2.1.1 等式的性质与方程的解集
1.若多项式x2－3x＋a可分解为（x－5）（x－b），则a，b的值是（ ）
A.a＝10，b＝2 B.a＝10，b＝－2
C.a＝－10，b＝－2 D.a＝－10，b＝2
2.（a＋b）2＋8（a＋b）－20分解因式得（ ）
A.（a＋b＋10）（a＋b－2）
B.（a＋b＋5）（a＋b－4）
C.（a＋b＋2）（a＋b－10）
D.（a＋b＋4）（a＋b－5）
3.小明在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，那么这个常数应是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）
A.（a＋2b）（a－b）＝a2＋ab－2b2
B.a2－b2＝（a＋b）（a－b）
C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
D.（a－b）2＝a2－2ab＋b2
5.（多选）若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（ ）
A.－ B.－
C. D.
6.已知x＋1是多项式x2－mx＋3的一个因式，则m＝ .
7.关于x的方程（2x＋3）（2x4－x2－6）＝0的解集为 .
8.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若a＝2，b＝3，则小正方形的面积是 .
9.用因式分解法求下列方程的解集：
（1）x2－10x＋9＝0；
（2）2（x－3）＝3x（x－3）；
（3）4（3x－2）（x＋1）＝3x＋3；
（4）2（2x－3）2－3（2x－3）＝0；
（5）2x2－16＝x2＋5x＋8；
（6）（3x－1）2＋3（3x－1）＋2＝0.
10.（多选）设A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，B＝{x｜ax＋1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（ ）
A.－ B.0
C.3 D.－
11.一般情况下，＋＝不成立，但也有数可以使它成立，如m＝n＝0.使得＋＝成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）.若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为 .
12.设a，b∈R，求关于x的方程a2x＝x＋ab－b的解集.
13.小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a－b，a＋b，a2－b2，c－d，c＋d，c2－d2依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将（a2－b2）c2－（a2－b2）d2因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）
A.勤学 B.爱科学
C.我爱理科 D.我爱科学
14.如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n.（以上长度单位：cm）
（1）用含m，n的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，将代数式2m2＋5mn＋2n2因式分解；
（3）若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求（m＋n）2的值.
2.1.1 等式的性质与方程的解集
1.C 因为（x－5）（x－b）＝x2－（5＋b）x＋5b，
所以即
2.A （a＋b）2＋8（a＋b）－20＝ [（a＋b）－2][（a＋b）＋10]＝（a＋b－2）（a＋b＋10）.
3.D 设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故选D.
4.B 图甲中阴影部分的面积为a2－b2，图乙中阴影部分面积为（a＋b）（a－b），因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2－b2＝（a＋b）（a－b）.故选B.
5.BD 由x2＋xy－2y2＝0得（x＋2y）（x－y）＝0，得x＝－2y或x＝y，
当x＝－2y时，＝＝－；
当x＝y时，＝＝.故选B、D.
6.－4 解析：由题意，x＋1是多项式x2－mx＋3的一个因式，故x＝－1是方程x2－mx＋3＝0的一个根，代入可得（－1）2＋m＋3＝0，∴m＝－4.
7. 解析：（2x＋3）（2x4－x2－6）＝0可化为（2x＋3）（2x2＋3）（x2－2）＝0，
∵2x2＋3＞0，∴（2x＋3）（x2－2）＝0，解得x1＝－，x2＝，x3＝－
所以方程（2x＋3）（2x4－x2－6）＝0的解集为{－，，－}.
8.1 解析：设小正方形边长为x，由勾股定理得：（2＋x）2＋（3＋x）2＝（2＋3）2，解得：x＝1，故小正方形的面积为1×1＝1.
9.解：（1）原方程可化为（x－1）（x－9）＝0，所以x＝1或x＝9，
所以该方程的解集为{1，9}.
（2）原方程整理，得（x－3）（2－3x）＝0，
所以x－3＝0或2－3x＝0，
所以x＝3或x＝，
所以该方程的解集为.
（3）原方程可化为4（3x－2）（x＋1）－3（x＋1）＝0，
即（x＋1）（12x－11）＝0，所以x＝－1或x＝，
所以该方程的解集为.
（4）原方程可化为（2x－3）[2（2x－3）－3]＝0，
即（2x－3）（4x－9）＝0，所以x＝或x＝，
所以该方程的解集为.
（5）原方程可化为2x2－x2－5x－16－8＝0，
x2－5x－24＝0，（x－8）（x＋3）＝0，
所以x＝8或x＝－3，
所以该方程的解集为{8，－3}.
（6）原方程可化为[（3x－1）＋1][（3x－1）＋2]＝0，
即3x（3x＋1）＝0，所以x＝0或x＝－，
所以该方程的解集为.
10.ABD ∵A∩B＝B，∴B A，A＝{x｜x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，
当a＝0时，B＝ ，符合题意；
当a≠0时，B＝ ，
要使B A，则－＝3或－＝5，解得a＝－或a＝－.
综上，a＝0或a＝－或a＝－.故选A、B、D.
11.－ 解析：由题意，得＋＝，解得x＝－.
12.解：方程a2x＝x＋ab－b可化为（a2－1）x＝（a－1）b，
当a≠±1时，解集为；
当a＝1，b∈R时，解集为R；
当a＝－1，b＝0时，解集为R；
当a＝－1，b≠0时，解集为 .
13.C ∵（a2－b2）c2－（a2－b2）d2＝（a2－b2）（c2－d2）＝（a＋b）（a－b）（c＋d）（c－d），a－b，a＋b，c－d，c＋d四个代数式分别对应科、爱、我、理，∴结果呈现的密码信息可能是“我爱理科”.故选C.
14.解：（1）题图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为2（m＋2n）＋2（2m＋n）＝6m＋6n＝6（m＋n）.
（2）2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为（m＋2n）（2m＋n）.
（3）依题意得，2m2＋2n2＝58，mn＝10，∴m2＋n2＝29.
∵（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2，∴（m＋n）2＝29＋20＝49.
2 / 22.1.1 等式的性质与方程的解集
新课程标准解读 核心素养
掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程 数学抽象、数学运算
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5x－2＝2x－2.等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，等式两边同时除以x，得5＝2”.老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑.
【问题】 你认为狐狸的说法正确吗？
知识点 等式的性质与方程的解
1.等式的性质
（1）等式的两边同时加上 数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以同一个 的数或代数式，等式仍成立.
提醒 等式的性质拓展：①a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4 a1＝a2＝a3＝a4；②a＝b c－a＝c－b；③a＝b －a＝－b；④a＝b≠0 ＝.
2.恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取 时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式 .
提醒 常用重要恒等式：①a2－b2＝（a＋b）（a－b）；②（a±b）2＝a2±2ab＋b2；③a3±b3＝（a±b）·（a2 ab＋b2）；④（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
3.方程的解集
一般地，把一个方程 组成的集合称为这个方程的解集.
【想一想】
1.若ac＝bc，一定有a＝b吗？
2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解（根）吗？
1.已知3x＝7y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2.若m（3x－y2）＝9x2－y4，则m＝ .
3.方程x2＋2x－15＝0的解集为 .
题型一 等式性质的应用
【例1】 已知x＝y， 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正确的有（ ）
A.①②③ B.④⑤⑥
C.①③⑤ D.②④⑥
尝试解答
通性通法
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件.
【跟踪训练】
下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A.如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B.如果a2＝6a，那么a＝6
C.如果a＝b，那么＝
D.如果＝，那么a＝b
题型二 恒等式的化简
角度1 利用恒等式化简
【例2】 计算下列各式：
（1）（4＋m）（16－4m＋m2）；
（2）（a＋2）（a－2）（a4＋4a2＋16）；
（3）（x＋1）（x－1）（x2－x＋1）（x2＋x＋1）；
（4）（x2＋2xy＋y2）（x2－xy＋y2）2.
尝试解答
通性通法
1.在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.
2.注意乘法公式的正用、逆用及变形应用.
角度2 十字相乘法分解因式
【例3】 把下列各式因式分解：
（1）6x2＋11x－7；
（2）x＋5－6y（x＞0，y＞0）；
（3）（x＋y）2－z（x＋y）－6z2.
尝试解答
通性通法
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成（a1x＋c1）（a2x＋c2）.
【跟踪训练】
1.计算下列各式：
（1）（x－3y－4z）2；
（2）（2a＋1－b）2－（a－b）（a＋2b）；
（3）（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a＋b）3；
（4）（a－4b）.
2.因式分解：x3＋6x2＋11x＋6.
题型三 求方程的解集
角度1 求一元一次方程的解集
【例4】 求下列方程的解集：
（1）4－3（10－y）＝5y；
（2）＝－1.
尝试解答
通性通法
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤.
（1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数.注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数；
（2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号.
角度2 因式分解法解一元二次方程
【例5】 求下列方程的解集：
（1）x（x＋2）＝2x＋4；
（2）16（x－5）2－9（x＋4）2＝0.
尝试解答
通性通法
因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的积；
（3）令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解.
【跟踪训练】
1.若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A.1或4 B.－1或－4
C.－1或4 D.1或－4
2.关于x的方程a2x＋1＝b2－x的解集为 .
1.计算（3a－2b）2的结果为（ ）
A.9a2＋4b2 B.9a2＋6ab＋4b2
C.9a2－12ab＋4b2 D.9a2－4b2
2.方程－1＝的解集为（ ）
A.－1 B.{－1}
C.8 D.{8}
3.已知关于x的方程＝＋1的解集为 ，则实数a的值为（ ）
A.0 B.1
C. D.
4.（多选）下列式子中变形正确的是（ ）
A.若3x－1＝2x＋1，则x＝0
B.若＝，则a＝b
C.若＝，则＝
D.若＝，则y＝x
5.已知x－2y＝6，x－3y＝4，则x2－5xy＋6y2的值为 .
2.1.1 等式的性质与方程的解集
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）同一个 （2）不为零 2.任意实数 两边恒等 3.所有解
想一想
1.提示：不一定，当c≠0时，若ac＝bc，则a＝b.
2.提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根.
自我诊断
1.B 因为3x＝7y（y≠0），则x≠0，则＝，＝，故B选项正确，A、C、D选项错误.故选B.
2.3x＋y2
3.{3，－5} 解析：x2＋2x－15＝0，即（x－3）（x＋5）＝0，所以x＝3或x＝－5.所以方程的解集为{3，－5}.
【典型例题·精研析】
【例1】 C ①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤＝正确，故选C.
跟踪训练
D 选项A，当c≠0时，显然不成立；
选项B，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，显然不成立；
选项C，当c＝0时，＝无意义，不成立；
选项D，如果＝，则c≠0，故×c＝×c，即a＝b，成立.故选D.
【例2】 解：（1）原式＝43＋m3＝64＋m3.
（2）原式＝（a2－4）（a4＋4a2＋16）＝（a2）3－43＝a6－64.
（3）法一 原式＝（x2－1）[（x2＋1）2－x2]＝（x2－1）·（x4＋x2＋1）＝x6－1.
法二 原式＝（x＋1）（x2－x＋1）（x－1）（x2＋x＋1）＝（x3＋1）·（x3－1）＝x6－1.
（4）原式＝（x＋y）2（x2－xy＋y2）2＝[（x＋y）（x2－xy＋y2）]2＝（x3＋y3）2＝x6＋2x3y3＋y6.
【例3】 解：（1）由十字相乘法，得：
所以6x2＋11x－7＝（2x－1）（3x＋7）.
（2）原式＝（＋6）（－）.
（3）原式＝（x＋y＋2z）（x＋y－3z）.
跟踪训练
1.解：（1）原式＝x2＋9y2＋16z2－6xy－8xz＋24yz.
（2）原式＝4a2＋1＋b2＋4a－4ab－2b－（a2＋ab－2b2）＝3a2－5ab＋3b2＋4a－2b＋1.
（3）原式＝a3＋b3－（a3＋3a2b＋3ab2＋b3）＝－3a2b－3ab2.
（4）原式＝（a－4b）（a2＋4ab＋16b2）＝[a3－（4b）3]＝a3－16b3.
2.解：法一 x3＋6x2＋11x＋6
＝（x3＋3x2）＋（3x2＋9x）＋（2x＋6）
＝x2（x＋3）＋3x（x＋3）＋2（x＋3）
＝（x＋3）（x2＋3x＋2）＝（x＋3）（x＋1）（x＋2）.
法二 x3＋6x2＋11x＋6＝（x3＋3x2）＋（3x2＋11x＋6）①
＝x2（x＋3）＋（x＋3）（3x＋2）＝（x＋3）（x2＋3x＋2）
＝（x＋3）（x＋1）（x＋2）.①可用十字相乘法分解因式
3×3＋2×1＝11.
【例4】 解：（1）去括号，得4－30＋3y＝5y.
移项，得3y－5y＝30－4.
合并同类项，得－2y＝26.
系数化为1，得y＝－13.
所以该方程的解集为{－13}.
（2）去分母，得2（2x－1）＝（2x＋1）－6.
去括号，得4x－2＝2x＋1－6.
移项，得4x－2x＝1－6＋2.
合并同类项，得2x＝－3.
系数化为1，得x＝－.
所以该方程的解集为.
【例5】 解：（1）原方程可变形为x（x＋2）＝2（x＋2），即 （x－2）（x＋2）＝0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2，2}.
（2）利用平方差，将原方程变为[4（x－5）＋3（x＋4）]·[4（x－5）－3（x＋4）]＝0，
整理可得（7x－8）（x－32）＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝或x＝32，
故原方程的解集为.
跟踪训练
1.B ∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，∴（a＋1）（a＋4）＝0， 解得a＝－1或a＝－4.
2. 解析：由a2x＋1＝b2－x （a2＋1）x＝b2－1，
解得x＝.
随堂检测
1.C 由完全平方公式得，原式＝9a2－12ab＋4b2.
2.B 由题得3（3x－1）－12＝2（5x－7），所以9x－15＝10x－14，解得x＝－1.故选B.
3.C 由＝＋1，得x＝1，因为关于x的方程＝＋1的解集为 ，所以－＝0，得a＝，故选C.
4.CD 对于A选项，两边同时减（2x－1），得到x＝2，故A不正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a（a≠0），得到＝.故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确.故选C、D.
5.24 解析：∵x－2y＝6，x－3y＝4，∴原式＝（x－2y）（x－3y）＝24.
4 / 4(共65张PPT)
2.1.1
等式的性质与方程的解集
新课程标准解读 核心素养
掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法
解一元二次方程 数学抽象、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，
狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5 x －2＝2 x －2.
等式两边同时加上2，得5 x －2＋2＝2 x －2＋2，即5 x ＝2 x ，等式两边
同时除以 x ，得5＝2”.老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑.
【问题】 你认为狐狸的说法正确吗？
知识点 等式的性质与方程的解
1. 等式的性质
（1）等式的两边同时加上 数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以同一个 的数或代数式，等式
仍成立.
提醒 等式的性质拓展：① a1＝ a2， a2＝ a3， a3＝ a4 a1＝ a2
＝ a3＝ a4；② a ＝ b c － a ＝ c － b ；③ a ＝ b － a ＝－ b ；
④ a ＝ b ≠0 ＝ .
同一个
不为零
2. 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取 时等式
都成立，则称其为恒等式，也称等式 .
提醒 常用重要恒等式：① a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）；②（ a
± b ）2＝ a2±2 ab ＋ b2；③ a3± b3＝（ a ± b ）（ a2 ab ＋ b2）；④
（ a ＋ b ＋ c ）2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ＋2 ac ＋2 bc .
3. 方程的解集
一般地，把一个方程 组成的集合称为这个方程的解集.
任意实数
两边恒等
所有解
【想一想】
1. 若 ac ＝ bc ，一定有 a ＝ b 吗？
提示：不一定，当 c ≠0时，若 ac ＝ bc ，则 a ＝ b .
2. 把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解
（根）吗？
提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的
根，也可能是这个方程的增根.
1. 已知3 x ＝7 y （ y ≠0），则下列比例式成立的是（ ）
解析： 因为3 x ＝7 y （ y ≠0），则 x ≠0，则 ＝ ＝ ，故B
选项正确，A、C、D选项错误.故选B.
2. 若 m （3 x － y2）＝9 x2－ y4，则 m ＝ .
3. 方程 x2＋2 x －15＝0的解集为 .
解析： x2＋2 x －15＝0，
即（ x －3）（ x ＋5）＝0，
所以 x ＝3或 x ＝－5.
所以方程的解集为{3，－5}.
3 x ＋ y2
{3，－5}
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等式性质的应用
【例1】 已知 x ＝ y ， 则下列各式：① x －3＝ y －3；②4 x ＝6 y ；③
－2 x ＝－2 y ；④ ＝1；⑤ ＝ ；⑥ ＝ .其中正确的有
（ C ）
A. ①②③ B. ④⑤⑥
C. ①③⑤ D. ②④⑥
解析： ① x －3＝ y －3；③－2 x ＝－2 y ；⑤ ＝ 正确，故选C.
通性通法
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘
以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的
条件.
【跟踪训练】
下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A. 如果 a ＝ b ，那么 a ＋ c ＝ b － c
B. 如果 a2＝6 a ，那么 a ＝6
解析： 选项A，当 c ≠0时，显然不成立；
选项B，如果 a2＝6 a ，那么 a ＝6或 a ＝0，显然不成立；
选项C，当 c ＝0时， ＝ 无意义，不成立；
选项D，如果 ＝ ，则 c ≠0，故 × c ＝ × c ，即 a ＝ b ，成立.故选D.
题型二 恒等式的化简
角度1 利用恒等式化简
【例2】 计算下列各式：
（1）（4＋ m ）（16－4 m ＋ m2）；
（2）（ a ＋2）（ a －2）（ a4＋4 a2＋16）；
解：原式＝43＋ m3＝64＋ m3.
解：原式＝（ a2－4）（ a4＋4 a2＋16）＝（ a2）3－43＝ a6－64.
（3）（ x ＋1）（ x －1）（ x2－ x ＋1）（ x2＋ x ＋1）；
（4）（ x2＋2 xy ＋ y2）（ x2－ xy ＋ y2）2.
解：法一 原式＝（ x2－1）[（ x2＋1）2－ x2]＝（ x2－1）·（ x4＋ x2＋1）＝ x6－1.
法二 原式＝（ x ＋1）（ x2－ x ＋1）（ x －1）（ x2＋ x ＋1）＝（ x3＋1）·（ x3－1）＝ x6－1.
解：原式＝（ x ＋ y ）2（ x2－ xy ＋ y2）2＝[（ x ＋ y ）（ x2－ xy ＋
y2）]2＝（ x3＋ y3）2＝ x6＋2 x3 y3＋ y6.
通性通法
1. 在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公
式的结构.
2. 注意乘法公式的正用、逆用及变形应用.
角度2 十字相乘法分解因式
【例3】 把下列各式因式分解：
（1）6 x2＋11 x －7；
解：由十字相乘法，得：
所以6 x2＋11 x －7＝（2 x －1）（3 x ＋7）.
（2） x ＋5 －6 y （ x ＞0， y ＞0）；
解：原式＝（ ＋6 － ）.
（3）（ x ＋ y ）2－ z （ x ＋ y ）－6 z2.
解：原式＝（ x ＋ y ＋2 z ）（ x ＋ y －3 z ）.
通性通法
对于 ax2＋ bx ＋ c ，将二次项的系数 a 分解成 a1× a2，常数项 c 分解
成 c1× c2，并且把 a1， a2， c1， c2排列如图： ，按斜线交叉相
乘，再相加，就得到 a1 c2＋ a2 c1，如果它正好等于 ax2＋ bx ＋ c 的一次
项系数 b ，那么 ax2＋ bx ＋ c 就可以分解成（ a1 x ＋ c1）（ a2 x ＋ c2）.
【跟踪训练】
1. 计算下列各式：
（1）（ x －3 y －4 z ）2；
解：原式＝ x2＋9 y2＋16 z2－6 xy －8 xz ＋24 yz .
（2）（2 a ＋1－ b ）2－（ a － b ）（ a ＋2 b ）；
解：原式＝4 a2＋1＋ b2＋4 a －4 ab －2 b －（ a2＋ ab －2
b2）＝3 a2－5 ab ＋3 b2＋4 a －2 b ＋1.
（3）（ a ＋ b ）（ a2－ ab ＋ b2）－（ a ＋ b ）3；
解：原式＝ a3＋ b3－（ a3＋3 a2 b ＋3 ab2＋ b3）＝－3 a2 b－3 ab2.
（4）（ a －4 b ） .
解：原式＝ （ a －4 b ）（ a2＋4 ab ＋16 b2）＝ [ a3－（4 b ）3]＝ a3－16 b3.
2. 因式分解： x3＋6 x2＋11 x ＋6.
解：法一 x3＋6 x2＋11 x ＋6
＝（ x3＋3 x2）＋（3 x2＋9 x ）＋（2 x ＋6）
＝ x2（ x ＋3）＋3 x （ x ＋3）＋2（ x ＋3）
＝（ x ＋3）（ x2＋3 x ＋2）
＝（ x ＋3）（ x ＋1）（ x ＋2）.
法二 x3＋6 x2＋11 x ＋6
＝（ x3＋3 x2）＋（3 x2＋11 x ＋6）①
＝ x2（ x ＋3）＋（ x ＋3）（3 x ＋2）
＝（ x ＋3）（ x2＋3 x ＋2）
＝（ x ＋3）（ x ＋1）（ x ＋2）.
①可用十字相乘法分解因式
3×3＋2×1＝11.
题型三 求方程的解集
角度1 求一元一次方程的解集
【例4】 求下列方程的解集：
（1）4－3（10－ y ）＝5 y ；
解：去括号，得4－30＋3 y ＝5 y .
移项，得3 y －5 y ＝30－4.
合并同类项，得－2 y ＝26.
系数化为1，得 y ＝－13.
所以该方程的解集为{－13}.
（2） ＝ －1.
解：去分母，得2（2 x －1）＝（2 x ＋1）－6.
去括号，得4 x －2＝2 x ＋1－6.
移项，得4 x －2 x ＝1－6＋2.
合并同类项，得2 x ＝－3.
系数化为1，得 x ＝－ .
所以该方程的解集为 .
通性通法
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的
形式灵活安排求解步骤.
（1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数.注意根据分数的
基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数；
（2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数
及符号.
角度2 因式分解法解一元二次方程
【例5】 求下列方程的解集：
（1） x （ x ＋2）＝2 x ＋4；
解：原方程可变形为 x （ x ＋2）＝2（ x ＋2），即 （ x －2）·（ x ＋2）＝0，
从而 x ＋2＝0或 x －2＝0，所以 x ＝－2或 x ＝2，方程的解集为
{－2，2}.
（2）16（ x －5）2－9（ x ＋4）2＝0.
解：利用平方差，将原方程变为[4（ x －5）＋3（ x ＋4）]·[4（ x －5）－3（ x ＋4）]＝0，
整理可得（7 x －8）（ x －32）＝0，所以7 x －8＝0或 x －32＝
0，所以 x ＝ 或 x ＝32，
故原方程的解集为 .
通性通法
因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的积；
（3）令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解.
【跟踪训练】
1. 若 x ＝－2是关于 x 的一元二次方程 x2－ ax ＋ a2＝0的一个根，则 a
的值为（ ）
A. 1或4 B. －1或－4
C. －1或4 D. 1或－4
解析： ∵ x ＝－2是关于 x 的一元二次方程 x2－ ax ＋ a2＝0的一
个根，∴4＋5 a ＋ a2＝0，
∴（ a ＋1）（ a ＋4）＝0，
解得 a ＝－1或 a ＝－4.
2. 关于 x 的方程 a2 x ＋1＝ b2－ x 的解集为 .
解析：由 a2 x ＋1＝ b2－ x （ a2＋1） x ＝ b2－1，
解得 x ＝ .
1. 计算（3 a －2 b ）2的结果为（ ）
A. 9 a2＋4 b2
B. 9 a2＋6 ab ＋4 b2
C. 9 a2－12 ab ＋4 b2
D. 9 a2－4 b2
解析： 由完全平方公式得，原式＝9 a2－12 ab ＋4 b2.
2. 方程 －1＝ 的解集为（ ）
A. －1 B. {－1}
C. 8 D. {8}
解析： 由题得3（3 x －1）－12＝2（5 x －7），所以9 x －15＝10
x －14，解得 x ＝－1.故选B.
3. 已知关于 x 的方程 ＝ ＋1的解集为 ，则实数 a 的值为（ ）
A. 0 B. 1
解析： 由 ＝ ＋1，得 x ＝1，因为关于 x 的方程 ＝
＋1的解集为 ，所以 － ＝0，得 a ＝ ，故选C.
4. （多选）下列式子中变形正确的是（ ）
A. 若3 x －1＝2 x ＋1，则 x ＝0
解析： 对于A选项，两边同时减（2 x －1），得到 x ＝2，故A
不正确；对于B选项，没有说明 c ≠0，故B不正确；对于C选项，在
等式两边同时乘以 a （ a ≠0），得到 ＝ .故C正确；对于D选项，
在等式两边同时乘以5得到 y ＝ x ，故D正确.故选C、D.
5. 已知 x －2 y ＝6， x －3 y ＝4，则 x2－5 xy ＋6 y2的值为 .
解析：∵ x －2 y ＝6， x －3 y ＝4，∴原式＝（ x －2 y ）·（ x －3 y ）
＝24.
24
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若多项式 x2－3 x ＋ a 可分解为（ x －5）（ x － b ），则 a ， b 的值是
（ ）
A. a ＝10， b ＝2 B. a ＝10， b ＝－2
C. a ＝－10， b ＝－2 D. a ＝－10， b ＝2
解析： 因为（ x －5）（ x － b ）＝ x2－（5＋ b ） x ＋5 b ，
所以
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2. （ a ＋ b ）2＋8（ a ＋ b ）－20分解因式得（ ）
A. （ a ＋ b ＋10）（ a ＋ b －2）
B. （ a ＋ b ＋5）（ a ＋ b －4）
C. （ a ＋ b ＋2）（ a ＋ b －10）
D. （ a ＋ b ＋4）（ a ＋ b －5）
解析： （ a ＋ b ）2＋8（ a ＋ b ）－20＝ [（ a ＋ b ）－2][（ a ＋
b ）＋10]＝（ a ＋ b －2）（ a ＋ b ＋10）.
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3. 小明在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被
污染的方程是2 y －1＝ y －●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书
后的答案，此方程的解是 y ＝－3，那么这个常数应是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 设所缺的部分为 x ，则2 y －1＝ y － x ，把 y ＝－3代入，
求得 x ＝4.故选D.
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4. 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（ a ＞ b ）（如
图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个
图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）
A. （ a ＋2 b ）（ a － b ）＝ a2＋ ab －2 b2
B. a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）
C. （ a ＋ b ）2＝ a2＋2 ab ＋ b2
D. （ a － b ）2＝ a2－2 ab ＋ b2
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解析： 图甲中阴影部分的面积为 a2－ b2，图乙中阴影部分面积
为（ a ＋ b ）（ a － b ），因为两个图形中阴影部分的面积相等，所
以 a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）.故选B.
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5. （多选）若 x2＋ xy －2 y2＝0，则 的值可以为（ ）
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解析： 由 x2＋ xy －2 y2＝0得（ x ＋2 y ）（ x － y ）＝0，得 x ＝
－2 y 或 x ＝ y ，
当 x ＝－2 y 时， ＝ ＝－ ；
当 x ＝ y 时， ＝ ＝ .故选B、D.
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6. 已知 x ＋1是多项式 x2－ mx ＋3的一个因式，则 m ＝ .
解析：由题意， x ＋1是多项式 x2－ mx ＋3的一个因式，故 x ＝－1是
方程 x2－ mx ＋3＝0的一个根，代入可得（－1）2＋ m ＋3＝0，∴ m
＝－4.
－4
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7. 关于 x 的方程（2 x ＋3）（2 x4－ x2－6）＝0的解集为 .
解析：（2 x ＋3）（2 x4－ x2－6）＝0可化为（2 x ＋3）·（2 x2＋3）
（ x2－2）＝0，∵2 x2＋3＞0，∴（2 x ＋3）·（ x2－2）＝0，解得 x1
＝－ ， x2＝ ， x3＝－ 所以方程（2 x ＋3）（2 x4－ x2－6）＝
0的解集为 .
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8. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股
形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割
方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若 a ＝
2， b ＝3，则小正方形的面积是 .
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解析：设小正方形边长为 x ，由勾股定理得：（2＋ x ）2＋（3＋ x ）2＝（2＋3）2，解得： x ＝1，故小正方形的面积为1×1＝1.
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9. 用因式分解法求下列方程的解集：
（1） x2－10 x ＋9＝0；
解：原方程可化为（ x －1）（ x －9）＝0，所以 x ＝1或
x ＝9，所以该方程的解集为{1，9}.
（2）2（ x －3）＝3 x （ x －3）；
解：原方程整理，得（ x －3）（2－3 x ）＝0，
所以 x －3＝0或2－3 x ＝0，所以 x ＝3或 x ＝ ，
所以该方程的解集为 .
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（3）4（3 x －2）（ x ＋1）＝3 x ＋3；
解：原方程可化为4（3 x －2）（ x ＋1）－3（ x ＋1）＝0，
即（ x ＋1）（12 x －11）＝0，所以 x ＝－1或 x ＝ ，
所以该方程的解集为 .
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（4）2（2 x －3）2－3（2 x －3）＝0；
解：原方程可化为（2 x －3）[2（2 x －3）－3]＝0，
即（2 x －3）（4 x －9）＝0，所以 x ＝ 或 x ＝ ，
所以该方程的解集为 .
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（5）2 x2－16＝ x2＋5 x ＋8；
解：原方程可化为2 x2－ x2－5 x －16－8＝0，
x2－5 x －24＝0，（ x －8）（ x ＋3）＝0，
所以 x ＝8或 x ＝－3，
所以该方程的解集为{8，－3}.
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（6）（3 x －1）2＋3（3 x －1）＋2＝0.
解：原方程可化为[（3 x －1）＋1][（3 x －1）＋2]＝0，
即3 x （3 x ＋1）＝0，所以 x ＝0或 x ＝－ ，
所以该方程的解集为 .
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10. （多选）设 A ＝{ x ｜ x2－8 x ＋15＝0}， B ＝{ x ｜ ax ＋1＝0}，若 A
∩ B ＝ B ，则实数 a 的值可以为（ ）
B. 0
C. 3
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解析： ∵ A ∩ B ＝ B ，∴ B A ， A ＝{ x ｜ x2－8 x ＋15＝0}
＝{3，5}，当 a ＝0时， B ＝ ，符合题意；当 a ≠0时， B ＝
，要使 B A ，则－ ＝3或－ ＝5，解得 a ＝－ 或 a ＝－ .
综上， a ＝0或 a ＝－ 或 a ＝－ .故选A、B、D.
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11. 一般情况下， ＋ ＝ 不成立，但也有数可以使它成立，如
m ＝ n ＝0.使得 ＋ ＝ 成立的一对数 m 、 n 我们称为“相伴
数对”，记为（ m ， n ）.若（ x ，1）是“相伴数对”，则 x 的值
为 .
解析：由题意，得 ＋ ＝ ，解得 x ＝－ .
－
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12. 设 a ， b ∈R，求关于 x 的方程 a2 x ＝ x ＋ ab － b 的解集.
解：方程 a2 x ＝ x ＋ ab － b 可化为（ a2－1） x ＝（ a －1） b ，
当 a ≠±1时，解集为 ；
当 a ＝1， b ∈R时，解集为R；
当 a ＝－1， b ＝0时，解集为R；
当 a ＝－1， b ≠0时，解集为 .
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13. 小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： a －
b ， a ＋ b ， a2－ b2， c － d ， c ＋ d ， c2－ d2依次对应下列六个字：
科、爱、勤、我、理、学，现将（ a2－ b2） c2－（ a2－ b2） d2因式
分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 勤学 B. 爱科学
C. 我爱理科 D. 我爱科学
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解析： ∵（ a2－ b2） c2－（ a2－ b2） d2＝（ a2－ b2）·（ c2－
d2）＝（ a ＋ b ）（ a － b ）（ c ＋ d ）（ c － d ）， a － b ， a ＋ b ，
c － d ， c ＋ d 四个代数式分别对应科、爱、我、理，∴结果呈现的
密码信息可能是“我爱理科”.故选C.
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14. 如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是
边长都为 m 的大正方形，两块是边长都为 n 的小正方形，五块是长
为 m ，宽为 n 的全等小长方形，且 m ＞ n .（以上长度单位：cm）
（1）用含 m ， n 的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长
度之和；
解：题图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为2（ m ＋2 n ）＋2（2 m ＋ n ）＝6 m ＋6 n ＝6（ m ＋ n ）.
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（2）观察图形，将代数式2 m2＋5 mn ＋2 n2因式分解；
解：2 m2＋5 mn ＋2 n2可以因式分解为
（ m ＋2 n ）·（2 m ＋ n ）.
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（3）若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58
cm2，试求（ m ＋ n ）2的值.
解：依题意得，2 m2＋2 n2＝58， mn ＝
10，∴ m2＋ n2＝29.
∵（ m ＋ n ）2＝ m2＋2 mn ＋ n2，∴（ m ＋
n ）2＝29＋20＝49.
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谢 谢 观 看！
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