浙江省强基联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷（含部分答案）

2024-2025学年浙江省强基联盟高二（下）联考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|1≤x＜3}，B={x|2≤x＜4}，则A∩B=（　　）
A. {x|1＜x＜4} B. {x|1≤x＜4} C. {x|2≤x＜3} D. {x|2＜x≤3}
2.若数列{an}为等比数列，则“a3=1”是“a1 a5=1”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（　　）
A. B. C. D.
4.一副扑克牌中，同一花色有13张牌，分别为“A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K”，我们把满足“A23”、“234”、...、“10JQ”、“JQK”、“QKA”的牌型称为“顺子”.现在，我们将同一花色的13张牌洗匀后，随机抽取3张，恰好能组成“顺子”的概率是（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）=ex-x,则不等式f（x2）＜f（4）的解集是（　　）
A. （-2，2） B. （-∞，-2）∪（2，+∞）
C. （-∞，2） D. （2，+∞）
6.在平面直角坐标系中，点A（1，0）和B（-1，0），点C在以坐标原点为圆心，2为半径的圆上运动，则的最大值是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.设函数f（x）=（x-a-b）（lnx-1），其中a＞0，b＞0，若f（x）≥0恒成立，则a2+b2的最小值是（　　）
A. B. C. e2 D. 2e2
8.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆C在点P点处的切线为直线l,过F2作直线l的垂线，垂足H在圆x2+y2=4上，当PF2⊥F1F2时，，则椭圆C的离心率是（　　）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z=-1-2i,则（　　）
A. |z+1+3i|=i
B. 复数z的虚部是-2i
C. 复数z在复平面内所对应的点位于第三象限
D. 复数z是方程x2+2x+5=0在复数范围内的一个解
10.已知数列{an}满足，其前n项和为Sn，下列选项中正确的有（　　）
A. 若a1+a2＞0，a3+a4＜0，则S4＜0 B. 若a5=0，则S4=S5
C. 若d＞0，则Sn存在最小值 D. 若S5=S10，则S15=0
11.棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，P分别是棱AB，AD，AA1的中点，点Q是棱CC1上的动点，且满足，以下说法正确的是（　　）
A. MN∥B1D1 B. 存在t,使得平面MNP⊥平面MNQ
C. 点Q到平面MNP的距离的最小值是 D. 直线PQ与平面MNP所成角的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f′（x）是函数f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜π）的导函数，若f′（x）图象的一条对称轴为，则φ=______.
13.已知等比数列{an}的前n项和是，则a= ______.
14.已知函数，对 x∈[0，+∞），f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，是线段BC上的动点.
（1）若AM是∠BAC的平分线，求的值；
（2）若，求线段AM的长.
16.(本小题12分)
7本不同的书，分给甲、乙、丙3个同学.
（1）若甲同学分得2本，乙同学分得2本，丙同学分得3本，共有多少种不同的分法；
（2）若其中一人分得2本，另一个人分得2本，第三人分得3本，共有多少种不同的分法.
17.(本小题12分)
如图，△ABC是等边三角形，直线EA⊥平面ABC，直线DC⊥平面ABC，且EA=2DC=2，F是线段EB的中点.
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）若直线CF与平面ABE所成角为60°，求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值.
18.(本小题12分)
已知双曲线，其焦距为4，且双曲线C经过点.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知斜率为的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的重心在双曲线C上，求直线l的方程.
19.(本小题12分)
已知函数f（x）=aex+1-x-1，a∈R.
（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），求证：.
20.(本小题12分)
定义：对于集合S={{xn}，{yn}， }，若不存在常数α，使得α{xn}={yn}，且对于S中的任意数列{zn}，均有{zn}=λ{xn}+μ{yn}，其中常数λ和μ的值唯一，则称数列{zn}可用{xn}，{yn}线性表示，其中{xn}，{yn}是S的一组基底.（注：若{xn}：x1，x2， ，xn，则λ{xn}：λx1，λx2， ，λxn）已知集合S中的任意数列{tn}均满足递推关系：tn+2=7tn+1-12tn，而{an}，{bn}，{cn}均为集合S中的数列.
（1）若a1=1，a2=3；b1=2，b2=5；c1=4，c2=11
①求出a3，a4和b3，b4；
②写出数列{cn}关于{an}，{bn}的线性表示（无需证明）.
（2）若，且a1b2≠a2b1，证明：{an}，{bn}是S的一组基底.
参考答案
1.C．
2.A．
3.B．
4.D．
5.A．
6.C．
7.A．
8.B．
9.CD．
10.BCD．
11.ABC．
12.．
13.-2．
14.（-∞，0]．
15.（1）∵，
∴，
由AM是∠BAC的平分线，
得根据角平分线定理得，
∴，
∵，
可得492=252+42+20 =25AB2+4AC2+20×AB×ACcos=25×4+4×25+2×5×2×=300，
∴，
在△ABC中，由正弦定理得；
（2）若，则，
∴，
可得92=42+2+4 =4AB2+AC2+4AB×ACcos=4×4+25+4×2×5×=61，
∴．
即线段AM的长为．
16.
17.（1）证明：取AB中点G，连接FG，CG，
因为F是线段EB的中点，所以GF∥EA且
因为直线EA⊥平面ABC，直线DC⊥平面ABC，
所以EA∥DC，
因为EA=2DC=2，
所以GF∥DC且GF=DC，
所以四边形DFGC为平行四边形，
所以DF∥CG，又CG 平面ABC，DF 平面ABC，
所以DF∥平面ABC；
（2）因为EA⊥平面ABC，CG 平面ABC，所以CG⊥AE，
又△ABC是等边三角形，G为AB的中点，所以CG⊥AB，
又AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，所以CG⊥平面ABE，
则∠CFG为直线CF与平面ABE所成角，
即∠CFG=60°，又FG=1，，
所以，则，解得AB=2，
取AC的中点O，DE的中点M，连接OB、OM，则OB⊥AC，OM∥AE，
所以OM⊥平面ABC，
如图建立空间直角坐标系，
则，A（0，1，0），E（0，1，2），C（0，-1，0），，D（0，-1，1），
所以，，，
设平面CEF的法向量为，
则，则，
取；
设平面DEF的法向量为，
则，则，
取；
设平面CEF与平面DEF夹角为θ，
则，
所以平面CEF与平面DEF夹角的余弦值为．
18.（1）由已知，2c=4，c=2，
将代入双曲线方程得，又a2=c2-b2=4-b2，
所以，
所以a2=2，所以双曲线的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：，
与双曲线联立，得，
，
且＞0，所以，
由，得，
所以△OAB重心坐标为，
代入双曲线方程得，
由，知m=-
所以直线l的方程为．
19.（1）由题意f（x）=ex+1-x-1，所以f（0）=e-1，切点为（0，e-1），
又f′（x）=ex+1-1，故切线斜率k=f′（0）=e-1，
所以切线方程为：y=（e-1）（x+1）；
（2）由f（x）=0得，令，
所以，
由p′（x）＞0 x＜0，p′（x）＜0 x＞0，
所以p（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
又因为当x→-∞时，p（x）→-∞，x→+∞时，p（x）→0，且，
所以的取值范围为；
证明：（3）由（2）可得，p（-1）=0，所以-1＜x1＜0＜x2，
且．
设t1=x1+1，t2=x2+1，则，其中0＜t1＜1＜t2，
所以，
所以要使原式成立，只需a2＜ ＜ ＜ 2（lnt1+lnt2）＜t1+t2，
令，
易知t∈（0，2）时，m（t）单调递减；t∈（2，+∞）时，m（t）单调递增，
所以m（t）≥m（2）=2-2ln2＞0，即t＞2lnt,
综上，t1＞2lnt1，t2＞2lnt2，因此t1+t2＞2（lnt1+lnt2），原不等式得证．
20.（1）根据题目定义：定义：对于集合S={{xn}，{yn}， }，若不存在常数α，
使得α{xn}={yn}，且对于S中的任意数列{zn}，均有{zn}=λ{xn}+μ{yn}，其中常数λ和μ的值唯一，
则称数列{zn}可用{xn}，{yn}线性表示，其中{xn}，{yn}是S的一组基底．
则a3=7a2-12a1=7×3-12=9，a4=7a3-12a2=7×9-12×3=27，
b3=7b2-12b1=7×5-12×2=11，b4=7b3-12b2=7×11-12×5=17，
{cn}=2{an}+{bn}
（2）证明：若存在常数α，使得α{an}={bn}，则αa1=b1，αa2=b2，
又，则a1b2=a2b1，这与a1b2≠a2b1矛盾，
故不存在常数α，使得α{an}={bn}，
由tn+2=7tn+1-12tn得其特征方程为x2-7x+12=0，解得x=3或4，
故设，
由得，故，
故，，
对于S中的任意数列{zn}也有，
设{zn}=λ{an}+μ{bn}，则由题意可知zn=λan+μbn，
则，
故，得，即常数λ和μ的值唯一，
故S中的任意数列{zn}可用{an}，{bn}线性表示，
故{an}，{bn}是S的一组基底．
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