2026年中考数学核心考点一轮复习 锐角三角函数（含解析）

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中考数学一轮复习 锐角三角函数
一．解答题（共20小题）
1．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：∠PAB＝　 　°，∠APC＝　 　°，AB＝　 　海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：1.41，1.73，2.45）
2．城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．
成果梳理 …
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点C到地面DE的距离；
（2）求顶部线段BC的长．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）
3．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
4．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段CE和BC的长度；
（2）求底座的底面ABCD的面积．
5．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36m，EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
（Ⅰ）求线段CD的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1．
6．根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°． sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94 sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 　 　日（填冬至或夏至）时，α为 　 　（填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
7．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
8．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）
（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长．
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
9．双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
10．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．
11．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树AB的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD．
测量数据 ①DB＝10m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6m． ①EB＝10m； ②ED＝2m； ③CD＝1.6m．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan32.5≈0.64． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
12．如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．
（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：1.73）．
13．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）
14．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
15．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆⊙O，则的长为 　 　；（结果保留π）
问题解决
（2）如图②所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口．已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1200m，AD＝BC＝900m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修道三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
16．某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 　 　．
17．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°．）
18．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．
（1）∠CA1A2＝　 　°，∠CA2A1＝　 　°；
（2）求点A1到道路BC的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？
（结果精确到0.1km，参考数据，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
19．某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：×× 组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据 角的度数 ∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度 BC＝40.0米
AC＝56.4米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，　 　．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）
20．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
中考数学一轮复习 锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：∠PAB＝　30　°，∠APC＝　75　°，AB＝　5　海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：1.41，1.73，2.45）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】构造法；几何直观．
【答案】（1）30，75，5；
（2）该渔船会进入“海况异常”区．
【分析】（1）识别方向角和渔船航行的速度、时间即可求得∠PAB、∠APC的角度和AB的长；
（2）过点P作PD⊥AC于点D，构造直角三角形，运用60°和45°的直角三角形表示所需的线段长，利用AB的长解得PD的长，再根据三角形内角和定理求出∠C，得出等腰三角形继而求得AC的长，并求出9点渔船离C处的距离就能判断是否会进入“海况异常“区．
【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC于点D，则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形，
由题可知：∠APD＝60°，∠BPD＝45°，∠CPD＝15°，
∴∠PAB＝30°，∠APC＝∠APD+∠CPD＝60°+15°＝75°，
由题可知渔船每小时航行10海里，渔船从A处航行至B处时间为30分钟，
即半小时，故AB5海里；
故答案为：30，75，5；
（2）设PD为x海里，
在Rt△BPD中，∠BPD＝45°，
∴∠PBD＝45°，
∴BD＝PD＝x，
在Rt△APD中，∠APD＝60°，
∴∠A＝30°，
tan∠APD，cos∠APD，
∴ADPD，AP＝2PD，
∵AB＝AD﹣BD，
∴PD﹣PD＝5，
∴PD＝BD，
∴AP＝2PD13.65，
在△APC中，∠A＝30°，∠APC＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠APC＝75°，
∴∠C＝∠APC，
∴AC＝AP≈13.65，
设上午9时渔船航行至E处，则AE＝10，
∴CE＝AC﹣AE≈3.65＜5，
∴该渔船会进入“海况异常”区．
【点评】本题考查了方向角问题、解直角三角形、三角形内角和定理、等腰三角形的综合内容，结合实际生活中的航海问题，构造直角三角形并运用直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学源于生活又应用于实际生活．
2．城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．
成果梳理 …
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点C到地面DE的距离；
（2）求顶部线段BC的长．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）点C到地面DE的距离为6.65m；
（2）顶部线段BC的长为7.14m．
【分析】（1）如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，由∠CDE＝97°，得到∠CDN＝83°，根据三角函数的定义得到结论；
（2）如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P，根据平行线的性质得到∠FCD＝∠CDN＝83°，求得∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，根据平行线间的距离处处相等，得到EF＝CN＝6.65，求得BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】解：（1）如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，
∵∠CDE＝97°，
∴∠CDN＝83°，
在Rt△CDN中，，CD＝6.7m，
∴CN＝CDsin83°＝6.7×0.993≈6.65（m），
答：点C到地面DE的距离为6.65m；
（2）如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P，
∵CF∥DE，
∴∠FCD＝∠CDN＝83°，
∵∠BCD＝98°，
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，
∵平行线间的距离处处相等，
∴EF＝CN＝6.65m，
∵AE＝8.5m，
∴BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，
在Rt△BCP中，
∴（m），
答：顶部线段BC的长为7.14m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】点A到地面的距离AB的长约为27米．
【分析】延长CD交AB于点H，根据矩形的性质得到CM＝HB＝20，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长CD交AB于点H，
由题意得，四边形CMBH为矩形，
∴CM＝HB＝20，
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°，
∴，
∴，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°，
∴，
∴，
设AH＝x米．
∵AE＝9，
∴EH＝x+9，
∴，
解得x≈7.1，
∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米）
答：点A到地面的距离AB的长约为27米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段CE和BC的长度；
（2）求底座的底面ABCD的面积．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意得，即可确定CE长度，再由∠BFG＝45°得出BE＝EF＝4米，即可求解；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，继续利用正切函数确定AB＝ME＝6米，即可求解面积．
【解答】解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°，
∴，
∴CE＝7（米）；
∵∠BFG＝45°，
∴BE＝EF＝4米，
∴CB＝CE﹣BE＝3（米）；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示：
∵∠AFG＝21.8°，
∴，
∵AM＝BE＝4米，
∴MF＝10米，
∴AB＝ME＝10﹣4＝6米，
∴底座的底面ABCD的面积为：3×6＝18（平方米）．
【点评】本题考查了解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．
5．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36m，EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
（Ⅰ）求线段CD的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（Ⅰ）线段CD的长约为54m；
（II）桥塔AB的高度约为59m．
【分析】（I）设CD＝x m，由DE＝36m，得到CE＝CD+DE＝（x+36）m，根据垂直的定义得到∠BCE＝∠ACD＝90°，解直角三角形即可得到结论；
（II）根据三角函数的定义得到AC＝CD tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1＝5.4（m）．于是得到AB＝AC+BC≈5.4+54≈59（m）．
【解答】解：（I）设CD＝x m，∵DE＝36m，
∴CE＝CD+DE＝（x+36）m，
∵EC⊥AB，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
∵，
∴BC＝CD tan∠CDB＝x tan45°＝x m，
∵，
∴BC＝CE tan∠CEB＝（x+36） tan31°，
∴x＝（x+36） tan31°，
解得．
答：线段CD的长约为54m；
（II）∵，
∴AC＝CD tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1＝5.4（m）．
∴AB＝AC+BC≈5.4+54≈59（m）．
答：桥塔AB的高度约为59m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
6．根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°． sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94 sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 　冬至　日（填冬至或夏至）时，α为 　14°　（填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）冬至，14°；
（2）乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
【分析】任务一：根据题意直接求解即可；
任务二：过E作EF⊥AB于F，利用正切定义求得．
【解答】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°，
故答案为：冬至，14°；
任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，
在Rt△AFE中，，
∴AF＝EF tan14°≈54×0.25＝13.5（米），
∵AB＝11×3.3＝36.3（米），
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），
∴22.8÷3.3≈7（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．
7．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）电线塔CD的高度为（69）米．
【分析】（1）根据题意可得：BA⊥AE，再根据已知易得：在Rt△ABE中，tan∠BEA，从而可得∠BEA＝30°，然后在Rt△ABE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，然后设EC＝x米，则BF＝AC＝（x+3）米，分别在Rt△CDE和Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出CD和DF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE，
∵斜坡BE的坡度，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BEA，
∴∠BEA＝30°，
∵BE＝6m，
∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m），
∴点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，
设EC＝x米，
∵AE＝3米，
∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝CE tan60°x（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF tan45°＝（x+3）米，
∵DF+CF＝CD，
∴x+33x，
解得：x＝6+3，
∴CDx＝（69）米，
∴电线塔CD的高度为（69）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）
（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长．
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
【考点】解直角三角形的应用；矩形的判定与性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）“大碗”的口径AD的长为80.0m；
（2）“大碗”的高度AM的长约为40.0m．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠AMN＝∠DNM＝90°，再利用平行线的性质可得∠DAM＝90°，从而可得四边形AMND是矩形，然后利用矩形的性质可得AD＝MN，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；
（2）延长CB交AM于点G，根据题意可得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，从而可得∠ABG＝62°，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵AM⊥MN，DN⊥MN，
∴∠AMN＝∠DNM＝90°，
∵AD∥MN，
∴∠DAM＝180°﹣∠AMN＝90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AD＝MN＝ME+EF+FN＝20.0+40.0+20.0＝80.0（m），
∴“大碗”的口径AD的长为80.0m；
（2）延长CB交AM于点G，
由题意得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，
∵∠ABE＝152°，
∴∠ABG＝∠ABE﹣∠EBG＝62°，
在Rt△ABG中，AG＝BG tan62°≈20.0×1.88＝37.6（m），
∴AM＝AG+MG＝37.6+2.4＝40.0（m），
∴“大碗”的高度AM的长约为40.0m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】塔AB的高度为73.2米．
【分析】根据题意得到DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由题意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，
在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan37°0.75，
∴GD，
在Rt△BFG中，∵∠BFG＝45°，
∴FG＝BG，
∵DF＝24米，
∴DG﹣FGBG＝24，
解得BG＝72，
∴AB＝72+1.2＝73.2（米），
答：塔AB的高度为73.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
10．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】8.2cm．
【分析】在Rt△BOD中，根据BD的长，由tan∠BOA，求出OD的长，由sin∠BOA，求出OB的长，在Rt△COE中，根据OB＝OC，利用cos∠COE，求出OE的长，由OE﹣OD求出ED的长即可．
【解答】解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm，
∴tan∠BOA，sin∠BOA，
∵2.05，0.90，
∴OD≈10（cm），OB≈22.78（cm），
在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78cm，∠COA＝37°，
∴cos∠COA，即cos37°，
整理得：OE≈22.78×0.80≈18.224（cm），
∴ED＝OE﹣OD≈8.2（cm），
则ED的长为8.2cm．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
11．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树AB的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD．
测量数据 ①DB＝10m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6m． ①EB＝10m； ②ED＝2m； ③CD＝1.6m．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan32.5≈0.64． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】树AB的高度为8m．
【分析】“测角仪”方案：过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到CF＝BD＝10m，BF＝CD＝1.6m，根据三角函数的定义即可得到结论；
“平面镜”方案：根据垂直的定义得到∠CDE＝∠ABE＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：“测角仪”方案：过C作CF⊥AB于F，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形CDBF是矩形，
∴CF＝BD＝10m，BF＝CD＝1.6m，
∵∠ACF＝32.5°，
∴AF＝CF tan32.5°＝10×0.64≈6.4（m），
∴AB＝AF+BF＝6.4+1.6＝8（m），
答：树AB的高度为8m；
“平面镜”方案：∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠CDE＝∠ABE＝90°，
∵∠CED＝∠AEB，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴，
∴AB＝8，
答：树AB的高度为8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．
（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：1.73）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；视点、视角和盲区；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）见解析；
（2）塑像AB的高约为6.9m．
【分析】（1）如图，连接BM，根据圆周角定理得到∠AMB＝∠APB．由∠AMB＞∠ADB，得到∠APB＞∠ADB；
（2）根据三角函数的定义得到（m），得到∠BPH＝∠APH﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，设AD与圆交于M，
连接BM．
则∠AMB＝∠APB．
∵∠AMB＞∠ADB，
∴∠APB＞∠ADB；
（2）解：∵∠APH＝60°，PH＝6m，
∵，
∴（m），
∵∠APB＝30°，
∴∠BPH＝∠APH﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，
∵，
∴（m），
∴，
答：塑像AB的高约为6.9m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，解直角三角形的方法是解题的关键．
13．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】阅读型；运算能力．
【答案】（1）20cm；（2）3.8cm．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可；
（2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，
∴∠B＝45°，
∴BC＝AC＝20cm；
（2）由题可知ON＝ECAC＝10cm，
∴NB＝ON＝10cm，
又∵∠DON＝32°，
∴DN＝ON tan∠DON＝10 tan32°≈10×0.62＝6.2cm，
∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【考点】解直角三角形的应用；数学常识；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）秋千绳索的长度为14.5尺；
（2）能，OA．
【分析】（1）设绳索有x尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）在Rt△OA′P和Rt△OA″Q中，解直角三角形得到OP＝OA′ cosα＝OA cosα，OQ＝OA″ cosβ＝OA cosβ，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图，过点A′作A′B⊥OA于点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝5﹣1＝4尺，A′B＝10尺，
∴OB＝OA﹣AB＝（x﹣4）尺．
在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2，
∴102+（x﹣4）2＝x2，
解得x＝14.5．
答：秋千绳索的长度为14.5尺；
（2）能．
由题可知，∠OPA′＝∠OQA″＝90°，OA′＝OA″＝OA．
在Rt△OA′P中，cosα，
∴OP＝OA′ cosα＝OA cosα，
同理，OQ＝OA″ cosβ＝OA cosβ，
∵OQ﹣OP＝h，
∴OA cosβ﹣OA cosα＝h，
∴OA （cosβ﹣cosα）＝h，
∴OA．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，把实际问题转化为直角三角形问题是解决问题的关键．
15．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆⊙O，则的长为 　25π　；（结果保留π）
问题解决
（2）如图②所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口．已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1200m，AD＝BC＝900m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修道三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用；三角形中位线定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算；相似三角形的判定与性质．
【专题】与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）25π；
（2）存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为（3001200）m．
【分析】（1）连接OA、OB，如图1，首先证明△OAB等边三角形，进而得到OA＝OB＝15，的长为25π；
（2）首先推导出点P在以O为圆心，CD为弦，圆心角为120°的圆上，得到ME是△CAD的中位线，四边形AFMD是平行四边形，FM＝900m，作CN⊥PF于点N，解得CN＝CM sin60°＝300m，推导同△PMC∽△DPC，求得PC2＝720000，在Rt△PCN中，求得PN＝300（m），进而得到PF＝（3001200）m．
【解答】解：（1）连接OA、OB，如图1，
∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB等边三角形，
∵AB＝15，
∴OA＝OB＝15，
∴的长为25π，
故答案为：25π；
（2）存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为（3001200）m．理由如下：
∵∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC＝900m，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°，
∴点P在以O为圆心，CD为弦，圆心角为120°的圆上，如图2，
∵AE＝EC，
∴经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积，
∵新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分，
∴直线PF必经过CD的中点M，
∴ME是△CAD的中位线，
∴ME∥AD，
∵MF∥AD，DM∥AF，
∴四边形AFMD是平行四边形，
∴FM＝AD＝900m，
作CN⊥PF于点N，如图3，
∵四边形AFMD是平行四边形，∠DAB＝60°，
∴∠PMC＝∠DMF＝∠DAB＝60°，
∵CMCDAB＝600m，
∴MN＝CM cos60°＝300m，
∴CN＝CM sin60°＝300m，
∵∠PMC＝∠DPC＝60°，
∴△PMC∽△DPC，
∴，即，
∴PC2＝720000，
在Rt△PCN中，PN300（m），
∴PF＝300300+900＝（3001200）m，
∴存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为（3001200）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形中位线定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
16．某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 　①　．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；
（2），推导见解答过程；
（3）①．
【分析】（1）根据题意选择需要的数据即可；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，可得△CDE∽ΔCAM，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解；
（3）根据（2）的结果即可求解．
【解答】解：（1）需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM，
∴，即，
∴，
∴；
（3）∵，
∴按键顺序为2ndF，sin，0， ，8，6，＝，
故答案为：①．
【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°．）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】风电塔筒AH的高度约为105.6m．
【分析】连接DF交AH于点G，根据题意可得：CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH，然后设DG＝x m，则FG＝（182﹣x）m，分别在Rt△ADG和Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：连接DF交AH于点G，
由题意得：CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH，
设DG＝x m，
∴FG＝DF﹣DG＝（182﹣x）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG tan45°＝x（m），
在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，
∴AG＝FG tan53°（182﹣x）m，
∴x（182﹣x），
解得：x＝104，
∴AG＝104m，
∴AH＝AG+GH＝104+1.6＝105.6（m），
∴风电塔筒AH的高度约为105.6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．
（1）∠CA1A2＝　90　°，∠CA2A1＝　76　°；
（2）求点A1到道路BC的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？
（结果精确到0.1km，参考数据，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）90；76；
（2）2.0km；
（3）2.4km．
【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，解Rt△CA2A1，求出（km），解Rt△CA1D，求出（km）；
（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作AF⊥BC，垂足为F，解Rt△A7A8G，求出A8G，证明△CA8F∽△CEB，列出比例式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8，
∴外角，
∴∠CA1A2＝45°+45°＝90°，∠CA2A1＝45°+（90°﹣59°）＝76°，
故答案为：90；76；
（2）过点A1作A1D⊥BC于点D，
在Rt△CA2A1中，，∠CA2A1＝76°，
∴（km），
在Rt△CA1D中，易知∠CA1D＝45°
∴，
答：点A1到道路BC的距离为2.0千米．
（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC于点F，
∵正八边形的外角均为45°，
∴在Rt△A7A8G中，，
∴，
又∵A8F＝A1D＝CD＝2，，
∴，
∵∠CFA8＝∠B，∠FCA8＝∠BCE，
∴△CA8F∽△CEB，
∴，
∴，
∵，
∴EB＝2.4（km）．
答：小李离点B不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
【点评】本题考查了正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握综合推理能力是解题的关键．
19．某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：×× 组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据 角的度数 ∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度 BC＝40.0米
AC＝56.4米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，　BC＝40.0米（答案不唯一）　．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】若选择的条件是：BC＝40.0米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择的条件是：AC＝56.4米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD和CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：若选择的条件是：BC＝40.0米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝40米，
∴BD＝BC cos45°＝4020（米），
CD＝BC sin45°＝4020（米），
在Rt△ADC中，∠A＝30°，
∴ADCD＝20（米），
∴AB＝AD+BD＝202077（米），
∴线段AB的长约为77米；
若选择的条件是：AC＝56.4米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝56.4米，
∴CDAC＝28.2（米），
ADCD＝28.2（米），
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD28.2（米），
∴AB＝AD+BD＝28.228.2≈77（米），
∴线段AB的长约为77米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．
【分析】过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝x cm，则CF＝（x+9）cm，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，
设BF＝x cm，
∵BC＝9cm，
∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，
在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴AF＝BF tan35°≈0.7x（cm），
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴AF＝CF tan22°≈0.4（x+9）cm，
∴0.7x＝0.4（x+9），
解得：x＝12，
∴AF＝0.7x＝8.4（cm），
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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