7.2.2 复数乘除运算 教学设计

7.2.2 复数的乘、除运算
一、内容与内容解析
1.内容
复数的乘除运算.
2.内容解析
引入一类新的代数对象，就要研究它的有关运算，本节是复数运算的第二节，主要在上一节 加、减法运算的基础上继续讨论复数的乘除运算，并类比实数乘法逆运算给出复数除法的运算法 则，通过本节课的学习，侧重提升学生的数学运算、逻辑推理等素养.
复数的乘除运算法则是规定的，但这种规定是有依据的，也是有层次的，第一层是保持运算 的协调一致.第二层是类比，除法运算是乘法运算的逆运算得到的，为什么可以看成逆运算，是 类比了实数除法是乘法的逆运算得到的.在教学过程中，要让学生感受转化与化归的数学思想， 感受乘除运算中辩证统一的思想，进一步体会类比是研究数学问题的重要方法.
教材在规定了复数的乘、除法运算后，可以引导学生分别与多项式的运算法则和根式除法运 算进行比较，发现两者的共性. 目的是通过类比，让学生借助实数中多项式的运算法则去进行复 数的乘除运算，从而避免了不必要的死记硬背．这样，得到两个复数相乘与两个多项式相乘类似， 复数除法运算与根式除法类似，通过这种比较，有利于学生学生理解复数的乘除运算，淡化记忆， 提升学生的数学运算素养，同时培养学生类比意识.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：复数代数形式的乘、除法的运算法则及运算律.
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 理解复数乘法的运算律.
（2）发现复数的乘法运算和多项式的乘法运算的共性，体会类比思想；
（3）理解且会求复数范围内一元二次方程的根.
2. 目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能够依据数系扩充的规则， 自主探索，合理地规定复数乘法 的运算法则，能够通过除法和乘法互为逆运算，得到除法的运算法则，并在其中体会转化与化归 的思想方法.学生能够利用复数的乘除法运算法则以及运算律，进行简单的复数代数形式的运算.
达成目标（2）的标志是：学生能够通过类比发现复数的乘除运算与多项式的乘除运算的“共 性 ”，得到“两个复数相乘（除），类似于两个多项式相乘（除）”.
达成目标（3） 的标志是：学生能够利用复数的四则运算法则,在复数集范围内求解一元二 次方程，得出复数集内一元二次方程的求根公式.
三、教学问题诊断分析
学生在初中已经学习过多项式的四则运算，在“数系的扩充和复数的概念 ”一节已经了解 了数系扩充的规则，即：“数集扩充后，在实数集中规定的乘法运算，与原来在有理数集中规定 的乘法运算协调一致，并且乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律 ”.在教师的引 导下，应该能够得出复数乘法运算法则的“合理 ”规定.
由于减法运算和除法运算是分别通过加法运算和乘法运算的逆运算得到的，而学生对逆运
算会感觉不好理解，学习中可能会存在一些困难.本节主要内容是复数的乘、除运算，学生已经 学习了复数的概念、坐标表示和复数代数形式的加、减的运算法则，以及复数加法、减法的几何 意义和复平面内两点间的距离公式，这些知识沟通了“数 ”与“形 ”之间的联系，提供了用 “形 ”来帮助处理“数 ”和用“数 ”来帮助处理“形 ”的工具，在这节内容中，类比多项式的乘 法法则，可把复数代数形式 a+bi 看成由 a 和 bi 两个非同类项组成,这样多项式的运算法则几乎可 以全部搬过来照用，于是复数就与多项式和方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式 分解、解方程等数学问题。对于复数乘法法则，从思维角度看,学生独立推导还缺乏经验,建议类 比多项式乘法来探究，复数的除法运算是本节课的重点，也是教学难点，建议通过复习共轭复数 的性质，z=a+b ，类比分母有理化来帮助学生理解，如何在复数范围内求一元二次方程的根 这 是学生不好理解的一个地方，建议用以下两种方法尝试解决：一是拓展求根公式，当△<0 时， 有 从而求解；二是将方程的根设为 a+bi ，代入方程，利用复数的相等求解.
基于以上分析，确定本节课的教学难点：复数的除法运算,求复数范围内的方程的根.
四、教学支持条件分析
教科书、多媒体课件、教师用书.
五、教学过程设计
（一）复习导入
问题 1 ：复数 z1=2+3i, z2= 1-2i 如何进行加、减运算 复数的加、减运算法则是如何定义的 师生活动：学生计算并思考回顾运算法则.
教师引导学生回答：复数的加、减运算法则是一种规定，与实数加、减运算法则保持一致. 两个复数的和与差仍然是一个复数.对于复数的加、减运算，可以推广到多个复数相加或相减的 情形.
设计意图：从熟悉的复数加、减法入手, 在复习上节课知识的同时引导学生进入复数乘、除 法的学习，让学生在已有知识基础上开始学习新的知识.
（二）新知探究
问题 2 ：阅读教材内容，你能发现复数的乘法运算是如何实现的吗 并试着计算(2+3i)(1-2i).
师生活动：教师提出问题，学生阅读教材，发现对于任意两个复数，规定复数的乘法法则 如下：
设z1=a+bi, z2 =c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i.
教师追问：你能归纳出得到复数乘法运算法则的步骤吗 学生先思考并尝试归纳，再小组讨论.
师生共同归纳：可依照（1）按照多项式乘法展开；（2）将 i =-1 代人；（3）化简这样三
个步骤来实现两个复数相乘.
学生自己动手计算，得到：(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i =8-i.
设计意图：通过两个复数相乘及两个类似的多项式相乘的对比，让学生感受复数相乘类似 于多项式相乘的观点，并在教师的引导下再次理解复数的乘法运算法则。
问题 3 ：请同学们回答下列问题；
（1）计算(3+4i)(-2-3i) ，它的计算结果是复数吗
（2）计算(-2-3i)(3+4i) ，它的计算结果与(3+4i)(-2-3i)的计算结果相等吗 为此你能猜到复数 的乘法满足什么运算律吗
师生活动：教师提出问题，学生独立完成，集体交流答案.
教师迫问：实数的乘法还满足哪些运算律 复数的乘法满足这些运算律吗
学生回顾实数乘法的运算律，猜测并验证复数乘法的运算律.
总结：对于任意 z1, z2, z3 ∈C,有 z1z2=z2z1(交换律);
(z1z2)z3=z1(z2z3)(结合律); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(分配律).
设计意图:通过具体题目的计算让学生理解两个复数的积仍然为复数，两个复数相乘时，交 换这两个复数的位置，其积是相等的，从而引导学生发现复数的乘法运算依然满足交换律，进而 引导学生归纳得出复数乘法所满足的运算体，提升学生的逻辑推理核心素养
问题 4 ：类比实数的除法是乘法的逆运算，请大家阅读教材相关内容，看一看，教材中是如 何探究复数除法的法则的
复数除法的法则是 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
师生活动: 教师提出问题，学生阅读教材，寻找答案.
复数除法运算：满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数 x+yi, 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 记作:(a+bi)÷(c+di)或.
教师追问：复数除法法则的形式复杂，不易准确记忆，那么你认为怎样才能更好地计算两 个复数的商
学生思考，小组讨论并解答.
依据学生的回答情况，教师引导学生共同总结：在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi) ÷(c+di)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数 c-di ，化简后就可得到上面的结 果.这里分子、分母都乘分母的“实数化因式 ”（共轭复数），从而使分母“实数化 ”.
设计意图：互为共轭复数的两个复数相乘实现了复数的“实数化 ”，通过问题的讨论，帮 助学生明白复数的除法运算的关键是将分式形式的除法式子的分子、分母同乘分母的共轭复数， 使分母“实数化 ”，提升学生的数学运算核心素养.
（三）知识应用
师生活动：教师出示例题，让学生自主完成，教师巡视，对有疑问的学生进行辅导，最后 给出完整的解题过程.
师生活动：教师出示例题，对例题进行分析，学生自主完成. 【总结】
师生活动：教师出示例题，让学生自主探究.
学生自己尝试完成解题过程，最后教师展示答案，
设计意图：运用法则解决简单的复数的乘、除法运算问题，可以检验学生对法则的掌握程 度，培养学生从特殊到一般的推理能力，发展其逻辑推理核心素养.
（四）课堂练习
设计意图：通过练习，了解学生对本节所学知识的掌握程度，便于安排后面的教学进度.
（五）课堂小结
教师如何进行复数的乘、除法运算 你能归纳出具体的操作步骤吗 师生活动：教师提问，学生思考后回答.
教师引导学生归纳：
（1)复数的乘法运算的步骤：
①按照多项式乘法展开；
②将 2=-1 代人；
③化简成复数的代数形式.
(2)复数的除法运算的步骤：
①把(a+bi)÷(c+di)写成 （ c + di ≠ 0） 的形式；
②把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di；
③化简后就可得到结果.
设计意图：通过梳理复数的乘、除法的运算过程，使学生更好地理解运算的内涵，准确、熟 练地进行复数的代数运算.
（六）布置作业
教材习题 7.2 第 3 ，4 ，6 ，7 题.