2.2.2 不等式的解集
1.已知关于x的不等式ax<1的解集为R,则( )
A.a>0 B.a=0
C.a<0 D.a不存在
2.不等式组的解集为( )
A.(-2,1]
B.(-∞,-2)∪[1,+∞)
C.[1,+∞)
D.(-∞,-2)
3.在数轴上,已知A(a-1),B(1-a),原点为O,则( )
A.a<1 B.a≥1
C.AB=0 D.OA=OB
4.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
5.(多选)如果关于x的不等式组的解集为{x|x<1},且关于x的分式方程+=3有非负数解,则符合条件的整数m可以是( )
A.-2 B.0
C.1 D.2
6.若1是关于x的不等式ax+1>2a-x的解,则实数a的取值范围是 .
7.不等式<的解集为 .
8.不等式组的解集为 .
9.已知关于x的不等式组
(1)当m=-11时,求不等式组的解集;
(2)当m取何值时,该不等式组的解集是 ?
10.已知条件p:|x+1|>2,条件q:x>a,且 p是 q的充分不必要条件,则实数a的值范围为( )
A.[1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-∞,1] D.(-∞,3]
11.对于任意实数x,不等式|x+7|≥m+2恒成立,则实数m的取值范围是 .
12.已知集合A={x∈R||x-1|<a,a∈R},B={x∈R||x-1|>2}.
(1)若A∩B= ,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
13.设a为实数,若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数,则a的取值范围是 .
14.已知不等式|x+2|-|x+3|>m.
(1)若不等式有解;
(2)若不等式解集为R;
(3)若不等式解集为 .
分别求出m的范围.
2.2.2 不等式的解集
1.B 当a=0时,0<1恒成立,∴不等式的解集为R,故选B.
2.C 由得∴x≥1.
3.D ∵a-1与1-a互为相反数,∴OA=OB,故选D.
4.A 原不等式可化为或或
解得0≤x≤3,所以最小整数解是0,故选A.
5.ABC 解不等式≤1,得x≤m+3,解不等式x-4>3(x-2),得x<1,
∵不等式组的解集为{x|x<1},∴m+3≥1,解得m≥-2.
解分式方程+=3得x=,
∵分式方程有非负数解,∴≥0且≠1,解得m<3且m≠2,
∴-2≤m<3且m≠2,
则符合条件的整数m的值是-2,-1,0,1.
故选A、B、C.
6.(-∞,2) 解析:因为1是关于x的不等式ax+1>2a-x的解,所以a+1>2a-1,解得a<2,
所以实数a的取值范围是(-∞,2).
7.(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:因为<,所以|x-1|>2,所以x-1>2或x-1<-2,即x>3或x<-1,
因此,原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
8.[-4,1] 解析:记原不等式组为
解不等式①,得x≤1.解不等式②,得x≥-4.
故原不等式组的解集为[-4,1].
9.解:(1)当m=-11时,
解不等式①得x>-4,解不等式②得x<-,
∴不等式组的解集为.
(2)解不等式m-2x<x-1,得x>.
∵不等式组的解集为 ,
∴≥-,∴m≥-.
10.A 由条件p:|x+1|>2,解得x>1或x<-3,故 p:-3≤x≤1,由条件q:x>a得 q:x≤a,
∵ p是 q的充分不必要条件,∴a≥1,故选A.
11.(-∞,-2] 解析:令y=|x+7|,要使任意x∈R,|x+7|≥m+2恒成立,只需m+2≤ymin,
因为ymin=0,所以m+2≤0,
所以m≤-2,所以m的取值范围是(-∞,-2].
12.解:(1)由|x-1|>2得x<-1或x>3,所以B=(-∞,-1)∪(3,+∞).
当a≤0时,A= ,符合题意;
当a>0时,A=(1-a,1+a),由题知所以0<a≤2.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,2].
(2)当a≤0时,A= ,符合题意;
当a>0时,A=(1-a,1+a),由于1-a<1<3,1+a>0>-1,不满足A B.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0].
13. 解析:关于x的一元一次不等式组的解集为,则a>0,
故0一定为不等式组的一个整数解,
若不等式的4个整数解为0,1,2,3时,
则解得<a≤2;当不等式的4个整数解为-1,0,1,2时,则不等式组无解,综上所述,a的取值范围是.
14.解:法一 因|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(-2),B(-3)距离的差.
即|x+2|-|x+3|=PA-PB.
由图(图略)知(PA-PB)max=1,
(PA-PB)min=-1.即-1≤|x+2|-|x+3|≤1.
(1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可,即m<1,m的范围为(-∞,1).
(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m只要比|x+2|-|x+3|的最小值还小,即m<-1,m的范围为(-∞,-1).
(3)若不等式的解集为 ,m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即可,即m≥1,m的范围为[1,+∞).
法二 由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1,|x+3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1,
可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1.
(1)若不等式有解,则m∈(-∞,1).
(2)若不等式解集为R,则m∈(-∞,-1).
(3)若不等式解集为 ,则m∈[1,+∞).
2 / 22.2.2 不等式的解集
新课程标准解读 核心素养
1.会求一元一次不等式(组)的解集 数学运算
2.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解 直观想象、数学运算
运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否小于18”为一次程序操作, 输入x后程序操作仅进行了一次就停止.
【问题】 (1)情境中的运算程序涉及何不等式?
(2)如何解此不等式?
知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
1.不等式的解集
一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
2.不等式组的解集
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
【想一想】
1.不等式ax+b>0的解集是吗?
2.不等式的解集是否一定为无限集?
知识点二 绝对值不等式
1.绝对值的定义
数轴上表示数a的点与 的距离称为数a的绝对值,记作|a|.而且一个正数的绝对值是 ,一个负数的绝对值是 ,0的绝对值是 .
2.绝对值不等式
一般地,含有 的不等式称为绝对值不等式.
3.绝对值不等式的解集
当m>0时,关于x的不等式|x|>m的解集为 ;关于x的不等式|x|≤m的解集为 .
提醒 |ax+b|≤m,|ax+b|≥m(m>0)型不等式的解法:只需将ax+b看成一个整体,即化成|x|≤m,|x|≥m(m>0)型不等式求解.①|ax+b|≤m(m>0)型不等式的解法:先化为-m≤ax+b≤m,再由不等式的性质求出该不等式的解集;②|ax+b|≥m(m>0)型不等式的解法:先化为ax+b≥m或ax+b≤-m,再进一步利用不等式性质求出该不等式的解集.
知识点三 数轴上的坐标与距离
1.两点间的距离公式
一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB= ,这就是数轴上两点之间的距离公式.
2.中点坐标公式
若线段AB的中点M对应的数为x,则x= 就是数轴上的中点坐标公式.
【想一想】
不等式|x+1|≤3的解集的几何意义是什么?
1.不等式-3x+2>0的解集为( )
A.{x|x<1或x>2} B.{x|x>0}
C. D.{x|x<7}
2.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则数轴上满足条件PA=PB的点P的坐标为( )
A. B.
C. D.b-a
3.不等式|x-1|≤2的解集为 .
题型一 不等式组的解法
【例1】 (链接教科书第68页例1)解下列不等式组:
(1)
(2)
尝试解答
通性通法
不等式组的求解步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集;
(2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集);
(3)写出不等式组的解集.
【跟踪训练】
1.若不等式组有解,则实数a的取值范围是( )
A.a<-36 B.a≤-36
C.a>-36 D.a≥-36
2.在一元一次不等式组的解集中,整数解的个数是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
题型二 解含绝对值的不等式
角度1 |ax+b|≤c与|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
【例2】 不等式|5-4x|>9的解集为 .
尝试解答
【母题探究】
(变设问)若不等式|kx-5|≤9的解集为,则实数k= .
通性通法
|ax+b|≥c和|ax+b|≤c型不等式的解法
(1)当c>0时,|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c,|ax+b|≤c -c≤ax+b≤c;
(2)当c=0时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|<c的解集为 ;
(3)当c<0时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|≤c的解集为 .
角度2 |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
【例3】 (链接教科书第70页探索与研究)解不等式|x+7|-|x-2|≤3.
尝试解答
通性通法
分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法,一定要熟练掌握,在解答过程中要注意以下几点:
(1)分段要准确,注意等号的分布,避免重复或遗漏;
(2)每一段都有一个前提,每一段解出的范围都要和前提取“交集”,最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”,即“先分后合”;
(3)不等式的解集有两种书写形式:一是用集合的描述法表示,特殊时用列举法;二是用区间.
【跟踪训练】
1.不等式1≤|2x-1|<2的解集为( )
A.
B.
C.
D.
2.关于x的不等式|x|+|x-1|≥3的解集是( )
A.(-∞,-1]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-1]∪[2,+∞)
D.[-1,2]
题型三 数轴上的距离问题
【例4】 (链接教科书第70页例2)已知数轴上三点P(-8),Q(m),R(2).
(1)若其中一点到另外两点的距离相等,求实数m的值;
(2)若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1,求实数m的取值范围.
尝试解答
通性通法
1.当P(x)中x>0时,点P位于原点右侧,且点P与原点O的距离OP=x;当P(x)中x<0时,点P位于原点左侧,且点P与原点O的距离OP=-x.
2.由数轴上的点与实数的对应关系可知,点越靠向右方,对应的实数越大;点对应的实数越大,点越靠向右方.
【跟踪训练】
已知数轴上不同的两点A,B,若B点的坐标为3,且AB=5,则线段AB的中点M的坐标为( )
A. B.
C.4 D.或
1.数轴上点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则MP+PN=( )
A.-4 B.4
C.-12 D.12
2.不等式组的解集在数轴上表示为( )
3.不等式|x-2|-|x-1|>0的解集为( )
A. B.
C. D.
4.(多选)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )
A.A∩B= B.A∩B=
C.A∪B={x|x<2} D.A∪B=R
5.若m<1,则关于x的不等式x<mx-2的解集为 .
2.2.2 不等式的解集
【基础知识·重落实】
知识点一
想一想
1.提示:不一定.当a>0时,不等式ax+b>0的解集为;当a<0时,不等式ax+b>0的解集为.
2.提示:不一定.如不等式|x|<0的解集是空集,不等式x2≤0的解集是{0},为有限集.
知识点二
1.原点 它本身 它的相反数 0 2.绝对值
3.(-∞,-m)∪(m,+∞) [-m,m]
知识点三
1.|a-b| 2.
想一想
提示:数轴上与表示-1的点的距离小于或等于3的点对应的所有实数组成的集合.
自我诊断
1.C -3x+2>0 3x-2<0,得x<,所以不等式的解集是.故选C.
2.C 设点P的坐标为x.∵PA=PB,∴|a-x|=|b-x|,即a-x=±(b-x),解得x=,故选C.
3.[-1,3] 解析:|x-1|≤2 -2≤x-1≤2 -1≤x≤3,
∴不等式的解集为[-1,3].
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)解不等式①,得x<-6,解不等式②,得x≥2,把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
由图可知,解集没有公共部分,不等式组无解,即不等式组的解集为 .
(2)解不等式①,得x>-,解不等式②,得x≤,把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
由图可知不等式组的解集为.
跟踪训练
1.C 解不等式1+x<a可得x<a-1;解不等式+1≥-1,即3x+33≥2x-4,解得x≥-37.由于原不等式组有解,则a-1>-37,解得a>-36.故选C.
2.C 解不等式2x+1>0,得x>-.解不等式x-5≤0,得x≤5,所以不等式组的解集为,整数解为0,1,2,3,4,5,共6个.故选C.
【例2】 解析:∵|5-4x|>9,∴5-4x>9或5-4x<-9.
∴4x<-4或4x>14,∴x<-1或x>.
∴原不等式的解集为.
母题探究
4 解析:由|kx-5|≤9 -4≤kx≤14.
∵不等式的解集为,
∴k=4.
【例3】 解:法一 |x+7|-|x-2|
可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应点的距离与到2对应点的距离的差,先找到这个差等于3的点,即x=-1.由图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1,即x∈(-∞,-1].
法二 令x+7=0,x-2=0得x=-7,x=2.
①当x<-7时,不等式变为-x-7+x-2≤3,
∴-9≤3成立,∴x<-7.
②当-7≤x≤2时,不等式变为x+7+x-2≤3,
即2x≤-2,∴x≤-1,
∴-7≤x≤-1.
③当x>2时,不等式变为x+7-x+2≤3,
即9≤3不成立,
∴x∈ .
∴原不等式的解集为(-∞,-1].
跟踪训练
1.D 当2x-1≥0时,即x≥时,有1≤2x-1<2,解得1≤x<;当2x-1<0时,即x<时,有1≤1-2x<2,解得-<x≤0;
综上不等式的解集为.故选D.
2.C 当x≥1时,x+x-1≥3,解得x≥2,
当0<x<1时,x+1-x≥3,不成立,
当x≤0时,-x+1-x≥3,解得x≤-1,
综上,不等式的解集是(-∞,-1]∪[2,+∞),故选C.
【例4】 解:(1)若P是线段QR的中点,则-8=,
∴m=-18;
若Q是线段PR的中点,则m==-3;
若R是线段PQ的中点,则2=,∴m=12.
(2)由题意,知>1,
即>1,
∴-1>1或-1<-1,解得m>4或m<0,
∴实数m的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
跟踪训练
D 记点A(x1),B(x2),则x2=3.AB=|x2-x1|=5,即|3-x1|=5,解得x1=-2或x1=8.当x1=-2时,M的坐标为=;当x1=8时,M的坐标为=.故选D.
随堂检测
1.D MP+PN=|-5-3|+|-5-(-1)|=12.
2.C
解不等式2x-1≥5,得x≥3,解不等式8-4x<0,得x>2,[3,+∞)∩(2,+∞)=[3,+∞),故不等式组的解集为[3,+∞).在数轴上表示如图所示.故选C.
3.A ∵|x-2|-|x-1|>0,∴|x-2|>|x-1|,
∴(x-2)2>(x-1)2,可得-4x+4>-2x+1,∴x<.
∴不等式|x-2|-|x-1|>0的解集为.故选A.
4.AC 由3-2x>0得x<,A∩B={x|x<2}∩=,A正确,B错误.A∪B={x|x<2}∪={x|x<2},C正确,D错误.故选A、C.
5. 解析:因m<1,则1-m>0,不等式x<mx-2变形为不等式(1-m)x<-2,解得x<-,即x<,所以不等式x<mx-2的解集为.
4 / 4(共64张PPT)
2.2.2 不等式的解集
新课程标准解读 核心素养
1.会求一元一次不等式(组)的解集 数学运算
2.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解 直观想象、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
运行程序如图所示,从“输入实数 x ”到“结果是否小于18”为
一次程序操作, 输入 x 后程序操作仅进行了一次就停止.
【问题】 (1)情境中的运算程序涉及何不等式?
(2)如何解此不等式?
知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
1. 不等式的解集
一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
2. 不等式组的解集
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集
的交集称为不等式组的解集.
【想一想】
1. 不等式 ax + b >0的解集是 吗?
提示:不一定.当 a >0时,不等式 ax + b >0的解集为
;当 a <0时,不等式 ax + b >0的解集为 .
2. 不等式的解集是否一定为无限集?
提示:不一定.如不等式| x |<0的解集是空集,不等式 x2≤0的解
集是{0},为有限集.
知识点二 绝对值不等式
1. 绝对值的定义
数轴上表示数 a 的点与 的距离称为数 a 的绝对值,记作|
a |.而且一个正数的绝对值是 ,一个负数的绝对值
是 ,0的绝对值是 .
2. 绝对值不等式
一般地,含有 的不等式称为绝对值不等式.
原点
它本身
它的相反数
0
绝对值
3. 绝对值不等式的解集
当 m >0时,关于 x 的不等式| x |> m 的解集为
;关于 x 的不等式| x |≤ m 的解集为
.
(-∞,- m )
∪( m ,+∞)
[- m ,
m ]
提醒 | ax + b |≤ m ,| ax + b |≥ m ( m >0)型不等式
的解法:只需将 ax + b 看成一个整体,即化成| x |≤ m ,|
x |≥ m ( m >0)型不等式求解.①| ax + b |≤ m ( m >0)
型不等式的解法:先化为- m ≤ ax + b ≤ m ,再由不等式的性
质求出该不等式的解集;②| ax + b |≥ m ( m >0)型不等式
的解法:先化为 ax + b ≥ m 或 ax + b ≤- m ,再进一步利用不
等式性质求出该不等式的解集.
知识点三 数轴上的坐标与距离
1. 两点间的距离公式
一般地,如果实数 a , b 在数轴上对应的点分别为 A , B ,即 A
( a ), B ( b ),则线段 AB 的长为 AB = ,这就是
数轴上两点之间的距离公式.
2. 中点坐标公式
| a - b |
【想一想】
不等式| x +1|≤3的解集的几何意义是什么?
提示:数轴上与表示-1的点的距离小于或等于3的点对应的所有实数
组成的集合.
1. 不等式-3 x +2>0的解集为( )
A. { x | x <1或 x >2} B. { x | x >0}
D. { x | x <7}
解析: -3 x +2>0 3 x -2<0,得 x <
.故选C.
2. 已知数轴上不同的两点 A ( a ), B ( b ),则数轴上满足条件 PA
= PB 的点 P 的坐标为( )
D. b - a
解析: 设点 P 的坐标为 x .∵ PA = PB ,
∴| a - x |=| b - x |,即 a - x =±( b - x ),
解得 x = ,故选C.
3. 不等式| x -1|≤2的解集为 .
解析:| x -1|≤2 -2≤ x -1≤2 -1≤ x ≤3,
∴不等式的解集为[-1,3].
[-1,3]
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 不等式组的解法
【例1】 (链接教科书第68页例1)解下列不等式组:
(1)
解:解不等式①,得 x <-6,解
不等式②,得 x ≥2,把不等式①和②的
解集在数轴上表示出来:
由图可知,解集没有公共部分,不等式
组无解,即不等式组的解集为 .
(2)
解:解不等式①,得 x >- ,解不
等式②,得 x ≤ ,把不等式①和②的解
集在数轴上表示出来:
由图可知不等式组的解集为 .
通性通法
不等式组的求解步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集;
(2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集);
(3)写出不等式组的解集.
【跟踪训练】
1. 若不等式组有解,则实数 a 的取值范围是( )
A. a <-36 B. a ≤-36
C. a >-36 D. a ≥-36
解析: 解不等式1+ x < a 可得 x < a -1;解不等式 +1≥
-1,即3 x +33≥2 x -4,解得 x ≥-37.由于原不等式组有解,则 a
-1>-37,解得 a >-36.故选C.
2. 在一元一次不等式组的解集中,整数解的个数是
( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析: 解不等式2 x +1>0,得 x >- .解不等式 x -5≤0,得 x
≤5,所以不等式组的解集为 ,整数解为0,1,2,3,4,
5,共6个.故选C.
题型二 解含绝对值的不等式
解析:∵|5-4 x |>9,∴5-4 x >9或5-4 x <-9.
∴4 x <-4或4 x >14,∴ x <-1或 x > .
∴原不等式的解集为 .
【母题探究】
(变设问)若不等式| kx -5|≤9的解集为 ,则实数
k = .
解析:由| kx -5|≤9 -4≤ kx ≤14.
∵不等式的解集为 ,∴ k =4.
4
通性通法
| ax + b |≥ c 和| ax + b |≤ c 型不等式的解法
(1)当 c >0时,| ax + b |≥ c ax + b ≥ c 或 ax + b ≤- c ,| ax
+ b |≤ c - c ≤ ax + b ≤ c ;
(2)当 c =0时,| ax + b |≥ c 的解集为R,| ax + b |< c 的解集
为 ;
(3)当 c <0时,| ax + b |≥ c 的解集为R,| ax + b |≤ c 的解集
为 .
角度2 | x - a |+| x - b |≥ c 和| x - a |+| x - b |≤ c 型不
等式的解法
【例3】 (链接教科书第70页探索与研究)解不等式| x +7|-| x
-2|≤3.
解:法一 | x +7|-| x -2|可以看成数轴上的
动点(坐标为 x )到-7对应点的距离与到2对应点的
距离的差,先找到这个差等于3的点,即 x =-1.由
图易知不等式| x +7|-| x -2|≤3的解为 x ≤-
1,即 x ∈(-∞,-1].
法二 令 x +7=0, x -2=0得 x =-7, x =2.
①当 x <-7时,不等式变为- x -7+ x -2≤3,
∴-9≤3成立,∴ x <-7.
②当-7≤ x ≤2时,不等式变为 x +7+ x -2≤3,
即2 x ≤-2,∴ x ≤-1,∴-7≤ x ≤-1.
③当 x >2时,不等式变为 x +7- x +2≤3,
即9≤3不成立,∴ x ∈ .
∴原不等式的解集为(-∞,-1].
通性通法
分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法,一定要熟
练掌握,在解答过程中要注意以下几点:
(1)分段要准确,注意等号的分布,避免重复或遗漏;
(2)每一段都有一个前提,每一段解出的范围都要和前提取“交
集”,最后写不等式的解集时要把每一段 x 的范围取“并集”,
即“先分后合”;
(3)不等式的解集有两种书写形式:一是用集合的描述法表示,特
殊时用列举法;二是用区间.
【跟踪训练】
1. 不等式1≤|2 x -1|<2的解集为( )
解析: 当2 x -1≥0时,即 x ≥ 时,有1≤2 x -1<2,解得1≤ x
< ;当2 x -1<0时,即 x < 时,有1≤1-2 x <2,解得- < x
≤0;综上不等式的解集为 .故选D.
2. 关于 x 的不等式| x |+| x -1|≥3的解集是( )
A. (-∞,-1] B. [2,+∞)
C. (-∞,-1]∪[2,+∞) D. [-1,2]
解析: 当 x ≥1时, x + x -1≥3,解得 x ≥2,当0< x <1时, x
+1- x ≥3,不成立,当 x ≤0时,- x +1- x ≥3,解得 x ≤-1,
综上,不等式的解集是(-∞,-1]∪[2,+∞),故选C.
题型三 数轴上的距离问题
【例4】 (链接教科书第70页例2)已知数轴上三点 P (-8), Q
( m ), R (2).
(1)若其中一点到另外两点的距离相等,求实数 m 的值;
解:若 P 是线段 QR 的中点,则-8= ,
∴ m =-18;若 Q 是线段 PR 的中点,则 m = =-3;
若 R 是线段 PQ 的中点,则2= ,∴ m =12.
(2)若线段 PQ 的中点到线段 PR 的中点的距离大于1,求实数 m 的取
值范围.
解:由题意,知 >1,即 >1,
∴ -1>1或 -1<-1,解得 m >4或 m <0,
∴实数 m 的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
通性通法
1. 当 P ( x )中 x >0时,点 P 位于原点右侧,且点 P 与原点 O 的距离
OP = x ;当 P ( x )中 x <0时,点 P 位于原点左侧,且点 P 与原点
O 的距离 OP =- x .
2. 由数轴上的点与实数的对应关系可知,点越靠向右方,对应的实数
越大;点对应的实数越大,点越靠向右方.
【跟踪训练】
已知数轴上不同的两点 A , B ,若 B 点的坐标为3,且 AB =5,则线段
AB 的中点 M 的坐标为( )
C. 4
解析: 记点 A ( x1), B ( x2),则 x2=3. AB =| x2- x1|=5,
即|3- x1|=5,解得 x1=-2或 x1=8.当 x1=-2时, M 的坐标为
= ;当 x1=8时, M 的坐标为 = .故选D.
1. 数轴上点 M , N , P 的坐标分别为3,-1,-5,则 MP + PN =
( )
A. -4 B. 4
C. -12 D. 12
解析: MP + PN =|-5-3|+|-5-(-1)|=12.
2. 不等式组的解集在数轴上表示为( )
解析: 解不等式2 x -1≥5,得 x ≥3,解不等式8-
4 x <0,得 x >2,[3,+∞)∩(2,+∞)=[3,+
∞),故不等式组的解集为[3,+∞).在数轴上表示
如图所示.故选C.
3. 不等式| x -2|-| x -1|>0的解集为( )
解析: ∵| x -2|-| x -1|>0,∴| x -2|>| x -1|,
∴( x -2)2>( x -1)2,可得-4 x +4>-2 x +1,∴ x < .∴不
等式| x -2|-| x -1|>0的解集为 .故选A.
4. (多选)已知集合 A ={ x | x <2}, B ={ x |3-2 x >0},则
( )
B. A ∩ B =
C. A ∪ B ={ x | x <2} D. A ∪ B =R
解析: 由3-2 x >0得 x < , A ∩ B ={ x | x <2}∩
= ,A正确,B错误. A ∪ B ={ x | x <2}∪ =
{ x | x <2},C正确,D错误.故选A、C.
5. 若 m <1,则关于 x 的不等式 x < mx -2的解集为 .
解析:因 m <1,则1- m >0,不等式 x < mx -2变形为不等式(1
- m ) x <-2,解得 x <- ,即 x < ,所以不等式 x < mx
-2的解集为 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知关于 x 的不等式 ax <1的解集为R,则( )
A. a >0 B. a =0
C. a <0 D. a 不存在
解析: 当 a =0时,0<1恒成立,∴不等式的解集为R,故选B.
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2. 不等式组的解集为( )
A. (-2,1]
B. (-∞,-2)∪[1,+∞)
C. [1,+∞)
D. (-∞,-2)
解析: 由∴ x ≥1.
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3. 在数轴上,已知 A ( a -1), B (1- a ),原点为 O ,则( )
A. a <1 B. a ≥1
C. AB =0 D. OA = OB
解析: ∵ a -1与1- a 互为相反数,∴ OA = OB ,故选D.
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4. 不等式| x -1|+| x -2|≤3的最小整数解是( )
A. 0 B. -1
C. 1 D. 2
解析: 原不等式可化为
解得0≤ x ≤3,所以最小整数解是0,故选A.
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5. (多选)如果关于 x 的不等式组的解集为{ x | x
<1},且关于 x 的分式方程 + =3有非负数解,则符合条件
的整数 m 可以是( )
A. -2 B. 0
C. 1 D. 2
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解析: 解不等式 ≤1,得 x ≤ m +3,解不等式 x -4>3
( x -2),得 x <1,∵不等式组的解集为{ x | x <1},∴ m +
3≥1,解得 m ≥-2.解分式方程 + =3得 x = ,∵分式方
程有非负数解,∴ ≥0且 ≠1,解得 m <3且 m ≠2,∴-2≤
m <3且 m ≠2,则符合条件的整数 m 的值是-2,-1,0,1.故选
A、B、C.
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6. 若1是关于 x 的不等式 ax +1>2 a - x 的解,则实数 a 的取值范围
是 .
解析:因为1是关于 x 的不等式 ax +1>2 a - x 的解,所以 a +1>2 a
-1,解得 a <2,
所以实数 a 的取值范围是(-∞,2).
(-∞,2)
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7. 不等式 < 的解集为 .
解析:因为 < ,所以| x -1|>2,所以 x -1>2或 x -1
<-2,即 x >3或 x <-1,
因此,原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
(-∞,-1)∪(3,+∞)
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8. 不等式组的解集为 .
解析:记原不等式组为
解不等式①,得 x ≤1.解不等式②,得 x ≥-4.
故原不等式组的解集为[-4,1].
[-4,1]
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9. 已知关于 x 的不等式组
(1)当 m =-11时,求不等式组的解集;
解:当 m =-11时,
解不等式①得 x >-4,
解不等式②得 x <- ,
∴不等式组的解集为 .
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(2)当 m 取何值时,该不等式组的解集是 ?
解:解不等式 m -2 x < x -1,得 x > .
∵不等式组的解集为 ,
∴ ≥- ,
∴ m ≥- .
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10. 已知条件 p :| x +1|>2,条件 q : x > a ,且 p 是 q 的充
分不必要条件,则实数 a 的值范围为( )
A. [1,+∞) B. [-1,+∞)
C. (-∞,1] D. (-∞,3]
解析: 由条件 p :| x +1|>2,解得 x >1或 x <-3,故
p :-3≤ x ≤1,由条件 q : x > a 得 q : x ≤ a ,
∵ p 是 q 的充分不必要条件,∴ a ≥1,故选A.
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11. 对于任意实数 x ,不等式| x +7|≥ m +2恒成立,则实数 m 的取
值范围是 .
解析:令 y =| x +7|,要使任意 x ∈R,| x +7|≥ m +2恒成
立,只需 m +2≤ ymin,
因为 ymin=0,所以 m +2≤0,
所以 m ≤-2,所以 m 的取值范围是(-∞,-2].
(-∞,-2]
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12. 已知集合 A ={ x ∈R|| x -1|< a , a ∈R}, B ={ x ∈R|| x
-1|>2}.
(1)若 A ∩ B = ,求实数 a 的取值范围;
解:由| x -1|>2得 x <-1或 x >3,
所以 B =(-∞,-1)∪(3,+∞).
当 a ≤0时, A = ,符合题意;
当 a >0时, A =(1- a ,1+ a ),由题知
所以0< a ≤2.综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,2].
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(2)若 A ∩ B = A ,求实数 a 的取值范围.
解:当 a ≤0时, A = ,符合题意;
当 a >0时, A =(1- a ,1+ a ),由于1- a <1<3,1+ a
>0>-1,不满足 A B .
综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,0].
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13. 设 a 为实数,若关于 x 的一元一次不等式组的解集中
有且仅有4个整数,则 a 的取值范围是 .
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解析:关于 x 的一元一次不等式组
,则 a >0,故0一定为不等式组的一个整数解,
若不等式的4个整数解为0,1,2,3时,
则< a ≤2;当不等式的4个整数解为-1,
0,1,2时,则不等式组无解,综上所述, a 的
取值范围是 .
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14. 已知不等式| x +2|-| x +3|> m .
(1)若不等式有解;
若不等式有解, m 只要比| x +2|-| x +3|的最大
值小即可,
即 m <1, m 的范围为(-∞,1).
解:法一 因| x +2|-| x +3|的几何意义为数轴上任意
一点 P ( x )与两定点 A (-2), B (-3)距离的差.
即| x +2|-| x +3|= PA - PB .
由图(图略)知( PA - PB )max=1,
( PA - PB )min=-1.即-1≤| x +2|-| x +3|≤1.
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(2)若不等式解集为R;
解:若不等式的解集为R,即不等式恒成立, m 只要比| x
+2|-| x +3|的最小值还小,
即 m <-1, m 的范围为(-∞,-1).
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(3)若不等式解集为 .
分别求出 m 的范围.
解:若不等式的解集为 , m 只要不小于| x +2|-| x +
3|的最大值即可,
即 m ≥1, m 的范围为[1,+∞).
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法二 由| x +2|-| x +3|≤|( x +2)-( x +3)|=1,| x
+3|-| x +2|≤|( x +3)-( x +2)|=1,
可得-1≤| x +2|-| x +3|≤1.
(1)若不等式有解,则 m ∈(-∞,1).
(2)若不等式解集为R,则 m ∈(-∞,-1).
(3)若不等式解集为 ,则 m ∈[1,+∞).
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谢 谢 观 看!