2.2.3 一元二次不等式的解法
1.下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋＞0；③x2＋6x＋10＞0；④2x2－3x＋4＜1.其中解集为R的是（ ）
A.① B.②
C.③ D.④
2.不等式（5－x）（x＋4）≥18的解集是（ ）
A.[－1，2]
B.[－2，1]
C.（－∞，－1]∪[2，＋∞）
D.（－∞，－2]∪[1，＋∞）
3.设x∈R，则“x2－2x＜0”是“1＜x＜2”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.若不等式ax2＋（a－1）x＋a＞0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.a＜－1或a＞ B.a＞1
C.a＞ D.－1＜a＜
5.（多选）若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是，则以下正确的有（ ）
A.a＜0
B.＝－1
C.a＋2b＋3c＞0
D.cx2＋bx＋a＞0的解集为
6.不等式≤1的解集是 .
7.已知P＝（1－，1＋），写出解集为P的一个一元二次不等式 .
8.若a＜0，则关于x的不等式a（x＋1）·＜0的解集为 .
9.解关于x的不等式x2＋x－a（a－1）＞0（a∈R）.
10.关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且x2－x1＝15，则a＝（ ）
A. B.
C. D.
11.设命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立.若p为真命题，则实数m的取值范围是 .
12.已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
13.在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A.－ B.－
C. D.
14.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
2.2.3 一元二次不等式的解法
1.C ①显然不可能；②中Δ＝（－2）2－4×＞0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10＜0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3＜0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能.故选C.
2.A 原不等式可化为x2－x－2≤0，即（x－2）·（x＋1）≤0，解得－1≤x≤2.所以不等式的解集为[－1，2].故选A.
3.C x2－2x＜0 0＜x＜2，则0＜x＜2不能推出1＜x＜2，但1＜x＜2可以推出0＜x＜2，故“x2－2x＜0”是“1＜x＜2”的必要不充分条件.故选C.
4.C 当a＝0时，0＋（0－1）×x＋0＞0，∴x＜0，不符合题意，舍去；
当a≠0时，由题得a＞0且Δ＝（a－1）2－4a2＜0，所以a＞.综上：a＞.故选C.
5.ABC 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是，开口向下，故A正确；
－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，＝2×＝－1，故B正确；
根据对称轴－＝和4a＋2b＋c＝0可推出带入选项中的式子可得a＋2b＋3c＝a＋2×－3a＝－5a＞0，故C正确；
－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，－＝2－＝，＝2×＝－1，
当x＝0，c＞0，故cx2＋bx＋a＝cx2＋cx－c＞0，其解集为（－∞，－2）∪，D错误；故选A、B、C.
6.（1，6] 解析：由不等式≤1得≤0，故 1＜x≤6.
7.x2－2x－2＜0（答案不唯一） 解析：对于不等式ax2＋bx＋c＜0（a＞0）而言，若解集为P＝（1－，1＋），
则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为1－和1＋，
那么－＝1＋＋（1－）＝2，＝（1－）（1＋）＝－2，
设a＝1，则b＝－2，c＝－2，所以不等式为x2－2x－2＜0.
8. 解析：因为a＜0，所以解关于x的不等式a（x＋1）·＜0得：x＜－1或x＞－，
所以原不等式的解集为.
9.解：因为关于x的不等式x2＋x－a（a－1）＞0，
所以（x＋a）（x＋1－a）＞0，
当－a＞a－1，即a＜时，x＜a－1或x＞－a，
当a－1＞－a，即a＞时，x＜－a或x＞a－1，
当a－1＝－a，即a＝时，x≠－，
所以当a＜时，原不等式的解集为{x｜x＜a－1，或x＞－a}，
当a＞时，原不等式的解集为{x｜x＜－a，或x＞a－1}，
当a＝时，原不等式的解集为.
10.A 法一 x2－2ax－8a2＜0可化为（x＋2a）·（x－4a）＜0.
∵a＞0且解集为（x1，x2），则x1＝－2a，x2＝4a，
∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝.
法二 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2）＝36a2＝152，结合a＞0得a＝.
11.1≤m≤3 解析：对于p：因为对任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立，所以对任意x∈[0，1]，（2x－3）min≥m2－4m成立，又因为（2x－3）min＝－3，所以－3≥m2－4m，即1≤m≤3.若p为真命题，则1≤m≤3.
12.解：由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1.
所以条件p对应的集合P＝.
由x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，得a≤x≤a＋1，
所以条件q对应的集合为Q＝{x｜a≤x≤a＋1}.
因为p是q的充分不必要条件.
所以p q，即P Q 或
解得0≤a≤.
所以实数a的取值范围为.
13.D 由定义知，不等式≥1等价于x2－x－（a2－a－2）≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立.∵x2－x＋1＝＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.
14.解：（1）由题意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）.
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0＜x＜，
所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
2 / 22.2.3 一元二次不等式的解法
新课程标准解读 核心素养
1.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式 数学运算
2.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系 数学抽象、数学运算
城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长（单位：m）的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l（单位：m），当车速为60（单位：km/h）时，车距为1.44个车身长.
【问题】 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？
知识点 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的概念
一般地，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0.
提醒 判断一个不等式是一元二次不等式的关键：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③特别要注意二次项的系数不为0.
2.用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是 ，不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是 .
3.用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通过配方总是可以变为 或 的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集.
【想一想】
mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式吗？
1.不等式x2－4x＜0的解集是（ ）
A.（0，4） B.（－4，0）
C.（－∞，4） D.（－∞，0）∪（4，＋∞）
2.已知不等式－x2－x＋6＞0，则该不等式的解集是（ ）
A.{x｜－2＜x＜3}
B.{x｜－3＜x＜2}
C.{x｜x＜－3或x＞2}
D.{x｜x＜－2或x＞3}
3.不等式＜0的解集为 .
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 （链接教科书第73页例1）解下列不等式：
（1）2x2＋7x＋3＞0；
（2）－4x2＋18x－≥0；
（3）－2x2＋5x－2＜0；
（4）－x2＋3x－5＞0.
尝试解答
通性通法
解不含参数的一元二次不等式的方法
（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；
（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得；
（3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法.
【跟踪训练】
不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（ ）
A.{x｜x＜－1}
B.
C.
D.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a≠0）.
尝试解答
通性通法
含参一元二次不等式的解法
【跟踪训练】
1.若0＜a＜1，则不等式（x－a）＜0的解集是（ ）
A.
B.（－∞，a）∪
C.
D.∪（a，＋∞）
2.不等式kx2－kx－1＜0恒成立，则实数k的范围为 .
题型三 两个“二次”间的关系
【例3】 （链接教科书第81页习题B组7题）（1）若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为（ ）
A.14 B.－10
C.10 D.－14
（2）已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集.
尝试解答
通性通法
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
（1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集；
（2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向
如要解cx2＋bx＋a＜0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值.
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c；
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解.
【跟踪训练】
1.已知不等式x2－7x－a＜0的解集是{x｜2＜x＜b}，则实数a等于（ ）
A.－10 B.－5
C.5 D.10
2.关于x的不等式ax2－x＋b＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则不等式bx2＋ax－1≤0的解集为 .
题型四 分式不等式的解法
【例4】 （链接教科书第75页例3）解下列不等式：
（1）≥0；
（2）＞1.
尝试解答
通性通法
分式不等式的解法
（1）形如＞a（a≠0）的分式不等式可同解变形为＞0，故可转化为解g（x）[f（x）－ag（x）]＞0；
（2）解≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.（f（x），g（x）为关于x的表达式）
【跟踪训练】
1.不等式≤0的解集为（ ）
A.（－∞，1）∪[3，＋∞） B.[1，3]
C.（1，3] D.（1，3）
2.不等式≥1的解集为 .
1.下列不等式：①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中一定是一元二次不等式的有（ ）
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
2.设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（ ）
A.（－∞，－n）∪（m，＋∞）
B.（－n，m）
C.（－∞，－m）∪（n，＋∞）
D.（－m，n）
3.不等式＞0的解集是（ ）
A.
B.（4，＋∞）
C.（－∞，－3）∪（4，＋∞）
D.（－∞，－3）∪
4.（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0，对于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）
A.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集不可能是{x｜x≠2}
B.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集可以是R
C.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集可以是
D.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集可以是{x｜2＜x＜3}
5.不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值分别为 .
2.2.3 一元二次不等式的解法
【基础知识·重落实】
知识点
1.ax2＋bx＋c＞0 2.（x1，x2） （－∞，x1）∪（x2，＋∞）
3.（x－h）2＞k （x－h）2＜k
想一想
提示：不一定.当m≠0时，mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式.
自我诊断
1.A x2－4x＜0 x（x－4）＜0，解得0＜x＜4，所以解集为（0，4）.故选A.
2.B 不等式－x2－x＋6＞0等价于x2＋x－6＜0，也即（x＋3）（x－2）＜0，故x∈（－3，2）.
故不等式解集为{x｜－3＜x＜2}.故选B.
3.（0，2） 解析：原不等式可化为解得0＜x＜2，所以不等式＜0的解集为（0，2）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一 因为2x2＋7x＋3＝2＝2（x＋3），
所以2（x＋3）＞0，即x＞－或x＜－3，
所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪.
法二 因为2x2＋7x＋3＝2＋3
＝－，
所以2－＞0，即＞，
所以x＋＞或x＋＜－，
即x＞－或x＜－3，
所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪.
（2）因为－4x2＋18x－＝－4
＝－4，
所以－4≥0，即≤0，x＝.
所以原不等式的解集为.
（3）因为－2x2＋5x－2＝－2＝－2＝－2＋，
所以－2＋＜0，
即＞.
所以x－＞或x－＜－，
解得x＞2或x＜.
所以原不等式的解集为∪（2，＋∞）.
（4）因为－x2＋3x－5＞0，
所以x2－6x＋10＜0，
又因为x2－6x＋10＝（x－3）2＋1＜0无解，
所以原不等式的解集为 .
跟踪训练
D 因为－2x2＋x＋3＝－（2x2－x－3）＝－（x＋1）（2x－3），
所以－（x＋1）（2x－3）＜0，即（x＋1）（2x－3）＞0，
所以x＞或x＜－1，
所以不等式的解集为.
【例2】 解：①当a＜0时，原不等式化为（x－1）＞0，解得x＜或x＞1.
②当a＞0时，原不等式化为（x－1）＜0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a＞1，即＜1时，解得＜x＜1；
若0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜.
综上可知，当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＜，或x＞1}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a＞1时，不等式的解集为.
跟踪训练
1.A 因为0＜a＜1，所以a＜，则不等式解集为.故选A.
2.（－4，0] 解析：当k＝0时，－1＜0恒成立，所以k＝0符合题意；
当k≠0时，由题得∴－4＜k＜0.综合得－4＜k≤0.
【例3】 （1）D 由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0.
所以解得
所以a＋b＝－14.
（2）解：因为x2＋px＋q＜0的解集为{x｜－＜x＜}，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}.
跟踪训练
1.A 由题设，有可得故选A.
2. 解析：由题意可知方程ax2－x＋b＝0的两根为－2，1，
所以解得则不等式bx2＋ax－1≤0即为2x2－x－1≤0，
其解集为.
【例4】 解：（1）原不等式可化为解得
∴原不等式的解集为.
（2）法一 原不等式可化为或
解得或∴－3＜x＜－，
∴原不等式的解集为.
法二 原不等式可化为＞0，化简得＞0，即＜0，
∴（2x＋1）（x＋3）＜0，解得－3＜x＜－.
∴原不等式的解集为.
跟踪训练
1.C ≤0的解集等价于
解得x∈（1，3].故选C.
2. 解析：根据题意，由≥1，得≥0，即解得≤x＜2，
因此不等式≥1的解集为.
随堂检测
1.D 根据一元二次不等式的定义知①②一定是一元二次不等式.
2.B 不等式等价于（x－m）（x＋n）＜0.∵m＋n＞0，∴m＞－n.故原不等式的解集是（－n，m）.故选B.
3.D ＞0 （2x－1）（x＋3）＞0 x＜－3或x＞.故选D.
4.BCD 对于A选项，不等式x2－4x＋4＝（x－2）2＞0的解集为{x｜x≠2}，A错；
对于B选项，不等式x2＋2x＋2＞0的解集为R，B对；
对于C选项，不等式－x2－2x－2＞0的解集为 ，C对；
对于D选项，不等式－x2＋5x－6＝－（x－2）（x－3）＞0的解集为{x｜2＜x＜3}，D对.故选B、C、D.
5.－6，－1 解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝，解得a＝－6，c＝－1.
5 / 5(共64张PPT)
2.2.3
一元二次不等式的解法
新课程标准解读 核心素养
1.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式 数学运算
2.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系 数学抽象、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高
架道路以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连结也必须通
过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已
成为现代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥
的某地段的运行汽车的车距 d 正比于速度 v 的平方与车身长（单位：
m）的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为 l （单位：
m），当车速为60（单位：km/h）时，车距为1.44个车身长.
【问题】 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量
最大？
知识点 一元二次不等式的解法
1. 一元二次不等式的概念
一般地，形如 的不等式称为一元二次不等式，
其中 a ， b ， c 为常数，而且 a ≠0.
提醒 判断一个不等式是一元二次不等式的关键：①只含有一个未
知数；②未知数的最高次数为2；③特别要注意二次项的系数不为0.
ax2＋ bx ＋ c ＞0
2. 用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果 x1＜ x2，则不等式（ x － x1）（ x － x2）＜0的解集
是 ，不等式（ x － x1）（ x － x2）＞0的解集
是 .
3. 用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）通过配方总是可以变
为 或 的形式，然后根据 k 的
正负等知识，就可以得到原不等式的解集.
（ x1， x2）
（－∞， x1）∪（ x2，＋∞）
（ x － h ）2＞ k
（ x － h ）2＜ k
【想一想】
mx2－5 x ＋2＜0是一元二次不等式吗？
提示：不一定.当 m ≠0时， mx2－5 x ＋2＜0是一元二次不等式.
1. 不等式 x2－4 x ＜0的解集是（ ）
A. （0，4） B. （－4，0）
C. （－∞，4） D. （－∞，0）∪（4，＋∞）
解析： x2－4 x ＜0 x （ x －4）＜0，解得0＜ x ＜4，所以解集为
（0，4）.故选A.
2. 已知不等式－ x2－ x ＋6＞0，则该不等式的解集是（ ）
A. { x ｜－2＜ x ＜3} B. { x ｜－3＜ x ＜2}
C. { x ｜ x ＜－3或 x ＞2} D. { x ｜ x ＜－2或 x ＞3}
解析： 不等式－ x2－ x ＋6＞0等价于 x2＋ x －6＜0，也即（ x ＋
3）（ x －2）＜0，故 x ∈（－3，2）.
故不等式解集为{ x ｜－3＜ x ＜2}.故选B.
3. 不等式 ＜0的解集为 .
解析：原不等式可化为解得0＜ x ＜2，所以不等
式 ＜0的解集为（0，2）.
（0，2）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 （链接教科书第73页例1）解下列不等式：
（1）2 x2＋7 x ＋3＞0；
解：法一 因为2 x2＋7 x ＋3＝2（ x2＋ x ＋ ）＝2
（ x ＋3），
所以2 （ x ＋3）＞0，即 x ＞－ 或 x ＜－3，
所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪ .
法二 因为2 x2＋7 x ＋3＝2 ＋3
＝ － ，
所以2 － ＞0，即 ＞ ，
所以 x ＋ ＞ 或 x ＋ ＜－ ，
即 x ＞－ 或 x ＜－3，
所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪ .
解：因为－4 x2＋18 x － ＝－4
＝－4 ，
所以－4 ≥0，即 ≤0， x ＝ .
所以原不等式的解集为 .
（2）－4 x2＋18 x － ≥0；
解：因为－2 x2＋5 x －2＝－2 ＝－2 ＝
－2 ＋ ，
所以－2 ＋ ＜0，即 ＞ .
所以 x － ＞ 或 x － ＜－ ，
解得 x ＞2或 x ＜ .
所以原不等式的解集为 ∪（2，＋∞）.
（3）－2 x2＋5 x －2＜0；
解：因为－ x2＋3 x －5＞0，
所以 x2－6 x ＋10＜0，
又因为 x2－6 x ＋10＝（ x －3）2＋1＜0无解，
所以原不等式的解集为 .
（4）－ x2＋3 x －5＞0.
通性通法
解不含参数的一元二次不等式的方法
（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两
个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不
等号方向得到不等式的解集；
（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何
值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得；
（3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解
集的通法，即判别式法.
【跟踪训练】
不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是（ ）
A. { x ｜ x ＜－1}
解析： 因为－2 x2＋ x ＋3＝－（2 x2－ x －3）＝－（ x ＋1）（2 x －
3），
所以－（ x ＋1）（2 x －3）＜0，即（ x ＋1）（2 x －3）＞0，
所以 x ＞ 或 x ＜－1，
所以不等式的解集为 .
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于 x 的不等式 ax2－（ a ＋1） x ＋1＜0（ a ≠0）.
解：①当 a ＜0时，原不等式化为 （ x －1）＞0，解得 x ＜ 或 x
＞1.
②当 a ＞0时，原不等式化为 （ x －1）＜0.
若 a ＝1，即 ＝1时，不等式无解；
若 a ＞1，即 ＜1时，解得 ＜ x ＜1；
若0＜ a ＜1，即 ＞1时，解得1＜ x ＜ .综上可知，当 a ＜0时，不等式
的解集为 ；
当0＜ a ＜1时，不等式的解集为 ；
当 a ＝1时，不等式的解集为 ；
当 a ＞1时，不等式的解集为 .
通性通法
含参一元二次不等式的解法
【跟踪训练】
1. 若0＜ a ＜1，则不等式（ x － a ） ＜0的解集是（ ）
解析： 因为0＜ a ＜1，所以 a ＜ .故
选A.
2. 不等式 kx2－ kx －1＜0恒成立，则实数 k 的范围为 .
解析：当 k ＝0时，－1＜0恒成立，所以 k ＝0符合题意；
当 k ≠0时，由题得∴－4＜ k ＜0.综合得－4＜ k
≤0.
（－4，0]
题型三 两个“二次”间的关系
【例3】 （链接教科书第81页习题B组7题）（1）若不等式 ax2＋ bx
＋2＞0的解集是 ，则 a ＋ b 的值为（ D ）
A. 14 B. －10 C. 10 D. －14
解析： 由已知得， ax2＋ bx ＋2＝0的解为－ ，且 a ＜0.所以
所以 a ＋ b ＝－14.
（2）已知一元二次不等式 x2＋ px ＋ q ＜0的解集为 ，
求不等式 qx2＋ px ＋1＞0的解集.
解：因为 x2＋ px ＋ q ＜0的解集为{ x ｜－ ＜ x ＜ }，所以 x1＝
－ 与 x2＝ 是方程 x2＋ px ＋ q ＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得
所以不等式 qx2＋ px ＋1＞0即为－ x2＋ x ＋1＞0，整理得 x2－ x
－6＜0，解得－2＜ x ＜3.
即不等式 qx2＋ px ＋1＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜3}.
通性通法
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
（1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，
从而由根与系数的关系，找出系数 a ， b ， c 之间的关系，写出
不等式的解集；
（2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向
如要解 cx2＋ bx ＋ a ＜0，首先确定 c 的符号，最好能确定 a ，
b ， c 的值.
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关
于 a ， b ， c 的方程组，用 a 表示 b ， c ；
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于 a ， b ， c 的方程组→用 a
表示 b ， c →代入所求不等式→求解.
【跟踪训练】
1. 已知不等式 x2－7 x － a ＜0的解集是{ x ｜2＜ x ＜ b }，则实数 a 等于
（ ）
A. －10 B. －5
C. 5 D. 10
解析： 由题设，有故选A.
解析：由题意可知方程 ax2－ x ＋ b ＝0的两根为－2，1，
所以则不等式 bx2＋ ax －1≤0即为2
x2－ x －1≤0，
其解集为 .
题型四 分式不等式的解法
【例4】 （链接教科书第75页例3）解下列不等式：
（1） ≥0；
解：原不等式可化为
解得
∴原不等式的解集为 .
（2） ＞1.
解：法一 原不等式可化为
解得∴－3＜ x ＜－ ，
∴原不等式的解集为 .
法二 原不等式可化为 ＞0，化简得 ＞0，即
＜0，
∴（2 x ＋1）（ x ＋3）＜0，解得－3＜ x ＜－ .
∴原不等式的解集为 .
通性通法
分式不等式的解法
（1）形如 ＞ a （ a ≠0）的分式不等式可同解变形为
＞0，故可转化为解 g （ x ）[ f （ x ）－ ag （ x ）]
＞0；
（2）解 ≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后，
应注意分子可取0，而分母不能取0.（ f （ x ）， g （ x ）为关于 x
的表达式）
【跟踪训练】
1. 不等式 ≤0的解集为（ ）
A. （－∞，1）∪[3，＋∞） B. [1，3]
C. （1，3] D. （1，3）
解析： ≤0的解集等价于
解得 x ∈（1，3].故选C.
2. 不等式 ≥1的解集为 .
解析：根据题意，由 ≥1，得 ≥0，即
≤ x ＜2，
因此不等式 ≥1的解集为 .
1. 下列不等式：① x2＞0；②－ x2－ x ≤5；③ ax2＞2；④ x3＋5 x －6＞
0；⑤ mx2－5 y ＜0；⑥ ax2＋ bx ＋ c ＞0.其中一定是一元二次不等式
的有（ ）
A. 5个 B. 4个
C. 3个 D. 2个
解析： 根据一元二次不等式的定义知①②一定是一元二次不
等式.
2. 设 m ＋ n ＞0，则关于 x 的不等式（ m － x ）（ n ＋ x ）＞0的解集是
（ ）
A. （－∞，－ n ）∪（ m ，＋∞）
B. （－ n ， m ）
C. （－∞，－ m ）∪（ n ，＋∞）
D. （－ m ， n ）
解析： 不等式等价于（ x － m ）（ x ＋ n ）＜0.∵ m ＋ n ＞0，
∴ m ＞－ n .故原不等式的解集是（－ n ， m ）.故选B.
3. 不等式 ＞0的解集是（ ）
B. （4，＋∞）
C. （－∞，－3）∪（4，＋∞）
解析： ＞0 （2 x －1）（ x ＋3）＞0 x ＜－3或 x ＞
.故选D.
4. （多选）已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0，对于此不等式的解
集有下列结论，其中正确的是（ ）
A. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集不可能是{ x ｜ x ≠2}
B. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集可以是R
C. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集可以是
D. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集可以是{ x ｜2＜ x ＜3}
解析： 对于A选项，不等式 x2－4 x ＋4＝（ x －2）2＞0的解
集为{ x ｜ x ≠2}，A错；
对于B选项，不等式 x2＋2 x ＋2＞0的解集为R，B对；
对于C选项，不等式－ x2－2 x －2＞0的解集为 ，C对；
对于D选项，不等式－ x2＋5 x －6＝－（ x －2）（ x －3）＞0的解集
为{ x ｜2＜ x ＜3}，D对.故选B、C、D.
5. 不等式 ax2＋5 x ＋ c ＞0的解集为 ，则 a ， c 的值分别
为 .
解析：由题意知，方程 ax2＋5 x ＋ c ＝0的两根为 x1＝ ， x2＝ ，由
根与系数的关系得 x1＋ x2＝ ＋ ＝－ ， x1 x2＝ × ＝ ，解得 a ＝
－6， c ＝－1.
－6，－1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列四个不等式：
①－ x2＋ x ＋1≥0；② x2－2 x ＋ ＞0；③ x2＋6 x ＋10＞0；④2
x2－3 x ＋4＜1.其中解集为R的是（ ）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
解析： ①显然不可能；②中Δ＝（－2 ）2－4× ＞0，解集
不为R；③中Δ＝62－4×10＜0.满足条件；④中不等式可化为2 x2－3
x ＋3＜0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能.故选C.
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2. 不等式（5－ x ）（ x ＋4）≥18的解集是（ ）
A. [－1，2]
B. [－2，1]
C. （－∞，－1]∪[2，＋∞）
D. （－∞，－2]∪[1，＋∞）
解析： 原不等式可化为 x2－ x －2≤0，即（ x －2）·（ x ＋1）
≤0，解得－1≤ x ≤2.所以不等式的解集为[－1，2].故选A.
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3. 设 x ∈R，则“ x2－2 x ＜0”是“1＜ x ＜2”的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： x2－2 x ＜0 0＜ x ＜2，则0＜ x ＜2不能推出1＜ x ＜2，但
1＜ x ＜2可以推出0＜ x ＜2，故“ x2－2 x ＜0”是“1＜ x ＜2”的必
要不充分条件.故选C.
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4. 若不等式 ax2＋（ a －1） x ＋ a ＞0对任意 x ∈R恒成立，则实数 a 的
取值范围是（ ）
B. a ＞1
解析： 当 a ＝0时，0＋（0－1）× x ＋0＞0，∴ x ＜0，不符合题
意，舍去；当 a ≠0时，由题得 a ＞0且Δ＝（ a －1）2－4 a2＜0，所
以 a ＞ .综上： a ＞ .故选C.
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5. （多选）若不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集是 ，则以下正确
的有（ ）
A. a ＜0
C. a ＋2 b ＋3 c ＞0
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解析： 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集是 ，开口向
下，故A正确；－ ，2是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个根， ＝2×
＝－1，故B正确；根据对称轴－ ＝ 和4 a ＋2 b ＋ c ＝0可推
出带入选项中的式子可得 a ＋2 b ＋3 c ＝ a ＋2×
－3 a ＝－5 a ＞0，故C正确；－ ，2是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个
根，－ ＝2－ ＝ ＝2× ＝－1，当 x ＝0， c ＞0，故 cx2
＋ bx ＋ a ＝ cx2＋ cx － c ＞0，其解集为（－∞，－2）∪
，D错误；故选A、B、C.
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6. 不等式 ≤1的解集是 .
解析：由不等式 ≤1得 ≤0，故 1
＜ x ≤6.
（1，6]
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7. 已知 P ＝（1－ ，1＋ ），写出解集为 P 的一个一元二次不等
式 .
解析：对于不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0（ a ＞0）而言，若解集为 P ＝
（1－ ，1＋ ），则一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个根为1
－ 和1＋ ，那么－ ＝1＋ ＋（1－ ）＝2， ＝（1－
）（1＋ ）＝－2，
设 a ＝1，则 b ＝－2， c ＝－2，所以不等式为 x2－2 x －2＜0.
x2－2 x －2＜0（答案不唯一）
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8. 若 a ＜0，则关于 x 的不等式 a （ x ＋1） ＜0的解集为
.
解析：因为 a ＜0，所以解关于 x 的不等式 a （ x ＋1）· ＜0
得： x ＜－1或 x ＞－ ，
所以原不等式的解集为 .
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9. 解关于 x 的不等式 x2＋ x － a （ a －1）＞0（ a ∈R）.
解：因为关于 x 的不等式 x2＋ x － a （ a －1）＞0，
所以（ x ＋ a ）（ x ＋1－ a ）＞0，
当－ a ＞ a －1，即 a ＜ 时， x ＜ a －1或 x ＞－ a ，
当 a －1＞－ a ，即 a ＞ 时， x ＜－ a 或 x ＞ a －1，
当 a －1＝－ a ，即 a ＝ 时， x ≠－ ，
所以当 a ＜ 时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ a －1，或 x ＞－ a }，
当 a ＞ 时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＜－ a ，或 x ＞ a －1}，
当 a ＝ .
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10. 关于 x 的不等式 x2－2 ax －8 a2＜0（ a ＞0）的解集为（ x1， x2），
且 x2－ x1＝15，则 a ＝（ ）
解析： 法一 x2－2 ax －8 a2＜0可化为（ x ＋2 a ）·（ x －4 a ）
＜0.∵ a ＞0且解集为（ x1， x2），则 x1＝－2 a ， x2＝4 a ，∴ x2－
x1＝6 a ＝15，解得 a ＝ .
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法二 由条件知 x1， x2为方程 x2－2 ax －8 a2＝0的两根，则 x1＋ x2＝2
a ， x1 x2＝－8 a2，故（ x2－ x1）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝（2 a ）2－4×
（－8 a2）＝36 a2＝152，结合 a ＞0得 a ＝ .
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11. 设命题 p ：对任意 x ∈[0，1]，不等式2 x －3≥ m2－4 m 恒成立.若 p
为真命题，则实数 m 的取值范围是 .
解析：对于 p ：因为对任意 x ∈[0，1]，不等式2 x －3≥ m2－4 m 恒
成立，所以对任意 x ∈[0，1]，（2 x －3）min≥ m2－4 m 成立，又
因为（2 x －3）min＝－3，所以－3≥ m2－4 m ，即1≤ m ≤3.若 p 为
真命题，则1≤ m ≤3.
1≤ m ≤3
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12. 已知条件 p ：2 x2－3 x ＋1≤0，条件 q ： x2－（2 a ＋1） x ＋ a （ a
＋1）≤0.若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
解：由2 x2－3 x ＋1≤0，得 ≤ x ≤1.
所以条件 p 对应的集合 P ＝ .
由 x2－（2 a ＋1） x ＋ a （ a ＋1）≤0，得 a ≤ x ≤ a ＋1，
所以条件 q 对应的集合为 Q ＝{ x ｜ a ≤ x ≤ a ＋1}.
因为 p 是 q 的充分不必要条件.
所以 p q ，即 P Q
解得0≤ a ≤ .所以实数 a 的取值范围为 .
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13. 在R上定义运算： ＝ ad － bc ，若不等式 ≥1对
任意实数 x 恒成立，则实数 a 的最大值为（ ）
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解析： 由定义知，不等式 ≥1等价于 x2－ x －（ a2
－ a －2）≥1，∴ x2－ x ＋1≥ a2－ a 对任意实数 x 恒成立.∵ x2－ x
＋1＝ ＋ ≥ ，∴ a2－ a ≤ ，解得－ ≤ a ≤ ，则实数 a
的最大值为 .
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14. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出
厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，
计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的
比例为 x （0＜ x ＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75 x ，同时预
计年销售量增加的比例为0.6 x .已知年利润＝（出厂价－投入成
本）×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关
系式；
解：由题意，得 y ＝[1.2×（1＋0.75 x ）－1×（1＋ x ）]×1 000×（1＋0.6 x ）（0＜ x ＜1），整理得 y ＝－60 x2＋20 x ＋200（0＜ x ＜1）.
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（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的
比例 x 应在什么范围内？
解：要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
解不等式组，得0＜ x ＜ ，
所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本
增加的比例 x 的范围为 .
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谢 谢 观 看！
