2.2.1 不等式及其性质
1.已知｜m｜＞｜n｜＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.m＞n B.｜m｜＋n＞0
C.m＋n＜0 D.＜
2.已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A.x＞y
B.x＝y
C.x＜y
D.x，y的关系随c而定
3.设0＜α＜，0≤β≤，则2α－的范围是（ ）
A.0＜2α－＜ B.－＜2α－＜
C.0＜2α－＜π D.－＜2α－＜π
4.下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（ ）
A.a＞b＋1 B.a＞b－1
C.a2＞b2 D.a3＞b3
5.（多选）若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.x－1＞1－y B.x－1＞y－1
C.x－y＞1－y D.1－x＞y－x
6.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a2＋b2＞c2，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 .
7.给出下列命题：
①若a＜b，c＜0，则＜；
②若ac－3＞bc－3，则a＞b；
③若a＞b且k∈N*，则ak＞bk；
④若c＞a＞b＞0，则＞.
其中是真命题的有 （填序号）.
8.设f（x）＝ax2＋bx，若1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（－2）的取值范围是 .
9.已知0＜a＜b且a＋b＝1，试比较：
（1）a2＋b2与b的大小；
（2）2ab与的大小.
10.（多选）若＜＜0，则下列结论中正确的是（ ）
A.a2＜b2
B.ab＜b2
C.a＋b＜0
D.｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜
11.已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.则以其中两个命题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题（ ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
12.（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°；
（2）证明：用分析法证明＋＞2＋2.
13.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx
C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz
14.某单位计划今、明两年均购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等.假设今、明两年该物品的单价分别为p1，p2（p1≠p2），记甲、乙方案中的平均价格分别为Q1，Q2，比较Q1，Q2的大小，并说明哪种方案比较划算.
2.2.1 不等式及其性质
1.B 对于A，若m＝－2，n＝1时，满足｜m｜＞｜n｜＞0，而不满足m＞n，所以A错误；对于B，当n＞0时，则｜m｜＋n＞0一定成立，当n＜0时，由｜m｜＞｜n｜＞0，得｜m｜＞－n，则｜m｜＋n＞0，所以B正确；对于C，若m＝2，n＝1时，满足｜m｜＞｜n｜＞0，而不满足m＋n＜0，所以C错误；对于D，若m＝－2，n＝－1时，则满足｜m｜＞｜n｜＞0，而不满足＜，所以D错误，故选B.
2.C 由题设，易知x，y＞0，又＝＝＜1，∴x＜y.故选C.
3.D 由已知，得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
4.B 对A.当a＝3，b＝2.5时，此时a＞b不能推出a＞b＋1，不满足必要性；对B.由a＞b，可得a＞b－1；反之不成立，满足必要不充分；对C.当a＝3，b＝－3时，此时a＞b不能推出a2＞b2，不满足必要性；对D.由a＞b，可得a3＞b3，反之a3＞b3也可推出a＞b，是充要条件.故选B.
5.BCD 对选项A可用特殊值法.令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1＜1－（－1）＝1－y，故选项A中不等式不成立；x－1－（y－1）＝x－y＞0，故选项B中不等式成立；x－y－（1－y）＝x－1＞0，故选项C中不等式成立；1－x－（y－x）＝1－y＞0，故选项D中不等式成立，故选B、C、D.
6.－3，－1，1（答案不唯一） 解析：令a＝－3，b＝－1，c＝1，则a2＋b2＝10＞1＝c2，此时a＋b＝－4＜－1，所以“a＋b＞c”是假命题.
7.④ 解析：①当ab＜0时，＞，故①为假命题；
②当c＜0时，c3＜0，不等式ac－3＞bc－3的两边同时乘以c3，得a＜b，故②为假命题；
③当a＝1，b＝－2，k＝2时，12＜（－2）2，故③为假命题；
④∵a＞b＞0，∴－a＜－b＜0，∴0＜c－a＜c－b.
同乘以，得0＜＜，
又a＞b＞0，∴＞＞，故④为真命题.
8.[5，10] 解析：设f（－2）＝mf（－1）＋nf（1）（m，n为待定系数），则4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），
即4a－2b＝（m＋n）a＋（n－m）b.
于是得解得
∴f（－2）＝3f（－1）＋f（1）.
又∵1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4.
∴5≤3f（－1）＋f（1）≤10，故5≤f（－2）≤10.
9.解：（1）因为0＜a＜b且a＋b＝1，所以0＜a＜＜b，
则a2＋b2－b＝a2＋b（b－1）＝a2－ab＝a（a－b）＜0，
所以a2＋b2＜b.
（2）因为2ab－＝2a（1－a）－＝－2a2＋2a－
＝－2＝－2＜0，
所以2ab＜.
10.ABC 因为＜＜0，所以b＜a＜0，所以b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，所以A、B、C均正确，因为b＜a＜0，所以｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，故D错误.故选A、B、C.
11.D 由于ab＞0，在bc＞ad两边同除以ab，得＞，故①③ ②成立；由于ab＞0，在＞的两边同乘以ab，得bc＞ad，故①② ③成立；由＞，移项通分得＞0，结合bc＞ad，得分母ab＞0，故②③ ①成立.综上所述，以其中两个作条件，余下的一个作结论，可组成3个真命题.故选D.
12.证明：（1）在△ABC中，由内角和定理得A＋B＋C＝180°，假设至少有一个内角大于或等于60°不正确，则三个角都小于60°，即A＜60°，B＜60°，C＜60°，
则A＋B＋C＜60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立，所证结论正确.
（2）要证＋＞2＋2，只要证（＋）2＞（2＋2）2，
即证16＋2＞16＋8，即证2＞8，即证240＞192，因为240＞192显然成立，
所以原不等式成立.
13.B 法一 ∵x＜y＜z且a＜b＜c，
∴ax＋by＋cz－（az＋by＋cx）
＝a（x－z）＋c（z－x）＝（x－z）（a－c）＞0，
∴ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；
同理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz）
＝b（z－x）＋c（x－z）＝（z－x）（b－c）＜0，
∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；
同理，az＋by＋cx－（ay＋bz＋cx）
＝a（z－y）＋b（y－z）＝（z－y）（a－b）＜0，
∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.
∴最低费用为az＋by＋cx（元）.故选B.
法二（特殊值法） 取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14；az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10；ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11；ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13.故选B.
14.解：对于甲方案，设每年购买的数量为x，则两年购买的总金额为p1x＋p2x，
平均价格Q1＝＝.
对于乙方案，设每年购买的金额为y，则两年购买的总数量为＋，
平均价格Q2＝＝.
因为Q1－Q2＝－＝＝＞0，所以Q1＞Q2.
因此使用乙方案较划算.
2 / 22.2.1 不等式及其性质
新课程标准解读 核心素养
理解不等式的概念，掌握不等式的性质 数学抽象、逻辑推理
清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光.只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间.设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用.
【问题】 不等式还有哪些重要的性质呢？
知识点一 比较实数a，b的大小
1.a－b＜0 .
2.a－b＝0 .
3.a－b＞0 .
【想一想】
1.在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
2.p q的含义是什么？
知识点二 不等式的性质
性质1：如果a＞b，那么a＋c b＋c.
性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac bc.
性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac bc.
性质4：如果a＞b，b＞c，那么a c.（传递性）
性质5：a＞b .
推论1：如果a＋b＞c，那么a c－b.（不等式的移项法则）
推论2：如果a＞b，c＞d，那么a＋c b＋d.（同向可加性）
推论3：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac bd.
推论4：如果a＞b＞0，那么an bn（n∈N，n＞1）.
推论5：如果a＞b＞0，那么 .
【想一想】
1.若a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d成立吗？a－c＞b－d呢？
2.若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立吗？
1.设M＝（x－1）（x－5），N＝（x－3）2，则M与N的大小关系是（ ）
A.M＜N B.M＞N
C.M＝N D.不能确定
2.对于实数a，b，c，下列命题中是真命题的是（ ）
A.若a＞b，则ac2＞bc2
B.a＞b＞0，则＞
C.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
D.若a＞b＞0，则＞
3.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是 （用“＞”连接）.
题型一 作差法比较大小
【例1】 （1）已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则（ ）
A.t＞s B.t≥s
C.t≤s D.t＜s
（2）设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为 .
尝试解答
通性通法
作差法比较大小的步骤
【跟踪训练】
1.已知x≠2，y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是（ ）
A.M＞N B.M＜N
C.M＝N D.不能确定
2.若x∈R，则a＝与b＝的大小关系为 .
题型二 利用不等式性质判断命题的真假
【例2】 若实数a，b，c满足a＞b＞c，则下列不等式正确的是（ ）
A.a＋c＞b B.a｜c｜＞b｜c｜
C.＜ D.＜
尝试解答
通性通法
运用不等式的性质判断命题真假的技巧
（1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质；
（2）解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
【跟踪训练】
（多选）下列命题正确的是（ ）
A.若a2＞b2，则a＞b
B.若＞，则a＜b
C.若ac2＞bc2，则a＞b
D.若＜，则a＜b
题型三 利用不等式性质求代数式的值或范围
【例3】 （1）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围；
（2）已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）在本例（1）条件下，求的取值范围.
通性通法
利用不等式的性质求代数式范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
【跟踪训练】
已知－6＜a＜8，2＜b＜3，则的取值范围为 .
题型四 利用不等式性质证明不等式
角度1 综合法
【例4】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证＞.
尝试解答
角度2 分析法与反证法
【例5】 （1）用分析法证明：－4＜－；
（2）用反证法证明：n2＋3n（n∈N*）为偶数.
尝试解答
通性通法
利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点
（1）实质：就是根据性质把不等式变形；
（2）注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法.
【跟踪训练】
（1）设a≥b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2；
（2）设a＞0，求证：a2＋≥a＋.
实际问题中的不等关系
糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效.可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性.根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果.专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠.在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠.
【问题探究】
下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
（1）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
（2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
（3）如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
提示：（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式＞（其中a，b，m为正实数，且b＞a）成立.
不妨用作差比较法，证明如下：
－＝＝.
∵a，b，m为正实数，且a＜b，
∴b＋m＞0，b－a＞0，
∴＞0，
即＞.
（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且＜，求证：＜＜（其中b＞a＞0，d＞c＞0）.
证明：∵＜，
且b＞a＞0，d＞c＞0，
∴ad＜bc，即bc－ad＞0，
－＝＝＜0，
即＜，
－＝＝＞0，
即＜.
∴＜＜.
（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证：＞（其中b＞a＞0，m＞0）.
证明：∵－＝＝＞0，
∴＞.
结论 （1）如果一个分式（b＞a＞0）的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大；
（2）两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间；
（3）一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小.
【迁移应用】
建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？
1.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ）
A.M＜N B.M＞N
C.M＝N D.M≥N
2.若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则（ ）
A.b＜0，c＜0 B.b＞0，c＞0
C.b＞0，c＜0 D.0＜c＜b或c＜b＜0
3.已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是（ ）
A.－7≤a－2b≤4 B.－6≤a－2b≤9
C.6≤a－2b≤9 D.－2≤a－2b≤8
4.（多选）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中不成立的是（ ）
A.若a＞b，c＞b，则a＞c
B.若a＞－b，则c－a＜c＋b
C.若a＞b，c＜d，则＞
D.若a2＞b2，则－a＜－b
5.设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为 .
2.2.1 不等式及其性质
【基础知识·重落实】
知识点一
1.a＜b 2.a＝b 3.a＞b
想一想
1.提示：是.
2.提示：p q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推（等价）.
知识点二
＞ ＞ ＜ ＞ b＜a ＞ ＞ ＞ ＞ ＞
想一想
1.提示：a＋c＞b＋d成立，a－c＞b－d不一定成立，但a－d＞b－c成立.
2.提示：不一定，但当a＞b＞0，c＞d＞0时，一定成立.
自我诊断
1.A 由M＝（x－1）（x－5），N＝（x－3）2，则M－N＝（x－1）（x－5）－（x－3）2＝（x2－6x＋5）－（x2－6x＋9）＝－4＜0，所以M＜N.故选A.
2.C 若a＞b，则ac2＞bc2不一定成立. 如：c＝0.所以该选项错误；－＝＜0，所以＜，所以该选项错误；－＝＞0，所以ab＜0，因为a＞b，所以a＞0，b＜0，所以该选项正确；－＝＜0，所以＜ ，所以该选项错误.故选C.
3.a＞－b＞b＞－a 解析：如图，在数轴上分别找出四个数所对应的点，从左往右所对应的数依次变大.即－a＜b＜0＜－b＜a.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）C （2）a＜b 解析：（1）t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，故t≤s.故选C.
（2）∵a＝＋2，b＝2＋，∴a2＝11＋4，b2＝11＋4，∴a2－b2＝4（－）＜0，
即a2＜b2，又a＞0，b＞0，
由推论5知a＜b，∴a，b的大小关系为a＜b.
跟踪训练
1.A 因为M－N＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝（x－2）2＋（y＋1）2，且x≠2，y≠－1，所以M－N＞0，所以M＞N，故选A.
2.a≥b 解析：a－b＝－＝＝≥0，当x＝1时，等号成立.所以a≥b.
【例2】 C 实数a，b，c满足a＞b＞c，所以对于A：当a＝3，b＝2，c＝－5时，a＋c＞b不成立，故A错误；对于B：当a＝3，b＝2，c＝0时，a｜c｜＝b｜c｜，故B错误；对于C：由于a＞b＞c，所以a－c＞b－c＞0，故－＜0，故C正确；对于D：当a＝3，b＝2，c＝0时，无意义，故D错误.故选C.
跟踪训练
CD A错，例如（－3）2＞22；B错，例如＞；C、D正确.
【例3】 解：（1）∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋（－8）＜a＋（－b）＜4＋（－2），
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是（8，32），a－b的取值范围是（－7，2）.
（2）设a＋3b＝λ1（a＋b）＋λ2（a－2b）＝（λ1＋λ2）a＋（λ1－2λ2）b，从而解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤（a＋b）≤，－2≤－（a－2b）≤－，
∴－≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范围为.
母题探究
解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范围是.
跟踪训练
（－3，4） 解析：∵－6＜a＜8，2＜b＜3.∴＜＜，
①当0≤a＜8时，0≤＜4；
②当－6＜a＜0时，得0＜－a＜6，即0＜－＜3，
故－3＜＜0.由①②得：－3＜＜4.
故的取值范围为（－3，4）.
【例4】 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
则（a－c）2＞（b－d）2＞0，即＜.
又∵e＜0，∴＞.
【例5】 证明：（1）要证－4＜－，只需证＋＜＋4，
即证（＋）2＜（＋4）2，即证33＋2＜33＋2，
只需证＜.因为266＜272，
所以＜，
所以－4＜－得证.
（2）假设n2＋3n（n∈N*）为奇数，
因为n2＋3n＝n（n＋3），
所以n与n＋3均为奇数，所以n＋n＋3为偶数，
而n＋n＋3＝2n＋3为奇数，所以假设不成立.故n2＋3n（n∈N*）为偶数.
跟踪训练
证明：（1）（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝（a3－a2b）＋（b3－ab2）
＝a2（a－b）＋b2（b－a）
＝（a2－b2）（a－b）＝（a＋b）（a－b）2，
又a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，而（a－b）2≥0，
∴（a＋b）（a－b）2≥0，
故（a3＋b3）－（a2b＋ab2）≥0，即a3＋b3≥a2b＋ab2.
（2）要证a2＋≥a＋，只要证a4＋1≥a3＋a，
只要证a4－a3－（a－1）≥0，只要证a3（a－1）－（a－1）≥0，
只要证（a3－1）（a－1）≥0，只要证（a－1）2（a2＋a＋1）≥0，
因为（a－1）2≥0，a2＋a＋1＝＋＞0，
所以（a－1）2（a2＋a＋1）≥0成立，所以a＞0时，a2＋≥a＋成立.
拓视野 实际问题中的不等关系
迁移应用
解：设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然，a，b，n均为正实数，且a＜b，由题设及“糖水浓度不等式”可得：≤＜.
故住宅的采光条件变好了.
随堂检测
1.B ∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，
∴－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，
∴M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）
＝a1a2－a1－a2＋1＝a1（a2－1）－（a2－1）
＝（a1－1）（a2－1）＞0，∴M＞N.
2.D 由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.故选D.
3.A 因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.故选A.
4.ACD 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C，不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有当a＞b＞0时才成立.故选A、C、D.
5.y＜－y＜x 解析：∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，
∴y＜－y＜x.
6 / 6(共74张PPT)
2.2.1 不等式及其性质
新课程标准解读 核心素养
理解不等式的概念，掌握不等式的性质 数学抽象、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手
抚摸着短裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光.只见她踮起脚尖，一个优
雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，
那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚
尖呢？因为一般的人，下半身长 x 与全身长 y 的比值 在0.57～0.6之间.
设人的脚尖立起提高了 m ，则下半身长与全身长度的比由 变成了
，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活
中的应用.
【问题】 不等式还有哪些重要的性质呢？
知识点一 比较实数 a ， b 的大小
1. a － b ＜0 .
2. a － b ＝0 .
3. a － b ＞0 .
a ＜ b
a ＝ b
a ＞ b
【想一想】
1. 在比较两实数 a ， b 大小的依据中， a ， b 两数是任意实数吗？
提示：是.
2. p q 的含义是什么？
提示： p q 的含义是： p 可以推出 q ， q 也可以推出 p ，即 p 与 q 可
以互推（等价）.
知识点二 不等式的性质
性质1：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c b ＋ c .
性质2：如果 a ＞ b ， c ＞0，那么 ac bc .
性质3：如果 a ＞ b ， c ＜0，那么 ac bc .
性质4：如果 a ＞ b ， b ＞ c ，那么 a c .（传递性）
性质5： a ＞ b .
推论1：如果 a ＋ b ＞ c ，那么 a c － b .（不等式的移项法则）
推论2：如果 a ＞ b ， c ＞ d ，那么 a ＋ c b ＋ d .（同向可加性）
推论3：如果 a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0，那么 ac bd .
推论4：如果 a ＞ b ＞0，那么 an bn （ n ∈N， n ＞1）.
推论5：如果 a ＞ b ＞0，那么 .
＞
＞
＜
＞
b ＜ a
＞
＞
＞
＞
＞
【想一想】
1. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ d 成立吗？ a － c ＞ b － d 呢？
提示： a ＋ c ＞ b ＋ d 成立， a － c ＞ b － d 不一定成立，但 a － d ＞ b
－ c 成立.
2. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，那么 ac ＞ bd 成立吗？
提示：不一定，但当 a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0时，一定成立.
1. 设 M ＝（ x －1）（ x －5）， N ＝（ x －3）2，则 M 与 N 的大小关系
是（ ）
A. M ＜ N B. M ＞ N
C. M ＝ N D. 不能确定
解析： 由 M ＝（ x －1）（ x －5）， N ＝（ x －3）2，则 M － N
＝（ x －1）（ x －5）－（ x －3）2＝（ x2－6 x ＋5）－（ x2－6 x ＋
9）＝－4＜0，所以 M ＜ N . 故选A.
2. 对于实数 a ， b ， c ，下列命题中是真命题的是（ ）
A. 若 a ＞ b ，则 ac2＞ bc2
解析： 若 a ＞ b ，则 ac2＞ bc2不一定成立. 如： c ＝0.所以该选项
错误； － ＝ ＜0，所以 ＜ － ＝
＞0，所以 ab ＜0，因为 a ＞ b ，所以 a ＞0， b ＜0，所以该选项正
确； － ＝ ＜0，所以 ＜ ，所以该选项错误.故选C.
3. 已知 a ＋ b ＞0， b ＜0，那么 a ， b ，－ a ，－ b 的大小关系是 （用“＞”连接）.
解析：如图，在数轴上分别找出四个数所对应
的点，从左往右所对应的数依次变大.即－ a ＜
b ＜0＜－ b ＜ a .
a ＞－
b ＞ b ＞－ a
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 作差法比较大小
【例1】 （1）已知 t ＝2 a ＋2 b ， s ＝ a2＋2 b ＋1，则（ C ）
A. t ＞ s B. t ≥ s
C. t ≤ s D. t ＜ s
解析： t－ s ＝（2 a ＋2 b ）－（ a2＋2 b ＋1）＝－（ a －1）2≤0，故 t
≤ s .故选C.
（2）设 a ＝ ＋2 ， b ＝2＋ ，则 a ， b 的大小关系为 .
解析：∵ a ＝ ＋2 ， b ＝2＋ ，∴ a2＝11＋4 ， b2＝11
＋4 ，∴ a2－ b2＝4（ － ）＜0，
即 a2＜ b2，又 a ＞0， b ＞0，由推论5知 a ＜ b ，
∴ a ， b 的大小关系为 a ＜ b .
a ＜ b
通性通法
作差法比较大小的步骤
【跟踪训练】
1. 已知 x ≠2， y ≠－1， M ＝ x2＋ y2－4 x ＋2 y ， N ＝－5，则 M 与 N 的
大小关系是（ ）
A. M ＞ N B. M ＜ N
C. M ＝ N D. 不能确定
解析： 因为 M － N ＝ x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋5＝（ x －2）2＋（ y ＋
1）2，且 x ≠2， y ≠－1，所以 M － N ＞0，所以 M ＞ N ，故选A.
2. 若 x ∈R，则 a ＝ 与 b ＝ 的大小关系为 .
解析： a － b ＝ － ＝ ＝ ≥0，当 x ＝1时，
等号成立.所以 a ≥ b .
a ≥ b
题型二 利用不等式性质判断命题的真假
【例2】 若实数 a ， b ， c 满足 a ＞ b ＞ c ，则下列不等式正确的是
（ ）
A. a ＋ c ＞ b B. a ｜ c ｜＞ b ｜ c ｜
解析： 实数 a ， b ， c 满足 a ＞ b ＞ c ，所以对于A：当 a ＝3， b ＝
2， c ＝－5时， a ＋ c ＞ b 不成立，故A错误；对于B：当 a ＝3， b ＝
2， c ＝0时， a ｜ c ｜＝ b ｜ c ｜，故B错误；对于C：由于 a ＞ b ＞ c ，
所以 a － c ＞ b － c ＞0，故 － ＜0，故C正确；对于D：当 a ＝
3， b ＝2， c ＝0时， 无意义，故D错误.故选C.
通性通法
运用不等式的性质判断命题真假的技巧
（1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱
化条件，尤其是不能随意捏造性质；
（2）解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取
值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算.
【跟踪训练】
（多选）下列命题正确的是（ ）
A. 若 a2＞ b2，则 a ＞ b
C. 若 ac2＞ bc2，则 a ＞ b
解析： A错，例如（－3）2＞22；B错，例如 ＞ ；C、D正确.
题型三 利用不等式性质求代数式的值或范围
【例3】 （1）已知1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，试求2 a ＋3 b 与 a － b 的取
值范围；
解：∵1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，∴2＜2 a ＜8，6＜3 b ＜24.
∴8＜2 a ＋3 b ＜32.
∵2＜ b ＜8，∴－8＜－ b ＜－2.
又∵1＜ a ＜4，
∴1＋（－8）＜ a ＋（－ b ）＜4＋（－2），
即－7＜ a － b ＜2.
故2 a ＋3 b 的取值范围是（8，32）， a － b 的取值范围是（－
7，2）.
（2）已知－1≤ a ＋ b ≤1，1≤ a －2 b ≤3，求 a ＋3 b 的取值范围.
解：设 a ＋3 b ＝λ1（ a ＋ b ）＋λ2（ a －2 b ）＝（λ1＋λ2） a
＋（λ1－2λ2） b ，从而解得λ1＝ ，λ2＝－ .
又－ ≤ （ a ＋ b ）≤ ，－2≤－ （ a －2 b ）≤－ ，
∴－ ≤ a ＋3 b ≤1.
故 a ＋3 b 的取值范围为 .
【母题探究】
（变设问）在本例（1）条件下，求 的取值范围.
解：∵2＜ b ＜8，∴ ＜ ＜ ，而1＜ a ＜4，
∴1× ＜ a · ＜4× ＜ ＜2.
故 .
通性通法
利用不等式的性质求代数式范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等
式的性质进行运算，求得待求的范围；
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是
等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩
大其取值范围.
【跟踪训练】
已知－6＜ a ＜8，2＜ b ＜3，则 的取值范围为 .
解析：∵－6＜ a ＜8，2＜ b ＜3.∴ ＜ ＜ ，
①当0≤ a ＜8时，0≤ ＜4；
（－3，4）
②当－6＜ a ＜0时，得0＜－ a ＜6，
即0＜－ ＜3，
故－3＜ ＜0.
由①②得：－3＜ ＜4.
故 的取值范围为（－3，4）.
题型四 利用不等式性质证明不等式
角度1 综合法
【例4】 若 a ＞ b ＞0， c ＜ d ＜0， e ＜0，求证 ＞ .
证明：∵ c ＜ d ＜0，∴－ c ＞－ d ＞0.
又 a ＞ b ＞0，∴ a － c ＞ b － d ＞0.
则（ a － c ）2＞（ b － d ）2＞0，即 ＜ .
又∵ e ＜0，∴ ＞ .
角度2 分析法与反证法
【例5】 （1）用分析法证明： －4＜ － ；
证明：要证 －4＜ － ＋ ＜ ＋4，
即证（ ＋ ）2＜（ ＋4）2，即证33＋2 ＜33＋2
，
只需证 ＜ .因为266＜272，
所以 ＜ ，
所以 －4＜ － 得证.
（2）用反证法证明： n2＋3 n （ n ∈N*）为偶数.
证明：假设 n2＋3 n （ n ∈N*）为奇数，
因为 n2＋3 n ＝ n （ n ＋3），
所以 n 与 n ＋3均为奇数，
所以 n ＋ n ＋3为偶数，
而 n ＋ n ＋3＝2 n ＋3为奇数，
所以假设不成立.故 n2＋3 n （ n ∈N*）为偶数.
通性通法
利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点
（1）实质：就是根据性质把不等式变形；
（2）注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确
地加以应用；
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成
立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质
与法则.
证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式
可以灵活选择分析法与反证法.
【跟踪训练】
（1）设 a ≥ b ＞0，求证： a3＋ b3≥ a2 b ＋ ab2；
证明：（ a3＋ b3）－（ a2 b ＋ ab2）＝（ a3－ a2 b ）＋（ b3－
ab2）
＝ a2（ a － b ）＋ b2（ b － a ）
＝（ a2－ b2）（ a － b ）＝（ a ＋ b ）（ a － b ）2，
又 a ＞0， b ＞0，∴ a ＋ b ＞0，而（ a － b ）2≥0，
∴（ a ＋ b ）（ a － b ）2≥0，
故（ a3＋ b3）－（ a2 b ＋ ab2）≥0，即 a3＋ b3≥ a2 b ＋ ab2.
（2）设 a ＞0，求证： a2＋ ≥ a ＋ .
证明：要证 a2＋ ≥ a ＋ ，只要证 a4＋1≥ a3＋ a ，
只要证 a4－ a3－（ a －1）≥0，只要证 a3（ a －1）－（ a －1）
≥0，
只要证（ a3－1）（ a －1）≥0，只要证（ a －1）2（ a2＋ a ＋
1）≥0，
因为（ a －1）2≥0， a2＋ a ＋1＝ ＋ ＞0，
所以（ a －1）2（ a2＋ a ＋1）≥0成立，所以 a ＞0时， a2＋ ≥
a ＋ 成立.
实际问题中的不等关系
糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效.可以作为糖水的材料有很
多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性.
根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果.专家称，
喝糖水可缓解烦躁失眠.在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生
大量血清素，亦可助眠.
【问题探究】
下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
（1）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
提示：设糖水 b 克，含糖 a 克，糖水浓度
为 ，加入 m 克糖，即证明不等式 ＞
（其中 a ， b ， m 为正实数，且 b ＞ a ）成立.
不妨用作差比较法，证明如下：
－ ＝ ＝ .
∵ a ， b ， m 为正实数，且 a ＜ b ，
∴ b ＋ m ＞0， b － a ＞0，∴ ＞0，即 ＞ .
（2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到
的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
提示：设原糖水 b 克，含糖 a 克，糖水浓
度为 ；另一份糖水 d 克，含糖 c 克，糖水浓度
为 ＜ ＜ ＜ （其中 b
＞ a ＞0， d ＞ c ＞0）.
证明：∵ ＜ ，且 b ＞ a ＞0， d ＞ c ＞0，
∴ ad ＜ bc ，即 bc － ad ＞0，
－ ＝ ＝ ＜0，
即 ＜ ，
－ ＝ ＝ ＞0，
即 ＜ .
∴ ＜ ＜ .
（3）如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
提示：设原糖水 b 克，含糖 a 克，糖水浓
度为 ，加入 m 克水，求证： ＞ （其中
b ＞ a ＞0， m ＞0）.
证明：∵ － ＝ ＝
＞0，
∴ ＞ .
结论 （1）如果一个分式 （ b ＞ a ＞0）的分子分母同时增大
相同的值，则该分式的值变大；
（2）两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个
分式之间；
（3）一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小.
【迁移应用】
建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按
采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个
比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板
面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？
解：设窗户面积为 a m2，地板面积为 b m2，增加的面积为 n
m2，显然， a ， b ， n 均为正实数，且 a ＜ b ，由题设及“糖水浓
度不等式”可得： ≤ ＜ .
故住宅的采光条件变好了.
1. 已知0＜ a1＜1，0＜ a2＜1，记 M ＝ a1 a2， N ＝ a1＋ a2－1，则 M 与 N
的大小关系是（ ）
A. M ＜ N B. M ＞ N
C. M ＝ N D. M ≥ N
解析： ∵0＜ a1＜1，0＜ a2＜1，∴－1＜ a1－1＜0，－1＜ a2－1
＜0，∴ M － N ＝ a1 a2－（ a1＋ a2－1）＝ a1 a2－ a1－ a2＋1＝ a1（ a2
－1）－（ a2－1）＝（ a1－1）（ a2－1）＞0，∴ M ＞ N .
2. 若 abcd ＜0，且 a ＞0， b ＞ c ， d ＜0，则（ ）
A. b ＜0， c ＜0 B. b ＞0， c ＞0
C. b ＞0， c ＜0 D. 0＜ c ＜ b 或 c ＜ b ＜0
解析： 由 a ＞0， d ＜0，且 abcd ＜0，知 bc ＞0，又∵ b ＞ c ，
∴0＜ c ＜ b 或 c ＜ b ＜0.故选D.
3. 已知1≤ a ≤2，－1≤ b ≤4，则 a －2 b 的取值范围是（ ）
A. －7≤ a －2 b ≤4 B. －6≤ a －2 b ≤9
C. 6≤ a －2 b ≤9 D. －2≤ a －2 b ≤8
解析： 因为－1≤ b ≤4，所以－8≤－2 b ≤2，由1≤ a ≤2，得
－7≤ a －2 b ≤4.故选A.
4. （多选）已知 a ， b ， c ， d ∈R，则下列结论中不成立的是（ ）
A. 若 a ＞ b ， c ＞ b ，则 a ＞ c
B. 若 a ＞－ b ，则 c － a ＜ c ＋ b
D. 若 a2＞ b2，则－ a ＜－ b
解析： 选项A，若 a ＝4， b ＝2， c ＝5，显然不成立；选项
C，不满足倒数不等式的条件，如 a ＞ b ＞0， c ＜0＜ d 时，不成
立；选项D，只有当 a ＞ b ＞0时才成立.故选A、C、D.
5. 设 x ＞1，－1＜ y ＜0，将 x ， y ，－ y 按从小到大的顺序排列为
.
解析：∵－1＜ y ＜0，∴0＜－ y ＜1，∴ y ＜－ y ，又 x ＞1，∴ y ＜
－ y ＜ x .
y ＜－ y ＜ x
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知｜ m ｜＞｜ n ｜＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. m ＞ n B. ｜ m ｜＋ n ＞0
C. m ＋ n ＜0
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解析： 对于A，若 m ＝－2， n ＝1时，满足｜ m ｜＞｜ n ｜＞0，
而不满足 m ＞ n ，所以A错误；对于B，当 n ＞0时，则｜ m ｜＋ n ＞
0一定成立，当 n ＜0时，由｜ m ｜＞｜ n ｜＞0，得｜ m ｜＞－ n ，
则｜ m ｜＋ n ＞0，所以B正确；对于C，若 m ＝2， n ＝1时，满足｜
m ｜＞｜ n ｜＞0，而不满足 m ＋ n ＜0，所以C错误；对于D，若 m
＝－2， n ＝－1时，则满足｜ m ｜＞｜ n ｜＞0，而不满足 ＜ ，
所以D错误，故选B.
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2. 已知 c ＞1，且 x ＝ － ， y ＝ － ，则 x ， y 之间的
大小关系是（ ）
A. x ＞ y B. x ＝ y
C. x ＜ y D. x ， y 的关系随 c 而定
解析： 由题设，易知 x ， y ＞0，又 ＝ ＝ ＜1，
∴ x ＜ y .故选C.
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3. 设0＜α＜ ，0≤β≤ ，则2α－ 的范围是（ ）
解析： 由已知，得0＜2α＜π，0≤ ≤ ，∴－ ≤－ ≤0，由
同向不等式相加得到－ ＜2α－ ＜π.
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4. 下面四个条件中，使 a ＞ b 成立的必要而不充分的条件是（ ）
A. a ＞ b ＋1 B. a ＞ b －1
C. a2＞ b2 D. a3＞ b3
解析： 对A. 当 a ＝3， b ＝2.5时，此时 a ＞ b 不能推出 a ＞ b ＋
1，不满足必要性；对B. 由 a ＞ b ，可得 a ＞ b －1；反之不成立，满
足必要不充分；对C. 当 a ＝3， b ＝－3时，此时 a ＞ b 不能推出 a2＞
b2，不满足必要性；对D. 由 a ＞ b ，可得 a3＞ b3，反之 a3＞ b3也可推
出 a ＞ b ，是充要条件.故选B.
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5. （多选）若 x ＞1＞ y ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. x －1＞1－ y B. x －1＞ y －1
C. x － y ＞1－ y D. 1－ x ＞ y － x
解析： 对选项A可用特殊值法.令 x ＝2， y ＝－1，则 x －1＝2
－1＜1－（－1）＝1－ y ，故选项A中不等式不成立； x －1－（ y －
1）＝ x － y ＞0，故选项B中不等式成立； x － y －（1－ y ）＝ x －1
＞0，故选项C中不等式成立；1－ x －（ y － x ）＝1－ y ＞0，故选
项D中不等式成立，故选B、C、D.
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6. 能够说明“设 a ， b ， c 是任意实数.若 a2＋ b2＞ c2，则 a ＋ b ＞ c ”
是假命题的一组整数 a ， b ， c 的值依次为
.
解析：令 a ＝－3， b ＝－1， c ＝1，则 a2＋ b2＝10＞1＝ c2，此时 a
＋ b ＝－4＜－1，所以“ a ＋ b ＞ c ”是假命题.
－3，－1，1（答案不唯
一）
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7. 给出下列命题：
①若 a ＜ b ， c ＜0，则 ＜ ；
②若 ac－3＞ bc－3，则 a ＞ b ；
③若 a ＞ b 且 k ∈N*，则 ak ＞ bk ；
④若 c ＞ a ＞ b ＞0，则 ＞ .
其中是真命题的有 （填序号）.
④
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解析：①当 ab ＜0时， ＞ ，故①为假命题；
②当 c ＜0时， c3＜0，不等式 ac－3＞ bc－3的两边同时乘以 c3，得 a ＜
b ，故②为假命题；
③当 a ＝1， b ＝－2， k ＝2时，12＜（－2）2，故③为假命题；
④∵ a ＞ b ＞0，∴－ a ＜－ b ＜0，∴0＜ c － a ＜ c － b .
同乘以 ，得0＜ ＜ ，
又 a ＞ b ＞0，∴ ＞ ＞ ，故④为真命题.
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8. 设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ，若1≤ f （－1）≤2，2≤ f （1）≤4，则 f
（－2）的取值范围是 .
解析：设 f （－2）＝ mf （－1）＋ nf （1）（ m ， n 为待定系数），
则4 a －2 b ＝ m （ a － b ）＋ n （ a ＋ b ），
即4 a －2 b ＝（ m ＋ n ） a ＋（ n － m ） b .
于是得
∴ f （－2）＝3 f （－1）＋ f （1）.
又∵1≤ f （－1）≤2，2≤ f （1）≤4.
∴5≤3 f （－1）＋ f （1）≤10，故5≤ f （－2）≤10.
[5，10]
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9. 已知0＜ a ＜ b 且 a ＋ b ＝1，试比较：
（1） a2＋ b2与 b 的大小；
解：因为0＜ a ＜ b 且 a ＋ b ＝1，所以0＜ a ＜ ＜ b ，
则 a2＋ b2－ b ＝ a2＋ b （ b －1）＝ a2－ ab ＝ a （ a － b ）＜0，
所以 a2＋ b2＜ b .
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（2）2 ab 与 的大小.
解：因为2 ab － ＝2 a （1－ a ）－
＝－2 a2＋2 a － ＝－2
＝－2 ＜0，
所以2 ab ＜ .
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10. （多选）若 ＜ ＜0，则下列结论中正确的是（ ）
A. a2＜ b2 B. ab ＜ b2
C. a ＋ b ＜0 D. ｜ a ｜＋｜ b ｜＞｜ a ＋ b ｜
解析： 因为 ＜ ＜0，所以 b ＜ a ＜0，所以 b2＞ a2， ab ＜
b2， a ＋ b ＜0，所以A、B、C均正确，因为 b ＜ a ＜0，所以｜ a ｜
＋｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜，故D错误.故选A、B、C.
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11. 已知三个不等式：① ab ＞0；② ＞ ；③ bc ＞ ad .则以其中两个命
题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题
（ ）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
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解析： 由于 ab ＞0，在 bc ＞ ad 两边同除以 ab ，得 ＞ ，故①
③ ②成立；由于 ab ＞0，在 ＞ 的两边同乘以 ab ，得 bc ＞ ad ，
故①② ③成立；由 ＞ ＞0，结合 bc ＞
ad ，得分母 ab ＞0，故②③ ①成立.综上所述，以其中两个作条
件，余下的一个作结论，可组成3个真命题.故选D.
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12. （1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等
于60°；
证明：在△ ABC 中，由内角和定理得 A ＋ B ＋ C ＝
180°，假设至少有一个内角大于或等于60°不正确，则三个角
都小于60°，即 A ＜60°， B ＜60°， C ＜60°，
则 A ＋ B ＋ C ＜60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形内角和定
理相矛盾，
故假设不成立，所证结论正确.
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（2）证明：用分析法证明 ＋ ＞2 ＋2.
证明：要证 ＋ ＞2 ＋2，只要证（ ＋ ）2＞（2 ＋2）2，即证16＋2 ＞16＋8 ，即证2 ＞8 ，即证240＞192，因为240＞192显然成立，
所以原不等式成立.
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13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，
且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）
分别为 x ， y ， z ，且 x ＜ y ＜ z ，三种颜色涂料的粉刷费用（单
位：元/m2）分别为 a ， b ， c ，且 a ＜ b ＜ c .在不同的方案中，最
低的总费用（单位：元）是（ ）
A. ax ＋ by ＋ cz B. az ＋ by ＋ cx
C. ay ＋ bz ＋ cx D. ay ＋ bx ＋ cz
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解析： 法一 ∵ x ＜ y ＜ z 且 a ＜ b ＜ c ，
∴ ax ＋ by ＋ cz －（ az ＋ by ＋ cx ）
＝ a （ x － z ）＋ c （ z － x ）＝（ x － z ）（ a － c ）＞0，
∴ ax ＋ by ＋ cz ＞ az ＋ by ＋ cx ；
同理， ay ＋ bz ＋ cx －（ ay ＋ bx ＋ cz ）
＝ b （ z － x ）＋ c （ x － z ）
＝（ z － x ）（ b － c ）＜0，
∴ ay ＋ bz ＋ cx ＜ ay ＋ bx ＋ cz ；
同理， az ＋ by ＋ cx －（ ay ＋ bz ＋ cx ）
＝ a （ z － y ）＋ b （ y － z ）
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＝（ z － y ）（ a － b ）＜0，
∴ az ＋ by ＋ cx ＜ ay ＋ bz ＋ cx .
∴最低费用为 az ＋ by ＋ cx （元）.
故选B.
法二（特殊值法） 取 x ＝1， y ＝2， z ＝3， a ＝1， b ＝2， c ＝
3，则 ax ＋ by ＋ cz ＝1×1＋2×2＋3×3＝14； az ＋ by ＋ cx ＝1×3＋
2×2＋3×1＝10； ay ＋ bz ＋ cx ＝1×2＋2×3＋3×1＝11； ay ＋ bx ＋
cz ＝1×2＋2×1＋3×3＝13.故选B.
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14. 某单位计划今、明两年均购买某物品，现有甲、乙两种不同的购
买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金
额相等.假设今、明两年该物品的单价分别为 p1， p2（ p1≠ p2），
记甲、乙方案中的平均价格分别为 Q1， Q2，比较 Q1， Q2的大小，
并说明哪种方案比较划算.
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解：对于甲方案，设每年购买的数量为 x ，则两年购买的总金额为
p1 x ＋ p2 x ，
平均价格 Q1＝ ＝ .
对于乙方案，设每年购买的金额为 y ，则两年购买的总数量为 ＋
，平均价格 Q2＝ ＝ .
因为 Q1－ Q2＝ － ＝ ＝
＞0，所以 Q1＞ Q2.
因此使用乙方案较划算.
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