数学·概率与统计
参考答案
2 1
第一单元 统计与统计案例 号产品应是样本容量的 = ,所以样本的容量2+3+5 5 n=
16×5=80.
第一节 随机抽样 15.8 【解析】 设抽取男运动员的人数为x,由题意
【基础特训】 :14 x得 = ,所以x=8,所以抽取男运动员的人数为56 32 8.
1.B 【解析】 简单随机抽样中,每个个体被抽到的概
16.【解析】 第 一 步,将 元 件 的 编 号 调 整 为010,011,
样本容量 1
率为 ,故个体 被抽到的概率为 ,…, , ,…,
总体中的个体数 m 20. 012 099100 600.
2.B 【解析】 根据系统抽样法的特点,
第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向
可知抽取出的
, , 作为读数方向,比如,选第 行第 个数编号成首先为17 公差为20的等差数列 所以第8组的编号 6 7 9.
( ) , 第三步,从 数9开 始 向 右 读,每 次 读 取 三 位,凡 不 在是17+ 8-1 ×20=157 故选B.
30 010~600
之间的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去
3.B 【解析】 设样本容量为 N,则 N× ,所以70=6 不读,依次可得到544,354,378,520,384,263.
40 第四步,与以上6个号码对应的6个元件就是所要抽取
N=14,故在高二年级的学生中应抽取的人数为14×70= 的样本.
8,选B. 17.【解析】 第一步先确定艺人:(1)将30名内地艺人
【 】 12004.C 解析 系 统 抽 样 中 抽 取 个 体 间 隔k= 从1到30编号,然后用相同的纸条做成30个号签,在每个40
号签上写上这些编号,然后放入一个小筒中摇匀,从中依次
=30.
抽出10个号签,则相应编号的艺人参加演出;(2)运用相同
5.B 【解析】 由题意知,抽取比例为3∶3∶8∶6,所
的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人,从18名香港艺人
8
以应在丙专业抽取的学生人数为40× =16. 中抽取6人,第二步确定演出顺序:确定了演出人员后,再用20
【 】 , 相同的纸条做成6.A 解析 设应在专科生 本科生与研究生这三类 20
个号签,上面写上1到20这20个数字,
代表演出的顺序,让每个演员抽一张,抽到的号签上的数字
5600 1300 3000
学生中分别抽取x 人,y 人,z 人,则280= x = =y 就是这位演员的演出顺序.
1300 18.【解析】 因为不同年级的学生消费情况有明显差
.所以x=z=65,y=150,所以应在专科生,本科生与研z 别,所以应采用分层抽样,由于520∶500∶580=26∶25∶
究生这三类学生中分别抽取65人,150人,65人. 29,于是将80分成比例为26∶25∶29的三部分.设三部分各
7.D 【解析】 选项A错在“一次性”抽取;选项B错在 抽个体数分别为26x,25x,29x,由26x+25x+29x=80,得
“有放回”抽取;选项C错在总体容量无限. x=1.所以高三年级学生中应抽查29人.
8.B 【解析】 由随机数法的步骤,得顺序为①③②. 【能力特训】
9.A 【解析】 假设5个个体分别记为a,b,c,d,e,容 高频题特训
量为2的样本分别为a,b;a,c;a,d;a,e;b,c;b,d;b,e;c,
1.A 【解析】 依题意可知,8个编号抽一个,所以还
d;c,e;d,e,共10种.
有一个是19+8=27.
2005
10.C 【解析】 由于 不是整数,故随机剔除20 5
个 2.D 【解析】 因为四个部队的“安保”能力有一定的
, 2000
差距,故采用分层抽样方法更为合理.
编号 间隔为
20 =100. 3.B 【解析】 由调查①可知个体差异明显,故宜用分
11.068 【解析】 这些数分别是331,572,455,068,…. 层抽样法;调查②中个体较少,故宜用简单随机抽样法.
12.20 【解析】 由分层抽样的方法知样本中松树苗 4.B 【解析】 用系统抽样的方法抽取到的导弹编号
400
的棵数应为150× =20. 应为k,k+d,
50
3000 k+2d
,k+3d,k+4d,其中d=5=10
,k 是1
13.63 【解析】 因第7组抽取的号码个位数字是3, 到10中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项B满
而十位数字是6,所以抽取的号码是63. 足要求.
14.80 【解析】 根据分层抽样的特点,样本中A 种型 5.B 【解析】 分层抽样是按比例抽取的,设抽取的高
75
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、 、 ,,, a b 抽取1个数的结果是7
,则抽取的号码数为7+16x,当x=2
级职称 中级职称 普通职员的人数分别为abc 则15=45 时,7+16×2=39,即在编号为33~48的这16名学生中抽
c 30
= = ,解得a=3,b=9,c=18. 取的一名学生其编号应为39.90 150
17.30 【解析】 设从甲、乙、丙三校抽取的学生数分
6.B 【解析】 每个个体入样的可能性相同.
【 】 , ,,, x y z7.A 解析 在随机抽样中 每个个体被抽到的可能 别为xyz 则有 ,且3600=5400=1800 x+y+z=90
,可
性是相等的,故选A. 解得x=30.
8.D 【 】
60
解析 因 为n=3÷ ,所 以 【解析】 由题意可得总人数为120+80+60=13 18.200 20 10000
,因
为抽取 的学生进行调查,所以样本容量为
选D. 2% 10000×2%=
【 】 40 1 ,
2000
解析 则抽取的高中生人数为
,其中近视眼的
9.D 因为800=
,故各层中依次抽取的人 200 200×
20 10000
=40
160 ,320 200 120
人数为40×50%=20.
数分别是
20=8 20=16
,
20=10
, =6,故选20 D. 1219.30 【解析】 社团的总人数为30÷ =150,故a
10.D 【解析】 因为系统抽样是等距抽样,由于44- 60
31=13,5+13=18,所以还有一个学生的编号是18. =150-45-15-30-10-20=30.
11.B 【解析】 从600人中抽取容量为50的样本,采 20.112 【解析】 应该首先确定抽样的比例,然后再
取的是系统抽样,因此每12人里抽取一个,且它们的序号成 , 500 1根据各层份数确定各层要抽取的份数 因为 = ,所
等差数 列,第1个 是003,第2个 一 定 是015, 50000 100第3个 是
027,…,第50个是591.这些号码构成的等差数列的通项公 11200以
100 =112.
式为an=12n-9,1≤n≤50,n∈N*,可计算出这个数列的
21.20 【解析】 由系统抽样和题意可知,6就是初始
项在第1营区的有25个,在第Ⅱ营区的有17个,在第Ⅲ营
号,公差为48-34=14,所以还有一位同学的编号为6+14
区的有8个,故选B.
=20.
12.A 【解析】 设这个公司员工中对户外运动持“不
22.0.030 3 【解析】 因为小长方形的面积表示频
喜欢”态度的人数为x,则持“一般”态度的人数为x+12,因
率,所以除[120,130)外的四个组的频率和为0.700,所以a=
为按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈
户外运动,选出的人中有6人对户外运动持“喜欢”态度,有1 1-0.700=0.030,由 题 意 知 身 高 在[10 120
,130),[130,140),
人对户外运动持“不喜欢”态度,有3人持“一般”态度,所以 [140,150]的学生分别有30人,20人,10人,所以由分层抽
公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种
18 3
态度的人数分别为6x,x,3x,所以x+12=3x,解得x=6, 样可知抽样比为 = ,所以在[140,150]中选取的学生应60 10
所以这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有6x 为3人.
=36人,故选A. 23. ①②③ 【解析】 由于各家庭有明显的差异,所以
13.A 【解析】 若采用系统抽样方法从1000人中抽 首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三
取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人,若第一 类家庭中抽出36户、2户、2户,又由于农民家庭户数较多,
组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号 码 分 别 为28,48,
那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样方法;而工人、知识
68,88,108,……所以编号落入区间[1,400]的有20人,编号
分子家庭户数较少,宜采用简单随机抽样方法,故整个抽样
落入区间[401,750]的有18人,所以做问卷C 的有12人.
过程要用到①②③三种抽样方法.
14.D 【解析】 由于总体由差异明显的三部分组成,
24.【解析】 (1)补全直方图如图:
故考虑用分层抽样.总体总人数为28+54+81=163,样本容
量为36,若按36∶163取样本,无法得到整解,故考虑先剔除
1人,
2
抽取比例变为36∶162=2∶9,则中年人抽取54×9
( ), 2=12 人 青年人抽取81× =18(人),先从老年人中剔除9
1人,
2
老年人抽取27× =6(人),组成容量为36的样本9 .
15.C 【解析】 第n 个抽到的编号为9+(n-1)×30
由直方图可知:(0.1+0.2)×1×20=6,
11
=30n-21,由题意得451≤30n-21≤750,解之得1515≤n (0.25+0.2)×1×20=9,(0.1+0.05)×1×20=3.
7 所以这20个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的
≤25 ,又因为n∈Z,所以满足条件的n 共有10 10
个. 路段分别为6个、9个、3个.
16.39 【解析】 样本间隔k=16,若从1~16中随机 (2)由(1)知拥堵路段共有6+9+3=18个,按分层抽样
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数学·概率与统计
, :6 6
【易错提醒】 简单随机抽样最重要的特点是等可能性,
从18个路段中选出6个 每种情况分别为 18×6=2
,
18×9 应从每次抽取的个体及整个抽样过程来理解.
,6=318×3=1. 多解题特训
即这三个级别路段中分别抽取的个数为2,3,1. 【解析】 法一 简单随机抽样法:因为总体中的个体数
(3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A ,A ,选取的 N=120,样本容量n=20,故每个个体被抽到 的 可 能 性 均1 2
3个中度拥堵路段为B1,B2,B3,选取的1个严重拥堵路段 1为
6.
为C1,
则从6个路段选取2个路段的可能情况如下: 法二 系统抽样法:将120个零件分组,
120
k= ,即20=6
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1), 6个零件一组,每组取1个,显然每个个体被抽到的可能性均
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1, 1
B3),(B 为 .1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1),共15种可能. 6
其中至 少 有1个 轻 度 拥 堵 的 有:(A1,A2),(A1,B1), 法三 分层抽样法:一、二、三级品的个数之比为2∶3∶
(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2, , 2 3 5520× ,10=420× =6
,20× =10,故分别从一、二、三
B3),(A2,C1),共9种可能. 10 10
9 级品中抽取4个、6个、10个,每个个体被抽到的可能性分别
所以所选2个 路 段 中 至 少1个 轻 度 拥 堵 的 概 率 为15 4、6为 、10, 1即都是
3 243660 6
.
=5.
25.【解析】 (1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人 第二节 用样本估计总体
x 1 36
数的比例进行抽样的抽样方法,所以有
54=3 x=18
, 【基础特训】
54
1.B 【解析】 设中间一组的频数为x,则其他8组的
y
= y=2,3 5 5频数之和为 x,所以2 x+2x=140
,解得x=40.
故x=18,y=2. 2.C 【解析】 区间[50,60)上的频率为1-(0.01+
(2)总体容量和样本容量较小,所以应采用抽签法,过程
30
如下: 0.024+0.036)×10=0.3,所以 =0.3,n n=100.
故选C.
第一步,将36人随机编号,号码为1,2,3,…,36; 3.A 【解析】 由图可知,去掉一个最高分和一个最低
第二步,将号码分别 写 在 相 同 的 纸 片 上,揉 成 团,制 成 分后,所 剩 数 据 为 84,84,84,86,87.所 以 平 均 数 为
号签; 84+84+84+86+87
=85,
第三步,将号签放入一个不透明的容器中,
众数为84.
搅拌均匀,依 5
次抽取2个号码,并记录上面的编号; 4.A 【解析】 由茎叶图和方差公式计算即可.
第四步,选出与号码相对应的人,即可得到所要的样本. 5.D 【解析】 依题意得,题中的1000名学生在该次
易错题特训 自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1000×
(
5 0.035+0.015+0.010
)×10=600,选D.
1. 【解析】 采用系统抽样,要先剔除2名学生,确26 6.D 【解析】 依题意估计此人每次上班途中平均花
定间隔k=5,但是每名学生被剔除的机会一样,故虽然剔除 8+12+10+11+9费的时间为 =10分钟.
了2名学生,这52名学生中每名学生被抽到的机会仍相等, 5
10 5 7.C
【解析】 小区内用水量超过15m3 的住户的户
且均为
52=26. 数为200×[(0.05+0.01)×5]=60.
N 8.B 【解析】 根据茎叶图,知运动员甲的成绩分别为【易错提醒】 用系统抽样法抽取样本,当 不为整数n 9,14,15,15,16,21,运动员乙的成绩分别为7,13,15,15,17,
时,取k= [N ],即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除 74n 23,然后计算平均数和标准差,x1=x2=15,s1= ,6 s2=
N-nk个个体,且剔除多余的个体不影响抽样的公平性.
136
2.【解析】 第一步,将20名 志 愿 者 编 号,号 码 是01, ,从而6 s1
,故选B.
02,03,…,19,20;第二步,将号码分别写在一张纸条上,揉成 ( )
, ; , 9.C 【
9+15+10+x +18+24
解析】 由乙组的平均数得
团 制成号签 第三步 将得到的号签放入一个不透明的袋子 5
中,并搅拌均匀;第四步,从袋子中逐个不放回地抽取5个号 =16.8,解得x=8;甲组的中位数为15,而茎叶图中所给出
签,并记录上面的编号;第五步,所得号码对应的志愿者就是 的数据为9,12,10+y,24,27,所以y=5.
志愿小组的成员. 10.D 【解析】 由茎叶图可知,乙运动员的得分大部
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分集中在30~40分之间,而甲运动员的得分相对比较分散, (3)被抽到的学生中获二等奖的人数约为9+2=11,占
故乙运动员比赛得分更稳定,乙运动员共有13个得分,将得 11
样本的比例是 =0.22,
分由小到大排列后可知中位数为36,故选D. 50
11.C 【解析】 由图2知,小波一星期的食品开支为 即获二等奖的概率为22%,所以参赛学生中获二等奖的
30+40+100+80+50=300元,由图1知,小波一星期的总 人数估计为200×22%=44.
300
开支为
30%=1000
元,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支 答:参赛学生中获得二等奖的学生大约有44人.
【能力特训】
30
的百分比为 故应选
1000×100%=3%. C. 高频题特训
12.C 【解析】 根据所给信息可知,在区间[25,30)上 1.A 【解析】 由图可知去掉一个最高分和一个最低
的数据的频率为1-(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.2,故 分后,所 剩 数 据 为84,84,86,84,87,则 平 均 数 为85,众 数
, ( ) 5中位数在 第 三 组 且 中 位 数 估 计 为30+ 35-30 × ≈ 为7 84.
33.6岁. 2.D 【解析】 由众数的定义知x=5,由乙班的平均
13.30 【解析】 由图知,该月饮料消费支出超过150 78+70+y+81+81+80+92分为81得 =81,解得y=4,故
元的人占的比例为(0.004+0.002)×50=0.3,所 以 人 数 为 6
100×0.3=30. x+y=9.
14.54 【解析】 图中的数据分别为43,46,52,54,55, 3.A 【解析】 根据频率分布直方图的概念可知,|a-
61,63,可知中位数为54. b|×h=m,
m
由此可知|a-b|= .
15.4000 【解析】 依题意得,该革命老区高三男生中 h
体重在[56.5,64.5]的学生人数是10000×(0.03+2×0.05+ 4.B 【解析】 由平均数的 定 义,可 知 每 个 个 体 增 加
0.07)×2=4000. C,则平均数也增加C,方差不变,故选B.
16.680 【解析】 根据频率分布直方图可知(0.02+ 5.B 【解析】 由茎叶图可知,甲的数据集中在20~30
0.03×2+0.08+x)×4=1,解得x=0.09,从而每天的零花 之间,乙的数据集中在30~40之间,所以x甲钱数量在[6,14)内 的 学 生 人 数 为(0.08+0.09)×4×1000 数为27,乙的中位数为35.5,所以y甲=680.
6.C 【解析】 将这些数据按从小到大的顺序排列好
17.【解析】 (1)由频率分布直方图可知(0.04+0.03+
0.02+2a)×10=1. , 85+87后 其中位数为中间两个数的平均数,即 2 =86.
所以a=0.005.
() 4+5+6+7+82 该100名学生的语文成绩的平均分约为 7.C 【解析】 甲的平均数是 =6,中位5
x=0.05×55+0.4×65+0.3×75+0.2×85+0.05×95 (-2)2+(-1)2+02+12+22
=73. 数是6,极差是4,方差是 =2;5
(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分 5+5+5+6+9
布在各分数段的人数比,可得下表: 乙的平均数是 =6,中位数是5,极差是4,方5
分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) (-1)2+(-1)2+(-1)2+02+32 12
差是 = ,故选5 5 C.x 5 40 30 20
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 8.B 【解析】 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),a3
, 2
y 5 20 40 25 =8a1a7=
(a3)=64,(8-2d)(8+4d)=64,(4-d)(2+
)
[ , ) ( d =8
,2d-d2=0,又d≠0,故d=2,故样本数据为:4、6、8、
于是数学成绩在 5090 之外的人数为100- 5+20+
( )
40+25)=10. S 4+22 ×510、12、14、16、18、20、22, 10平均数为10= 10 =13
,中
18.【解析】 (1)可知第二组第一位学生的编号为004.
(2)a,b,c,d,e的值分别为13,4,0.30,0.08,1. 12+14位数为 2 =13
,故选B.
频率分布直方图如下:
9.D 【解析】 将所有得分值从小到大排序后第15个分
值是5、第16个分值是6,故其中位数me=5.5,显然众数mo=5,
2×3+3×4+10×5+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2
平均数x= 30
179
=30≈5.97
,所以mo10.B 【解析】 由于世界首富的年收入xn+1较大,故
平均数一定会增大,差距会拉大,因此方差也会变大,选B.
11.C 【解析】 将样本数据按照从小到大的顺序排列
得10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其 平 均 数 a=
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数学·概率与统计
10+12+14+14+15+15+16+17+17+17 =7,
10 =14.7
,中 位 数
(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(2 8-7)
2+(7-7)2
甲班的方差为
15+15 s甲= 5
b= =15,众数c=17,所以2 c>b>a. 2;
12.D 【解析】 设该单位男职工的总人数为n,第1小 =5
组的频率为p,则由题意可知,第2小组的频率为2p,第3小 6+7+6+7+9
乙班的平均数为x乙= =7,
组的频率为3p,则p+2p+3p+(0.037+0.013)×5=1,解 5
24 (2 6-7)
2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(9-7)2
得p=0.125,故第2小组的频率为0.25,由n =0.25
,解得n 乙班的方差为s乙= 5
=96,故该单位男职工的总人数为96. 6=5.
13.C 【解析】 由题意,去掉一个最高分和一个最低
1 6 2因为 ,所以 2 2
分后,所剩数据为82,84,86,86,87, >则其平均数为x= (5 82 5 5
s =5.
24.【解析】 (1)频率分布表如下:
+84+86+86+87)=85,方差为s2
1
= [( )2 ( )25 -3 + -1 + 分组 [40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]合计
12+12+22]=3.2,故选C. 频数 2 3 10 15 12 8 50
14.D 【解析】 甲组数据分别为9,12,10+x,24,27, 频率 0.04 0.06 0.2 0.3 0.24 0.16 1
乙组数据分别为9,15,10+y,18,24.因为甲组数据的中位数
为15,所 以10+x=15,则x=5,又 乙 组 数 据 的 平 均 数 为
, 9+15+10+y+18+2416.8 所以 5 =16.8
,解得y=8,所以x
-y=-3.
15.B 16.B
26 2+3+7+8+a
17. 5
【解析】 由 5 =5
,得a=5,所以
1
s2= ×(32+22+22+32
26
5 +0
2)=5.
18.21 【解析】 由题意得在[20,60)之间的数据有50
×0.6=30(个),又在[20,30),[30,40)内共有4+5=9(个),
则在[40,50),[50,60)内的数据个数之和为30-9=21. (2)成绩在85分以下的学生比例约为72%.
19.600 【解析】 根据频率分布直方图推测,这3000 (3)众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横
名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是(0.012 坐标,由于中间的一个矩形最高,且70与80的中点是75,故
+0.006+0.002)×10×3000=600. 众数是75;而中位数是把频率分布直方图分成面积相等的两
20.16 【解析】 因为样本x1,x2,…,xn 的方差为4, 部分的平行于竖轴的直线与横轴交点的横坐标,第一个矩形
当一组数据中的各个数据都扩大几倍,则新数据的方差扩大 的面积是0.04,第二个矩形的面积是0.06,第三个矩形的面
其平方倍,所以样本2x1,2x 22,…,2xn 的方差为2 ×4=16. 积是0.2,最后两个矩形的面积和是0.4,故将第四个矩形分
因为一组数据中的各个数据都加上同一个数后得到的新数 成4∶3即可,所以中位数约是75.71;所有的数据的平均数
据的方差与原数据的方差相等,所以数据2x1+1,2x2+1, 为45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95
2x3+1,…,2xn+1的方差是16. ×0.16=76.2.
36 87+94+90+91+90+90+x+91
21. 【解析】 依题意有 故众数为75,中位数约为75.71,平均数为76.2.7 7
25.【解析】 (1)产品净重小于100克的频率为(0.050
=91,则 x = 4,所 以 7 个 剩 余 分 数 的 方 差 为
+0.100)×2=0.300.
(-4)2+32+(-1)2+02+(-1)2+32+02 36
7 =7. 设样本容量为n.
22.(1)0.04 (2)440 【解析】 (1)因为各个小长方形 36因为样本中产品净重小于100克的个数是36,所以n
的面积之和为1,所以年龄在[25,30)内对应小长方形的高度
=0.300,所以n=120.
1-(5×0.01+5×0.07+5×0.06+5×0.02)
为
5 =0.04.
(2)年 因为样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产
龄在[25,35)内的频率为0.04×5+0.07×5=0.55,人数为 品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.750,
0.55×800=440. 所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产
2 6+7+7+8+7 品的个数是120×0.750=90.
23. 5
【解析】 甲班的平均数为x甲= 5 (2)产品净重在[96,98),[98,104),[104,106]内的频率
79
小题狂刷 高考专题特训
分别为0.050×2=0.100,(0.100+0.150+0.125)×2= 100
第3组的人数为6× =4,
0.750,0.075×2=0.150, 150
所以其相应的频数分别为120×0.1=12,120×0.750= 所以第1,2,3组分别抽取1人,1人,4人.
90,120×0.150=18, (3)由(2)可设第1组的1人为A,第2组的1人为B,第
1 3组的4人分别为C1,C2,C3,C4,则从6人中抽取2人的所
所以这批产品平均每个的利润为 (
120× 3×12+5×90 有可能结 果 为:(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,
+4×18)=4.65(元). C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,
26.【解析】 (1)作出茎叶图如下: C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4),共有15种.
其中恰有1人年 龄 在 第3组 的 所 有 结 果 为:(A,C1),
(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,
C4),共有8种.
8
所以恰有1人年龄在第3组的概率为15.
(2)记甲被抽到的成绩为x,乙被抽到的成绩为y,用数 易错题特训
对(x,y)表 示 基 本 事 件:(82,95),(82,75),(82,80),(82, 1.C 【解析】 由频率分布直方图可得所期望的月薪
90),(82,85),(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82, 在[2500,3500)内的频率为(0.0005+0.0004)×500=0.45,
85),(79,95),(79,75),(79,80),(79,90),(79,85),(95, 所以频数为3000×0.45=1350,即 所 期 望 的 月 薪 在[2500,
95),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85),(87,95),(87, 3500)内的大学生有1350名.
75),(87,80),(87,90),(87,85),基本事件总数n=25. 【易错提醒】 频率分布直方图中的纵坐标不是频率,而
记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A 包含基本事件: 是频率/组距,小矩形的面积表示频率,这一点要特别注意.
(82,75),(82,80),(82,75),(82,80),(79,75),(95,75), 2.94.5 【解析】 从茎叶图中可知14个数据排序为
(95,80),(95,90),(95,85),(87,75),(87,80),(87,85),事 79,83,86,88,91,93,94,95,98,98,99,101,103,114,中位数
m 12 为94与95的平均数94.5.
件A 包含的基本事件数m=12,所以P(A)=n =25. 【易错提醒】 解决此类题型应该先从茎叶图中读出所
12 ,
所以甲的成绩比乙高的概率为 . 有数据 按照从小到大的顺序排好,找到中间的一个数,即为25 中位数,若中间是两个数,算其平均数,即为中位数.
(3)
1
①x甲= (70×1+80×3+90×1+9+2+2+7+ 3.72 【解析】 由所给图形,可知员工中年薪在1.4万5
元~1.6万元之间的频率为1-[) , 0.02+
(0.08+0.10)×2]×2
5 =85
=0.24,从而得到员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共
1
x乙= (70×1+80×2+90×2+5+0+5+0+5)5 有300×0.24=72(人).
=85, 【易错提醒】 解本题容易出现的错误是审题不细,对所
1 给图形观察不细心,认为员工中年薪在1.4万元~1.6万元
s2甲= [(79-85)2+(82-85)2+(82-85)2+(5 87- 之间的频率为1-(0.02+0.08+0.10)×2=0.60,从而得到
85)2+(95-85)2]=31.6, 员工年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有300×0.60=180
1 ( )2 [( )2 ( )2 ( )2 ( 人 的错误结论.s乙=5 75-85 + 80-85 + 85-85 + 90- 技巧题特训
85)2+(95-85)2]=50,
1.C 【解析】 A1、A2、…、A10依 次 表 示 身 高(单 位:
②因为x =x ,s2 2甲 乙 甲cm)在[145,150),[150,155),[155,160),[160,165),[165,
赛比较合适.
),[
【 】 () ,[ , ) 170 170
,175),[175,180),[180,185),[185,190),[190,
27. 解析 1 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 2530 与
195]内的学生人数,可知身高在[ , ) , 160~180cm
的学生人数为
3035 两组的人数相同
A4+A5+A6+A7.故判断框内应填i<8.
0.08
所以a=25且b=25×0.02=100. 【 】 12. 解析 该组数据的平均数为 (x+28),中位数一4
25
总人数 N=0.02×5=250. 定是其中两个数的平均数,由于x 不知是多少,所以要分几
(2)因为第1,2,3组共有25+25+100=150人,利用分 种情况讨论.
层抽样在150名员工中抽取6人,每组抽取的人数分别为: (1)当x≤8时,原数据按从小到大的顺序排列为x,8,
25 1 1
第1组的人数为6× =1, 10,10,其中位数为 ×(10+8)=9.若 (2 4 x+28
)=9,则x
150
25 =8,此时中位数为9.
第2组的人数为6×150=1
, (2)当880
数学·概率与统计
,
8,x,
1
10,10,其中位数为 (
1 1 由男生的人数为40 得女生的人数为80-40=40.
2 x+10
).若 ( ) (4 x+28 =2 x+ (2)由(1)及频率分布直方图知,男生身高≥170cm的人
10),则x=8,而8不在8(3)当x>10时,原 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为8, 女生身高≥170cm的人数为0.02×5×40=4,
, , , 1 ( 11010x 其中位数为2× 10+10
)=10.若 (x+28)= 所以可得下列列联表:4
10,则x=12,此时中位数为10. ≥170cm <170cm
总计
综上所述,这组数据的中位数为9或10. 男生身高 30 10 40
女生身高 4 36 40
第三节 变量的相关性 统计案例 总计 34 46 80
【基础特训】 (
2 80× 30×36-10×4)
2
又
【 】 , K = 40×40×34×46 ≈34.58>10.828
,
1.A 解析 由函数关系和相关关系的定义可知 A
中Δ=b2-4ac,因为a,c是已知常数,b为自变量,所以给定 所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关.
一个b的值,就有唯一确定的Δ与之对应,所以Δ与b 之间 (【 】 () 2 55× 20×20-10×5
)2
12. 解析 1 由 公 式 K =
是一种确定的关系,是函数关系.B,C,D中两个变量之间的 30×25×25×30
,
关系都是随机的、不确定的,所以不是函数关系. ≈11.978>7.879
2.B 【
“ “
解析】 y'=2-1.5(x+1)=2-1.5x-1.5=
所以有99.5%的把握认为喜欢 应用统计 课程与性别y
有关
-1.5.即x 增加一个单位时,y 平均减少1.5个单位. .
3.D 【解析】 由已知求得样本中心为(5,1.9),代入 (2)
6 m
设所抽样本中有 m 个男生,则 = ,得 m=4,所30 20
回归直线方程可得1.9=b×5+7.9 b=-1.2,所以x 每
以样本中有4个男生,2个女生,分别记作 B1,B2,B3,B4,
增加1个单位,y 就减少1.2个单位,故选D. G1,G2.从 中 任 选2人 的 基 本 事 件 有(B1,B2),(B1,B3),
4.D 【 】
1+2+3 , 1+3+5+7解析 x= =1.5y= =4. (B1,B4),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B3),(4 4 B2
,B4),(B2,
【 】 , G1),(B2,G2),(B3,B4),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),5.C 解析 由题知夹在带状区域内的点 总体呈上
; , (B4,G2),( , ),共 个,升趋势的属于正相关 反之 总体呈下降趋势的属于负相关. G1 G2 15
, 其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1,G1),(B1,由图可知 选C.
【 】 , , G2),(B2,G1),( , ),( , ),( , ),( , ),6.B 解析 回归直线斜率为80 所以x 每增加1y B2 G2 B3 G1 B3 G2 B4 G1
( , ),共 个
平均增加80,即劳动生产率提高1000元时,工人工资平均提 B4 G2 8 .
高80元. 8所以恰有1个男生和1个女生的概率为15.
7.B 【解析】 依题意可知样本中心点为 (3,3 ,则 【能力特训】4 8 )
3 1 3 1 高频题特训
8=3×4+a
,解得a=8.
1.C 【解析】 把样本中心点 (7,43) 代入回归方程
8.A 【
1 2
解析】 依题意得x= (5 196+197+200+203 得a=5.9,所以广告费用为10万元时销售额为10.6×10+
1 17+m
+204)=200,y= (1+3+6+7+m)= ,回归直线 5.9=111.9(万元),故选C.5 5 2.A 【解析】 所有线性回归直线必过样本中心点(x,
17+m
必经过样本中心点,于是有 =0.8×200-155,由此解 y),所以A正确.5
, 3.D
【解析】 ①为系统抽样;④分类变量 X 与Y,对
得m=8 选A.
它们的随机变量K2 的观测值k 来说,k 越大,“X 与Y 有关
【 】 2+3+4+59. -0.61 解 析 x= 4 =3.5
,y= 系”的把握程度越大.
2.2+3.8+5.5+6.5 4.D 【解析】 “吸烟与患肺癌有关”是一种统计关系,
=4.5,回归方程必过样本的中心点(x,4 这种关系是指“吸烟的人患肺癌的可能性更大”,而不是说
y).把(3.5,4.5)代入回归方程,计算得a=-0.61. “吸烟的人一定患肺癌”.99%以上的把握仅是指“吸烟与患
10.5% 【解析】 由4.84>3.841,4.84<6.635,可知 肺癌有关”的可信程度,但也有在100个吸烟者中一个患肺
P(K2≥3.841)=0.050,即在犯错误的概率不超过5%的前 癌的人也没有的可能,因此选D.
提下认为“主修统计专业与性别有关系”. 5.C 【解 析】 根 据 列 联 表 中 的 数 据 得 到 K2=
11.【解析】 (1)由频率分布直方图可知,身高在170~ 100×(45×15-30×10)2
55×45×75×25 ≈3.03>2.706
,所以有90%以上的
175cm的男生的频率为0.08×5=0.4,
16 把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别有关”.
设男生数为n1,则0.4= ,得n n1=40.1 6.B 【解析】 根据回归直线方程y=0.85x-85.71的
81
小题狂刷 高考专题特训
意义,选项A和C都正确;当x=170时,y=58.79,选项D 故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.
正确;回归 直 线 一 定 过 样 本 点 的 中 心(x,y),故 选 项 B不 15.【解析】 (1)根据分层抽样可得:样本中看营养说
正确. 5 5
明的女生有
50×30=3
名,样本中不看营养说明的女生有
7.B 【解析】 由表中数据得x=6.5,y=80,由点(x, 50
y)在直线y=-4x+a上,得a=106,即线性回归方程为y= ×20=2名.
-4x+106,经过计算只有点(9,68)和(5,84)在直线的左下 (2)记样本中看营养说明的3名女生为a1,a2,a3.不看
2 1 营养说明的2名女生为b1,b2,从这5名女生中随机选取2
方,故所求概率为
6=3. 名,共有10个等可能的基本事件:a1,a2;a1,a3;a1,b1;a1,
【 1 b解析】 , 2
;a2,a3;a2,b1;a2,b2;a3,b1;a3,b2;b1,b2.
8.B ①正确.②中a= 所以②不正确8 .③ 其中事件A“选到看与不看营养说明的女生各一名”包
中k 越小,“X 与Y 有关联”的把握程度越小,所以③不正确. 含了6个 基 本 事 件:a1,b1;a1,b2;a2,b1;a2,b2;a3,b1;
x-1 , 1由 可得
2-x≥0 1≤x<2
因为f(x)=2x+x ≥22=4,当且 a3,b2.
6 3
仅当x=1时取等号,所以④不正确. 所以所求的概率为P(A)=10=5.
【 】 60+65+70+75+809.73 解析 x= =70,y= (3)假设 H0:该校高中学生性别与在购买食物时看营养5
说明无关,则K2 应该很小.
62+64+66+68+70
5 =66
,所以66=0.36×70+a,a=40.8, 110×(50×20-30×10)2
根据题中的列联表得 K2= 80×30×60×50 =
所以0.36×90+40.8=73.2≈73.
539
9+95.+10+10.5+11 ≈7.486.
10.40 【解析】 由题意可知,x= 725
由P(K2≥6.635)=0.010,P(K2≥7.879)=0.005
, 11+10+8+6+5=10y= =8,故样本点的中心为(10,8), 可知,5
有 的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时
将其代入线性回归方程y=-3.2x+a,解得a=40.
99%
11. ③ 【解析】 由 题 意 知x=4,y=6,
看营养说明”有关
所 以b .=
n 【 】 () 110016. 解析 1 由题意知,甲校抽取了105× =55
∑(xi -x)(yi -y) 2100
i=1 8, 2,
n = 所以5 a=y-bx = -
所以
5 1000人的数学成绩,乙校抽取了105× 人的数学成绩,
∑(x 2i -x) 2100
=50
i=1 故x=55-(2+3+10+15+15+3+1)=6,
8x 2y = - ,所以填5 5 ③. y=50-(1+2+9+8+10+10+3)=7.
【 】 2 n
(ad-bc)2 6+3+1
12.975. 解析 根据公式K = (2)估计甲校 数 学 成 绩 的 优 秀 率 为(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 55
×100%≈
可得K2=5.934,根据独立性检验临界 值 表 可 知 P(K2≥ 18.2%,
5.024)=0.025,所以有97.5%的把握认为该校15至16岁的 10+7+3乙校数学成绩的优秀率为
50 ×100%=40%.
男生的身高和体重之间有关系.
()列联表如下:
13.20 【解析】
3
令两人的总成绩分别为x1,x2.则对
应的数学成绩估计为y1=6+0.4x1,y2=6+0.4x2,所以|y 甲校 乙校 总计1
-y2|=|0.4(x 优秀1-x2)|=0.4×50=20. 10 20 30
1 非优秀 45 30 75
14.【解析】 (1)由于x= (6 x1+x2+x3+x4+x5+ 总计 55 50 105
x6)=8.5,
2 105×(10×30-20×45)
2
1 K = ≈6.109,因 为6.109>
y= (6 y1+y2+y3+y4+y5+y6
)=80. 55×50×30×75
5.024.
所以a=y-bx=80+20×8.5=250,从而回归直线方
故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
程为y=-20x+250.
(2)设工厂获得的利润为L 元,依题意得 易错题特训
2
L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x 1.D 【解析】 根据P(K ≥6.635)≈0.01说明接受这
-1000 个假设 H0 的概率大约是1%,所以我们有99%的把握拒绝
33 2 假设( ) H0
,所以有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲
=-20x-4 +361.25. 型 H1N1流感的作用”.选择D.
当且仅当x=8.25时,L 取得最大值. 【易错提醒】 理解相关性检验和独立性检验里面基本
82
数学·概率与统计
概念、数据的含义可避免此类错误的产生.如本题中随机变 员人数为4.选B.
量K2 的含义,是用来确定能否可以给点的把握认为“两个 6.B 【解析】 因为x=10.0,y=8.0,b=0.76,所以a=
分类变量有关系”. 8-0.76×10=0.4,所以回归方程为y=0.76x+0.4,把x=
-12-17+17-8+8+12 15代入上式得,y=0.76×15+0.4=11.8(万元),【 】 () 故选B.2. 解析 1 x=100+ 7 7.D 【解析】 自习时间不少于22.5小时为后三组,其
=100, 频率和为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7
-6-9+8-4+4+1+6
y=100+ =100, =140人,故选D.7 8.A 【解析】 5000名 居 民 的 阅 读 时 间 的 全 体 是 总
∴s2
994
数学= =142,2
250
7 s物理=
, 体,5000是总体容量,200名居民的阅读时间的全体是样本,7
2 2 , 200是样本容量,每名居民的阅读时间是个体,故选从而s数学>s ∴ A.物理 物理成绩更稳定.
(2) x , 【 】 , 70 n由于 与y 之间具有线性相关关系 根据回归系数 9.A 解析 由题意 得 ,解得3500=3500+1500 n
497
公式得到b= ,994=0.5a=100-0.5×100=50
, =100,故选A.
1000
∴线性回归方程为y=0.5x+50. 10.C 【解析】 由题意知,分段间隔为: ,故40 =25
当y=115时,x=130. 选C.
【易错提醒】 成绩的稳定性用样本数据的方差判断,由 11.A 【解析】 因为y=-0.1x+1,x 的系数为负,故
物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决.本题容易出错 x 与y 负相关;而y 与z 正相关,故x 与z 负相关.
的就是把回归系数和回归常数弄颠倒,导致解题错误. 12.B 【解析】 由题中茎叶图,知
拓展题特训 26+28+29+31+31
x甲= ,
6 【解析】 由已知,x=2,则样本点的中心y=4,由题 5
=29
意知去掉两组数据后中心没变,设重新求得的回归直线方程 1
s 2甲= [(5 26-29
)+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(31-29)2]
为y=x+b,将样本点的中心(2,4)代入得b=2,因而当x=
4时,y 的估计值为6. 3 10= ;5
综合特训(一) 28+29+30+31+32
x乙= 5 =30
,
【母题特训】
1.D 【解析】
1
由图可知0℃均在虚线框内,所以各月 s乙= [(28-30)2+(29-30)25 +
(30-30)2+(31-30)2+(32-30)2]
的平均最低气温都在0℃以上,A正确;由图可在七月的平
= 2.
均温差大于7.5℃,而一月的平均温差小于7.5℃,所以七月
所以x甲s乙 .故选B.
的平均温差比一月的平均温差大,B正确;由图可知三月和
13.B 【解析】 作出散点图如下:
十一月的平均最高气温都大约在5℃,基本相同,C正确;由
图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个,所以
不正确.故选D.
2.C 【解析】 由扇形统计图可得,该校女教师人数为
110×70%+150×(1-60%)=137.故选C.
28
3.B 【解析】 依题意,这批米内夹谷约为254×1534
=169石,选B.
4.C 【解析】 由题意,总体中青年教师与老年教师比
1600 16
例为 = ;设样本中老年教师的人数为x,由分层抽样900 9
的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,
由图象不难得出:回归直线y=bx+a 的斜率b<0,截距
320 16
即 = ,解得x 9 x=180. a>0
,所以a>0,b<0.
【 】 【解析】 由平均数公式可得这组数据的平均数5.B 解析 由题意可知,这35名运动员的分组情 14.6
况为,第 一 组(130,130,133,134,135),第 二 组(136,136, 4+6+5+8+7+6为
6 =6.
138,138,138),第 三 组(139,141,141,141,142),第 四 组
x
(142,142,143,143,144),第五组(144,145,145,145,146), 15.25 【解析】 设应抽取的男生人数为x,则900-400
第六组(146,147,148,150,151),第七组(152,152,153,153, 45
), [ , ] , = ,解得153 故成绩在区间 139151 上的运动员恰有4组 故运动 900 x=25.
83
小题狂刷 高考专题特训
( ) ( ) … (
16.11 【解析】
2x1+1+2xx=5 2
+1+ +2xn+1) 0.38+0.22+0.08=0.68.
由 得
n 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种
x1+x2+…+x=2× nn +1=2x+1=11.
产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品
80%”的规定.
17.(1)3 (2)6000 【解析】 (1)0.1×1.5+0.1×2.5
20.【解析】 (1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的
+0.1×a+0.1×2+0.1×0.8+0.1×0.2=1,解 得a=3;
评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故样本中位数
(2)区间[0.5,0.9]内的频率为1-0.1×1.5-0.1×2.5=0.6,
为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
则该区间内购物者的人数为10000×0.6=6000.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26
18.【解析】 (1)由频率分布直方图知,月均用水量在
66+68
[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04, 位的是66,68,故样本中位数为 =67,所以该市的市2
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4), 民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. (2)由所给茎叶图知,50位市民对甲、乙部门的评分高
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+ 5 8
0.04+0.02=1, 于90的比率分别为50=0.1
,
50=0.16
,故该市的市民对甲、
解得a=0.30. 乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.
(2)由(1)知,100位居民每人月均用水量不低于3吨的 (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高
频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出
由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月 对甲部门的评 分 的 标 准 差 要 小 于 对 乙 部 门 的 评 分 的 标 准
均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000. 差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20 乙部门的评价较低、评价差异较大.
+0.26+0.15=0.88>0.85, 21.【解析】 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26 7 7
2
=0.73<0.85, t=4,∑(ti -t) =28, ∑(yi -y)2 =0.55,
i=1 i=1
所以2.5≤x<3. 7 7 7
( ) , ∑( )( )由0.3× x-2.5 =0.85-0.73 ti-t yi-y =∑tiyi-t∑yi =40.17-4×9.i=1 i=1 i=1
解得x=2.9. 32=2.89,
所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月 2.89r≈
的用水量不超过标准. 0.55×2×2.646
≈0.99.
19.【解析】 因为y 与t的相关系数近似为0.99,说明y 与t的线性
(1) 相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t的关系.
() 9.322 由y= 7 ≈1.331
及(1)得
7
∑(ti -t)(yi -y)
b i= =1
2.89 ,
7 = 28 ≈0.103
∑(ti -t)2
i=1
a=y-bt≈1.331-0.103×4≈0.92.
所以,y 关于t的回归方程为:y=0.92+0.10t.
将2022年对应的t=9代入回归方程得:y=0.92+0.10
×9=1.82.
所以预测2022年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82
亿吨.
(2)质量指标值的样本平均数为
【 】 () 450022. 解析 1300× =90,所以应收集90位女
x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120 15000
×0.08=100. 生的样本数据.
质量指标值的样本方差为 (2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75.
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102× 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概
0.22+202×0.08=104. 率的估计值为0.75.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方 (3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周
差的估计值为104. 平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 间不超过4小时,又因为样本数据中有210份是关于男生
84
数学·概率与统计
的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别 8.D 【解析】 依题意x=10,y=8.因为线性回归直线
列联表如下: 必过样本点的中心(x,y),所以8=-3.2×10+a,解得a=
每周平均体育运动时间与性别列联表 40.所以回归直线方程为y=-3.2x+40.令y=7.36,则7.36
男生 女生 总计 =-3.2x+40,解 得 x=10.2.所 以 该 产 品 的 价 格 约 为
每周平均体育运 10.2元.
45 30 75
动时间不超过4小时 9.B 【解析】 由表中数据得x=7,y=5.5,由(x,y)
每周平均体育运动 4 1
165 60 225 在直线y=5x+a
上,得a=- ,即线性回归方程为y=
时间超过4小时 10
4 1 4 1
所以当
总计 210 90 300 5x-10. x=12
时,y=5×12-10=9.5
,即他的识
图能力为9.5.故选B.
结合列联表可算得
【 】 , 1300×(2250)2 100 10.B 解析 由题意 x= ×(0+1+4+5+6+8)
K2= 675×225×210×90=21≈4.762>3.841.
1
所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运 =4,y= ×(6 1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3
)=5.25,因为y
动时间与性别有关”. 与x 线性相关,且y=0.95x+a,所以5.25=0.95×4+a,所
【过关特训】 以a=1.45,从而当x=13时,有y=13.8.故选B.
1.B 【解析】 根据系统抽样方法的特点,从100名学
11.3 【
24
解析】 系统抽样的间隔为 =6,设抽到的最100
生中抽取10名学生,组距是 =10,
4
当第一组中抽到的号
10 小编号x,则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48,解得x
码是03时,第三组中抽到的号码是03+(3-1)×10=23. =3.
2.B 【解析】 因为高一学生480人,高二比高三多30 12.480 【解析】 因为少于60分的学生人数为600×
人,所以设高三学生x 人,则x+x+30+480=1290,解得x (0.05+0.15)=120,所以不少于60分的学生人数为480.
=390,故高二420人,高三390人,若在抽取的样本中有高 13.12 【解析】 根据频率分布直方图,得0.06×5=
96
一学生96人,则该样本中的高三学生人数为 ×390=78 0.3<0.5,0.3+0.1×5>0.5;令0.3+0.1×x=0.5,解得x=480
2.所以中位数是( ), 10+2=12.
故答案为12.
人 故选B.
14.68 【解析】 x=10,y=40,回归方程过点(x,y),
3.D 【解析】 因为③可以为系统抽样,所以选项A不
所以
; , ; 40=-2×10+a
,所以a=60,所以y=-2x+60.令x
对 因为②可以为分层抽样 所以选项B不对 因为④不能为
=-4,则 =(-2)×(-4), , +60=68.系统抽样 .选项C不对 故选D. y
【 】 , 15.0.05
【解析】 根据表格发现3.855>3.841对应的
4.A 解析 根据抽样的要求 每个人被剔除和入选
, 是0.05
,所以根据独立性检验原理可知,在犯错误的概率不
的机会相同 故选A.
超过 的前提下认为用电脑时间与视力下降有关系
5.A 【解析】 0.05 .产品净重小于100克的频率为(0.050
16.【解析】 (1)游客人数在[0,100)(百人)范围内的天
+0.100) , ,
36
×2=0.300 设样本容量为n 则 ,所以n =0.300 n 数有15天,
15 1
故a=15,b= = .
=120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率 30 2
为( ()由题可得游客人数的平均数为0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或 2
等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90. 50×15+150×10+250×4+350×1 (百人)
30 =120 .
6.B 【解析】 由茎叶图可知,茎为8时,甲班学生成 (3)从5天中任选两天的选择方案有(1,2),(1,3),(1,
绩对应数据只能是80,80+x,85,因为甲班学生成绩众数是
4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10
85,所以85出现的次数最多,可知x=5.由茎叶图可知,乙班
种,其中游客拥挤等级均为优的有(1,4),(1,5),(4,5),共3
学生成绩为76,81,81,80+y,91,91,96,乙班学生成绩的中
3
位数是83,可知y=3,所以x+y=8.故选B. 种,故所求的概率为10.
7.C 【解析】 本题考查了数理统计中的平均数、中位 1
1 17.
【解析】 (1)设污损处的数据是a,由x= ×(158
数、方差、极差及条形图等问题.x甲= (5 4+5+6+7+8
)= 10
+162+163+168+168+170+171+179+170+a+182)
1
6,x乙= (5×3+6+9)=6,甲的中位数为6,乙的中位数为 =170,5
解得a=9,所以污损处的数据是9.
5.5,
1
甲的成绩的方差为 (2
5 2 ×2+1
2×2)=2,乙的成绩的 (2)设“身高为176cm的同学被抽中”的事件为A,
1 从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同
方差为 (
5 1
2×3+32×1)=2.4,甲、乙的极差都为4.故选C. 学有:{181,173},{181,176},{181,178},{181,179},{179,
85
小题狂刷 高考专题特训
173},{179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176, 统计结论:
173},共10个基本事件, ①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;
4 2 甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;
而事件A 含有4个基本事件,所以P(A)= = . ②10 5 ③甲种树苗的中位数为27,乙种树苗的中位数为28.5;
m
18.【解析】 (1)设从高一年级男生中抽出m 人,则 ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在500
均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散.
45
= , ,则从女生中抽取 人,所以500+400m=25 20 x=25-15 ( ) 37+21+31+20+29+19+32+23+25+332 x =
-5=5,y=20-18=2. 10
,
表二中非优秀学生共5人,记测评等级为合格的3人为 =27
a,b,c,尚待改进的2人为A,B,则从这5人中任选2人的所 S=35.
有可能结果为 S 表示10株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度离
(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A), 散程度的量.
(b,B),(c,A),(c,B),共10种, S 值越小,表示树苗长得越整齐,S 值越大,表示树苗长
设事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人, 得越参差不齐.
恰有1人测评等级为合格”,则C 的结果为(a,A),(a,B),
(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),
第二单元 概率
共6种,
6 3 3
所以P(C)= = ,故所求概率为10 5 5. 第一节 随机事件 古典概型
(2)列联表如下: 【基础特训】
男生 女生 总计 1.B 【解析】 投球一次即进行一次试验,投球10次,
优秀 15 15 30
投进8次,
8 4
即事件A 的频数为8,所以A 的频率为
非优秀 10 5 15 10
=5.
总计 25 20 45 2.C 【解析】 “至少有一次中靶”即为“一次中靶”或
“两次中靶”,根据互斥事件是不能同时发生的这一定义知应
因为1-0.9=0.1,P(K2≥2.706)=0.10,
选C.
2 45×(15×5-15×10)
2 45×152×52 9
而K = 30×15×25×20 =30×15×25×20=8 3.D 【解析】 一枚硬币连掷2次可能出现正正,反
=1.125<2.706,所以没有90%的把握认为“测评结果优秀 反,正反,反正四种情况,而只有一次出现正面的有两种,所
与性别有关”. 2 1以P= = .故选D.
19.【解析】 (1)m,n 构成的基本事件(m,n)有:(23, 4 2
25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25, 4.C 【解析】 记抽验的产品是甲级品为事件A,是乙
16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个,其中“m,n 均小于 级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,因
1 而抽验产 品 是 正 品(甲 级)的 概 率 为 P(A)=1-P(B)-
25”的有1个,故其概率P=10. P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.
(2)因为x=12,y=27, 5.D 【解析】 A∩B={出现点数1或3},事件A,B
11×25+13×30+12×26-3×12×27 5
所以b= , 不互斥更不对立;B∩C= ,B∪C 为全集,故事件B,C 是112+132+122-3×122 =2 对立事件,故选D.
5
于是a=27- ×12=-3,故所求线性回归方程为y= 6.C 【解析】 基本事件有(黑1,黑2),(黑1,黑3),2
(黑
5 2
,黑3),(红1,红2),(黑1,红1),(黑1,红2),(黑2,
2x-3. 红1),(黑2,红2),(黑3,红1),(黑3,红2),共10个,其中
4 2
() () 53 由 2 知y= x-3, 为同色球的有4个,故所求概率为 = .2 10 5
当x=10时,y=22;当x=8时,y=17,与检验数据的 7.D 【解析】 由列举可知取出2个数的不同情况共
误差均为1,满足题意. 有15种,而取出的两个数是连续自然数有5种情况,则取出
故认为得到的线性回归方程是可靠的. 5 2
的两个数不是连续自然数的概率P=1- = .
20.【解析】 (1)茎叶图如下: 15 3
8.B 【解析】 在题中所给的20组随机数中,能表示
恰好有两天下雨的数据有:191,393,271,932,812,共5组,
5
故所求概率近似为
20=0.25.
9.C 【解析】 同时抛掷两个骰子,基 本 事 件 总 数 为
36,记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件 A,则事件 A
86
数学·概率与统计
包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4个,故 为85,83,95,x.看不清的成绩有10种可能,该数据为97时,
( ) 4 1 甲、乙平均数恰好都为 ,所以当该数据为 , ,P A = = . 90 979899
时,符
36 9 合题意,所以概率为0.3.
10.C 【解析】 基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2, 1 1
1),(2,3),(2,4),…,(
() () 【 】 ()
4,3), 12 , 解析 同时掷两枚骰子共有共 个 符合条件的有(2,1), 20. 1 6 2 6 1
(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),共6个,因此使得a2≥4b
36种情况,
6
其中向上点数相同的有6种情况,其概率为36=1
的概率是
2. 1;(2)向 上 点 数 之 和 小 于5的 有(1,1),(1,2),(1,3),
11.C 【解析】 该试验有三种结果:“恰有1个白球” 6
“恰有2个白球”“没有白球”,故“恰有1个白球”和“恰有2 (2,1),(2,2),(3,
6 1
1),共6种情况,其概率为36= .个白球”是互斥事件但不是对立事件. 6
12.D 【解析】 【 】 () “ ”因为射击4次至多击中2次对应的随 21. 解析 1 因为抽到持 应该保留 态度的人的概
机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组,所以射击4 率为0.05,
5 120+x
次至少击中3次的概率为1- =0.75,故选D. 所以 ,解得 ,20 3600
=0.05 x=60
13.B 【解析】 用 A 表示红球,B 所以持“无所谓”态度的人数为3600-2100-120-600!,B2 表 示 两 个 白
球,C1,C2 表 示 两 个 黑 球,任 取 两 球 的 基 本 事 件 有 AB , -60=720,1
AB2.AC1,AC2,B1B2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2,C1C ,共 3602 所以应在 持“无 所 谓”态 度 的 人 中 抽 取720×
, , 3600
=
10种 一白一黑的为B1C1 B1C2,B2C1,B2C2 共4种,由古
72人.
4 2
典概型的概率计算公式得P= = ,故选10 5 B. (2)y+z=720,y≥657,z≥55,故满足条件的(y,z)有:
14.C 【解析】 连续抛掷两次骰子 基 本 事 件 总 数 是 (657,63),(658,62),(659,61),(660,60),(661,59),
36,由a,b夹角θ∈ ( ,π
(662,58),(663,57),(664,56),(] 665
,55),共9种.
0 ,则a·2 b≥0
,m-n≥0,所求事
记本次调查“失效”为事件A,
, 21 7P 若调 查 失 效
,则
件包含的基本事件数为21 = = . 2100+120+y<3600×0.8
,解 得
36 12 y<660.
3
15. 【解析】 三名男生分别记为5 1
,2,3,两名女生 所以事件 A 包 含:(657,63),(658,62),(659,61),共
3种.
分别记为4,5,则从该小分队中任选两名同学的所有基本事
件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,
3 1
5),(3, 所以P(A)=9=3.
4),(3,5),(4,5),共10个,设“恰是一男一女”为事件 A,则 60+66+62+60+62+x6
A 包含的基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3, 22.【解析】 (1)由题意得 6 =
5),共6个,
6 3
故所求概率为P(A)= = . 65,故x6=80.10 5
6位同学体重的标准差
1
16. 【解析】 由 题 意 知(m,n)的 基 本 事 件 有3 1s= ×[(60-65)2+(66-65)2+(62-65)2+(60-65)2+(62-65)2+(80-65)2]
(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3), 6 , 6共 种情况 只有
(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+ 2=9的内部,所以所求概 =7.y
所以第6位同学的体重x6=80,这6位同学体重的标准2 1
率为 = ,
1
故填
6 3 3. 差s=7.
2 (2)从前5位同学中随机地选2位同学的基本事件为
17. 【解析】3
从甲、乙、丙3人中随机选派2人参 (60,66),(60,62),(60,60),(60,62),(66,62),(66,60),
加某项活动,有甲、乙;甲、丙;乙、丙三种可能,则甲被选中的 (66,62),(62,60),(62,62),(60,62),共10种.
2
概率为 . 其中恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的基本事件3 有(60,66),(66,62),(66,60),(66,62),共4种.
1
18. 【解析】 根据题意,从5个数中一次随机取2 所以恰有1位同学的体重在区间(5 58
,65)中的概率P=
个数,其情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4), 4 2
10=5.
(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种情况,其中这2个数的 【能力特训】
和为5的有(1,4),(2,3),共2种情况.则取出2个数的和为
高频题特训2 1
5的概率P=10=5. 1.A 【解析】 由题意知,基本事件有(1134),(1143),
19.0.3 【解析】 甲的成绩为88,89,91,92:乙的成绩 (3114),(4113),(3411),(4311),(1314),(1413),(4131),
87
小题狂刷 高考专题特训
(3141),(1341),(1431),共12个,满足条件的基本事件就一 10.C 【解析】 依题意得,从集合A 到集合B 可建立
4 , 2·
个, 1 3=81
个不同的函数 其中值域是B 的函数的个数是C
故所求概率为P=12.
4
1 2 36 4
2.D 【解析】
· ,因此所求的概率等于 ,选
试验包含的所有事件共有6×6=36种 C3 A2=36 81=9 C.
猜数的结果,其中满足题设条件的有如下情形:若a=1,则b 11.A 【解析】 若先从甲袋中取出的是白球,则满足
=1,2;若a=2,则b=12,3;若a=3,则b=2,3,4;若a=4, 3 5 15
题意的概率为P1= × = ;若先从甲袋中取出的是黑
则b=3,4,5;若a=5,则b=4,5,6;若a=6,则b=5,6.即满 8 11 88
足题设条件的情形共有16种.故他们“心相近”的概率为P= , 5球 则满足题意的概率为P2= ,易知这两种情况不可能同8
16 4
36=9. 时发生, 15 5 35故所求概率为P=P1+P2=
【 】 88
+8=44.
3.D 解析 求导数可得f'(x)=x2+2ax+b2,要
【解析】 依据 、 同色和异色合理分类, 、
满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根,即Δ=4(a2
12.A A D A
-
2) , , ( ), D
同色时有C1 2
b a b ab 4
×3×2=24种不同的栽法.A、D 异色时有A4
>0 即 > .又 的取法共有3×3=9 种 其中满足
×2×1=24种不同的栽法,则基本事件总数为48,A、D 两
a>b的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共6种,
个区域都栽种红花时有A23=3×2=6种栽法,则所求概率为
6 2
故所求的概率为 = ,故选9 3 D. 6 1
48=8.
4.C 【解析】 从5个 点 中 取3个 点,列 举 得 ABC,
, , 13.0.2
【解析】 记事件A,B,C 分别是摸出红球、白
ABD ABE ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE 共
球和黑球,则 A,B,C 互 为 互 斥 事 件 且P(A+B)=0.58,
有10个基本事件,而其中ACE,BCD 两种情况三点共线,其
P(A+C)=0.62,所以 P(C)=1-P(A+B)=0.42,P(B)
8 4
余8个均符 合 题 意,故 能 构 成 三 角 形 的 概 率 为 故10=5. =1-P(A+C)=0.38,P(A)=1-P(C)-P(B)=1-0.38
选C. -0.42=0.2.
5.C 【解析】 由于a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不 314. 【解析】 ()4 f'x =x
2-2(a-1)x+b2,若函数
相同,故可得24个三 位 数,若b=1,则“凹 数”有213,214,
()在 上是增函数,则对于任意 , ( ) 恒成
312,314,412,413,共6个;
x R x∈R ' x ≥0
若b=2.则“凹数”有324,423, 2 f f共
立,所以Δ=4(a-1)2-4b2≤0,即(a-1)2≤b2,全部试验
, “ ” 8 1个 所以这个三位数为 凹数 的概率为 = . 结果为4×3=12(个),满足(a-1)2≤b224 3 的有当a=1时,b
6.B 【解析】 因为p⊥q,所以p·q=-2m+n=0, =1,2,3,当a=2时,b=1,2,3,当a=3时,b=2,3,当a=4
所以n=2m,满足条件的(m,n)有3个:(1,2),(2,4),(3, , , ( ), 9时 b=3 共 有3+3+2+1=9 个 所 以 所 求 概 率 为12
3 1
6),故所求概率为36=12. 3=4.
7.C 【解析】 数据2,0,1,5中,随机取出三个不同的
数,有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),
7
共4种,其中数 15. 【解析】9
由题意可知本题是一个古典概型,因
字2是取出的三个不同数的中位数的是(2,0,5),(2,1,5), 为试验发生包含的事件是从两个集合中各取一个数字共有9
2 1
共2种,所以对应的概率P=4=
故选
2. C. 种结果,
1
满足条件的事件函数y=logb x =-log
bx 是一个
a a
【 b
2 3 b
8.D 解析】 当a>b 时,e= 1- > < 减函数,只要底数大于1,列举出所有的情况有a=1,b=2;a2 2 a a=1,b=4;a=1,b=6;a=2,b=4;a=2,b=6;a=3,b=4;
1
2 a>2b
,符合a>2b的情况:当b=1时,a=3,4,5,6;当 , , , 7a=3b=6 共7种结果 所以概率是P=9.
6 1
b=2时,a=5,6,总共有6种情况,则概率为36=6.
同理, 7
16. 【解析】 由题意可知,事件 A 发出的概率为26
3 1 3
当a 的概率也为2 6.
综上可知,e> 的概率 1, 132 事件52 B
发生的概率为 ,事件A、B 是互斥事件,所以事52
1
为
3.
1 13 7
件A+B 的概率为52+52=26.
9.C 【解析】 由题意知(m,n)的基本事件有(1,1), 3
(,),…,(, 【解析】 从这四条线段中任取三条有 种取12 21),(2,2),…,(6,1),(6,2),…,(6,6),共36 17. 4 4
个,复数(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i为实数,则n2 法:(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成三角形
-m2=0,得m=n 或m=-n(舍去),而投掷两颗骰子得到 的取法有3种:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故所求的概率
6 1 3
点数相同的情况只有6种,故所求概率为36=6.
为
4.
88
数学·概率与统计
2 事件有(【 】 , B
,B ),(B
18. 解析 依题意 从 该 盒 子 中 任 意 取 出3个 1 2 1
,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),
3 (B3,B4),共6个,
C3×C1, 5 2×C
1
2×C12
球 取出的球的编号互不相同的概率等于 所以从第二个小组抽到的2名研究人员均选择课题B
C310 6 2
2 的概率为
= . 15
=5.
3 (2)选择课题A 的第一个小组的3名研究人员分别记为
19.【解析】 (1)在2月1日至2月12日这12天中,只 C1,C2,C3,选择课题A 的第二个小组的2名研究人员分别
有5日、8日共2天的空气质量优良,所以此人到达当日空气 记为D1,D2,从 中 任 意 选 取2名 的 所 有 基 本 事 件 有(C1,
2 1
质量优良的概率P= = . C2),(C1,C3),(C1,D1),(C1,D2),(C2,C3),(C2,D1),12 6 (C2,D2),(C3,D1),(C3,D2),(D1,D2),共10个,
(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间至多有1天空 其中这2名研究人员来自不同小组所包含的基本事件
气重度污染”,即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染 有(C1,D1),(C1,D2),(C2,D1),(C2,D2),(C3,D1),(C3,
或仅有1天空气重度污染”. D2),共6个,
“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人 所以从选择课题A 的5名研究人员中任意选取2名进
到达该市的日期是4日或8日或9日”,
3 1
其概率为 = . , 612 4 行学术交流 这2名 研 究 人 员 来 自 不 同 小 组 的 概 率 为10
“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于 3
“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”, =5.
5 22.【解析】 将编号为1,2,3的红球分别记为R1,R2,
其概率为
12. R3,编号为4,5的黑球分别记为B4,B5.
所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为 从这5个球中任意取出2个球的所有基本事件有:
1 5 2
P= + = . (R1,R2),(R1,R3),(R1,B4),(R1,B5),(R2,R3),4 12 3 (R2,B4),(R2,B5),(R3,B4),(R3,B5),(B4,B5),共10个.
20.【解析】 (1)乙同学选择选修课的所有可能情况有 (1)取出的2个球的颜色不相同的基本事件有:
AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种, (R1,B4),(R1,B5),(R2,B4),(R2,B5),(R3,B4),
其中乙同学选择选修课 D 的情况有AD,BD,CD,共 (R3,B5),共6个,
3种, 6 3
故所求概率P =
3 1 1 10
=5.
所以乙同学选择选修课D 的概率为6=2. (2)取出 的2个 球 的 分 数 之 和 大 于4的 基 本 事 件 有:
(2)甲同学选择选修课的所有可能情况有AB,AC,AD, (R1,B4),(R1,B5),(R2,R3),(R2,B4),(R2,B5),(R3,
共3种,所以甲、乙2位同学选择选修课的所有可能情况有 B4),(R3,B5),(B4,B5),共8个,
(AB,AB),(AB,AC),(AB,AD),(AB,BC),(AB,BD), 8 4
故所求概率P2= = .
(AB,CD),(AC,AB),(AC,AC),(AC,AD),(AC,BC), 10 5
(AC,BD),(AC,CD),(AD,AB),(AD,AC),(AD,AD), 23.【解析】 (1)设其余的2名男科学家分别为乙、丙,
(AD,BC),(AD,BD),(AD,CD),共18种, 其余的2名女科学家分别为B、C,由题意可知,从3名男科
其中甲、乙2位同学至少有1位选择选修课D 的情况有 学家 和3名 女 科 学 家 中 选 出2名 科 学 家 结 果 为(甲,乙)、
(AB,AD),(AB,BD),(AB,CD),(AC,AD),(AC,BD), (甲,丙)、(甲,A)、(甲,B)、(甲,C)、(乙,丙)、(乙,A)、(乙,
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ), B)、(乙,C)、(丙,A)、(丙,B、(丙,C)、(A, )、( ,AC CD AD AB AD AC AD AD AD BC B A C
)、(B,
( , ),( , ), , C),共计AD BD AD CD 共12种 15
个基本事件,
、 其中含有男科学家甲的有 个基本事件,所以甲 乙2 5位同学至少有1位选择选修课D 的概率为
5 1
12 2 所以所求的概率是15=3.
18=3.
()此时事件“
【 】 () 2 2
名科学家为1名男科学家和1名女科学
21. 解析 1 第二个小组中选择课题A 的2名研究
家”所含有的基本事件是(甲,B)、(甲, )、(乙, )、(乙, )、
人员分别记为A1,A2,
C A B
选择课题B 的4名研究人员分别记
(乙,C)、(丙,A)、(丙,B)、(丙,C),共计8个基本事件,
为B1,B2,B3,B4.
8 4
从第二个小组的6名研究人员中随机抽取2名的所有 根据古典概型的概率计算公式,所求概率是14=7.
基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1, 易错题特训
B4),(A2,B1),(A2,B2)(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),
1 nπ
(B ,B ),(B ,B ),(B ,B ),(B ,B ),(B ,B ),共 1. 【解析】 因为集合{x|x= ,n=1,2,1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 5 6 3
,…,
15个,
} 110 中共有10个元素,而当其中抽到的2名研究人员均选择课题B 所包含的基本 n=2
和n=10时,cosx= ,故2
89
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1 情况.
满足条件cosx= 的基本事件的个数为2,故所取元素恰2 多解题特训
1 2 1
好满足方程cosx= 的概率为2 P=10=5. 【解析】 (1)依题意,总的基本事件有:(A1,A2,A3),
【易错提醒】 本题是一道集合与概率结合的题目,看准 (A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),
集合中的元素有哪些是解题的关键,也是本题易出错的地 (A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),共8种,
方,仔细分析题目,找到集合中的元素,及满足条件的元素个 事件 M 包 含 的 基 本 事 件 有:(A1,A2,A3),(A1,A2,
数,然后求其概率. A3),(A1,A2,A3),共3种,
2.【解析】 (1)设 连 续 取 两 次 的 事 件 总 数 为 M:(红, 由于每个基本事件发生的可能性都相等,故事件 M 发
红),(红,白1),(红,白2),(红,黑);(白1,红)(白1,白1) 生的概率为
(白1,白2),(白1,黑);(白2,红),(白2,白1),(白2,白2), 3
(白2,黑);(黑,红),(黑,白1),(黑,白2),(黑,黑),所以 M P(M)=8.
=16. (2)解法一 记“该同学这三科中至少有一科达到优秀
设事件A:连续取两次都是白球,(白1,白1)(白1,白2), 水平”的事件为 N,则事件 N 发生的概率大于85%.
(白2,白1),(白2,白2)共4个,所以, ( )
4 1
P A = = . 理由:事件 N 包含的基本事件有:(A1,A2,A3),(A1,16 4
() A ,A ),(A ,A ,A ),(A ,A ,A ),(A ,A ,A ),(A ,2 连续取三次的基本事件总数为 N:(红,红,红),(红, 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
红,白1),(红,红,白2),(红,红,黑),有4个;(红,白1,红), A2,A3),(A1,A2,A3),共7种.
(红,白1,白1),等等也是4个,所以,N=64个; 由于每个基本事件发生的可能性都相等,所以P(N)=
设事件B:连续取三次分数之和为4分;因为取一个红 7>85%.
球记2分,取一个白球记1分, 8取一个黑球记0分,则连续取
解法二 记“该同学这三科中至少有一科没有达到优秀
三次分数之和为4分的有如下基本事件:
( , , ),( , , ),( , , ),( , 水平”的事件为 N,则事件 N 发生的概率大于红 白1 白1 红 白1 白2 红 白2 白1 红 85%.
, ), 理由:事件 N 包含的基本事件有:( , , ),( ,白2 白2 A1 A2 A3 A1
(白1,红,白1),(白1,红,白2),(白2,红,白1),(白2, A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,A2,A3),(A1,
红,白2), A2,A3),(A1,A2,A3),共7种.
(白1,白1,红),(白1,白2,红),(白2,白1,红),(白2,
由于每个基本事件发生的可能性都相等,故P(N)
7
=
白2,红), 8
(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红), >85%.
, , ( ) 15 拓展题特训共15个基本事件 所以 P B =64. 3
【易错提醒】 此类古典概型问题的关键是分清随机抽 1. 【解析】 因为|A
→B|= k2+1≤4,所以 27 k ≤
样的特点,区分“有放回”还是“无放回”是避免计算错误的 15.又因 为k∈Z,所 以k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}.在
关键. △ABC 中,B→C=A→C-A→B=(2-k,3).若△ABC 为直角三
3.【解析】 利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中 角形,则A→C·A→B=0,或A→B·B→C=0,或A→C·B→C=0,解得
各取出1个球的所有可能结果: k=-2,或k=3,或k=-1,或k=8(舍去),满足条件的有3
3
个,所以所求概率为
7.
2.【解析】 (1)如图,甲所拼的正三棱锥P-ABC 的三
条侧棱分别记为a,b,c,底面正三角形 ABC 的三边分别记
可以看出,试验的所有可能结果数为16种. 为d,e,f.从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条,分别有
(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1-2, (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),
2-1,2-3,3-2,3-4,4-3,共6种. (b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15种
6 3 选法.
故所求概率P=16=8.
(2)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1-2,
2-1,2-4,3-3,4-2,共5种.
5
故所求概率为P=16.
【易错提醒】 本题为古典概型问题,不能或不会利用列
表与画树形图构建解题思路,或想当然的想一个列一个而漏
90
数学·概率与统计
因为l=1,s= 2,所 以 由 勾 股 定 理 可 知∠APB=
∠APC=∠BPC=90°,又易证正三棱锥的对棱互相垂直,所
以其中两条棱互相垂直的选法共有6种,分别为(a,b),(b,
c),(a,c),(a,d),(b,e),(c,f),
6 2
所以所求概率P1=15=5.
(2)依题意可知,当所选蚊帐杆满足l=1,s=2时不能
拼出正三棱锥,所以一共可能拼出五个正三棱锥,依次为:①
2 1
当l=1,s= 2时,X= ;②当5 l= 2
,s=1时,X= ;5 ③
当
x-y+1≥0
l= 2,
2 1
s=2时,X= ;④当l=2,s= 2时,X= ;⑤当5 5 l 4.B 【解析】 不等式组 {x+y-3≤0表示的平面区
=2,
1
s=1时,X=5.
y≥0
ìx-y+1≥0
从中任选两个,分别有(①,②),(①,③),(①,④),( ,
① 1 x+y-3≤0
⑤),(②,③),(②,④),(②, ),( , ),( , ),( ,
域的面积为 (
⑤ ③ ④ ③ ⑤ ④ 2× 1+3
)×2=4;不等式组 í 表示
y≥0
⑤),共10种选法. y<2x
其中所选的两个正三棱锥的相应的 X 值相同的情况共 1
的平面区域的面积为 ×3×2=3,因此所求的概率等 于
有4种,分别为(①,③),(②,④),(②,⑤),(④,⑤),所以所 2
4 2 3
求概率P = ,选B.2 10=5. 4
5.C 【解析】 由题意可知,当动点P 位于扇形ABD
第二节 几何概型 内时,动点P 到定点A 的距离|PA|<1,根据几何概型的概
【基础特训】 率计算公式可知,动点P 到定点A 的距离|PA|<1的概率
1 S扇形ABD π
1.B 【解析】 阴影部分面积S=∫(x-x2)dx= 为 = ,故选S C.0 正方形ABCD 4
1 6.B 【解析】 先求点P 到点D 的距离小于或等于1
(2 3 1
1
3 ) 1, 3 1 的概率,圆柱的体积= 所以所求概率为P= 故 V =π×1
2
圆柱 ×2=2π,以O 为球心,1为
3x
2-3x 0 3 1×1
=3. 1 4
半径且 在 圆 柱 内 部 的 半 球 的 体 积 3
B正确. V半球 =2×3π×1 =
-2≤x≤2 2
2.B 【解析】 不等式组 { 表示的平面区域 2 3π0≤y≤4 1π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为 ,3 2π=3
x-y+2=0 x=-1
为边长为4的正方形,面 积 为16;{ 1 2y=x2 {y=1 故点P 到点D 的距离大于1的概率为:1-3=3.
{x=2 x-y+2≥0或 .不等式组 { 表示的平面区域为不等式 【 】 {0≤x≤2,=4 解析 不等式组 表示坐标平面内的y y≥x2 7.D 0≤y≤2
{-2≤x≤2 , 1 一个正方形区域,设区域内点的坐标为( ,),则随机事件:组 表示的平面区域内的一部分 其面积为 × x y0≤y≤4 2 在区域D 内取点,此点到坐标原点的距离大于2表示的区
2 2 2 2
( 15 1 15 11+4)×3-∫ x2dx= - x3 = - [23- 域就是圆x +y =4的外部,即图中的阴影部分,故所求的-1 2 3 -1 2 3 4-π
9 概率为 4 .
( )3] 9 2 9-1 = .所以所求概率为2 P=16=
故 正确
32. B .
-1≤x≤1
3.D 【解析】 由题意可得,{ 的区域为边长-1≤y≤1
为2的正方形,面积为4,满足y≥x2-1的区域为图中阴影
1
, 10部分 面积为2+∫ (1-x2)dx= , 满足3 ∴ y≥x2-1的-1
10
3 5 8.D 【解 析】 依 题 意 可 知 ∠AOC∈ [15°,75°],
概率是
4=6. ∠BOC∈[15°,75°],故OC 活动区域为与OA,OB 构成的角
91
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均为15°的 扇 形 区 域,可 求 得 该 扇 形 圆 心 角 为(90°-30°) 2米,此时只能从5个节点中的中间3个节点任意选择1个,
=60°. 3
因此所得的两段绳长均不小于2米的概率为 .
( ) OC 活动区域的圆心角度数 60° 2
5
P A = ∠AOB 的度数 =90°=3. 5
15. 【解析】 选择区间 长 度 度 量,则 所 求 概 率 为
9.C 【解析】 设这三段分别为x,y,3-x-y,则总体 12
09 = .
样本 空 间 为 {0< <3, 其 面 积 为 .若 能 构 成 三 角 80-20 12y 2
0<3-x- 1y<3, 16. 【解析】 如图所示,点 D 在△ABC 的边3 AB
ì 3x+y> , 上,且满足2 AD=2DB
,那么当且仅当点P 在线段DB 上,满
x+ >3-x- ,
形,则事件满足空间为 { y y 1x+3-x- > ,即 3 足S >2S ,所以所求的概率为 .y y í < , 其 1 2y 32
y+3-x-y>x,
3,
x<2
9
9, 8 1面积为 由几何概型的概率公式得P= = .故选8 9 4 C.
2 1
10.B 【解析】 易 得 f(x)=3ax2+2bx+a,函 数 17. 4
【解析】 因为公共汽车在8:00到8:20内随
f(x)=ax3+bx2+ax 在 R上有两个相异极值点的充要条 机地到达某站,故所有基本事件对应的时间总长度LΩ=20
件是a=0且其导函数的判 别 式 大 于0,即a=0且4b2- 分钟,某人8:15到达该站,记“他能等到公共汽车”为事件
12a2>0.又a,b在区间[0,3]上取值,则a>0,b> 3a,满 5 1A,则LA=5分钟,故P(A)= = .
足点(a,b)的区域如图中阴影部分所示,其中正方形区域的 20 4
, 3 3
24-π
18. 【解析】 本题符合几何概型,由题意作图
面积为3 阴影部分的面积为 ,故所求的概率是2 6. 24
如下,则点P 应落在阴影部分,
1
SΔ=2×6× 5
2-32=12,
1
三个小扇形可合并成一个半圆,故其面积S= π,故点2 P
π
12-2 24-π
到三个顶点的距离都不小于1的概率P= 12 = 24 .
11.D 【解析】 由题意知,落在区域C 内的黄豆颗粒
1 3 3 2
数的平均值X=222×10+224×10+226×10+228×10+
1
230× =225.8,设爱心“ ”的面积为S,则由几何概型知,10 19.【解析】 (1)棱长为a 的正方体的体积V=a3.
1
S 1 32 225.8 451.6π 由正方体的性质可知VB1-A1BC1= a .,
π×12=1000 S= 1000 ≈1.418024=1.418.
6
所以点 M 落 在 三 棱 锥B1-A1BC1 内 的 概 率 为 P=
a
12.B 【解析】 阴影部分的面积为S1=∫sinxdx= VB1-A1BC1 10
V =6.
6
-cosx|a0=1-cosa,矩形面积S=a·a =6
,则根据几何 (2)因为两平行平面ABCD 及平面A1B1C1D1 的距离
S1 1-cosa 1 1 为a,
概型有P= = = ,解得S 6 4 cosa=-
,所以
2 a= 所以点 M 距离平面ABCD 及平面A1B1C1D1 的距离
2π a 1
3.
故选B. 都大于 的概率为3 3.
π
13. 【解析】 由 题 知 该 点 落 在 半 圆 内 的 概 率 为 (3)设点 M 到平面ABCD 的距离为h,由题意,
1
得 a28 3 h
S半圆 π 1 3, a= . < a 所以S h< .正方形 8 6 2
3 1
14. 【解析】 依题意得,所得的两段绳长均不小于 所以使 四 棱 锥 M -ABCD 的 体 积 小 于 a3 的 概 率5 6
92
数学·概率与统计
1
为 . ,
S
ABC ΔABC于是 豆 子 落 在 三 角 形 内 的 概 率 为2 圆的面积=
20.【解析】 设“弦长超过圆内接等边三角形的边长” 25(3+ 3) 3+ 3
= .
为事件A. 102π 4π
在以半径为 3的圆内任取一点 P 的结果有无限个,属 3.B 【解析】 如图,作DF⊥AB 于点F,在Rt△AFD
于几何概型. 中, 1易知AF=1,∠A=45°,梯形的面积S1= (2+2+1)2
如图所示,△BCD 是 圆 内 接 等 边 三 角 形,再 作△BCD
. 5的内切圆 ×1= ,
1
扇形ADE 的面积S = ×(2)2
π π
2 × = ,则丹2 2 4 4
5 π
S -1-S2 2 4 π
顶鹤生还的概率P= S = =1-
,选
5 10 B.1
2
则满足“弦长超过圆内接等边三角形边长”的点P 在等
4.D 【解析】 由P→B+P→C+2P→A=0,得P→B+P→C=
边三角形△BCD 的内切圆内.
-2P→A,设BC 边的中点为D,则P→D=-P→A,P 为AD 中
可以计算得:等边三角形△BCD 的边长为3,等边三角
, SΔPBC 1 13 点 所以 = ,所以黄豆落在△PBC 内的概率是 ,故
形△BCD 的内切圆的半径为 . SΔABC 2 22 选D.
所以事件A 构成的区域面积是等边三角形△BCD 的内 5.B 【解析】 画出符合题意的圆O 如图所示.因为线
2 3
切圆的面积π× 3÷ = π, 段AB 的长不小于 3r,则只有点B 落在圆中劣弧B︵1B2上才
è2 4
2π
全部结果构成的区域面积是π×(3)2=3π, 能播放音乐,又劣弧B
︵
1B2所对应的圆心角为 ,所以一次移3
3
4π
2π
1
所以P(A)= = , 3 13π 4 动能播放出音乐的概率为2π=3.
1
即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是
4.
【能力特训】
高频题特训
1.D 【解析】 一个棱长为3的正方体可以看成27个
单位正方体的组合体,由题意知,蜜蜂“安全飞行”的区域即
为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域,则所
1
求概率P= . 6.C 【解析】 如图,过点A 作AH⊥BC.垂足为 H 则27
在Rt△AHB 中,BH=AB·cos60°=2cos60°=1;过点 A
作AM ⊥AB,交 BC 于 点 M,则 在 Rt△ABM 中,BM =
AB
=4,故cos60° MC=BC-BM=2.
2.B 【解析】
BC AC
由正弦定理 = =2R(R 为圆sinA sinB
的半径) {BC=20sin60° BC=103 .AC=20sin45° {AC=102
1 1
那么SΔABC=2×10 3×10 2sin75°=2×10 3× 由图可知,要使△ABD 为钝角三角形,则点 D 只能在
6+ 2 1+2
102× =25(3+ 3), 线段BH 或线段MC 上选取,故所求事件的概率4 P= 6 =
93
小题狂刷 高考专题特训
1 【, 11.D 解析
】 设这两串彩灯在第一次闪亮时的时间
故选
2 C. 0【 】 4×4×sin150°-π×1
2 π
7.D 解析 P= 4×4×sin150° =1-
分别为x,y,则 08. {
2 ,
【 】 x y
2 |x-y|≤1
8.B 解析 因为a2+b2=1
表示焦点在x 轴上且
, , 16-9 7域 由几何概型的概率公式 得P= 16 =16.
3
离心率小于 的椭圆,所以a>b>0,a<2b,它对应的平面2 12.B 【解析】 设长方体的高为h,由几何概型的概率
区域如图中阴影部分所示: 计算公式可知,该点落在长方体的平面展开图内的概率P=
2+4h 1
(2h+2)(
,解得
2h+1)=4 h=3
,故长方体的体积为1×1
×3=3.
13.C 【
1
解析】 易 知 阴 影 部 分 的 面 积S=2×2+
1
∫ 1 11 xdx =1+ln1-ln =1+ln2,矩形的面积为2,故所2 2
1+ln2
求概率P= 2 .
14.B 【解析】 根据题意由定积分的几何意义可得如
x2 y2 3 1
则方程 2+ 2=1表示焦点在x 轴上且离心率小于 图所 示 阴 影 部 分 的 面 积 为 S =∫(a b 2 x - x2)dx =0
1 ( ) 1 1× 1+3 ×2- × ×1 (2 3 1
1
x 3 1S 2 2 2 2 - ,所以点 取自阴影部分的概率阴影
的椭圆的概率为P= = = 3 3
x ) = M
0 3
S矩形 2×4 1
15
.故选B. S 3 132 为S = = .OABC 1×1 3
9.D 【解析】
VA ABFE-D DCGH
根 据 几 何 概 型 P= 1 1 = 1VABB A -DCC D 15. 【1 1 1 1 解析】 当 时,设弦 所对的圆3 |AB|=23 AB
VABB1A1-DCC1D1-VEFB1-HGC1 VEFB=1- 1
-HGC1
V =1-
4+4-12 1
ABB1A1-DCC1D1 VABB1A1-DCC1D1 心角的大小为θ,则cosθ= ,则弦 所对2×2×2=-2 AB
1
B1E·V B1F 2πABB1A1-DCC1D1 2 B1E·B=1- =1- 1
F 2π-2×
S 2 2 .① 2π 3矩形ABB1A1 2a 4a 的圆心角的大小为 ,则|AB|≥23的概率3 P= 2π
2
因为B1E=B1F,EF=a,所以B1E=B1F=2a. 1=3.
1
a22 7 π
所以①式=1- = .故选D. 16. 【解析】 如图所示,当铁丝圈与地板砖边界相4a2 8 4
10.D 【解析】 分别设两个互相独立的信号为 X,Y, 切时,圆心构成图中虚线所示的小正方形,边长为100-2×
则所有事件集可表示为0≤x≤T,0≤y≤T.由题目得,如果 30=40(cm);当铁丝圈与正中心处的圆柱形积木底面圆内切
手机受到干扰的事件发生,必有|x-y|≤t.这时x,y 满足 时,圆 心 构 成 图 中 虚 线 所 示 的 小 圆 形,半 径 为30-10=
0≤x≤T,{ {0≤x≤T
, 20(cm).因为铁丝圈全部落在地板砖内部,所以铁丝圈的圆
0≤y≤T,约束条件 0≤y≤T,的可行域为如图 阴 影 部 心落点构成基本事件空间Ω:图中虚线所示的小正方形及其
|x-y|≤t. |x-y|≤t 内部,于是SΩ=402=1600(cm2),设铁丝圈恰能将圆柱形积
分,而所有事件的集合即为正方形的面积,阴影区域面积为
木套在其内部为事件 A,则构成事件 A 的区域为图中虚线
1
T2-2× (T-t)2=T2-(T-t)2,所以阴影区域面积和 所示的 小 圆 形 及 其 内 部,于 是S =202π=400π(cm2A ),故2
2 SA π
正方形面积的比值即为干扰发生的概率,即1- ( t1- ) , P(A)=S =4.T Ω
故选D.
94
数学·概率与统计
7
17. 【解析】 连接EF、EH、GF,
1
则四边形
24 EFCD 2×4×4 1
M 落在区域Ω2 的概率为P= 2 = .
, , ,HO GO HG
π×4 2π
是平行四边形 S四边形EFCD=12 由题意可得 OF=OE=EF 23.1+2ln2 【解析】 区域A 如图中阴影部分,区域
1 4
= ,设SΔHOG=S,则2 SΔEFO=4S
,SΔEOH =SΔOFG=2S,又 2
Ω 的面积为4,区域A 1的面积为4- 2- dx =4-
HG=DH+CG,SΔEHG=3S,
1 ( )
所以S ∫ΔEDH+SAFCG=3S,综上 2 x
2
可得S四边形EFCD=12S=12,解得S=1,所以阴影部分的面积 (2x-lnx) ,所以该点恰好在区域 中的概率1 =1+2ln2 A
2
为7S=7,
S阴影 7
所以所求概率为
S =菱形 24. SP A 1+2ln2=S =Ω 4
π
18. 【解析】 如图,如果M 点位于以8 AB
为直径的
半圆内部,则∠AMB>90°,否则,M 点位于半圆上及空白部
分,则 ∠AMB ≤90°,所 以 ∠AMB >90°的 概 率 P = 24.【解析】 (1)如图所示,在第一象限内,构造单位正
1 方体OABC-D'A'B'C',以O 为球心,以1为半径在第一象
×π×122 π
2 = .
1
限内的 球,即为事件
2 8 8 A.
17
19. 【解析】 设随机取出的两个数分别为 ,,则25 x y 1 4× ×π×13
(2)
8 3 π
P(A)= = .
06, 3依题意有x+y< 由几何概型知,所 1 65
易错题特训
12
1
- 1 12× (1-5 )× (1-5 ) 17 π π
求概率为P= 2 = . 1.B 【解析】 由题意知∠BAD= ,6 ∠BAC= +1 25 4
2 【 】 [π 3π] , π 5π, π 5π 220. 解析 当切线的倾斜角α∈ , 时 切 = 所以6 12 BM<1的概率为 ÷ = .3 4 4 6 12 5
线斜率的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞),抛物线x2= 【易错提醒】 本题易出现的问题是混淆几何概型中对
1 事件的度量方式,误认为该题中的几何概型是用线段的长度
4y 在x=x0 处的切线斜率是 x0,故只要x0∈(-∞,-2]2 来度量而造成错解.
∪[2,+∞)即可,如果在区间[-6,6]内取值,则只能取区间 2.【解析】 由于在∠ACB 内作射线CM,等可能分布
[-6,-2]∪[2,6]内的值,这个区间的长度是8,区间[-6, 的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示),因此基本事
8 2
6]的长度是12,故所求的概率是 = ∠ACC'12 3. 件的 区 域 应 是∠ACB,所 以 P(AM 24n x2 y2
21. 【解析】 由题意,满足条件 + ≤1的点 πm 9 4 π-4
2 3
(, nxy)的概率是 ,而m -3≤x≤3
,-2≤y≤2,所表示的矩 π =4.
S n 24n 2
形面积为24,则有 = ,所以24 m S= m .
1
22. 【解析】 Ω1 表示圆心在原点,半径为2π 4
的圆
面,Ω2 表示一个直角边为4的等 腰 三 角 形,顶 点 是 坐 标 原
点,若在区域Ω1 内任取一点 M(x,y),则由几何概型可知点
95
小题狂刷 高考专题特训
3.【解析】 设A=“3段构成三角形”,x、y 分别表示其 作出不等式组对应的平面区域如图.
中两段的长度,则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结
果可构成集合Ω={(x,y)|01, 1因为点P 到点C 的距离大于 所以4 |CP|>
,则对
4
要使3段构成三角形,当且仅当任 意 两 段 之 和 大 于 第
,
ì 4,
3段
, {a-2b=0,
a=5
应 的 部 分 为 阴 影 部 分 由 解 得 í 即
l ,
即x 2a+b=2 2+y>l-x-y x+y> , 2
,
b=5
l 2 2
x+l-x-y>y y< , 4 22 E ( ,5 5 ), 4|OE|= (4 ) + (2 ) = ,所以正方形5 5 5
l
y+l-x-y>x x< 4 4 4 42. OEFG 的面积为 × = ,则阴影部分的面积为5 5 5 5
l l 2
故所求结果构成集合A={(x, 4 πy)|x+y> ,y< , -π× (1 ) = - ,所以根据几何概型的概率公式可知2 2 4 5 16
l} 4 πx<2 . 5-16 5π所求的概率为
4 =1-1 l 2 64
.
A ×, 的面积 2
(2 ) 5
由图可知 所求概率为P(A)=Ω 的面积= l2 综合特训(二)
2
l2 1
= 【母题特训】4l2=4. 1.C 【解析】 若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到
【易错提醒】 对于几何概型问题一定要结合题意,罗列 的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两
出所有不等关系,找出试验对应的总的平面区域,或利用题目 个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,
中对应图形确定总区域,然后再确定事件包含区域,进而利用 则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒
几何概型公式求解.严格步骤,考虑周到可避免此类错误. 中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;A:由于抽
到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定,
拓展题特训 故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系,而抽到两个红
1.B 【解析】 画出可行域如图所示,正方形内部面积 球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的,故选C.
π 1
1 π 8 π 2.B 【解析】 如图所示,事件“x+y≤ ”的概率p1
为 ,圆内部面积为 ,由几何概型的概率公式得 = 22 8 1 4. 1 1 1
2 S 2×2×△AOG 2 1 1 1=S = = <
,事件“xy≤ ”的概
四边形OBDF 1×1 8 2 2
1
S ×1+S曲边梯形ABCE四边形OAEF+S曲边梯形ABCE 2 1
率p2= S = >
,
四边形OBDF 1×1 2
1
所以p1< 5
2.1-64π
【解析】 因 为 A(2,1),B(1,-2),
C (3, 1- ),P(a,b),O→P·O→A=2a+b,且 →· →4 5 OP OB=a-
2b.因为0≤O→P·O→A≤2且0≤O→P·O→B≤2,0≤2a+b≤2
且0≤a-2b≤2.
96
数学·概率与统计
3.B 【解析】 设小明到达时间为y,当y 在7:50至 ≤p≤5,
2
解 得 <
: , p
≤1或2800 或8:20至8:30时,小明等车时间不超过10分钟,故 3
20 1
P= = .选B. ( 21- )+(3 小题狂刷 高考专题特训
第一单元 统计与统计案例
第一节 随机抽样
则应在专科生,本科生与研究生这三类学生中分别抽取
( )
A.65人,150人,65人 B.30人,150人,100人
1.(2022·陕西西安模拟)用简单随机抽样的方 C.93人,94人,93人 D.80人,120人,80人
法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5 7. 下列抽样方法是简单随机抽样的是 ( )
的样本,则个体m 被抽到的概率为 ( ) A. 从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
1 1 B. 从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
A.100 B.20 C. 从实数集中逐个抽取10个实数做奇偶性分析
1 1
C. D. D. 运动员从8个跑道中随机选取一个跑道99 50 8. 用随机数法进行抽样有以下几个步骤:
2.(2022·湖南省长沙市雅礼中学月考)雅礼中 ①将总体的个体编号 ②获取样本号码 ③选定
学教务处采用系统抽样方法,从学校高三年级全体 开始的数字
1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查.现将 这些步骤的先后顺序应为 ( )
1000名学生从1到1000进行编号,求得间隔数k= A. ①②③ B. ①③②
20,即分50组每组20人.在第一组中随机抽取一个 C. ③②① D. ③①②
号,如果抽到的是17号,则第8组中应取的号码是 9. 采用不放回抽取样本的方法,从一个含有5个
( ) 个体的总体中抽取一个容量为2的样本,可能得到的
A.177 B.157 样本共有 ( )
C.417 D.367 A.10种 B.7种
3. 某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30 C.9种 D.20种
名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名 10. 采用系统抽样的方法,从2005个编号中抽取
学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取 20个号码入样,则抽样的间隔为 ( )
了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A.99 B.99.5
( ) C.100 D.100.5
A.6 B.8 11.(2022·江苏扬州中学期末)假设要考察某公
C.10 D.12 司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标,现从
4. 为了了解1200名同学对学校某项教改试验的 800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表法抽
意见,打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系 取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编
统抽样,则分段的间隔k为 ( ) 号,如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读,则
A.40 B.20 得到的第4个样本个体的编号是 (下面摘取
C.30 D.15 了随机数表第7行至第9行).
5. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、 8442175331 5724550688 7704744767
400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样 2176335025 8392120676 6301637859
的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查, 1695566719 9810507175 1286735807
则应在丙专业抽取的学生人数为 ( ) 4439523879 3321123429 7864560782
A.20 B.16 5242074438 1551001342 9966027954
C.8 D.32 12. 某林场有树苗3000棵,其中松树苗400棵,为
6.(2022·长沙名校模考)某全日制大学共有学 调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容
生5600人,其中专科生有1300人,本科生有3000人, 量为150的样本,则样本中松树苗的棵数为 .
研究生有1300人,现采用分层抽样的方法调查学生利 13. 一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,
用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为280人, 2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号分别为
4
数学·概率与统计
1,2,3,…,10,现抽取一个容量为10的样本,规定如果 18. 某校有在校高中生共1600人,其中高一年级
在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k 组中抽取 学生520人,高二年级学生500人,高三年级学生580
的号码个位数字与m+k 的个位数字相同,若 m=6, 人.如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情
则在第7组中抽取的号码是 . 况,考虑到不同年级学生的消费情况有明显差别,而同
14. 某工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,产 一年级内消费情况差异较小,问应采用怎样的抽样方
品数量之比依次为2∶3∶5,现用分层抽样方法抽出 法 高三年级学生中应抽查多少人
一个容量为n的样本,样本中A 种型号产品有16件,
那么此样本的容量n= .
15.(2022·唐山统考)一支游泳队有男运动员32
人,女运动员24人,若用分层抽样的方法从该队的全
体运动员中抽取一个容量为14的样本,则抽取男运动
员的人数为 .
16. 有一批编号为10,11,…,99,100,…,600的元
件,现从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验,请
用随机数法设计抽样方案.
高频题特训
1.(2022·山东枣庄一模)某校高三(1)班共有48
人,学号依次为1,2,3,…,48,现用系统抽样的方法抽
取一个容量为6的样本.已知学号为3,11,19,35,43的
17. 第九届全球华语榜中榜在上海举行颁奖典 同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为 ( )
礼,邀请20名港台、内地艺人演出,其中从30名内地 A.27 B.26
艺人中随机选出10人,从18名香港艺人中随机挑选6 C.25 D.24
人,从10名台湾艺人中随机挑选4人,试用抽签法确 2. 为保证某个重大事件的顺利进行,将从四个部
定选中的艺人,并确定他们的表演顺序. 队中选一个担任安全保卫工作,为了解四个部队的“安
保”能力,则下列抽取人数的方法中最好的是 ( )
A. 抽签法
B. 随机数表法
C. 系统抽样法
D. 分层抽样法
3.(2022·石家庄检测)某公司在甲、乙、丙、丁四
个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公
司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中
抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地
区有10个特大型销售点,要从中抽取7个销售点调查
其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②,完成
①②这两项调查宜采用的抽样方法分别为 ( )
A. 分层抽样法、系统抽样法
B. 分层抽样法、简单随机抽样法
5
小题狂刷 高考专题特训
C. 系统抽样法、分层抽样法 C.12 D.13
D. 简单随机抽样法、分层抽样法 9.(2022·重庆巴蜀中学模拟)一个单位有职工
4. 从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号 800人,其中具有高级职称的有160人,具有中级职称
的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部 的有320人,具有初级职称的有200人,其余人员120
分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5 人,为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,
枚导弹的编号可能是 ( ) 从中抽取容量为40的样本,则从上述各层中依次抽取
A.5,10,15,20,25 的人数分别是 ( )
B.3,13,23,33,43 A.12,24,15,9
C.1,2,3,4,5 B.9,12,12,7
D.2,4,6,16,32 C.8,15,12,5
5.(2022·长春二中期末)某实验中学共有职工 D.8,16,10,6
150人,其中高级职称的职工15人,中级职称的职工 10.(2022·山东莱芜模拟)高三(1)班有学生52
45人,普通职员90人,现采用分层抽样的方法抽取容 人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一
量为30的样本,则抽取的高级职称、中级职称、普通职 个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本
员的人数分别为 ( ) 中,则样本中还有一个学生的编号是 ( )
A.5,10,15 B.3,9,18 A.8 B.13
C.3,10,17 D.5,9,16 C.15 D.18
6. 采用系统抽样法从个体数为83的总体中抽取 11.(2022·湖北襄阳模拟)将参加夏令营的600
一个容量为10的样本,那么每个个体入样的可能性为 名学生编号为001,002,…,600,采用系统抽样方法抽
( ) 取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这
1 10 600名学生分住在三个营区
,从001到300住在第1营
A. 8 B.83 区,从301到495住在第Ⅱ营区,从496到600住在第
1 1 Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为 ( )
C.80 D.10 A.26,16,8 B.25,17,8
7. 在100个零件中,有一级品20个,二级品30 C.25,16,9 D.24,17,9
个,三级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随 12.(2022·云南复习检测)某公司员工对户外运
机抽样法,将零件编号为00,01,02,…,99,抽出20个; 动分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持
②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个, “一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人,按分层抽
然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从 样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运
一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取 动,如果选出的人中有6人对户外运动持“喜欢”态度,
10个.则 ( ) 有1人对户外运动持“不喜欢”态度,有3人持“一般”
A.不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个 态度,那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”
1 态度的有 ( )
被抽到的概率都是
5 A.36人 B.30人
B. ①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽 C.24人 D.18人
1 13.(2022·山东日照模拟)采用系统抽样方法从
到的概率都是 ,③并非如此5 1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编
C. ①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽 号1,2,…,1000,适当分组后在第一组采用简单随机
1 抽样的方法抽到的号码为, 8
,抽到的50人中,编号落入
到的概率都是 ②并非如此5 区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]
D. 采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被 的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做
抽到的概率各不相同 问卷C 的人数为 ( )
8.(2022·四川石室中学诊断)某工厂甲、乙、丙 A.12 B.13
三个车间生产同一种产品,数量分别为120件、80件、 C.14 D.15
60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分 14. 某单位有老年人28人,中年人54人,青年人
层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其 81人.为了调查他们的身体状况,从他们中抽取一个容
中从丙车间的产品中抽取了3件,则n= ( ) 量为36的样本,最合适的抽取样本的方法是 ( )
A.9 B.10 A. 简单随机抽样
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数学·概率与统计
B. 系统抽样 对 双 方 都 厌 抱 怨 其 中 一
C. 分层抽样 以后不再支持 无 所 谓,继恶,但以后继 方,以后不再
D. 先从老年人中剔除1人,再用分层抽样 这两个球员 续支持他们续支持 支持他
15. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问
10800 12400 15600 11200
卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后
在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 为了了解球迷具体的想法和意见,此网站打算从
抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 中选出500份
,为使样本更具代表性,对持“无所谓,继
编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问 续支持他们
”态度的帖子应该抽取 份.
, , ( ) 21. 某校高三(18)班共有56人,学生编号依次为卷C 则抽到的人中 做问卷B 的人数为
1,2,3,…,56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为A.7 B.9 4
的样本,已知编号为6,34,48的同学在样本中,那么还C.10 D.15
( · ) 有一位同学的编号应为16. 2022 上海徐汇区模拟 某中学采用系统抽 .
22. 从某小学随机抽取 名同学,将他们的身样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50 100
高(单位:厘米)数据制成频率分布直方图(如图),由图
名学生进行体能测试.现将800名学生从1到800进行
中的 数 据 可 知a= ;若 要 从 身 高 在[120,
800
编号,求得间隔数k= =16.若从1~16中随机抽取50 130),[130,140),[140,150]的三组中,用分层抽样的
, [ ,
1个数的结果是7,则在编号为33~48的这16名学生 方法选取18人参加一项活动 则应从身高在 140
中抽取的一名学生其编号应该是 150]内的学生中抽取的人数为 . .
17.(2022·上海华 师 二 附 中 期 末)甲校有3600
名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生.为统
计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取
一个样本容量为90人的样本,则应在甲校抽取的学生
数是 .
18.(2022·湖北武汉武昌区调考)已知某地区中
小学生人数和近视情况如下表所示:
年级 人数 近视率
小学 3500 10% 23. 某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000
户,其中农民1800户,工人100户.现从中抽取一个容
初中 4500 30%
量为40的样本来调查家庭收入情况,以下给出了几种
高中 2000 50%
常见的抽样方法:①简单随机抽样;②系统抽样;③分
为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层 层抽样.则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法
抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量 有 .
为 ;抽取的高中生中,近视人数为 . 24.(2022·潍坊联考)交通指数是交通拥堵指数
19.(2022·佛山模拟)某学校三个社团的人员分 的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通
布如下表(每名同学只参加一个社团) 指数为T,其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,
合唱社 粤曲社 书法社 2)畅通;T∈[2,4)基本畅通;T∈[4,6)轻度拥堵;T∈
[6,8)中度拥堵;T∈[8,10]严重拥堵,晚高峰时段(T
高一 45 30 a
≥2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路
高二 15 10 20 段,依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示.
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查, (1)请补全直方图,并求出轻度拥堵、中度拥堵、严
按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人,结果合唱 重拥堵路段各有多少个;
社被抽出12人,则a= . (2)用分层抽样的方法从交通指数在[4,6),[6,
20.2022年6月法国欧洲杯期间,一个网站调查 8),[8,10]的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三
了球迷对某场比赛中两个球员的打架行为所持的态 个级别路段的个数;
度.在登录网站的所有球迷发帖中,收回有效帖子共 (3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个,求至少1
50000份,其中持各种态度的帖数统计见下表: 个路段为轻度拥堵的概率.
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小题狂刷 高考专题特训
易错题特训
1. 某班级有52名学生,要从中抽取10名学生调
查学习情况,若采用系统抽样方法,则此班内每个学生
被抽到的机会是 .
2. 某单位支援西部开发,现从报名的20名志愿
者中选取5人组成志愿小组到新疆工作,请用抽签法
设计抽样方案.
25. 为了对某课题进行讨论研究,用分层抽样的
方法从A,B,C 三所高校的相关人员中,抽取若干人
组成研究小组,有关数据见下表(单位:人). 多解题特训
高校 相关人数 抽取人数
在120个零件中,一级品24个,二级品36个,三
A x 1 级品60个,从中抽取容量为20的样本,分别用三种方
B 36 y 法计算总体中每个个体被抽到的可能性.
C 54 3
(1)求x,y;
(2)若从高校B 的相关人员中选2人做专题发言,
应采用什么抽样法,请写出合理的抽样过程.
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