2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
1.一元二次方程x2＝3x的解集是（ ）
A.{0} B.{3}
C.{－3} D.{0，3}
2.若a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2 024的值是（ ）
A.2 025 B.2 026
C.2 027 D.2 028
3.方程＝解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ）
A.{1} B.{2}
C.{3} D.{4}
4.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋a＝0的两个实数根，且＋＝12，则a的值是（ ）
A.a＝3
B.a＝－2
C.a＝3或a＝－2
D.a＝－3或a＝2
5.（多选）方程（x2－4）＝0的解可以是（ ）
A.x＝－2 B.x＝－
C.x＝ D.x＝2
6.若关于x的一元二次方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，则实数m＝ .
7.若m＋n＝3，m2＋n2＝5，则以实数m、n为根的一个一元二次方程是 .
8.已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有实数根，并且两根的平方和比两根之积大21，则实数m的值为 .
9.已知关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2满足＋＝11，求k的值.
10.设m∈R，若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分不必要条件，则实数m的值为（ ）
A.－ B.1
C.－或1 D.－1或
11.集合{x｜（a－2）x2＋3x－1＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则a＝ .
12.在学习解一元二次方程之后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们也可通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如：方程：x2－3｜x｜＋2＝0.
其解法为：设｜x｜＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0（y≥0）.
解得：y1＝1，y2＝2.
当y＝1时，｜x｜＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，｜x｜＝2，∴x＝±2.
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“换元法”.
请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4－10x2＋9＝0；
（2）若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值.
13.已知一元二次方程mx2－2x＋m＋3＝0有两个正实根，则实数m的取值范围是 .
14.已知关于x的方程x2－（2k＋1）x＋4＝0.
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
1.D ∵x2＝3x，∴x2－3x＝0，∴x（x－3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，故选D.
2.D 因为a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，
所以a2＋a－3＝0，a＋b＝－1，
两式相减，得a2－b＝4，所以a2－b＋2 024＝4＋2 024＝2 028. 故选D.
3.A 由题意可知x≠－1且x≠0，则原方程可化为x＝，得x2－2x－m＝0，
由题意可得Δ＝4＋4m＝0，解得m＝－1，故原方程为x2－2x＋1＝0，解得x＝1.故选A.
4.B 由题意得Δ＝（2a）2－4（a2＋a）≥0且解得a≤0，
又＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－2a）2－2（a2＋a）＝12，解得a＝－2或a＝3（舍）.故选B.
5.CD 由题意，方程（x2－4）＝0，则x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝，
又由2x－1≥0，解得x≥，
所以方程（x2－4）＝0的解为x＝2或x＝.故选C、D.
6.10 解析：因为一元二次方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，所以3×＋m×－8＝0，解得m＝10.
7.x2－3x＋2＝0（答案不唯一） 解析：因为m＋n＝3，所以（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2＝9，因为m2＋n2＝5，所以mn＝2，根据两根之和为3，两根之积为2，故可以写出实数m、n为根的一个一元二次方程为x2－3x＋2＝0.
8.－1 解析：设方程的两个实数根为x1，x2，
则x1＋x2＝2（2－m），x1x2＝m2＋4，
根据这两个实数根的平方和比两个根的积大21，
即＋－x1x2＝（x1＋x2）2－3x1x2＝4（2－m）2－3（m2＋4）＝21，解得m＝17或m＝－1，
另由根的判别式可得Δ＝4（m－2）2－4（m2＋4）＝－16m≥0，故m≤0，所以m＝－1.
9.解：（1）因为关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有实数根.
所以Δ≥0，
即[－（2k－1）]2－4×1×（k2＋k－1）＝－8k＋5≥0，
解得k≤.
所以k的取值范围为.
（2）由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
所以＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（2k－1）2－2（k2＋k－1）＝2k2－6k＋3.
因为＋＝11，所以2k2－6k＋3＝11，即k2－3k－4＝0，
解得k＝4或k＝－1，
因为k≤，所以k＝－1.
10.A 由题意可知，x＝2是m2x2－（m＋3）x＋4＝0的解，但不是唯一的解，
因此4m2－2（m＋3）＋4＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，x＝2是x2－4x＋4＝0唯一的解，故不满足题意；
当m＝－时， 则x2－x＋4＝0，即x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝8，满足题意.综上所述，m＝－.故选A.
11.2或－ 解析：∵集合{x｜（a－2）x2＋3x－1＝0，x∈R}有且仅有两个子集，
∴方程（a－2）x2＋3x－1＝0只有一个根，
∴当a＝2时，x＝，成立；
当a≠2时，Δ＝9＋4（a－2）＝0即a＝－，方程只有一个根，
∴a＝2或a＝－.
12.解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0（a≥0），
即（a－1）（a－9）＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.
∴原方程的解集是{1，－1，3，－3}.
（2）设x＋＝y，
则原方程可化为y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，
∴（y＋1）（y－4）＝0，
解得：y＝－1或y＝4，
即x＋＝－1（方程无解，舍去）或x＋＝4，
故x＋＝4.
13.0＜m≤ 解析：设两个正实数根分别为x1，x2，
则 0＜m≤.
14.解：（1）证明：∵Δ＝（2k＋1）2－16＝4k2－12k＋9＝（2k－3）2≥0，
所以无论k取何值，关于x的方程x2－（2k＋1）x＋4＝0总有实数根.
（2）△ABC为等腰三角形，可能有两种情况：
①b或c中至少有一个等于a＝4，即：方程x2－（2k＋1）x＋4＝0有一根为4，
则42－4（2k＋1）＋4＝10－4k＝0，解得k＝.
方程为x2－6x＋8＝0，另一根为2，此时△ABC周长为a＋b＋c＝10；
②b＝c时，Δ＝（2k＋1）2－16＝4k2－12k＋9＝（2k－3）2＝0，解得k＝，
方程为x2－4x＋4＝0，得b＝c＝2，则b＋c＝a，此时不能构成三角形.
综上，△ABC的周长为10.
2 / 22.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
新课程标准解读 核心素养
1.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数 数学运算
2.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围 数学运算
今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚会，邻居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄.小芳说：我是最小的，我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁.小明说：我们中较大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和.张叔叔说：“我可以算出小芳的年龄了”.
【问题】 张叔叔是怎样算出小芳年龄的？
知识点一 一元二次方程的解集
一般地，Δ＝ 称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式.
（1）当Δ＞0时，方程的解集为 ；
（2）当Δ＝0时，方程的解集为 ；
（3）当Δ＜0时，方程的解集为 .
【想一想】
对于方程ax2＋bx＋c＝0，Δ＞0时一定有两不相等的解吗？
知识点二 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集不是空集，设x1，x2是该一元二次方程的两个根，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
提醒 一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根为前提条件的.利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才有意义，所以求得的参数的值要代入Δ＝b2－4ac来验证.
1.方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
2.已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则＋的值为（ ）
A.－1 B.
C.－ D.1
3.若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 .
题型一 一元二次方程解集的求法
角度1 直接开平方法
【例1】 用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：
（1）4y2－25＝0；
（2）3x2－x＝15－x.
尝试解答
通性通法
应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤
（1）化为x2＝p（p≥0）的形式；
（2）直接开平方；
（3）解两个一元一次方程，写出方程的两个根；
（4）总结写成解集的形式.
角度2 配方法
【例2】 用配方法求下列方程的解集：
（1）x2＋4x－1＝0；
（2）4x2＋8x＋1＝0.
尝试解答
通性通法
利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解（若另一边为负数，则此方程无实数根）.
角度3 公式法
【例3】 用公式法求下列方程的解集：
（1）x2－4x＋10＝0；
（2）x2＋x＋＝0.
尝试解答
通性通法
利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集.
【跟踪训练】
求下列方程的解集：
（1）2x2＋5x＝3；
（2）2x4－7x2＋3＝0；
（3）＋－1＝0.
题型二 一元二次方程根的判别式
【例4】 不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况：
（1）3x2－2x－1＝0；
（2）2x2－x＋1＝0；
（3）4x－x2＝x2＋2.
尝试解答
通性通法
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.
【跟踪训练】
1.不解方程，判断关于x的方程2x2－（2m＋1）x＋（m2＋1）＝0的解集情况是（ ）
A. B.非空集
C.单元素集合 D.二元集
2.若关于x的方程ax2＋2（a＋1）x＋4＝0的解集为单元素集合，则（ ）
A.a＝0 B.a＝1
C.a＝0或a＝1 D.a≠0且a≠1
题型三 一元二次方程根与系数的关系
角度1 直接应用根与系数的关系进行计算
【例5】 （链接教科书第52页例2）已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
（1）＋；（2）＋.
尝试解答
通性通法
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值.
常见变形还有：
（1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；
（2）｜x1－x2｜＝＝.
角度2 求字母系数的值或范围
【例6】 已知关于x的方程x2－（k＋1）x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值.
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根x1，x2，满足｜x1｜＝x2.
尝试解答
通性通法
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.
【跟踪训练】
1.若关于x的方程x2－6x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则＋＝（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
2.若a，b为实数，关于x的方程ax2＋abx＋b＝0的解集为{－1，3}，则a＋b＝ .
1.方程4（1－x）2＝1的解集是（ ）
A. B.
C. D.
2.下列一元二次方程中，解集为空集的是（ ）
A.x2－2x＝0
B.x2＋4x－1＝0
C.2x2－4x＋3＝0
D.3x2＝5x－2
3.关于x的方程x2－（m＋6）x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是（ ）
A.－2或3 B.3
C.－2 D.－3或2
4.（多选）关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是（ ）
A.当m＝0时，方程只有一个实数根
B.当m＝1时，方程有两个相等的实数根
C.当m＝－1时，方程没有实数根
D.当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
5.已知α，β是关于x的方程x2－2mx＋m2－4＝0（m∈R）的两个根，则｜α－β｜＝ .
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【基础知识·重落实】
知识点一
b2－4ac （1）
（2） （3）
想一想
提示：不一定.
知识点二
－
自我诊断
1.A ∵Δ＝（－5）2－4×2×3＝1＞0，∴方程2x2－5x＋3＝0有两个不相等的实数根.故选A.
2.C 因为m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，所以m＋n＝，mn＝－1，所以＋＝＝＝－.故选C.
3.（－∞，4] 解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）移项，得4y2＝25.
两边都除以4，得y2＝.
解得y1＝，y2＝－，
所以原一元二次方程的解集是.
（2）移项，合并同类项，得3x2＝15.
两边都除以3，得x2＝5，
解得x1＝，x2＝－.
所以原一元二次方程的解集是{，－}.
【例2】 解：（1）∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴（x＋2）2＝5，
∴x＝－2±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}.
（2）移项，得4x2＋8x＝－1.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－，
配方，得x2＋2x＋12＝12－，即（x＋1）2＝.
∴x＋1＝±.
∴x1＝－1＋，x2＝－1－，
∴原一元二次方程的解集是.
【例3】 解：（1）∵a＝1，b＝－4，c＝10，
Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×10＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
∴原一元二次方程的解集是{2＋，2－}.
（2）方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.
∵a＝4，b＝4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴x＝＝－，∴x1＝x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
跟踪训练
解：（1）法一（配方法） 2x2＋5x＝3，则2＝3＋2×＝，即＝，解得x1＝－＋＝，x2＝－－＝－3.
∴方程2x2＋5x＝3的解集是.
法二（公式法） 原方程可化为2x2＋5x－3＝0.
∵a＝2，b＝5，c＝－3，
Δ＝b2－4ac＝25＋24＝49，
∴x＝＝，∴x1＝－3，x2＝.
∴方程2x2＋5x＝3的解集是.
（2）2x4－7x2＋3＝0可化为（x2－3）（2x2－1）＝0，
解得x2＝3或x2＝，故x＝、－、、－，
方程2x4－7x2＋3＝0的解集为.
（3）＋－1＝0可化为2＋x－x2＝0（x≠0），
即（x－2）（x＋1）＝0，解得x＝2或－1，
方程＋－1＝0的解集为{－1，2}.
【例4】 解：（1）∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素.
（2）∵Δ＝（－1）2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集.
（3）方程整理为x2－2x＋1＝0， ∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素.
跟踪训练
1.A 由判别式Δ＝（2m＋1）2－8（m2＋1）＝－4m2＋4m－7＝－（2m－1）2－6＜0，得方程的解集为空集.故选A.
2.C a＝0时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条件；
a≠0时，原方程为一元二次方程，当判别式Δ＝0时，方程有一个解，此时，Δ＝4（a＋1）2－4×4a＝0，解得a＝1，所以当原方程的解集为单元素集合时，a＝0或a＝1，选项C正确.故选C.
【例5】 解：根据一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
（1）＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－3）2－2×（－1）＝11.
（2）＋＝＝＝3.
【例6】 解：Δ＝[－（k＋1）]2－4×＝2k－3，Δ≥0，k≥.
（1）设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，
k2＝16，k＝4或k＝－4（舍去）.
（2）①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝.
方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝＞0满足.
②若x1＜0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.
方程为x2＋＝0，而方程无解，
所以k≠－1，综上k＝.
跟踪训练
1.C 因为x1，x2是方程x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝6，x1x2＝2，
所以＋＝＝＝＝8.故选C.
2.－ 解析：由关于x的方程ax2＋abx＋b＝0的解集为{－1，3}，
即－1，3是方程ax2＋abx＋b＝0的两个实数根，
所以解得a＝，b＝－2，所以a＋b＝－.
随堂检测
1.C 由方程4（1－x）2＝1，可得方程（x－1）2＝，解得x－1＝或x－1＝－，所以x＝或x＝，即方程的解集为.故选C.
2.C 利用根的判别式Δ＝b2－4ac分别进行判定即可.A项：Δ＝（－2）2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B项：Δ＝42－4×1×（－1）＝20＞0，有两个不相等的实数根， 故此选项不合题意；C项：Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D项：Δ＝（－5）2－4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意.故选C.
3.C ∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.
∵方程x2－（m＋6）x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝[－（m＋6）]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m＝6或m＝－2.∴m＝－2.
4.AB 当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确；当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝（－4）2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝（－4）2－4×（－1）×6＞0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，所以此时方程无实数根，D错误.故选A、B.
5.4 解析：因为α，β是关于x的方程x2－2mx＋m2－4＝0（m∈R）的两个根，所以α＋β＝2m，αβ＝m2－4，
所以｜α－β｜＝＝＝4.
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2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
新课程标准解读 核心素养
1.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数 数学运算
2.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值
及求参数的取值范围 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚
会，邻居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄.小芳说：我是
最小的，我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁.小明说：我们中较
大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和.张叔
叔说：“我可以算出小芳的年龄了”.
【问题】 张叔叔是怎样算出小芳年龄的？
知识点一 一元二次方程的解集
一般地，Δ＝ 称为一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）
根的判别式.
（1）当Δ＞0时，方程的解集为
（3）当Δ＜0时，方程的解集为 .
b2－4 ac
【想一想】
对于方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0，Δ＞0时一定有两不相等的解吗？
提示：不一定.
知识点二 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的解集不是空集，设 x1， x2
是该一元二次方程的两个根，则 x1＋ x2＝ － ， x1 x2＝ .
提醒 一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根
为前提条件的.利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下
才有意义，所以求得的参数的值要代入Δ＝ b2－4 ac 来验证.
－
1. 方程2 x2－5 x ＋3＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
解析： ∵Δ＝（－5）2－4×2×3＝1＞0，∴方程2 x2－5 x ＋3＝0
有两个不相等的实数根.故选A.
2. 已知 m ， n 是方程2 x2－ x －2＝0的两个实数根，则 ＋ 的值为
（ ）
A. －1
D. 1
解析： 因为 m ， n 是方程2 x2－ x －2＝0的两个实数根，所以 m
＋ n ＝ ， mn ＝－1，所以 ＋ ＝ ＝ ＝－ .故选C.
3. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋4 x ＋ k ＝0有两个实数根，则 k 的取值
范围是 .
解析：因为一元二次方程 x2＋4 x ＋ k ＝0有两个实数根，所以Δ＝16
－4 k ≥0，即 k ≤4.
（－∞，4]
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 一元二次方程解集的求法
角度1 直接开平方法
【例1】 用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：
（1）4 y2－25＝0；
解：移项，得4 y2＝25.
两边都除以4，得 y2＝ .
解得 y1＝ ， y2＝－ ，
所以原一元二次方程的解集是 .
（2）3 x2－ x ＝15－ x .
解：移项，合并同类项，得3 x2＝15.
两边都除以3，得 x2＝5，解得 x1＝ ， x2＝－ .
所以原一元二次方程的解集是{ ，－ }.
通性通法
应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤
（1）化为 x2＝ p （ p ≥0）的形式；
（2）直接开平方；
（3）解两个一元一次方程，写出方程的两个根；
（4）总结写成解集的形式.
角度2 配方法
【例2】 用配方法求下列方程的解集：
（1） x2＋4 x －1＝0；
解：∵ x2＋4 x －1＝0，
∴ x2＋4 x ＝1，
∴ x2＋4 x ＋4＝1＋4，
∴（ x ＋2）2＝5，
∴ x ＝－2± ，
∴ x1＝－2＋ ， x2＝－2－ .
∴原一元二次方程的解集是{－2＋ ，－2－ }.
（2）4 x2＋8 x ＋1＝0.
解：移项，得4 x2＋8 x ＝－1.
二次项系数化为1，得 x2＋2 x ＝－ ，
配方，得 x2＋2 x ＋12＝12－ ，
即（ x ＋1）2＝ .
∴ x ＋1＝± .
∴ x1＝－1＋ ， x2＝－1－ ，
∴原一元二次方程的解集是 .
通性通法
利用配方法解一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0），先把二次
项系数变为1，即方程两边都除以 a ，然后把常数项移到方程右边，再
把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个
完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解（若另一
边为负数，则此方程无实数根）.
角度3 公式法
【例3】 用公式法求下列方程的解集：
（1） x2－4 x ＋10＝0；
解：∵ a ＝1， b ＝－4 ， c ＝10，
Δ＝ b2－4 ac ＝（－4 ）2－4×1×10＝8＞0，
∴ x ＝ ＝ ＝2 ± ，
∴ x1＝2 ＋ ， x2＝2 － .
∴原一元二次方程的解集是{2 ＋ ，2 － }.
（2） x2＋ x ＋ ＝0.
解：方程两边都乘以8，得4 x2＋4 x ＋1＝0.
∵ a ＝4， b ＝4， c ＝1，Δ＝ b2－4 ac ＝42－4×4×1＝0，
∴ x ＝ ＝－ ，
∴ x1＝ x2＝－ .
∴原一元二次方程的解集是 .
通性通法
利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出
二次项系数，一次项系数及常数项，计算 b2－4 ac 的值；当 b2－4 ac
≥0时，把 a ， b ， c 的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总
结写出解集.
【跟踪训练】
求下列方程的解集：
（1）2 x2＋5 x ＝3；
解：法一（配方法） 2 x2＋5 x ＝3，则2 ＝3＋2× ＝ ＝ ，解得 x1＝－ ＋ ＝ ， x2＝－ － ＝－3.
∴方程2 x2＋5 x ＝3的解集是 .
法二（公式法） 原方程可化为2 x2＋5 x －3＝0.
∵ a ＝2， b ＝5， c ＝－3，Δ＝ b2－4 ac ＝25＋24＝49，
∴ x ＝ ＝ ，∴ x1＝－3， x2＝ .
∴方程2 x2＋5 x ＝3的解集是 .
（2）2 x4－7 x2＋3＝0；
解：2 x4－7 x2＋3＝0可化为（ x2－3）（2 x2－1）＝0，
解得 x2＝3或 x2＝ ，故 x ＝ 、－ 、－ ，
方程2 x4－7 x2＋3＝0的解集为 .
（3） ＋ －1＝0.
解： ＋ －1＝0可化为2＋ x － x2＝0（ x ≠0），
即（ x －2）（ x ＋1）＝0，
解得 x ＝2或－1，
方程 ＋ －1＝0的解集为{－1，2}.
题型二 一元二次方程根的判别式
【例4】 不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况：
（1）3 x2－2 x －1＝0；
解：∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝16＞0，∴方程有两
个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素.
（2）2 x2－ x ＋1＝0；
解：∵Δ＝（－1）2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数
根，∴方程的解集为空集.
（3）4 x － x2＝ x2＋2.
解：方程整理为 x2－2 x ＋1＝0， ∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素.
通性通法
一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）根的判别式Δ＝ b2－4 ac .
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等
的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.
【跟踪训练】
1. 不解方程，判断关于 x 的方程2 x2－（2 m ＋1） x ＋（ m2＋1）＝0的
解集情况是（ ）
A. B. 非空集
C. 单元素集合 D. 二元集
解析： 由判别式Δ＝（2 m ＋1）2－8（ m2＋1）＝－4 m2＋4 m －
7＝－（2 m －1）2－6＜0，得方程的解集为空集.故选A.
2. 若关于 x 的方程 ax2＋2（ a ＋1） x ＋4＝0的解集为单元素集合，则
（ ）
A. a ＝0 B. a ＝1
C. a ＝0或 a ＝1 D. a ≠0且 a ≠1
解析： a ＝0时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条
件； a ≠0时，原方程为一元二次方程，当判别式Δ＝0时，方程有一
个解，此时，Δ＝4（ a ＋1）2－4×4 a ＝0，解得 a ＝1，所以当原方
程的解集为单元素集合时， a ＝0或 a ＝1，选项C正确.故选C.
题型三 一元二次方程根与系数的关系
角度1 直接应用根与系数的关系进行计算
【例5】 （链接教科书第52页例2）已知一元二次方程 x2＋3 x －1＝0
的两根分别是 x1， x2，请利用根与系数的关系求：
（1） ＋ ；（2） ＋ .
解：根据一元二次方程根与系数的关系，
得 x1＋ x2＝－3， x1 x2＝－1.
（1） ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝（－3）2－2×（－1）＝
11.
（2） ＋ ＝ ＝ ＝3.
通性通法
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关
系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程
求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两
根之积的形式，然后代入求值.
常见变形还有：
（1）（ x1－ x2）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2；
（2）｜ x1－ x2｜＝ ＝ .
角度2 求字母系数的值或范围
【例6】 已知关于 x 的方程 x2－（ k ＋1） x ＋ k2＋1＝0，根据下列
条件，求出 k 的值.
（1）方程两实根的积为5；
设方程的两个根为 x1， x2， x1 x2＝ k2＋1＝5，
k2＝16， k ＝4或 k ＝－4（舍去）.
解：Δ＝[－（ k ＋1）]2－4× ＝2 k －3，Δ≥0， k ≥ .
解： ①若 x1≥0，则 x1＝ x2，Δ＝0， k ＝ .
方程为 x2－ x ＋ ＝0， x1＝ x2＝ ＞0满足.
②若 x1＜0，则 x1＋ x2＝0，即 k ＋1＝0， k ＝－1.
方程为 x2＋ ＝0，而方程无解，
所以 k ≠－1，综上 k ＝ .
（2）方程的两实根 x1， x2，满足｜ x1｜＝ x2.
通性通法
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意
根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.
【跟踪训练】
1. 若关于 x 的方程 x2－6 x ＋2＝0的两根分别是 x1， x2，则 ＋ ＝
（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： 因为 x1， x2是方程 x2－6 x ＋2＝0的两根，所以 x1＋ x2＝
6， x1 x2＝2，
所以 ＋ ＝ ＝ ＝ ＝8.故选C.
解析：由关于 x 的方程 ax2＋ abx ＋ b ＝0的解集为{－1，3}，
即－1，3是方程 ax2＋ abx ＋ b ＝0的两个实数根，
所以解得 a ＝ ， b ＝－2，所以 a ＋ b ＝－ .
－
1. 方程4（1－ x ）2＝1的解集是（ ）
A.
解析： 由方程4（1－ x ）2＝1，可得方程（ x －1）2＝ ，解得 x
－1＝ 或 x －1＝－ ，所以 x ＝ 或 x ＝ .
故选C.
2. 下列一元二次方程中，解集为空集的是（ ）
A. x2－2 x ＝0
B. x2＋4 x －1＝0
C. 2 x2－4 x ＋3＝0
D. 3 x2＝5 x －2
解析： 利用根的判别式Δ＝ b2－4 ac 分别进行判定即可.A项：Δ
＝（－2）2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不
合题意；B项：Δ＝42－4×1×（－1）＝20＞0，有两个不相等的实
数根， 故此选项不合题意；C项：Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，
没有实数根，故此选项符合题意；D项：Δ＝（－5）2－4×3×2＝1
＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意.故选C.
3. 关于 x 的方程 x2－（ m ＋6） x ＋ m2＝0有两个相等的实数根，且满
足 x1＋ x2＝ x1 x2，则 m 的值是（ ）
A. －2或3 B. 3
C. －2 D. －3或2
解析： ∵ x1＋ x2＝ m ＋6， x1 x2＝ m2， x1＋ x2＝ x1 x2，
∴ m ＋6＝ m2，
解得 m ＝3或 m ＝－2.
∵方程 x2－（ m ＋6） x ＋ m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝ b2－4 ac ＝[－（ m ＋6）]2－4 m2＝－3 m2＋12 m ＋36＝0，
解得 m ＝6或 m ＝－2.
∴ m ＝－2.
4. （多选）关于 x 的方程 mx2－4 x － m ＋5＝0，以下说法正确的是
（ ）
A. 当 m ＝0时，方程只有一个实数根
B. 当 m ＝1时，方程有两个相等的实数根
C. 当 m ＝－1时，方程没有实数根
D. 当 m ＝2时，方程有两个不相等的实数根
解析： 当 m ＝0时，方程化为－4 x ＋5＝0，解得 x ＝ ，此
时方程只有一个实数根，A正确；当 m ＝1时，方程化为 x2－4 x
＋4＝0，因为Δ＝（－4）2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个
相等的实数根，B正确；当 m ＝－1时，方程化为－ x2－4 x ＋6
＝0，因为Δ＝（－4）2－4×（－1）×6＞0，所以此时方程有两
个不相等的实数根，C错误；当 m ＝2时，方程化为2 x2－4 x ＋3
＝0，因为Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，所以此时方程无实
数根，D错误.故选A、B.
5. 已知α，β是关于 x 的方程 x2－2 mx ＋ m2－4＝0（ m ∈R）的两个
根，则｜α－β｜＝ .
解析：因为α，β是关于 x 的方程 x2－2 mx ＋ m2－4＝0（ m ∈R）的
两个根，
所以α＋β＝2 m ，αβ＝ m2－4，
所以｜α－β｜＝ ＝ ＝4.
4
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 一元二次方程 x2＝3 x 的解集是（ ）
A. {0} B. {3}
C. {－3} D. {0，3}
解析： ∵ x2＝3 x ，∴ x2－3 x ＝0，∴ x （ x －3）＝0，解得 x1＝
0， x2＝3，故选D.
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2. 若 a ， b 是方程 x2＋ x －3＝0的两个实数根，则 a2－ b ＋2 024的值是
（ ）
A. 2 025 B. 2 026
C. 2 027 D. 2 028
解析： 因为 a ， b 是方程 x2＋ x －3＝0的两个实数根，所以 a2＋
a －3＝0， a ＋ b ＝－1，两式相减，得 a2－ b ＝4，所以 a2－ b ＋2
024＝4＋2 024＝2 028. 故选D.
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3. 方程 ＝ 解集为单元素集，那么该方程的解集可以是
（ ）
A. {1} B. {2}
C. {3} D. {4}
解析： 由题意可知 x ≠－1且 x ≠0，则原方程可化为 x ＝
，得 x2－2 x － m ＝0，
由题意可得Δ＝4＋4 m ＝0，解得 m ＝－1，故原方程为 x2－2 x ＋1＝
0，解得 x ＝1.故选A.
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4. 已知 x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x2＋2 ax ＋ a2＋ a ＝0的两个实数
根，且 ＋ ＝12，则 a 的值是（ ）
A. a ＝3 B. a ＝－2
C. a ＝3或 a ＝－2 D. a ＝－3或 a ＝2
解析： 由题意得Δ＝（2 a ）2－4（ a2＋ a ）≥0且
解得 a ≤0，又 ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝
（－2 a ）2－2（ a2＋ a ）＝12，解得 a ＝－2或 a ＝3（舍）.故选B.
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5. （多选）方程（ x2－4） ＝0的解可以是（ ）
A. x ＝－2
D. x ＝2
解析： 由题意，方程（ x2－4） ＝0，则 x2－4＝0或2 x
－1＝0，解得 x ＝±2或 x ＝ ，又由2 x －1≥0，解得 x ≥ ，所以方
程（ x2－4）· ＝0的解为 x ＝2或 x ＝ .故选C、D.
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6. 若关于 x 的一元二次方程3 x2＋ mx －8＝0有一个根是 ，则实数 m
＝ .
解析：因为一元二次方程3 x2＋ mx －8＝0有一个根是 ，所以3×
＋ m × －8＝0，解得 m ＝10.
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7. 若 m ＋ n ＝3， m2＋ n2＝5，则以实数 m 、 n 为根的一个一元二次方
程是 .
解析：因为 m ＋ n ＝3，所以（ m ＋ n ）2＝ m2＋2 mn ＋ n2＝9，因为
m2＋ n2＝5，所以 mn ＝2，根据两根之和为3，两根之积为2，故可
以写出实数 m 、 n 为根的一个一元二次方程为 x2－3 x ＋2＝0.
x2－3 x ＋2＝0（答案不唯一）
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8. 已知关于 x 的方程 x2＋2（ m －2） x ＋ m2＋4＝0有实数根，并且两
根的平方和比两根之积大21，则实数 m 的值为 .
解析：设方程的两个实数根为 x1， x2，
则 x1＋ x2＝2（2－ m ）， x1 x2＝ m2＋4，
根据这两个实数根的平方和比两个根的积大21，
即 ＋ － x1 x2＝（ x1＋ x2）2－3 x1 x2＝4（2－ m ）2－3（ m2＋4）
＝21，
解得 m ＝17或 m ＝－1，
另由根的判别式可得Δ＝4（ m －2）2－4（ m2＋4）＝－16 m ≥0，
故 m ≤0，所以 m ＝－1.
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9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 k －1） x ＋ k2＋ k －1＝0有
实数根.
（1）求 k 的取值范围；
解：因为关于 x 的一元二次方程 x2－（2 k －1） x ＋ k2＋
k －1＝0有实数根.所以Δ≥0，
即[－（2 k －1）]2－4×1×（ k2＋ k －1）＝－8 k ＋5≥0，
解得 k ≤ .所以 k 的取值范围为 .
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（2）若此方程的两个实数根 x1， x2满足 ＋ ＝11，求 k 的值.
解：由题知 x1＋ x2＝2 k －1， x1 x2＝ k2＋ k －1，
所以 ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝（2 k －1）2－2（ k2＋ k
－1）＝2 k2－6 k ＋3.
因为 ＋ ＝11，所以2 k2－6 k ＋3＝11，即 k2－3 k －4＝0，
解得 k ＝4或 k ＝－1，
因为 k ≤ ，所以 k ＝－1.
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10. 设 m ∈R，若“ x ＝2”是“ m2 x2－（ m ＋3） x ＋4＝0”的充分不
必要条件，则实数 m 的值为（ ）
B. 1
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解析： 由题意可知， x ＝2是 m2 x2－（ m ＋3） x ＋4＝0的解，
但不是唯一的解，因此4 m2－2（ m ＋3）＋4＝0，解得 m ＝1或 m
＝－ .当 m ＝1时， x ＝2是 x2－4 x ＋4＝0唯一的解，故不满足题
意；当 m ＝－ 时， 则 x2－ x ＋4＝0，即 x2－10 x ＋16＝0，解得
x ＝2或 x ＝8，满足题意.综上所述， m ＝－ .故选A.
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解析：∵集合{ x ｜（ a －2） x2＋3 x －1＝0， x ∈R}有且仅有两个
子集，∴方程（ a －2） x2＋3 x －1＝0只有一个根，
∴当 a ＝2时， x ＝ ，成立；当 a ≠2时，Δ＝9＋4（ a －2）＝0即 a
＝－ ，方程只有一个根，∴ a ＝2或 a ＝－ .
2或－
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12. 在学习解一元二次方程之后，对于某些不是一元二次方程的方
程，我们也可通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如：方
程： x2－3｜ x ｜＋2＝0.
其解法为：设｜ x ｜＝ y ，则原方程可化为： y2－3 y ＋2＝0（ y
≥0）.
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解得： y1＝1， y2＝2.
当 y ＝1时，｜ x ｜＝1，∴ x ＝±1；
当 y ＝2时，｜ x ｜＝2，∴ x ＝±2.
∴原方程的解是： x1＝1， x2＝－1， x3＝2， x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“换元法”.
请用“换元法”解决下列问题：
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（1）解方程： x4－10 x2＋9＝0；
解：设 x2＝ a ，则原方程可化为 a2－10 a ＋9＝0（ a ≥0），
即（ a －1）（ a －9）＝0，解得： a ＝1或 a ＝9，
当 a ＝1时， x2＝1，∴ x ＝±1；当 a ＝9时， x2＝9，∴ x ＝±3.
∴原方程的解集是{1，－1，3，－3}.
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（2）若实数 x 满足 x2＋ －3 x － ＝2，求 x ＋ 的值.
解：设 x ＋ ＝ y ，
则原方程可化为 y2－2－3 y ＝2，即 y2－3 y －4＝0，
∴（ y ＋1）（ y －4）＝0，解得： y ＝－1或 y ＝4，
即 x ＋ ＝－1（方程无解，舍去）或 x ＋ ＝4，
故 x ＋ ＝4.
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解析：设两个正实数根分别为 x1， x2，
则 0＜ m ≤ .
0＜ m ≤
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14. 已知关于 x 的方程 x2－（2 k ＋1） x ＋4 ＝0.
（1）求证：无论 k 取何值，这个方程总有实数根；
解：证明：∵Δ＝（2 k ＋1）2－16 ＝4 k2－12 k ＋9＝（2 k －3）2≥0，
所以无论 k 取何值，关于 x 的方程 x2－（2 k ＋1） x ＋4
＝0总有实数根.
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（2）若等腰△ ABC 的一边长 a ＝4，另两边的长 b 、 c 恰好是这个
方程的两个根，求△ ABC 的周长.
解：△ ABC 为等腰三角形，可能有两种情况：
① b 或 c 中至少有一个等于 a ＝4，即：方程 x2－（2 k ＋1） x
＋4 ＝0有一根为4，则42－4（2 k ＋1）＋4 ＝
10－4 k ＝0，解得 k ＝ .方程为 x2－6 x ＋8＝0，另一根为2，
此时△ ABC 周长为 a ＋ b ＋ c ＝10；
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② b ＝ c 时，Δ＝（2 k ＋1）2－16 ＝4 k2－12 k ＋9＝
（2 k －3）2＝0，解得 k ＝ ，方程为 x2－4 x ＋4＝0，得 b ＝ c
＝2，则 b ＋ c ＝ a ，此时不能构成三角形.
综上，△ ABC 的周长为10.
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