小题狂刷 高考专题特训
参考答案
第一单元 三角函数的图象与性质 【 】 109.答案 4
m
第1节 任意角和弧度制及 【解析】 设P(m,5)到原点O 的距离为r,则r
任意角的三角函数
2 , , 5 5 10=cosα=4m ∴r=22sinα= = = .【基础特训】 r 22 4
1.【答案】 C 310.【答案】 -
【解析】 由-870°=-1080°+210°,知-870°角 5
和210°角终边相同,在第三象限. 【解析】 由 题 意 及 图,易 知 A 点 的 横 坐 标 为
2.【答案】 B 3, 3- 所以5 cosα=-5.
【 2π 1 1 2π解析】 ∵72°= ,5 ∴S
2
扇形=2αr =2×5× 11.【答案】 êé πê2kπ+ , 3 2kπ+π
ù
úú(k∈Z)
2 ( 2) 20=80πcm .
sinx≥0 sinx≥0
3.【答案】 B 【解析】 由题意知 {1 ,即 1,【解 析】 由 三 角 函 数 的 定 义,得 sinα = 2-cosx≥0 {cosx≤2
2 25
= 5 .
π
∴x 的取值范围为( )2 2 2kπ+3≤x≤2kπ+π
,k∈Z.
-1 +2
4.【答案】 C 【能力特训】
【解析】 设圆半径为r,则其内接正三角形的边 高频题特训
长为 3r,所以 3r=α·r,∴α= 3. 1.
【答案】 D
【解析】 由 得,当 ,
5.【答案】 D sinθcosθ<0 sinθ>0cosθ<0
时,
【 】 角 为第二象限角,当解析 因为角α 和角 的终边关于直线 =x θ sinθ<0
,cosθ>0时,角θ为第四
β y
象限角,故角θ为第二或第四象限角.
π π
对称,所以α+β=2kπ+ (k∈Z),又β=- ,所以2 3 α 2.【答案】 D
【解析】 由已知得r=|OP|= 3+y25π 1 ,∴sinα=
=2kπ+ (6 k∈Z
),即得sinα=2. y y
2= .∴2= 3+y
2,∴y2=1,∴y=±1,故
6.【答案】 A 3+y2
【解析】 因为角α的终边与单位圆x2+y2=1交 1 3 3 1
sinα=± ,cosα=- .tanα=± .则cosα-
1 2 2 3 tanα
1 x 2 1 π
于P( ,y),则cosα= = = ,所以sin( +2α) 3 332 r 1 2 2 = 或2 - .
故选
2 D.
2 1 1 【答案】=cos2α=2cosα-1=2×( )2-1=- 故选 3. B2 2. A. 【解析】 ∵600°=360°+240°,∴600°角的终边与
7.【答案】 D 240°角的终边重合.∵240°角的终边在第三象限,∴综
【 】 3π , 3π解析 由sin >0cos <0知角θ是第四象 上可知a<0.故选B.4 4 4.【答案】 B
3π
cos 5π 34 7π 【解析】 因 为 sinx=cos = - ,
限的角,∵tanθ= =-1,θ∈[0,2π),
cosx=
3π ∴θ=4.
6 2
sin4 5π 1 πsin6=
,所以
2 x=-
( ),故 当
【 】 3
+2kπk∈Z k=1
8.答案 -8
y 25 时,
5π 5π
x= ,即角3 x
的最小正值为 .
【解析】 因为sinθ= =- ,所以y< 3
42+y2 5 5.【答案】 C
0,且y2=64,所以y=-8. 【解析】 由点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,
64
数学·三角函数与平面向量
{sinα-cosα<0则 , α α α由于tanα>0,排除A、B、D,则选C. sin2 cos -sintanα>0 2- =0; α 2当 在第四象限时,y= +
6.【答案】 B α α 2 αsin
-8m 2
cos2 sin2
【解析】 ∵r= 64m2+9,∴cosα= α
64m2+9 cos2
4 4m2 1 1 =0,综上,α y=0.=- ,∴m>0,∴ 2 = ,即5 64m +9 25 m=2. cos2
7.【答案】 (1,3) 2.【答案】 C
【解析】 设B(x,y),由题意知|OA|=|OB|=2, 【 π解析】 因为α 是第二象限角,所以 +2kπ<α
∠BOx=60°,且点B 在第一象限,∴x=2cos60°=1, 2
∴y=2sin60°= 3,∴B 点的坐标为(1,3) , ,
π 2kπ α π 2kπ
. <π+2kπk∈Z 则 , ,6+ 3 <3<3+ 3 k∈Z
8.【答案】 éê πê2kπ- ,
π úù( ) π α π
3 2kπ+3 ú k∈Z 当k=3m,m∈Z时,6+2mπ<3<3+2mπ
,
【 1解析】 ∵2cosx-1≥0,∴cosx≥2.
α
m∈Z,此时 为第一象限角3 .
由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图
, ,5π α) 当阴影所示 . k=3m+1 m∈Z
时
6 +2mπ<3<π+
α
2mπ,m∈Z,此时 为第二象限角3 .
3π α 5π
当k=3m+2,m∈Z 时,2+2mπ<3<3+
α
2mπ,m∈Z,此时 为第四象限角3 .
故选C.
é π π ù 3.【答案】 B∴x∈ êê 2kπ-
,
3 2kπ+
ú
3 ú
(k∈Z).
【 1 PB解析】 Rt△POB 的面积为 · ,
9.【
OB PB =
答案】 三 2 OB
【 θ θ
1 2 1 2
解 析】 ∵cos -sin = 1-sinθ = tanα,由题可知2OB
·α= ·4OB tanα
,故tanα=
2 2
θ θ θ θ 3π θ 2α,故应选B.
cos2-sin
,
2 ∴cos2≥sin
,
2 ∴2kπ-4≤2 4.【答案】 A
π π 【解析】 因第一象限角370°不小于第二象限角
≤2kπ+ ,4 k∈Z.
又∵2kπ+2<θ<2kπ+π
,k∈Z,∴ 100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一
π θ π 5π θ 3π 象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin
kπ+4<2
,
2 ∴2kπ+
故
4<2<2kπ+2. π 5π, π 5π=sin 但 与 的终边不相同,故④错;当
θ 6 6 6 6
cosθ
为第三象限角
2 . =-1,θ=π时 既 不 是 第 二 象 限 角,又 不 是 第 三 象 限
5 角,故⑤错.综上可知只有③正确.
10.【答案】 2 5.【答案】 D
【 】 ( 4 ) ( 4解析 由已知得f - =f - +1)+1= 【解析】 π π3 3 ∵ ,4<θ<2 ∴tanθ>1,sinθ-cosθ=
( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 2π ( π ) π π π πf - +1=f - +1 +2=f +2=-cos 2sinθ-4 .∵4<θ< ,2 0<θ- ,3 3 3 3 4<4 ∴sin(θ-
1 5 π
+2= +2= . 4 )>0,∴sinθ>cosθ.故应选D.2 2
易错题特训 6.【答案】 A
1.【答案】 A 【解析】 如图所示:
【解析】 ∵α 是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ
3 ( ), π α 3π+2πk∈Z ∴kπ+ < (
2 2 4 k∈Z
),∴角
α α
在第 二 象 限 或 第 四 象 限.当 在 第 二 象 限 时,2 2 y=
65
小题狂刷 高考专题特训
2π, π ∴
锐角θ=85°,故应选A.
由题意可知∠POP'=3 ∴∠MOP'=3. 4.【答案】 B
1 3 1 3 π
∴OM= ,MP'= ,∴P'(- , ) .故应选A. 【解析】 由α=2kπ- (k∈Z)及终边相同的概2 2 2 2 5
7.【答案】 C 念知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α 的终边相
π 同,所以 角θ 是 第 四 象 限 角,所 以sinθ<0,cosθ>0,【解析】 因为α 为第二象限角,所以2+2kπ<α tanθ<0.所以y=-1+1-1=-1.
π α π 5.【答案】 D
<π+2kπ,k∈Z,所以 +kπ< < +kπ,k∈Z,所4 2 2 2,
【 】 () {2sinπx -14+ k+4
)π<4π+2<2+
(k+4)π,k∈Z,所以 e ,x≥0
=e0=1,又f(1)+f(a)=2,∴f(a)=1;∴当-1α
4π+ 在第一或第三象限.故选2 C. <0时,f()
1 5
a =2sinπa2=1,∴a2= 或a26 =
,
6 a=
8.【答案】 C 6 30
【解析】 如图,取AP 的中点为D,设∠DOA=θ, - 或6 a=- 6 .
l
则d=2rsinθ=2sinθ,l=2θr=2θ,∴d=2sin ,故2 当a≥0时,ea-1=1,
6
a=1,综上所述,a=- 或6
选C.
30
a=- 或6 a=1
,故应选D.
6.【答案】 C
【解析】 设 此 扇 形 的 半 径 为 r,弧 长 为l,则
2r+l=6, ,
9.【答案】
r=1
(-1,3) {1 解得 或rl=2, {l=4 {r=2, l 4从而α= = =4【 】 l=2. r 1解析 依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30°, 2
∠BOx=120°,设 点 B 坐 标 为 (x,y),所 以 x= l 2或α= = =1.
2cos120°=-1,y=2sin120°= 3,即B(-1,3). r 2
拓展题特训 7.【答案】 (
π π
kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
1.【答案】
3 3
B
【解析】 3 ∵A,B 是锐角△ABC 的两个内角,∴A 【解析】 ∵3-4sin2x>0,∴sin2x< ,4
+B>90°,即 A>90°-B.∴sinA>sin(90°-B)=
cosB,
3 3
cosA,
2
sinB-cosA>0,∴点P 在第二象限.故应选B. π π
2.【答案】 D ∴x∈(kπ- , )( )3 kπ+3 k∈Z .
【 】 3π 3π解析 由sin >0,cos <0知角θ在第四象 8.【答案】 ( )4 4 7+43 ∶9
【解析】 设扇形半径为R,内切圆半径为r.则(R
3π
cos 23
限, 4 7π又 ∵tanθ= , [, ),3π=-1θ∈ 02π ∴θ= .
故 -r)sin60°=r,即R=(1+ )3 r.4
sin4 1 1 2π π 7+43
又
应选D. ∵S扇=2αR
2= × 2 22 3×R =3R = 9
3.【答案】 A
2, S扇 7+43【解 析】 ∵ 已 知 锐 角 θ 的 终 边 上 有 一 点 P πr ∴πr2= 9 .
(sin10°,1+sin80°),
1+sin80° 9.【答案】
3
由任意角的正切函数的定义可得tanθ= 4sin10° 【解析】 由题意知角θ的终边与240°角的终边相
(cos40°+sin40°)2
= 同,又∵P(x,y)在角θ的终边上,所以tanθ=tan240°cos80° y
(cos40°+sin40°)2 cos40°+sin40° 1+tan40°
= y xy x 3 3cos240°-sin240°=cos40°-sin40°=1-tan40° = 3= ,于是x x2+y2
= y 2=1+3=4.
1+ ÷=tan(45°+40°)=tan85°, èx
66
数学·三角函数与平面向量
【解 析】 由 α 是 第 二 象 限 的 角,得 sinα=
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1-cos2
12, sinα 12α= ,则 ( )
【基础特训】 13
tanα=cosα=-5 tan2π-α =
1.【答案】 B 12-tanα=
5 5
.
【解析】 ∵sinα= ,α 是第二象限角,13 ∴cosα= 11.【答案】 2
12 【解析】 ∵f(2012)=asin(2012π+α)+bcos
- 1-sin2α=-13. (2012π+β)+4=asinα+bcosβ+4=6,∴asinα+
2.【答案】 C bcosβ=2,∴f(2013)=asin(2013π+α)+bcos(2013π
【 】 2π )解析 cos 20π =cos 2π =cos = +β +4=-asinα-bcosβ+4=2.
è-
÷ ÷
3 è6π+3 3 12.【答案】 -1
π π 1cos π- ÷3 =-cos =-
,故选C. 【解析】 ∵f[f(2015)]=f(2015-15)=
è 3 2
( ), ( ) 2000π 23.【答案】 D f2000 ∴f2000 =2cos 3 =2cos3π=-1.
【 】 sinα 5 12解析 ∵tanα=cosα=-
,
12 ∴cosα=-
【能力特训】
5 高频题特训
, 144sinα 又 sin2α+cos2α=1,∴sin2α+ 2 1.【答案】 B25sinα= 【解 析】 由 题 意 可 得 tanθ =2,原 式 =
169 2 5又 ,
25sinα=1. sinα<0 ∴sinα=-13. -cosθ-cosθ -2
cosθ-sinθ =1-tanθ=2.
4.【答案】 C 【答案】
【解析】 ∵f(cosx)=cos3x,∴f(sin30°)
2. B
=
π
f(cos60°)=cos180°=-1. 【解析】 由sin(π-α)=-2sin( +α)得2 sinα=
5.【答案】 D sinα·cosα
【解析】 因 为α 为 第 二 象 限 角,所 以cosα= -2cosα,所以tanα=-2,∴sinα·cosα=sin2α+cos2α
3 4
- 1-( )2=- ,所以tan(
sinα
5 5 π+α
)=tanα= = tanα 2cosα =1+tan2α=-
,故选
5 B.
3
- 3.【答案】 A4. 【解析】
【 】 ∵sinα+ 2cosα= 3
,
6.答案 A
sinαcosα ∴(sinα+ 2cosα)
2=3.
【解析】 ∵f(α)=-cosα·(-tanα)=cosα
,∴f ∴sin2α+22sinαcosα+2cos2α=3.
( 25π) ( 25π) ( π
2 2
- =cos- =cos8π+ )
π 1
3 3 3 =cos = .
sinα+22sinαcosα+2cosα
3 2 ∴ sin2α+cos2α =3.
7.【答案】 B tan2α+22tanα+2
∴
【解析】 π cos( -α)=cos éêπ π-( +α)úùê ú = tan
2α+1 =3.
3 2 6
2 , 2
sin(
π ) 3α , ∴2tanα-22tanα+1=0 ∴tanα=2.6+ =
故选
5 B.
【答案】
1 4. A
8.【答案】 2 【解析】 ∵0【解析】 由三角函数诱导公式sin750°=sin(720° 2, 2 π即2sinAcosA= ,∴0) 1
3 3 2
+30°=sin30°=2. 5= ,
15
3 ∴sinA+cosA= .2 3
9.【答案】 -3 5.【答案】 A
【 2π π π π π解析】 sin(α- ) =sinéê π π ùê- - ( -α) úú= 【解析】 ∵( ) ( ) , (3 2 6 3+α + 6-α =2 ∴sin 6-
êéπ ( π ) ùú ( π ) 2-sinê + -α ú=-cos -α =- . α)=sinêéπê -(π+α)úù π 1 2π6 3 2 3 ú=cos( +α)= 则 ( 2 6 3 3. cos 3
【 】 12 π 710.答案 5 +2α
)=2cos2(3+α
)-1=-9.
67
小题狂刷 高考专题特训
26 1
6.【答案】 时等号成立5 2
.
4.【答案】 A
【解析】 1 ∵sinα= ,且α 为第二象限角,5 ∴cosα= 【 1解析】 ∵tanα=- ,2
- 1-sin2
1 26 3π
α=- 1-25=-
,
5 ∴sin( 2+α) = ∴sin2α-2cos2α-1
26 2sinαcosα-2cos
2α-sin2α-cos2α
-cosα= =5 . sin
2α+cos2α
2tanα-2-tan2α-1 17
【 】 7 =7.答案 - tan2α+1
=-5.
4
【 】 14答案
【 π 7 5. -解析】 由题意可得cos( +α)=± ,又因为 24 4
【 】 1π 7 π 解析 依 题 意 得sinα-cosα= ,又(sinα+
α为钝角,所以cos(4+α
)=- ,所以4 sin
( -α)4 =
2
2
cosα)2+(
1
π π π 7 sinα-cosα
)2=2,即(sinα+cosα)2+ (
[ ( )] ( ) 2
)
cos2- 4-α =cos4+α =-4.
=2, (
7 π
故
4 sinα+cosα
)2= ;又4 α∈ (0,2 ),因此有sinα
8.【答案】 -3 7, cos2α cos
2α-sin2α
【 π解析】 由题意sin(θ+ )=sinêé ( π πθ- )+ úù
+cosα= 所 以
ê ú= 2 π
= =
4 4 2 sin(α- 24 ) (2 sinα-cosα)
π
cos(θ-4 )
3, 3π= 因 为5 2kπ+2<θ<2kπ+2π
(k∈ ( ) 14- 2sinα+cosα =- 2 .
), 5π π 7πZ 所以2kπ+ <θ- <2kπ+ (k∈Z),从而4 4 4 sin : 1+tanα6.解 由 已 知 得 ,1-tanα=3+2 2 ∴tanα=
( π ) 4, ( π 4 4θ- =- 因此tanθ- 故填4 5 4 )=-3. -3. 2+22 1+ 2 2= = .
易错题特训 4+22 2+ 2 2
1.【答案】 B ∴cos2(π-α)+sin 3π cos π ÷ ÷+2sin2(α
m è2
+α è2+α
【解析】 由题意知:sinθ+cosθ=- ,2 sinθcosθ= -π)
m m2 m =cos
2α+(-cosα)(-sinα)+2sin2α
,又(
4 sinθ+cosθ
)2=1+2sinθcosθ,∴ ,解4 =1+2 =cos2α+sinαcosα+2sin2α
得:m=1± 5,又Δ=4m2-16m≥0,∴m≤0或 m≥ cos
2α+sinαcosα+2sin2α
= sin2α+cos2α
4,∴m=1- 5.
2.【答案】 C 2
1+tanα+2tan2α 1+2+1 4+ 2
【 】 π 8π 2π 9π =解析 由sin =-sin ,sin =-sin , 1+tan2α
= 1 = 3 .
7 7 7 7 1+2
…, 6π 13π 7π 14πsin =-sin ,sin =sin =0,所以S13= 7.解:()7 7 7 7 1 由已知可得,3sinA-cosA=1.①
2
S =0.同理S =S =S =S =S =S =S = 又sinA+cos
2A=1,∴sin2A+(3sinA-1)2=
14 27 28 41 42 55 56 69
S 270=S83=S84=S97=S98=0,共14个,所以在S1,S2, 1,即4sinA-23sinA=0,
…,S100中,其 余 各 项 均 大 于0,个 数 是100-14=86
( ) 得sinA=0(舍去)
3 π 2π
或sinA= .∴A= 或 ,个 .故选C. 2 3 3
3.【答案】 D π 2π 2
将A= 或 代入①知3 3 A=
时不成立,
3π ∴A
【解析】 π 当0,f(x)= π
=
cos2x 1 3
.
,设 ,则
cosxsinx-sin2x=tanx-tan2x t=tanx 0,得sin2B-sinBcosB
1 1
<1,y= 2= ( )≥4.当且仅当t-t t1-t t=1-t
,即t= -2cos2B=0.
68
数学·三角函数与平面向量
∵cosB≠0,∴tan2B-tanB-2=0,∴tanB=2或 5π
∴cos +θ +sin
tanB=-1. (6 ) (
2π
3-θ)=0.
∵tanB=-1使cos2B-sin2B=0,舍去.故tanB 5.解:(1)当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,
2
=2. (() cos 2kπ+x
)·sin2(2kπ-x)
f x =
8.解:假设存在角α,β满足条件, cos
2[(2×2k+1)π-x]
sinα= 2sin ,① cos
2x·sin2(-x) cos2x·(-sinx)2
{ β = 2( ) = ( )2 =sin2x;则由已知条件可得 cos π-x -cosx3cosα= 2cosβ.② 当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时,f(x)=
由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2. cos2[(2k+1)π+x]·sin2[(2k+1)π-x]
2 1, 2 π π
2{[
∴sinα= ∴sinα=± .∵α∈ (- , ), cos 2×(2k+1)+1]π-x}2 2 2 2 cos2[2kπ+(π+x)]·sin2[2kπ+(π-x)]
π = 2[ ( ) ( )]
∴α=± . cos 2× 2k+1π+ π-x4 cos2(π+x)·sin2(π-x)
=
π , 3 cos
2(π-x)
当α= 时 由②式知4 cosβ=
,
2 (-cosx)2sin2x
= 2( )2 =sinx,综上得f(x)-cosx =sin
2x.
又β∈(0,
π
π),∴β= ,此时①式成立;6
() π 503π π2 由(1)得f( )+f( )=sin2 +
π 3 2014 1007 2014
当α=- 时,由 式知 ,4 ② cosβ=2 1006π π π πsin22014=sin
2 2( )
π 2014
+sin 2-2014
又β∈(0,π),∴β= ,此时①式不成立,故舍去6 . π
=sin2 +cos2
π
π π 2014 2014
=1.
∴存在α= ,β= 满足条件4 6 . 6.解:由已知原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-
拓展题特训 4a≥0,
1.【答案】 B ∴a≥4或a≤0.
【 1 π π sinθ+cosθ=a
,
解析】 ∵sinθ=- ,θ∈(- , ),3 2 2 ∴cosθ= 又 ∵ { ∴ (, sinθ+cosθ)2 =1+sinθcosθ=a
22
1-sin2θ= .∴原式=-sin(π-θ)·(-cosθ) 2sinθcosθ,则a
2-2a-1=0,从而a=1- 2或a=1+
3
2(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1- 2.
1 22 22
=sinθcosθ=-3× 3 =- 9 .
π
∴cos3( -θ)+sin3(
π
-θ)2 2 =sin
3θ+cos3θ
2.【答案】 C =(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)
【 sinαcosα解析】 ∵f(α)= ,-cosαtanα=-cosα =(1- 2)[1-(1- 2)]= 2-2.
( 31 ) ( 31 ) π
π π π
∴f - π =-cos- π =-cos(10π+ ) 7.解
:(1)由2x+4≠2+kπ
,k∈Z,得x≠ +
3 3 3 8
π 1 kπ
=-cos =- . ,k ∈ Z.所 以 f (x ) 的 定 义 域 为3 2 2
3.【答案】 0 { π kπx∈R|x≠ + , πk∈Z},f(x)的最小正周期为8 2 2.
【 】 sin
2α cos2α
解析 原式=cosα 1+ α πcos2α+sinα 1+sin2α (2)由f(2 )=2cos2α,得tan(α+4 )=2cos2α,
1 1 1 1
=cosα cos2α+sinα sin2α=cosα-cosα+sinα
π
sinα= sin(α+4 )
=2(cos20. π α-sin
2α),
cosα+
4.【答案】 0 ( 4 )
【解析】 (5π ) [ ( π ) ] sinα+cosα ∵cos 6+θ =cos π- -θ = 整理得 ( )(6 cosα-sinα=2cosα+sinα cosα-sinα).
π 2π π π π
-cos(6-θ)=-a,sin( 3-θ) =sin[ 2+ ( 因为6- α∈ (0, ,所以4 ) sinα+cosα≠0.
θ) ] π 1 1=cos( -θ)=a, 因此(cosα-sinα)2= ,即6 2 sin2α=2.
69
小题狂刷 高考专题特训
π
由α∈ (0, ), π π得2α∈ (0, ) .所以2α= ,即α 所以函数y=sinx- 3cosx 的图象可由函数y=2sinx4 2 6 π
π 的图象至少向右平移 个单位长度得到
= . 3
.
12 8.【答案】 2 -1
第3节 三角函数的图象与性质 【 】 π π 5π解析 y=2sin
π
x+ ÷,- ≤x+ ≤ ,è 3 ∴ 6 3 6
【基础特训】 1
- ≤sin πx+ 1.【答案】 A ÷2 3 ≤1.∴-1≤ ≤2.
故 =2,
è y ymax ymin
【 π解析】 y=sin(2x- ) =-cos2x 为偶函数, =-1.2 π π
且周期是π,所以选A. 9.解:(1)令2×8+φ=kπ+
,
2 k∈Z
,∴φ=kπ
2.【答案】 C π 3π
【解析】 因为sin168°=sin(180°-12°)=sin12°, + ,4 k∈Z
,又-π<φ<0,则φ=-4.
cos10°=cos(90°-80°)=sin80°,由 于 正 弦 函 数y=
()由()得:() 3π ,
sinx 在0°≤x≤90°上为递增函数,因此sin11°令 , ,可解得
3.【 】
-2+2kπ≤2x-答案 D 4
≤2+2kπk∈Z
【解析】 易得y=1-cos2x,令2x=kπ,得x= π 5π
8+kπ≤x≤8+kπ
,k∈Z,
kπ,
2 k∈Z
,当k=2时,x=π. 因 此 y = f (x ) 的 单 调 增 区 间 为
4.【答案】 D éêπ ,5πê 8+kπ 8+kπ
ùúú,k∈Z.
【 π π π
解析】 由题意得2×6+φ=
,
2 ∴φ=
令
6. 1
10.解:f(x)= (cosx,- )·(2 3sinx,cos2x)=π π π π
2kπ-2<2x+6<2kπ+
(k∈Z).解得2 kπ-3π 3cosxsinx-2cos2x=2sin2x-2cos2x),
π π π
é π ù é2π ù =cos6sin
2x-sin6cos2x=sin(2x-6 ) .∵x∈[0,π],∴x∈ êê , ú∪ ê , ú . 0 6 ú ê3 π ú
5.【答案】 A ()()
2π 2π
1f x 的最小正周期为T=ω=2=π
,即函数
【 2π 2π解析】 依题意得, = ,|ω|=3,又ω>0, f(x)的最小正周期为π.|ω| 3 π π π 5π
, π π, kπ π
(2)∵0≤x≤ , 由正弦函
因此ω=3 所以3x+ =kπ+ 解得x= + , 2
∴-6≤2x-6≤6.
6 2 3 9 π π π
π 数的性质,知当2x- = ,即x= 时,f(x)取得
当k=0时,x= .因此函数f(x)的图象的一条对称 6 2 39
最大值1,
π
轴方程是x=9. π π当2x- =- ,即x=0时,f(x)取得最小值6 6
6.【答案】 A
【 】 1 π解 析 由 图 可 知,A =2,周 期 T =2 - .因此,f(x)在[0, ]上的最大值是1,最小值是2 2
éêπê - ( π ) ùú 2π- ú=π,所以ω=π=2,所以y=2sin(2x+ 1 3 6 -2.
), π πφ 因为图象过点 ( ,2),所以3 2=2sin(2×3+φ), 【能力特训】
高频题特训
2π 2π π
所以sin(3+φ
)=1,所以3+φ=2kπ+
(
2 k∈Z
),令 1.【答案】 A
, π π
π
k=0得 φ=- ,所以y=2sin(2x- ),故选6 6 A.
【解析】 由题意,为得到函数y=sin(x+ ,只3 )
【 π
π
7.答案】 需把函数y=sinx 的图像上所有点向左平移 个单位3 3
π 长度,故选【解析】 因为y=sinx- 3cosx=2sin(x-3 )
A.
,
2.【答案】 C
70
数学·三角函数与平面向量
【 π 1 3π解析】 由题意知x= 是函数f(x)6 =
(
2cosωx =
对称,故④是真命题4 .
) π+φ 图象的对称轴,从而有 ω+φ=kπ,k∈Z,
πx π πx π
所以有
6 8.
解:(1)f(x)=sin4cos6-cos4sin6-
π
g( )=3sin(kπ)-2=-2,故选6 C.
πx 3 πx 3 πx πx π
cos4=2sin4-2cos4= 3sin
( ),
4-3
3.【答案】 C
故f(
2π
x)的最小正周期为T= =8.
【解析】 由f(
π) π得
8 =-2 f
( )
8 =-2sin
(2× π
4
π
+φ)
π π
=-2sin( +φ)=-2,所以sin( +φ)8 4 4 =1. ()
4 2
2 区间[0, ]关于x=1的对称区间为[ ,3 3 2
],
π π π
因为|φ|<π,所以φ= .由4 2kπ-2≤2x+ ≤2kπ
且y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对
4 称,
π, , 3π π+2 k∈Z
解得kπ-8≤x≤kπ+
,
8 k∈Z.
4
故y=g(x)在[0, ]上的最大值为 ( )在3 y=f x
3π π
当k=1时,-8≤x≤
,故选
8 C. [2,2]上的最大值3 .
4.【答案】 A
() () πx π5 由 1 知f x = 3sin( - ),
2
当
【 】 ( ) ≤x≤2
时,
解析 由图知f x 在x=12π
时取到最大值 4 3 3
π πx π π 4
3 5 π - ≤ - ≤ .因此y=g(x)在[, 0
, ]上的最
2 且最小正周期T 满足4T=12π+
,故A= 2, 6 4 3 6 33
, , ( 5π 5π
π 3
T=πω=2 所以 2sin2× +θ)= 2,所以 +θ= 大值为g(x)max= 3sin6=2.12 6
π 易错题特训, π即θ=- ,所以f(x)= 2sin(
π π
2 3 2x-
),令
3 2+ 1.【答案】 A
π 3π 5π 11π 【解析】 画出函数y=sinx 的草图分析知b-a
2kπ≤2x-3≤2+2kπ
得
12+kπ≤x≤12+kπ
,
的取值范围为 éê2π,4πùú .
k∈Z.故选A. ê 3 3 ú
5.【答案】 2
【解析】 f(
π π
x)=3sin( x+ )的周期2 4 T=2π×
2
=4,f(x1),f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和π
T 2.【答案】 A
最大值,故|x1-x2|的最小值为2=2. 【解析】 函数y=sin(ωx+φ)的最大值为1,最小
3π 值为-1,由该函数在区间 êéπ 2πù6.【答案】 y=sin(2x+ ) ê , úú 上单调递减,且函4 6 3
2π 2π π π【解析】 由题意知最小正周期T=π= ,∴ω= 数值从1减小到-1,可知3- =
为半周期,则周
ω 6 2
2,2×(
3π) 3π 2π 2π-8 +φ=kπ
,∴φ=kπ+ ,又4 0<φ<π
,∴φ 期为π,ω= = =2,此时原函数式为y=sin(T π 2x+
3π
= ,
3π π
4 ∴y=sin
(2x+ ). φ),又由函数y=sin(ωx+φ)的图象过点( ,1),且4 6
7.【答案】 ③④ π π
|φ|<2.
代入可得φ= ,因此函数为6 y=sin
(2x+
【 】 ( ) 1 π解析 f x = sin2x,当x1=0,2 x2=
时,
2 π), , 1
f(x1)=-f(x2),但x1≠-x2,
令x=0 可得 = .
故①是假命题; yf(x) 6 2
的 最 小 正 周 期 为 π,故 ② 是 假 命 题;当 x ∈ 3.【答案】 C
êé π π π π πê- , úú
ù 时,2x∈ éêê- ,
ùúú,故③是真命题;因 为 【解析】4 4 2 2
由x= 是函数
3 f
(x)图象的对称轴易
f
3π 1 3π 1 2π 2π 2π
÷
4 =2sin =-
,故
2 2 f
(x)的图象关于直线x 得f(0)=f( ),3 ∴-n=2msin3-ncos
,
3 ∴-nè
71
小题狂刷 高考专题特训
n 3 n 23 π é 1 ù
= 3m+ , ,2 ∴ 3m=-2n ∴m=- 3 .
∴sin(2x+ ê , ú,6 ]∈ ê-2 1ú
4.【答案】 C ∴-2asin( π2x+ [6 ]∈ -2a,a].
【 】 () 2 1-cos2x解析 由f x =sinx+sinxcosx= 2 ∴f(x)∈[b,3a+b].
1 1 2 2 2 1 又∵-5≤f(x)≤1,
+2sin2x=2+ 2 ( 2sin2x- 2cos2x ) =2+ ∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
2 π π
sin(2x- ) . (2)由(1)得,f(x)=-4sin(2x+ )-1,2 4 6
2π π π π () ( π ) ( 7π∴T=2=π.又∵2kπ-2≤2x-4≤2kπ+ , g x =f x+ =-4sin2x+ )-12 2 6
π 3π ( π∴kπ- ( )为函数的单调递增区 =4sin2x+ -1,8≤x≤kπ+8 k∈Z 6 )
间.故选C. 又由lgg(x)>0,得g(x)>1,
5.【答案】 C π π 1∴4sin(2x+ )-1>1,∴sin(2x+ )> ,
【解析】 函数f(x)=sin2x+cos2x= 2sin(2x
6 6 2
π π π 5π
+ )的 图 象 向 右 平 移 的 单 位,所 得 图 象 是 函 数 ∴2kπ+6<2x+6<2kπ+
, ,
4 φ 6
k∈Z
π π π π(x)= 2sin(2x+ -2 ), , 其中当2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z时,f φ 图象关于4 y
轴对称 可得 6 6 2
π π, kπ π
π
-2φ=kπ+ ∴φ=- - ,令k=1,可得φ 的 g
(x)单调递增,即kπ4 2 2 8 6
3π
最小正值是 ,故选C. ∴g(x)
π
的单调增区间为 (kπ,kπ+ ],
8 6
k∈Z.
6.【答案】 ①② π π 5π又∵当2kπ+2<2x+6<2kπ+
, 时,
5 π 6
k∈Z
【解析】 对 于①,令 x=- ,则12π 2x+3= () , π πg x 单调递减 即kπ+ - π+ =- ,有f(- π)=0,因此(- π,)6 3 2 12 12 0 ∴g(x)
π π
的单调减区间为 (kπ+ ,6 kπ+ ,为f(x)的一个对称中心,①为真命题;对于②,结合图 3 ) k∈
( ) 2
Z.
象知f x 的值域为[-1, ],②为真命题;对于③,2 拓展题特训
1 1.【答案】 D
令α=390°,β=60°,有390°>60°,但sin390°=2< 【解析】 π 由题可得f(x)=2sin(2x-3 )- 3.逐3
sin60°= ,故③为假命题,所以真命题为2 ①②. 一判断可知A,B,C都正确.
π 2.【答案】 C
7.【答案】 (2kπ,3+2kπ](k∈Z) 【 】 π 3π解析 因为2kπ+2≤2x+φ≤2kπ+ ,k∈【解 析 】 要 使 函 数 有 意 义 必 须 有 2
{sinx>0
,
{sinx>0
, , πZ 所以kπ+ -φ
3π
≤x≤kπ+ -φ,k∈Z,又因为
1 即 1 4 2 4 2
cosx- ,2≥0 cosx≥
,
2 ( π,5π) 是5 8 f(x)的一个单调递增区间,|φ|<π,所以
{2kπ(k∈Z),
解得 π π 5π 3π φ π π
- +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z), ≤kπ+ - ,k∈Z,解得φ≤ ,同理由8 4 2 4 5≥kπ+3 3
π π φ π π π
∴2kπ,
2 k∈Z
,可得φ≥ ,所以
3 10 10
≤φ≤4.
π 3.【答案】 A
∴函数的定义域为{x|2kπ,k∈Z}. 【解析】 根据定积分的几何意义,知f (x) 关于
8.解:(1)
π
∵x∈ êéê0,
π ù
úú,2 ∴2x+ ∈
éπ 7πù π π π π
êê , ú , 对称,所以 ,那么对称轴是 6 6 6 ú . (3 0) φ=3 x-3=2+
72
数学·三角函数与平面向量
5 5 π π π
kπ,即x=6π+kπ
,k∈Z,当x=0时,x=6π.
由2kπ-2≤2x+4≤2kπ+
,
2 k∈Z
,
4.【答案】 B 3π π
求得
【 】 kπ- ≤x≤kπ+
,k∈Z,
解析 ∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点,∴当0≤ 8 8
π π 3 π
ωx≤ ,即0≤x≤ 时,y=sinωx 是增函数; 所以函数的单调递增区间为[kπ-8π
,kπ+ ],
2 2ω 8
π 3π π 3π k∈Z.
当 ≤ωx≤ ,即 ≤x≤ 时,2 2 2ω 2ω y=sinωx
是减
8.解:(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sinωx·
函数.由f(x)=sinωx(ω>0)在 êé
π ù
ê0, úú 上单调递增, π 3 cosωx+λ=-cos2ωx+3sin2ωx+λ=2sin(2ωx-6 )+
êéπ π ù π π 3在 ê , úú 上单调递减知, ,3 2 2ω=3 ∴ω= .
λ.
2 由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可
é
5.【答案】 ê ,2ú
ù π
得
ê-1 2 ú sin(2ωπ-6 )=±1.
【解析】 f(
1 1
x)= (2 sinx+cosx
)-2|sinx-
π π k 1
所以2ωπ- ( ),即6=kπ+2 k∈Z ω=2+
(
3 k
{cosx(sinx≥cosx), ∈Z).cosx|= sinx(sinx又ω∈(
1,), 51 k∈Z,所以k=1,故ω= .所以
画出函数f(x)的图象(实线,如图,可得函数的最 2 6
2 é ù 6π
小值为-1,最大值为 ,故值域为 ê ,2ú . f(x)的最小正周期是 .2 ê -1 2 ú 5
(2)由y=f(x)
π π
的图象过点 ( ,0),得4 f (4 )=
0.
(5 π π即λ=-2sin 6×2-6 )
π
=-2sin4=- 2.
6.【答案】 3 5 π故f(x)=2sin( x- )- 2.【解析】 由题中图象可知,此正切函数的半周期 3 6
3π π π π 3π π 5 π 5π 1
等于 - = ,即最小正周期为 , 故0≤x≤ ,有- ≤ x- ≤ .所以-8 8 4 2 5 6 3 6 6 2
3π 5 π
所以ω=2.由题意可知,图象过定点( ,0), ≤sin(3x-6 )≤1,8
5 π
所以0=Atan(
3π ), 3π2× +φ 即 +φ=kπ(k∈Z), 得-1- 2≤2sin( x- )- 2≤2- 2.8 4 3 6
3π
所以φ=kπ- (k∈Z), 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及4 三角函数模型的简单应用
π
又|φ|< ,
π
所以φ= .又图象过定点(0,1),所2 4 【基础特训】
π 1.【答案】 B
以A=1.综上可知,f(x)=tan(2x+ ),4 【解析】 把函数y=sin(2x+φ)沿x 轴向左平移
π
故有f( )
π π π
24 =tan
(2× + )=tan = 3. π φ π24 4 3 个 单 位 后 得 到 函 数8 y=sin2 (x+ 2 + 8 ) =
:()(5π) 5π( 5π 5π7.解 1f 4 =2cos4 sin +cos
) π
4 4 sin(2x+φ+ ) 为 偶 函 数,则φ 的 一 个 可 能 取 值 是4
π( π π=-2cos4 -sin4-cos
)
4 =2.
π
4.
(2)因为f(x)=2sinxcosx+2cos2x 2.【答案】 D
π π
=sin2x+cos2x+1= 2sin(2x+ )+1, 【解析】 函数y=2sin(2x+ ) 的周期为π,将4 6
2π π 1 π
所以T= =π,故函数 (2 f x
)的最小正周期为π. 函数y=2sin(2x+ ) 的图像向右平移 个周期即6 4 4
73
小题狂刷 高考专题特训
个单位长度,所得函数为y=2sinêê
é π
2(x-4 )
π
+ ùú= 【 】
1
ú 解析 取6 K
,L 中点N,则 MN= ,因此2 A=
2sin( π 12x- ),故选D. .由T=2得ω=π.∵函数为偶函数,3 2 0<φ<π,∴φ
3.【答案】 A π
= , (
1 1 1 π 3
2 ∴f x
)= ,
3 5π π 2
cosπx ∴f( )6 = cos【 】 ( ), 2 6
=4.
解析 ∵4T=12- -3 ∴T=π
,∴ω=
9.【答案】 20.5
5π π π
2,∴2×12+φ=2kπ+
,
2 k∈Z
,∴ =2kπ- ,k∈ 【 a+A=28 a=23φ 3 解析】 由题意得 { ,∴a-A=18 { ,∴y=A=5
Z.
π π π 23+5cos
éêπê (x-6)
ùúú,当 x=10 时,6 y=23+5×
又φ∈ (- , , , 故选2 2 ) ∴φ=-3 A. 1
4.【答案】 A (-2 )=20.5.
【 】 ,T 4 1 1 , :() (2π) 2π π π解析 由图象知A=10 = - = 10.解 1f 3 =cos
·cos =-cos ·
2 300 300 100 3 3 3
2π 1 π 1 1
∴ω=T=100π.∴I=10sin
(100πt+φ).( ,10) 为 cos =-( )23 2 =- .300 4
, 1 π π
π 1
五点中的第二个点 ∴100π× +φ= .∴φ= . (2)f(x)=cosxcos(x- )3 =cosx
·(
2cosx+300 2 6
( π 1 3∴I=10sin100πt+ ),当6 t= 秒时,100 I=-5安. sinx)2
5.【答案】 A 1 3 1
2π π =2cos
2x+ (2sinxcosx= 4 1+cos2x
)+
【解析】 T= =2,当x=2时,由π π×2+θ=2 3 1 π 1
3π sin2x= cos(2x- )+ .
+2kπ(k∈Z),得θ=-2+2kπ
(k∈Z),又0<θ<2π, 4 2 3 4
( ) 1 1 ( π) 1 1
π f x < 等价于4 2cos2x- +
,即
∴θ= . 3 4
<4
2 π
1 cos
(2x- ) ,
【答案】 3
<0
6. -2 π π 3π
于是
π π 2kπ+2<2x-3<2kπ+
,
2 k∈Z.【解析】 根据题意得 T= = ,故k=2,所以k 2 5π 11π
解得kπ+12,
12 k∈Z.2kπ 2kπ 2 π 2 π π 1sin 12-cos12=sin 6-cos 6=-cos3=-2.
故使f()
1
x < 成立的x 的取值集合为{x|kπ+
7.【答案】 2 4
5π 11π
【解析】 f'(x)
π
=cosx+sinx= 2sin(x+ ),令 12,k∈Z}
4 12
.
【
π 能力特训
】
f'(x)=0,得x=- ( )4+kπ k∈Z . 高频题特训
() ( π
1.【答案】 B
∵f x = 2sinx- ),4 【解析】 由题意,将函数y=2sin2x 的图像向左
( π π π
π π π
∴f - +kπ)= 2sin(- +kπ- )= 平移 个单位得12 y=2sin2(x+ )=2sin(2x+ ),4 4 4 12 6
π π π
2sin(kπ- )=- 2·coskπ,当k 为奇数时,函数 则平移后函数的对称轴为2x+6=2+kπ
,k∈Z,即
2
取得极大值 2;当k为偶数时,函数取得极小值- 2, π kπx= + ,k∈Z,故选6 2 B.
1 8045
∵0≤x≤2011π,∴ ≤k≤ ,∴此函数在此区间 2.【答案】 D4 4
1 2 5
上各极值的和为 2. 【解析】 由函数的图象可得 ,4T=3π-12π ∴
【 38.答案】
5 5
4 T=π
,则ω=2.又图象过点( π,12 2
),∴2sin(2×12π+
74
数学·三角函数与平面向量
φ)=2, π π平 移 个 单 位 后 得 到 函 数 为
6 f
(x + )=
π π 6
∴φ=- +2kπ,k∈Z,∵|φ|< .∴取k=0,即3 2 π
sinéê ( πê2x+ )+
ù
φúú=sin(2x+ +φ),因为此时函数3
得f(x)
π
=2sin(2x- ),
π 6
其单调递增区间为[
3 kπ-
,
12 π π
为奇函数,所以 ( ),所以
5π 3+φ=kπk∈Z φ=-3+kπ
kπ+ ],k∈Z,取 ,即得选项12 k=0 D.
【 】 (
π π
k∈Z).因为|φ|< ,所以当k=0时,3.答案 D 2 φ=-
,所以
3
【解析】 观察图象可知,A=1,T=π,∴ω=2,
f(x)=sin(
π π π π
2x- ).当3 0≤x≤
时,
( π ) 2
-3≤2x-3
f(x)=sin(2x+φ).将 - , 代 入 上 式 得6 0 2π, π π≤ 即当3 2x-
时,函数 ( ) (
( π ) , 3
=-3 f x =sin2x-
sin -3+φ =0 π) ( π) 3π π π 有最小值为sin - =- .
由|φ|< ,得φ= ,则f(2 3 x
)=sin(2x+3 ) .函 3 3 27.【答案】 y=2cos3x
π π
-6+3 π 【解析】
π π
把y=2sin(3x- )图象向左平移 个
数图象的对称轴为x= = . 4 42 12
( π π ) 单位,
π π
得到y=2sin[3(x+ )- ]
π
, , 4 4 =2sin
(3x+ )=
又x1 x2∈ - 26 3 .
x x 2cos3x.1+ 2 π
且f(x1)=f(x2),∴ 2 =
, 【
12 ∴x1+x2= 8.答案】 ①③
π ( π π ) 3 【解析】 ,
2π
∵周期为( ) π ∴ω=π ω=2
,∴ (x)=
6.∴f x1+x2 =sin2×6+3 = .
故选
2 D.
f
4.【答案】
2 4π
C 3sin(2x+φ),f( π)=3sin( +φ),则sin(
4π )
3 3 3+φ =
【解析】 π 将函数y=sin(x+ 图象上所有点的 或6 ) 1 -1.
1 π π 4π 5π11 4π( ), 又 ( , ), ( , ),横坐标 缩 短 到 原 来 的 纵 坐 标 不 变 得 到 y= φ∈ -2 2 2 3
+φ∈ 6 6π ∴3+φ=
( π
3π π
), π , ( ) (
π) :
sin2x+ 令再把所得图象向右平移 个单位长度, 2 φ=6 ∴f x =3sin2x+6 .① x=0 6 6
得到 =sinêé π π
π
2(x- )+ úù=sin(2x- ] . f()
3
x = ,
π π 3π
y 正确.②
:令
ê ú 2 2kπ+2<2x+6<2kπ+
,
6 6 6 2
π π π π π 2π π
当x= 时,y=sin(2× - ]=sin =1.所 k∈Z kπ+ π 2π π 2 π π
以x= 为其对称轴. < ,即f(3 x
)在( , π)上单调递减,而在( , )
3 6 3 12 6
5.【答案】 A 上单调递增, 5π错误.③:令x=12 f
(x)=3sinπ=0,正
【 5 5 π解析】 取ω= ,f(x)=sin( x+ ),其减区4 4 4 确.④:
π
应平移 个单位长度,错误
é8 π 8 ù 12
.
间为 êê kπ+ , kπ+πúú,5 5 5 k∈Z
,
9.解:(1)由题意知:A=3,ω=2,
(π,π) êé8 π 8
4π
显然 ê ,
ùú, ,排除 由3sin + =-3,
2 5kπ+5 5kπ+πú k∈Z ( 3 φ)
π 4π π -11π
B,C.取ω=2,f(x)=sin(2x+ ), 得φ+ =- +2kπ,k∈Z,即 = +4 3 2 φ 6
π 5
其减区间为 êékπ+ ,kπ+ πù
,
, , (π, 2kπk∈Z.ê ú 显然 8 8 ú k∈Z 2 π π
而0< < ,所以k=1,
é π 5 ù φ 2 φ
= .
π)
6
ê
êkπ+
,
8 kπ+8πú
ú,k∈Z,排除D.
π
【 故 ()6.答案】 A f x =3sin(2x+6 ) .
【 π 3 π 3解析】 函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< )向左 (2)2 f
(x)< 等价于2 3sin(2x+6 ) < ,即2 sin
75
小题狂刷 高考专题特训
( π ) 1 【解析】 观察图象可知,A=1,T=π,∴ω=2,2x+6 < ,2
f(x)=sin(2x+φ)
π, π将 代入上式得
7π π π . (-6 0) sin(-3+
于是2kπ- ( ),解得6<2x+6<2kπ+6 k∈Z
φ
2π )=0.
kπ- 故使f(x)< 成立的x 的取值集合为{2 x|kπ- f(x)
π
=sin2(x+6 ) 知,为了得到y=sin2x 的图象,2π
3,k∈Z}. π
只需将f(x)的图象向右平移 个单位长度 故选6 . B.
10.解:(1)f(x)
1
= 3sinωx·cosωx+cos2ωx-2 3.【答案】 C
3 cos2ωx+1 1 ( π), 【解析】 由= sin2ωx+ - =sin2ωx+ f(
π
x+ )=f(4 -x)可知函数f(x)2 2 2 6
() π, 2π π =2cos(ωx+φ)
π
关 于 直 线 对 称,又 函 数
由题意知f x 的最小正周期T= T=
+b x=
2 2ω=ω 8
f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,所以b=-1π, π= 所以ω=2,所以f()2 x =sin
(4x+ )6 . 或b=3.
4.【答案】 B
(2)将f(x)
π
的图象向右平移 个单位长度后,得
8 【解析】 令f(x)=y=sin(ωx+φ),由三角函数
π 5 π 2π
到y=sin(4x- )的图象;再将所得图象上所有点的 图象知,T=6π+ =π
,所以
6 ω=π
,所以ω=2.因为
3
横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y= 函数f(x)
π π π
过点(- ,0),且0<φ< ,所以6 2 -6×2π π
sin(2x- )的图象,所以g(x)=sin( ),3 2x-3 π+φ=0,所以φ= ,所以f(x)=sin(
π
2x+ ),将该3 3
π
因为0≤x≤ ,
π π 2π
所以
2 -3≤2x-3≤
,所以
3 函数图象向右平移m 个单位后,所得图象的解析式是
() π
() [ 3,] g x =sin
(2x+3-2m
),因为函数g(x)的图象关于
g x ∈ -2 1
π , π π ππ 直线x= 对称 所以4 2×
(
4+3-2m=2+kπk∈又g(x)+k=0在区间[0, ]上有且只有一个实2
π Z),
π kπ
解得m= - (k∈Z),又m>0,所以m 的最小
数解,即函数y=g(x)与y=-k 在区间[0, ]上有 6 22 π
3 值为 .
且只有一个交点,由正弦函数的图象可知-2≤-k
6
5.【答案】 D
3 3 3
< 或-k=1,解得- 2sin(ωx+ )的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个
3 3
所以实数k的取值范围是(- , ]
6
2 2 ∪
{-1}.
π T π
公差为 的等差数列,所以 = ,即T=π,ω=2,所
易错题特训 2 2 2
1.【答案】 B 以g(x)=2sin é
π π ù
êê2(x+ )6 +
ú
6 ú =2cos2x
,在 区 间
π π 【解析】 因为sin(3x-3 )=sin(3x-3+2π) êéπê ,π úù kπú 上是减函数,故4 2 A错;对称轴为x= (2 k∈
( 5π
=sin3x+ ),(a,b)= (3,5π3 3 ), Z),故B,C错;故选D.
π 【答案】 (,)
又因为sin(3x-3 )
6. 4π
=sinêé π ùê ú=sin π- (3x-3 ) ú 【解 析】 因 为 y =sinx(3sinx +4cosx)=
( 4π-3x+ ),(a,b)3 = (
4π
-3,3 )
3(, 1-cos2x
) 3 3
2 +2sin2x=2sin2x- 2cos2x+ 2 ≤
注意到b∈[0,2π),只有这两组.故选B. 9 3
【 】 4+ + =4,所 以 M=4,2.答案 B 4 2 T=π
,所 以 有 序 数 对
76
数学·三角函数与平面向量
(M,T)为(4,π). (2)
π
将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度,
【 π
6
7.答案】 y=2sin(4x+ )6 +2 再向上平移1个单位长度,得到y=2sin2x+1的图
, , 象,所以
【 】 A+n=4 A=2 g
(x)=2sin2x+1.
解析 依题意知{ ,∴{ 又∵T-A+n=0 n=2. 7π 11π
令g(x)=0,得x=kπ+ 或12 x=kπ+
(
π 2π 2π 12
k∈
= ,∴ω= = =4,2 T π Z),所以y=g(x)在[0,π]上恰好有两个零点,若y=
2 g(x)在[0,b]上至少有10个零点,则b不小于第10个
π
∴y=2sin(4x+φ)+2.又∵x= 为其图象的一 11π 59π3 零点的横坐标即可,即b的最小值为4π+12=12.
4π π 5π
条对称轴.∴3+φ=kπ+
(k∈Z),2 ∴φ=kπ-
(k 拓展题特训6 1.【答案】 A
∈Z). 【解析】 由E 为该函数图象的一个对称中心,B
π
又∵0<φ< , ,
π
令k=1 得2 φ=
,
6 ∴y=2sin
(4x π
与D 关于点E 对称,C→D在x 轴上的投影为 ,知12 OF
π
+ )6 +2. π= , ( π又A - ,0), T π π所以AF= = = ,所以12 6 4 2ω 4 ω
8.解:()
2π
1 由T=2知ω=2
得ω=π. =2.同时函数图象可以看作是由y=sinωx 的图象向
1 左平移得到, π故可知φ φ , π又因为当 即x= 时3 f
(x)max=2,知A=2. ω=2=6 φ=3.
1 π
且 π+φ=2kπ+ (k∈Z),3 2
π
故φ=2kπ+ (6 k∈Z
).
( π π∴f x)=2sin(πx+2kπ+ )6 =2sin
(πx+ ),6 2.【答案】 B
() ( π故f x =2sinπx+ )6 . 【
π π
解析】 因为x=- 为f(x)的零点,4 x=
为
4
(2)
π π
存在.令πx+ =kπ+ (k∈Z), () , π ( π T π6 2 f x 图象的对称轴 所以 ,即4- -4 )=4+kT 2
1 21 1 23
得x=k+ (3 k∈Z
).由4≤k+ ≤
4k+1 4k+1 2π
3 4. = T= · ,所以4 4 ω ω=4k+1
(k∈N*),又
59 65
得
12≤k≤
,又
12 k∈Z
,知k=5. π 5π 5π π π T因为f(x)在 ( , ) 单调,所以1836 36-18=12≤2=
故在 éê21,23ùê úú 上存在f(x)的对称轴,其方程为x 2π 4 4 ,即ω≤12,由此ω 的最大值为2ω 9
,故选B.
16
= 13. 3.【答案】 -2
9.解:(1)由题意得:f(x)=2sinωxcosωx+2 3 【解析】 设三个横坐标依次为x1,x2,x3,由图及
π
sin2ωx- 3=sin2ωx- 3cos2ωx=2sin(2ωx- ), ìx1+x2=π3 2π 2π
题意有 íx2+x3=2π,解得x2= ,所以b=f ( )=
由最小正周期为π,得ω=1,得f(x)=2sin(2x- 3 3 x22=x1x3
π
3 )
1
, -2.
π π π
令2kπ-2≤2x-3≤2kπ+
,
2 k∈Z
,
π 5π
整理得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,所以函数12 12
f(x)的单调增区间是 éê
π
êkπ- ,
5π
12kπ+
ùú
12 ú
,k∈Z.
77
小题狂刷 高考专题特训
4.【答案】 ③④ éêπ,π ùê úú,显然函数y=sint在 êê
éπ,π ùúú 上为增函数,
【 】 ( ) 1 , , π
6 3 6 3
解析 f x =2sin2x
当x1=0x2= 时,2 (x) éê ,π故函数f 在 0 ùê úú 上为增函数,所以该命题正确;
f(x1)=-f(x2),但x 121≠-x2,故①是假命题;
f(x)的最小正周期为π,故②是假命题;当x∈ , () π对于④ 把f x 的图象向右平移 个单位后所对应的
[ π,π
12
- ] , [
π,π时 2x∈ - ],故 是真命题;4 4 2 2 ③ π π函数为g(x)=sinêéê2(x- )+
ù
úú12 6 =sin2x
,是 奇 函
3π
因为f( )
1 3 1
= sin π=- ,故f(x)的图象关4 2 2 2 数,所以该命题正确.故填③④.
3 7.解:(1)由f(, x
)=23sin(π-x)sinx-(sinx-
于直线x= π对称 故④是真命题4 . cosx)2
【 】 () ()28π5.答案 10 2 =23sin
2x-(1-2sinxcosx)
3
= 3(1-cos2x)+sin2x-1
【解析】 (1)f(x)= 3sin2x+2cos2x+m=
=sin2x- 3cos2x+ 3-1
π
3sin2x+1+cos2x+m=2sin(2x+6 )+m+1. π=2sin(2x- ,3 )+ 3-1
π π π 7π 1
因为0≤x≤ ,所以 所以2 6≤2x+6≤6. -2 π π π由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),得2 3 2 kπ-
≤sin( π2x+ )≤1,f(6 x)max=2+m+1=3+m=3, π 5π
12≤x≤kπ+
(
12k∈Z
),
∴m=0.
( π ) 所以,f(x)的单调递增区间是 ê
é π
êkπ- ,
5π
12kπ+
úù(
12ú k(2)由(1)得f(x)=2sin2x+6 +1
,周期T=
2π ∈Z),
π 5π
或(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
=π,在长为π的闭区间内有2个或3个零点. 12 122
( π ) ( π ) (2)由(
π
1)知f(x)=2sin2x- + 3-1,
由2sin 2x+6 +1=0
,得sin 2x+ ( 3 )6 = 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原
1, π 7π π-2 2x+ =2kπ+
,
6 6 k∈Z
或2x+6=2kπ+
来的2倍(纵坐标不变),
π
11π 得到y=2sin(x- )+ 3-1的图象,再把得到,
6 k∈Z
, 3
π
π 5π 的图象向左平移 个单位,得到y=2sinx+ 3-1的
所以x=kπ+ 或2 x=kπ+
,
6 k∈Z.
不妨设a= 3
π π
π π 图象,即 (), , ( ) [,] g x =2sinx+ 3-1.
所以g( )=2sin
则当b=9π+ 时 f x 在区间 上恰有 6 62 2 ab 19
+ 3-1= 3.
个零点, 5π当b=9π+ 时恰有20个零点,此时6 b-a
的
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
π 28π
最小值为9π+3= 3 . 【基础特训】
6.【答案】 ③④ 1.【答案】 C
【解析】 对 于①,f(
π)=sin(
π π
2× + )= 【 】 103 3 6 解析 ∵sinα+2cosα= ,2 ∴sin
2α+
5π 1 π
sin = ,不是最值,所以x= 不是函数f(x)的 56 2 3 4sinαcosα+4cos
2α= .化简得: ,2 4sin2α=-3cos2α ∴
, ; , (π图象的对称轴 该命题错误 对于② f )6 =sin
(2× sin2α 3tan2α= =- .故选cos2α 4 C.
π π
+ )
π
=1≠0,所以点( ,) ( ) 2.
【答案】
0 不是函数 x 的图象 B6 6 6 f
【 】 sinα+cosα 1, ; , () 解析 由 = ,等式左边分子、分母的对称中心 故该命题错误 对于③ 函数f x 的周期 sinα-cosα 2
2π
为T= =π,当 x∈ éêê ,
π
0 ùúú 时,
π
令
2 12 t=2x+ ∈
, tanα+1 1同除cosα 得 ,解得 6 tanα-1=2 tanα=-3
,则tan2α=
78
数学·三角函数与平面向量
2tanα 3 98 72
1-tan2α=4. α)= 10 =
,
10
3.【答案】 A 所以sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+
【解析】 原 式=sin48°cos18°-cos48°sin18°= cos(β-α)sinα
1
sin(48°-18°)=sin30°=2.
72 3 2 4 252 2
=10×5+10×5= 50 =2.
4.【答案】 B π
【 】 , ( π ) 1
由 <β<π,
解析 由题意 得sin 2+α =cosα= .
所以 2
3
3 2 3
cos(π+2α)=-cos2α=-(2cos2α-1)=1-2cos2α= 得β=4π.( 或求cosβ=- ,得2 β=4π) .
7
9. 10.解:(1)
α α 6
因为sin +cos ,两边同时平
【 】 2 2
=2
5.答案 C
1 π 3
【解析】 , , sin2x=sinéê π πù 方 得sinα= .又 <α<π 所以cosα=- .
ê2
(x+ )- ú4 2 ú =-cos (2x 2 2 2
π π π
+ )=- éê1-2sin2( πx+ )úù 7 (=- . 2)因为2<α<π, <β<π,所以-π<-β<4 ê 4 ú 25 2
6.【答案】 A π, π π- 故2 -2<α-β<2.
【解 析】 由 于 α,β 都 为 锐 角,所 以 cosα=
25 3 10 又sin(α-β)
3 4
=- ,得cos(α-β)= .
1-sin2α= ,5 cosβ= 1-sin
2 = . 5 5β 10 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinα
所以cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·
2
sinβ= , 3 4 1 3 43+32 sin(α-β)=-2×5+2× (-5 )=- 10 .
π
所以α+β= . 【能力特训】4 高频题特训
7.【答案】 1 1.【答案】 C
【 】 3-tan15° tan60°-tan15°解析 = π π
1+ 3tan15° 1+tan60°tan15°
=tan45° 【解析】 因为sin2x=cos(2-2x)=cos2(4-x)
=1. ( π ) ( 3 )2 18=2cos2 -x -1,所以sin2x=2× -1= -1
8.【答案】 2 4 5 25
【解析】 因 为sin50°(1+ 3tan10°)=sin50°· 7=-25.
cos10°+ 3sin10° · 2sin40°
cos10° = sin50° cos10° = 1
,cos80° 2.【答案】 B
3 4
1-cos20°=sin10° 2sin210°= 2sin210°.所 以 【解析】 因为α∈ (π, ,且 ,所以2π) cosα=-5
sin50°(1+ 3tan10°)-cos20° 1-cos20°
= = 2. sinα<0,
3 3 π
得sinα=- ,所以5 tanα=4.
所以tan
2 ( 4-α)cos80° 1-cos20° 2sin10°
3
9.解:()
α 1
1 因为tan , 1-2=2 1-tanα 4 1=1+tanα= 3=7.α α α
所以 sinα=sin (2· 2 ) =2sin 2cos 1+2 = 4
α α α 1 3.【答案】 C
2sin2cos2 2tan2 2×2 4 【 】 sin
2α-2cos2α 2sinαcosα-2cos2α
α α= α= 1 2= .
解 析
5 π
= =
2
sin2 2+cos
2
2 1+tan
2 1+ ( sin(α- ) ( )2 2 ) 4 2 sinα-cosα
(2)
π 4 3 π 1 tanα+1 1
因为0<α< ,2 sinα=
,所以cosα= . 22cosα,由tan(α+ )=- ,得 ,解5 5 4 2 1-tanα=-2
π
又0<α< <β<π,所以0<β-α<π. 得tanα= -3,
π
因 为
2 2 <α<π
,所 以 解 得 cosα=
( ) 2, π 1 10由cosβ-α = 得0<β-α< .所以10 2 sin
(β- - tan2α+1=-
,所以原式
10 =22cosα=22×
79
小题狂刷 高考专题特训
( 10 25 10- , 3 10 1010 )=- 5 . 10 cosθ=- 10 .∴sinθ+cosθ=- 5 .
4.【答案】 D 9.【答案】 1
【解析】 由题意得tanα+tanβ=-33,tanαtanβ 【解析】 ∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)
π π =sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)
=4,所以tanα<0,tanβ<0,又α,β∈ (- , ,故 ,2 2 ) α cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)
( π ) cosφ-cos
(x+φ)sinφ =sin[(x+, , ( ) φ
)-φ]=sinx,
β∈ - 所以2 0 -π<α+β<0.
又tanα+β = ∴f(x)的最大值为1.
tanα+tanβ -33 1 3 3= = 3,
2π
所以α+β=- . 10.解:(1)α f
(x)=
1-tantanβ 1-4 3 2
cosx+2sinx-cosx =2
5.【答案】 A 1 πsinx-2cosx=sin(x-6 ) .【解析】 由题意知,sinA=- 2cosB·cosC=
∴f(x)的最小正周期为2π.
sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC,在等式- 2 π
cosB·cosC=sinB·cosC+cosB·sinC 两边同除 (2)由(1)知f(x)=sin(x-6 ) .
以cosB·cosC 得tanB+tanC=- 2,又tan(B+C) π所以f(α+6 ) (
π π
=sinα+6-6 )
3
=sinα= ,
tanB+tanC 5
= =-1=-tanA,即1-tanBtanC tanA=1
,所以A=
∵α∈ ( ,π0 ),
π 2
4. 3 2 4
∴cosα= 1-sin2α= 1- = .
6.【答案】 D (5 ) 5
3 4 24
【解析】 ∵α∈(0,
π), 12α∈(0,π).∵cosα= , ∴sin2α=2sinαcosα=2× ,2 3 5
×5=25
7 2 4
2 7
∴cos2α=2cos2α-1=- , cos2α=2cosα-1=2× ( ) -1= , ( )9 5 25 ∴f 2α
42 π π 3 1 3 24 1
∴sin2α= 1-cos22α= ,而α,β∈(0, ), =sin(2α-6 )=2sin2α-2cos2α= ×9 2 2 25-2×
∴α+β∈(0,π), 7 243-7
25= 50 .
22
∴sin(α+β)= 1-cos2(α+β)= , (3 ∴cosα 11.(1)解:∵f( ) ( 7πx =sin x+ 4 -2π) +
-β)=cos[2α-(α+β)] π π
7 cosx- -
=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(- )×
( 4 2 )
9
π π
1 42 22 23 =sin(x- )+sin(x- )(- )3 + 9 × 3 = 4 427. π ,
7.【答案】 A =2sin(x-4 )
【解析】 由图象可知,函数f(x)=Asinωx(A> ∴T=2π,f(x)的最小值为-2.
0,ω>0)的最小正周期为8,
2π 4
且A=2,所以 =8 ω= (2)证明:由已知得ω cosβcosα+sinβsinα=
,
5
π, () π所以f x =2sin x,所以f(1)+f(2)+f()
4
3 + cosβcosα-sin4 4 β
sinα=- ,5
…+f(8)=0,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)= 两式相加得2cosβcosα=0,
251×0+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(7)=0,故选A. π∵0<α<β≤ ,2
【 】 108.答案 - 5 π∴β= ,2
【 π 1 1解析】 ∵tan(θ+ ,4 ) =2 ∴tanθ=- ,即3 ∴[f(β)]2 π-2=4sin2 4-2=0.
{3sinθ=-cosθ ,且θ 为 第 二 象 限 角,解 得sin2θ+cos2 sinθ=θ=1
80
数学·三角函数与平面向量
易错题特训 -23sin48°
1.【答案】 C =sin24°cos24°
【 】 π π π解析 因为α+ +β- =α+β,所以α+ -23sin48°4 4 4 = 1 =-43.
π π 2sin48°=(α+β)- (β- ),所 以4 tan (α+ 4 ) =tan
【 】 3+82π 7.答案
π tan
(α+β)-tan - 15é (β 4 )
êê(α+β)- (β- ) úùú = = 【解析】 依 题 设 及 三 角 函 数 的 定 义 得: 4 π cosβ=1+tan(α+β)tan(β-4 ) 1, ( ) 4 π π- sinα+β = .又3 5 ∵0<β<π,∴2<β<π,2<3
22. 22 3α+β<π,sinβ= ,cos(α+β)3 =-5.∴cosα=2.【答案】 D
3 cos[(α+β)-【 】 2 2 β
]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=
解析 由sin2θ=8 7
和sinθ+cosθ=1得
3 1 4 22 3+82
-5× (-2 3 )+5× 3 = 15 .
(sinθ+cosθ)2
37 3+ 7
= +1= ( ) , θ∈ éêπ,π又 ùê ú,8 4 4 2 ú
8.解:()
2π 1
1 由T= =10π得ω= .
3+ 7 , 3- 7
ω 5
∴sinθ+cosθ= .同 理4 sinθ-cosθ=
,
4 ì 5 6
f
(5α+ π)3 =-
,
3 5
∴sinθ= . (2)由 í4 ( 5 ) 16f5 - π =
3.【
β
答案】 B 6 17
【 】 1+cos2α+8sin
2α 2cos2α+8sin2α ì
解 析 = , 2cos
é
êê
1( 55α+ π)
π
+ ùú
6
ú=- ,
sin2α 2sinαcosα 5 3 6 5得 í
∵tanα=4,∴cosα≠0,分 子、分 母 都 除 以cos2α 得 é
2cosêê
1( 5 π 16
5 5
ù
2 β- π)+ úú= ,2+8tanα 65 6 6 17
2tanα =4. ì 3,
4.【答案】 A
sinα=5
整理得 í ∵α, é
π ù
8 β
∈ êê0, ú2 ú
,∴cosα=
π tanα+1 1 【解析】 由tan(α+ )= ,得 cos= .4 1-tanα=2 tanα= β 17
1 π 10 2 4 2 15
-3.
又- <α<0,所以sinα=- 1-sinα= ,sinβ= 1-cosβ= .2 10 . 5 17
2sin2α+sin2α 2sinα(sinα+cosα) 4 8
故
π = =2 2sinα
∴cos(α+β)=cosαcosβ -sinαsinβ=5×17-
cos(α- ) 24 (2 sinα+cosα
) 3 15 13
5×17=-85.
25
=- 5 . : 1+sinα 1-sinα9.解 因为 -
5.【答案】 1 1-sinα 1+sinα
【 】 : (1+sinα)2解析 根 据 已 知 条 件 cosαcosβ-sinαsinβ= (1-sinα)
2
= 2 - 2
sinαcosβ-cosαsinβ,cosβ(cosα-sinα)+sinβ(cosα- cosα cosα
sinα)=0,即(cosβ+sinβ)(cosα-sinα)=0.又α、β 为 |1+sinα| |1-sinα| 1+sinα-1+sinα= - = =
锐角,则sinβ+cosβ>0,∴cosα-sinα=0,∴tanα=1.
|cosα| |cosα| |cosα|
【 】 2sinα6.答案 -43 ,|cosα|
3sin12°
-3 2sinα 2sinαcos12° 所以 =-2tanα=- .【解析】 原式= |cosα| cosα2(2cos212°-1)sin12° 所以sinα=0或|cosα|=-cosα>0.
1 3
23(2sin12°-2cos12°
) π故α的取值集合为{α|α=kπ或2kπ+2<α<= 2cos24°sin12°cos12° 3π
23sin(-48°) 2kπ+π或2kπ+π<α<2kπ+ ,2 k∈Z
}.
=2cos24°sin12°cos12°
81
小题狂刷 高考专题特训
拓展题特训 π
cos +x =coséêπ π
【 】 (4 ) ê2- (4-x)
ù π
úú =sin
1.答案 C ( 4-
【 】 4sin40°cos40°-sin40°
120
解析 4cos50°-tan40°= cos40° ) 5 169 24x = .所以原式= = .
2sin80°-sin40° 2sin(50°+30°)-sin40° 13 5 13
= cos40° = cos40° 13
2- 15
3sin50°+cos50°-sin40° 3sin50° 6.【答案】
= 6cos40° = cos40° = 3.
【解析】 ∵cos4【 】 α-sin
4α=(sin2α+cos2α)(cos2α
2.答案 D
2
( π ) 5 -sin
2α)= ,
2 π
∴cos2α= ,又α∈(0, ),∴2α∈(0,【解析】 ∵α∈ 0, ,且2 sin
2α+2cos2α= , 3 3 24 ∴
2 1, 1 1( ), π, π),
5 π
cosα= ∴cosα= - ∴α= ∴tanα ∴sin2α= 1-cos
22α= ,3 ∴cos
(2α+ )3 =或 舍去4 2 2 3
1 3 1 2 3 5 2- 15
= 3. 2cos2α-2sin2α=2×3-2×3= 6 .
3.【答案】 B x
2π 7.解:f(x)=sin sin(
π x) x x
2 2+2 =sin cos =【解析】 ∵f(x)最小正周期为π,∴ 2 2ω=π ω= 1
π sinx.
2,∴f(x)向右平移 个单位后得到3 g
(x)=sin[2(x 2
(1)函数f(x)的单调递减区间为 éê
π
π 2π ê -π
,- ùúú,单
-3 )
2
+φ]=sin(2x- ,又 ()函数图象关3+φ) ∵g x
调递增区间为 é π
, ê ê-
,
2 0
ùú .
于原点对称 ú
2π , 2π , , () ( ) (π∴- +φ=kπφ= +kπk∈Z 又∵|φ|< 22f2α +4f 2-2α
)=1
3 3
π π, 2π 1 , π∴| +kπ|< , ( ) sin2α+2sin( -2α)=12 3 2 k=-1φ=-3 ∴f x = 2
( π ) π π π 2sinαcosα+2
(cos2α-sin2α)=1
sin2x- ,当x= 时,2x- =- ,∴A,C错3 12 3 6 cos2α+2sinαcosα-3sin2α=0
, 5π , π π
π
误 当x= 时 2x- = ,∴B正确,D错误. (cosα+3sinα)(cosα-sinα)=0.∵α∈(0, ),12 3 2 2
72 π
4.【答案】 ∴cosα-sinα=0 tanα=1
得α= ,
10 4
2sinθcosθ 2tanθ 2 1 2【解析】 因为sin2θ= = = 故sinα= ,∴f(α)= sinα= .sin2θ+cos2θ tan2θ+1 2 2 4
8.解:(1)f (x) (4 π π = sin
2x +sinxcosx)+
,又由
5 θ∈ (0, ),得4 2θ∈ (0, ),所 以2 cos2θ= ( π )· ( π ) 1-cos2x 12sinx+
3 4
cosx+4 = 2 +2sin2x+
1-sin22θ= ,
π π
所以
5 sin(2θ+4 ) =sin2θcos4+ ( πsin2x+2 )
π 4 2 3 2 72
cos2θsin4=5×2+5×2=
1 1 1
10. =2+
(
2 sin2x-cos2x
)+cos2x= (2 sin2x+
【 】 245.答案 113 cos2x)+2.
【 】 π π π解析 因为x∈ (0, ),所以 -x∈ (0, ) . , 2sinαcosα 2tanα4 4 4 由tanα=2 得sin2α=sin2α+cos2α=tan2α+1=
π 5 π 12
又因为sin( -x)= ,所以4 13 cos(4-x)= . 413 5.
π 2 2 2
又cos2x=coséêπ
ê2-2(
π úù cosα-sinα 1-tanα 3
4-x) ú=sin2 -x ( 4 ) cos2α=sin2α+cos2α=1+tan2α=-5.
( π π 5 12 120 1 1 3=2sin 4-x)cos( -x) =2× × = . 所以,f(4 13 13 169 α)= (2 sin2α+cos2α)+2=5.
82
数学·三角函数与平面向量
() () ( ) 1( ) 12 由 1 得f x = sin2x+cos2x + = 2AB·ACcos60°=3,所以BC= 3.2 2 8.【答案】 C
2
2sin(
π 1
2x+4 )+2. 【解析】 因为a=2bcosC,所以由余弦定理得:aa2+b2-c2
éπ π ù 5π π 5π =2b· ,整理得2ab b
2=c2,因此三角形一定是
由x∈ êê , ú,得 12 2 ú ≤2x+ ≤ . 12 4 4 等腰三角形.
2 ( π ) , () 2+1所以-2≤sin2x+4 ≤10≤f x ≤ , 42 9.【答案】 -5
() é ù所以f x 的取值范围是 ê 2+1ú . 【 】 (
π 1+tanθ
ê0, ú 解析 ∵tan 4+θ
)=3,∴1-tanθ=3
,解得
2
1
第6节 简单的三角恒等变换 tanθ= 2.∵sin2θ-2cos
2θ=sin2θ-cos2θ-1=
【基础特训】 2sinθcosθ cos
2θ-sin2θ 2tanθ 1-tan2θ
1.【答案】 B sin
2θ+cos2θ-sin2θ+cos2θ-1=1+tan2θ-1+tan2θ
π π 4 3 4【解析】 f(x)=2sin(x+ -1= - -1=- .6 )×2cos(x+6 )= 5 5 5
π 2π 【 】 2+ 32sin(2x+ ),故最小正周期T= ,故选 10.答案 3 2=π B. 4
2.【答案】 D 【 】 ( π ) ( π解析 y=sin 2+x cos 6-x ) =cosxcos
【解析】 cosêé π由 ù
π
ê2( 4-α) úú=2cos2 ( 4-α)-1= ( π ) ( π π 36-x =cosx cos cosx+sin sinx )= cos2x
·(3 7
6 6 2
2 )2-1=- ,且5 25 cos
éêê 2(
π úù
4-α) ú=cos
éπ ù
ê
ê
2-2αú
ú=
1 3 1+cos2x 1 1+2sinxcosx=2× + sin2x= cos(2xsin2α,故选D. 2 4 2
3.【答案】 D π-6 )
3 2+ 3
+ ,故函数的最大值是4 4 .
【 3 π解析】 由 已 知cosα=- ,5 ∴sin
(α+ )4 + 5 π 25
11.解:由cosβ= ,5 β∈
(0, ),得sinβ= ,2 5
cos(
π
α+ ) (
π π) 32
4 = 2sinα+4+4 = 2cosα=- 5 . tanβ=2.
4.【答案】 D 1
tanα+tan -3+2
【 】 2sinαcosα
β
解析 原式= =2tanα=6. ∴tan(α+2 β)=1-tanαtan = =1.cosα β 21+
5.【答案】 D 3
15 10 (π,), (,π), π 3π【 ,解析】 由 正 弦 定 理 得sin60°=
, ∵α∈ π β∈ 0 ∴ <α+β< ∴α
sinB ∴sinB= 2 2 2 2
5π
3 +β=4.
10·sin60° 10×2 3
= = .∵a>b, , 为锐15 15 3 A=60° ∴B 12.解:(1)f(x)
1
=(2cos2x-1)sin2x+2cos4x=
3 6
角.∴cosB= 1-sin2B= 1-( )23 =3.
1
cos2xsin2x+2cos4x
6.【答案】 D 1 2 π
b2+c2-a2 = (2 sin4x+cos4x
)= ,
【解析】 由题意得,c=23b,cosA= 2
sin(4x+4 )
2bc
() π 2
- 3bc+23bc 3 π ∴f x 的最小正周期T=
,最大值为 .
= = ,所以A= . 2 22bc 2 6
7.【答案】 B (2)由f(α)
2
= ,得2 sin(
π
4α+4 )=1.
【解析】 1 1 S=2 ×AB
·ACsin60°= π 9π π 17π π2 ×2× ∵α∈ ( , ,则 ,所以2 π) 4<4α+4< 4 4α+4
3 3
AC= ,
5 9
所 以 ,所 以 2
2 2 AC=1 BC =AB
2+AC2- = ,故2π α=16π.
83
小题狂刷 高考专题特训
【能力特训】 27
cos∠ACB= .故 cosθ=cos(高频题特训 7 ∠ACB +30°
)=
1.【答案】 A 21
π cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°= 14 .
1+cos2(α+ )
【 】 π解析 因为cos2 (α+4 )
4
= = 7.【答案】 2 12 【解析】 由2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=
1+cos( π 22α+2 ) 1-sin2α 1-3 1 π
= = = ,故选A. 2sin(2x+4 )+1,所以A= 2,b=1.2 2 2 6
2.【答案】
【答案】
A 8. ±3
3 3 4 【解析】 f(x)= 16+a
2sin(x+φ),其中tanφ
【解析】 由tanα= ,得 , 或4 sinα=5 cosα=5 a= ,故 函 数 f(x)的 最 大 值 为 16+a2,由 已 知,
3 4
sinα=- ,
4 16
cosα=- ,所以 25 5 cosα+2sin2α=25+4 16+a2=5,解得a=±3.
12 64
× = ,故选A. 9.【答案】 [-1,2]25 25 【解析】 由题意,设P(cosα,sinα),α∈[0,π],则
3.【答案】 C O→P=(cosα,sinα),又B→A=(1,1),所 以O→P·B→A=
【 】 ( ) 1-cos2x 3解析 f x = + sin2x = ( π2 2 cosα+sinα= 2sinα+4 )∈[-1,2].
π 1 π
sin(2x-6 ) + 2.又 x∈ éê
π,π ùú,∴2x- ∈ 10.解:(1)由题设知:
ê4 2 ú 6
(5π1 3 f )
5π π π
éπ 5πù 4 =2sin
(
12-
)
6 =2sin4= 2.
êê , ú, () 故选 3 6 ú ∴f x max=1+ 2=2. C.
() 10 π【答案】 2 由题设知: =f(3α+ ) ,4. C 13 2 =2sinα
π
1+cos(2α- ) 6 ( ) ( π) ,
【解析】 cos2 ( πα- ) 2= = 5
=f3β+2π =2sinβ+2 =2cosβ
4 2 5 3
即
1 sinα=
,
13cosβ=
,
5
1+sin2α 1+3 2
2 = =
,故选
2 3 C. 又α,β∈[0,
π], 12, 4,
2 ∴cosα=13sinβ=5
5.【答案】 C 12 3 5
【解析】 ∴cos
(α+ )=cosαcos -sinαsin = × -
由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,又 β β β 13 5 13
2 1c = (a2+b2),
1 4 16
得
2 2abcosC=
(a2+b2),即2 cosC=
×5=65.
a2+b2 2ab 1 11.解:(1)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=
≥ = .所以选4ab 4ab 2 C. π
sin2ωx+cos2ωx= 2sin(2ωx+ ),6.【答案】 B 4
【解析】 如图所示,在△ABC 中,AB=40,AC= 所以f(x)
2π π
的最小正周期Τ= = .
20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2- 2ω ω
· π2AB AC·cos120°=2800,所以BC=207. 依题意, =π,解得ω ω=1.
(2)由(1)知f(x)
π
= 2sin(2x+4 ) .
函 数 y = sinx 的 单 调 递 增 区 间 为
éê π π
ê2kπ-
,2kπ+ ùúú(k∈Z)2 2 .
π π π
AB 由2kπ-2≤2x+4≤2kπ+
,
由正弦 定 理,得sin∠ACB= ·BC sin∠BAC=
2
3π π
得kπ-8≤x≤kπ+21 8
.
.又 由 ∠BAC=120°,知 ∠ACB 为 锐 角,所 以7 所 以 f (x ) 的 单 调 递 增 区 间 为
84
数学·三角函数与平面向量
êê
é 3π, π π
kπ-8 kπ+
ùú
8 ú
(k∈Z). 所以其最小正周期
T=π=15.
易错题特训 15
1.【答案】 D 5.【答案】 éê 1ê- ,
1 úùú
【 】 ( ) 1-cosωx sinωx 1
2 2
解析 由 f x = 2 + 2 -2= 【解析】 设x=cosα·sinβ,sinα·cosβ·cosα·
1
2 ( π),() ( π) , sinβ= x.
即
2 sin
2α·sin2β=2x.由|sin2α·sin2 |≤1,
2sinωx-4 f x =0 sinωx-4 =0
所以x β
1 1
π 得|2x|≤1,∴-
kπ+ 2
≤x≤2.
4 1 1
= (ω π
,2π),(k∈Z),因 此 ω ( , 6.【答案】 38 4 ) ∪
a b c
(5,5 ) (9,9 ) … (1,1 ) (5 【解析】 由 正 弦 定 理 得∪ ∪ = ∪ , sinA =sinB =sinC8 4 8 4 8 4 8 +∞ ) ω cosA-3cosC 3c-a 3sinC-sinA
( 1 ] [1 5 ] cosB = =
,
∈ 0, , ,选 b sinB8 ∪ 4 8 D. 即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)·cosB,
2.【答案】 A 化简可得,sin(A+B)=3sin(B+C),
【 】 1 10 sinα cosα 10解析 由tanα+tanα=
得 + , sinC3 cosα sinα=3 又知A+B+C=π,所以sinC=3sinA,因此sinA
1 10 3
∴ ,sinαcosα=3 ∴sin2α= .
=3.
5
【 】 π 5ππ π 7.答案 或
∵α∈( , ),∴2α∈(
π,), 4
4 2 2 π ∴cos2α=- .
6 6
5 【解析】 3sinx=1+cos2x,即3sinx=2-2sin2x,
π π π 2 3 1
∴sin(2α+ )=sin2αcos +cos2αsin = ×( 所以2sin2x+3sinx-2=0,解得sinx= 或sinx=4 4 4 2 5 2
4) 2- =- . -2(舍去),
π 5π
所以在区间[0,2π]上的解为 或
5 10 6 6
.
3.【答案】 A 8.解:f(
7π
x)=sin( 26-2x)-2sinx+1
【 π解析】 对函数进行化简可得y=sin(3x+ ) ·3 1 3=-2cos2x+2sin2x+cos2x
( π ) ( π ) ( π πcosx-6 -cos3x+3 cosx+2-6 ) =sin(3x 1 3 π=2cos2x+2sin2x=sin(2x+6 ) .π
+3 )
π
cos(x-6 )+cos(
π
3x+3 )sin(
π
x-6 )=sin(3x ( 2π π π1)最小正周期:T= =π,由2 2kπ-2≤2x+6
π π π π π
+3+x-6 )=sin(4x+ ),则由6 4x+6=kπ+ ,2 π≤2kπ+ ( π π2 k∈Z)可解得:kπ-3≤x≤kπ+ (6 k∈
, kπ π, πk∈Z 得x=4+12k∈Z.
当k=0时,x= .故选12 A.
Z),
所以 ()的单调递增区间为:
4.【答案】
f x
D
π π
【解析】 f(x)=|OM| [kπ- ,3 kπ+ )(6 k∈Z).
π π π π
= 2+2(cos3xcos5x+sin3xsin5x) (2)由f(A) π 1 π=sin(2A+ )= 可得:6 2 2A+6=
( π π= 2+2cos x- x) π π 5π或 ( ),3 5 6+2kπ 2A+6=6+2kπk∈Z
π
( 2 ) 所以A= ,又因为b,a,c成等差数列,所以2a= 21+cos 315πx
=b+c.
π
= 2(1+2cos215x-1) 而A→ 1B·A→C=bccosA=2bc=9,∴bc=18.
π ( )2 2 2 2
= 4cos215x=2
π
cos15x .
1 b+c -a 4a -a
∴cosA=2= 2bc -1= 36 -1=
85
小题狂刷 高考专题特训
a2 5.【答案】 hh
12-1
,∴a=32. 1 2
【解析】 如图,设∠ABD=α,则∠CAE=α,AB
拓展题特训 h2 h1
1.【答案】 B = ,sinα AC=cosα.
【解 析】 sin4θ+cos4θ= (sin2θ+cos2θ)2 -
1 1 11
2sin2θcos2θ=1- 2 ( 2 )2sin2θ=1-2 1-cos2θ =18.
2.【答案】 D
【解析】 依题意有sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-
1
33 π π 所以S△ABC= ·
hh π
AB·AC 1 2= 0<α< .
β)= ,
2
又
14 0<β<α<
,
2 ∴0<α-β<
,故
2 cos
(α 2 sinα ( 2 )
π π
) 2( ) 13 1
当2α= ,即α= 时,S 的最小值为hh .
-β = 1-sin α-β = ,而14 cosα=
,
7 ∴sinα=
2 4 △ABC 1 2
π+2x
43 6.解:(1)f(x)=sin
2 ·4sinx+(cosx+
,于是sinβ=sin[α-(α-β)] ( )7 =sinαcosα-β -
4
sinx)·(cosx-sinx)
( 43 13 1 33 3 πcosαsinα-β)= × ,故 , π7 14-7× 14 =2 β=3 1-cos(2+x)
故选D. =4sinx· 2 +cos2x
3.【答案】 D =2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,
【解析】 设 AB=a,∠CAB=θ,则 AP=acosθ, ∴f(x)=2sinx+1.
PC=BP=asinθ,AC=a(cosθ+sinθ),AD=ACsinθ (2)∵f(ωx)=2sinωx+1,ω>0.
=a(cosθ+sinθ)sinθ,CD=ACcosθ=a(cosθ+sinθ) π π
cosθ,因 为 CD >AB,故 cos2θ+sinθcosθ>1,即 由2kπ-2≤ωx≤2kπ+
,得
2 f
(ωx)的增区间
( π 2 π π 3π π é2kπ π 2kπ π ùsin2θ+4 )> ,即2 4<2θ+ < ,故 是 ê - , + ú,k∈Z.4 4 0<θ<4. ê ω 2ω ω 2ω ú
A选项:假设AB=AD,则有sin2θ+sinθcosθ=1, ∵f(ωx)在 êé
π
ê- ,
2πù
2 3 ú
ú 上是增函数,
( π 2
即sin2θ- )= ,无解4 2 . ∴ éê π- ,2πúù éê π π- , ùê ú ê úú .
B选项:假设AB=BC,则有 2sinθ=1, θ 2 3 2ω 2ω则sin =
π π 2π π 3
2 ∴-2≥-
且 ,
2ω 3≤2ω ∴ω∈ (0,4 ] .,无解
2 . (3)由|f(x)-m|<2,得-2C 选 项:假 设 BD = BC,则 有 2sinθ = 即f(x)-21+sin2θ(sinθ+cosθ)2,即1+2sin3θcosθ=sin2θ,无
∵A B,
π 2
∴当 ≤x≤ π时,解. 6 3
D选项:假 设 AD=AP,则 有sin2θ+sinθcosθ= 不等式f(x)-2, () 2 1-cos2θcosθ 令f θ =sinθ+sinθcosθ-cosθ= + ∴f
(x)max-22
∵ (x)
π
= =3,(x)
π
=
sin2θ π 2 f max f(2 ) f min f( )=2,
-cosθ,则f(
6
2 0
)=-1<0,f(4 )=1-2>0,故 ∴m∈(1,4).
必存在θ0 使得:f(θ0)=0,故 AD 与AP 可能重合.D 7.解:(1)由定义得 A(cosα,sinα),B (cos(α+选项正确.
3
4.【答案】 - π ), π 3 πsin(α+ ) ],依题意可知4 3 3 sinα= , ,2 α∈ [ 4
π 2 2 2 π π π【解析】 sin(α+ )= sinα+ cosα= ,∴ 2 ),所以α= ,所以点B 的横坐标为3 cos(α+ )=4 2 2 4 3
1 2π 1
sinα+cosα= ,(2 sinα+cosα
)2 =sin2α+cos2α+ cos3=-2.
1
2sinαcosα=1+sin2α= ,
3
故sin2α=- . ()
π
因为
4 4 2 |OA|=1
,|OC|=sin(α+ ),3 ∠AOC=
86
数学·三角函数与平面向量
π 1 π
-α,所 以 S= |OA|·|OC|·sin∠AOC= 【解析】 函数y=sinx 的图象向左平移 个单位2 2 2
1 ( π ) ( π ) 1 ( 1 3 πsinα+ ·sin -α = sinα+ cosα) 后,得到 函 数 f(x)=sin(x+2 ) =cosx 的 图 象,2 3 2 2 2 2
1 1 3 f(x)=cosx 为偶函数,A错;f(x)=cosx 的 周 期 为
cosα=2 (2sinαcosα+2cos2α) , ; ( π π2πB错 因为f 2 ) =cos2=0,所以f(x)=cosx
1 (1 3 1+cos2α=2 4sin2α+ ·2 2 ) π不关于直线x= 对称,2 C错;函数f(x)的对称中心
1 (1 3 3=4 2sin2α+2cos2α)+8 π是点 (kπ+ ,2 0)k∈Z,D对.
1 π 3 π π
= sin(2α+ ) + .又因为α∈ [ , ),所 6.【答案】 A4 3 8 4 2 【解析】 ①y=cos|2x|,最小正周期为π;②y
( π ) [5π以 2α+ ∈ ,4π), π 5π π当3 6 3 2α+ = ,即3 6 α= 时,4 π=|cosx|,最小正周期为π;③y=cos(2x+ ),最小6
π 1
sin(2α+ ) 取 得 最 大 值 为 ,所 以3 2 S 的 最 大 值 为 ; ( π ), π正周期为π ④y=tan2x- 最小正周期为 ,所4 2
1+ 3
. 以最小正周期为π的所有函数为①②③,故选A.8
7.【答案】 B
综合特训(一) 【解析】 由题意知,f(x)=|cosx|·sinx,当x∈
【 】 é π ù
1 π
母题特训 êê0, ú 时,(x)2 =cosx
·sinx= sin2x;当x∈ ,
ú f 2 (2
1.【答案】 D 1
【解析】 原 式=sin20°cos10°+cos20°sin10°= π] 时,f(x)=-cosx·sinx=- sin2x,故选2 B.
1
sin30°= ,故选D. 8.【答案】 C2 【解析】 由图象知:ymin=2,因为ymin=-3+k,
2.【答案】 B 所以-3+k=2,解得:k=5,所以这段时间水深的最大
【解析】 π π 因为y=sin(4x-3 )=sin4(x- ), 值是12 ymax=3+k=3+5=8,故选C.
9.【答案】π A
所以要得到函数y=sin(4x- 的图象,只需将函数3 ) 【解析】 由题意,f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω
π 2π 2π
y=sin4x 的图象向右平移 个单位.故选B. >0,φ>0),T= ,所以|ω|=ω=π ω=2
,则f(x)=
12
3.【答案】 D ( ), 2π 2π 3πAsin2x+φ 而当x= 时,3 2×3+φ=2+2kπ
,k
ì1 π
4ω+φ=2 π【解析】 由五点作图知,í ,解得ω= ∈Z,解得φ=6+2kπ
,k∈Z,所以f(x)=Asin(2x+
5 3π
4ω+φ=2 π )( ), π π π则当6 A>0 2x+6=2+2kπ,即x=6+kπ,k
, ππφ= ,
π π
所以
4 f
(x)=cos(πx+ ),令4 2kπ<πx+4 ∈Z时,f(x)取得最大值要比较f(2)、f(-2)、f(0)
1 3 的大小,只需判断2、-2、0与最近的最高点处对称轴
<2kπ+π,k∈Z,解得2k-4,
4 k∈Z
,故
π
的距离大小,距离越大,值越小,易知0、2与 比较近,
1 3 6
单调减区间为(2k- ,2k+ ),k∈Z,故选4 4 D. 5π π
-2与- 比 较 近,所 以,当【 k=0
时,x= ,此 时
4.答案】 A 6 6
【 π解析】 1因为y=sin(2x+1)=sinêéê2(x+ ) ùúú, 0- =0.52, π6 2- ,当 时, 2 6 =1.47 k=-1 x=
故可由函数y=sin2x 的图象上所有的点向左平行移 5π- , 5π此时 -2- (- ) =0.6,所以 () ( )
1 6 6
f2 动 个单位长度得到,选
2 A. 5.【答案】 D 10.【答案】 C
87
小题狂刷 高考专题特训
( 3π 7π πcosα- ) 函数10 f
(x)的最小正周期T=2× (12-12)=π.【解析】 由已知,
( πsinα- ) 14.解:(1)由已知,有5 π
3π 3π 3π 3π 1-cos2x 1-cos(2x- )cosαcos10+sinαsin10 cos10+tanαsin 310 f(x)= -
= π π=
2 2
π π
sinαcos5-cosαsin5 tanαcos5-sin5 1 1 3 1=2 (2cos2x+2sin2x)-2cos2x
3π π 3π
cos10+2tan5sin10 3 1 1 π
= =4sin2x-4cos2x=π π π 2
sin(2x-6 ) .
2tan5cos5-sin5 2π所以f(x)的最小正周期T=2=π.π 3π π 3π
cos5cos10+2sin5sin10
= (2)因为f(x)在区间 êê
é π π- , ùúú 上是减函数,在
π π 3 6
sin5cos5 区间 êé π π ù
ê-
, ú 上是增函数,
1 5π π π 5π 6 4
ú
(
2 cos10+cos
) ( )
10 + cos10-cos10
= π1 2π f(- )
1,( π=- f - )
1, π 3
3 4 6 =-2 f
( )= ,所
2sin
4 4
5
3
π 以f(x)在区间
éê π- ,
π ù
ê úú 上的最大值为 ,最小值为
3cos 3 4 410
= =3,故选π C. 1
cos - .10 2
【 】 3π 解:()( )
π
11.答案 15. 1f x =sin( 2-x )sinx- 3cos2x=8
3
【解析】 ( π π 由f x)=sin(2x+ )=cos(2x- ) cosxsinx- (2 1-cos2x)4 4
的图象向右平移φ 个单位所得图象关于y 轴对称可知 1 3= sin2x- (1+cos2x)
1 3
2 2 =2sin2x-π kπ π 2
cos2x
2φ+ =kπ,4 k∈Z
,故φ= - ,又φ>0,故2 8 φmin= 3 ( π) 3-
3π 2
=sin2x-3 -2.
8. 2- 3
【 】 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为12.答案 3 2 .
【解析】 tanβ=tan(α+β-α) () éêπ,2πúù , π2 当x∈ ê ú 时 有0≤2x- ≤π,从而当
1 6 3 3
tan(α+β)-tanα 7
+2 π π π 5π
= ( ) = =3. 0≤2x- ≤ 时,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增,1+tanα+βtanα 2 3 2 6 121-7 π π 5π 2π
当
13.【答案】 π 2≤2x- ≤π
时,即 时,
3 12≤x≤3 f
(x)单
调递减,
【解析】 ∵ π πf(x)在区间 êé ùê , ú 上具有单调性, 6 2 ú
综上可知,(x)在 éπ 5πù
π 2π π 2π f ê
ê , ú 上单调递增; ( )在
( ) ( ), ( ) 6 12
ú f x
且f =f ∴x= 和x= 均不是f x 的2 3 2 3 éê5πê ,
2πù
úú 上单调递减π 2π 12 3
.
+
极值 点, 2 3 7π其 极 值 应 该 在 x= = 处 取 得, :() ( ) 2π 2π2 12 16.解 1f x 的最小正周期为 ,ω =2=πx0
( π ) ( π ), π∵f =-f ∴x= 也不是函数f(x)的极 7π,2 6 6 =6 y0=3.
, ( π值点 又f x) êé
π,π在区间 ùê úú 上具有单调性,∴x= (2)
π
因 为 x∈ êé π π 6 2 6 ê-
,
2 -
ùú,所 以
12 2x+ ∈ ú 6
(7π π- - ) π 5π= 为f(x)的另一个相邻的极值点,故 êé12 2 12 ê - ,6 0
ùú .
ú
88
数学·三角函数与平面向量
故在 时至 时实验室需要降温
于是, π当2x+ =0,
π 10 18 .
即x=- 时,f(x)取得最6 12 【过关特训】
大值0; 一、1.【答案】 C
π π π
当2x+ =- ,即x=- 时,f(x)取得最小
【解析】 ∵cosα<0,sin2α=2sinαcosα>0,∴sinα
6 2 3 <0.∴α为第三象限角.故选C.
值-3. 2.【答案】 D
:() π, 217.解 1 因为0<α< sinα= ,所以cosα= 【 】 sinα |sinα|2 2 解析 原式=|cosα|+
,又角 的终边
cosα α
2 落在直线x+y=0上,∴|sinα|=|cosα|且sinα 与
2. sinα |sinα|
cosα互为相反数,∴|cosα|+ cosα =0.
所以f()
2
α = 2 2
1 1
+ ÷2 -2=è2 2 2
. 3.【答案】 A
1 【 π解析】 π π(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x- 因为cos(x+6 )=cosêé ùê ú2 2- (3-x) ú=
1 1+cos2x 1 1 1 π 3
= sin -x = ,选A.2sin2x+ 2 -2=2sin2x+2cos2x (3 ) 5
2 4.【答案】 C
=2sin(
π
2x+ ), 2π所以4 T=2=π. 【 10解析】 ∵sinα+2cosα= ,2 ∴sin2α+4sinαcosαπ π π
由2kπ-2≤2x+
, ,得
4≤2kπ+2 k∈Z kπ-
+4cos2
5
α= .化 简 得:2 4sin2α=-3cos2α
,∴tan2α=
3π π
≤x≤kπ+ ,8 8 k∈Z. sin2α 3
故选
cos2α=-4. C.
所以f(x)的单调递增区间为 êé
3π, πkπ- kπ+ ùê 8 8 ú
ú,
5.【答案】 A
k∈Z. 【解析】 根据函数解析式可知函数是非奇非偶函
3 π 1 数,所以图象不关于y 轴对称,所以C,D不正确,当x
18.解:(1)因为f(t)=10-2(2cos12t+2sin 趋向于正无穷时,2x 趋向于正无穷,而余弦函数是有
π ) (π π), 界的,所以y 趋向于0,故B不对,只能选
12t =10-2sin
A.
12t+3 6.【答案】 D
, π π π 7π又0≤t<24 所以 ≤ t+ < , π3 12 3 3 π 1+cos
(2α- )
【解析】 2
π π
因为cos2(α- )= =
-1≤sin(12t+
)
3 ≤1.
4 2
1+cos(
π )
π π -2α
当t=2时,sin( t+ )=1; 2 1+sin2α 212 3 2 =
,故选
2 =3 D.
, π π 【答案】当t=14时 sin( )12t+3 =-1.
7. C
8.【答案】 B
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.
【 】 3 5 π故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为 解析 由图象知4T= π-
( )
6 -6 =π T=
8℃,最大温差为4℃. 4 2π 3 3
() , () 3π.∴ω=T=2π×2 依题意 当ft >11时实验室需要降温. 4π
=2.
() () (π π), 5由 1 得ft =10-2sin t+ 又(6π
,2)为五点作图法中的第二个关键点,
12 3
π π 3 5 π
故有10-2sin( t+ )>11,12 3 ∴2×6π+φ= +2kπ
,
2 k∈Z.
π π 1 3 3
即sin( t+ )12 3 <-2. ∴φ=-4π+2kπ
,k∈Z.∴f(x)=2sin(2x-
, 7π π π 11π 3 3 5又0≤t<24 因此6<12t+
, ) ( ),故选
3< 6 4π+2kπ =2sin 2x+4π B.
即1089
小题狂刷 高考专题特训
【 π π解析】 将函数y=sin(6x+ )图象上各点的4 sin2x
,所以
6-2φ=2kπ
,k∈Z,故有φ 的 最 小 值 为
π
横坐标伸长到原来的3倍,得到函数y=sin(2x+ )
π
4 12.
, π 【答案】的图象 再向右平移 个单位,得到函数f(x)8 =sin
[2 15. 0
【解 析】 由 tan2θ=2tan2φ +1,得 cos2θ=
( π π π 2x- )+ ]=sin2x 的图象,而f( )=0,故选A. cosθ-sin
2θ 1-tan2θ tan2φ
8 4 2 cos2θ+sin2θ=1+tan2θ=-tan2 +1.φ
10.【答案】 D
2 tan
2
【 】 φ 2 2解析 ∵acosA=bsinB,∴sinAcosA=sin2B. ∴cos2θ+sinφ=-tan2 +1+sinφ=-sinφ+φ
∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1. sin2φ=0.
11.【答案】 C 16.【答案】 ①④
【 π 2π解析】 由题意可知,nT= (n∈N*),∴n· 【解析】 考查①y=sin2x-cos2x=-cos2x,所3 ω
以最小正周期为π.
π
= (3 n∈N
*).∴ω=6n(n∈N*),∴当n=1时,ω 取 ②k=0时,α=0,则角α终边在x 轴上.
得最小值6. ③由y=sinx 在(0,0)处切线为y=x,所以y=
12.【答案】 A sinx 与y=x 图象只有一个交点.
π π
【解析】 ∵T=6π,
2π 2π 1
∴ω= = 又 ④y=3sin(2x+ )图象向右平移 个单位得yT 6π=3. ∵ 3 6
(π) 1 π π
π π
f 2 =2sin
(
3×2+φ
)=2sin( +φ)=2, =3sin[2(x- )6 +
]=3sin2x.
6 3
π π π π
∴ +φ= +2kπ,k∈Z,即φ= +2kπ,k∈Z. ⑤y=sin(x- )2 =-cosx
在[0,π]上为增函数.
6 2 3
π x π 综上知①④为真命题.
又∵-π<φ≤π,∴φ=3.∴f
(x)=2sin( )3+3 . 、 -cosαsinα
(-tanα)
三 17.解:(1)f(α)= -tanαsinα =-cosα.5 π
∴f(x)的 单 调 递 增 区 间 为[-2π+6kπ
,
2+
() ( 4 42 由fα)= ,得5 cosα=- .
又因为
5 α
为第三
π 7
6kπ],单调递减区间为[2+6kπ
,
2π+6kπ
],k∈Z.
象限 角,所 以sinα<0,所 以sinα=- 1-cos2α=
二、13.【 】
1
答案 32 -5.
【 】 (,π π 1解析 ∵α∈ 0 ),α+β∈( ,π),cosα= ,2 2 7 sinα 3, 2tanα 24所以tanα= 故cosα=4 tan2α=1-tan2α=7.
11 1
cos(α+β)=- ,∴sinα= 1-cos2α= 1-( )2 18.解:∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ.14 7
∴∠OCP=120°.
43
= , OP CP7 在△POC 中,由正弦定理,得sin∠PCO=sinθ.
11
sin(α+β)= 1-cos2(α+β)= 1-(- )2= 2 CP 414 ∴ ,sin120°=sinθ ∴CP= sinθ.3
53
. OC 2 414 又sin(60°-θ)=
, ( )
sin120° ∴OC= sin60°-θ .3
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α 1
11 1 53 43 1 因此△POC 的面积为S(θ)= CP·OCsin120°
+β)sinα=(- ) 214 ×7+14× 7 =2.
1 4 4 3 4
【 】 π答案 =
· sinθ· sin(60°-θ)× = sinθsin(60°-
14. 2 212 3 3 3
【 3 1
4 3 1 2
解析】 f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ θ)= sinθ(2cosθ-2sinθ
)= [cos(2θ-60°)-
2 2 3 3
π),平移后的解析式为g( )
π 1
6 x =sin
(2x-2φ+ )6 =
],
2 θ∈
(0°,60°).
90
数学·三角函数与平面向量
3 1 3
故当θ=30°时,S(θ)取得最大值为 . ∴sinα= ,cosα=- .3 10 10
19.解:(1)∵f(x)=2cos2x+ 3sin2x+m= 35 5 5 25∴f(x)=- 5 sinx-( π ) 5
cosx+5cosx- 5
2sin2x+6 +m+1. sinx=- 5sinx.
∴函数f(x)的最小正周期T=π, ∴f(x)的最大值为 5.
在[0,π]上的单调递增区间为 êé π0, ùú é
2π
ê ú,êê ,πú
ù
6 3 ú .
π
22.解:(1)∵f(x)=2sinxcosx-cos(2x- )6
(2)∵当x∈ éê π ùê0, úú 时,f(x)单调递增, π π 6 =sin2x-(cos2xcos6+sin2xsin
)
6
π
∴当x= 时,f(x)的最大值等于6 m+3. 1 3 π=2sin2x-2cos2x=sin
(2x- ),3
当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.
m+3<4 ∴f(x)
π
=sin(2x- ),
由题设知{ ,解得-6-4 ∴函数f(x)的最小正周期为π.
20.解:(1)f(x)= 3sin2x-2cosx(-cosx)= 3 (2)列表,描点,作图.
π
sin2x+2cos2x= 3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )6
+1,
π π π
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得2 6 2 kπ-
π π
3≤x≤kπ+
(k∈Z)6 . (3)∵x∈ éêê
2π
0, ùúú,
π
3 ∴2x- ∈
êé π, úù .
故 函 数 (x ) 的 单 调 增 区 间 为
3 ê -3 π ú
f
π π 5π
êé πêkπ- ,
π
kπ+ úùú( )
∴当2x- = ,即x= 时,函数 ()取得最
3 6 k∈Z . 3 2 12
f x
大值1.
(2) (
α π) 3 1∵f 2-12 =2sinα+1=
,
2 ∴sinα=4. 第二单元 解三角形
∵α 是 第 二 象 限 角,∴cosα= - 1-sin2α =
15 第1节 正弦定理和余弦定理
- 4 . 【基础特训】
15, 7 π∴sin2α=- cos2α= .∴cos(2α+ )= 1.【答案】 D8 8 3 【解析】 由 余 弦 定 理 得5=b2+4-2×b×2×
π π 7 1 15 3
cos2αcos ( ) 2 13-sin2αsin3=8×2- - 8 ×2= ,解得b=3(b=- 舍去),故选3 3 D.
7+35 2.【答案】. B16
【 1 1 35 解析】 S=2×AB
·ACsin60°= ×2×
21.解:(1)由cosβ= ,β∈(0,π),
2 2
5 3 2
25 AC= ,所以2 AC=1
,所以BC =AB2+AC2-2AB
得sinβ= ,即5 tanβ=2. ·ACcos60°=3,所以BC= 3.
( ) tanα+tan∴tanα+ = ββ 3.【答案】 A1-tanαtanβ 【解析】 由正弦定理及已知条件可得sinBcosC
1
-3+2 +cosBsinC=sin
2A,即sin(B+C)=sin2A,而B+C
= 2 =1. =π-A,所以sin(B+C)=sinA,所以sin
2A=sinA,
1+3 π
又00,∴sinA=1,即A=2.
() 12 ∵tanα=- , (,),3 α∈ 0π 4.【答案】 B
91
小题狂刷 高考专题特训
【 】 {a+b+c= 2+数学·三角函数与平面向量
三角函数与平面向量前言
一、试题结构及考点分析 学生易错点,同步收集学生错题进行补偿练习.
1.三角函数的性质、图象及其变换,主要是y= 2.建构知识网络,对章节知识进行全面梳理,明确
Asin(ωx+φ)的性质、图象及变换.考查三角函数的概 各知识之间的联系.例如:从三角函数的定义到诱导公
念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图象的平移和对 式,从两角和与差的三角函数公式到二倍角公式,利用
称等.以选择题或填空题或解答题形式出现,属中低档 向量证明正、余弦定理等,同时关注高考热点,分析近
题,这些试题对三角函数单一的性质考查较少,一道题 三年高考真题,提出命题趋势的把握,对有关题型进行
所涉及的三角函数性质在两个或两个以上,考查的知 归类整理,以提高学生的训练效率.
识点来源于教材. 3.控制难度,注重教学的层次性.高考命题是以
2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能 《考试说明》为依据的,高三数学复习要以《考试说明》
力,一般要运用和角、差角与二倍角公式,尤其是对公 为指导,注意各知识点的难度控制,要弄清《考试说明》
式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填 中各项要求的具体落脚点,把握试题改革的新趋势.不
空题或解答题形式出现,属中档题. 要随便扩充和加深.例如三角函数的图象和性质复习,
3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载 可以通过由简单到复杂变式教学:“正弦函数,余弦函
体,或用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角 数和正切函数的图象和性质”到“y=Af(ωx+φ)型的
函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在 函数的图象和性质”到“一般三角函数式的图象和性
实际问题中的应用和跨知识点的应用,注意三角函数 质”,总结解决三角函数图象和性质一般思路和做法,
在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何 由易到难、循序渐进,并在此基础上提炼转化与化归,
等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式 数形结合等思想方法.同时,习题课应特别注意例题选
出现,属中档题. 择的综合性,习题教学的层次性,注重变式教学,让学
4.在一套高考试题中,三角函数一般分别有1个 生逐步掌握三角函数的基本知识技能,体会基本数学
选择题、1个填空题和1个解答题,或选择题与填空题 思想方法.
1个,解答题1个,分值在17分~22分之间. 4.规范解题,突出关键步骤.高考阅卷中,学生经
5.在高考试题中,三角题多以低档或中档题目为 常因解题不规范导致“该得分而没有得分”.对数学解
主,一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而三角 答而言,解答过程的叙述要符合逻辑要求,不仅因果顺
题是高考中的得分点. 序不能颠倒,而且要步步有据,跨步要合理,主要步骤
二、高考命题趋势分析及备考建议 (评卷中的得分点)都要明确无误地表达出来.这就要
数学高考专题复习课没有固定的模式,也没有固 求教师规范地做好示范作用.时间再紧张,也要对学生
定的选题,但是有一点是可以肯定的,那就是专题复习 把得分步骤交代清楚.
绝不是也不应当是第一轮复习的简单重复. 5.注意三角函数与其他知识的综合.三角函数和
1.回归教材,注重三角函数的概念教学.三角函数 平面向量结合,和导数不等式结合等依然是高考命题
大题考查主要在前三题中,难度不大,但单一型的题目 的热点,教学上要重视三角函数的工具性作用,让一些
将被更多的综合型题目所取代.特别是选择题或填空 有能力的学生进行知识应用的拓展,有意识的注重知
题,每道题考查的知识点也可能是两个、三个或更多 识板块的交叉运用,达到板块间的融会贯通.
个;容易出现情境新颖,设计巧妙的新题,学生往往容 6.关注教学主体学生对基本知识及基本技能的落
易失分.在单元复习时注重各个单元知识“交汇点”的 实,注重学生自主学习.要求学生对自己的错误进行归
梳理,形成知识网络,便于在大脑中迅速、准确地提取. 纳小结,找出错误的类型和原因,对易错问题要经常练
在第一轮复习过程中,可设计一些灵活多变的概念题, 习,对易混淆问题要对比练习,对重点问题要反复练
以选择题或填空题的形式让学生反复练习,同时关注 习,对练习后仍没有达到要求的学生要组织相关的训
1
小题狂刷 高考专题特训
练进行补救,直至完全过关.为了提高辅导的针对性, 的知识才是最有用的知识”的原则,狠抓基础知识和基
要坚持采取个别辅导的方式,对一些成绩较差的学生 本思想方法的教学;重视过程教学,注意知识的发生发
的作业和练习要坚持面批.同时建立“学生练习情况记 展过程,充分挖掘课本中每一个概念的内涵及与它相
录表”,将练习、作业、演板、考试中显露出来的问题记 关联的知识之间的联系,形成知识网络;从学科的整体
录下来,及时掌握学生知识的缺陷和薄弱环节,做好解 高度和思维价值的高度考虑问题,拓宽题材,多样化,
题后的反思工作,使学生练一次、考一次就能提高一 宽角度,多视点地培养学生的数学素养;让学生体验生
次. 活背景,丰富数学视野,不断培养学生用数学知识解决
认真研究高考题能给我们许多启示:坚持“最基础 现实问题的能力,体现数学的科学价值和人文价值.
2
