第二课时 均值不等式的应用
1.若x＞－1，则x＋的最小值是（ ）
A.6 B.5
C.4 D.3
2.已知a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列各式中正确的是（ ）
A.＋≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（ ）
A.a＜v＜ B.v＝
C.＜v＜ D.v＝
4.若关于x的不等式－x2＋ax－2≤0在区间[－3，－1]上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.[－2，＋∞） B.（－∞，－2]
C. D.（－∞，－3]
5.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.x＋的最小值为2
B.x2＋1的最小值为1
C.3x（2－x）的最大值为2
D.x2＋最小值为2－2
6.已知正实数x，y满足（x＋1）（y＋2）＝16，则x＋y的最小值为 .
7.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度c（单位：mg·L－1）随时间t（单位：h）的变化关系为c＝，则经过 h后池水中该药品的浓度达到最大.
8.若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是 .
9.已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20.
（1）求xy的最大值；
（2）求＋的最小值.
10.已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则x1＋x2＋的最大值是（ ）
A. B.－
C. D.－
11.若实数a，b满足a2＋b2＋ab＝4，则a＋b的最大值是（ ）
A.12 B.
C.8 D.
12.关于x的不等式－x2＋ax＋b≥0的解集为[－1，2].
（1）求a，b的值；
（2）当x＞0，y＞0，且满足＋＝1时，有2x＋y≥k2＋k＋6恒成立，求实数k的取值范围.
13.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界.若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为（ ）
A.－ B.
C. D.－4
14.2021年8月3日，旅居法国的中国大熊猫欢欢，在法国博瓦勒动物园顺利地产下了一对双胞胎，暂时取名为“棉花”和“小雪”.为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室ABCD的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室AMPN，使活动的空间更大.为不影响现有的生活环境，建造时要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB＝6 m，AD＝4 m.设DN＝x m，矩形AMPN的面积为y m2.
（1）写出y关于x的表达式，并求出x为多少米时，y有最小值；
（2）要使矩形AMPN的面积大于128 m2，则DN的长应在什么范围内？
第二课时 均值不等式的应用
1.B 由题意得x＋＝x＋1＋－1，因为x＞－1，所以x＋1＞0，故x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立.故选B.
2.B 因为a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以＋＝＝≥（2＋2）＝1，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；
由基本不等式可知ab≤＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故≤2，C错误；≥，D错误.故选B.
3.A 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s，
∵b＞a＞0，则v＝＝＜＝，
又＞＝a，故选A.
4.A 由题设，ax≤x2＋2，又x∈[－3，－1]，则a≥x＋恒成立，由x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－∈[－3，－1]时等号成立，∴a≥－2.故选A.
5.BD 当x＜0时，x＋＜0，故选项A错误；
∵x2＋1≥1，∴选项B正确；
∵3x（2－x）＝－3（x－1）2＋3，故3x（2－x）的最大值为3，
∴选项C错误；
∵x2＋＝（x2＋2）＋－2≥2－2＝2－2，选项D正确.故选B、D.
6.5 解析：由（x＋1）（y＋2）＝16≤，则（x＋y＋3）2≥64，又x，y＞0，
∴x＋y＋3≥8，即x＋y≥5，当且仅当x＝3，y＝2时等号成立.
∴x＋y的最小值为5.
7.2 解析：c＝＝.
因为t＞0，所以t＋≥2＝4（当且仅当t＝，即t＝2时等号成立）.
所以c＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，c取得最大值.
8.[－2，8] 解析：因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，所以xy＝4x＋y≥2＝4，即≥4 xy≥16，
当且仅当y＝4x＝8时等号成立，由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，
解得－2≤m≤8.
9.解：（1）∵2x＋5y＝20，x＞0，y＞0，∴2x＋5y≥2，
∴2≤20，即xy≤10，
当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立，
∴xy的最大值为10.
（2）＋＝·（2x＋5y）＝（2＋5＋＋）＝≥（7＋2），
当且仅当x＝y时，等号成立.
∴＋的最小值为（7＋2）.
10.D x2－4ax＋3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则x1，x2是方程x2－4ax＋3a2＝0的两个根，故x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，故x1＋x2＋＝4a＋，因为a＜0，所以由基本不等式得：4a＋＝－≤－2＝－，当且仅当－4a＝－即a＝－时，等号成立，所以x1＋x2＋的最大值为－.故选D.
11.B a2＋b2＋ab＝4 （a＋b）2＝ab＋4，而ab≤，当且仅当a＝b时取“＝”，
于是得（a＋b）2≤＋4，即（a＋b）2≤4，解得－≤a＋b≤，
当且仅当a＝b＝时，（a＋b）max＝，
所以a＋b的最大值是.故选B.
12.解：（1）因为关于x的不等式－x2＋ax＋b≥0的解集为[－1，2]，
所以－1和2是方程－x2＋ax＋b＝0的两个实数根，可得解得
经检验满足条件，所以a＝1，b＝2.
（2）由（1）知可得＋＝1，
则2x＋y＝（2x＋y）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当时，等号成立，
因为2x＋y≥k2＋k＋6恒成立，所以（2x＋y）min≥k2＋k＋6，即8≥k2＋k＋6，
可得k2＋k－2≤0，解得－2≤k≤1，所以k的取值范围为[－2，1].
13.A 因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋＝×（a＋b）＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
14.解：（1）由题图知CD∥AM，∴＝，∴AM＝ ，∴y＝·（x＋4）＝＝6（x＞0），由基本不等式可知x＞0时，x＋≥2＝8，
当且仅当x＝即x＝4时，ymin＝96.
（2）∵要使矩形AMPN的面积大于128 m2，
∴＞128，
∴3x2－40x＋48＞0，∴0＜x＜或x＞12，
∴DN的长应在∪（12，＋∞）.
2 / 2第二课时 均值不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题 数学抽象、逻辑推理
2.会用均值不等式求解实际应用问题 数学建模、数学运算
某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍.
【问题】 怎样设计才能使鸡舍面积最大？
知识点 均值不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）若x＋y＝s（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值；
（2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
提醒 在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可.
①一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0；
②二定：化不等式的一边为定值；
③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立.
1.已知x＞0，则x＋的最小值为（ ）
A. B.2
C.2 D.4
2.已知实数x，y满足x2＋y2＝2，那么xy的最大值为（ ）
A. B.
C.1 D.2
3.已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为 ，此时x＝ .
题型一 利用均值不等式求最值
【例1】 （链接教科书第78页例4）（1）若x＞0，则12x＋的最小值为 ；
（2）已知x＞2，则x＋的最小值为 ；
（3）若0＜x＜，则x（1－2x）的最大值是 .
尝试解答
通性通法
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.
（1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件；
（2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值；
（3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两因式之和为定值.
【跟踪训练】
1.下列函数中，最小值是2的是（ ）
A.y＝x＋ B.y＝＋
C.y＝x2＋ D.y＝x3＋
2.已知0＜x＜4，则x（4－x）的最大值为 ，此时x＝ .
题型二 利用均值不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值.
尝试解答
通性通法
常数代换法求最值的方法步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用均值不等式求最值.
【跟踪训练】
1.已知正实数a，b满足4a＋b＝18，使得＋取最小值时，实数a，b的值为（ ）
A.a＝，b＝9 B.a＝2，b＝10
C.a＝3，b＝6 D.a＝，b＝
2.已知a＞0，b＞0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为（ ）
A.2 B.3
C.2＋ D.2＋
题型三 利用均值不等式解应用题
【例3】 要在长为800 m，宽为600 m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉（花卉的宽度相同），中间种草皮.要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是 .
尝试解答
通性通法
利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤
（1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语言，将实际问题抽象成数学模型；
（2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对应关系，构造出符合题意的数学模型；
（3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均值不等式求最值；
（4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的结论.
【跟踪训练】
某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（ ）
A.20 B.30
C.40 D.50
均值不等式的拓广应用
二元均值不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立.
证明：因为（a＋b）2－4ab＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立.
三元均值不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立.
证明：设d为正数，由二元均值不等式，得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立.令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立.
【问题探究】
当满足什么条件时，可以利用三元均值不等式求的最小值？
提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元均值不等式求的最小值.
【迁移应用】
已知a，b，c均为正实数，求证：（a＋b＋c）·≥9.
1.设x＞0，则3－3x－的最大值是（ ）
A.3 B.3－2
C.－1 D.3－2
2.已知（x＞1）在x＝t时取得最小值，则t等于（ ）
A.1＋ B.2
C.3 D.4
3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（ ）
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
4.（多选）设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.＋有最小值4
B.有最小值
C.＋有最大值
D.a2＋b2有最小值
5.已知正数a，b满足a＋2b＝2，求＋的最小值.
第二课时 均值不等式的应用
【基础知识·重落实】
知识点
自我诊断
1.C 因为x＞0，则x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时取“＝”，所以x＋的最小值为2.故选C.
2.C 由x2＋y2＝2≥2xy，可得xy≤1，当且仅当x＝y＝1或x＝y＝－1时等号成立.故选C.
3. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x（1－x）取得最大值.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）4 （2）6 （3） 解析：（1）因为x＞0，所以12x＋≥2＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立.
所以12x＋的最小值为4.
（2）因为x＞2，所以x－2＞0，
所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立.
所以x＋的最小值为6.
（3）因为0＜x＜，
所以1－2x＞0，
所以x（1－2x）＝×2x×（1－2x）≤＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时等号成立，
所以x（1－2x）的最大值为.
跟踪训练
1.B A：当x取负数，显然函数值小于2，不符合；
B：由基本不等式得：＋≥2＝2（当且仅当x＝2时取等号），符合；
C：当x＝0时，y＝＜2，不符合；
D：同A，当x取负数，显然函数值小于2，不符合；故选B.
2.4 2 解析：因0＜x＜4，则4－x＞0，于是得x（4－x）≤＝4，当且仅当x＝4－x，即x＝2时取“＝”，所以x（4－x）的最大值为4.
【例2】 解：∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝（x＋2y）＝10＋＋≥
10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，（x＋2y）min＝18.
跟踪训练
1.C ∵4a＋b＝18，∴＋＝1，∴＋＝＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即即时等号成立.故当a＝3，b＝6时，＋取最小值.故选C.
2.D 根据题意，3a＋b＝2ab ＋＝1，
∴a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝2＋，当且仅当b＝a且3a＋b＝2ab时等号成立，∴a＋b的最小为2＋，故选D.
【例3】 （0，100] 解析：设花卉宽度为x m，显然0＜x＜300，则草皮面积为S＝（800－2x）（600－2x），
由（800－2x）（600－2x）≥×800×600，（x－100）（x－600）≥0，
又0＜x＜300，故解得0＜x≤100.
跟踪训练
B 由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和y＝×6＋4x＝4≥4×2＝240，当且仅当＝x即x＝30时取等号，∴要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则x的值是30.故选B.
拓视野 均值不等式的拓广应用
迁移应用
证明：∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3＞0，＋＋≥3＞0，
∴（a＋b＋c）·≥3·3＝9.
随堂检测
1.D ∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2，故选D.
2.B ＝＝x＋
＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
3.C 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828（m）.∵要求够用且浪费最少，故选C.
4.ACD A：由题设，＋＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，正确；
B：由a，b＞0，则a＋b＝1≥2，即≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故的最大值为，错误；
C：由a，b＞0，则a＋b＝1≥，即＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，正确；
D：a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，正确.故选A、C、D.
5.解：＋＝×（a＋2b）
＝≥（4＋2）＝4.
当且仅当即a＝1，b＝时等号成立，
∴＋的最小值为4.
3 / 4(共69张PPT)
第二课时
均值不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题 数学抽象、逻辑
推理
2.会用均值不等式求解实际应用问题 数学建模、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍.
【问题】 怎样设计才能使鸡舍面积最大？
知识点 均值不等式与最值
已知 x ＞0， y ＞0，则
（1）若 x ＋ y ＝ s （和为定值），则当 x ＝ y 时，积 xy 取得最大值 ；
（2）若 xy ＝ p （积为定值），则当 x ＝ y 时，和 x ＋ y 取得最小值2
.
即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
提醒 在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个
条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可.
①一正：符合均值不等式 ≥ 成立的前提条件， a ＞0，
b ＞0；
②二定：化不等式的一边为定值；
③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立.
1. 已知 x ＞0，则 x ＋ 的最小值为（ ）
B. 2
D. 4
解析： 因为 x ＞0，则 x ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 x ＝ ，
即 x ＝ 时取“＝”，所以 x ＋ 的最小值为2 .故选C.
2. 已知实数 x ， y 满足 x2＋ y2＝2，那么 xy 的最大值为（ ）
C. 1 D. 2
解析： 由 x2＋ y2＝2≥2 xy ，可得 xy ≤1，当且仅当 x ＝ y ＝1或 x
＝ y ＝－1时等号成立.故选C.
3. 已知0＜ x ＜1，则 x （1－ x ）的最大值为 ，此时 x ＝ .
解析：因为0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤
＝ ＝ ，当且仅当 x ＝1－ x ，即 x ＝ 时“＝”成
立，即当 x ＝ 时， x （1－ x ）取得最大值 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用均值不等式求最值
【例1】 （链接教科书第78页例4）（1）若 x ＞0，则12 x ＋ 的最
小值为 ；
4
解析：因为 x ＞0，所以12 x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当12 x ＝
，即 x ＝ 时等号成立.
所以12 x ＋ 的最小值为4.
（2）已知 x ＞2，则 x ＋ 的最小值为 ；
解析：因为 x ＞2，所以 x －2＞0，
所以 x ＋ ＝ x －2＋ ＋2≥2 ＋2＝6，
当且仅当 x －2＝ ，即 x ＝4时，等号成立.
所以 x ＋ 的最小值为6.
6
（3）若0＜ x ＜ ，则 x （1－2 x ）的最大值是 .
解析：因为0＜ x ＜ ，
所以1－2 x ＞0，
所以 x （1－2 x ）＝ ×2 x ×（1－2 x ）≤ ＝ × ＝
，
当且仅当2 x ＝1－2 x ，即当 x ＝ 时等号成立，
所以 x （1－2 x ）的最大值为 .
通性通法
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定
值.常见的变形方法有拆、并、配.
（1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整
式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母
的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件；
（2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等
式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用
均值不等式得出最值；
（3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，
常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式
与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的
系数后，使积式中的两因式之和为定值.
【跟踪训练】
1. 下列函数中，最小值是2 的是（ ）
解析： A：当 x 取负数，显然函数值小于2 ，不符合；
B：由基本不等式得： ＋ ≥2 ＝2 （当且仅当 x ＝2
时取等号），符合；C：当 x ＝0时， y ＝ ＜2 ，不符合；
D：同A，当 x 取负数，显然函数值小于2 ，不符合；故选B.
2. 已知0＜ x ＜4，则 x （4－ x ）的最大值为 ，此时 x ＝ .
解析：因0＜ x ＜4，则4－ x ＞0，于是得 x （4－ x ）≤
＝4，当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时取“＝”，所以 x
（4－ x ）的最大值为4.
4
2
题型二 利用均值不等式求条件最值
【例2】 已知 x ＞0， y ＞0，且满足 ＋ ＝1.求 x ＋2 y 的最小值.
解：∵ x ＞0， y ＞0， ＋ ＝1，
∴ x ＋2 y ＝ （ x ＋2 y ）＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18，
当且仅当时，等号成立，
故当 x ＝12， y ＝3时，（ x ＋2 y ）min＝18.
通性通法
常数代换法求最值的方法步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和
或积的形式；
（4）利用均值不等式求最值.
【跟踪训练】
1. 已知正实数 a ， b 满足4 a ＋ b ＝18，使得 ＋ 取最小值时，实数
a ， b 的值为（ ）
B. a ＝2， b ＝10
C. a ＝3， b ＝6
解析： ∵4 a ＋ b ＝18，∴ ＋ ＝1，
∴ ＋ ＝ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ，
当且仅当 ＝时等号成立.
故当 a ＝3， b ＝6时， ＋ 取最小值.故选C.
2. 已知 a ＞0， b ＞0，3 a ＋ b ＝2 ab ，则 a ＋ b 的最小值为（ ）
A. 2 B. 3
解析： 根据题意，3 a ＋ b ＝2 ab ＋ ＝1，
∴ a ＋ b ＝ （ a ＋ b ）＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝2＋
，当且仅当 b ＝ a 且3 a ＋ b ＝2 ab 时等号成立，∴ a ＋ b 的最
小为2＋ ，故选D.
题型三 利用均值不等式解应用题
【例3】 要在长为800 m，宽为600 m的一块长方形地面上进行绿
化，要求四周种花卉（花卉的宽度相同），中间种草皮.要求草皮的面
积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是 .
（0，100]
解析：设花卉宽度为 x m，显然0＜ x ＜300，则草皮面积为 S ＝（800
－2 x ）（600－2 x ），由（800－2 x ）（600－2 x ）≥ ×800×600，
（ x －100）·（ x －600）≥0，
又0＜ x ＜300，故解得0＜ x ≤100.
通性通法
利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤
（1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语
言，将实际问题抽象成数学模型；
（2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学
模型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对
应关系，构造出符合题意的数学模型；
（3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均
值不等式求最值；
（4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的
结论.
【跟踪训练】
某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 x 吨，运费为6万元/次，一
年的总存储费用为4 x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最
小，则 x 的值是（ ）
A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
解析： 由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和 y ＝ ×6＋
4 x ＝4 ≥4×2 ＝240，当且仅当 ＝ x 即 x ＝30时取等
号，∴要使一年的总运费与总存储费用之和 y 最小，则 x 的值是30.故
选B.
均值不等式的拓广应用
二元均值不等式：设 a ， b 为正数，则 ≥ ，当且仅当 a ＝ b 时
等式成立.
证明：因为（ a ＋ b ）2－4 ab ＝（ a － b ）2≥0，所以（ a ＋ b ）2≥4
ab ，从而得 ≥ ，当且仅当 a ＝ b 时等式成立.
三元均值不等式：设 a ， b ， c 为正数，则 ≥ ，当且仅当
a ＝ b ＝ c 时等式成立.
证明：设 d 为正数，由二元均值不等式，得 ＝
≥ ≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ d 时，等式成立.令
d ＝ ，即 a ＋ b ＋ c ＝3 d ，代入上述不等式，得 d ≥ ，
由此推出 d3≥ abc ，因此 ≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等式
成立.
【问题探究】
当满足什么条件时，可以利用三元均值不等式求 的最小值？
提示：当 a ， b ， c 均为正数，且 a ， b ， c 能取到相等的值时，可以利
用三元均值不等式求 的最小值.
证明：∵ a ， b ， c 均为正实数，∴ a ＋ b ＋ c ≥3 ＞0， ＋ ＋
≥3 ＞0，
∴（ a ＋ b ＋ c ）· ≥3 ·3 ＝9.
【迁移应用】
已知 a ， b ， c 均为正实数，求证：（ a ＋ b ＋ c ）· ≥9.
1. 设 x ＞0，则3－3 x － 的最大值是（ ）
A. 3
C. －1
解析： ∵ x ＞0，∴3 x ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 x ＝ 时
取等号，∴－ ≤－2 ，则3－3 x － ≤3－2 ，故选D.
2. 已知 （ x ＞1）在 x ＝ t 时取得最小值，则 t 等于（ ）
B. 2 C. 3 D. 4
解析： ＝ ＝ x ＋
＝ x －1＋ ＋1≥2＋1＝3，
当且仅当 x －1＝ ，即 x ＝2时，等号成立.
3. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框
架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的
是（ ）
A. 6.5 m B. 6.8 m
C. 7 m D. 7.2 m
解析： 设两直角边分别为 a ， b ，直角三角形的框架的周长为
l ，则 ab ＝2，∴ ab ＝4， l ＝ a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝4
＋2 ≈6.828（m）.∵要求够用且浪费最少，故选C.
4. （多选）设正实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝1，则下列结论正确的是
（ ）
解析： A：由题设， ＋ ＝ （ a ＋ b ）＝2＋ ＋
≥2＋2 ＝4，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号成立，正确；B：由
a ， b ＞0，则 a ＋ b ＝1≥2 ≤ ，当且仅当 a ＝ b ＝ ，错误；C：由 a ， b ＞0，则 a ＋
b ＝1≥ ＋ ≤ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号
成立，正确；D： a2＋ b2≥ ＝ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号成立，正确.故选A、C、D.
5. 已知正数 a ， b 满足 a ＋2 b ＝2，求 ＋ 的最小值.
解： ＋ ＝ × （ a ＋2 b ）
＝ ≥ （4＋2 ）＝4.
当且仅当即 a ＝1， b ＝ 时等号成立，
∴ ＋ 的最小值为4.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若 x ＞－1，则 x ＋ 的最小值是（ ）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析： 由题意得 x ＋ ＝ x ＋1＋ －1，因为 x ＞－1，所以 x
＋1＞0，故 x ＋ ＝ x ＋1＋ －1≥2 －1＝5，当
且仅当 x ＋1＝ ，即 x ＝2时，等号成立.故选B.
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2. 已知 a ＞0， b ＞0， a ＋ b ＝4，则下列各式中正确的是（ ）
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解析： 因为 a ＞0， b ＞0， a ＋ b ＝4，所以 ＋ ＝
＝ ≥ （2＋2）＝1，
当且仅当 a ＝ b ＝2时取等号，B正确，A错误；由基本不等式可知
ab ≤ ＝4，当且仅当 a ＝ b ＝2时取等号，故 ≤2，C错
误； ≥ ，D错误.故选B.
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3. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b （ a ＜ b ），其全程的平
均时速为 v ，则（ ）
解析： 设小王从甲地到乙地行驶的路程为 s ，
∵ b ＞ a ＞0，则 v ＝ ＝ ＜ ＝ ，
又 ＞ ＝ a ，故选A.
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4. 若关于 x 的不等式－ x2＋ ax －2≤0在区间[－3，－1]上恒成立，则
实数 a 的取值范围为（ ）
D. （－∞，－3]
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解析： 由题设， ax ≤ x2＋2，又 x ∈[－3，－1]，则 a ≥ x ＋ 恒
成立，由 x ＋ ＝－ ≤－2 ＝－2
，当且仅当 x ＝－ ∈[－3，－1]时等号成立，∴ a ≥－2 .
故选A.
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5. （多选）下列说法正确的是（ ）
B. x2＋1的最小值为1
C. 3 x （2－ x ）的最大值为2
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解析： 当 x ＜0时， x ＋ ＜0，故选项A错误；∵ x2＋1≥1，
∴选项B正确；∵3 x （2－ x ）＝－3（ x －1）2＋3，故3 x （2－ x ）
的最大值为3，∴选项C错误；∵ x2＋ ＝（ x2＋2）＋ －
2≥2 －2＝2 －2（当且仅当 x2＋2＝ 时取
“＝”），选项D正确.故选B、D.
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6. 已知正实数 x ， y 满足（ x ＋1）（ y ＋2）＝16，则 x ＋ y 的最小值为
.
解析：由（ x ＋1）（ y ＋2）＝16≤ ，则（ x ＋ y ＋3）
2≥64，又 x ， y ＞0，∴ x ＋ y ＋3≥8，即 x ＋ y ≥5，当且仅当 x ＝3， y
＝2时等号成立.∴ x ＋ y 的最小值为5.
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7. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药
品的浓度 c （单位：mg·L－1）随时间 t （单位：h）的变化关系为 c
＝ ，则经过 h后池水中该药品的浓度达到最大.
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解析： c ＝ ＝ .
因为 t ＞0，所以 t ＋ ≥2 ＝4（当且仅当 t ＝ ，即 t ＝2时等号
成立）.所以 c ＝ ≤ ＝5，当且仅当 t ＝ ，即 t ＝2时， c 取得最
大值.
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8. 若两个正实数 x ， y 满足4 x ＋ y － xy ＝0，且不等式 xy ≥ m2－6 m 恒
成立，则实数 m 的取值范围是 .
解析：因为正实数 x ， y 满足4 x ＋ y － xy ＝0，
所以 xy ＝4 x ＋ y ≥2 ＝4 ，
即 ≥4 xy ≥16，
当且仅当 y ＝4 x ＝8时等号成立，
由 xy ≥ m2－6 m 恒成立，
可得16≥ m2－6 m ，
解得－2≤ m ≤8.
[－2，8]
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9. 已知 x ＞0， y ＞0且2 x ＋5 y ＝20.
（1）求 xy 的最大值；
解：∵2 x ＋5 y ＝20， x ＞0， y ＞0，
∴2 x ＋5 y ≥2 ，
∴2 ≤20，即 xy ≤10，
当且仅当 x ＝5， y ＝2时，等号成立，
∴ xy 的最大值为10.
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（2）求 ＋ 的最小值.
解： ＋ ＝ · （2 x ＋5 y ）
＝ ＝ ≥ （7＋2 ），
当且仅当 x ＝ y 时，等号成立.
∴ ＋ （7＋2 ）.
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10. 已知关于 x 的不等式 x2－4 ax ＋3 a2＜0（ a ＜0）的解集为（ x1，
x2），则 x1＋ x2＋ 的最大值是（ ）
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解析： x2－4 ax ＋3 a2＜0（ a ＜0）的解集为（ x1， x2），则
x1， x2是方程 x2－4 ax ＋3 a2＝0的两个根，故 x1＋ x2＝4 a ， x1 x2＝3
a2，故 x1＋ x2＋ ＝4 a ＋ ，因为 a ＜0，所以由基本不等式
得：4 a ＋ ＝－ ≤－2 ＝－
，当且仅当－4 a ＝－ 即 a ＝－ 时，等号成立，所以 x1＋ x2
＋ 的最大值为－ .故选D.
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11. 若实数 a ， b 满足 a2＋ b2＋ ab ＝4，则 a ＋ b 的最大值是（ ）
A. 12
C. 8
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解析： a2＋ b2＋ ab ＝4 （ a ＋ b ）2＝ ab ＋4，而 ab ≤
，当且仅当 a ＝ b 时取“＝”，
于是得（ a ＋ b ）2≤ ＋4，即 （ a ＋ b ）2≤4，解得－
≤ a ＋ b ≤ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时，（ a ＋ b ）max＝ ，
所以 a ＋ b 的最大值是 .故选B.
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12. 关于 x 的不等式－ x2＋ ax ＋ b ≥0的解集为[－1，2].
（1）求 a ， b 的值；
解：因为关于 x 的不等式－ x2＋ ax ＋ b ≥0的解集为[－1，2]，
所以－1和2是方程－ x2＋ ax ＋ b ＝0的两个实数根，可得
经检验满足条件，
所以 a ＝1， b ＝2.
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（2）当 x ＞0， y ＞0，且满足 ＋ ＝1时，有2 x ＋ y ≥ k2＋ k ＋6恒
成立，求实数 k 的取值范围.
解：知＋ ＝1，
则2 x ＋ y ＝（2 x ＋ y ） ＝4＋ ＋ ≥4＋2
＝8，
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当且仅当时，等号成立，
因为2 x ＋ y ≥ k2＋ k ＋6恒成立，
所以（2 x ＋ y ）min≥ k2＋ k ＋6，
即8≥ k2＋ k ＋6，
可得 k2＋ k －2≤0，
解得－2≤ k ≤1，
所以 k 的取值范围为[－2，1].
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13. 设自变量 x 对应的因变量为 y ，在满足对任意的 x ，不等式 y ≤ M 都
成立的所有常数 M 中，将 M 的最小值叫做 y 的上确界.若 a ， b 为正
实数，且 a ＋ b ＝1，则－ － 的上确界为（ ）
D. －4
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解析： 因为 a ， b 为正实数，且 a ＋ b ＝1，
所以 ＋ ＝ ×（ a ＋ b ）＝ ＋ ≥ ＋2
＝ ，当且仅当 b ＝2 a ，即 a ＝ ， b ＝ 时等号成立，因
此有－ － ≤－ ，即－ － 的上确界为－ .
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14. 2021年8月3日，旅居法国的中国大熊猫欢欢，在法国博瓦勒动物
园顺利地产下了一对双胞胎，暂时取名为“棉花”和“小雪”.为
了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室
ABCD 的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室 AMPN ，使活动的
空间更大.为不影响现有的生活环境，建造时要求点 B 在 AM 上，点
D 在 AN 上，且对角线 MN 过点 C ，如图所示.已知 AB ＝6 m， AD ＝
4 m.设 DN ＝ x m，矩形 AMPN 的面积为 y m2.
（1）写出 y 关于 x 的表达式，并求出 x 为多
少米时， y 有最小值；
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解：由题图知 CD ∥ AM ，
∴ ＝ ，∴ AM ＝ ，
∴ y ＝ ·（ x ＋4）
＝ ＝6 （ x ＞0），
由基本不等式可知 x ＞0时，
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x ＋ ≥2 ＝8，
当且仅当 x ＝ 即 x ＝4时， ymin＝96.
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（2）要使矩形 AMPN 的面积大于128 m2，则 DN 的长应在什么范
围内？
解：∵要使矩形 AMPN 的面积大于128 m2，
∴ ＞128，
∴3 x2－40 x ＋48＞0，
∴0＜ x ＜ 或 x ＞12，
∴ DN 的长应在 ∪（12，＋∞）.
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谢 谢 观 看！
