一、逻辑推理
逻辑推理的核心素养在本章中主要体现在（1）利用不等式的性质推得结论；（2）利用均值不等式推出有关结论.
培优一 不等式的性质及应用
【例1】 （多选）（1）已知a＞b＞0，则（ ）
A.ac2＞bc2 B.a2＞ab＞b2
C.＞ D.a＞a
（2）（多选）若1＜a＜2，3＜b＜5，则下列不等式中正确的是（ ）
A.4＜a＋b＜7 B.2＜b－a＜3
C.3＜ab＜10 D.＜＜5
尝试解答
培优二 恒成立问题
【例2】 （1）若等式ax2＋bx＝（x－1）（x＋2）＋2恒成立，则常数a与b的和为 ；
（2）已知不等式（m2＋4m－5）x2＋4（1－m）x＋3＞0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是 ；
（3）已知a＞0，b＞0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为 .
尝试解答
培优三 均值不等式的应用
【例3】 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
（1）ab＋bc＋ac≤；
（2）＋＋≥1.
尝试解答
【例4】 已知x，y都是正数.
（1）若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
（2）若x＋2y＝3，求＋的最小值.
尝试解答
二、数学运算
数学运算的核心素养在本章中主要体现在方程组和不等式的求解问题中.
培优四 方程组的解法
【例5】 求下列方程组的解集：
（1）
（2）
尝试解答
【例6】 求下列方程组的解集：
（1）
（2）
尝试解答
培优五 不等式（组）的解法
【例7】 解下列不等式：
（1）x＋｜2x＋3｜≥2；
（2）｜x＋1｜＋｜x－1｜≥3.
尝试解答
【例8】 已知函数f（x）＝ax2＋（2－4a）x－8.
（1）若不等式f（x）＜0的解集为{x｜－＜x＜4}，求a的值；
（2）当a＜0时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集.
尝试解答
培优六 利用均值不等式求最值
【例9】 （1）已知x，y均为正实数，且＋＝4，若2x＋y＞m2－m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A.m＜－2或m＞1 B.－2＜m＜1
C.m＜－1或m＞2 D.－1＜m＜2
（2）若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为 .
尝试解答
三、数学建模
数学建模是应用数学实际问题的基本方法，在本章中体现在（1）均值不等式的实际应用；（2）一元二次不等式的实际应用.
培优七 均值不等式的实际应用
【例10】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为y＝－24x＋2 000，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本；
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求最大利润.
尝试解答
培优八 一元二次不等式的实际应用
【例11】 某科技公司研究表明：该公司的市场占有率y与每年研发经费x（单位：亿元）满足关系式：y＝（x＞0），其中m为实常数.
（1）若m＝0时，该公司市场占有率不低于60％，则每年研发经费至少需要多少亿元？
（2）若m＝－时，求该公司市场占有率的最大值.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 （1）BC （2）ACD 解析：（1）当c＝0时，ac2＞bc2不成立，A错误；
因为a＞b＞0，所以a2＞ab＞b2，＞，B、C正确；
因为a＞b＞0，＞＞0，所以a＜a，D错误.故选B、C.
（2）选项A，由1＜a＜2，3＜b＜5，可得4＜a＋b＜7，故选项A正确；
选项B，由1＜a＜2可得－2＜－a＜－1，而3＜b＜5，所以1＜b－a＜4，故选项B错误；
选项C，由1＜a＜2，3＜b＜5，可得3＜ab＜10，故选项C正确；
选项D，由1＜a＜2可得＜＜1，而3＜b＜5，所以＜＜5，故选项D正确.
故选A、C、D.
【例2】 （1）2 （2）{m｜1≤m＜19} （3）6
解析：（1）等式ax2＋bx＝（x－1）（x＋2）＋2恒成立，
即（a－1）x2＋（b－1）x＝0恒成立，
则有解得故a＋b＝1＋1＝2.
（2）①当m2＋4m－5＝0时，m＝－5或m＝1.
若m＝－5，则不等式化为24x＋3＞0，对任意实数x不可能恒大于0.
若m＝1，则3＞0恒成立.
②当m2＋4m－5≠0时，根据题意应有
∴∴1＜m＜19.
综上可知，{m｜1≤m＜19}.
（3）由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×（2a＋b）
＝6≥6×（5＋4）＝54，
当且仅当即a＝b＝18时等号成立，
∴9m≤54，即m≤6，故m的最大值为6.
【例3】 证明：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（当且仅当a＝b＝c时等号成立）.
由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1.
所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤.
（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
所以＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
所以＋＋≥1.
【例4】 解：（1）因为3x＋2y＝12，所以xy＝·3x·2y≤×＝6，当且仅当3x＝2y＝6时，即x＝2，y＝3时，等号成立.
所以xy的最大值为6.
（2）因为x＋2y＝3，
所以＋＝（x＋2y）＝（1＋2＋＋）≥＝1＋，
当x＝－3＋3，y＝3－时取等号，
所以＋的最小值是1＋.
【例5】 解：（1）法一（代入法） 由②得x＝y＋1， ④
将④代入①③得
解这个方程组得
将y＝9代入④得x＝10.
所以原方程组的解集为{（10，9，7）}.
法二（加减法） ③－①，得x－2y＝－8， ⑤
由②⑤组成方程组，得
解这个方程组，得
将其代入①得z＝7.所以原方程组的解集为{（10，9，7）}.
（2）由②得x＝2y＋2， ③
把③代入①，整理得8y2＋8y＝0.即y（y＋1）＝0，解得y＝0或y＝－1.把y＝0代入③，得x＝2；把y＝－1代入③，得x＝0.所以原方程组的解集是{（2，0），（0，－1）}.
【例6】 解：（1）由－＝1，得3x－2y＝6，得3x＝2y＋6，代入3x－5y＝3中得，－3y＝－3，得y＝1，所以x＝，所以方程组的解集为.
（2）2x＋3y＋z＝9两边同乘以3，得6x＋9y＋3z＝27，再与5x－9y＋7z＝8相加，
得11x＋10z＝35，
由得
把x＝5，z＝－2代入2x＋3y＋z＝9中，解得y＝，所以原方程组的解集为.
【例7】 解：（1）原不等式可化为或
解得x≥－或x≤－5.
综上，原不等式的解集是.
（2）当x≤－1时，原不等式可以化为－（x＋1）－（x－1）≥3，解得x≤－.
当－1＜x＜1时，原不等式可以化为x＋1－（x－1）≥3，即2≥3，不成立，无解.
当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3，
解得x≥.
综上，原不等式的解集为∪.
【例8】 解：（1）不等式f（x）＜0即ax2＋（2－4a）x－8＜0，可化为（ax＋2）（x－4）＜0，
因为f（x）＜0的解集为，所以a＞0且－＝－，解得a＝3.
（2）不等式f（x）＞0即ax2＋（2－4a）x－8＞0，
因为a＜0，所以不等式可化为（x－4）＜0，
当4＜－时，即－＜a＜0，原不等式的解集为，
当4＝－时，即a＝－，原不等式的解集为 ，
当4＞－时，即a＜－，原不等式的解集为.
综上所述，
当－＜a＜0时，原不等式的解集为；
当a＝－时，原不等式的解集为 ；
当a＜－时，原不等式的解集为.
【例9】 （1）D （2）2 解析：（1）由题设，2x＋y＝（2x＋y）＝≥＝2，当且仅当y＝2x＝1时等号成立，要使2x＋y＞m2－m恒成立，则m2－m＜2，可得－1＜m＜2.故选D.
（2）法一 ∵≥ ，
∴＋＋b＝＋＋＋≥4＝2，当且仅当＝＝＝时等号成立，即a＝b＝时＋＋b取得最小值.
法二 ∵a＞0，b＞0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2 ＝2.当且仅当＝和＝b同时成立，即a＝b＝时等号成立.
【例10】 解：（1）∵x∈[60，110]，＝＋－24≥2－24＝16，
当且仅当＝时，即x＝100取“＝”，符合题意，
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）L（x）＝24x－＝－（x－120）2＋880，
又∵60≤x≤110，∴当x＝110时，L（x）max＝860.
故年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【例11】 解：（1）当m＝0时，y＝（x＞0），
由y＝≥，可得2x2－5x＋2≤0，
解得≤x≤2，即每年的研发经费至少需要0.5亿元.
（2）当m＝－时，y＝＝≤＝，
当且仅当x＝1时，等号成立，
因此，若m＝－时，该公司市场占有率的最大值为80％.
3 / 3(共37张PPT)
章末复习与总结
一、逻辑推理
逻辑推理的核心素养在本章中主要体现在（1）利用不等式的性
质推得结论；（2）利用均值不等式推出有关结论.
培优一 不等式的性质及应用
【例1】 （多选）（1）已知 a ＞ b ＞0，则（ BC ）
A. ac2＞ bc2 B. a2＞ ab ＞ b2
C. ＞ D. a ＞ a
解析：当 c ＝0时， ac2＞ bc2不成立，A错误；
因为 a ＞ b ＞0，所以 a2＞ ab ＞ b2， ＞ ，B、C正确；
因为 a ＞ b ＞0， ＞ ＞0，所以 a ＜ a ，D错误.故选B、C.
（2）（多选）若1＜ a ＜2，3＜ b ＜5，则下列不等式中正确的是
（ AC）
A. 4＜ a ＋ b ＜7 B. 2＜ b － a ＜3
C. 3＜ ab ＜10 D. ＜ ＜5
解析：选项A，由1＜ a ＜2，3＜ b ＜5，可得4＜ a ＋ b ＜7，
故选项A正确；
选项B，由1＜ a ＜2可得－2＜－ a ＜－1，而3＜ b ＜5，所以
1＜ b － a ＜4，故选项B错误；
选项C，由1＜ a ＜2，3＜ b ＜5，可得3＜ ab ＜10，故选项C
正确；
选项D，由1＜ a ＜2可得 ＜ ＜1，而3＜ b ＜5，所以 ＜
＜5，故选项D正确.故选A、C、D.
培优二 恒成立问题
【例2】 （1）若等式 ax2＋ bx ＝（ x －1）（ x ＋2）＋2恒成立，则
常数 a 与 b 的和为 ；
解析：等式 ax2＋ bx ＝（ x －1）（ x ＋2）＋2恒成立，
即（ a －1） x2＋（ b －1） x ＝0恒成立，
则有故 a ＋ b ＝1＋1＝2.
2
（2）已知不等式（ m2＋4 m －5） x2＋4（1－ m ） x ＋3＞0对任意实数
x 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ；
解析：①当 m2＋4 m －5＝0时， m ＝－5或 m ＝1.
若 m ＝－5，则不等式化为24 x ＋3＞0，对任意实数 x 不可能恒大
于0.
若 m ＝1，则3＞0恒成立.
{ m ｜1≤ m ＜19}
②当 m2＋4 m －5≠0时，根据题意应有
∴∴1＜ m ＜19.
综上可知，{ m ｜1≤ m ＜19}.
（3）已知 a ＞0， b ＞0， ＋ ＝ ，若不等式2 a ＋ b ≥9 m 恒成立，
则 m 的最大值为 .
解析：由已知，可得6 ＝1，
∴2 a ＋ b ＝6 ×（2 a ＋ b ）
＝6 ≥6×（5＋4）＝54，当且仅当即
a ＝ b ＝18时等号成立，
∴9 m ≤54，即 m ≤6，故 m 的最大值为6.
6
培优三 均值不等式的应用
【例3】 设 a ， b ， c 均为正数，且 a ＋ b ＋ c ＝1.证明：
（1） ab ＋ bc ＋ ac ≤ ；
证明：由 a2＋ b2≥2 ab ， b2＋ c2≥2 bc ， c2＋ a2≥2 ca 得 a2
＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ca （当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立）.
由题设得（ a ＋ b ＋ c ）2＝1，即 a2＋ b2＋ c2＋2 ab ＋2 bc ＋2 ac
＝1.所以3（ ab ＋ bc ＋ ca ）≤1，即 ab ＋ bc ＋ ca ≤ .
（2） ＋ ＋ ≥1.
证明：因为 ＋ b ≥2 a ， ＋ c ≥2 b ， ＋ a ≥2 c ，
所以 ＋ ＋ ＋（ a ＋ b ＋ c ）≥2（ a ＋ b ＋ c ），即 ＋
＋ ≥ a ＋ b ＋ c ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立.
所以 ＋ ＋ ≥1.
（1）若3 x ＋2 y ＝12，求 xy 的最大值；
解：因为3 x ＋2 y ＝12，所以 xy ＝ ·3 x ·2 y ≤ ×
＝6，当且仅当3 x ＝2 y ＝6时，即 x ＝2， y ＝3时，等号成立.所
以 xy 的最大值为6.
【例4】 已知 x ， y 都是正数.
解：因为 x ＋2 y ＝3，
所以 ＋ ＝ （ x ＋2 y ）＝ （1＋2＋ ＋ ）≥ ＝1＋ ，
当 x ＝－3＋3 ， y ＝3－ 时取等号，
所以 ＋ 的最小值是1＋ .
（2）若 x ＋2 y ＝3，求 ＋ 的最小值.
二、数学运算
数学运算的核心素养在本章中主要体现在方程组和不等式的求解
问题中.
培优四 方程组的解法
【例5】 求下列方程组的解集：
（1）
解：法一（代入法） 由②得 x ＝ y ＋1， ④
将④代入①③得
将 y ＝9代入④得 x ＝10.
所以原方程组的解集为{（10，9，7）}.
法二（加减法） ③－①，得 x －2 y ＝－8， ⑤
由②⑤组成方程组，得
解这个方程组，得
将其代入①得 z ＝7.所以原方程组的解集为{（10，9，7）}.
（2）
解：由②得 x ＝2 y ＋2， ③
把③代入①，整理得8 y2＋8 y ＝0.即 y （ y ＋1）＝0，解得 y ＝0或 y ＝
－1.把 y ＝0代入③，得 x ＝2；把 y ＝－1代入③，得 x ＝0.所以原方程
组的解集是{（2，0），（0，－1）}.
【例6】 求下列方程组的解集：
（1）
解：由 － ＝1，得3 x －2 y ＝6，得3 x ＝2 y ＋6，代入3 x －5 y
＝3中得，－3 y ＝－3，得 y ＝1，所以 x ＝
.
（2）
解： 2 x ＋3 y ＋ z ＝9两边同乘以3，得6 x ＋9 y ＋3 z ＝27，再与5 x －9 y
＋7 z ＝8相加，得11 x ＋10 z ＝35，
由
把 x ＝5， z ＝－2代入2 x ＋3 y ＋ z ＝9中，解得 y ＝
.
培优五 不等式（组）的解法
【例7】 解下列不等式：
（1） x ＋｜2 x ＋3｜≥2；
解：原不等式可化为
或解得 x ≥－ 或 x ≤－5. 综上，原不等式的
解集是 .
（2）｜ x ＋1｜＋｜ x －1｜≥3.
解：当 x ≤－1时，原不等式可以化为－（ x ＋1）－（ x －
1）≥3，解得 x ≤－ .
当－1＜ x ＜1时，原不等式可以化为 x ＋1－（ x －1）≥3，即
2≥3，不成立，无解.
当 x ≥1时，原不等式可以化为 x ＋1＋ x －1≥3，
解得 x ≥ .
综上，原不等式的解集为 ∪ .
【例8】 已知函数 f （ x ）＝ ax2＋（2－4 a ） x －8.
（1）若不等式 f （ x ）＜0的解集为 ，求 a 的值；
解：不等式 f （ x ）＜0即 ax2＋（2－4 a ） x －8＜0，可化
为（ ax ＋2）（ x －4）＜0，
因为 f （ x ）＜0的解集为 ，
所以 a ＞0且－ ＝－ ，解得 a ＝3.
解：不等式 f （ x ）＞0即 ax2＋（2－4 a ） x －8＞0，
因为 a ＜0，所以不等式可化为 （ x －4）＜0，
当4＜－ 时，即－ ＜ a ＜0，原不等式的解集为 ，
当4＝－ 时，即 a ＝－ ，原不等式的解集为 ，
当4＞－ 时，即 a ＜－ .
（2）当 a ＜0时，求关于 x 的不等式 f （ x ）＞0的解集.
综上所述，
当－ ＜ a ＜0时，原不等式的解集为 ；
当 a ＝－ 时，原不等式的解集为 ；
当 a ＜－ .
培优六 利用均值不等式求最值
【例9】 （1）已知 x ， y 均为正实数，且 ＋ ＝4，若2 x ＋ y ＞ m2－
m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ D ）
A. m ＜－2或 m ＞1 B. －2＜ m ＜1
C. m ＜－1或 m ＞2 D. －1＜ m ＜2
解析：由题设，2 x ＋ y ＝ （2 x ＋ y ） ＝ ≥
＝2，当且仅当 y ＝2 x ＝1时等号成立，要使2 x ＋ y ＞
m2－ m 恒成立，则 m2－ m ＜2，可得－1＜ m ＜2.故选D.
（2）若 a ＞0， b ＞0，则 ＋ ＋ b 的最小值为 2 .
解析：法一 ∵ ≥ ，
∴ ＋ ＋ b ＝ ＋ ＋ ＋ ≥4 ＝2
＝ ＝ ＝ 时等号成立，即 a ＝ b ＝
＋ ＋ b 取得最小值.
2
法二 ∵ a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＋ b ≥2 ＋ b ＝ ＋ b ≥2
＝2 .当且仅当 ＝ ＝ b 同时成立，即 a ＝ b ＝ 时等
号成立.
三、数学建模
数学建模是应用数学实际问题的基本方法，在本章中体现在
（1）均值不等式的实际应用；（2）一元二次不等式的实际应用.
培优七 均值不等式的实际应用
【例10】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产
的总成本 y 万元与年产量 x 吨之间的函数关系可以近似地表示为 y ＝
－24 x ＋2 000，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低
平均成本；
解：∵ x ∈[60，110]， ＝ ＋ －24≥2 －24＝16，
当且仅当 ＝ 时，即 x ＝100取“＝”，符合题意，
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年
产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求最大利润.
解：L （ x ）＝24 x － ＝－ （ x －120）2＋880，
又∵60≤ x ≤110，∴当 x ＝110时， L （ x ）max＝860.
故年产量为110吨时，最大利润为860万元.
培优八 一元二次不等式的实际应用
【例11】 某科技公司研究表明：该公司的市场占有率 y 与每年研发
经费 x （单位：亿元）满足关系式： y ＝ （ x ＞0），其中 m
为实常数.
（1）若 m ＝0时，该公司市场占有率不低于60％，则每年研发经费至
少需要多少亿元？
解：当 m ＝0时， y ＝ （ x ＞0），
由 y ＝ ≥ ，可得2 x2－5 x ＋2≤0，
解得 ≤ x ≤2，即每年的研发经费至少需要0.5亿元.
（2）若 m ＝－ 时，求该公司市场占有率的最大值.
解：当 m ＝－ 时， y ＝ ＝ ≤ ＝ ，
当且仅当 x ＝1时，等号成立，
因此，若 m ＝－ 时，该公司市场占有率的最大值为80％.
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