2024-2025学年浙江省强基联盟高二(下)联考数学试卷(3月份)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|1≤x<3},B={x|2≤x<4},则A∩B=( )
A. {x|1<x<4} B. {x|1≤x<4} C. {x|2≤x<3} D. {x|2<x≤3}
2.若数列{an}为等比数列,则“a3=1”是“a1 a5=1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面的边长分别为2和4,高为1,则此三棱台的体积是( )
A. B. C. D.
4.一副扑克牌中,同一花色有13张牌,分别为“A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K”,我们把满足“A23”、“234”、...、“10JQ”、“JQK”、“QKA”的牌型称为“顺子”.现在,我们将同一花色的13张牌洗匀后,随机抽取3张,恰好能组成“顺子”的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知函数f(x)=ex-x,则不等式f(x2)<f(4)的解集是( )
A. (-2,2) B. (-∞,-2)∪(2,+∞)
C. (-∞,2) D. (2,+∞)
6.在平面直角坐标系中,点A(1,0)和B(-1,0),点C在以坐标原点为圆心,2为半径的圆上运动,则的最大值是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.设函数f(x)=(x-a-b)(lnx-1),其中a>0,b>0,若f(x)≥0恒成立,则a2+b2的最小值是( )
A. B. C. e2 D. 2e2
8.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上除顶点外的任意一点,椭圆C在点P点处的切线为直线l,过F2作直线l的垂线,垂足H在圆x2+y2=4上,当PF2⊥F1F2时,,则椭圆C的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知复数z=-1-2i,则( )
A. |z+1+3i|=i
B. 复数z的虚部是-2i
C. 复数z在复平面内所对应的点位于第三象限
D. 复数z是方程x2+2x+5=0在复数范围内的一个解
10.已知数列{an}满足,其前n项和为Sn,下列选项中正确的有( )
A. 若a1+a2>0,a3+a4<0,则S4<0 B. 若a5=0,则S4=S5
C. 若d>0,则Sn存在最小值 D. 若S5=S10,则S15=0
11.棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,P分别是棱AB,AD,AA1的中点,点Q是棱CC1上的动点,且满足,以下说法正确的是( )
A. MN∥B1D1 B. 存在t,使得平面MNP⊥平面MNQ
C. 点Q到平面MNP的距离的最小值是 D. 直线PQ与平面MNP所成角的最大值是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知f′(x)是函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<π)的导函数,若f′(x)图象的一条对称轴为,则φ=______.
13.已知等比数列{an}的前n项和是,则a= ______.
14.已知函数,对 x∈[0,+∞),f(x)≥0恒成立,则a的取值范围是______.
四、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中,是线段BC上的动点.
(1)若AM是∠BAC的平分线,求的值;
(2)若,求线段AM的长.
16.(本小题12分)
7本不同的书,分给甲、乙、丙3个同学.
(1)若甲同学分得2本,乙同学分得2本,丙同学分得3本,共有多少种不同的分法;
(2)若其中一人分得2本,另一个人分得2本,第三人分得3本,共有多少种不同的分法.
17.(本小题12分)
如图,△ABC是等边三角形,直线EA⊥平面ABC,直线DC⊥平面ABC,且EA=2DC=2,F是线段EB的中点.
(1)求证:DF∥平面ABC;
(2)若直线CF与平面ABE所成角为60°,求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值.
18.(本小题12分)
已知双曲线,其焦距为4,且双曲线C经过点.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知斜率为的直线l和双曲线C的右支交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的重心在双曲线C上,求直线l的方程.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex+1-x-1,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在(0,f(0))处的切线方程;
(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围;
(3)若函数f(x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),求证:.
20.(本小题12分)
定义:对于集合S={{xn},{yn}, },若不存在常数α,使得α{xn}={yn},且对于S中的任意数列{zn},均有{zn}=λ{xn}+μ{yn},其中常数λ和μ的值唯一,则称数列{zn}可用{xn},{yn}线性表示,其中{xn},{yn}是S的一组基底.(注:若{xn}:x1,x2, ,xn,则λ{xn}:λx1,λx2, ,λxn)已知集合S中的任意数列{tn}均满足递推关系:tn+2=7tn+1-12tn,而{an},{bn},{cn}均为集合S中的数列.
(1)若a1=1,a2=3;b1=2,b2=5;c1=4,c2=11
①求出a3,a4和b3,b4;
②写出数列{cn}关于{an},{bn}的线性表示(无需证明).
(2)若,且a1b2≠a2b1,证明:{an},{bn}是S的一组基底.
参考答案
1.C.
2.A.
3.B.
4.D.
5.A.
6.C.
7.A.
8.B.
9.CD.
10.BCD.
11.ABC.
12..
13.-2.
14.(-∞,0].
15.(1)∵,
∴,
由AM是∠BAC的平分线,
得根据角平分线定理得,
∴,
∵,
可得492=252+42+20 =25AB2+4AC2+20×AB×ACcos=25×4+4×25+2×5×2×=300,
∴,
在△ABC中,由正弦定理得;
(2)若,则,
∴,
可得92=42+2+4 =4AB2+AC2+4AB×ACcos=4×4+25+4×2×5×=61,
∴.
即线段AM的长为.
16.
17.(1)证明:取AB中点G,连接FG,CG,
因为F是线段EB的中点,所以GF∥EA且
因为直线EA⊥平面ABC,直线DC⊥平面ABC,
所以EA∥DC,
因为EA=2DC=2,
所以GF∥DC且GF=DC,
所以四边形DFGC为平行四边形,
所以DF∥CG,又CG 平面ABC,DF 平面ABC,
所以DF∥平面ABC;
(2)因为EA⊥平面ABC,CG 平面ABC,所以CG⊥AE,
又△ABC是等边三角形,G为AB的中点,所以CG⊥AB,
又AB∩AE=A,AB,AE 平面ABE,所以CG⊥平面ABE,
则∠CFG为直线CF与平面ABE所成角,
即∠CFG=60°,又FG=1,,
所以,则,解得AB=2,
取AC的中点O,DE的中点M,连接OB、OM,则OB⊥AC,OM∥AE,
所以OM⊥平面ABC,
如图建立空间直角坐标系,
则,A(0,1,0),E(0,1,2),C(0,-1,0),,D(0,-1,1),
所以,,,
设平面CEF的法向量为,
则,则,
取;
设平面DEF的法向量为,
则,则,
取;
设平面CEF与平面DEF夹角为θ,
则,
所以平面CEF与平面DEF夹角的余弦值为.
18.(1)由已知,2c=4,c=2,
将代入双曲线方程得,又a2=c2-b2=4-b2,
所以,
所以a2=2,所以双曲线的方程为;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:,
与双曲线联立,得,
,
且>0,所以,
由,得,
所以△OAB重心坐标为,
代入双曲线方程得,
由,知m=-
所以直线l的方程为.
19.(1)由题意f(x)=ex+1-x-1,所以f(0)=e-1,切点为(0,e-1),
又f′(x)=ex+1-1,故切线斜率k=f′(0)=e-1,
所以切线方程为:y=(e-1)(x+1);
(2)由f(x)=0得,令,
所以,
由p′(x)>0 x<0,p′(x)<0 x>0,
所以p(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
又因为当x→-∞时,p(x)→-∞,x→+∞时,p(x)→0,且,
所以的取值范围为;
证明:(3)由(2)可得,p(-1)=0,所以-1<x1<0<x2,
且.
设t1=x1+1,t2=x2+1,则,其中0<t1<1<t2,
所以,
所以要使原式成立,只需a2< < < 2(lnt1+lnt2)<t1+t2,
令,
易知t∈(0,2)时,m(t)单调递减;t∈(2,+∞)时,m(t)单调递增,
所以m(t)≥m(2)=2-2ln2>0,即t>2lnt,
综上,t1>2lnt1,t2>2lnt2,因此t1+t2>2(lnt1+lnt2),原不等式得证.
20.(1)根据题目定义:定义:对于集合S={{xn},{yn}, },若不存在常数α,
使得α{xn}={yn},且对于S中的任意数列{zn},均有{zn}=λ{xn}+μ{yn},其中常数λ和μ的值唯一,
则称数列{zn}可用{xn},{yn}线性表示,其中{xn},{yn}是S的一组基底.
则a3=7a2-12a1=7×3-12=9,a4=7a3-12a2=7×9-12×3=27,
b3=7b2-12b1=7×5-12×2=11,b4=7b3-12b2=7×11-12×5=17,
{cn}=2{an}+{bn}
(2)证明:若存在常数α,使得α{an}={bn},则αa1=b1,αa2=b2,
又,则a1b2=a2b1,这与a1b2≠a2b1矛盾,
故不存在常数α,使得α{an}={bn},
由tn+2=7tn+1-12tn得其特征方程为x2-7x+12=0,解得x=3或4,
故设,
由得,故,
故,,
对于S中的任意数列{zn}也有,
设{zn}=λ{an}+μ{bn},则由题意可知zn=λan+μbn,
则,
故,得,即常数λ和μ的值唯一,
故S中的任意数列{zn}可用{an},{bn}线性表示,
故{an},{bn}是S的一组基底.
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