广东省深圳市福田区2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025·福田模拟）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（2025·福田模拟）下列中国传统装饰纹样中，为中心对称图形的是（ ）
A．四合云纹 B．葫芦纹 C．如意纹 D．莲花纹
3．（2025·福田模拟）深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新的里程碑。数据420000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·福田模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·福田模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（ ）
A．越来越大 B．影子不是直角三角形
C．影子越来越小 D．影子越来越大
6．（2025·福田模拟）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·福田模拟）如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·福田模拟）一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”与地面的夹角为（如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为．当无人机处于离地面米时，若，则此时宽度的值为（ ）
A．150 B． C．200 D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·福田模拟）若，则代数式的值等于 。
10．（2025·福田模拟）办数学板报时，小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事，则他选中“三等分角”的概率是 。
11．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ．
12．（2025·福田模拟）已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为 ．
13．（2025·福田模拟）如图，在中，，平分，连接并延长至点E，使得，连接，恰好有．若，则 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题9分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题11分，共61分）
14．（2025·福田模拟）计算：．
15．（2025·福田模拟）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
化简 解：原式① ② ③
（1）化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______．
（2）请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值．
16．（2025·福田模拟）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对两品牌词典笔进行用户评价调研．现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）
A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10
B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）
统计量 品牌 翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A 8 ①______
B 10 ②______
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写．
（2）样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是 人．
（3）决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由．
（4）调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法．
17．（2025·福田模拟）春风送暖，与爱同行！为践行“雷锋精神”，某学校举办科创爱心义卖活动，将所得款项全部用于资助西藏贫困学生．在义卖活动中，某摊位将班级的科创作品进行义卖，以下是该摊位销售情况的部分记录：
交易编码 品类与数量 销售总价（元）
一辆电动风力小车、两个简易电动风扇
两辆电动风力小车、三个简易电动风扇
（1）求该摊位一辆电动风力小车和一个简易电动风扇的售价分别是多少元？
（2）若该摊位希望总捐款金额不低于元，计划出售电动风力小车与简易电动风扇共件，那么电动风力小车至少需要多少辆？
18．（2025·福田模拟）如图，在中，．
（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
19．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线的一部分）．
（1）轨道初段的总长为______；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
20．（2025·福田模拟）如图1，点P是对角线上的一点（），且使得，连接并延长，交于点E．
（1）若，求的值．
（2）如图2，将沿方向平移到，求证：．
（3）如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：在数轴上，在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数，
∵，则在原点的左侧，位于和中间，
∴最可能表示的点是点C，
故选：C．
【分析】本题主要对有理数在数轴上的表示进行考查，准确掌握正数、负数在数轴上的位置是解题关键．
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
【分析】本题主要对中心对称及中心对称图形的定义进行考查；根据中心对称图形的定义对四个选项注意判断．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据420000用科学记数法可表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选B．
【分析】本题主要对整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式等知识点进行考查．
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影
【解析】【解答】解：A、根据位似图形的性质可得，位似角大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意；
B、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意；
C、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意；
D、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要对中心投影，相似三角形，位似图形的性质进行考查．
6．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方，由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第二象限．
故选：B．
【分析】本题主要对平面直角坐标系中的象限，用坐标表示地理位置进行考查．
7．【答案】B
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】】解：在矩形中，，
∵边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A旋转到点E的路径长为，
故选：B．
【分析】本题主要对旋转的性质、弧长公式、锐角三角函数，正方形的性质进行考查．根据旋转的性质与正方形的性质可得到，再根据弧长公式有=．
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
【分析】本题主要对直角三角形的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识进行考查．根据题意，，，可求得，，然在可解得，所以．
9．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：5
【分析】提公因数化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中“三等分角”的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】74
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【分析】本题主要对三角形外角的性质，平行四边形的判定，平行线的性质进行考查．根据三角形的外角性质：三角形外外角等于与其不相邻的两个内角之和，求出，又因为折射光线，所以四边形是平行四边形，因此有．
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵当时，y的最大值是，
∴反比例函数的图象经过第三象限，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∴当时，，
∴，
当时，，
∴当时，y的最小值为，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要对等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识点进行考查．根据题干信息延长交于点，连接，根据，平分 可得垂直平分，进而得到，所以，此时设，则，根据勾股定理在中，，在中，，所以，进一步得到，进一步得到，根据三角形相似所以．
14．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要对实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，零指数幂，负整数指数幂等知识点进行考查．分别对各项单独计算，再进行求和，，所以原式．
15．【答案】（1）①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则
（2）解：原式，
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：从第①步开始出现错误，未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
【分析】本题主要对分式的混合运算，分式的化简求值进行考查．
（1）按照混合运算的运算顺序：先乘除后加减，对各步骤进行查验，第①步先进行了加减运算，为遵守运算法则；
（2）对原式进行化简计算，优先计算乘除，，所以原式，带入，原式．
（1）解：从第①步开始出现错误，
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
（2）解：原式，
，
当时，原式．
16．【答案】（1）解：通过信息一可知组数据中出现次数最多的是8，∴众数是8（分）；
通过信息二可知组数据中按照从小到大的顺序排列，第5位数据为8，第6位数据为8，
∴中位数为（分）
（2）140
（3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）解：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人；
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本．
这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠；
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标；
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项．
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人），
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人．
【分析】
本题主要对众数，中位数，用样本频数估计总数，利用平均数，中位数，众数等作决策，样本的代表性等知识点进行考查。
（1）众数：一组数据中出现最多的数；中位数：将一组数据中按照从小到大的顺序排列，处于中间的数；根据定义完成求解。
（2）先计算出这组数据中不低于8分的比例，再乘以总体数可得140人；
（3）根据数据，优先选则中位数与众数更高的品牌；
（4）从样本数量、代表性，平分维度进行不足分析．
（1）解：通过信息一可知组数据中出现次数最多的是8，
∴众数是8（分）；
通过信息二可知组数据中按照从小到大的顺序排列，第5位数据为8，第6位数据为8，
∴中位数为（分）
（2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人），
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人．
（3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）解：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人；
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本．
这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠；
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标；
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项．
17．【答案】（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
由题意得，，
解得，
答：一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元；
（2）解：设需要辆电动风力小车，
由题意有：，解得，
∵取整数，
∴的最小值为，
答：摊位至少需要辆电动风力小车．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，由题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
（）设需要辆电动风力小车，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
由题意得，，
解得，
答：一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元；
（2）解：设需要辆电动风力小车，
由题意有：，解得，
∵取整数，
∴的最小值为，
答：摊位至少需要辆电动风力小车．
18．【答案】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题主要对尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定等知识点进行考查。
（1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆；
（2）①连接，根据三角形外角定理可得，又因为，所以得证；②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出．
（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
19．【答案】（1）解：由图3可知：轨道初段的总长为；故答案为：40；
设与之间的关系式为，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）①由图3设抛物线的顶点坐标为，点在抛物线上，∴，
把代入，得：，解得：或（舍去）；
∴；
②线段与抛物线是光滑连接；
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
令，整理，得：，
∴，
∴直线与抛物线有且只有一个交点，
∵的对称轴为直线，
∴与对称轴不平行，
∴线段与抛物线是光滑连接；
（3）存在，理由如下：
假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，由题意，得：，
解得：，
当时，；
故存在，求出这节轨道的起点与点A之间的距离
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】本题主要对二次函数的实际应用-抛球问题进行考查：
（1）根据图3即可得到的总长即为OP纵坐标=40cm；设与之间的关系式为，带入已知两点坐标可得解析式；
（2）①根据题意设抛物线的顶点坐标为进一步设出顶点式，将代入进行求得解析式；
②根据待定系数法设段的解析式，带入求得解析式，计算，结合新定义，直线与抛物线有且只有一个交点，线段与抛物线是光滑连接；
（3）假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，带入轨道长为9可得到，所以时，故存在，且距离为．
（1）解：由图3可知：轨道初段的总长为；
故答案为：40；
设与之间的关系式为，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）①由图3设抛物线的顶点坐标为，点在抛物线上，
∴，
把代入，得：，解得：或（舍去）；
∴；
②线段与抛物线是光滑连接；
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
令，整理，得：，
∴，
∴直线与抛物线有且只有一个交点，
∵的对称轴为直线，
∴与对称轴不平行，
∴线段与抛物线是光滑连接；
（3）存在，理由如下：
假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，由题意，得：，
解得：，
当时，；
故存在，求出这节轨道的起点与点A之间的距离．
20．【答案】（1）解：∵，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
又，
，
（2）证明：，，
∵将沿方向平移到，
，，
，
，，
，
，
（3）解：如图，取的中点G，连接．
设 ，则．
∵，
，
，．
∵M点是的中点，G点是的中点，
∴是的中位线，
，
∴．
延长至Q点，使，连接，，
又，
∴四边形是平行四边形，
，．
又∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又，
，，
，，
又，
，
．
，，
，
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用已知条件可求出的值，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例，可求出ED与CD的比值，然后求出DE与DE的比值即可.
（2）利用等角对等边可证得，根据平移的性质可得，，可推出，，再利用证明，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）取的中点G，连接，则可得是的中位线，则．根据平行线分线段成比例定理可得的值．延长至Q点，使，连接，，则可得四边形是平行四边形，则，．再结合可得，，利用SAS可知，利用全等三角形的性质可证得AD=QD，然后求出DF与AD的比值.
（1）解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
又，
，
．
（2）证明：，
，
∵将沿方向平移到，
，，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图，取的中点G，连接．
设 ，则．
∵，
，
，．
∵M点是的中点，G点是的中点，
∴是的中位线，
，
∴．
延长至Q点，使，连接，，
又，
∴四边形是平行四边形，
，．
又∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又，
，，
，，
又，
，
．
，，
，
．
1 / 1广东省深圳市福田区2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025·福田模拟）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：在数轴上，在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数，
∵，则在原点的左侧，位于和中间，
∴最可能表示的点是点C，
故选：C．
【分析】本题主要对有理数在数轴上的表示进行考查，准确掌握正数、负数在数轴上的位置是解题关键．
2．（2025·福田模拟）下列中国传统装饰纹样中，为中心对称图形的是（ ）
A．四合云纹 B．葫芦纹 C．如意纹 D．莲花纹
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
【分析】本题主要对中心对称及中心对称图形的定义进行考查；根据中心对称图形的定义对四个选项注意判断．
3．（2025·福田模拟）深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新的里程碑。数据420000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据420000用科学记数法可表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．（2025·福田模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选B．
【分析】本题主要对整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式等知识点进行考查．
5．（2025·福田模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（ ）
A．越来越大 B．影子不是直角三角形
C．影子越来越小 D．影子越来越大
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影
【解析】【解答】解：A、根据位似图形的性质可得，位似角大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意；
B、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意；
C、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意；
D、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要对中心投影，相似三角形，位似图形的性质进行考查．
6．（2025·福田模拟）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方，由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第二象限．
故选：B．
【分析】本题主要对平面直角坐标系中的象限，用坐标表示地理位置进行考查．
7．（2025·福田模拟）如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】】解：在矩形中，，
∵边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A旋转到点E的路径长为，
故选：B．
【分析】本题主要对旋转的性质、弧长公式、锐角三角函数，正方形的性质进行考查．根据旋转的性质与正方形的性质可得到，再根据弧长公式有=．
8．（2025·福田模拟）一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”与地面的夹角为（如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为．当无人机处于离地面米时，若，则此时宽度的值为（ ）
A．150 B． C．200 D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
【分析】本题主要对直角三角形的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识进行考查．根据题意，，，可求得，，然在可解得，所以．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·福田模拟）若，则代数式的值等于 。
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：5
【分析】提公因数化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．（2025·福田模拟）办数学板报时，小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事，则他选中“三等分角”的概率是 。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中“三等分角”的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ．
【答案】74
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【分析】本题主要对三角形外角的性质，平行四边形的判定，平行线的性质进行考查．根据三角形的外角性质：三角形外外角等于与其不相邻的两个内角之和，求出，又因为折射光线，所以四边形是平行四边形，因此有．
12．（2025·福田模拟）已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵当时，y的最大值是，
∴反比例函数的图象经过第三象限，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∴当时，，
∴，
当时，，
∴当时，y的最小值为，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
13．（2025·福田模拟）如图，在中，，平分，连接并延长至点E，使得，连接，恰好有．若，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要对等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识点进行考查．根据题干信息延长交于点，连接，根据，平分 可得垂直平分，进而得到，所以，此时设，则，根据勾股定理在中，，在中，，所以，进一步得到，进一步得到，根据三角形相似所以．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题9分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题11分，共61分）
14．（2025·福田模拟）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要对实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，零指数幂，负整数指数幂等知识点进行考查．分别对各项单独计算，再进行求和，，所以原式．
15．（2025·福田模拟）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
化简 解：原式① ② ③
（1）化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______．
（2）请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值．
【答案】（1）①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则
（2）解：原式，
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：从第①步开始出现错误，未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
【分析】本题主要对分式的混合运算，分式的化简求值进行考查．
（1）按照混合运算的运算顺序：先乘除后加减，对各步骤进行查验，第①步先进行了加减运算，为遵守运算法则；
（2）对原式进行化简计算，优先计算乘除，，所以原式，带入，原式．
（1）解：从第①步开始出现错误，
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
（2）解：原式，
，
当时，原式．
16．（2025·福田模拟）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对两品牌词典笔进行用户评价调研．现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）
A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10
B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）
统计量 品牌 翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A 8 ①______
B 10 ②______
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写．
（2）样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是 人．
（3）决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由．
（4）调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法．
【答案】（1）解：通过信息一可知组数据中出现次数最多的是8，∴众数是8（分）；
通过信息二可知组数据中按照从小到大的顺序排列，第5位数据为8，第6位数据为8，
∴中位数为（分）
（2）140
（3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）解：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人；
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本．
这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠；
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标；
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项．
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人），
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人．
【分析】
本题主要对众数，中位数，用样本频数估计总数，利用平均数，中位数，众数等作决策，样本的代表性等知识点进行考查。
（1）众数：一组数据中出现最多的数；中位数：将一组数据中按照从小到大的顺序排列，处于中间的数；根据定义完成求解。
（2）先计算出这组数据中不低于8分的比例，再乘以总体数可得140人；
（3）根据数据，优先选则中位数与众数更高的品牌；
（4）从样本数量、代表性，平分维度进行不足分析．
（1）解：通过信息一可知组数据中出现次数最多的是8，
∴众数是8（分）；
通过信息二可知组数据中按照从小到大的顺序排列，第5位数据为8，第6位数据为8，
∴中位数为（分）
（2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人），
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人．
（3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）解：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人；
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本．
这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠；
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标；
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项．
17．（2025·福田模拟）春风送暖，与爱同行！为践行“雷锋精神”，某学校举办科创爱心义卖活动，将所得款项全部用于资助西藏贫困学生．在义卖活动中，某摊位将班级的科创作品进行义卖，以下是该摊位销售情况的部分记录：
交易编码 品类与数量 销售总价（元）
一辆电动风力小车、两个简易电动风扇
两辆电动风力小车、三个简易电动风扇
（1）求该摊位一辆电动风力小车和一个简易电动风扇的售价分别是多少元？
（2）若该摊位希望总捐款金额不低于元，计划出售电动风力小车与简易电动风扇共件，那么电动风力小车至少需要多少辆？
【答案】（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
由题意得，，
解得，
答：一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元；
（2）解：设需要辆电动风力小车，
由题意有：，解得，
∵取整数，
∴的最小值为，
答：摊位至少需要辆电动风力小车．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，由题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
（）设需要辆电动风力小车，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
由题意得，，
解得，
答：一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元；
（2）解：设需要辆电动风力小车，
由题意有：，解得，
∵取整数，
∴的最小值为，
答：摊位至少需要辆电动风力小车．
18．（2025·福田模拟）如图，在中，．
（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
【答案】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题主要对尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定等知识点进行考查。
（1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆；
（2）①连接，根据三角形外角定理可得，又因为，所以得证；②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出．
（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
19．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线的一部分）．
（1）轨道初段的总长为______；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由图3可知：轨道初段的总长为；故答案为：40；
设与之间的关系式为，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）①由图3设抛物线的顶点坐标为，点在抛物线上，∴，
把代入，得：，解得：或（舍去）；
∴；
②线段与抛物线是光滑连接；
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
令，整理，得：，
∴，
∴直线与抛物线有且只有一个交点，
∵的对称轴为直线，
∴与对称轴不平行，
∴线段与抛物线是光滑连接；
（3）存在，理由如下：
假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，由题意，得：，
解得：，
当时，；
故存在，求出这节轨道的起点与点A之间的距离
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】本题主要对二次函数的实际应用-抛球问题进行考查：
（1）根据图3即可得到的总长即为OP纵坐标=40cm；设与之间的关系式为，带入已知两点坐标可得解析式；
（2）①根据题意设抛物线的顶点坐标为进一步设出顶点式，将代入进行求得解析式；
②根据待定系数法设段的解析式，带入求得解析式，计算，结合新定义，直线与抛物线有且只有一个交点，线段与抛物线是光滑连接；
（3）假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，带入轨道长为9可得到，所以时，故存在，且距离为．
（1）解：由图3可知：轨道初段的总长为；
故答案为：40；
设与之间的关系式为，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）①由图3设抛物线的顶点坐标为，点在抛物线上，
∴，
把代入，得：，解得：或（舍去）；
∴；
②线段与抛物线是光滑连接；
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
令，整理，得：，
∴，
∴直线与抛物线有且只有一个交点，
∵的对称轴为直线，
∴与对称轴不平行，
∴线段与抛物线是光滑连接；
（3）存在，理由如下：
假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，由题意，得：，
解得：，
当时，；
故存在，求出这节轨道的起点与点A之间的距离．
20．（2025·福田模拟）如图1，点P是对角线上的一点（），且使得，连接并延长，交于点E．
（1）若，求的值．
（2）如图2，将沿方向平移到，求证：．
（3）如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
又，
，
（2）证明：，，
∵将沿方向平移到，
，，
，
，，
，
，
（3）解：如图，取的中点G，连接．
设 ，则．
∵，
，
，．
∵M点是的中点，G点是的中点，
∴是的中位线，
，
∴．
延长至Q点，使，连接，，
又，
∴四边形是平行四边形，
，．
又∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又，
，，
，，
又，
，
．
，，
，
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用已知条件可求出的值，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例，可求出ED与CD的比值，然后求出DE与DE的比值即可.
（2）利用等角对等边可证得，根据平移的性质可得，，可推出，，再利用证明，利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）取的中点G，连接，则可得是的中位线，则．根据平行线分线段成比例定理可得的值．延长至Q点，使，连接，，则可得四边形是平行四边形，则，．再结合可得，，利用SAS可知，利用全等三角形的性质可证得AD=QD，然后求出DF与AD的比值.
（1）解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
又，
，
．
（2）证明：，
，
∵将沿方向平移到，
，，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图，取的中点G，连接．
设 ，则．
∵，
，
，．
∵M点是的中点，G点是的中点，
∴是的中位线，
，
∴．
延长至Q点，使，连接，，
又，
∴四边形是平行四边形，
，．
又∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又，
，，
，，
又，
，
．
，，
，
．
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