章末检测（一） 集合与常用逻辑用语
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x｜x2≤1}，则A∩B＝（ ）
A.{－1，0，1} B.{0，1}
C.{－1，1} D.{0，1，2}
2.命题“ x∈R，｜x｜＋x2≥1”的否定是（ ）
A. x∈R，｜x｜＋x2＜1 B. x∈R，｜x｜＋x2≤1
C. x∈R，｜x｜＋x2＜1 D. x∈R，｜x｜＋x2≥1
3.已知全集U＝R，设集合A＝{x｜x≥1}，集合B＝{x｜x≥2}，则A∩（ UB）＝（ ）
A.{x｜1≤x≤2} B.{x｜1＜x＜2}
C.{x｜1＜x≤2} D.{x｜1≤x＜2}
4.“x2＋｜y｜＝0”是“xy＝0”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知集合A＝{x｜x＜a}，B＝{x｜x＜2}，且A∪（ RB）＝R，则a满足（ ）
A.{a｜a≥2} B.{a｜a＞2}
C.{a｜a＜2} D.{a｜a≤2}
6.定义集合运算：A*B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}.设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的所有元素之和为（ ）
A.0 B.2
C.3 D.6
7.定义集合运算A B＝{x｜x＝a×b，a∈A，b∈B}，设A＝{0，1}，B＝{3，4，5}，则集合A B的真子集个数为（ ）
A.16 B.15
C.14 D.8
8.命题“ 1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A.a≥4 B.a≥3
C.a≤4 D.a≤3
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.在下列命题中，真命题的是（ ）
A. x∈R，x2＋x＋3＝0 B. x∈Q，x2＋x＋1是有理数
C. x，y∈Z，使3x－2y＝10 D. x∈R，x2＞｜x｜
10.一元二次方程ax2＋4x＋3＝0（a≠0）有实根的充分不必要条件可以是（ ）
A.a＜0 B.0＜a＜
C.a≤ D.a≤且a≠0
11.集合M＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，P＝{y｜y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z｜z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系表述正确的有（ ）
A.S P B.S M
C.M S D.P S
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.某班同学参加数学、物理竞赛，有15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，其中两个竞赛都参加的有5名.这两个竞赛中，这个班共有 名学生参赛.
13.已知p：x＜2m－1或x＞－m，q：x＜2或x≥4，若p是q的必要条件，则实数的取值范围是 .
14.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a，b}有 种不同的分拆.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知p： x∈R，m＜x2－1，q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若p，q都是真命题，求实数m的取值范围.
16.（本小题满分15分）求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
17.（本小题满分15分）设全集为R，A＝{x｜x＜9}，B＝{x｜x＞3}.
（1）求A∩（ RB）和（ RA）∩B；
（2）若集合M＝{x｜m＜x＜1＋2m}，且M （A∩B），求实数m的取值范围.
18.（本小题满分17分）设集合A＝{x｜－1≤x≤2}，非空集合B＝{x｜2m＜x＜1}.
（1）若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若B∩（ RA）的元素中只有一个整数，求实数m的取值范围.
19.（本小题满分17分）设集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}，C＝{x｜x＞m－2}.
（1）求A∪B；
（2）若 ，求实数m的取值范围.
请从①A C，②A∩C≠ ，③C RA这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
章末检测（一） 集合与常用逻辑用语
1.A 由题设，B＝{x｜－1≤x≤1}，而A＝{－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1}.故选A
2.C 由全称量词命题的否定可知，命题“ x∈R，｜x｜＋x2≥1”的否定是“ x∈R，｜x｜＋x2＜1”.故选C.
3.D ∵B＝{x｜x≥2}，∴ UB＝{x｜x＜2}.
又A＝{x｜x≥1}，∴A∩（ UB）＝{x｜1≤x＜2}.
4.A x2＋｜y｜＝0 x＝y＝0，xy＝0 x＝0或y＝0，所以“x2＋｜y｜＝0”是“xy＝0”的充分不必要条件.故选A.
5.A RB＝{x｜x≥2}，则由A∪（ RB）＝R，得a≥2，故选A.
6.D 依题意，A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D.
7.B A＝{0，1}，B＝{3，4，5}，A B＝{x｜x＝a×b，a∈A，b∈B}＝{0，3，4，5}，其真子集个数为24－1＝15.故选B.
8.B 因为命题“ 1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以 1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，
结合选项，命题是真命题的一个必要不充分条件是a≥3，故选B.
9.BC A中，x2＋x＋3＝0有Δ＝1－12＝－11＜0，所以方程无实数解，假命题.
B中，对于 x∈Q，x2，x，1都是有理数，故它们的和也为有理数，真命题.
C中，当x＝4，y＝1时有3x－2y＝10，真命题.
D中，当x＝时，有x2＜｜x｜，假命题.故选B、C.
10.AB 若方程ax2＋4x＋3＝0（a≠0）有实根，
则解得a≤且a≠0，
则一元二次方程ax2＋4x＋3＝0（a≠0）有实根的充要条件是a≤且a≠0.因此它有实根的充分不必要条件应为（－∞，0）∪的真子集，结合选项知A、B正确，C、D错误，故选A、B.
11.AB M表示奇数的集合，而6m＋1为奇数，故S M，故B正确.取9∈M，但9 S，故C错误.因为6m＋1＝3×2m＋1，故6m＋1∈P，故S P，A正确.取10∈P，但10 S，故D错误.故选A、B.
12.21 解析：因为15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，两个竞赛都参加的有5名，所以只参加了数学竞赛的有10名同学，只参加了物理竞赛的有6名同学，则参加这两个竞赛的同学共有10＋6＋5＝21名.
13. 解析：设A＝{x｜x＜2m－1或x＞－m}，B＝{x｜x＜2或x≥4}，若p是q的必要条件，则B A：
（1）当2m－1＞－m时，即m＞时，A＝R，B A成立；
（2）当2m－1≤－m时，即m≤，若B A，此时无解.
综上：m＞.
14.9 解析：集合A＝{a，b}的子集有 ，{a}，{b}，{a，b}，对A1分四种情况分析：
（1）当A1＝ 时，则A2＝{a，b}，有1种分拆；
（2）当A1＝{a}时，则A2可为{b}，{a，b}，有2种分拆；
（3）当A1＝{b}时，则A2可为{a}，{a，b}，有2种分拆；
（4）当A1＝{a，b}时，则A2可为 ，{a}，{b}，{a，b}，有4种分拆.故共有9种.
15.解：由x∈R得x2－1≥－1，
若p： x∈R，m＜x2－1为真命题，则m＜－1.
若q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
所以4＋4（m＋1）≥0，即m≥－2.
又因为p，q都是真命题，所以
所以－2≤m＜－1.所以实数m的取值范围为[－2，－1）.
16.证明：充分性：
∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，
方程x2＋mx＋1＝0有实根，设x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2，
由x1x2＝1＞0，∴x1，x2同号，
又x1＋x2＝－m≤－2，
∴x1，x2同为负根.
必要性：
∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2＝1，
∴m－2＝－（x1＋x2）－2＝－－2
＝－＝－≥0，
∴m≥2.命题得证.
17.解：（1）由题知， RB＝{x｜x≤3}， RA＝{x｜x≥9}，
∴A∩（ RB）＝{x｜x≤3}，（ RA）∩B＝{x｜x≥9}.
（2）A∩B＝{x｜3＜x＜9}，
若M＝ ，则m≥1＋2m，解得m≤－1，符合M （A∩B）；
若M≠ ，又M （A∩B），则有解得3≤m≤4，综上：实数m的取值范围为m≤－1或3≤m≤4.
18.解：（1）由“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，得B A，
∵B≠ ，
∴2m＜1，解得m＜，∵A＝{x｜－1≤x≤2}，
∴2m≥－1，解得－≤m＜，
综上所述，实数m的取值范围为.
（2）∵A＝{x｜－1≤x≤2}，∴ RA＝{x｜x＜－1或x＞2}，B＝{x｜2m＜x＜1}，
若B∩（ RA）中只有一个整数，则元素必然是－2，
∴－3≤2m＜－2，则－≤m＜－1，
综上所述，实数m的取值范围为.
19.解：（1）∵集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}，
∴A∪B＝{x｜x≥1}∪{x｜－1＜x＜3}＝{x｜x＞－1}.
（2）若选①A C，∴m－2≤－1，即m≤1，
∴实数m的取值范围是{m｜m≤1}.
若选②A∩C≠ ，∴m－2＜3，即m＜5，
∴实数m的取值范围是{m｜m＜5}.
若选③C RA，∵ RA＝{x｜x≤－1或x≥3}，
∴m－2≥3，即m≥5，
∴实数m的取值范围是{m｜m≥5}.
2 / 2(共28张PPT)
章末检测（一）
集合与常用逻辑用语
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 A ＝{－1，0，1，2}， B ＝{ x ｜ x2≤1}，则 A ∩ B ＝
（ ）
A. {－1，0，1} B. {0，1}
C. {－1，1} D. {0，1，2}
解析： 由题设， B ＝{ x ｜－1≤ x ≤1}，而 A ＝{－1，0，1，
2}，∴ A ∩ B ＝{－1，0，1}.故选A
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2. 命题“ x ∈R，｜ x ｜＋ x2≥1”的否定是（ ）
A. x ∈R，｜ x ｜＋ x2＜1
B. x ∈R，｜ x ｜＋ x2≤1
C. x ∈R，｜ x ｜＋ x2＜1
D. x ∈R，｜ x ｜＋ x2≥1
解析： 由全称量词命题的否定可知，命题“ x ∈R，｜ x ｜＋
x2≥1”的否定是“ x ∈R，｜ x ｜＋ x2＜1”.故选C.
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3. 已知全集 U ＝R，设集合 A ＝{ x ｜ x ≥1}，集合 B ＝{ x ｜ x ≥2}，则
A ∩（ UB ）＝（ ）
A. { x ｜1≤ x ≤2} B. { x ｜1＜ x ＜2}
C. { x ｜1＜ x ≤2} D. { x ｜1≤ x ＜2}
解析： ∵ B ＝{ x ｜ x ≥2}，∴ UB ＝{ x ｜ x ＜2}.
又 A ＝{ x ｜ x ≥1}，∴ A ∩（ UB ）＝{ x ｜1≤ x ＜2}.
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4. “ x2＋｜ y ｜＝0”是“ xy ＝0”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： x2＋｜ y ｜＝0 x ＝ y ＝0， xy ＝0 x ＝0或 y ＝0，所以
“ x2＋｜ y ｜＝0”是“ xy ＝0”的充分不必要条件.故选A.
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5. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＜ a }， B ＝{ x ｜ x ＜2}，且 A ∪（ R B ）＝R，
则 a 满足（ ）
A. { a ｜ a ≥2} B. { a ｜ a ＞2}
C. { a ｜ a ＜2} D. { a ｜ a ≤2}
解析： R B ＝{ x ｜ x ≥2}，则由 A ∪（ R B ）＝R，得 a ≥2，故
选A.
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6. 定义集合运算：A*B＝{ z ｜ z ＝ xy ， x ∈ A ， y ∈ B }.设 A ＝{1，2}，
B ＝{0，2}，则集合A*B中的所有元素之和为（ ）
A. 0 B. 2
C. 3 D. 6
解析： 依题意， A * B ＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，
故选D.
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7. 定义集合运算 A B ＝{ x ｜ x ＝ a × b ， a ∈ A ， b ∈ B }，设 A ＝
{0，1}， B ＝{3，4，5}，则集合 A B 的真子集个数为（ ）
A. 16 B. 15
C. 14 D. 8
解析： A ＝{0，1}， B ＝{3，4，5}， A B ＝{ x ｜ x ＝ a × b ， a
∈ A ， b ∈ B }＝{0，3，4，5}，其真子集个数为24－1＝15.故选B.
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8. 命题“ 1≤ x ≤2， x2－ a ≤0”为真命题的一个必要不充分条件是
（ ）
A. a ≥4 B. a ≥3
C. a ≤4 D. a ≤3
解析： 因为命题“ 1≤ x ≤2， x2－ a ≤0”是真命题，所以 1≤
x ≤2， a ≥ x2恒成立，所以 a ≥4，结合选项，命题是真命题的一个
必要不充分条件是 a ≥3，故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的
得部分分，有选错的得0分）
9. 在下列命题中，真命题的是（ ）
A. x ∈R， x2＋ x ＋3＝0
C. x ， y ∈Z，使3 x －2 y ＝10
D. x ∈R， x2＞｜ x ｜
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解析： A中， x2＋ x ＋3＝0有Δ＝1－12＝－11＜0，所以方程无
实数解，假命题.
B中，对于 x ∈Q， x2， x ，1都是有理数，故它们的和也为有理
数，真命题.
C中，当 x ＝4， y ＝1时有3 x －2 y ＝10，真命题.
D中，当 x ＝ 时，有 x2＜｜ x ｜，假命题.故选B、C.
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10. 一元二次方程 ax2＋4 x ＋3＝0（ a ≠0）有实根的充分不必要条件可
以是（ ）
A. a ＜0
解析：AB 若方程 ax2＋4 x ＋3＝0（ a ≠0）有实根，
则
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解得 a ≤ 且 a ≠0，
则一元二次方程 ax2＋4 x ＋3＝0（ a ≠0）有实根的充要条件是 a ≤
且 a ≠0.因此它有实根的充分不必要条件应为（－∞，0）∪
的真子集，结合选项知A、B正确，C、D错误，故选A、B.
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11. 集合 M ＝{ x ｜ x ＝2 k －1， k ∈Z}， P ＝{ y ｜ y ＝3 n ＋1， n
∈Z}， S ＝{ z ｜ z ＝6 m ＋1， m ∈Z}之间的关系表述正确的有
（ ）
A. S P B. S M
C. M S D. P S
解析： M 表示奇数的集合，而6 m ＋1为奇数，故 S
M ，故B正确.取9∈ M ，但9 S ，故C错误.因为6 m ＋1＝3×2 m
＋1，故6 m ＋1∈ P ，故 S P ，A正确.取10∈ P ，但10 S ，
故D错误.故选A、B.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 某班同学参加数学、物理竞赛，有15名同学参加了数学竞赛，11
名同学参加了物理竞赛，其中两个竞赛都参加的有5名.这两个竞赛
中，这个班共有 名学生参赛.
解析：因为15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞
赛，两个竞赛都参加的有5名，所以只参加了数学竞赛的有10名同
学，只参加了物理竞赛的有6名同学，则参加这两个竞赛的同学共
有10＋6＋5＝21名.
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13. 已知 p ： x ＜2 m －1或 x ＞－ m ， q ： x ＜2或 x ≥4，若 p 是 q 的必要
条件，则实数的取值范围是 .
解析：设 A ＝{ x ｜ x ＜2 m －1或 x ＞－ m }， B ＝{ x ｜ x ＜2或 x
≥4}，若 p 是 q 的必要条件，则 B A ：
（1）当2 m －1＞－ m 时，即 m ＞ 时， A ＝R， B A 成立；
（2）当2 m －1≤－ m 时，即 m ≤ ，若 B A ，此时
无解.综上： m ＞ .
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14. 若集合 A1， A2满足 A1∪ A2＝ A ，则称（ A1， A2）为集合 A 的一种
分拆，并规定：当且仅当 A1＝ A2时，（ A1， A2）与（ A2， A1）为
集合 A 的同一种分拆，则集合 A ＝{ a ， b }有 种不同的分拆.
解析：集合 A ＝{ a ， b }的子集有 ，{ a }，{ b }，{ a ， b }，对 A1
分四种情况分析：
（1）当 A1＝ 时，则 A2＝{ a ， b }，有1种分拆；
（2）当 A1＝{ a }时，则 A2可为{ b }，{ a ， b }，有2种分拆；
（3）当 A1＝{ b }时，则 A2可为{ a }，{ a ， b }，有2种分拆；
（4）当 A1＝{ a ， b }时，则 A2可为 ，{ a }，{ b }，{ a ， b }，有4
种分拆.故共有9种.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知 p ： x ∈R， m ＜ x2－1， q ： x ∈R， x2
＋2 x － m －1＝0，若 p ， q 都是真命题，求实数 m 的取值范围.
解：由 x ∈R得 x2－1≥－1，
若 p ： x ∈R， m ＜ x2－1为真命题，则 m ＜－1.
若 q ： x ∈R， x2＋2 x － m －1＝0为真，则方程 x2＋2 x － m －1＝0
有实根，所以4＋4（ m ＋1）≥0，即 m ≥－2.
又因为 p ， q 都是真命题，所以
所以－2≤ m ＜－1.所以实数 m 的取值范围为[－2，－1）.
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16. （本小题满分15分）求证：关于 x 的方程 x2＋ mx ＋1＝0有两个负
实根的充要条件是 m ≥2.
证明：充分性：
∵ m ≥2，∴Δ＝ m2－4≥0，方程 x2＋ mx ＋1＝0有实根，设 x2＋ mx
＋1＝0的两根为 x1， x2，由 x1 x2＝1＞0，∴ x1， x2同号，又 x1＋ x2
＝－ m ≤－2，∴ x1， x2同为负根.
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必要性：
∵ x2＋ mx ＋1＝0的两个实根 x1， x2均为负，且 x1 x2＝1，∴ m －2
＝－（ x1＋ x2）－2＝－ －2
＝－ ＝－ ≥0，
∴ m ≥2.命题得证.
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17. （本小题满分15分）设全集为R， A ＝{ x ｜ x ＜9}， B ＝{ x ｜ x ＞
3}.
（1）求 A ∩（ R B ）和（ R A ）∩ B ；
解：由题知， R B ＝{ x ｜ x ≤3}， R A ＝{ x ｜ x ≥9}，
∴ A ∩（ R B ）＝{ x ｜ x ≤3}，（ R A ）∩ B ＝{ x ｜ x ≥9}.
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（2）若集合 M ＝{ x ｜ m ＜ x ＜1＋2 m }，且 M （ A ∩ B ），求实
数 m 的取值范围.
解：A ∩ B ＝{ x ｜3＜ x ＜9}，
若 M ＝ ，则 m ≥1＋2 m ，解得 m ≤－1，符合 M （ A ∩
B ）；
若 M ≠ ，又 M （ A ∩ B ），
则有解得3≤ m ≤4，
综上：实数 m 的取值范围为 m ≤－1或3≤ m ≤4.
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18. （本小题满分17分）设集合 A ＝{ x ｜－1≤ x ≤2}，非空集合 B ＝
{ x ｜2 m ＜ x ＜1}.
（1）若“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”成立的必要条件，求实数 m 的取值
范围；
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解：由“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”成立的必要条件，得 B A ，
∵ B ≠ ，∴2 m ＜1，
解得 m ＜ ，
∵ A ＝{ x ｜－1≤ x ≤2}，∴2 m ≥－1，
解得－ ≤ m ＜ ，
综上所述，实数 m 的取值范围为 .
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（2）若 B ∩（ R A ）的元素中只有一个整数，求实数 m 的取
值范围.
解：∵ A ＝{ x ｜－1≤ x ≤2}，
∴ R A ＝{ x ｜ x ＜－1或 x ＞2}， B ＝{ x ｜2 m ＜ x ＜1}，
若 B ∩（ R A ）中只有一个整数，则元素必然是－2，
∴－3≤2 m ＜－2，则－ ≤ m ＜－1，
综上所述，实数 m 的取值范围为 .
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19. （本小题满分17分）设集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x
≥1}， C ＝{ x ｜ x ＞ m －2}.
（1）求 A ∪ B ；
解：∵集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x ≥1}，
∴ A ∪ B ＝{ x ｜ x ≥1}∪{ x ｜－1＜ x ＜3}＝{ x ｜ x ＞－1}.
（2）若 ，求实数 m 的取值范围.
请从① A C ，② A ∩ C ≠ ，③ C R A 这三个条件中选一
个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：若选① A C ，∴ m －2≤－1，即 m ≤1，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≤1}.
若选② A ∩ C ≠ ，∴ m －2＜3，即 m ＜5，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ＜5}.
若选③ C R A ，∵ R A ＝{ x ｜ x ≤－1或 x ≥3}，
∴ m －2≥3，即 m ≥5，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥5}.
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