数学探究：杨辉三角性质与应用 教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 数学探究：杨辉三角性质与应用 教案（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 119.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-05 10:06:08 | ||
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文档简介
课 题 数学探究 杨辉三角的性质与应用
教材分析 本节课选自人教A版选择性必修三第六章数学探究课，是在学习过二项式定理后的一节数学探究课.结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养.在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法.
学情分析 数学学习并不单纯是数学知识的学习，更重要的是通过学习数学知识所蕴含的丰富的 数学思想方法提高学生的思维能力.进入高二以后，从学生的知识结构来看，学生已学习了两个计数原理和二项式定理，这为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了知识基础.从学生的心理特征来看，高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，数学学习能力有了很大提高，特别是观察、探究能力也有了长足的进步，为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了能力基础.
教学目标 1.通过杨辉三角性质的探究掌握数学探究的基本思路. 2.通过杨辉三角性质的探究提升学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象等数学核心素养. 3.通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情.
教学重难点 教学重点： 1. 观察、猜测、论证杨辉三角的对称性、递推性、横向和、偶数项和与奇数项和等性质. 2. 观察、猜测杨辉三角的高阶等差数列、斐波那契数列、、谢尔宾斯基三角形等性质. 教学难点： 1. 杨辉三角的对称性、递推性、横向和、偶数项与奇数项和等性质的证明. 2. 引导学生从数、形的角度探究杨辉三角的性.
教学准备 教师平板、学生平板、学案、PPT、DeepSeek搜索软件等
教学环节 教学内容 活动设计 智慧课堂操作技术能力点应用及分析
一、情景导入 引出杨辉三角 从华夏传说中的河图和洛书导入新课，相传伏羲根据河图演绎了八卦，而大禹则根据洛书划分了九州.因此，河图和洛书是我们华夏文明的起源.但是在数学家的眼中，河图和洛书还是世界上最古老的数阵.那么这节课我们将一起来研究一个特殊的三角数阵——杨辉三角. 问题1：你知道杨辉三角的历史由来吗？利用DeepSeek搜索杨辉三角的历史及影响力. 学生回答问题1，了解学生对杨辉三角的知识储备. 通过DeepSeek搜索杨辉三角的历史，帮助学生了解杨辉三角的历史由来，渗透数学文化，感受中国古代数学家们的成就，增强学生的文化自信.
二、自主观察 得到杨辉三角 填表：计算展开式的二项式系数 问题2：观察展开式的二项式系数，它们与杨辉三角之间有什么联系？ 学生填表，观察展开式中二项式系数的特点，思考二项式系数与杨辉三角之间的关系. 利用智慧课堂在线填表，统计学生作答情况.对于问题2利用智慧课堂抢答功能，调动学生学习积极性，激发学生学习兴趣.
三、洞悉规律探究杨辉三角 问题3：你认为可从哪些方面探究杨辉三角？我们该如何探究杨辉三角的性质？ 横看、斜看、竖看、连续看、隔行看等；采取画一画，连一连，算一算，进行归纳和猜想和证明. 性质1 (对称性)每行中与首末两端“等距离”之数相等，即. 性质2（递推性）除1以外的数等于肩上两数之和，即. 性质3 横向求和：第n行各数的和为：. 性质4 斜向求和： . 学生观察总结出杨辉三角的性质,并通过拍照讲解功能，由学生证明性质1、性质2并讲解. 利用智慧课堂拍照讲解功能，呈现学生的证明和讲解过程，提升学生逻辑推理、语言表达能力.
四、例题巩固应用杨辉三角 例1：杨辉《详解九章算法》有一个这样的问题：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何. 首先在教师的讲解下翻译此题，然后由学生独立完成，最后教师讲解和点评. 通过智慧课堂全班作答功能，收集学生答题情况.
五、拓展思考深化杨辉三角 1.随堂测验：3道选择题. 2.课后思考：根据，证明： 学生在平板作答提交. 利用智慧课堂随堂测验功能及时评价，通过大数据了解学生对本节课知识的掌握情况.
课堂小结 1.学生自主小结，总结本节课所学知识、方法. 2.教师升华 展示杨辉三角的其他一些性质，在计算机科学（如概率计算）、艺术设计中的应用案例 3.杨辉三角给你留下印象最深刻的是什么？ 小结由学生完成，教师总结、完善、升华. 1.通过“思维导图共创”功能完善知识结构图； 2.利用智慧课堂的讨论功能实现生生互评.
布置作业 【课后拓展】 请从其它研究方向继续尝试研究、发掘杨辉三角的规律，体验杨辉三角的“结构美”，发现杨辉三角的“含蓄美”，展现杨辉三角的“形式美”，体会数学美及数学奥妙.布置拓展阅读《算法世界中的数学之美》（推送到学生平板）. 【分层作业】 基础层：制作创意杨辉三角手抄报（需标注至少3条规律） 提高层：探究斐波那契数列在杨辉三角中的隐藏规律 拓展层：用编程语言输出n层杨辉三角（提供Python代码模板） 学生自主截屏保存作业，并按要求完成作业. 运用平板截屏、保存功能，提升记录作业的效率，节省时间.运用资源推送功能，向学生推送阅读材料，拓宽学生阅读面.
板书设计： 课题：杨辉三角的性质与应用
教材分析 本节课选自人教A版选择性必修三第六章数学探究课，是在学习过二项式定理后的一节数学探究课.结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养.在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法.
学情分析 数学学习并不单纯是数学知识的学习，更重要的是通过学习数学知识所蕴含的丰富的 数学思想方法提高学生的思维能力.进入高二以后，从学生的知识结构来看，学生已学习了两个计数原理和二项式定理，这为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了知识基础.从学生的心理特征来看，高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，数学学习能力有了很大提高，特别是观察、探究能力也有了长足的进步，为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了能力基础.
教学目标 1.通过杨辉三角性质的探究掌握数学探究的基本思路. 2.通过杨辉三角性质的探究提升学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象等数学核心素养. 3.通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情.
教学重难点 教学重点： 1. 观察、猜测、论证杨辉三角的对称性、递推性、横向和、偶数项和与奇数项和等性质. 2. 观察、猜测杨辉三角的高阶等差数列、斐波那契数列、、谢尔宾斯基三角形等性质. 教学难点： 1. 杨辉三角的对称性、递推性、横向和、偶数项与奇数项和等性质的证明. 2. 引导学生从数、形的角度探究杨辉三角的性.
教学准备 教师平板、学生平板、学案、PPT、DeepSeek搜索软件等
教学环节 教学内容 活动设计 智慧课堂操作技术能力点应用及分析
一、情景导入 引出杨辉三角 从华夏传说中的河图和洛书导入新课，相传伏羲根据河图演绎了八卦，而大禹则根据洛书划分了九州.因此，河图和洛书是我们华夏文明的起源.但是在数学家的眼中，河图和洛书还是世界上最古老的数阵.那么这节课我们将一起来研究一个特殊的三角数阵——杨辉三角. 问题1：你知道杨辉三角的历史由来吗？利用DeepSeek搜索杨辉三角的历史及影响力. 学生回答问题1，了解学生对杨辉三角的知识储备. 通过DeepSeek搜索杨辉三角的历史，帮助学生了解杨辉三角的历史由来，渗透数学文化，感受中国古代数学家们的成就，增强学生的文化自信.
二、自主观察 得到杨辉三角 填表：计算展开式的二项式系数 问题2：观察展开式的二项式系数，它们与杨辉三角之间有什么联系？ 学生填表，观察展开式中二项式系数的特点，思考二项式系数与杨辉三角之间的关系. 利用智慧课堂在线填表，统计学生作答情况.对于问题2利用智慧课堂抢答功能，调动学生学习积极性，激发学生学习兴趣.
三、洞悉规律探究杨辉三角 问题3：你认为可从哪些方面探究杨辉三角？我们该如何探究杨辉三角的性质？ 横看、斜看、竖看、连续看、隔行看等；采取画一画，连一连，算一算，进行归纳和猜想和证明. 性质1 (对称性)每行中与首末两端“等距离”之数相等，即. 性质2（递推性）除1以外的数等于肩上两数之和，即. 性质3 横向求和：第n行各数的和为：. 性质4 斜向求和： . 学生观察总结出杨辉三角的性质,并通过拍照讲解功能，由学生证明性质1、性质2并讲解. 利用智慧课堂拍照讲解功能，呈现学生的证明和讲解过程，提升学生逻辑推理、语言表达能力.
四、例题巩固应用杨辉三角 例1：杨辉《详解九章算法》有一个这样的问题：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何. 首先在教师的讲解下翻译此题，然后由学生独立完成，最后教师讲解和点评. 通过智慧课堂全班作答功能，收集学生答题情况.
五、拓展思考深化杨辉三角 1.随堂测验：3道选择题. 2.课后思考：根据，证明： 学生在平板作答提交. 利用智慧课堂随堂测验功能及时评价，通过大数据了解学生对本节课知识的掌握情况.
课堂小结 1.学生自主小结，总结本节课所学知识、方法. 2.教师升华 展示杨辉三角的其他一些性质，在计算机科学（如概率计算）、艺术设计中的应用案例 3.杨辉三角给你留下印象最深刻的是什么？ 小结由学生完成，教师总结、完善、升华. 1.通过“思维导图共创”功能完善知识结构图； 2.利用智慧课堂的讨论功能实现生生互评.
布置作业 【课后拓展】 请从其它研究方向继续尝试研究、发掘杨辉三角的规律，体验杨辉三角的“结构美”，发现杨辉三角的“含蓄美”，展现杨辉三角的“形式美”，体会数学美及数学奥妙.布置拓展阅读《算法世界中的数学之美》（推送到学生平板）. 【分层作业】 基础层：制作创意杨辉三角手抄报（需标注至少3条规律） 提高层：探究斐波那契数列在杨辉三角中的隐藏规律 拓展层：用编程语言输出n层杨辉三角（提供Python代码模板） 学生自主截屏保存作业，并按要求完成作业. 运用平板截屏、保存功能，提升记录作业的效率，节省时间.运用资源推送功能，向学生推送阅读材料，拓宽学生阅读面.
板书设计： 课题：杨辉三角的性质与应用