数学·解析几何
参考答案
第一单元 直线与圆的方程 ì
2 2
-a+ =1x y b
+ =1,由 已 知 可 得 í ,解 得a b 1
第一节 直线的斜率与直线方程 |a|· 2 |b|=1
【基础特训】 {a=-1或{a=2,所以2x+y+2=0或x+2y-2=0b=-2 b=1
1.C 【解析】 由题意,得tanα=- 3,所以α= 即为所求.
2π,故选C. 10.x+2y-4=0 【解析】 由题意得,射出的光3
1
2.B 【解析】 由BC 边所在直线的斜率是0,知 线方程为y-3= (x-2),即x-2y+4=0,与2 y
轴
直线BC 与x 轴平行,所以直线 AC,AB 的倾斜角互 的交点为(0,2),又(2,3)关于y 轴对称的点为(-2,
为补角,根据直线斜率的定义,知直线AC,AB 的斜率 3),所以反射光线所在直线过点(0,2),(-2,3),故所
之和为0.故选B. 3-2
求的直线方程为
【 】 , y-2=
,即
3.B 解析 由直线的斜率为1 得 -2
x x+2y-4=0.
ì2m
2+m-1≠0 1
4 11. 【解析】2
因 为 A,B,C 三 点 共 线,所 以
í m2-2m-3 ,解得m= ,选3 B. - 2m2+m-1=1 2-0 b-0 1 1 1kAB=kBC,即 ,化简得
【 】 2-a
=0-a a+b=2.
4.C 解析 由题知满足题意的直线l在线段
12.解:①当点P 在x 轴上时,设点P(a,0).
AB 两侧各有1条,又因为|AB|= 5,所以还有1条为 0-2 -2
过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线,共3条. 因为A(1,2),所以kPA=a-1=a-1.
【 】 π5.C 解析 直线l -21 的倾斜角为 ,依题意4 l2 又直线PA 的倾斜角为60°,所以 = 3,解得a-1
(π π,π) (π,π π的倾斜角的取值范围为 - ∪ + ), 234 12 4 4 4 12 a=1- ,3
即(π,π) (π∪ ,
π),从而l2 的斜率a 的取值范围为 ( 236 4 4 3 所以点P 的坐标为 1- ,0)3 .
3 ②当点P 在 轴上时,设点P(0,b).( ,1)∪(1, )
y
3 3 . 同理可得b=2- 3,
6.D 【解析】 圆x2+y2+2y=0的圆心为(0, 所以点P 的坐标为(0,2- 3).
-1),半径为r=1,因为直线l1∥l2,所以可设直线l1 23
的 方 程 为 3x + 4y + c = 0,由 题 意 得 综上,点P 的坐标为(1- ,0)或(0,3 2- 3
).
|3×0+4×(-1)+c| , 13.解:(1)由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2)=1 解得c=-1或c=9. .
32+42 由直线的点斜式方程,可知直线l恒过定点(-2,
7.D 【解析】 由题意,得tanα=-1,即k=tanα 1).
, a
()设函数 (
, 2 f x
)=kx+2k+1
=-1 又k=- 所以b a-b=0. 若-3
8.D 【解析】 因为直线l与直线y=1,直线x {f(-3)≥0, {-3k+2k+1≥0则 即 , 1解得=7分别交于P,Q 两点,PQ 中点为M(1,-1),所以 - ≤f(3)≥0 3k+2k+1≥0 5
P(-5,1),Q(
1
7,-3),故直线l的斜率是k=- . k≤1.3 1
【 】 所以实数 的取值范围是[ ,]9.2x+y+2=0或x+2y-2=0 解析 设 k -5 1 .
a,b为直线l在两坐标轴上的截距,则所求直线方程为 14.解:设直线l与直线l1 和l2 的交点分别为A,
63
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B. ( 1点 1,1),(0, ),这两点关于直线x=1对称的点分别
因为AB 的中点是坐标原点, 2
所以A,B 两点的横坐标互为相反数, (,),(,1为 11 2 ),可得过这两点的直线方程为2 y-1=
可设A(-t,4t-6), (
3t-6
Bt, )(5 t≠0
). 1
- (x-1),即x+2y-3=0.选D.
, , , 3t-6 4t-6
2
因为A O B 三点共线 所以 = ,所以5t -t 8.B 【解析】 当k≠1时,直线方程可化为y+1
36 k+1
t= . = (x-1),所以直线l必过定点(k-1 1
,-1);当k=1
23
3t-6 1 时,直线方程化为x=1,l也过点(1,-1).综上,直线l
所以直线l的斜率为 5t =-
,
6 过定点(1,-1),选B.
所以直线l的方程为x+6y=0. x9.3 【解析】 由题意得,AB 所在直线方程为
【能力特训】 3
高频题特训 y , x ·y 1(x y+ =1 所以 ≤ + )2
1,所以
【 4 3 4 4 3 4
=4 xy≤
1.B 解析】 因为平面直角坐标系中坐标原点
x y
O 关于直线l:2xtanα+y-1=0的对称点为A(1,1), 3,当且仅当 = 时取等号3 4 .
1 1
所以线段OA 的中点B( , )在直线2 2 l
上,所以tanα 1710.1或 【解析】 由条件易知,直线 的斜率7 l
1
+ -1=0,
1 2tanα
解得
2 tanα=
,所以
2 tan2α= 2α= 必存在,1-tan 设为k,因为直线被圆截得的弦长为 2,所以
1 (,) |2k-3|
2× 圆心 11 到直线y+2=k
(x+1)的距离为
2 4 k
2+1
(1
2=
) 3
.
2
1- 22 = 1-( )
2, 17= 解得k=1或k= ,即所求直线2 2 7
2.D 【解析】 由已知条件可得32+12-3a+2 17
=0,解得a=4,此时圆x2+y2-4x+2=0的圆心为 l的斜率为1或7.
C(,), ,
1
20 半径为 2 则直线l的方程为y-1=- (x 11.2x-y=0
【解析】 设所求直线方程为y=
kAC kx,即kx-y=0.由于直线kx-y=0与圆相交所得的
-3)=-x+3,即x+y-4=0,故应选D. 弦长等于2,圆的半径是1,因此可知圆心(1,2)在直线
3.C 【解析】 要使直线平分圆,只要直线经过 kx-y=0上,于是有k-2=0,即k=2,因此所求直线
圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A,B,C,D四个选项 方程是2x-y=0.
中,只有C选项中的直线经过圆心,故选C. 12.①⑤ 【解析】 记直线m 的倾斜角是θ.注意
4.A 【解析】 与直线x-2y-2=0平行的直线 2
方程可设为x-2y+c=0,将点(1,0)代入x-2y+c 到直线l1,l2 间的距离等于 = 2.又直线 m 被直线2
=0,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0. l1,l2 所截得的线段的长是22,因此直线m 与直线l1
5.A 【解析】 直线2x-3y+4=0的斜率是
2 1
2 的夹角的正弦值等于 = ,直线 m 与直线, l 的夹由直线l与直线2x-3y+4=0垂直,可知直线 2
1
3 l 22
3 角是30°,又直线l1 的倾斜角是45°.因此θ=15°或θ=
的斜率是- ,又因直线l过点(-1,2),由点斜式可2 75°,故正确答案的序号是①⑤.
3 13.证明:因为A,B,C 是三个不同的点,所以x1,
得直线l的方程为y-2=- (2 x+1
),即3x+2y-1 x2,x3 互不相等.
=0.
因为A,B,C 三点共线,所以kAB=kAC,
y -y
即 1 2
6.A 【解析】 将直线y=3x 绕原点逆时针旋 x1-x2
1 y1-y3
转90°得到直线y=- ,再向右平移 个单位,所得 = ,3x 1 x1-x3
1 3( ), 1 1, x1-x
3 3 3
2 x1-x3
到的直线为y=-3 x-1
即y=- x+ 选A. 所以 ,3 3 x1-x
=
2 x1-x3
7.D 【解析】 在直线x-2y+1=0上任取两 整理,得x2 2 2 21+x1x2+x2=x1+x1x3+x3,
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数学·解析几何
即(x2-x3)(x1+x2+x3)=0. 所以Δ=4S2-16S≥0,解得S≥4或S≤0(舍
因为x2≠x3,所以x1+x2+x3=0. 去).
14.解:设两个不同的交点为 P(x1,y1),Q(x2, 所以S 的最小值为4,
y2)(x1≠x2),则直线l的斜率为 将S=4代入①式,得a
2-8a+16=0,解得a=4,
y2-y1 (x2 2k 2
-x2)-(x1-x1) a
PQ= 所以b= =2.x2-x
= x -x a-21 2 1
(x -x )(x +x -1) 所以直线l的方程为x+2y-4=0.2 1 2 1
= x -x =x1+x2-1.2 1 :() 317.解 1 因为3x+8y-1=0可化为y=- x
因为-1≤x 81≤1,所以-1≤x2≤1,
所以-2故直线l的斜率的取值范围是(-3,1). 3
15.解:(1)设点R 的坐标为(x,y). 所以直线3x+8y-1=0的斜率为- ,8
, t-0 2+t-t 1由题意 知kOP= ,1-0=tk
3 3
PQ=1-2t-1=-t. 则所求直线的斜率k=2×(- )8 =-4.
因为OP∥QR,PQ∥OR, 又直线经过点(-1,-3),
y-2-t 1 y-0 {x=-2t所以t= ,- = ,解得 , 3因此所求直线的方程为 (x-1+2t t x-0 y+3=-4 x+1),即y=2
即点R 的坐标为(-2t,2). 3x+4y+15=0.
(2)S矩形OPQR=|OP|·|OR|=2(1+t2). (2)设直线与x 轴的交点为(a,0),
1 因为点 M(0,4)在y 轴上,所以由题 意 有4+
①当1-2t≥0,即0与y 轴
a2+42+|a|=12,
交于点 M,直线RQ 的方程为y-2=t(x+2t),则点 解得a=±3,
M 的坐标为(0,2+2t2), x y x y
所以所求直线的方程为
3+4=1
或
-3+4=1
,
1
所以S△OHR=2|OM|
·|x 2R|=2t(1+t), 即4x+3y-12=0或4x-3y+12=0.
所以S(t)=S -S 2矩形OPQR △OMR=2(1-t)(1+t); 易错题特训
1 1.C 【解析】 由抛物线 2当 =x -2kx+1
与x 轴
② 1-2t<0,即t> 时,设线段2 QP
与 yy 轴交
没有交点,得(-2k)2-4<0,解得-1, 1于点N 直线QP 的方程为y-t=- (x-1),则点 线l的倾斜角的取值范围是
[0°,45°)∪(135°,180°).故
t 选C.
1
N 的坐标是(0,t+ ), 【易错提醒】 直线的倾斜角和斜率都是用来刻画t
直线l相对于x 轴倾斜程度的基本量,对于直线的倾
2
S(t)
1 1+t
=S△OPN= |ON|·xP= . 斜角和斜率,首先要明确直线倾斜角的取值范围是2 2t
[0°,180°),其次要熟记斜率公式,需要注意的是平面内
ì 1
2
(1-t)(1+t2),0综上,得S(t)= í .
1+t2, 1 2.x+ 3=0
或x- 3y+ 3=0 【解析】 在
2t t>2 3x-y+3=0中,令y=0,得x=- 3,即 M(- 3,
x y
16.解:根据题意,设直线l的方程为 + =1, 0).因为直线l的斜率为 3,所以其倾斜角为60°.若直a b
线 绕点 沿逆时针方向旋转 ,则得到的直线 的
由题意, , l M 30° l'知a>2b>1,
倾斜角为60°+30°=90°,此时直线l'的斜率不存在,故
2 1
因为l过点 M(2,1),所以 ,解得a+b=1 b= 其方程为x=- 3,即x+ 3=0;若直线l绕点M 沿
a 顺时针方向旋转30°,则得到的直线l'的倾斜角为60°,
a-2
-30°=30°,
3
此时直线l'的斜率为tan30°= ,故其方
1 1 3
所以△AOB 的面积S= ab= a·
a ,
2 2 a-2 3
, 2 程为y= (x+ 3),即x- 3y+ 3=0.综上所述,化简 得a -2Sa+4S=0. ① 3
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所求直线l'的方程为x+ 3=0或x- 3y+ 3=0. 第二节 两条直线的位置关系、点到直线的距离
【易错提醒】 本题在解答过程中,直线的旋转方
向不定,所以要分情况讨论. 【基础特训】
技巧题特训 1.A 【解析】 当a=0时,两直线重合,当a≠0
1.D 【解析】 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 作 出 点 , 1 a-1 1时 由- = ,得
( 2a a
a=2.
A 1,2),B(-3,0),C(3,0),过点A,B 作直线AB,过
, , , 2.A
【解析】 若m=-1,则两直线的斜率积为
点A C 作直线AC 如图所示 则直线AB 在x 轴上的
1
截距为-3,直线AC 在x 轴上的截距为3.因为kAB= - ×3=-1,所以两直线垂直,充分性满足3 .
若两直
2-0 1, 2-0( )= kAC= =-1,所以直线l的斜率的
线垂直,则有3m+m(2m-1)=0,解得m=0,或 m=
1- -3 2 1-3
-1,必要性不满足,综上可知选A.
1
取值范围为(-∞,-1)∪( ,2 +∞
).故选D. 3.A 【解析】 因为直线l1:x+2y-1=0与直
m -1
线l2:mx-y=0平 行,所 以 = ,解 得1 2 ≠0 m=
1
- ,故选2 A.
4.A 【解析】 一方面,若a=-1,则l1:x-3y
-2=0,l2:-3x-y-1=0,显然两条直线垂直;另一
2.解:将直线ax-2y-2a+4=0化为y-2= 方面,若l1⊥l2,则(a-2)+a(a-2)=0,所以a=-1
a 或a=2,因此,“a=-1”是“( ), (,), ( l1⊥l2
”的充分不必要条
x-2 得直线l1 恒过定点 22 将直线2 2x- 1 件,故选A.
-a2)y-2-2a2=0化为2x-y-2+a2(y-2)=0, 5.C 【解析】 由题意,知α1=α2+90°或α2=α1
{2x-y-2=0 {x=2, , +90°,所以|α -α|=90°.由 得 得直线l2 恒过定点 2 1y-2=0 y=2 6.D 【解析】 当 m=0时,直线AB 与直线CD
(2,2). 的斜率都不存在,且不重合,此时直线 AB 与直线CD
m+1 2 m+1 2
平行;当m≠0时,kAB= ,m kCD=
,由
m m =
,
m
解得m=1.综上,m 的值为0或1.
7.A 【解析】 因为y'=2ax-a,所以切线的斜
率k=-a.由-a×(-2)=-1,
1
得a=-2.
如图,在平面直角坐标系中取点 B(2,2),连接 8.A 【解析】 圆心G(-1,0),直线的斜率为1,
OB,过点B 作出直线l ,l 的大致图象,l 与 轴交 所以直线方程是y=x+1,即y x-y+1=0.1 2 1
, 【 】 ,于点Cl2 与x 轴交于点A. 9.D
解析 当∠ACB 最小时 直线l⊥CM.因
则在△AOB 中,OA 边上的高为2,在△BOC 中 4-2为kCM= =1,所以3-1 kl=-1.
直线l的方程为y-2
OC 边上的高为2,点A 的坐标为(1+a2,0),点C 的坐
=-(x-1),即x+y-3=0.
标为(0,2-a).
10.C 【解析】 设直线l的方程为y-2=k(x-
1
所以S四边形OABC=S△OAB+S△OBC= ×2×(1+a2) 2),圆(x-1)2+y2=5的 圆 心 坐 标 为(1,2 0
).由d=
|2-k| 1
1 1 11 = 5,得k=- .因为直线l与直线ax-
+2×2×
(2-a)=a2-a+3=(a- )2+ , y22 4 k +1
2
1 +1=0垂直,所以a=2.
因为0的 11.0或1 【解析】 直线l1:ax-y+2a=0,l2:
11 (2a-1)x+ay+a=0互相垂直,则a(2a-1)+(-1)
面积的最小值为 ,
4 a=0,解得a=0,或a=1.
故直线l1,l2 与两坐标轴围成的四边形面积的最 12.-3或2 【解析】 直线l1:ax+2y=0和l2:
11
小值为 a 2
4. 3x+
(a+1)y+1=0平行,则 ,解得 ,3=a+1 a=-3
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数学·解析几何
或a=2. 1
△OAB 的面积S 22=2ab=5b-b .
13.解:由斜率公式,
t-0
得kOP= ,1-0=t 因为直线AB 平分四边形OAMB,
2-(2+t) -t , 所 以k = S1=S
2
2,可 得 2b -13b+20=0,解 得
QR -2t-(1-2t)=-1=t 5
2-0 1 b=4 b=
kOR=-2t-0=-
, 或 2.
t {a=2 {a=5
2+t-t 2 1
kPQ=1-2t-1=-2t=-t.
所以所求直线AB 的方程为x+2y-5=0或2x
+y-4=0.
所以kOP=kQR,kOR=kPQ, 【能力特训】
所以OP∥QR,OR∥PQ,所以四边形OPQR 为
高频题特训
平行四边形.
· , 1.A
【解析】 当a=-1时,直线l1 的斜率为
又kOP kOR=-1 所以 OP⊥OR.所以四边形
1
OPQR 为矩形. ,直线l2 的斜率为-3,它们的斜率之积等于-1,故3
14.解:当直线l的斜率不存在时,直线l:x=3, 有l1⊥l2,故充分性成立,当l1⊥l2 时,有(a-2)+(a
所以B(3,0),C(3,6). -2)a=0成立,即(a-2)(a+1)=0,解得a=-1,或
此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|, a=2,故必要性不成立.
所以直线l的斜率存在. 2.A 【解析】 设 直 线l:y=k(x-2),圆 心
设直线l的方程为y+1=k(x-3),显然k≠0且
k≠2. M(2,3)
3
到直线l:y=k(x-2)的距离d= ,由
k2+1
1 1
令y=0,得x=3+ ,所以B( ,), 2k 3+k 0 3d2+12=32,得( )
2
+12=32,解得k=±4.k2+1
由 {y=2x ,得 点 C 的 横 坐 标 xC =y+1=k(x-3) 3.B 【解析】 依题意,a=2,P(0,5),设A(x,
3k+1 x-2 =0
. 2x),B(-2y,),
y
y 故{ ,则A(4,8),B(-4,k-2 2x+y=10
因为|BC|=2|AB|,所以|xB-xC|=2|xA-xB|, 2),所以|AB|= (4+4)2+(8-2)2=10,故选B.
3k+1 1 1
所以|k-2-k-3|=2| |
, 4.D 【解析】 由|PA|=|PB|知点P 在PB 的
k 垂直平分线上.由点P 的横坐标为3,且PA 的方程为
3k+1 1 2 3k+1 1 2
所以
k -
或
k-3=k k -k-3=-
,
k x-y+1=0
,得P(3,4).直线PA,PB 关于直线x=3
-2 -2
对称,直线 上的点(,)关于直线 的对称点
3 1 PA 01 x=3
解得k=- 或2 k=4. (6,1)在直线PB 上,所以直线PB 的方程为x+y-7
所以所求直线l的方程为3x+2y-7=0或x- =0.
4y-7=0. 5.A 【解析】 设 A(x,y),由 已 知,得 AH⊥
: x y
BC,BH ⊥AC,且 直 线 AH,BH 的 斜 率 存 在,所 以
15.解 设直线 AB 的方程为 (a +b =1a>0
,
ìy-2 ( 1)
b>0),所以A(a,0),B(0,b), {kAH ·kBC=-1 x+3
× -4 =-1
, 即 í , 解 得
因为 MA⊥MB,所以(a-2)×(-2)+(-4)×(b kBH ·kAC=-1 y-3 ( 1
x+6× -
)
-4)=0, 5
=-1
即a=10-2b. {x=-19,即A(-19,-62).
因为a>0,b>0,所以0因为直线AB 的一般式方程为bx+a ab , 6.D 【 】- =0 解析 直线方程可化为(y 2x+y-5
)+k
|2b+4a-ab| (x-y-4)=0,此直线过直线2x+y-5=0和直线x
所以点 M 到直线AB 的距离d= .
a2+b2 2x+y-5=0 x=3-y-4=0的交点.由{ ,解得 .因
1 1 x-y-4=0
{y=-1
所以△MAB 的面积S1=2d|AB|=2|2b+4a 此所求定点为(3,-1).故选D.
-ab|=|b2-8b+20|=b2-8b+20, 7.A 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,
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x 22 是方程x -kx-1=0的根,所以x1+x2=k,x1x2 2 3=0且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即a+b=1.
又
y 2 21y2 x1x2
=-1.因为kOA ·kOB= = =x1x2=-1,所x1x2 x1x2 , 2 3因为ab均为正数,所以2a+3b=(2a+3b)( + )
以OA⊥OB,所以无论k 为何值,△AOB 的形状都为 a b
直角三角形. 6a 6b 6a 6b=4+9+ · ,当且仅当
8.C 【解析】 由平面内两点间的距离公式,知 b
+a ≥13+2 b a =25 a
原式表示动点P(x, ,y)到定点A(0,2)和B(3,1)的距 =b=5时 等号成立.
离之和.由“两点之间线段最短”,得点P(x,y)在线段 x y14.3+22 【解析】 因为直线l:a +
(
b =1a
AB 上 时, x2+(y-2)2 + (x-3)2+(y-1)2 取
>0,b>0)
1 2
经过点 A(1,2),所以 + =1.因为a>
得最小 值,最 小 值 为|AB|= (0-3)2+(2-1)2 = a b
10. 0, ,
1 2 b 2a
b>0 所以a+b=(a+b)( + )=3+ + ≥
9.A 【解析】 由题意,知点 M 在直线l 与l a b a b1 2
之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为 b 2a b 2a3+2 ·a b =3+22
,当且仅当 ,即
a=b a= 2
|c+7| |c+5|
x+y+c=0,则 = ,即c=-6,所以点
2 2 +1,b= 2+2时取等号.
M 在直线x+y-6=0上,所以点 M 到原点的距离的 15.②③ 【解析】 ①直线为y=x+1,点 M 到
|-6| |5-0+1|
最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即 该直线的距离d= =32>4,即点 M 与该
2 2
直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不=32.
【 】 存在点P,使|PM|=4成立,故①不是点 M 的“相关10.C 解析 设满足题意的直线的方程为x+
直线”
3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10 .
直线为
= 0, 因 为 原 点 到 直 线 的 距 离 d = ② y=2
,点 M 到该直线的距离d=|0-2|
=2<4,所以点 M 与该直线上的点的距离的最小值小|-10|
=1,所以λ=±3,即直线方程
( )2 ( )2 于4,所以该直线上存在点P,使1+3λ + 3-λ |PM|=4
成立,故②
, 是点 M 的“相关直线”为x=1或4x-3y+5=0 即符合题意的直线的条数 .
③直线为4x-3y=0,所以点 M 到该直线的距离为2.
11.A 【解析】 由abpk≠0可设直线的截距式 |4×5-3×0|d= =4,于是点 M 与该直线上的点的距
x y 25
方程为 + =1,斜截式方程为y=kx+b,由点到直a b 离的最小值等于4,所以该直线上存在点P,使|PM|
b x y =4成立,故③是点 M 的“相关直线”,
线的距离公式,得p= .又 与a+b=1 y=kx1+k2 ④直线为2x-y+1=0,所以点 M 到该直线的距
+b 表 示 同 一 条 直 线,所 以 b= -ak,代 入 p= |2×5-0+1| 115离d= = 5 >4
,即点 M 与该直线上
b ,得(-ak)2=p2(1+k2),即a2k2=p2(
5
1+
1+k2 的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点
k2),故选A. P,使|PM|=4成立,故④不是点 M 的“相关直线”.
12.B 【解析】 点A(3,-1)关于直线x+y=0 16.解:(1)因为A,B,C 三点共线,且xB≠xC,则
的对称点为A'(1,-3),连接A'B,则直线A'B 与直线 , , m
2-m-2 1
该直线斜率存在 则kBC=kAB 即 = ,
x+y=0的交点即为所求的点P.直线A'B 的方程为 2 m-2
{x-4y-13=0 解得m=1或1- 3或1+ 3.x-4y -13=0,解 方 程 组 ,得x+y=0 m2() -m-22 由 已 知,得kBC = ,且2 xA -xB =ì 13
x=5
, (13, 13
m-2.
í 即P - )5 5 . 13 ①当m-2=0,即m=2时,直线AB 的斜率不存
y=-5 在,此时kBC=0,于是AB⊥BC;
13.25 【解析】 因为直线ax+by-6=0与直 1
x (b ②
当m-2≠0,即m≠2时,k = ,
线2 + -3)y+5=0互相平行,所以a(b-3)-2b AB m-2
68
数学·解析几何
1 m2-m-2 故点· , · , M
,N,P,Q 不可能均在直线l的同一侧.
由kAB kBC=-1 得 解m-2 2 =-1 (2)点 M,N,P,Q 到直线l的距离和
得m=-3. |c-(a+b)| |(b+c)-a| a+b+c
综上,可得实数m 的值为2或-3. S= + + +a2+b2 a2+b2 a2+b2
17.证明:(1)反证法,假设l1 与l2 不相交,则l1 |(a+c)-b| 2(a+b+c)
, , = .与l 平行 有k =k a22 1 2 +b2 a2+b2
代入k1k2+2=0,得k21+2=0.此与k1 为实数的 可令a≥b,则a-b事实相矛盾. a+b+c a+b+(a-b) 2a 2a
, > = ≥ = 2
,
从而k ≠k 即l 与l 相交. a2+b2 21 2 1 2 a +b2 a2+b2 2a2
{y-1=k1x a+b+c a+b+(a+b) 2(( a+b)2)设交点为P(x,y),则 ,易知x≠ < =y+1=kx a2+b2 a2+b2 22 a +b2
ì y-1
k1=
2ab
x =2 1+ 2 2≤22,
0,从而 í . a +b
y+1
k = 所以22 易错题特训
, y-1·y+1代入k1k2+2=0 得 +2=0, 1.C 【解析】 当直线的斜率不存在时,直线 的x x l
整理,得2x2+y2
方程为
=1. x=2
;当直线的斜率存在时,设直线l的方程
所以l1 与l2 的交点坐标(x,y)满足方程2x2+y2 |k+b| |4k+b|为y =kx +b,由 =1, =2,得
=1. k
2+1 k2+1
18.解:直线l的方程为y-1=-m(x-1), ì 2k= ,
ì 2
4 k=-
,
4
1
则P(1+ ,0), (, )
或 故这样的直线有 条
m Q 01+m .
í í 3 .
2 2
, b=2 b=-
,
m+1 2
从而PR 和QS 的方程分别为x-2y- m =0 【易错提醒】 本题容易出现的错误是忽略直线的
和x-2y+2(m+1)=0. 斜率不存在的情况,而误选B.
1 2.C 【解析】 l1⊥l2 a·1+(a+2)a=0,a=
|2m+2+1+m|
又 PR∥QS,所 以|RS|= = 0
,或a=-3.
5 【易错提醒】 本题容易出现的错误是由k1k2=
2m2+3m+1 -1,得到a=-3,从而漏解. .
5m 3.1 【解析】 当a=-1时,l1 的斜率不存在,l2
2m+2
由点到直线的距离公式,得|PR|= ,|QS| 1的斜率为 ,显然两直线不平行,当a≠-1时,l 的斜
5m 2 1
m+1 1 a
= . 率为- , 的 斜 率 为 ,因 为 ,所 以
5 1+a
l2 -2 l1∥l2
1 1 9 2 1 1 a
所 以 S = (m+ + ) - ≥ - =- ,解得a=1或a=-2.当a=-2时,1+a 2 l1四边形PQSR 5 m 4 80
1 9 2 1 18 与l2 的方程都是x-y-4=0,此时两直线重合,所以( ) ,
5 2+4 -80=5 a=1.
当且仅当m=1时等号成立, 【易错提醒】 判断两直线平行时,不要忽略斜率
18 不存在的情形.另外,两直线斜率相等,包括平行和重
所以四边形PQSR 的面积的最小值为5. 合两种情况,应注意区分.
19.解:(1)令f(x,y)=ax+by+c,则f(-1, 多解题特训
-1)=c-(a+b),f(-1,1)=(b+c)-a,f(1,1)= 1.2x-y+1=0 【解析】 法一:由题意可设直
a+b+c,f(1,-1)=(a+c)-b. , |c-3|线l的方程为2x-y+c=0 于是有 =
由三角形的性质可知f(-1,-1)<0,f(-1,1) 22+(-1)2
>0,f(1,1)>0,f(1,-1)>0,故 N,P,Q 三个点位 |c+1| ,即|c-3|=|c+1|.所以c=1,所以直
于直线l的同侧,而点 M 在直线l的另一侧. 22+(-1)2
69
小题狂刷 高考专题特训
线l的方程为2x-y+1=0. 准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
法二:由题意知直线l介于直线l1 与l2 中间,设 7.C 【解 析】 因 为 原 点 在 圆 (x-m)2 +
3+(-1) 2 2
直线l的方程为2x-y+c=0,则c= 2 =1.
所 (y+m)=4的内部,所以2m <4,解得- 22,故选C.
以直线l的方程为2x-y+1=0.
8.A 【解析】 依题意得,题中的双曲线的一条
2x-3y-3=0
2.解:法 一:解 方 程 组 { ,得 渐近线的斜率为 3,倾斜角为60°,结合图形可知,所x+y+2=0
求的圆C 的圆心坐标是(0,1),半径是1,因此其方程
ì 3x=- 是x2+(y-1)2 5 =1,选A.
í ,
7 9.D 【解析】 取A=C=4,D=2,E=2,F=1
y=-5 {A=C≠0时,满足 ,但是4x2+4y2+2x+2y3 7
所以两直线的交点为( , ) D
2+E2-4F>0
-5 -5 .
; 1不表示圆 方程 2 1 2
因为直线l与直线3x+y-1=0平行, +1=0 3x +3y +x+y+1=0
表
7 1 1
所以直线l的斜率为-3,所求直线方程为y+ 示圆,其中 ,5 A=3 C=
,
3 D=1
,E=1,F=1,不满足
3 D2+E2( ), -4F>0.
综上可知,选D.
=-3x+5 10.B 【解析】 设圆心坐标为(a,1)(a>0),由
即15x+5y+16=0. |4a-3| ,得
法二:设直线l的方程为2x-3 -3+λ(x+ + d= 5 =1 a=2.
该圆的标准方程为(x-2)2
y y
2)=0, +(y-1)2=1.
变形为(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. 11.D 【解析】 由题意知,圆心在y 轴左侧,排
因为直线l与直线3x+y-1=0平行, ,; |a+0|除AC 设圆心为(a,0)(a<0),则 = 5,所以
λ+2 λ-3 2λ-3, 11 5= ≠ 解得3 1 -1 λ=2. a=-5,故选D.
则直线l的方程为15x+5y+16=0. 12.B 【解析】 满足题意的圆为如图所示的圆
O1,设 O1(x0,y0),半 径 为 ,则第三节 圆的方程 r x0=y0.
所 以r=
(|6+6-2| ) 1
【基础特训】 -32 × = 2
,
2 2
1.C 【解析】 因为m2+52=25+m2≥25>24, 所以 (x -6)20 +(x0-6)2 =4 2,x0=2或10
所以点P 在圆外. (舍去).
2.D 【解析】 由 题 意,知(-a,-b)为 圆 所以圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=2.
(x+a)2+(y+b)2=1的圆心,由直线y=ax+b 经
过第一、二、四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<
0,故圆心位于第四象限.
3.D 【解析】 因为圆心坐标为(1,-2),所以圆
|1+2-1|
心到直线x-y=1的距离d= = 2.
2 13.B 【解析】 设P(x0,y0),PQ 中点的坐标为
4.C 【解析】 由题意,知圆心是(1,2),将圆平 (x,y),则x0=2x,y0=2y+1,代入圆的方程即得所
分的直线必过圆心,所以将圆心的坐标代入各选项验 求的方程是4x2+(2y+1)2=5,化简,得x2+y2+y
证知选C. -1=0.
5.C 【解析】 将x=0,y=0代入x2+y2-2ax 14.D 【解析】 设 圆 心 为 C(a,0)(a>0),由
-2y+(a-1)2,得(a-1)2>0,所以原点必位于圆x2 |3a+4|
=2,得a=2(2 负值舍去),所以圆C 的方程为+y -2ax-2y+(a-1)2=0(a>1)的外部. 5
6.B 【解析】 设 圆 心 坐 标 为(a,-a),由r= (x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.
|a+a| |a+a-4|, , 15.D
【解析】 设 抛 物 线 准 线 交x 轴 于E,则
= 得a=1 所以r= 2.该圆的标
2 2 |CE|=3,所以r2=32+42=25,所以圆 C 的面积为
70
数学·解析几何
25π,故选D. 因为直线BC 的斜率kBC=2,所以直线AD 的斜
16.5+ 2 【解析】 由题意,知点 M 在圆O 内, 1率kAD=- ,
MO 2的延长线与圆O 的交点到点M(2,3)的距离最大,
1
最大距离为 (2-3)2+(3-4)2+5=5+ 2. 由直线的点斜式方程,得y-0=- (2 x+3
),
17.x2+(y-1)2=1 【解析】 将x 换成y,y 换 所以直线AD 的一般式方程为x+2y+3=0.
成x 可得,圆x2+y2-2x=0关于直线x-y=0对称 (2)设圆 M 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
的圆C 的方程为y2+x2-2y=0,即x2+(y-1)2=1. 将A(-3,0),B(2,0),C(0,-4)三点的坐标分别
18.(-∞,1) 【解析】 由题意,知直线y=2x+
ì9-3D+F=0 ì
D=1
b过圆心,而圆心坐标为(-1,2),代入直线方程,得b
代入方程,得 í4+2D+F=0,解得
5
íE= .
=4.将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2= 2
16-4E+F=0
5-a,所以a<5,所以a-b<1.
F=-6
9 2 2 5
19.(x+2)2+(y-2)2= 【解析】 所求圆的 所以圆 M 的方程是x +y +x+2y-6=0.2
圆心为(-2,2),设圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=r2 23.解:(1)设AP 的中点为M(x,y),则点P 的坐
(r>0),则圆心(-2,2)到直线x-y+1=0的距离为 标为(2x-2,2y).
因为点P 在圆x2+y2=4上,
32
r,得r= ,故圆C 的方程为(x+2)2+(y-2)2= 所以(2x-2)2+(2y)2=4,整理,得(x-1)22 +y
2
9 =1.
2. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x-1)
2+y2=1.
20.(0,1) 2 【解析】 由点 P(2,1)在圆上得 (2)设PQ 的中点为N(x,y).
2a+b=-3,由点P 关于直线x+y-1=0的对称点 在Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|.
a 连接ON,则ON⊥PQ,
也在圆C 上知直线过圆心,即(- ,)满足方程2 1 x+ 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
y-1=0,所以a=0,b=-3,圆心坐标为(0,1),
2 2
半径r 所以x +y +(x-1)
2+(y-1)2=4,即x2+y2
=2. -x-y-1=0.
21.解:设圆C2 的圆心坐标为(
2 2
m,n). 故线段PQ 中点的轨迹方程为x +y -x-y-1
7 =0.
因为直线l 的斜率k=- ,圆 C1:(4 x+3
)2+ 24.解:设圆心 M 的坐标为(x,y).
(y-1)2=4的圆心坐标为(-3,1),半径r=2, 因为点C(1,-1)在以AB 为直径的圆M 上,所以
所以,由对称性知: 1
|CM|= ×|AB|=3,
ìn-1 4 2
m+3=7 所以点 M 在以C 为圆心,以3为半径的圆上,
í , 2
-3+m 1+n 即点 M 在圆(x-1)+(y+1)
2=9上.
14
· ·
2 +8 2 -31=0 因为A,B 是圆O:x2+y2=16上的两点,|AB|
{m=4 =6,且圆 M 以AB 为直径,解得 .n=5 所以|MO|= 16-32= 7,
所以圆C2 的方程为(x-4)2+(y-5)2=4. 所以点 M 在圆x2+y2=7上,
22.解:(1)法一:由B(2,0),C(0,-4),知BC 的 所以 M 的轨迹是圆(x-1)2+(y+1)2=9和圆
中点D 的坐标为(1,-2). x2+y2=7的交点,
y-0 ì
又A(-3,0),所以直线 AD 的方程为 = 14-2-0 (x-1)2{ +(y+1)
2=9 x= 2
由 , 得
2 2 í 或x+3, x +y =7 14
1+3 y= 2
即中线AD 所在直线的一般式方程为x+2y+3 ì 14
=0. x=- 2
.
法二:由题意,得|AB|=|AC|=5,则△ABC 是 í 14
等腰三角形,所以AD⊥BC. y=- 2
71
小题狂刷 高考专题特训
14 14 14 (,), , , |3×1+4×0+2|故圆心 M 的 坐 标 为( , )或(- , 为 10 所以a=1b=0 又根据 =2 2 2 32+42
14 1=r,所以圆的方程为(x-1)
2+y2=1.
- )2 . 2
9.C 【解析】 设圆心C 的坐标是(t, ),半径
【能力特训】 t
高频题特训 4为r.因为圆C 过坐标原点,所以r2=|OC|2=t2+t2.
1.D 【解析】 方程y= 9-x2 可化为x2+y2
2 2 4
( ), 2 则圆C 的方程是( )
2 ( ) 2
=9y≥0 所以方程y= 9-x 表示半个圆. x-t + y-t =t +t2.
令x=
2.B 【解析】 由圆上两点 M,N 关于直线2x+ 4
0,得y1=0,y2= ,所以B 点的坐标为(0,
4);令
t t y
, (, 1y=0对称 则有圆心 1 -2m
)在直线2x+y=0上, =0,得x1=0,x2=2t,所以A 点的坐标为(2t,0),所
1 , , 1 1 · 1 4即有2-2m=0
所 以 m=4 则 圆 的 半 径r= 以2× S△OAB=2|OA| |OB|=2×|t|×|2t|=4
,即
(-2)2+42-4×(-4)=3,故选B. △OAB 的面积为4.
3.B 【解析】 设A 是单位圆与x 轴正方向的交 10.D 【解析】 动圆的圆心轨迹是以A 为圆心
点,B 是单位圆与y 轴正方向的交点,所以O→A,O→B分 的圆,从而动圆所形成区域的面积是以A 为圆心,32
别是x、y 轴正方向上的单位向量,若在该圆上存在一 为半径的圆,故其面积为18π.
点C,使得O→C=aO→A+bO→B,则C(a,b),因为C 点在 511.C 【解析】 由(3a)2+a2-4( a2+a-1)
圆上,所以P(a,b)一定在单位圆上. 2
【 】 ,得 ,满足条件的 只有 与 ,所以方程
2
4.B 解析 圆 x2+y2-6x-8y=0,即 >0 a<1 a -2 0 x
(x-3)2+(y-4)2=25,圆心坐标为(3,4),半径为5.
5
+y2+3ax+ay+ a2+a-1=0表示的圆的个数为2 2.
最 长 弦 AC = 10, 最 短 弦 BD = 12.B 【解析】 由题意,得直线l过圆心M(-2,
2 52-[(3-3)2+(5-4)2]=46,四边形 ABCD 的 -1),则-2a-b+1=0,则b=-2a+1,所以(a-2)2
1 2
面积S= ×10×46=206. +(b-2)=(a-2)
2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,
2 所以(a-2)2+(b-2)2 的最小值为5.
5.B 【解析】 如图,连接AC,BD,由抛物线的定 13.25π 【解析】 因为已知的两条直线平行且截
1
义与性质可知圆心坐标为F(0, ),而|FA|=|AD|= 圆C 所得的弦长均为8,所以圆心到直线的距离d 为2
1 |2+10|
3 1 1 两直线距离的一半,即d= × =3.又因为直
|FB|为圆的半径r.于是A( r, + r),而2 2 2 A
在抛 2 3+1
2 线截圆C 所得的弦长为8,所以圆的半径r= 32+42
, (3 ) 1 1物线上 故 r =2( + r),所以r=2,故选2 2 2 B. =5,所以圆C 的面积是25π.
14.x2+y2-x-y-2=0 【解析】 直线与两坐
标轴的交点分别为(-1,0),(0,2),抛物线的焦点坐标
为(2,0),设圆C 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
ì1-D+F=0
把三 个 点 的 坐 标 代 入 可 得 í4+2E+F=0,解 得
6.A 【解析】 由点P(a,b)是圆O 内一点,可得 4+2D+F=0
a2+b2ìD=-1
.故圆心到直线l的距离
íE=-1,故所求圆的方程为x2+y2-x-y-2=0.
|a×0+b×0+r2| r2
d= = >r,所以直线l与 F=-2
a2+b2 a2+b2
圆相离,故选A. 15.(
4
x-3)2+(y-6)2=81 【解析】 因为b+
7.A 【解析】 据已知得A→B·O→C=(O→B-O→A) 1 4 1 4a b
·(O→B+O→A) → , (=|OB|2-|O→A|2=0,故选A. =1 所以a a+b
)( + )b a =5+b +a ≥5+24
8.C 【解析】 因为抛物线y2=4x 的焦点坐标 =9,当且仅当b=2a=6时,等号成立.所以圆的标准
72
数学·解析几何
方程为(x-3)2+(y-6)2=81.
(d
2+d2 21 ) 12 ≤2 12+ =2 12+ =7,
16.(x-2)2 (
3 2 4
+ y+ )=9 【解析】 设曲线2 y 当且仅当d1=d 时等号成立,所以四边形PMQN
3
=- (
3
x>0)上一点为P(a,- ),a>0.因为P(a, 面积的最大值为7.x a
19.解:(1)由x2+y2+Dx+Ey+3=0,
12
3 3a+a+3 ( D
2 2 2 2
) 得 ) (
E) D +E -12,
- 到直线a 3x-4y+3=0
的距离d= ≥ x+2 + y+2 = 4
42+32
D E
15 , 12
所以圆C 的圆心C 的坐标为C(- ,- ),半径
=3 当且仅当3a= ,即a=2时取等号,此时圆心 2 25 a
D2+E2-12
坐标为(, 32 - ),半 径r=3,
,
则 所 求 圆 的 方 程 为 R=
2 2
2 2
( )2 ( 3
2 D +E -12
x-2 + y+ )=9. 由R= 2,得 2 = 2
,
2
17.解:(1)因为直线l与直线x 2 2+y-2=0垂直, 故D +E =20. ①
所以k =1. 因为圆C 关于直线x+y-1=0对称,l
因为直线l过点P(2,1),所以直线l的方程为y D所以圆心C(- ,
E
- )在直线2 2 x+y-1=0
上,
-1=x-2,即y=x-1.
(2)设圆C 的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a> D E所以- - -1=0,故D+E=-2, ②
0),
2 2
由②式,得( E=-2-D
,代 入①式,得 D2+
ì 1-a)
2=r2
(-2-D)2=20,
则 í(|a-1|
,解得
)2 a=3
,r=2,
+2=r
2
即D2+2D-8=0,解得 2 D=-4
,或D=2.
所以圆的标准方程为(x-3)2+y2=4. ( D, E) , D又因为圆心C - - 在第二象限 所以2 2 -2
18.解:(1)设圆心C(a,a),半径为r.因为圆C 经
<0,解得D>0.
过点A(-2,0),B(0,2),所以|AC|=|BC|=r,易得
所以D=2,E=-2-2=-4,
a=0,r=2,所以圆C 的方程是x2+y2=4. 所以圆C 的方程为x2+y2+2x-4y+3=0,即
(2)因为O→P·O→Q=2×2×cos=-2,且 (x+1)2+(y-2)2=2.
O→P与O→ 1Q的夹角为∠POQ,所以cos∠POQ=- ,即 (2)直线l在x 轴、2 y 轴上的截距相等,设为a,
,根据解三角形的相关知识可得,圆心 由(1)知圆C 的圆心C(-1,2),∠POQ=120° C
1 当a=0时
,直线l过原点,设其方程为y=kx,即
到直线l:kx-y+1=0的距离为2r. kx-y=0,
即圆心C 到直线l:kx-y+1=0的距离d=1, |-k-2|若直线l:kx-y=0与圆C 相切,则 =
1 k
2+1
又d= ,解得k=0.
k2+1 2,
(3)设圆心O 到直线l,l1 的距离分别为d,d1,四 即k2-4k-2=0,解得k=2± 6,
边形PMQN 的面积为S. 此时直线l的方程为y=(2± 6)x,即(2± 6)x
因为直线l,l1 都经过点(0,1),且l⊥l1, -y=0;
根据勾股定理,有d2 21+d =1. x y
又易 知|PQ|=2× 4-d2,
当 时,直线 的方程为 ,即
|MN|=2× a≠0 l a +a =1 x+y
4-d21, -a=0,
1 若直 线 l:x +y -a =0 与 圆 C 相 切,则
所以S= ·2 |PQ|
·|MN|,即
|-1+2-a|
= 2,
1 1+1
S=2×2× 4-d
2×2× 4-d21
即|a-1|=2,解得a=-1,或a=3.
=2 16-4(d21+d2)+d21·d2=2 12+d2·d21 此时直线l的方程为x+y+1=0,或x+y-3=
73
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0. 假设不成立,
综上所述,存在四条直线满足题意,其方程为(2± 所以不存在这样的直线l.
6)x-y=0或x+y+1=0或x+y-3=0. 22.解:因为线段AB 的中点为(1,2),直线AB 的
20.解:(1)当直线l1 的斜率不存在时,直线l 斜率为 ,1 的 1
方程为x=1; 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为y-2=
当直线l1 的斜率存在时,设直线l1 的方程为y= -(x-1),即y=-x+3.
|2k-4| 3 {y=-x+3 x=-3k(x-1),由d= =2,得k= ,直线 的方 联立 ,解得 ,即圆心C 为k2+1 4 l1 x+3y-15=0 {y=6
程为3x-4y-3=0. (-3,6),
故直线l 的方程为x=1或3x-4y-3=0. 则半径r= (-3+1)21 +62=2 10.
(2)设圆D 的圆心为D(a,2-a),因为圆D 与圆 又|AB|= (3+1)2+42=42,
C 外切,所以|CD|=5, 所以圆心C 到AB 的距离为:
即(a-3)2+(2-a-4)2=25. 2 2
d= (2 10)-(22)=42,
解得a=3,或a=-2,
所以 圆 D 的 方 程 为(x-3)2+(y+1)2=9或 所以点P 到AB 的距离的最大值为d+r=42+
(x+2)2+(y-4)2=9. 2 10,
21.解:(1)设圆C:(x-a)2+y2=R2(a>0),由 1所以△PAB 的面积的最大值为 ×42×(42
ì|3a+7|
2
=R
题意知 2 2í 3+4 , +2 10)=16+85.
a2+3=R 易错题特训
13 1.B 【解析】 若直线l在x 轴、y 轴上的截距为
解得a=1或a= ,8 0,设直线l的方程为y=kx,由圆心C(-22,32)到
又S=πR2<13,a=1, |-32-22k|
所以圆C 的标准方程为(x-1)2+ 2=4. 直线l的距离d= =1,得y k=-1
或k
k2+1
(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意, 17
当斜率存在时,设直线l: =kx+3,A(x , =- ;若直线l在x 轴、y 轴上的截距不为0,设直线y 1 y1), 7
B(x2,y2), l的方程为x+y=a,由圆心C(-22,32)到直线l
又l与圆C 相交于不同的两点,联立得 |-22+32-a|
的距离 ,得 ,或
{y=kx+3 d= =1 a=22 a=, 2(x-1)2+y2=4 0(舍去).综上可知这样的直线有3条.
消去y 得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0, 【易错提醒】 本题易忽略直线在x 轴、y 轴上的
所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20 截距为0的情况.
>0, 2.x=2或4x-3y-5=0 【解析】 圆x2+y2
26 26
解得k<1- 或k>1+ . -6x-8y+24=0,即(x-3)
2+(y-4)2=1,圆心坐
3 3
标为(3,4),半径为1.当直线的斜率不存在时,切线方
6k-2
x1+x2=- 2,y1+y2=k(x1+x2)+6= 程为x=2;当直线的斜率存在时,设直线方程为y-11+k
=k(x -2),即 kx -y +1-2k=0,由 d =2k+6,
1+k2 |3k-4+1-2k| , 4=1 得k= ,故 所 求 直 线 方 程 为
→ 2 3OD=O→A+O→B=(x1+x2,y1+y ),M→C=(1, k +12
-3), x=2或4x-3y-5=0.
假设O→D∥M→C,则-3(x +x )=y +y ,所以3 【易错提醒】 本题易忽略斜率不存在的情况.1 2 1 2
3.解:要使方程(2m2+m-1)x2+(m26k-2 2k+6 -m+2)
× ,1+k2=1+k2 y2+m+2=0表示的图形是一个圆,需满足2m2+m
3 26 26 -1=m
2-m+2,得m2+2m-3=0,所以m=-3或
解得k= (-∞,1- )∪(1+ ,+∞),4 3 3 m=1.
74
数学·解析几何
2 2
①当m=1时,方程为x2+y2
3
=- ,不合题意,2 (
1 1
sinθ+ )2 +
(1+1)2 = (sinθ+ )+4,因 为2 θ
舍去; 1 1 3 17
②当m=-3时,
为锐角,所 以 , ,
方程为14x2+14y2=1,即x2+
0y2
1
= ,
14 1 25 17 5
表示以原点为圆心,以 为半径的圆
14 14 .
(sinθ+ )22 +4<
,所以
4 2 ,又两圆的半
2
综上,m=-3时满足题意. 5
径之和为 ,两圆的半径之差的绝对值为2,所以两圆
【易错提醒】 并不是所有的形如x2+y2+Dx+ 2
Ey+F=0的方程都表示圆,只有在D2+E2-4F>0 相交.
的情况下才表示圆,在解决有关这类问题时,要注意充 6.A 【解析】 由题意,得圆心(1,-3)在直线y
分利用这一隐含条件. =x+2b上,得b=-2,由圆成立的条件可得(-2)
2+
62 多解题特训 -4×5a>0,解得a<2,所以a-b<4,故选A.
解:法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2 7.A 【解析】 如图,在Rt△PAB 中,要使切线
=r2, PB 最小,只需圆心与直线y=x+1上的点的距离取
ìb=-4a 得相应最小值即可,易知其最小值为圆心到直线的距
(3-a)2+(-2-b)2=r2 4 2 2
则有 í ,解得a=1,b= 离,即|AP|min= =22,故|BP|min= (22)-1
|a+b-1| 2
=r 2 = 7.
-4,r=22.
所以圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
法二:过切点P(3,-2)且与直线x+y-1=0垂
直的直线方程为y+2=x-3,与y=-4x 联立可求
得圆心坐标为(1,-4).
所以半径r= (1-3)2+(-4+2)2=22,
8.B 【解析】 圆心坐标为(1,1),半径r= 2,圆
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
3 3
心到直线的距离d= = 2.因为r第四节 直线与圆的位置关系 2 2
【 】 圆上到直线的距离为 2的点的个数为基础特训 2.
【 】 【解析】 因为弦长为 ,圆的半径为 ,所以1.A 解析 圆心到直线3x+4y+5=0的距
9.B 8 5
|6+8+5| 19 19 弦心距为 5
2-42=3,因为圆心坐标为(1,-2),所以
离为 = ,所以|PQ|的最小值为5 5 5-2= |5×1-12×(-2)+c|
=3,所以 或
9 13
c=10 c=-68.
5. 10.A 【解析】 圆(x-2)2+y2=1的 圆 心 为
2.A 【解析】 d 的最大值为A 到圆心的距离, C(2,0),半径为1,以P(3,1),C(2,0)为直径的圆的方
即d≤|3-(-1)|=4,d∈[0,4]. 程为(x-2.5)2+(y-0.5)2=0.5,将两圆的方程相减
3.A 【解析】 以 AB 为直径的圆C 过原点,当 可得公共弦AB 所在直线的方程为x+y-3=0,故选
圆的直径等于原点到直线2x+y-4=0的距离时圆C A.
, 1 4 2, 11.B 【解析】的面积最小 此时r= × = 圆C 的面积
圆x2+y2-2x+2y-7=0,即
2 22+12 5 (x-1)2+(y+1)2=9,表示以O(1,-1)为圆心、半径
2 2( ) 4S=π = π. 等 于 3 的 圆.圆 心 到 直 线 的 距 离 d =
5 5 |(a+1)-(a-1)+2a| |2a+2|, 2
4.C 【解析】 λ = 9-d =9- 当 =3时,两直线平行.若直线 (a+1)2+(a-1)2 2a2+2
λx+2y+3λ=0与直线3x+(λ-1)y=λ-7平行,则 4a2+8a+4 7a2-4a+7, 2
( ) , ( ) , 2 而方程2a +2 = a2+1 7a -4a+7=0
的
λλ-1 =6 且-λλ-7 ≠3×3λ 解得λ=3.因此选
C. 判别式Δ=16-196=-180<0,故有9>d2,即d<3,
5.D 【解 析】 两 圆 圆 心 之 间 的 距 离 d= 故直线和圆相交.
75
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12.C 【解析】 因为直线恒过点(1,1),且该点在 3
程为y=- x.
圆的内部,所以直线与圆相交.又因为圆的圆心坐标为 4
(1,0),直线的斜率存在,所以直线不能过圆心,故选C. 3综上所述,直线l的方程为x=0或y=- x.
13.A 【解析】 圆心C(1,2),直线l:(2m+1)x 4
( 解:()圆 :
2 ( )2 2
+ m+1) -7m-4=0,m∈R,即 m(2x+ -7)+ 18. 1 C x + y-25 =25.y y
直线 方程:
2x+y-7=0 x=3 PB x-y+50=0.(x+y-4)=0,由{ ,得 ,所以直线 设直线 方程: ( )( ),x+y-4=0 {y=1 PF y=kx+50 k>0
l恒过点M(3,1).当直线l与CM 垂直时,直线l被圆 , |25+50k|因为直线PF 与圆C 相切 所以 =25,
2
, 2m+1 2-1
1+k
C 截得的弦最短 此时- ,解得m+1×1-3=-1 m 4解得k= .
3 3
=-4. 4所以直线 方程: ( ),即
14.B 【解析】 由 题 意 知M→A·M→
PF y= x+50 4x-3y+
B=(3-x, 3
-y)·(-3-x,-y)=0,即 x2 +y2 =9,设 x = 200=0.
, , , (2)设直线PF 方程: ( )( ),圆 :3costy=3sint 其中t为参数 则x+y=3cost+3sint y=k x+50 k>0 C
π x
2+(y-r)2=r2.
=32sin(t+ ) [ , ]4 ∈ -3232 . k-1因为tan∠APF=tan(∠GPF-∠GPA)=1+k
3
15.±3
【解析】 圆心(1,2)到直线x-ky-1 41 40
= ,所以39 k=9.
|-2k| |AB| 2
=0的 距 离 d= .由 d2+( )=r2,得
k2+1 2
40
所以直线PF 方程:y= (x+50),即9 40x-9y
(|-2k|
2
) 2 3+(3)=4,解得k=± . +2000=0.
k2+1 3 |9r-2000|
【 】 因为直线 与圆 相切,所以 ,16.x-2=0或3x-4y+10=0 解析 圆配 PF C =r1600+81
方得(x-1)2+(y-2)2=10,圆心为(1,2),半径r= 化简得2r2+45r-5000=0,即(2r+125)(r-40)
10.当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,代入 =0.
圆的方程,求得交点分别为(2,5),(2,-1),此时弦长 故r=40.
为6,符合题意;当直线l斜率存在时,设直线方程为y 19.解:(1)设圆O1、圆O2 的半径分别为r1,r2,
-4=k(x-2),kx-y+4-2k=0,圆心到直线的距离 因为两圆外切,所以|O1O2|=r1+r2,
|k-2+4-2k| |2-k|
d= = ,依题意,
2 2
2 r2-d2= 所以r2=|O1O2|-r1= (0-2)+(-1-1)
1+k2 1+k2
-2=2(2-1),
3
6,解得k= .所求直线方程为x-2=0或3x-4y+ 所 以 圆 O2 的 方 程 是 (x-2)2 ( )24 + y-1 =
10=0. 4(2-1)
2
.
2 2
17.解:(1)设圆心的坐标为C(a,-2a), (2)由题意,设圆O2 的方程为(x-2)+(y-1)
2
|a-2a-1| =r3,
则 (a-2)2+(-2a+1)2 = ,化 简
2 圆O1,O2 的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在
得a2-2a+1=0,解得a=1. 直线的方程,为4x+4y+r23-8=0.
∴C(1,-2),半径r=|AC|= (1-2)2+(-2+1)2 所以 圆 心 O1(0,-1)到 直 线 AB 的 距 离 为
2
=2. |0-4+r23-8| 22= 4-( ) = 2,解 得r23=4或
∴圆C 的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. 42+42 2
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为 20.
x=0,此时直线l被圆C 截得的弦长为2,满足条件. 所以圆 O2 的 方 程 为(x-2)2+(y-1)2=4或
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y= (x-2)2+(y-1)2=20.
|k+2| 3 20.解:(1)由圆的方程知,圆 C 的 圆 心 坐 标 为
kx,由题得 =1,解得k=- ,∴直线l的方
1+k2 4 C(a,a+1),半径为3.
76
数学·解析几何
设圆心C 到直线l的距离为d,因为直线l被圆C 线的交点可能为0个、1个、2个.所以选C.
截得的弦长为2,所以d2+1=9.解得d=22,所以 5.D 【解析】 由题意可知圆心C(2,0),则kPC
|a+(a+1)-3| 0+1
=22,即|a-1|=2.解得a=-1或 = ,那么 ,且直线过点 (, ),则
2 2-3
=-1 kAB=1 P 3 -1
直线AB 的方程为a=3. y+1=1×
(x-3),即x-y-4=0.
() ( , ), , 6.A 【解析】 由 题 意 知 圆 心(-1,2)在 直 线2 设 M x y 由|MA|=2|MO| 得
2ax+by-4=0上,则有-2a×1+2b-4=0,所以b
(x-3)2+y2=2 x2+y2, -a=2,此时a2+b2 的几何意义是原点与直线b-a
即x2+y2+2x-3=0,所 以 点 M 在 圆 心 为 =2上点的距离的平方,再利用点到直线的距离公式
D(-1,0),半径为2的圆上.
易得点(0,0)到直线b-a=2的距离的最小值为d=
又因为点M 在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,
2,则a2+b2 的最小值为2,选A.
所以1≤|CD|≤5,即1≤ (a+1)2+(a+1)2≤5, 7.B 【解析】 因为圆C 的圆周被直线l平分,所
ì( )2 1a+1 ≥ 以圆心C(-1,2)在直线l上,即-a-2b+1=0,从而 2
即 í , a+2b=1,所 以ab=(1-2b)b=-2b2+b=-2
(a+1)2
25
≤
2
2 ( 1 1 1b- )4 +8≤8.
ì 2 2-1+ ≤a或a≤-1- 8.C 【解析】 若函数f(x)是圆 O 的“亲和函 2 2
解得 í , 数”,则函数的图象经过圆心且关于圆心对称.圆O:x2
52 52
-1- ≤a≤-1+ +y
2=9的圆心为坐标原点,A中f(x)=4x3+x2,B
2 2
() 5-x, ( ) x52 2 2 中f x =ln 中5+x D f x =tan
的图象均过圆
即-1- 2 ≤a≤-1-
或
2 -1+2≤a≤-1
5
ex -x
心O(0,0),在C中f(x)
+e
= 的图象不过圆心,
52 2
+ 2 . 不满足要求.故选C.
[ 52, 2] [ 9.B
【解析】 依题意得,a+b=1(a>0,b>0),
故a的取值范围是 -1- 2 -1-2 ∪ -1 a+b 2 1
|OA|2=a2+b2≥2( )= (注:对任意的实数
2 52 2 2
+ ,2 -1+
]
2 . , a
2+b2 2
ab 都 有 ≥(
a+b),当 且 仅 当a=b 时 取 等
【能力特训】 2 2
高频题特训 号), 1当且仅当a=b= 时取等号,因此所求的圆的半2
1.B 【解析】 两圆心的距离为 17,因为1< 1
, , 径的平方的最小值是 ,所求的圆的面积的最小值是17<5 即|r1-r2|2.D 【解析】 直线方程为y= 3x,圆x2+y2 π,选B.
-4y=0
2
的圆心坐标为(0,2),半径为2.圆心到直线的
10.D 【解析】 依题意,直线l从l0 开始按逆时2
距离 d= =1,所 以 弦 长 为2 r2-d2 =
2 针方向匀速转动,开始一段时间阴影部分的面积增加(3)+1
的比较慢,中间一段时间阴影部分的面积增加的比较
23. 快,最后一段时间阴影部分的面积增加的又比较慢,因
3.C 【解析】 圆心坐标为(-2,1),则圆心到直 此结合各选项知,选D.
|-2-1-1|
线y=x-1的距离d= =22,又圆的半 11.B 【解析】 以 AB 为直径的圆的方程为x
2
2 +y2=m2,若圆C 上存在点P,使得∠APB=90°,则
径为1,则直线到圆的最短距离为22-1. 两圆有公共点,m-1≤|OC|≤m+1,即m-1≤5≤m
4.C 【解析】 设圆心为C,则C 到点N(-1,0) +1,所以4≤m≤6.
的距离等于其到直线x=1的距离,由抛物线的定义可 12.A 【解析】 由题可知,圆C 的半径为3,圆
知,点C 在抛物线y2=-4x 上,另一方面,点C 又在 心C 的坐标为(2,-1).圆心到直线2x-y=0的距离
线段MN 的中垂线上,于是C 为中垂线与抛物线的交 |4-(-1)|
d= = 5,所 以 直 线 被 圆 截 得 的 弦 长
点,当点 M 在直线y=x+2上运动时,中垂线与抛物 22+(-1)2
77
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1 1
|AB|=2 9-5=4,所以△ABC 的面积为S= |AB| =k(x-m),y-n=- (x-m),2 k
· 1d 1 m=2×4×5=25.
故选A. 即kx-y+n-km=0,-kx-y+n+k=0.
13.D 【解析】 |PN|-|PM|的最大值是|PO2| 由题意,可知圆心C1 到直线l1 的距离等于圆心
1 ( 1) , 到直线 的距离,+ 的最大值 即为2- |PO1|-2 |PO2|-|PO
C2 l2
1|+
4 m
1的最大值,而|PO2|-|PO1|的最大值是点O |- -5+n+ |1 关于 |-3k-1+n-km| k k
则 = ,
y=x 的对称点(1,0)到O2(2,0)的距离,故|PO 22|- k +1 1
, k2
+1
|PO1|+1的最大值为2 故选D.
14.B 【解 析 】 两 圆 的 圆 心 距 d = 化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=
( )2 ( ,2+1 + 1-2)2= 10,因为3-2关于 的方程有无穷多解,则有:
以两圆相交,两圆的公切线有2条. k
15.C 【解析】 圆x2+y2-2x-2y=0的圆心 {2-m-n=0 {m-n+8=0或 ,m-n-3=0 m+n-5=0
坐标为(1,1),半径为 2,圆心到直线x+y+2=0的
ì 5 ì 3
|1+1+2| , 2 2 m= m=-距离d= =22 所以圆x +y -2x-2y 2 2
2 解得 í 或 í ,
1 13
=0上的点到直线x+y+2=0的 距 离 的 最 大 值 是 n=-2 n=2
22+ 2=32. (5, 1) ( 3,13故点P 的坐标为 - 或 - ).
16.A 【解析】 由题知点 A(3,4)是圆(x-3)2 2 2 2 2
+(y-4)2=1的圆心,|AB|的最小值为点 A 到直线 20.解:(1)当直线l与直线m 垂直时,直线l的斜
率为3,
x+y=9的距离,
2
即|AB|min= = 2,故选A.
2 所以直线l的方程为:y=3(x+1).
17.A 【解析】 由题意,得P(2,2),Q(1,2).设 因为圆心C(0,3)满足直线l的方程,
l:y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0.圆C:(x+1)2 所以l必过圆心C.
+(y-1)2=9,圆心 C(-1,1)到 直 线l 的 距 离d= (2)连接CM,CA,并延长CA 交直线m 于点K,
|-k-1+2-k| 3 2 3-0
= 32-( 2),所以k2+8k+7= 直线CA 的斜率为 ,所以 ,
2 2 0-(-1)
=3 CA⊥m
k +1
又 ,
, CM⊥l ∠NAK=∠CAM
,所以Rt△AKN∽
0.解得k=-1或-7 故选A.
Rt△AMC,
18. 17 【解析】 若切线长最小,则直线上的 |AM| |AC|
点到圆心的距离最小.直线上的点到圆心的距离的最 所以 ,所 以 ·|AK|=|AN| |AM| |AN|=
小值即为圆心到直线的距离,圆心O(3,-2)到直线y |AK|·|AC|.
|3+2+1|
=x+1的距离为 =32,此时的切线长为 因为直线CA 为y=3x+3,所以联立直线CA 与
2 3 3
直线m 可解得K 点的坐标为(- ,- ).
(32)
2
-1= 17. 2 2
19.解:(1)由题可知直线l的斜率一定存在,设直 3 2 3 2 10所以|AK|= (-1+ )+(0+ )= ,
线l的方程为y=k0(x-4),即k 2 2 20x-y-4k0=0.
|AC|= (-1-0)2+(0-3)22 = 10,
23
圆心C1 到直线l的距离d= 22-( )2 =1. 所以AM
→·A→N=|AM|·|AN|·cos180°=|AK|
|-3k -1-4k| ·|AC|=-5,
由点到直线的距离公式,得 0 0 =1,
k2+1 所以AM
→·AN→与直线l的倾斜角无关,且AM→·
0
AN→7 =-5.
解得k0=0或k0=-24. 21.解:(1)设E(x1,x21),F(x 22,x2),x1>x2.
所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0. 3 2
(2)设点P(m,),
, ,
n 直线l1,l2 的方程分别为
因为△OEF 是正三角形 所以y-n 2×2|x1|=x1
78
数学·解析几何
解得x = 3. 故可设直线PA:y-1=k(x-1),直线PB:1 y-1
则E(3,3).同理,
( )
F(- 3,3). =-kx-1 .
所以△OEF 的外接圆的圆心坐标为(0,2),半径 {y-1=k(x-1),由 得(1+k2)x2+2k(1-k)x+x2 2, 2 ( )2 +y =2,为2 故圆D 的方程为x + y-2 =4.
() ( , ), ( )
2
2 因为圆心C5cosα5sinα+2 所以|DC|=5. 1-k -2=0.
, 因为点P 的横坐标 一定是该方程的解,由圆的几何性质 得|DC|-1≤|DM|≤|DC|+ x=1
2 2
1,即4≤|DM|≤6. k -2k-1 k +2k-1故可得xA= 1+k2 .
同理,xB= 1+k2 .
又因为|DA|=2,在Rt△DAM 中,由勾股定理得
y -y -k(x -1)-k(x -1)
d=|MA|= |DM|2-|DA|2= |DM|2-4, 所以k
B A B A
AB=xB-x
=
A xB-x
=
A
所以23≤d≤42. 2k-k(xA+xB)
x -x =1=kOP.|DA| 2 B A
设∠DMA=θ,则tanθ=|MA|=
,
d 所以直线OP 和直线AB 一定平行.
所以cos∠AMB=cos2θ=cos2θ-sin2θ 易错题特训
cos2θ-sin2θ 1-tan2θ d2-4 1.解:假设存在斜率为1的直线l,满足题意,则
=cos2θ+sin2θ=1+tan2θ=d2+4. OA⊥OB(O 为坐标原点).
所以M→A·M→B=|M→A|·|M→B|cos∠AMB= 设直线l的方程是y=x+b,A(x1,y1),B(x2,
2
d2·
d -4
. y2
),
d2+4 则x1x2+y1y2=0. ①
令t=d2+4,则t∈[16,36],所以M→A·M→B= y=x+b 2
( 由 ,得 ( )t-4)(t-8) 32 { 2x +2b+1x2 2
t =t+ -12.
x +y -2x+4y-4=0
t +b2+4b-4=0,
令f(t)
32
=t+t-12
,t∈[16,36],则f'(t)=1- 1所以x1+x2=-(b+1),x1x2= (2 b
2+4b-4),
32 t2-32
2= 2 >0, ②t t
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2
所以f(t)在[16,36]上单调递增,当t=d2+4= 1 2 2 1
16,即d=23时,M→A·M→B取得最小值6. = (2 b +4b-4
)-b -b+b2= (b22 +2b-4
).
22.解:(1)设圆心C(a,b),则 ③
ìa-2 b-2 把②③代入①,得b2 +3b-4=0,解得+ +2=0 b=1
或b
2 2
, =-4,í
b+2
=1 而b=1或b=-4都使得Δ=4(b+1)
2-8(b2+
a+2
4b-4)>0成立.
a=0
解得{ ,则圆C 的方程为x2+y2=r2. 所以存在直线l满足题意,其方程为y=x+1或b=0
y=x-4.
将点P 的坐标代入,得r2=2. 【易错提醒】 当直线与圆相交时,应注意相交的
故圆C 的方程为x2+y2=2. 条件,只有直线与圆相交,才能有弦长问题,因此解决
(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,且
→ → 有关含有参数的弦长问题,一定要检验所求的参数是PQ·MQ=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+ 否满足判别式Δ>0,不满足的应当舍去.
y2+x+y-4=x+y-2.
: |OM|解 设动点
, , ( 2. M
(x,),则有 ( ),即
令x= 2cosθy= 2sinθ 则
y
x+y-2=2sinθ+ |MA|
=kk>0
π 2 2)-2,最小值为4 -2-2=-4
,所以P→Q·M→Q的最小 x +y =k,
(x-a)2+y2
值为-4. 化简得(k2-1)x2+(k2-1)y2-2k2ax+k2a2=0.
(3)直线OP 和直线AB 平行,理由如下: 当k≠1,即01时,k2-1≠0,
由题意知,直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互 2k2a k2a2
, 所以
2 2
为相反数 x +y -k2-1x+k2-1=0.
79
小题狂刷 高考专题特训
4k4a2 4k2a2 4k2a2 2 1又(k2-1)2-k2-1=(k2-1)2>0.
(y-1)= ,4
2 2 2 2
所以所求轨迹方程为x2+y2
2ka ka 1 1
- 2 x+ 2 =0, 所以点 M 的轨迹方程为(x- )+(k -1 k -1 2 y
-1)2=4
k2a (x≠1).
其形状为以(2 ,0)为圆心,
ka 为 半 径
k -1 k2-1
的圆 第一单元综合特训.
当k=1时,k2-1=0,方程(k2-1)x2+(k2-1)y2- 【母题特训】
2 2 2 a 【解析】 圆的方程可化为(2kax+ka =0为-2ax+a2=0,即x= ,它表示线段 1.A x-1
)2+(y-
2 4)2=4,所以圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公
OA 的垂直平分线. a+4-1 4
【易错提醒】 利用直接法求曲线方程可分为五个 式得:d= =1,解得a=- ,故选A.a2+1 3
步骤:①建系,②找出动点满足的条件,③用坐标表示 2.A 【解析】 设所求直线的方程为2x+y+c
此条件,④化简,⑤验证.其中第五步在解题中常常省 c
略, ( ),则 ,所以 ,故所求直其实这一步是“查漏除杂”的过程,不可忽视.另外, =0c≠1 = 5 c=±522+12
对于含有参数的方程,还应对参数进行分类讨论. 线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
多解题特训 3.B 【解析】 法一:设圆的一般方程为x2+y2
1.A 【解析】 法一:将两方程联立消去y,得(k2
ì1+D+F=0
+1)x2+2kx-9=0,由题意此方程两根之和为0,故k +Dx+Ey+F=0,所以 í3+ 3E+F=0 ,所以
=0.
法二:直线y=kx+1与圆x2 2
7+2D+ 3E+F=0
+y +kx-y-9=0
ìD=-2
的两个交点恰好关于y 轴对称,所以圆心在y 轴上,因
此k=0. í 43
23
E=- ,所以△ABC 外接圆的圆心为(1, ),
3 3
2.解:(1)法一:由已知可得直线l:(x-1)m-y
F=1
+1=0,
故 △ABC 外 接 圆 的 圆 心 到 原 点 的 距 离 为
所以直线l恒过定点P(1,1).
2
又12+(1-1)2=1<5,所以点P 在圆内, 23 211+( )3 = 3 .
所以对任意的 m∈R,直线l 与圆C 恒有两个
交点. 法二:因为A(1,0),B(0,3),C(2,3),所以AB
法二:圆 心 C(0,1)到 直 线l 的 距 离 为 d= =BC=AC=2,△ABC 为等边三角形,故△ABC 的外
|-1+1-m| m m 接圆圆心是△ABC 的中心,又等边△ABC 的高为 3,
= < =1< 5,
m2+1 m2+1 m 23
故中心为(
, 1
, ),故△ABC 外接圆的圆心到原点的
所以直线l与圆C 相交 3
所以对任意的 m∈R,直线l 与圆C 恒有两个 223 21
距离为
交点. 1+
( )
3 = 3 .
(2)如图所示,由(1),知直线l恒过定点P(1,1), 4.C 【解析】 设过A,B,C 三点的圆的方程为
且直线l的斜率存在. ìD+3E+F+10=0
又 M 是AB 的中点,所以CM⊥MP, x2+y2
+Dx+Ey+F=0,则 í4D+2E+F+20=0,
D-7E+F+50=0
解得D=-2,E=4,F=-20,所求圆的方程为x2+
y2-2x+4y-20=0,令x=0,得y2+4y-20=0,设
M(0,y1),N(0,y2),则y1+y2=-4,y1y2=-20,所
以|MN|=|y1-y2|= (y1+y 22)-4y1y2=46.故
所以点 M 在以CP 为直径的圆上. 选C.
1 2 5.C 【解析】 由 题 意 得 圆 C 的 标 准 方 程 为
又以 CP 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 (x- )2 + (x-2)2+(y-1)2=4.所以圆C 的圆心为(2,1),半径
80
数学·解析几何
为2.因为直线l为圆C 的对称轴,所以圆心在直线l 11.B 【解析】 由x2+y2+2x-2y+a=0配方
上,则2+a-1=0,解得a=-1,所以|AB|2=|AC|2 得(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心坐标为(-1,
-|BC|2=(-4-2)2+(-1-1)2-4=36,所以|AB| 1),半径r2=2-a,由圆心到直线x+y+2=0的距离
=6,故选C. |-1+1+2|
为 = 2,
2
所以22+(2)=2-a,解得a
6.B 【解析】 由题意得△APB 为直角三角形, 2
OP 为其斜边上的中线,|OP|=m,则|OP|max=|OC| =-4,故选B.
2 2
+1= 32+42+1=6,即m 的最大值为6,故选B. 12.D 【解析】 圆(x+3)+(y-2)=1的圆心
7.D 【解析】 圆x2+(y-3)2=4的圆心为(0, 为C(-3,2),半径r=1.如图,作出点A(-2,-3)关
3).直线x+y+1=0的斜率为-1,且直线l与该直线 于y 轴的对称点B(2,-3).由题意可知,反射光线的
垂直,故直线l的斜率为1.即直线l是过点(0,3),斜 反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k,则
率为1的直线,用点斜式表示为y-3=x,即x-y+3 反射光线所在直线的方程为y-(-3)=k(x-2),即
=0.故选D. kx-y-2k-3=0.由 反 射 光 线 与 圆 相 切 可 得
8.D 【解析】 法一:根据已知条件作出图形,如 |k(-3)-2-2k-3|=1,即|5k+5|= 1+k2,整理
1+k2
图所 示, 1 3 3sinα= ,2 cosα=
,则
2 tanα=
,
3 tan2α= 得12k2+25k+12=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得k
2tanα π 4 3,所以 ,故直线的倾斜角范围为 =- 或k=- .故选D.
1-tan2α= 3 2α=3 3 4
[,π0 ],故选3 D.
法二:因为直线l与圆x2+y2=1有公共点,所以 13.(x-1)2+y2=2 【解析】 因为直线mx-y
设l:y+1=k(x+ 3),即l:kx-y+ 3k-1=0,且 -2m-1=0(m∈R)恒 过 点(2,-1),所 以 当 点(2,
|3k-1| -1)为切点时,半径最大,此时半径r= 2,故所求圆
圆心到直线l的距离 ≤1,得k2- 3k≤0,即
1+k2 的标准方程为(x-1)
2+y2=2.
, [,π] 14.4
【解析】 因为|AB|=23,且圆的半径为
0≤k≤ 3 故θ∈ 0 .答案为3 D. 23,所以圆心(0,0)到直线 mx+y+3m- 3=0的
9.C 【解析】 圆C1 的圆心是原点(0,0),半径
r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2
|AB|
=25-m,圆心C2(3, 距离为 R2-( )2=3,
|3m- 3|
则由 =3,解得2 m2+1
4),半径r2= 25-m,由两圆相外切,故|C1C2|=r1
3 3
+r2=1+ 25-m=5,所以m=9,故选C. m=- ,代入直线l的方程,得3 y=
,所以
3x+23
10.A 【解析】 如图,M(x0,1)在切线 MB 上, 直线l 的 倾 斜 角 为30°,由 平 面 几 何 知 识 知 在 梯 形
MA 为过M 的另一条切线,N 为圆上一点,∠AMB=
, |AB|ABDC 中, |CD|= =4.2∠AMO≥2∠OMN=90° 则 M 在点 M1(-1,1)与 cos30°
M2(1,1)构成的线段上,有-1≤x0≤1.故选A. 15.(x-2)2+(y-1)2=4 【解析】 设圆C 的
标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,根据条件得a=
2b,r=a,又 r2-b2
1
= ×2 3,解 得b=1,a=2,2
r=2,故圆C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
16.2 【解析】 圆x2+y2=r2 的圆心为原点,则
81
小题狂刷 高考专题特训
|0-0+5| OP,由图可得|OA|=|OB|=1,|OP|=2,|P→A|=
圆心到直线3x-4y+5=0的距离为 =
32+(-4)2
|P→B|= 3, π∠APO=∠BPO= ,则6 P
→A,P→B的夹角
1,
r
在△OAB 中,点O 到边AB 的距离d=rsin30°=2 π
为 ,所以P→A·P→B=|P→ π 3, 3 A|
·|P→B|cos = .
=1 所以r=2. 3 2
17.0或6 【解析】 因 为 圆 C 的 标 准 方 程 为
(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心为C(-1,2),半径r
=3.因为AC⊥BC,|AC|=|BC|=3.所以圆心到直线
|-1-2+a| |a-3| 3
的距离d= = = ,即|a-3|=
2 2 2
3,所以a=0或a=6.
【过关特训】
1 1
18.(1)- (2) 【解析】 法 一:设 点2 2 、 |a-2+3|一 1.C 【解析】 由题意知 =1,所以|a
M(cosθ,sinθ),代入|MB|=λ|MA|化简得: 2
-2bcosθ+b2+1=4λ2cosθ+5λ2, ① +1|= 2,又a>0,所以a= 2-1.
依 题 意,① 式 对 任 意 的 θ 都 成 立,所 以 2.C 【解析】 假设存在过点P(-2,2)的直线
{-2b=4λ
2 l,使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8,设直线l
.
b2+1=5λ2 x y -2 2
的方程为 + =1,则 + =1,即2a-2b=ab.
又由|MB|=λ|MA|,得λ>0,且已知b≠-2,解 a b a b
1 1 直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S
得λ= ,2 b=-2. 1 {2a-2b=ab,=- ab=8,即ab=-16,: ( , ), , 联 立 解 得法二 设 M x y 因 为|MB|=λ|MA| 所 以 2 ab=-16,
(x-b)2+y2=λ2[(x+2)2+y2], {a=-4, x y所以直线 的方程为 ,即整理得(λ2-1)x2+(λ2-1)y2+(4λ2+2b)x-b2 l -4+4=1 x-y+b=4.
+4λ2=0,因为对圆O 上那个任意一点M,都有|MB| 4=0,即这样的直线有且只有一条,故选C.
ì 2 4λ +2b=0 3.D 【解析】 因为直线l:ax+by+1=0始终
=λ|MA|成立,所以 í4λ2-b2 ,可求.
=-1 平分圆 M 的周长,所以圆心(-2,-1)在直线l上,即
λ2-1 -2a-b+1=0,即2a+b=1.
2
19.(1)(x-1)2+(y- 2)=2 (2)- 2-1 2 1
【解析】 (1) ( )(
2 1) 2b 2a
过点C 作CM⊥AB 于M,连接AC, 所以a+b= 2a+b a+b =5+a +b ≥
1
则|CM|=|OT|=1,|AM|= ,所以圆的 2b 2a2|AB|=1 5+2 ·a b =9
,
半径r=|AC|= |CM|2+|AM|2= 2,从而圆心C 1
2 当且仅当a=b= 时,等号成立.(1,2),即圆的标准方程为(x-1)2+(y- 2)=2. 3
(2)令x=0得,= 2±1,则B(0,2+1), 4.C 【解析】 圆心(-1,-1)到直线y 3x+4y-
(2+1)
|-3-4-2| 9
- 2 2=0的距离d= = ,所以|MN|的最小
所以直线BC 的斜率为k= 0-1 =-1
5 5
由直线与圆相切的性质知,圆C 在点B 处的切线 9 4值是
5-1=5.
的斜率为l,
5.D 【解析】 圆C:x2+y2-2y=0的圆心(0,
则圆C 在点B 处的切线方程为y-(2+1)=1× 1),半径为1.当CP 与直线kx+y+4=0(k>0)垂直
(x-0),即y=x+ 2+1, |1+4|
时PA 的 长 度 最 小,此 时 d= .由12+22=
令y=0得,x=- 2-1,故所求切线在x 轴上的 k2+1
截距为- 2-1. 2(|1+4|),得k=2.
3 k2+1
20. 【解析】 在平面直角坐标系xOy 中作出2
2 2 , , 【解析】 设 (,), (,),
x+7
则 ,
圆x +y =1及其切线PA PB 如图所示.连接OA,
6.B P x1 Q 7y 2 =1
82
数学·解析几何
y+1 2 2, , , ( ,), (, x +y -2x-3y=0.与圆C
:x2+ 2=4相减,得2x
=-1 所以2 x=-5y=-3
即P -51 Q 7 y
+3y-4=0,所以直线PQ 的方程为2x+3y-4=0.
), -3-1 1-3 故直线l的斜率k= 7+5 =-3. 15.[0,
12] 【解析】 设点 M(x,y),由5 |MA|=
7.A 【解析】 两部分的面积之差最大是指直线
2|MO|,知 x2+(y-3)2, =2 x
2+y2.化简,得x2+
与圆相交弦长最短 此时直线方程与OP 垂直,kOP=
(
1,则所求直线斜率为-1.故所求直线方程为 -1= y
+1)2=4.所以点M 的轨迹为以D(0,-1)为圆心,2
y
( ), 为半径的圆,可记为圆D.又因为点 在圆 上,所以- x-1 即x+y-2=0.
M C
圆 与圆 的关系为相交或相切,所以
8.A 【解析】 把已知两圆化为标准 方 程,C : C D 1≤|CD|≤3.1
(x+1)2+(
2 2
y-3)2=36,C2:(x-2)2+(y+1)2=1, 因 为 | CD | = a +(2a-3),所 以 1 ≤
故圆心分 别 为 C1(-1,3),C2(2,-1).两 圆 圆 心 距 a2+(
12
2a-3)2≤3,解得0≤a≤ .
|CC|= (-1-2)2
5
1 2 +[3-(-1)]2=5,等于两圆半
三、 解:() 2 2 ,所以
径之差,故两圆内切,它们只有一条公切线. 16. 1D +E -4F=4+16-4m>0 m
9.A 【解析】 因为点 M 在圆内,所以x2+y2< <5.0 0
() , ( )2
a2 2 因为m=4 所以 x-1 +
(y-2)2=1,圆心
a2(a>0).圆心到直线的距离d= >a,即d
x20+y2 C
(1,2),半径r=1.
0
>r,故直线与圆相离,故选A. , 2 |1+2a-4|因为CM⊥CN 所以d= r,即 =
10.B 【解析】 因为点A(1,3),B(2,2),所以线 2 1+a2
段AB 的方程为x+y=4(1≤x≤2).设 M'(x,y),则 2
.
M(x2,y2),因为点 M 是线段AB 上一动点,所以x2+ 2
y2=4(1≤x≤ 2),所以点M 的对应点M'的轨迹是一 17化简,得7a2-24a+17=0,解得a=1或a=7.
段圆弧, π且圆心角为 ,所以点 M 的对应点M'所经过12 17.解:(1)圆的方程可化为(x-6)2+y2=4,圆心
π π Q(6,0), .的路线长度为 故选
12×2=6 B. 设过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y=kx+
二、 -2+511.24x-7y-17=0 【解析】 k = 2,代入圆方程,得AB 3+1 = (1+k2)x2+4(k-3)x+36=0. ①
3 3
.设直线4 AB
的倾斜角为θ,则tanθ= ,这时直线4 l 3由条件得Δ>0,所以-4,所以k 的取值
, 2tanθ 24的倾斜角为2θ 其斜率为tan2θ=1-tan2 = .
由点
θ 7 3范围是(- ,)4 0 .
24
斜式得:y-1= (7 x-1
),即24x-7y-17=0. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则O→A+O→B=(x1+
12.0或2 ±2 【解析】 由m-m(m-1)=0, x2,y1+y2),
得m=0,或m=2.圆心(0,1),半径为3,圆心到直线l 4(k-3)由方程①,得x1+x2=-
5 5 2 1+k
2 .②
的距离d= ,由( )+22=32,得 m=
m2+1 m2+1 又因为y1+y2=k(x1+x2)+4,③
±2. P(0,2),Q(6,0),所以P→Q=(6,-2).
1 2
13.(x±1)2+(y- )=1 【解析】 设圆心坐
由条件得-2(x1+x2)=6(y1+y2).
2 3
a2 将②③代入上式得k=- .
标为(a, ),圆与抛物线的准线及y 轴都相切,则2 |a|
4
所以不存在k,使得向量O→A+O→B与P→Q共线.
a2 1
=2+2.
解 得a=±1.圆 的 标 准 方 程 为(x±1)2+ 18.解:(1)因为A(-3,4),
2 2
( 1
2 所以OA= (-3)+4 =5.
y- )2 =1. 3 4
【解析】 (,), (,)
又因为AC =4,所以OC=1,所以C(- , ),
14.2x+3y-4=0 以O 00 A 23 5 5
为直径端点的圆的方程为x(x-2)+y(y-3)=0,即 由BD =4,得 D(5,0),所 以 直 线 CD 的 斜 率 为
83
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4 |OF1|,知PF1⊥PF.0-5 1, 1=- 所以直线CD 的方程为y=- (x 在 Rt△PF1F 中,由 勾 股 定 理,得|PF1|=
( 3) 7 75- - 25 |F F|21 -|PF|2= (45)-42=8.
-5),即x+7y-5=0. 由椭圆定义,得|PF1|+|PF|=2a=4+8=12,
(2)设C(-3m,4m)(02
25)
=OA-OC=5-5m. x2 y2
=16,所以椭圆C 的方程为 + =1.
因为AC=BD,所以OD=OB-BD=5m+4,所 36 16
以点D 的坐标为(5m+4,0). 4.A 【解析】 因为过F1 的直线 MF1 是圆F2
又设△OCD 的外接圆的方程为x2+y2+Dx+ 的切线,所 以 可 得∠F1MF2=90°,|MF2|=c.因 为
Ey+F=0, |F1F2|=2c,所以可得|MF1|= 3c.由椭圆定义可得
ì F=0 c |MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a,可得离心率e= =
则有 í9m2+16m2-3mD+4mE+F=0, a
(5m+4)2+(5m+4)D+F=0 2 = 3-1.
解得D=-(5m+4),F=0,E=-10m-3, 1+ 3
2 2
所以△OCD 的外接圆的方程为x2+y2-(5m+ 【 x y5.C 解析】 由ax2+by2=1,得1+1=1
,
4)x-(10m+3)y=0, a b
整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0.
, 1 1因为焦点在 轴上 所以 ,所以
{x
2+y2-4x-3y=0 x=0 x > >0 0令 ,解 得 { (舍 ) a b或x+2y=0 y=0 x21
6.D 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 2+
{x=2 a, y2 x2 y2y=-1 1 2 2
2=1,2+ 2=1,
y1-y2
两式作差并化简变形得
所以△OCD 的外接圆恒过定点(2,-1). b a b x -x
=
1 2
b2(x1+x2) y1-y2 0-(-1) 1
第二单元 圆锥曲线 -a2( ,而 = = ,xy 1+x2=1+y2) x1-x2 3-1 2
2,y +y 2 2 2 2 21 2=-2,所以a =2b ,又a -b =c =9,于是
第一节 椭圆的方程与几何性质 a2=18,b2=9.故选D.
2 2
【基础特训】 7.B 【
x y
解析】 设椭圆C: + 的左、右焦4 3=1
1.C 【解析】 当2a>|F1F2|时,根据椭圆的定 点分别为F1,F2,MN 的中点为T,由中位线定理,知
义可知其轨迹为以 F1,F2 为焦点的椭圆;而当2a= 1 1
|F F|时,其轨 迹 所 表 示 的 是 以 F ,F 为 端 点 的 |F1T|=2|AN|
,|F2T|=2|BN|
,
1 2 1 2
线段. 所以|AN|+|BN|=2(|F1T|+|F2T|)=4a=8.
x2 y2
2.C 【解析】 椭圆 + =1的焦点是(±4, 8.D 【解析】 因为(O
→P+OF→2)·PF→2=(O→P+
20 4
2 2 F
→
1O)·PF→ → →2=F1P ·PF2=0,所 以 PF1⊥PF2,
0),
x y
椭圆4x2+y2=12可化为 + =1,则椭圆 23 12 4x ∠F1PF2=90°.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,
+y2=12的焦点是(0,±3),点(±4,0)与点(0,±3) m2
1
+n2=12,2mn=4,所以S△F1PF ,故选2=2mn=1 D.
的距离等于5.
9.B 【解析】 设椭圆的左焦点为F',则△FAB
3.B 【解析】 设 椭 圆 的 焦 距 为2c,右 焦 点 为
的周长为
, , AF+BF+AB≤AF+BF+AF+BF=4aF1 连接PF1 如图所示.
=8,所 以a=2,当 直 线 AB 过 焦 点F'(-1,0)时,
△FAB 的周长取得最大值,所以0=-1+m,所以 m
=1.故选B.
10.D 【解析】 圆 x2+(y-6)2=2的 圆 心
C(0,6),设Q(x,y),|QC|2=x2+(y-6)2=10-
2
10y2+(y-6)2=-9y2
2
由F(-25,0),得c=25,由|OP|=|OF|= -12y+46=-9
(y+ )3 +
84
数学·解析几何
2
50.当y=- 时,3 |QC|
取得最大值为 50=52,故 1 · 1 2 6|m|∴S△AMN=2|MN| d=2 12-3m × 3
P,Q 两点间的最大距离是62. 2 2 2
= (4-m2)m2
2 4-m +m
≤ × = 2,
x2 y2 2 2 2
11. + =1 【解析】 由题意得9 8 2a=6
,故a
当且仅当4-m2=m2,即m=± 2时等号成立,
c 1
=3.又离心率e= = ,所以c=1,2a 3 b =a
2-c2=8, 2
此时直线l的方程为y=2x± 2.
x2 y2
故椭圆方程为
9+8=1. 14.解:(1)取PQ 的中点D,连接OD,OP
25 π 2
12. 【解析】5
因为△AOP , 由α= ,c=1可得OD= ,是等腰三角形 4 2
2
A(-a,0),所以 P(0,a).设 Q(x0,y0),因 为P→Q= , PQ∵PQ= 14 ∴OQ2= +OD24 =4
,
2Q→A,所以(x0,y0-a)=2(-a-x0,-y0).所 以 ∴a2=4,b2=3,
ì 2 2
{x0=-2a-2x
x0=-3a x0 ∴圆O 的方程为x2+y2, =4
,椭圆C 的方程为
解得 í ,代入椭圆方程 化 4
y0-a=-2y0 a 2
y0=3 y+3=1.
b2, 1
2
简 可得 = ,
b 25
所以e= 1- = . (2)∵AF2,BF2,AB 成等差数列,AF2 2 2+BF2+a 5 a 5
AB=8,
13.解:(1)∵F1,E,A 三点共线,∴F1A 为圆E
8
的直径,∴AF ,2⊥F1F2. ∴BF2=3
2 ( 1 9由x + 0- )2 ,得 ,2 =4 x=± 2 ∴c= 2
, ì( )2 2 64
x-1 +y =9
|AF|2=|AF |2-|F F |2=9-8=1,2a= 设B(x,y),则 í ,2 1 1 2 x2 y2
|AF2|+|AF1|=4,a=2 4+3=1
∵a2=b2+c2,∴b= 2,
得B(
4
- ,
15
- ),
x2 y2 3 3
∴椭圆C 的方程为4+2=1. ∴PQ:y= 15(x+1),
(2)由题知,点A 的坐标为(2,1),
∵MN→
15 15 7
=λO→A(λ≠0), ∴O 到PQ 的距离为 ,4 PQ=2 4-16=2.
2 又圆 O 上 一 点 到 直 线PQ 的 距 离 的 最 大 值 为
∴直线的斜率为 ,2 15
+2,
2 4
故设直线l的方程为y= x+m,2 M
(x1,y1),
1 7 15
N(x , ), ∴△MPQ 的面积的最大值为y × ×
( +
2 2 2 2 4
ì 2 7 15+56
y=2x+m 2
)= .
联立 í ,得x2+ 2mx+m2-2=0, 16
x2 y2
15.解:(1)椭圆C 中,因为c= 2,a= 3,所以b 4+2=1
c 6
x x m,xx m2 ,且 m2 2 2∴ 1+ 2=- 2 1 2= -2 Δ=2 - =1,离心率e=a =
,
3 a +b =2
,其“准圆”方程
4m2+8>0,即-22
所以|MN|= 1+k2·
1
|x1-x x2|= 1+ ·2 (2)由(1)知椭圆C 的方程为3+y
2=1,其“准
(x1+x 22)-4x1x2= 12-3m2, 圆”x2+y2=4与y 轴正半轴的交点为P(0,2).过点
6|m| P(0,2)且与椭圆有一个公共点的直线斜率存在,设其
点A 到直线l的距离d= ,3 方程为y=kx+2,
85
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ìy=kx+2 |MF| =a-ae. min
由 íx2 消去y,得(1+3k2)x2+12kx+9 () (2 2 设 A x0,y0),B(x2,y2)(x0,x2>0),连接
3+y =1 OQ,OA,在△OQA 中,|AQ|2=x2+y2-b20 0 ,
=0. 2 2 2
2 x0 2 2 cx0
因为椭圆与直线y=kx+2只有一个公共点,所 又y0=(1- 2)b ,所以|AQ|= 2 ,a a
以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,解得k=±1. cx0, cx则 同理 2
所以l1,
,
l2 的方程分别为y=x+2,y=-x+2.
|AQ|= a |BQ|= a
16.解:(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到 c c
所以|AB|+|AF|+|BF|=2a-( x0+ x2)
, 2
a a
切线的距离 即b= = 2.
2 c c+ax0+ax2=2a
,
c 3 b c 2
因为离心率e= = ,所以 = 1-( )a 2 a a = 又a=2,所以所求周长为4.
1 【能力特训】
2. 高频题特训
所以a=22. 1.D 【解析】 由题意,可设椭圆的焦点F 的坐
x2 y2 c 3
所以椭圆C 的方程为 + =1. 标为(c,0),因为△AOF 为正三角形,则点( , c)在8 2 2 2
(2)由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),
2 2 2
椭圆上, c 3c , 2 3e代入得 即
4a2+4b2=1 e +1-e2=4
,得e2
(-x0,y0),
y -1 =4-23,解得e= 3-1,故选D.
则直线PM 的方程为 0y= ,x x+1 ①0 2.A 【解析】 由题意可知,∠F1PF2 是直角,且
y -2
直线QN 的方程为 0y= -x x+2.② ,
|PF2|
tan∠PF1F2=2 所以|PF|=2.
又|PF1|+|PF2|=
0 1
设T 点的坐标为(x,y). , 2a, 4a2a 所以|PF1|= |PF2|= ,根 据 勾 股 定 理 得
x 3y-4 3 3
联立①②解得x0= ,2y-3y0=2y-3.
(2a
2
) (4a
2 c 5
x2 y2 1 x 2 1 3y-4 2 3 +
)=(2c)2,所以离心率e= = .
因为 0 0+ =1,所以 ( ) ( ) 3 a 38 2 8 2y-3 +2 2y-3 3.B 【解析】 由题知|AF1|+|AF2|=2a(设a
=1, 为椭圆的长半轴),|AF1|-|AF2|=2,而|F1F2|=
x2 (3y-4)2
整理得 + =(2y-3)2, |F1A|=4,因此可得2×|F1A|=2a+2,8=2a+2,a8 2
x2 9y2
2
x2 =3.又c=2,故C2 的离心率e= .
所以 2 ,即 3
8+ 2 -12y+8=4y -12y+9 8+
4.B 【解析】 设向量F→P,F→1 2A的夹角为θ.由条
y2
2
2=1. b 3件知|AF2|为椭圆通径的一半,即|AF2|= ,则a=2
所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程,即点T 在椭
圆C 上. 3F→ → →1P·F2A= |F1P|cosθ,于是F→1P·F→2A要取得最2
17.解:(1)设F(c,0),
大值,只需F→1P在向量F→2A上的投影值最大,易知此时
则|MF|= (x1-c)2+y21,
点P 在椭圆短轴的上顶点,所以F→· 3x2 y2 x2 1P F
→
2A=2|F
→
1P|
又 1 1 1+ =1,则y2=(1- 2a2 b2 1 a2
)b ,
· 332 cosθ≤ ,故选b 2 B.
所 以 | MF | = (1-a2
)x21-2cx1+a2 =
5.D 【解析】 由题意知,|MF2|=10-|MF1|
c2
x2-2cx 2a2 1 1+a =
(ex -a)2, , 11 =8ON 是△MF1F2 的中位线,所以|ON|=2|MF2|
又-a≤x1≤a且0所以|MF|=a-ex1,且|MF|max=a+ae, 6.B 【解析】 设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+
86
数学·解析几何
, · (m+n
2 4
n=2a=4|PF1| |PF2|=mn≤ )2 =4
( ì当且 y=-3x+4m
方程得 í ,
34 2 50m消去 得 ,
仅当m=n=2时,等号成立).故选B. x2 2
y 9x - 3 x=0y
2+ 2=1
7.D 【解析】 在双曲线中,m2+n2=c2,又2n2 25m 16m
c 75m 75m 32m
=2m2+c2,解得m= ,又c2=am,故椭圆的离心率 解得x=0或x= ,因此点 D( , ),直线2 17 17
- 17
c 1 32m
e=a= .
- 17 +4m2 12CD 的斜率是 75m =25.
8.A 【解析】
c 1
由e= = ,得 ,所以 17a 2 a=2c b=
10
a2-c2= 3c,则 方 程ax2+2bx+c=0为2x2+ 14. 【解析】 A(-1,0)关于直线 :5 ly=x
1
23x+1=0,所 以 x +x =- 3,xx = ,则 点 +2的对称点为 A'(-2,1),连接 A'B 交直线l于点1 2 1 2 2
P,则 椭 圆 C 的 长 轴 长 的 最 小 值 为|A'B|=
P(x ,x )到原 点 的 距 离 为 d = x2 21 2 1+x2 = (1+2)2+1= 10,所以椭圆C 的离心率的最大值
(x1+x2)2-2x1x2= 3-1= 2,故选A.
c 1 10
9.D 【解析】 因为PF→1·PF→ → → 为 = = .2=0,PF1⊥PF2, a 10 5
65 c 5 2
|PF1|+|PF2|= 5c=2a
,e=a=3. a
15.(2-1,1) 【解 析】 由 =
10.B 【解析】 数形结合可知以线段F1F2 为直 sin∠PF1F2
径的圆在椭圆的内部,所以ca2 2,(
c) 1-c < ,
c 2
0< < ,故选a 2 a 2 B. sin∠PF2F1 |PF1|= ,
|PF1| c
所 以 ,即
sin∠PF F |PF| |PF = |PF1|=1 2 2 2| a
π
11.D 【解析】 设 P(2cosθ,sinθ)(0<θ< ),2 c|PF2|.又由椭圆定义得a |PF1|+|PF2|=2a
,所以
则 点 P 到 直 线 AB:x +2y =2 的 距 离 d =
2a2 , 2ac
( π) |PF2|=a+c|PF1|=a+c.
因为|PF2|是△PF1F2
|2cosθ+2sinθ-2| |22sinθ+4 -2| 22+2
= ≤ .
5 5 5 , 2ac 2a
2 2ac
的一边 所以有2c-a+c,即 2
a+c c +
1
故三角形PAB 面积的最大值为 |AB|d = 2+1. 2ac-a2>0,所以e22 max +2e-1>0
(0离心率的取值范围为( ,)
故四边形OAPB 面积的最大值为 2+2. 2-11 .
12.C 【解析】 因为直线与圆没有交点,所以由 516. 【解析】 由焦距为2,得 ,左准线
2 2 20
c=1 l
圆心到直线的距离 公 式 知 m2+n2
m n
<4,则 9 +4≤ 与x 轴的交点为M,|MA2|∶|A1F1|=6∶1,则6(a
2
m2+n2 2 2 a
<1,所以点( ,
x y
m n)在椭圆 + =1内,即过 -c)=a+ .把c c=1
代入,解得a=2或3.
4 9 4
x2 y2 1
点(m,n)的直线与椭圆 + =1有2个交点. 由于离心率e< ,所以2 a>2c=2
,则a=3.
9 4
12 则l:x=-9,设P(-9,y)(y>0),则|MF1|=8,
13. 【解 析】 依 题 意 得,25 cos∠F1BF2 = |MF2|=10,
7 3 则 (
cos2∠CBF =1-2sin2∠CBF = ,sin∠CBF = ; tan∠F1PF2=tan ∠F2PM-∠F1PM
)
2 2 25 2 5 10 8 2
c c 3 y-又sin∠CBF = ,因此 = .因此,可设c=3m,a y y 2 2 52 a a 5 = 80= 80= 80≤ =20.
1+ 2 1+ y+ ·802
=5m,b=4m,其中m>0,则有点C(0,-4m),椭圆方 y y y 2 y y
x2 y2 4 80
程是 2+ ,直线 : 联立 当且仅当 ,即 时,25m 16m2=1 BF2 y=-3x+4m. y=y y=45 tan∠F1PF2
取得
87
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x25 2 y
2
最大值 . 2c,所以a =4,b
2=3,所以椭圆C 的方程为 +
20 4 3
=1.
17.解:(1)因为以原点为圆心,椭圆的短半轴长为 () 3 32 设P(-1,y0),y0∈(- , ),2 2
26
半径的圆与直线x-y+26=0相切,所以b= = ①当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程
2
为
2 2 y-y0=k(x+1),
,2 a -b 123e = 2 = ,所以a 4 a
2=16, M(x1,y1),N(x2,y2).
2 2
x2 y2 {3x +4y =12由 得( 2) 2 (故椭圆C 的方程为16+12=1. 3+4k x + 8ky0+y-y0=k(x+1)
8k2)x+(4y20+8ky0+4k2-12)=0,
8ky +8k2
所以x 01+x2=- 3+4k2 .
, x1+x因为 P 为 MN 中 点 所 以 22 = -1
,即
8ky0+8k2 , 3- 2 =-2 所以3+4k k=
( )
4y y0≠0 .0
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为直线PQ 与x 4y
因为直线
, l⊥MN
,所以k 0l=- ,所以直线 的
轴不重合 3 l
故可设直线PQ 的方程为x=my+3. 4y方程为 0 4y0 1y-y0=- (x+1),即y=- (x+ ),
将其与椭圆方程联立,消去x 得(3m2+4)y2+ 3 3 4
18my-21=0, 1显然直线l恒过定点(- ,)
-18m -21 4
0 .
所以y1+y2= ,3m2+4y1y2=
,
3m2+4 ②当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程
为x=-1,
由A,P,
y
M 三点共线可知 M
y1 , 28
16 =x1+4yM
=3 1
+4 此时直线l为x 轴,也过点(- ,4 0
).
3
· y1 . 综上所述,
1
直线l恒过定点(- ,4 0
).
x1+4
28 y
同理可得 2y = · . 19.解:(
5
1)由已知|AB|= |BF|,即 a2+b2N 3 x2+4 2
· y y 9y y所以 k M N M N 5MR kNR = ·16 16 = 49 = = ,
-3 -3 2
a
3 3 4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,所以e=
16y1y1
( )( ), c 3x1+4 x2+4 a=2.
因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)= x2 y2
m2yy +7m(y +y )+49, (2)由(1)知a
2=4b2,所以椭圆C:4b2+b2=1.1 2 1 2
16yy
所以k ·k 1 2= 设P(x1,y1),Q(x2,y2),MR NR m2y1y2+7m(y1+y2)+49 直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
-21
16· {2x-y+2=03m2+4= 由 x2 y2 消去y,得x2+4(2x+2)2-4b22· -21 -18mm 3m2+4+7m· 2+ 2=13m2+4+49 4b b
=0,
16×(-21) 12
= 4×49 =-
, 即17x2+32x+16-4b27 =0.
12 2 17
故直线 MR,NR 的斜率之积为定值 2 2- . Δ=32+16×17(b -4)>0,解得b>7 17
.
3 1 32 16-4b
2
18.解:(1)因为点(1, )在椭圆C 上,所以 + x1+x2=- ,17x2 1x2= 17 .2 a
→ →
9 1 c 1 因为OP⊥OQ,所以OP·OQ=0,
2=1.又椭圆C 的离心率为 ,所以 = ,即4b 2 a 2 a= 即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=
88
数学·解析几何
0,5xx +4(x 21 2 1+x2)+4=0. 5t=0,
5(16-4b2) 128
从而 5 5
17 -17+4=0
,解得b=1,满足b 所以x= t或x=t(舍去),即3 xp=3t.
2 17 3
> . 又0x2 1 1
所以椭圆C 的方程为4+y
2=1. 所以S(t)= ·2|MN| |x
2
p-t|=2 a -t
2·
易错题特训 5 1 2(2 2) 1 (2 a
2 a4
1.D 【解析】 显然 m>0且 m≠4.当0)2 ,
2 +4
1 1 3
- 所以当t= a 时,S(t)取得最大值,且最大值为m 4 2 5
时,椭圆长轴在x 轴上,则 = ,解得 ;
1 2
m=2
4
25a
2.
m
1 1 【易错提醒】 本题看似简单,但求解过程中对考
4-m 2 生的理解和运算能力要求是比较高的,特别是第(2)问
当m>4时,椭圆长轴在y 轴上,则 = ,解
1 2 含字母的运算是复习过程中考生倍感头痛之点,同时
4 本题有两个易错点:一是题目第(2)问不是在第(1)问
得m=8. x2 2
【 】 , 的结果 + =1的前提下求解
,在测试中出现这种
易错提醒 本题易出现的错误有两方面 一是 4 y
忽略椭圆长轴在y 轴上的情况;二是没有把椭圆方程 错误的考生很多,使第(2)问丢了分;二是得到面积的
化成标准形式. 1
函数关系式S(t)= 2(2 2)后,很多考生运用
x2 y2 3
t a -t
2.D 【解析】 椭圆4+ =1
中,a=2,3 b= 3
,
, 1 2(2 2) 1(t
2+a2-t2
基本不等式求解 即 t a -t ≤ )
所以c=1.所以A(-2,0),F(1,0).设P(x,y),P→A· 3 3 2
→ x2 a
2 a2
PF=0,即(x+2)(x-1)+y2=x2+y2+x-2= = ,当且仅当6 t
2=a2-t2,即t2= 时等号成立,从
4 2
(x+2)2 而产生错解,原因是考生没有注意到点P 不同于M,
+x+1= =0,所以x=-2.所以能够使4 P
→A
N,因而没考虑到0·P→F=0的点P 的个数为1. 3
【 】 , 0椭圆的对称性,认为有2个或4个这样的点P,误选A 立的条件不具备,因而产生丢分现象.
或C. 多解题特训
3 c 3 解:(1)因为|MF|+|MF|=2a,
3.解:(1)由e= ,知 = ,又a2
1 2
2 a 2 =b
2+c2,所
|MF1|+|MF2| 2所以
以a=2b. |MF1|
·|MF2|≤( )=a2,2
因为△ABF2 的周长为8,即4a=8,所以a=2,b |MF|21 +|MF2|2-4c2所 以
2 cos∠F1MFx 2
= 2|MF1|·|MF
=
, 2 2
|
=1 所以椭圆C 的标准方程为4+y =1. 4b2-2|MF1|·|MF2| 2b2
(2)由已知得a=2b,所以椭圆C 的方程为x2+ 2|MF|·|MF ≥ 2 -1.1 2| a
4y2=a2,不妨设 M 在N 的上侧, π 2b2
因为∠F1MF2 的最大值是 ,所以2 a2 -1=0
,
{x=t a
2
(, -t
2
由 得 ),
2 2 2 M t 2 N
(t,
x +4y =a c b2 2
所以椭圆E 的离心率e= = 1- 2= .
a2-t2 a a 2
- ),2 2(2)
a
当 M 变化时,点R 恒在一条定直线x= 上.
所以,以 MN 为直径的圆的方程为(x-t)2+y2 c
2 2
a2-t2 x y
= , 先证明过椭圆E: 2+ 2=1(a>b>0)上一点4 a b
2 2
{( )2 2 a -ta
2-t2 xx yy
x-t +y = M(x0,y0)的切线方程是
0 0
+ =1.
由 4 4 2 2得 3x2-8tx+ a b
x2+4y2=a2 法一:当x0y0≠0时,设切线方程为y-y0=k(x
89
小题狂刷 高考专题特训
-x0)与椭圆E 方程联立,得(b2+a2k2)x2+2a2k(y 20 ì x
11+y
2=1
) 2( )2 2 2 11a2-kx0 x+a y0-kx0 -ab =0. 组 í 可得,x2 2 2 21= ;即 (
x2 y2 ay bx 2 b a
2+11b2 a +11b =9a
由 及 0 0 ,得( 0 0Δ=0 2+ 2=1 k+ )a b b a =0.
y=ax
b2x0 x0x y0y +b
2),所以b2=4a2,即c2=5a2,所以e=5.故应选A.
所以k=- 2 ,因此切线方程是ay a2
+b2 =1.0 4.B 【解析】 利 用 点 到 直 线 数学·解析几何
考点聚焦
解析几何是高中数学的主要板块之一,在高中占 【例2】 已知F 是抛物线x2=4y 的焦点,直线
有极为重要的位置,在高考试卷中至少有两道小题和 y=kx-1与该抛物线交于第一象限内的点A,B,若
一道解答题,其分值约为22分,约占总分的15%.下面 |AF|=3|FB|,则k的值是 ( )
简要介绍其主要考点. 3
考点1 直线与圆的方程及其位置关系
A.3 B.2
该考点的知识包括:直线的倾斜角和斜率、直线的 3 23
方程、直线与直线位置关系( 、 )、 C. D.平行 垂直和相交 距离 3 3
公式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平 【解析】 显然k>0.抛物线的准线l的方程为y
行直线间的距离公式)、圆的方程、直线与圆的位置关 =-1,设其与y 轴交于点F',直线y=kx-1过点F'.
系(相交、相切、相离)、圆与圆的位置关系(内含、内切、 分别过点 A,B 作l的垂线,垂足分别为 A',B',根据
相交、外切、外离). 抛物线定义,|AF|=|AA'|,|BF|=|BB'|,根据已
该考点的方法包括:待定系数法求直线方程与圆 |AF| |AA'|知,
|BF|=|BB'|=3.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
的方程,代数方法判断直线与直线、直线与圆、圆与圆
的位置关系,几何方法判断直线与直线、直线与圆、圆 |F'A'| x1 |AA'|= = =3,即x1=3x2.联立抛物线方|F'B'| x |BB'|
与圆的位置关系. 2
【 】 () 2 2 程与已知直线方程
,消元得x2-4kx+4=0,则x +
例1 1 已知直线y=kx+3与圆x +y - 1
x2=4k,把x1=3x2 代入,得x1=3k,x2=k.又x1x2
6x-4y+5=0相交于 M,N 两点,若|MN|=23,则
4
k的值是 . =4,所以3k·k=4,即k2= ,
23
解得
3 k=
,选
3 D.
(2)在平面直角坐标系xOy 中,圆 C 的方程为 【点评】 利用数学定义解题,在高中数学的其他
x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一 部分也有零星的题目,但没有圆锥曲线中使用定义解
点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共 题突出,很多圆锥曲线试题需要依靠定义求解.使用圆
点,则k的最小值是 . 锥曲线定义解题的关键是把两个焦点联系起来(椭圆
【解析】 (1)圆的方程即(x-3)2+(y-2)2=8, 和双曲线),把焦点与准线联系起来(抛物线).
设圆 心 到 直 线 y=kx+3的 距 离 为 d,则2 3= 2 2【 x y例3】 已知双曲线 - 2=1(b∈N*)的两个
2, , |3k-2+3|
4 b
2 8-d 即d= 5 所以 = 5,解得k=
1+k2 焦点F1,F2,点P 是双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,
1 |F1F2|,|PF2|成等比数列,则双曲线的离心率为
-2或k=2. ( )
(2)圆C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,只要圆C A.2 B.3
的圆心(4,0)到 直 线l 的 距 离 不 大 于 2 即 可,即 5 5
C. D.
|4k+2| 4 4 3 2
≤2,解得- ≤k≤0,故k的最小值为
k2+1 3
-3. 【解 析】 由 于 O 为 线 段 F1F2 的 中 点,在
【点评】 在直线与圆、圆与圆的位置关系中,使用 △POF1,△POF2 中,根 据 余 弦 定 理 可 得|PF |21 +
代数方程的方法虽然可解(如本例(1)中可以使用一般 |PF|2=2c22 +2|OP|2.根 据 双 曲 线 定 义||PF1|-
的弦长公式),但根据圆的几何性质使用几何方法更为 |PF2||=4,两边平方,得|PF|21 +|PF 22|-2|PF1|·
简捷明了,在该类试题中以几何方法为首选. |PF2|=16,根据已知|PF1|·|PF2|=|F 21F2|=4c2,
考点2 圆锥曲线与方程 所以2c2+2|OP|2-8c2=16.所以|OP|2=8+3c2=
该考点的知识包括:椭圆、双曲线、抛物线的定义、 8+3(4+b2)<25,b∈N*,故只能是b=1.所以c= 5,
标准方程和简单几何性质. 5
该考点的方法包括:圆锥曲线定义的应用,待定系 故所求的离心率为 .选2 D.
数法求圆锥曲线方程,方程方法求解椭圆、双曲线的离 【点评】 求离心率即建立a,c之间的等量关系,
心率,不等式方法求解椭圆、双曲线离心率的范围等. 使用方程的方法;求离心率的取值范围即建立a,c间
1
小题狂刷 高考专题特训
的不等式关系,把a,c纳入到一个不等式中,使用不等 -16k2x+16k2-4=0.
式的方法求解. ( , ), 16k
2-4 8k2-2
设 M x1 y1 则2x1=1+4k2
,得x1= ,
考点3 解析几何知识和方法的综合运用 1+4k
2
2
该部分的主要知识包括:曲线与方程的概念,直线 y1=k(x1-2)
-4k , (8k -2 -4k= 2 即 M , )
与圆锥曲线的位置关系(位置关系的判断、弦长公式、 1+4k 1+4k
2 1+4k2 .
切线方程等). 1设直线 AN 的斜率为k',则kk'=- ,即4 k'=
该考点的主要方法包括:建立曲线方程的方法(直
、 、 、 1 1 2-8k
2
接法 待定系数法 代入法 参数法、交轨法等),研究直 - ,把点 M 坐标中的k 替换为- ,得 N( ,4k 4k 4k2+1
线与圆锥曲线相交时的整体代入法,研究最值、范围问
4k
题的函数、不等式法,研究定点、定值问题的参数法等. 2 )4k +1 .
2 2
【 】 x y例4 已知椭圆C: 2+ 2=1( )经过 1a b a>b>0 当 M,N 的横坐标不相等,即k≠± 时,2 kMN=
3 3
点(1, ),离心率为 .过椭圆右顶点的两条斜率之 2k 4k 2k2 2 ,直线 的方程为 (1-4k2 MN y-4k2+1=1-4k2 x-
1 2
积为- 的直线分别与椭圆交于点 M,N. 2-8k4 2 ),
2k
即y= ,该直线恒过定点(,)4k +1 1-4k2x 00 .
(1)求椭圆C 的标准方程; 1 , ,
() , 当k=± 时 M N 的横坐标为零,直线 也2 直线 MN 是否过定点D 若过定点 D 求出 2 MN
点D 的坐标;若不过,请说明理由. 过定点(0,0).
c 3 1 3 综上可知,直线 MN 过定点D(0,0).【解析】 (1)由e= = 以及a 2 a2+4b2=1
,解得 【点评】 证明直线过定点的基本思想是使用一个
x2 参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得
a2=4,b2=1,所以椭圆C 的方程为 24+y =1. 出x,y 的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线
(2)直线 MN 恒过定点D(0,0).证明如下: 所过的定点,本题也可以直接设直线 MN 的方程为y
根据已 知 直 线 AM,AN 的 斜 率 存 在 且 不 为 零, =kx+m 后,根据已知建立参数k,m 的关系,把双参
A(2,0). 数化为单参数再求解.
设AM:y=k(x-2),代入椭圆方程,得(1+4k2)x2
2
