，求得运算结果.在本章中，主要表现在集合的交、
并、补运算中.
培优二 集合的运算
【例2】 （1）（2023·全国甲卷1题）设全集 U ＝Z，集合 M ＝{ x ｜ x
＝3 k ＋1， k ∈Z}， N ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋2， k ∈Z}，则 U （ M ∪ N ）＝
（ A ）
A. { x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}
B. { x ｜ x ＝3 k －1， k ∈Z}
C. { x ｜ x ＝3 k －2， k ∈Z}
D.
解析： 法一（列举法） M ＝{…，－2，1，4，7，10，…}， N ＝
{…，－1，2，5，8，11，…}，所以 M ∪ N ＝{…，－2，－1，1，
2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U （ M ∪ N ）＝{…，－3，0，
3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U （ M ∪ N ）＝{ x ｜ x ＝3
k ， k ∈Z}，故选A.
法二（描述法） 集合 M ∪ N 表示被3除余1或2的整数集，则它在整
数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
①求 A ∪ B ，（ R A ）∩ B ；
②若 A ∩ C ≠ ，求 a 的取值范围.
（2）已知集合 A ＝{ x ｜2≤ x ＜7}， B ＝{ x ｜3＜ x ＜10}， C ＝{ x ｜ x
＜ a }.
解：①因为 A ＝{ x ｜2≤ x ＜7}， B ＝{ x ｜3＜ x ＜10}，
所以 A ∪ B ＝{ x ｜2≤ x ＜10}.
因为 A ＝{ x ｜2≤ x ＜7}，
所以 R A ＝{ x ｜ x ＜2，或 x ≥7}，
则（ R A ）∩ B ＝{ x ｜7≤ x ＜10}.
②因为 A ＝{ x ｜2≤ x ＜7}， C ＝{ x ｜ x ＜ a }，
且 A ∩ C ≠ ，所以 a ＞2，
所以 a 的取值范围是{ a ｜ a ＞2}.
三、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的
素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问
题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.本章
主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命
题中.
培优三 集合间的关系
【例3】 （1）（多选）已知集合 M ＝{2，3，4}，集合 M N
{1，2，3，4，5}，则集合 N 可以是（ ACD ）
A. {2，3，4} B. {2，3，5}
C. {1，2，3，4} D. {1，2，3，4，5}
解析：∵ M N {1，2，3，4，5}，而 M ＝{2，3，4}，
∴ N ＝{2，3，4}或 N ＝{2，3，4，5}或 N ＝{1，2，3，4}或 N ＝{1，
2，3，4，5}，故选A、C、D.
（2）已知集合 A ＝{ x ｜0＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x ＜ a }，若 A B ，则
实数 a 的取值范围是（ C ）
A. { a ｜0＜ a ＜4} B. { a ｜－8＜ a ＜4}
C. { a ｜ a ≥4} D. { a ｜ a ＞4}
解析：在数轴上标出 A ， B 两集合如图所示，
结合数轴知，若 A B ，则 a ≥4.故选C.
（3）已知集合 A ＝{ x ｜ y ＝ x2，0≤ x ≤1}， B ＝{ y ｜ y ＝ x2，0≤ x
≤1}，那么集合 A 与集合 B 的关系是（ C ）
A. A ∈ B B. A ∪ B ＝R
C. A ＝ B D. A ∩ B ＝
解析：由题得 A ＝[0，1]， B ＝[0，1]，
所以 A ＝ B . 故选C.
培优四 充分条件与必要条件的判定
【例4】 （1）“ x ＝1”是“ x2－4 x ＋3＝0”的（ A ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：若 x ＝1，则 x2－4 x ＋3＝0，是充分条件.若 x2－4 x ＋3＝0，则 x
＝1或 x ＝3，不是必要条件.故选A.
（2）已知 p ： x ＜ m ， q ：－1≤ x ≤3，若 p 是 q 的必要不充分条
件，则 m 的值可能为 .（填一个满足条件
的值即可）
解析：∵ p 是 q 的必要不充分条件，∴ m ＞3.故答案可为4.
4（答案不唯一）
培优五 充分条件与必要条件的探求及应用
【例5】 在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件，
这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的 a 存在，求 a
的取值集合 M ，若问题中的 a 不存在，说明理由.
问题：已知集合 A ＝{ x ｜ x2－4 x ≤0}，集合 B ＝{ x ｜1－ a ≤ x ≤1＋
a }（ a ＞0），是否存在实数 a ，使得 x ∈ A 是 x ∈ B 成立的 ？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：若选①，则 A 是 B 的真子集，又 A ＝[0，4]，
所以1－ a ≤0且1＋ a ≥4（两等号不同时取得），
又 a ＞0解得 a ≥3，所以存在 a ， a 的取值集合 M ＝{ a ｜ a ≥3}.
若选②，则 B 是 A 的真子集，
所以1－ a ≥0且1＋ a ≤4（两等号不同时取得），
又 a ＞0解得0＜ a ≤1，
所以存在 a ， a 的取值集合 M ＝{ a ｜0＜ a ≤1}.
若选③，则 A ＝ B ，所以1－ a ＝0且1＋ a ＝4，
又 a ＞0，无解，所以不存在满足条件的 a .
培优六 全称量词命题和存在量词命题及其否定
【例6】 分别求满足下列条件的实数 a 的取值范围：
（1）“ x ∈[ a ，＋∞）， x2≥1”是真命题；
解：当 x2≥1时，解得 x ≥1或 x ≤－1.又因为“ x ∈[ a ，
＋∞）， x2≥1”为真命题.故 a ∈[1，＋∞）.
（2）“ x ∈（－∞， a ]， x2＝1”是假命题.
解：求解 x2＝1可得 x ＝±1，又“ x ∈（－∞， a ]， x2＝1”为假命题，故“ x ∈（－∞， a ]， x2≠1”，故 a ∈（－∞，－1）.
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用
数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在发现和提出问题，建
立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章中，主要
表现在集合的实际应用问题中.
培优七 集合的实际应用
【例7】 向50名学生调查对 A ， B 两事件的态度，有如下结果：赞成
A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成 B 的比赞成 A 的多3
人，其余的不赞成；另外，对 A ， B 都不赞成的学生数比对 A ， B 都
赞成的学生数的三分之一多1人.问对 A ， B 都赞成的学生和都不赞成
的学生各有多少人？
解：赞成 A 的人数为50× ＝30，赞成 B 的人数为30
＋3＝33，记50名学生组成的集合为 U ，赞成事件
A 的学生全体为集合 M ，赞成事件 B 的学生全体为集合 N ，设对事件 A ， B 都赞成的学生人数为 x ，则对 A ， B 都不赞成的人数为 ＋1，赞成 A 而不赞成 B 的人数为30－ x ，赞成 B 而不赞成 A 的人数为33－ x ，作出维恩图如图所示，依题意可得（30－ x ）＋（33－ x ）＋ x ＋ ＝50，解得 x ＝21，所以对 A ， B 都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人.
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