2.1.3 方程组的解集
1.方程组的解集为（ ）
A. B.{（1，1）}
C.{2，－1} D.{（2，－1）}
2.已知{（2，1）}是方程组的解集，则a，b的值为（ ）
A.a＝－1， b＝3 B.a＝1， b＝3
C.a＝3， b＝1 D.a＝3， b＝－1
3.如果其中xyz≠0，那么x∶y∶z＝（ ）
A.1∶2∶3 B.2∶3∶4
C.2∶3∶1 D.3∶2∶1
4.若｜3a＋b＋5｜＋｜2a－2b－2｜＝0，则2a2－3ab的值是（ ）
A.14 B.2
C.－2 D.－4
5.（多选）有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（ ）
A.{（x，y）｜x＝－1或y＝2}
B.
C.{x＝－1，y＝2}
D.{（－1，2）}
6.设k∈R.若关于x与y的二元一次方程组的解集为 ，则k＝ .
7.已知方程组的解也是方程3x＋my＋2z＝0的解，则m的值为 .
8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为 .
9.求方程组的解集.
10.关于x，y的方程组的解集，下列说法不正确的是（ ）
A.可能是空集
B.必定不是空集
C.可能是单元素集合
D.可能是无限集
11.若相异两实数x，y满足则x3－2xy＋y3＝（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
12.已知关于x，y的方程组的解都为正数.
（1）当a＝2时，解此方程组；
（2）求a的取值范围.
13.已知集合≠ ，其中x，y∈Z，则整数m的取值个数为 .
14.规定：｜a cb d｜＝ad－bc，例如：｜2 －13 0｜＝2×0－3×（－1）＝3，解方程组
2.1.3 方程组的解集
1.B
①×5－②得，7x＝7，∴x＝1.
代入①得y＝1.
2.B 因为{（2，1）}是方程组的解集，所以把x＝2，y＝1代入方程组，得所以
3.C 已知
①×2－②得7y－21z＝0，即y＝3z，代入①可得：x＝8z－6z＝2z，∴x∶y∶z＝2z∶3z∶z＝2∶3∶1，故选C.
4.D ∵｜3a＋b＋5｜＋｜2a－2b－2｜＝0，∴解得：a＝－1，b＝－2，则2a2－3ab＝2－6＝－4.故选D.
5.BD 由得解集用列举法表示为{（－1，2）}，用描述法表示为.故选B、D.
6.1 解析：由二元一次方程组可得（k－1）x＝－4，
因为由题意，二元一次方程组的解集为 ，所以k－1＝0，即k＝1.
7.－5 解析：由原方程组可得：（x－y）＋（y－z）＝5，即x－z＝5，
则解得把x＝3代入x－y＝2得，y＝1.
故原方程组的解是代入3x＋my＋2z＝0，得9＋m－4＝0，解得m＝－5.
8. 解析：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
9.解：
①＋②×2得，x2＋y2＋2xy＝36，即（x＋y）2＝36，得x＋y＝6或x＋y＝－6；
①－②×2得，x2＋y2－2xy＝16，即（x－y）2＝16，
得x－y＝4或x－y＝－4.
所以或
或或
解此四个方程组，得或或或
故方程组的解集是{（5，1），（1，5），（－1，－5），（－5，－1）}.
10.A 当a＝时，x－3y＝6与3x－2y＝4重合，的解集是无限集，则D正确；
当a≠时，的解集为单元素集合{（0，2）}，从而B，C正确；故选A.
11.D 两式作差消元得：（x－y）（x＋y－1）＝0 x＋y＝1（x≠y），反代回去得：x2－x－1＝0，同理可得：y2－y－1＝0，所以x，y是方程t2－t－1＝0的两不等实根，由根与系数的关系有：继而有：x3－2xy＋y3＝x（x＋1）－2xy＋y（y＋1）＝（x2＋y2）＋（x＋y）－2xy＝（x＋y）2＋（x＋y）－4xy＝1＋1＋4＝6.故选D.
12.解：（1）当a＝2时，方程组为
①×2＋②得7x＝7，即x＝1，
把x＝1代入①得，3－y＝－1，即y＝4，
故此方程组的解集为{（1，4）}.
（2）方程组
由③×2＋④得7x＝7a－7即x＝a－1，
把x＝a－1代入④得y＝a＋2，
∴方程组的解为
由题意，得∴a＞1，
故所求a的取值范围是（1，＋∞）.
13.4 解析：
②－①得（m－2）x＝m，
∵方程组有解，∴m－2≠0即m≠2，
∴x＝.
把x＝代入①得＋y＝2，
解得y＝，
∵解为整数，∴2－m＝±1，2－m＝±2，2－m＝±4时，y为整数，
解得m＝1或3或0或4或－2或6，
当m＝1或3或0或4时，x也为整数.故m的取值个数为4.
14.解：根据题意，可得｜3 y2 x｜＝3x－2y＝1，｜x z－3 5｜＝5x＋3z＝8，｜3 z6 y｜＝3y－6z＝－3，
所以方程组可化为
解得x＝1，y＝1，z＝1，
所以原方程组的解集为{（1，1，1）}.
2 / 22.1.3 方程组的解集
新课程标准解读 核心素养
1.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组 数学运算
2.能运用合适的方法求解二元二次方程组 数学运算
在一个笼子里有若干只鸡和兔，从笼子上看有30个头，从笼子下数有70只脚.
【问题】 这个笼子里共有多少只兔多少只鸡？
知识点 方程组的解集
1.方程组
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.
2.方程组的解集
方程组中，每个方程的解集的 称为这个方程组的解集.
提醒 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
1.方程组的解集是（ ）
A.{x＝0，y＝1} B.{0，1}
C.{（0，1）} D.{x＝0或y＝1}
2.已知则x∶y∶z＝（ ）
A.（－1）∶13∶5 B.1∶（－17）∶（－5）
C.1∶5∶13 D.1∶17∶5
3.若｜x＋y－5｜＋（x－y－9）2＝0，则x，y的值分别为 .
题型一 求二元一次方程组的解集
角度1 用代入消元法求二元一次方程组的解集
【例1】 求方程组的解集.
尝试解答
通性通法
代入消元法解二元一次方程组的步骤
（1）变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b（或x＝ay＋b）（a，b是常数，a≠0）的形式
（2）代入 把y＝ax＋b（或x＝ay＋b）代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程
（3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值
（4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程，求出另一个未知数
（5）写解集 用集合表示为{（x，y）｜（…，…）}的形式
角度2 用加减消元法求二元一次方程组的解集
【例2】 求下列方程组的解集：
（1）
（2）
尝试解答
通性通法
加减消元法解二元一次方程组的步骤
（1）变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数
（2）加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减
（3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值
（4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值
（5）写解集 用集合表示为{（x，y）｜（…，…）}的形式
【跟踪训练】
1.设A＝{（x，y）｜y＝－4x＋6}，B＝{（x，y）｜y＝5x－3}，则A∩B＝（ ）
A.{（2，1）} B.（1，2）
C.x＝1，y＝2 D.{（1，2）}
2.若（3，－2）∈，则a＋b的值为 .
题型二 求三元一次方程组的解集
【例3】 求下列方程组的解集：
（1）
（2）
尝试解答
通性通法
解三元一次方程组的一般步骤
解三元一次方程组类似于解二元一次方程组，关键是消元转化.通过加减消元或代入消元逐渐将三元一次方程组转化为一元一次方程求解，然后再逐个代入求另外两个未知数.最后组成三元一次方程组的一组解.
提醒 解特殊的三元一次方程组时，应具体问题具体分析，观察方程组的特点及未知数系数之间的关系，灵活消元.对于一些特殊的方程组，有特殊的解法，例如：若一个方程组由两个方程构成，其中一个方程是x∶y∶z＝a∶b∶c（a，b，c为常数，且都不为0），另一个方程是关于x，y，z的三元一次方程，解这种方程组时，可引入k（k≠0），用含k的式子表示x，y，z，再代入三元一次方程中，化“三元”为“一元”，求出k的值，进而可求出x，y，z的值.
【跟踪训练】
1.已知｜x－z＋4｜＋｜z－2y＋1｜＋｜x＋y－z＋1｜＝0，则x＋y＋z＝（ ）
A.9 B.10
C.5 D.3
2.已知方程组则代数式x－y－5z＝ .
题型三 二元二次方程组的解集
【例4】 求下列方程组的解集：
（1）
（2）
尝试解答
通性通法
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.
【跟踪训练】
1.方程组的解集是（ ）
A.（4，5） B.（5，－4）
C.{（5，－4）} D.{（－4，5）}
2.若则xyz＝（ ）
A.2 B.
C.± D.3
题型四 方程组的实际应用
【例5】 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h.假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
尝试解答
通性通法
列方程组解应用题的一般步骤
（1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；
（2）设：恰当地设未知数；
（3）列：依据题中的等量关系列出方程组；
（4）解：解方程组，求出未知数的值；
（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；
（6）答：写出结论.
【跟踪训练】
某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A.8元 B.16元
C.24元 D.32元
数学文化与方程组问题
【典例】 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，其中第八章方程中有一问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？设上、中、下禾实一秉分别为x，y，z斗，则x＝ ，y＋z＝ .
答案： 7
解析：根据题意知，上、中、下禾实一秉分别为x，y，z斗，则有
解得x＝，y＝，z＝，则y＋z＝＋＝7.
【问题探究】
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就.
代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，本例就是其中的第一个问题.《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下：
3 2 1 39
2 3 1 34
1 2 3 26 3 2 1 39
0 5 1 24
0 4 8 39 3 2 1 39
0 5 1 24
0 0 4 11 4 0 0 37
0 4 0 17
0 0 4 11
其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似.
不难看出， “遍乘直除”的目的在于消元.按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠.
《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则.
另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的数值求解步骤.而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开.这是意识到了无理数的存在.
你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！
【迁移应用】
《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位.高中数学教科书中就引用了这样一道题“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？（ ）
A.21、105 B.21、150
C.24、165 D.24、171
1.方程组的解集为（ ）
A.{（2，1）} B.
C.{1，2} D.{（1，2）}
2.已知集合A＝{（x，y）｜y＝x2}，B＝{（x，y）｜y＝x}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
3.下列四个集合中为方程组的解集的是（ ）
A.{（0，1，－2）}
B.{（1，0，1）}
C.{（0，－1，0）}
D.{（1，－2，3）}
4.设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组 .
2.1.3 方程组的解集
【基础知识·重落实】
知识点
2.交集
自我诊断
1.C 由得
∴方程组的解集为{（0，1）}.故选C.
2.A 因为两式相加得5x＋z＝0，则z＝－5x，则y＝－13x，所以x∶y∶z＝x∶（－13x）∶（－5x）＝1∶（－13）∶（－5）＝（－1）∶13∶5.故选A.
3.7，－2 解析：由题意知
①＋②得2x－14＝0，即x＝7，
①－②得2y＋4＝0，即y＝－2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一 由②，得y＝4x－5， ③
把③代入①，得2x＋3（4x－5）＝－1，
解这个一元一次方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝－1.
所以这个方程组的解集为{（x，y）｜（1，－1）}.
法二 由①，得3y＝－2x－1，即y＝， ③
把③代入②，得4x－＝5，
解这个一元一次方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝－1.
所以这个方程组的解集为{（x，y）｜（1，－1）}.
【例2】 解：（1）法一（加法消元） ①＋②，得6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1.
所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，1）}.
法二（减法消元） ①－②，得－14y＝－14，解得y＝1，
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2.
所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，1）}.
法三（加减法消元） ①＋②，得6x＝12，解得x＝2.
①－②，得－14y＝－14，解得y＝1.
所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，1）}.
（2）①×5－②×2，得7y＝21，解得y＝3，
把y＝3代入①，整理得2x＝4，解得x＝2.
所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，3）}.
跟踪训练
1.D 由题意得，集合A、B均为点集，所以，所求A∩B即求两直线的交点即可，
因为解得交点为（1，2）.故选D.
2.－1 解析：∵（3，－2）∈，
∴两式相加可得：a＋b＝－1.
【例3】 解：（1）法一 ①×2＋②，得5x＋8y＝7， ④
③与④组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×（－1）＋2z＝2，
所以z＝1.
所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（3，－1，1）}.
法二 由③，得y＝2x－7， ④
把④代入①，整理得7x＋2z＝23， ⑤
把④代入②，整理得7x－4z＝17， ⑥
⑤与⑥组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝3代入④，得y＝－1.
所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（3，－1，1）}.
（2）法一 由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5.
设x＝3k，y＝2k，z＝5k（k≠0），并代入③，得5k＋3k＋2k＝20，解得k＝2.
所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（6，4，10）}.
法二 由①，得x＝y， ④
由②，得z＝y. ⑤
把④和⑤代入③，得y＋y＋y＝20，解得y＝4.
把y＝4分别代入④和⑤，
得x＝6，z＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（6，4，10）}.
跟踪训练
1.A 由题意，得
③－①，得y＝3.
把y＝3代入②，得z＝5.
把z＝5代入①，得x＝1.所以x＋y＋z＝1＋3＋5＝9.故选A.
2.3 解析：对于方程组下式－上式得x－y－5z＝9－6＝3.
【例4】 解：（1）由①得y＝8－x， ③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.
解得x1＝2，x2＝6.
把x1＝2代入③，得y1＝6.
把x2＝6代入③，得y2＝2.
所以原方程组的解集为{（2，6），（6，2）}.
（2）由①得（x－2y）2＋（x－2y）－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由得
由得
所以原方程组的解集为.
跟踪训练
1.D 由解得所以方程组的解集是{（－4，5）}，故选D.
2.C 法一 由方程组
①÷②得＝，z＝2x，代入③得x＝± ，z＝±，
再代入①得y＝±，即原方程组的解为：
或所以xyz＝±.故选C.
法二 ①×②×③得（xyz）2＝6，
∴xyz＝±.故选C.
【例5】 解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km.
由题意得解得
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km.
跟踪训练
D 设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，
则两式相加得8x＋8y＝2a，
∴x＋y＝a，
∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋（3x＋3y）＝a－8，
∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，
即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D.
拓视野 数学文化与方程组问题
迁移应用
B 设合伙人数为x人，羊价为y钱，则解得故选B.
随堂检测
1.D ∵∴所以方程组的解集为{（1，2）}故选D.
2.B 联立解得或所以A∩B＝{（0，0），（1，1）}.故选B.
3.D
①＋②得3x＋y＝1， ④
③－②得x＝1，将x＝1代入④得y＝－2，
将x＝1，y＝－2代入②得z＝3.
所以方程组的解集为{（1，－2，3）}.故选D.
4.（答案不唯一） 解析：由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为
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2.1.3 方程组的解集
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程
组 数学运算
2.能运用合适的方法求解二元二次方程组 数学运算
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在一个笼子里有若干只鸡和兔，从笼子上看有30个头，从笼子下
数有70只脚.
【问题】 这个笼子里共有多少只兔多少只鸡？
知识点 方程组的解集
1. 方程组
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.
2. 方程组的解集
方程组中，每个方程的解集的 称为这个方程组
的解集.
提醒 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集
可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那
么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
交集
1. 方程组的解集是（ ）
A. { x ＝0， y ＝1} B. {0，1}
C. {（0，1）} D. { x ＝0或 y ＝1}
解析： 由
∴方程组的解集为{（0，1）}.故选C.
2. 已知则 x ∶ y ∶ z ＝（ ）
A. （－1）∶13∶5 B. 1∶（－17）∶（－5）
C. 1∶5∶13 D. 1∶17∶5
解析： 因为两式相加得5 x ＋ z ＝0，则 z ＝－
5 x ，则 y ＝－13 x ，所以 x ∶ y ∶ z ＝ x ∶（－13 x ）∶（－5 x ）＝
1∶（－13）∶（－5）＝（－1）∶13∶5.故选A.
3. 若｜ x ＋ y －5｜＋（ x － y －9）2＝0，则 x ， y 的值分别为 .
解析：由题意知
①＋②得2 x －14＝0，即 x ＝7，
①－②得2 y ＋4＝0，即 y ＝－2.
7，－2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求二元一次方程组的解集
角度1 用代入消元法求二元一次方程组的解集
【例1】 求方程组的解集.
解：法一 由②，得 y ＝4 x －5， ③
把③代入①，得2 x ＋3（4 x －5）＝－1，
解这个一元一次方程，得 x ＝1，
把 x ＝1代入③，得 y ＝－1.
所以这个方程组的解集为{（ x ， y ）｜（1，－1）}.
法二 由①，得3 y ＝－2 x －1，
即 y ＝ ， ③
把③代入②，得4 x － ＝5，
解这个一元一次方程，得 x ＝1，
把 x ＝1代入③，得 y ＝－1.
所以这个方程组的解集为{（ x ， y ）｜（1，－1）}.
通性通法
代入消元法解二元一次方程组的步骤
（1）
变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为 y ＝
ax ＋ b （或 x ＝ ay ＋ b ）（ a ， b 是常数， a ≠0）的形式
（2）
代入 把 y ＝ ax ＋ b （或 x ＝ ay ＋ b ）代入另一个没有变形的方程，
消去一个未知数，得到一个一元一次方程
（3）
求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值
（4）
回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程，求出另一个未知数
（5）
写解集 用集合表示为{（ x ， y ）｜（…，…）}的形式
角度2 用加减消元法求二元一次方程组的解集
【例2】 求下列方程组的解集：
（1）
解：法一（加法消元） ①＋②，得6 x ＝12，
解得 x ＝2，
把 x ＝2代入②，得3×2＋7 y ＝13，解得 y ＝1.
所以方程组的解集为{（ x ， y ）｜（2，1）}.
法二（减法消元） ①－②，得－14 y ＝－14，
解得 y ＝1，
把 y ＝1代入①，得3 x －7×1＝－1，解得 x ＝2.
所以方程组的解集为{（ x ， y ）｜（2，1）}.
法三（加减法消元） ①＋②，得6 x ＝12，解得 x ＝2.
①－②，得－14 y ＝－14，解得 y ＝1.
所以方程组的解集为{（ x ， y ）｜（2，1）}.
（2）
解：①×5－②×2，得7 y ＝21，解得 y ＝3，
把 y ＝3代入①，整理得2 x ＝4，解得 x ＝2.
所以方程组的解集为{（ x ， y ）｜（2，3）}.
通性通法
加减消元法解二元一次方程组的步骤
（1）
变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两
边都乘适当的数
（2）
加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程
相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减
（3）
求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值
（4）
回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值
（5）
写解集 用集合表示为{（ x ， y ）｜（…，…）}的形式
【跟踪训练】
1. 设 A ＝{（ x ， y ）｜ y ＝－4 x ＋6}， B ＝{（ x ， y ）｜ y ＝5 x －3}，
则 A ∩ B ＝（ ）
A. {（2，1）} B. （1，2）
C. x ＝1， y ＝2 D. {（1，2）}
解析： 由题意得，集合 A 、 B 均为点集，所以，所求 A ∩ B 即求
两直线的交点即可，
因为解得交点为（1，2）.故选D.
2. 若（3，－2）∈，则 a ＋ b 的值为 .
解析：∵（3，－2）∈，
∴两式相加可得： a ＋ b ＝－1.
－1
题型二 求三元一次方程组的解集
【例3】 求下列方程组的解集：
（1）
③与④组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 x ＝3， y ＝－1代入①，得3＋3×（－1）＋2 z ＝2，所以 z ＝1.
所以这个三元一次方程组的解集为{（ x ， y ， z ）｜（3，－1，1）}.
解：法一 ①×2＋②，得5 x ＋8 y ＝7， ④
法二 由③，得 y ＝2 x －7， ④
把④代入①，整理得7 x ＋2 z ＝23，
⑤
把④代入②，整理得7 x －4 z ＝17，
⑥
⑤与⑥组成二元一次方程组
解这个方程组，得把 x ＝3代入④，得 y ＝－1.
所以这个三元一次方程组的解集为{（ x ， y ， z ）｜（3，－1，1）}.
解：法一 由①和②，得 x ∶ y ∶ z ＝3∶2∶5.
设 x ＝3 k ， y ＝2 k ， z ＝5 k （ k ≠0），并代入③，
得5 k ＋3 k ＋2 k ＝20，
解得 k ＝2.所以 x ＝3 k ＝6， y ＝2 k ＝4， z ＝5 k ＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{（ x ， y ， z ）｜（6，4，10）}.
（2）
法二 由①，得 x ＝ y ， ④
由②，得 z ＝ y . ⑤
把④和⑤代入③，得 y ＋ y ＋ y ＝20，解得 y ＝4.
把 y ＝4分别代入④和⑤，
得 x ＝6， z ＝10.所以这个三元一次方程组的解集为{（ x ， y ， z ）｜
（6，4，10）}.
通性通法
解三元一次方程组的一般步骤
解三元一次方程组类似于解二元一次方程组，关键是消元转化.通
过加减消元或代入消元逐渐将三元一次方程组转化为一元一次方程求
解，然后再逐个代入求另外两个未知数.最后组成三元一次方程组的一
组解.
提醒 解特殊的三元一次方程组时，应具体问题具体分析，观察方程
组的特点及未知数系数之间的关系，灵活消元.对于一些特殊的方程
组，有特殊的解法，例如：若一个方程组由两个方程构成，其中一个
方程是 x ∶ y ∶ z ＝ a ∶ b ∶ c （ a ， b ， c 为常数，且都不为0），另一
个方程是关于 x ， y ， z 的三元一次方程，解这种方程组时，可引入 k
（ k ≠0），用含 k 的式子表示 x ， y ， z ，再代入三元一次方程中，化
“三元”为“一元”，求出 k 的值，进而可求出 x ， y ， z 的值.
【跟踪训练】
1. 已知｜ x － z ＋4｜＋｜ z －2 y ＋1｜＋｜ x ＋ y － z ＋1｜＝0，则 x ＋
y ＋ z ＝（ ）
A. 9 B. 10
C. 5 D. 3
解析： 由题意，得
③－①，得 y ＝3.
把 y ＝3代入②，得 z ＝5.
把 z ＝5代入①，得 x ＝1.所以 x ＋ y ＋ z ＝1＋3＋5＝9.故选A.
2. 已知方程组则代数式 x － y －5 z ＝ .
解析：对于方程组下式－上式得 x － y －5 z ＝9
－6＝3.
3
题型三 二元二次方程组的解集
【例4】 求下列方程组的解集：
（1）
解：（1）由①得 y ＝8－ x ， ③
把③代入②，整理得 x2－8 x ＋12＝0.
解得 x1＝2， x2＝6.
把 x1＝2代入③，得 y1＝6.
把 x2＝6代入③，得 y2＝2.
所以原方程组的解集为{（2，6），（6，2）}.
（2）
解：由①得（ x －2 y ）2＋（ x －2 y ）－2＝0，
解得 x －2 y ＝1或 x －2 y ＝－2，
由
由
所以原方程组的解集为 .
通性通法
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是
化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和
降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚
至一元一次方程.
【跟踪训练】
1. 方程组的解集是（ ）
A. （4，5） B. （5，－4）
C. {（5，－4）} D. {（－4，5）}
解析： 由
的解集是{（－4，5）}，故选D.
2. 若则 xyz ＝（ ）
A. 2
D. 3
解析： 法一 由方程组
①÷②得 ＝ ， z ＝2 x ，代入③得 x ＝± ， z ＝± ，
再代入①得 y ＝± ，即原方程组的解为：
所以 xyz ＝± .故选C.
法二 ①×②×③得（ xyz ）2＝6，
∴ xyz ＝± .故选C.
题型四 方程组的实际应用
【例5】 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡
度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3
h.假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30
km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡
路的长度各是多少？
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是 x km，
y km和 z km.
由题意得
解得
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是
4 km.
通性通法
列方程组解应用题的一般步骤
（1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间
的等量关系；
（2）设：恰当地设未知数；
（3）列：依据题中的等量关系列出方程组；
（4）解：解方程组，求出未知数的值；
（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；
（6）答：写出结论.
【跟踪训练】
某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧
克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带
的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱
（ ）
A. 8元 B. 16元
C. 24元 D. 32元
解析： 设方形巧克力每块 x 元，圆形巧克力每块 y 元，小明带了 a
元钱，
则两式相加得8 x ＋8 y ＝2 a ，
∴ x ＋ y ＝ a ，
∵5 x ＋3 y ＝ a －8，∴2 x ＋（3 x ＋3 y ）＝ a －8，
∴2 x ＋3× a ＝ a －8，∴2 x ＝ a －8，∴8 x ＝ a －32，
即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D.
数学文化与方程组问题
7
解析：根据题意知，上、中、下禾实一秉分别为 x ， y ， z 斗，则有
解得 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ，则 y ＋ z ＝ ＋ ＝7.
【问题探究】
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246
个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就.
代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程
组，本例就是其中的第一个问题.《九章算术》给出了解这个问题的
“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长
方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下：
其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第
一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似.
不难看出， “遍乘直除”的目的在于消元.按照我国著名数学史学家
李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗
明珠.
《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程
术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算
术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则.
另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是
给出了一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的数值求解步骤.而
且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开.这是意识到
了无理数的存在.
你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅
有关书籍或网络进行了解吧！
【迁移应用】
《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算
法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的
盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种
解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位.高中
数学教科书中就引用了这样一道题“今有人共买羊，人出五，不足四
十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？“译文如下：“今有人
合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱，问合伙人数、
羊价各是多少？（ ）
A. 21、105 B. 21、150
C. 24、165 D. 24、171
解析： 设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，则
故选B.
1. 方程组的解集为（ ）
A. {（2，1）} B.
C. {1，2} D. {（1，2）}
解析： ∵∴的解
集为{（1，2）}故选D.
2. 已知集合 A ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x2}， B ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x }，则
集合 A ∩ B 中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析： 联立所以 A ∩ B ＝
{（0，0），（1，1）}.故选B.
3. 下列四个集合中为方程组的解集的是（ ）
A. {（0，1，－2）} B. {（1，0，1）}
C. {（0，－1，0）} D. {（1，－2，3）}
③－②得 x ＝1，将 x ＝1代入④得 y ＝－2，
将 x ＝1， y ＝－2代入②得 z ＝3.
所以方程组的解集为{（1，－2，3）}.故选D.
解析：
①＋②得3 x ＋ y ＝1， ④
4. 设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是
和试写出符合要求的方程组 （答
.
解析：由于这两组解都有： xy ＝2×3＝6， x － y ＝－1，
故可组成方程组为
（答
案不唯一）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 方程组的解集为（ ）
B. {（1，1）}
C. {2，－1} D. {（2，－1）}
解析：
①×5－②得，7 x ＝7，∴ x ＝1.
代入①得 y ＝1.
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2. 已知{（2，1）}是方程组的解集，则 a ， b 的值为
（ ）
A. a ＝－1， b ＝3 B. a ＝1， b ＝3
C. a ＝3， b ＝1 D. a ＝3， b ＝－1
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解析： 因为{（2，1）}是方程组的解集，所以
把 x ＝2， y ＝1代入方程组，得
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3. 如果其中 xyz ≠0，那么 x ∶ y ∶ z ＝（ ）
A. 1∶2∶3 B. 2∶3∶4
C. 2∶3∶1 D. 3∶2∶1
解析： 已知
①×2－②得7 y －21 z ＝0，即 y ＝3 z ，代入①可得： x ＝8 z －6 z ＝2
z ，∴ x ∶ y ∶ z ＝2 z ∶3 z ∶ z ＝2∶3∶1，故选C.
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4. 若｜3 a ＋ b ＋5｜＋｜2 a －2 b －2｜＝0，则2 a2－3 ab 的值是
（ ）
A. 14 B. 2
C. －2 D. －4
解析： ∵｜3 a ＋ b ＋5｜＋｜2 a －2 b －2｜＝0，
∴解得： a ＝－1， b ＝－2，则2 a2－3 ab ＝2－6
＝－4.故选D.
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5. （多选）有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组
的解集的是（ ）
A. {（ x ， y ）｜ x ＝－1或 y ＝2}
C. { x ＝－1， y ＝2}
D. {（－1，2）}
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解析： 由解集用列举法表示为
{（－1，2）}，用描述法表示为.
故选B、D.
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6. 设 k ∈R. 若关于 x 与 y 的二元一次方程组的解集为 ，
则 k ＝ .
解析：由二元一次方程组可得（ k －1） x ＝－4，
因为由题意，二元一次方程组的解集为 ，所以 k －1＝0，即 k ＝1.
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7. 已知方程组的解也是方程3 x ＋ my ＋2 z ＝0的解，则 m
的值为 .
－5
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解析：由原方程组可得：（ x － y ）＋（ y － z ）＝5，即 x － z ＝5，
则把 x ＝3代入 x － y ＝2得， y ＝1.
故原方程组的解是代入3 x ＋ my ＋2 z ＝0，得9＋ m －4＝
0，解得 m ＝－5.
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解析：设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，由题意得：
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9. 求方程组的解集.
解：
①＋②×2得， x2＋ y2＋2 xy ＝36，即（ x ＋ y ）2＝36，得 x ＋ y ＝6或
x ＋ y ＝－6；
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①－②×2得， x2＋ y2－2 xy ＝16，即（ x － y ）2＝16，
得 x － y ＝4或 x － y ＝－4.
所以
或
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解此四个方程组，得
故方程组的解集是{（5，1），（1，5），（－1，
－5），（－5，－1）}.
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10. 关于 x ， y 的方程组的解集，下列说法不正确的是
（ ）
A. 可能是空集 B. 必定不是空集
C. 可能是单元素集合 D. 可能是无限集
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解析： 当 a ＝ x －3 y ＝6与3 x －2 y ＝4重合，
的解集是无限集，则D正确；
当 a ≠的解集为单元素集合{（0，2）}，从
而B，C正确；故选A.
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11. 若相异两实数 x ， y 满足则 x3－2 xy ＋ y3＝
（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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解析： 两式作差消元得：（ x － y ）（ x ＋ y －1）＝0 x ＋ y ＝
1（ x ≠ y ），反代回去得： x2－ x －1＝0，同理可得： y2－ y －1＝
0，所以 x ， y 是方程 t2－ t －1＝0的两不等实根，由根与系数的关
系有：继而有： x3－2 xy ＋ y3＝ x （ x ＋1）－2 xy ＋ y
（ y ＋1）＝（ x2＋ y2）＋（ x ＋ y ）－2 xy ＝（ x ＋ y ）2＋（ x ＋
y ）－4 xy ＝1＋1＋4＝6.故选D.
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12. 已知关于 x ， y 的方程组的解都为正数.
（1）当 a ＝2时，解此方程组；
解：当 a ＝2时，方程组为
①×2＋②得7 x ＝7，即 x ＝1，
把 x ＝1代入①得，3－ y ＝－1，即 y ＝4，
故此方程组的解集为{（1，4）}.
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（2）求 a 的取值范围.
解：方程组
由③×2＋④得7 x ＝7 a －7即 x ＝ a －1，
把 x ＝ a －1代入④得 y ＝ a ＋2，
∴方程组的解为
由题意，得∴ a ＞1，
故所求 a 的取值范围是（1，＋∞）.
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13. 已知集合≠ ，其中 x ， y ∈Z，则整
数 m 的取值个数为 .
解析：
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②－①得（ m －2） x ＝ m ，
∵方程组有解，∴ m －2≠0即 m ≠2，∴ x ＝ .
把 x ＝ 代入①得 ＋ y ＝2，解得 y ＝ ，
∵解为整数，∴2－ m ＝±1，2－ m ＝±2，2－ m ＝±4时， y 为
整数，
解得 m ＝1或3或0或4或－2或6，
当 m ＝1或3或0或4时， x 也为整数.故 m 的取值个数为4.
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14. 规定：｜ a cb d ｜＝ ad － bc ，例如：｜2 －13 0｜＝2×0
－3×（－1）＝3，解方程组
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解：根据题意，可得｜3 y 2 x ｜＝3 x －2 y ＝1，｜ x z －3
5｜＝5 x ＋3 z ＝8，｜3 z 6 y ｜＝3 y －6 z ＝－3，
所以方程组可化为
解得 x ＝1， y ＝1， z ＝1，
所以原方程组的解集为{（1，1，1）}.
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谢 谢 观 看！
