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参考答案
18.① 【解析】对于①,由 M P 得知,集合 M 中的最
第一单元 集合 复数与常用逻辑用语 大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p,依题意有P*=
{y|y≥p},M*={第一节 集合 y|y≥m
}.又m≤p,因此有P* M*,①
正确;对于②,取 M=P={y|y<1},依题意得 M*={y|y
[基础特训]
≥1},此时 M*∩P= ,因此②不正确;对于③,取 M={0,
1.B 【解析】由条件若a∈A,则6-a∈A,得当a=2 -1,1},P={y|y<1},此时P*={y|y≥1},M∩P*={1}
时,6-2=4∈A;当a=4时,6-4=2∈A;当a=6时,6-6 ≠ ,因此③不正确.综上所述,其中正确的结论是①.
=0 A,故a的值为2或4. 19.【解析】{x|f(x)=x}={x|x2+ax+b=x}={x|
2.A 【解析】化简各实数的值为x,-x,|x|, x2= x2+(a-1)x+b=0}={3},
3
|x|,- x3=-x,即x,-x,|x|最多含有元素的个数为 即此集合是单元素集,故方程x2+(a-1)x+b=0有
2. 等根3,
3.C 【解析】集合P={y|y≤1},集合Q={y|y>0}, 据韦达定理易知1-a=6,b=9,即a=-5,b=9,
所以 P={y|y>1},所以 P Q,故选C. 所以f(x)=x
2-5x+9,代入集合 ,R R M
2 2
4.D 【解析】当B 为空集时,m=0;当2∈B 时,可知m 得 M={x|x -5x+9=3}={x|x -5x+6=0}
=3;当3∈B 时,可知m=2,故选D. ={x|(x-2)(x-3)=0}={2,3}.
2
5.C 【解析】满足条件的集合B={3},{1,3},{2,3}, 20.【解析】(1)A={x∈R|x -3x+2≤0}={x|1≤x
{1,2,3},所以满足条件的集合B 的个数为4. ≤2},
6.D 【
x x
解析】作出两个函数的图象可知,两函数的图象 当a=10时,B={x∈R|4 -10·2 +9≥0}={x|x≤
有三个交点,所以 M∩N 有三个元素,子集的个数为23=8. 0或x≥log29}.
7.D 【解析】依题意得,T={1,3},S∪T={1,2,3},选 (2)由题意,A={x|1≤x≤2}且A B,
x
D. 当1≤x≤2时,2≤2 ≤4,
x x x
8.B 【解析】由|x|≤1,得-1≤x≤1,即B={x|-1 由4 -a·2 +9≥0,令2 =t,
2
≤x≤1},所以A∩B={x|0
9.C 【解析】M={x|x2>4}={x|x>2或x<-2}, 9,
t
N={x|log2x≥1}={x|x≥2},故 M∩N=(2,+∞).故选
C. 9 9而t+ ≥2 t× =6(当且仅当t=3时等号成立),t t
10.C 【解析】集合A=(-4,4),B={-5,0,1},所以
所以a的取值范围为(-∞,6].
A∩B={0,1}.故选C. [高频题特训]
11.B 【解析】因为 A={x|2x-3<3x}={x|x> 1.B 【解析】∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴P=
-3},B={x|x≥2},所以A∪B={x|x>-3}.故选B. M∩N={1,3},∴P 的子集共有22=4,故选B.
12.D 【解析】由题意可知,A=[0,2],B=(-∞,1), 2.D 【解析】由题意得,M=[-4,3],N=(0,3],而所
所以A∩B={x|0≤x<1}.故选D. 求集合即为 M∩ RN=[-4,0],故选D.
13.B 【解析】因为全集U={-1,-2,-3,-4,0},集
{ , ,}, { , },( ) 3.C
【解析】∵A={x|y= x-x2}={x|x(1-x)
合A= -1 -20 所以 UA= -3 -4 UA ∩B= } [,], { ( )} { }
{ , } ≥0 = 01 B= x|y=ln1-x = x|1-x>0 =-3 -4 ∩{-3,-4,0}={-3,-4}.故选B. (-∞,1),∴A∪B=(-∞,1],故选C.
14.C 【解析】因为B A,且A={x|x≤1},所以选项
【解 析 】因 为 2
中只有C满足题意.故选C. 4.D y = -x -x+6 =
15.(-1,2) 【解析】在数轴上表示A,B 集合可知A∪ -(x+3)(x-2),所以N={x -3≤x≤2},所以M∪N
B=(-1,2). ={x|-3≤x<3},故选D.
16.(
2
1,+∞) 【解析】由对数与指数函数知识易得M= 5.D 【解析】∵A={x|x -6x+5≤0}={x|1≤x≤
(-1,+∞),N=(1,+∞),故 M∩N=(1,+∞). 5},B={x|y= x-3}={x|x≥3},∴A∩B=[3,5],故选
17.[7,8) 【解析】注意到不等式x2+a≤x(a+1),即 D.
(x-a)(x-1)≤0,因此该不等式的解集中必有1与a,要使 6.A 【解析】由A∩B={0}知log7m=0,∴m=1,n=
集合A 中所有整数元素的和为28,必有a>1.注意到以1为 0,所以m+n=1,故选A.
7(1+7) 7.B 【解析】依题意得,A∩B={3,4},(A∩B)∪C=
首项、1为公差的等差数列的前7项和为 ,因此2 =28 {3,4,5},选B.
由集合A 中所有整数元素的和为28得7≤a<8,即实数a 8.C 【解析】 UB={1,4,5},所以A∩( UB)={1},
的取值范围是[7,8). 故选C.
66
数学·函数与导数
9.C 【解析】将x=-2,-1,0,1,2逐一代入y=|x+ z1|得y=0,1,2,3,故选C. 立,配对后只有四种情况,第一种:①⑤成立,此时wx2 ,于是(,
10.B 【解析】集合A 中的x 满足 ≤1,解得-2≤x ,w)∈S,(x,y,w)∈S;第二种:①⑥成立,此
4 时x≤2,故集合A=[-2,2];集合B 是函数y=x2 的值域,即B ②④成立,此时y=[0,+∞).所以A∩B=[0,2]. ∈S;第四种:③④成立,此时z11.C 【解析】S∩T={0},故a=0. S,(x,y,w)∈S.综合上述四种情况,可得(y,z,w)∈S,
12.C 【解析】依题意A∩B 的元素可能为0,1,2,也可 (x,y,w)∈S.故选B.
能没有元素,所以A∩B 不可能是{-1}. 26.C 【解析】设A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3),c=
13.D 【解析】由集合A={x||x|≤2,x∈R}={x|-2 (c1,c2,c3)∈S.因为ai,bi,ci∈(0,1),所以|ai-bi|∈(0,
≤x≤2},B={x| x≤2,x∈Z}={x|0≤x≤4,x∈Z}= 1),i=1,2,3.从而A-B=(|a1-b1|,|a2-b2|,|a3-b3|)
{0,1,2,3,4},A∩B={0,1,2}.故选D. ∈S.由题意知,ai,bi,ci∈{0,1}(i=1,2,3),当ci=0时,
14.B 【解析】集合B={x|1≤2x<4}=[0,2),所以A ||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|;当ci=1时,||ai-ci|-
∩B={1}.故选B. |bi-ci||=|(1-ai)-(1-bi)|=|ai-bi|,所以d(A
15.B 【解析】A={x|-2≤x≤2},B={x|x>1},则 3
-C,B-C)=∑|ai-bi|=d(A,B).故选C.
( UA)∩B={x|x<-2或x>2}∩{x|x>1}={x|x> i=1
}, 27.11 【解析】由2 选B. x
2-2015x+2014<0,解得116.A 【解析】因为集合 M={ 2
,故 {
x|x +3x+2<0}={x| 2014 A= x|1}.由log2x2m,故B={x|0m≥2014,因为210
-2{x|-x≤2}={x|x≥-2},所以 M∪N={x|x≥-2}. 28.(0,1] 【解析】A={x|lgx<1}={x|017.A 【解析】图中阴影部分表示 N∩( M),因为 M ={y|y=sinx,x∈R}={y|-1≤y≤1},所以U A∩B={x|0
={x|x2>4}={x|x>2或x<-2},所以 M={x|-2 ≤x≤2},所以 N∩( UM)={-2≤x<1}. 129.(-∞,- )∪(
1,+∞) 【解析】若 M= ,则
18.D 【解析】M={y|y=2sinx,x∈[-5,5]}={y| 3 6
-2≤y≤2},N={x|y=log(x-1)}={x|x>1},所以 M mx+1- x-3=0无解.令 x-3=t,则x=t
2+3.于是
2
∩N={
2
y|-2≤y≤2}∩{x|x>1}={x|119.D 【解析】因为图中阴影部分表示的集合为 A∩ 时,t=1,x=4,不合题意;当m≠0时,Δ=1-4m(3m+1)=
( UB),由题意可知A={x|0A∩( UB) {
= x|0选D. 3m+1 m >0
20.B 【解析】由题知 T=[-1,5],因此S∩T=(3,
1
5],则 R(S∩T)=(-∞,3]∪(5,+∞). >6.
21.B 【解析】由韦恩图可知,阴影部分可表示为 UA 30.6 【解析】若①正确,则a=b=2,不成立;若②正
∩B.由 于 UA={x|x≤0或 x≥9},于 是 UA∩B= 确,a≠2,b≠2,c≠0,d=5,符合条件的有序数组有(0,1,2,
{x|-422.B 【解析】集合 A 为{(x,y)|x2+2x+y2+2y≤ 的有序数组有(1,2,0,5);若④正确,a≠2,b=2,c≠0,d≠5,
2},可得(x+1)2+(y+1)2≤4,集合B 为{(x,y)|x2+2x 符合条件的有序数组有(1,2,5,0),(5,2,1,0),(0,2,5,1).综
≤y2+2y},可得(x-y)(x+y+2)≤0,在平面直角坐标系 上,符合条件的有序数组的个数是6.
上画出A,B 表示的图形可知A∩B 的元素构成的图形的面
[, ) 【 】 ( ) x-5
积为 31.4 +∞ 解析2π. x x+3-a >0 x+1-a<
23.A 【解析】具有伙伴关系的元素组有(-1,-1), , [ ,] ,x-50.由A∩B= 得 当x∈ -33 时 x+1-a≥0
或x+1
(1,1),(
1,2),(
1,3)共四组,故所求集合个数为 42 3 2 -1= -a=0,由于在[-3,3]上,x-5<0,所以x+1-a≤0,即a
15. ≥x+1在[-3,3]上恒成立,所以a≥4.
24.B 【解析】M={x||x|<2}={x|-2N={x|x2-4x+3<0}={x|1【解 析】因 为
2 × 2 =
M∪N={x|-2则 M N={x|-225.B 【解析】因为(x,y,z)∈S,(z,w,x)∈S,所以x =a1a2=t,则由一元二次方程根与系数的关系,知a1,a2 是
0,可得t<0
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或t>4,故②错.③不妨设 A 中a1a1a2…an=a1+a2+…+an=2时,即有a1<2,a1=1,于是1+a2=a2,无解,即不存在 0≤x≤2},所以A∩( UB)={x|0≤x≤1},故选C.
满足条件的“复活集”A,故③正确.当n=3时,a1a2<3,故只 法二:依题意A={x|0≤x≤2},B={x|x>1或x<
能a1=1,a2=2,解得a3=3,于是“复活集”A 只有一个,为 -1},图中阴影部分表示集合 A∩( UB),因为0∈A,0
{1,2,3}.当n≥4时,由a1a2…an-1≥1×2×3×…×(n- B,故0∈A∩( UB),故排除A、B,而2∈A,2∈B,故2/∈A
1),得n>1×2×3×…×(n-1),也就是说“复活集”A 存在 ∩( UB),故排除D,选择C.
的必要条件是n>1×2×3×…×(n-1),事实上,1×2×3 4.C 【解析】法一:由正弦函数y=sinx 的性质易得B
×…×(n-1)≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2 ={n|n=4k+1,k∈N}.所以A∩B={1,5}.
+n>n,矛盾,所以当n≥4时不存在“复活集”A,故④正确. nπ
法二:将1代入sin =1进行验证,等式成立,则1∈
33.【解析】∵A∩B 是单元素集, 2
∴y=3-x,x∈[0,3]与y=-x2+mx-1有一个交 B,
nπ
同理,分别将2,3,4,5代入sin 进行验证,可知 ,
点, 2
=1 2
即方程x2-(m+1)x+4=0在[0,]
, , , {,
3 上有一个根, 34 B 5∈B 因此A∩B= 15
}.
[ ]
{Δ=0
技巧题特训
(1) m+1 ,解得m=3; 1.D 【解析】由题意知2∈A,2∈B,-2∈B,直接排除
0≤ 2 ≤3 A、B、C选项,故选D.
10 2.C 【解析】当 m=-1时,m+1=0 N,故排除 A,(2)f(0)·f(3)<0,解得m> ;3 D,当m=10时,m+1=11,lg11>1,故排除B,选C.
(3)若x=0,方程不成立; 3.C 【解析】由A={2,m}可知m≠2(集合中元素的互
() 10 13 ),3 若x=3,则m= ,此时方程x2- x+4=0根为 异性 排除选项B
、D;若 m=0,则 UA={1,3,4},与 UA
3 3 ={0,1,3}矛盾,排除选项A,故选C.
4
x=3或x= ,在[0,3]上有两个根,不符合题意3 . 第二节 复数
10 [基础特训]
综上m> 或3 m=3. 1.A 【解析】因为(3+4i)i=-4+3i,所以虚部为3,故
34.【解析】(1)要使函数f(x)有意义,则x2-x-2>0, 选A.
解得x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.
【 】 {a+2=5, {a=3要使g(x)有意义,则3-|x|≥0, 2.D 解析 由题意得 即 ,所以a+b3-1=b b=2
解得-3≤x≤3,即B={x|-3≤x≤3}, =5.
所以A∩B={x|x>2或x<-1}∩{x|-3≤x≤3}= 5+i (5+i)(1-i)
{ } 3.B
【解析】z= = =3-2i,则虚部为
x|-3≤x<-1或2(2)若C= ,则m≤-2,C B 恒成立; -2.
若m>-2时,要使C B 成立, 【 】 1+2i
-
4.C 解析 因为z= i =2-i
,所以z=2+i,故选
{m>-2则 m-1≥-3,解得-22m+1≤3 【 】 2i 2i
(1-i) 2+2i
5.C 解析 z=1+i=(1+i)(1-i)= 2 =1+i
,则
综上,m≤1,即实数m 的取值范围是(-∞,1].
[ 的共轭复数为
,故选
多解题特训] z 1-i C.
1.C 【解析】法一:
( )
由题意知,A={x|x-x2>0}=(0, 【 2 21-i6.D 解析】 =( )( )=1-i,实部为 ,虚部1+i 1+i 1-i 1
1),B=(0,a)(a>0),因为A∩B=A,所以A B,结合数 为-1,所以实部与虚部的和为0.
轴可得a≥1,故选C. 5 5(3+4i) 3
法二:因为A∩B=A,所以A B.因为A={x|x-x2 7.A 【解析】依题意得z=3-4i=(3-4i)(3+4i)=5
>0}=(0,1),取a=1,则B=(0,1),所以A B 成立,排除 4
, ,
4
因此复数 的虚部为 ,选
BD.取a=2,则B=(0,2),所以A B 成立,排除 A,故选 +5i z 5 A.
C. -8.D 【解析】z=(2-i)i=1+2i,z=1-2i,选D.
2.C 【解析】法一:由题意知集合 A={-1,3},B=
【 】2+i
(2+i)(3+i) 5+5i 1 1
{-1,1},显然A不正确,又A∩B={-1},排除B,D,故选 9.C 解析 3-i=(3-i)(3+i)= 10 =2+2i.
C. 10.B 【解析】依题意得,(1+i)2(1-i)=2i(1-i)=2+
法二:由题意知集合A={-1,3},B={-1,1},A∪B 2i,选B.
={-1,1,3},所以 U(A∪B)={0,2,4},故选C. 2 2 2(1+i)
3.C 【解析】法一:依题意B={x|x>1或x<-1},图 11.D
【解析】因为 +i2z =1-i-1=(1-i)(1+i)-1
68
数学·函数与导数
2+2i
= -1=i,
|3-1-m|
所以虚部是1. 当直线2 3x+y-m=0
与圆有公共点时, ≤
10
【 】a+3i a-6+
(2a+3)i
12.D 解析 = ,所以当1-2i 5 a=6
2,
a+3i 即|m-2|≤25,得2-25≤m≤2+25,
时,复数 为纯虚数
1-2i . 即所求m 的取值范围为[2-25,2+25].
1+i [高频题特训]
13.D 【解析】因为z=1- 3 =2-i,所以其对应的i 1.B 【解析】由题意,得z1=1+i,z2=1-i,则z1z2=
点在第四象限,选D. (1+i)(1-i)=2,故选B.
a 1+i 2
14.C 【解析】由已知 = 得,ai=(1-i)·(1+ 1+i (1+i) 2i 1+i1-i i 2.C 【解析】1-i=
,所以 的
(1-i) (1+i) =2=i 1-i
2
i),ai=2,a= =-2i,故选C. 虚部为1,故选C.i
3.C 【解析】【 】 ( ) 2 , ∵z
(1-i)=-1-i,∴z(1-i)(1+i)=
15.A 解析 -3ia+i=-3ai-3i=3-3ai因为
-(1+i)2,∴2z=-2i,, , , ∴z=-i
,∴z+1=1-i,则|z+1|=
复数的实部与虚部相等 所以3=-3a 所以a=-1 故选
A. 2
,故选C.
-
【 】 i-1
(i-1)(-i) 2
16.2 解析 因为z= = ( ) =1+i,所以
4.A 【解析】由题意得,z=1+i=1-i
,∴z=1+i,故
i i-i
选A.
|z|=|1+i|= 2.
【 】 ( ) , 3+i
【 】 a+bi , 5.A
解 析 由 z 1+i =3+i 得 z= =
17.3 解析 由1+i=2+i
得a+bi=1+3i,所以a 1+i
(3+i)(1-i) 4-2i -
=1,b=3,ab=3. ( ,1+i)(1-i)= 2 =2-i∴z=2+i
,故选A.
( ) ( )
18.2 【 】
5i 5i2+i 5i2+i
解析
2-i=(2+i)(2-i)= =-1+
(
【 1-i
)2 -2i -2i(1-i)
5 6.D 解析】由题意知z= 1+i =1+i= 2
2i,故虚部为2. -
19.【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A,组成复数 =-1-i,∴z=-1+i,虚部为1,故选D.
z的所有事件共有12个,分别为-4,-4+i,-4+2i,-3, 【 】 2 ( 1 37.C 解析 2m +2m-1=2m+ )2 , 22 -2 m -2m
-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每种情况出
, +2=
(m-1)2+1>0,则z 在复平面内对应的点一定在实
现的可能性相等 属于古典概型.
,
其中事件A 包含的基本事件共有2个,
轴上方 故选C.
分别为i,2i,
8.C 【解析】由于两个复数对应的点的坐标分别为2 1
则所求事件的概率P(A)=12=6. A(6,5),B(-2,3),设点C 的坐标为C(x,y)(x,y∈R),则→
x+2y-3<0 由AC = 3 C
→B,得 A→B = 4 C→B,即 (- 8,- 2)=
(2)依条件可知,点 M 满足{x>0 , x=0
>0 4(-2-x,3-y),得{ 7, 7y 故点C 对应的复数为 故选y= 2i.
其围成的区域如图中阴影部分所示(不包括x 轴和y 2
轴), C.
9.A 【解析】由题意得sin2θ=0,1-cos2θ≠0,则2θ=
2kπ+π,
π
θ=kπ+ ,2 k∈Z.
故选A.
10.C 【解析】依题意得(3m-2)2+(m-1)2=17,解得
3
m=- 或m=2,故选5 C.
1 3 9
容易求得所求的面积为
2×3×2=4. 【 】 , z-111.B 解析 取z=1 则 =0,所以 A和 不正z+1 C
20.【解 析】(1)根 据 复 数 相 等 的 充 要 条 件 得
, z-1 ( ), 1+mi
{-t
2+2t=2xy① 确 设z+1=mim∈R
且 m=0 解得z= ,1-mi|z|=,
t=x-y ② 1+mi |1+mi| , ,
将②代入①得(y-x)2+2(y-x)+2x
所以 正确 故选
y=0, 1-mi =|1-mi|=1 B B.
即(x-1)2+(y+1)2=2③, 12.C 【解析】因为A∩B={2},所以2∈A 且-2 A,
因此所求点P 的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=2. m-1=2
() (
2
2 由③得点P 的轨迹是一个圆,其圆心为(1,-1),半径 { {2+ m -5m-6)i=2从而有 m-1≠-2 或 ,( 2 ) m-1≠-2为 2, 2+ m -5m-6i≠-2
解得m=6或m=3.故选C.
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13.C 【解析】若复数z=a+bi在复平面内所对应的点 i-4=0,f(5)=i5-i-5=2i,f(6)=i6-i-6=0,……由此看出
在第二象限,则a<0,b>0,这样的点有2个,即(-1,1), 集合{f(n)}中含有3个元素:2i,0,-2i.故选B.
(
( ,) (,) , 2 【 】 2 2 -1-i
)
-12 .又 ab 的所有可能取值有16个 故所求概率为16 21.B
解析 因为z=-1+i=(-1+i)(-1-i)=
1 -
= ,故选C. -1-i,所以z 的虚部是-1,z=-1+i,|z|= 2,z2=8
(-1-i)2=2i.故②④是真命题,①③是假命题,故选【 】 B.14. A 解 析 由 方 程 组
- -
{1+(2x-1)i=-(3-y)+yi 22.6 【解析】因为z=1+2i,所以z·z+z=1+4+1中 的 第 一 个 方 程 得(4x-y+b)-(2x+ay)i=8-9i -2i=6-2i,其实部为6.
5 23.2 【解析】设x=x( ) 0
是方程的实根,代入方程并整
{1=- 3-y , x=解得 2.将上述结果代入方程组中的第 理得(x20+mx0+1)+(x0+1)i=0,由复数相等的充要条件2x-1=y {y=4 x20+mx0+1=0
得 ,解得
二个等式,得(10-4+b)-(5+4a)i=8-9i,由复数相等的充 { m=2.x0+1=0
{10-4+b=8 a=1要条件得 ,解得{ ,所以ab=2.故选A. 24.1 【解析】由已知得O→C=(3,-4),O→A=(-1,2),5+4a=9 b=2 O→B=(1,-1),根据O→C=λO→A+μO→B得(3,-4)=λ(-1,2)
15.B 【解析】因为|z|=1,所以x2+y2=1.设k= -λ+ =3
y +μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ- ),所以
μ
μ ,解得
,则 为过圆 2 2 上的点和点( ,)的直线的 {2λ-μ=-4x+2 k x +y =1 -20
{λ=-1, 3 3 ,所以λ+ =1.斜率 作图如图所示,所以- ≤k≤ .又因为z 为虚数, μ=2 μ3 3
m
所以y≠0,所以k≠0.故选B. 25.3 【解析】因为 =1-ni,所以 (1+i m= 1-ni
)
(1+i),即m=(1+n)+(1-n)i,所以1+n=m,1-n=0,
解得m=2,n=1,所以双曲线2x2-y2=1的离心率为e=
.
1
c 2+1
a = = 3.2
2
16.D 【 】
1 1-i
解析 因为复数 +i2015= + 26.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),1+i (1+i)(1-i)
由|z|=1+3i-z,得 a2+b2-1-3i+a+bi=0,
i4×503+3
1-i
= +i3
1-i 1 3
2 = 2 -i= -
,所以该复数在复平面
2 2i { a2+b2则 +a-1=0, a=-4解得 ,
1 3 b-3=0
{b=3
内对应的点为( , ),在第四象限
2 -2 . 所以z=-4+3i.
zi z (1+i)2 (3+4i)2 2i(-7+24i)
17.D 【解析】由于 =zi+z=4+2i,所以z 则 2z =2(-4+3i)=3+4i.-1 1
4+2i 27.【解析】设z1=ax+byi,z2=bx+ayi,
= ( )(1+i= 2+i 1-i
)=3-i. 则函数y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|
2
【 】 (2+i) , 2+i , =|
(a+b)(x+yi)|=|a+b||x+yi|=|a+b|,
18.B 解析 由 知 为纯虚数 所以1+mi <0 1+mi 故所求的最小值为|a+b|.
2+i 2+m+(1-2m)i - -
为纯虚数,所以
1+mi= 1+m2 2+m=0
,且1- 28.【解析】因为3-2|z|∈R,所以z2=3-2|z|∈R,所
以z为实数或纯虚数.
2m≠0,解得m=-2,故选B.
-
- - ①若z为实数,则z2=|z|2,|z|=|z|,
19.B 【解析】因为z=a+bi,z=a-bi,于是z-z=(a
原方程化为|z|2+2|z|-3=0,
-
+bi)-(a-bi)=2bi,A选项错误;z·z=(a+bi)(a-bi) 解得|z|=1或|z|=-3(舍去).
-
z - 所以z=±1.
=a2+b2=|z|2,B选项正确;若 =1,则z=z,即z a+bi= ②若z为纯虚数,则设z=bi(b≠0,b∈R),
a-bi,所以b=0,于是z 为实数,与已知矛盾,C选项错误; 此时原方程化为b2-2|b|+3=0,
又z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,若ab≠0,则z2 为虚数,不 因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以该方程没有实数
能与0比较大小,D选项错误,故选B. 解.
1 综上,z=±1.
20.B 【解析】f(0)=i0-i0=0,f(1)=i-i-1=i-i 29.【解析】方法一 |z|=1表示圆心在原点O(0,0),
=2i,f(2)=i2-i-2=0,f(3)=i3-i-3=-2i,f(4)=i4- 半径为1的圆,
70
数学·函数与导数
|z+1+ 3i|=|z-(-1- 3i)|表示圆O 上的点到点 此时BD→1=(2,3),A→C=(4,1),
Z0(-1,- 3)的距离. 则四边形的对角线长分别为|BD→ →1|= 13,|AC|=
连接Z0O,并延长交圆O 于Z1,Z2 两点(如图). 17;
②当平行四边形的四个顶点排列为ABDC 时,即如图
所示的 ABD2C,
同理可得,D2(5,1)对应的复数为5+i,
此时B→C=(3,2),AD→2=(5,0),
则四边形的对角线长分别为|B→C|= 13,|AD→2|=5;
因为|OZ|=|-1- 3i|=2, ③当平行四边形的四个顶点排列为0 ADBC 时,即如图
所以|z+1+ 3i|的最小值就是点Z 所示的 AD3BC,0 到原点的距离减
去半径长,即|Z0Z1|=2-1=1;最大值就是点Z 同理可得
,D3(-3,-1)对应的复数为-3-i,
0 到原点的
→ →
距离加上半径长,即|Z0Z2|=2+1=3. 此时BA=(-1,1),D3C=(7,3),
方法二 因为||z1|-|z2||≤|z → →1+z2|≤|z1|+|z2|, 则四边形的对角线长分别为|BA|= 2,|D2C|= 58.
所以|z+1+ 3i|≤|z|+|1+ 3i|=1+2=3, 【易错点拨】本题容易将问题理解为一种情形,即 AB-
且|z+1+ 3i|≥||z|-|1+ 3i||=|1-2|=1. CD 这一种情况.(1)在平面几何的向量方法中,由于几何中
的线段没有方向,而向量有方向,因此,类似问题的解决需要
所以1≤|z+1+ 3i|≤3.
我们有分类讨论的思想,才能做到万无一失.(2)向量具有平
即|z+1+ 3i|的最大值为3,最小值为1.
移不变性,在平面几何中,对于那些平行且相等的线段,利用
[易错题特训]
向量平移不变性可以解决很多问题.
1.【解析】(1)若复数z在复平面内对应的点位于第二象 [多解题特训]
m2-8m+15<0
限,则{ , 1.A 【解析】解法一:因为复数z 满足iz=2+3i,所以m2+5m-14>0
2+3i (2+3i)(-i)
{(m-3)(m-5)<0 z= = 2 =3-2i,故选i -i A.即 ,解得 ,( )( 30 解法二:设z=x+yi(x,y∈R),则iz=i(x+yi)=
即当m∈(3,5)时,复数z 在复平面内对应的点位于第 y=-2
二象限. -y+xi=2+3i,故{ ,即z=3-2i,故选A.x=3
(2)若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限,则
2.C 【解析】解法一:因为复数z 满足(2 1- 3i)z=4i,
{m -8m+15>0,解得-7即当m∈(-7,2)时,复数z 在复平面内对应的点位于 1- 3i
(1- 3i)(1+ 3i)
第四象限. 解法二:设z=x+yi(x,y∈R),则(1- 3i)z=(1- 3i)
【易错点拨】本题涉及复数与平面直角坐标系中的点之
(x+yi)=(x+ 3y)+(y- 3x)
x+ 3y=0
i=4i,故有 ,解
间的一一对应关系,关键是建立对应关系后解不等式,在解 {y- 3x=4
不等式组时,注意利用数轴求交集,这是容易出错的地方. x=- 3
2.【解析】由题知平行四边形三个顶点的坐标分别为 得{ ,即z=- 3+i,故选C.y=1
A(0,1),B(1,0),C(4,2),设点D 的坐标为D(x,y). 3.D 【解析】解法一:因为(1+mi)(3+i)=3-m+
如图所示,A,B,C,D 四点构成的平行四边形有以下三 (3m+1)i是纯虚数,所以3-m=0且3m+1≠0,得m=3,
种情形: m+2i 3+2i (3+2i)(1+i) 1+5i
复数
1-i=1-i= ( )( )=
,所以它的模为
1-i 1+i 2
1+5i 2 2
| |= (
1) 5+( )
26
= .所以选2 2 2 2 D.
解法二:因为(1+mi)(3+i)=3-m+(3m+1)i是纯虚
, , , m+2i数 所以3-m=0且3m+1≠0 得m=3 故复数 的模1-i
①当平行四边形四个顶点的排列为ABCD 时,即如图
3+2i |3+2i| 32+22 26
所示的 ABCD , 为|1-i|=
,选择
1 |1-i|= = D.12+(-1)2 2
由B→A=CD→1,得(-1,1)=(x-4,y-2),
【 a=a
2
4.B 解析】解法一:由集合相等的意义,有 或
{x-4=-1 { 2得 , x=3得 , b=by-2=1 {y=3 {a=b
2
, a=a
2
注 意 到 a≠b,ab≠0,方 程 组 无 解,当
即D1(3,3)对应的复数为3+3i. b=a2 {b=b2
71
小题狂刷 高考专题特训
{a=b
2 z2 21 z1
时,有a3=1,因为a≠1,所以a2+a+1=0,解得a1 所以 ( )z2= z =
(mi)2=-m2<0.
b=a2 2 2
1 3 1 3 1 3 第三节 常用逻辑用语
=-2+2i
,a2=- - ,对应的有 ,2 2i b1=-2-2ib2 [基础特训]
1 3
=- + i,所以a+b=-1.故选B. 1.B 【解析】依题意得,原命题的逆命题是“若一个数的2 2 平方是正数,则它是负数”.
a=b2
解法二:由{ ,得a-b=b2-a2,即a-b=-(a+ 2.C 【解析】由逆否命题的概念可知C选项正确.b=a2 3.D 【解析】根据命题的否定的定义可知,“存在”与
b)(a-b),因为a≠b,所以a+b=-1. “任意”对应,“≤”与“>”对应,故选D.
3
5.1- i 【解析】解法一:设z=x+yi(x,y∈R),又 4.C 【解析】当x=10时,命题p: x∈R,x-2>lgx2
成立,命题p 为真命题;当x=0时,命题q: x∈R,x2>0
z0=3+2i,代入z·z0=3z+z0 得(x+yi)(3+2i)=3(x+
不成立,故命题 为假命题 所以命题 是真命题,命题
yi)+3+2i, (
q . p∨q
整理得 2y+3)+(2-2x)i=0,则由复数相等的
p∧q是假命题,命题p∧(┐q)是真命题,故选C.
2 +3=0 {x=1{ y , , 3 5.D 【解析】命题是省略量词的全称命题.易知选条件得 解得 所以z=1- i. D.2-2x=0 3y=- 22 6.D 【解析】“若 p,则q”的逆否命题是“若┐q,则
: · , z
┐p”.故选D.
解法二 由z z0=3z+z0 及z0=3+2i得z=
0
z0-3 7.A 【解析】在△ABC 中,A>B 2RsinA>2RsinB
3+2i (3+2i)·i 3 (其中2R 是△ABC 的外接圆直径),即sinA>sinB.因此在
= 2i = 2i·i =1-2i. △ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充分必要条件,选A.
π 【 】 ( ): , 8.A 【解析】“直线a
2x-y+1=0与直线6. 解析 解法一 用复数的模 设2 ω1=a1+b1i
x-ay-2
=0互相垂直”的充要条件是a2+a=0,即a=-1或a=0,
ω2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R,a1,b1 不同时为0,a2,b2 不 所以a=-1是两直线垂直的充分不必要条件.
同时为0),故得点P1(a1,b1),P2(a2,b2),且a1a2+b1b2= 9.C 【解析】由于a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a
0,|OP|2=|ω|2=a2 21 1 1+b1,|OP 22|=|ω2|2=a22+b22, 1 2 3
|P P 2 2 2 2 -b
)[(a+ b)+ 2],所以 3 3 与 同号,因此,
1 2|=|ω1-ω2| =|(a1-a2)+(b1-b2)i| =a1 2 4b a -b a-b
+b21+a22+b22-2(a1a +bb )=a2+b2+a2 22 1 2 1 1 2+b2=|OP 21| a3-b3>0 a-b>0.故选C.
+|OP2|2. 10.D 【解析】注意存在和任意的意义,易知 A,B,C均
π 正确,对于D,举反例:如x=-1,x2+3x+1=1-3+1=
由勾股定理的逆定理知∠P1OP2=2. -1<0,选D.
解法二(用向量的数量积):同解法一的假设,知OP→1= 1
11.C 【解析】命题p 为真命题,对命题q,当x= 时,
(a1,b1),O→P2 = (a2,b2),则 有 cos O→P ,O→1 P2 = 4
a1a2+b1b2 , π
1 1
=0 故∠P OP = . x= > =x,故q为假命题,┐q为真命题.故选1 2 C.
a2+b2 a21 1 2+b2 2 2 42
7.【解析】解法一:设复数z =a+bi,z =c+di(a,b,c, 12.B
【解析】因为命题甲等价于b>0且a>b,或b<0
1 2
), 且d∈R 且它们在复平面上对应的点分别为Z ,Z , a,命题乙等价于a1 2
由|z +z|=|z -z|,知以OZ→ →
条件.故选B.
1 2 1 2 1,OZ2为邻边的平行四
13.B 【解析】全称命题的否定是特称命题,故“ x∈
边形为矩形,
→ → R,ex>0”的否定为“ x0∈R,
x
e0≤0”,故选B.
所以OZ1⊥OZ2,即ac+bd=0,
- 14.D 【
1
解析】由减函数的定义易知 ( ) 在其定
因为z1·z2≠0,
x =
所以bc-ad≠0, f x
z1 a+bi ac+bd bc-ad bc-ad 义域上不是减函数,A错;两个三角形全等是这两个三角形所以 = = 2 2+ 2 ,z2 c+di c +d c +d2i=c2+d2i 面积相等的充分条件,B错;命题“ x∈R,x2+x+1>0”的
z21 (bc-ad
2 2
) (bc-ad) 否定是“ ,
2 ”, 错;由 是真命题可
所以
z2=c2+d2i =-c2+d2 <0.
x∈Rx +x+1≤0 C p∧q
2 知p 和q都是真命题,故┐p 一定是假命题,D正确,选D.
解法二:因为|z1+z2|=|z1-z2|, 15.真 【解析】若x<0,则x3- - - -
所以(z1+z2)(z1+z2)=(z1-z2)(z1-z2), 题,命题q是真命题,故命题┐p 且q是真命题.
- - 16.①③ 【解析】①中命题p 为真,命题 为真,所以化简得z1z2+z z
q
2 1=0,
- “ ap∧┐q”为假,故①正确;l1⊥l2 的充要条件是 或- =-3
因为z1· ,
z1 z1, bz2≠0 所以z =--2 z a=b=0,故②错误;根据逆否命题的定义,知③正确2 .
z1 17.-22+mx
所以 为纯虚数,设为 ( ),
z mim≠02 +1>0成立,所以Δ=m2-4<0,即-272
数学·函数与导数
q”为真命题, {m<0所以 , π解得-20,即q 为真命题,由命题的关系可知 为-218.【解析】若命题p 为真,则Δ=16-4a2<0,解得a> 假命题,p∧q为假命题,p∨q 为真命题.故本题的正确选项
2或a<-2. 为B.
【 】 , , :
若命题q 为 真,因 为 m∈[-1,1],所 以 m2 4.C
解析 易知 命题
+8∈ p
是真命题 对于命题qy'=
[ , [ ,],而 [ ,],故命题 为假命题,所以223]. -sinx∈ -11 2 -11 q
┐q为真命题,p∧(┐q)是真命题 故选
因为 m∈[-1,1],
. C.
不等式a2-5a-3≥ m2+8恒成
5.C 【解析】由题意可得, cos
2A>cos2B 1-sin2A>1
立
2 , -sin
2B sin2A所以只需a -5a-3≥3 解得a≥6或a≤-1.
“ ” , “ ” , sinA,故选C.
因为命题 p∨q 为真命题 且命题 p∧q 为假命题 则
6.D 【解析】由指数函数性质可知, x∈R,ex>0,所
命题p、q一真一假.
2
{a>2或a<-2 以A错;当sinx=-1时,sin
2x+ =-1<3,所以B错;
①当p 真q假时,可得 ,解得2-11,b>
, {-2≤a≤2②当p 假q真时 可得 ,解得-2≤a≤ 1 ab>1,但a=-2,b=-2时,ab>1,但不符合a>1,b>a≤-1或a≥6 1,所以D正确,故选D.
-1. 7.D 【解析】命题的逆命题是“若x≥2ab,则x≥a2+
综合①②可得,实数a 的取值范围为[-2,-1]∪(2, b2”.故选D.
6). 8.C 【解析】命题p,由ac2>bc2 可得a>b.又y=2x
19.【解析】当f(x),g(x)满足条件①时,m≤0显然不 为增函数,所以2a>2b,故命题p 为真命题;命题q,因为
合题意;
Δ=(-1)2-4×1×1=-3<0,所以x2-x+1>0恒成立,
当m>0时,f(0)=1>0, 故命题q为假命题.由真值表可知,p∧q 为假,(┐p)∧q 为
4-m
若对称轴x= ≥0,即0)∧(┐q)为假.故选C.
9.D 【解析】若f'() x4-m x =e -m≥0
在(0,+∞)上恒成
若对称轴x= <0,即m>4,只要方程2mx2 ( x2m -24 立,即e≥m 在(0,+∞)上恒成立,则m≤1,这说明原命题
-m)x+1=0的判别式Δ=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m 是真命题,反之,若m≤1,则f'(x)>0在(0,+∞)上恒成
-2)<0即可,又m>4,可得4当f(x),g(x)满足条件②时,对于 m∈(0,8),x∈ 而是“不是增函数”,故选D.
(-∞,-4),g(x)<0恒成立, 10.C 【解析】当x>0时,x
2+1≥2x,所以log(x22 +
由①可知,必存在x0∈(-∞,-4),使得f(x0)>0成 1)≥1+log2x,当且仅当x=1时,log2(x2+1)=1+log2x,
立,故可得m∈(0,8). 所以命题p 为假命题,所以┐p 是真命题;在△ABC 中,设
20.【解析】若命题p 为真,则a2-6a<0,得0sinB,则a>b,所
若命题q为真,则Δ=(a-3)2-4≥0,得a≤1或a≥5. 以0由于“p∨q”为真,“p∧q”为假,即p,q一真一假, 以(┐p)∧q为真命题,选C.
如图所示,故a∈(-∞,0]∪(1,5)∪[6,+∞). 11.C 【解析】因为命题“若p,则q”与命题“若┐q,则
┐p”互为逆否命题”,所以选项 A为真命题;因为命题p:
x∈[0,1),ex≥1是真命题,命题q: x0∈R,x20+x0+1
[高频题特训] <0是假命题,则p∨q 为真命题,所以选项B正确;因为当
1.C 【
2
解析】若两直线平行,则a(a-1)=2 a=2或 m=0时,am =bm
2,所以“若am2-1,经检验,a=-1时,两直线重合,不合题意,舍去,故a= 为假命题,所以选项C是错误的;若p∨q 为假命题,则p,q
2,∴是充分必要条件,故选C. 均为假命题
,所以选项D正确.故选C.
【 】 ( ) ( ) 12.C 【解析】①p 且q为假命题,p 和q只需至少有一2.B 解析 ∵f x+π =|cosx+π|=|-cosx|=
个假命题,所以①错误; 根据否命题的定义,可知 正确;
|cosx|=f(x),f(x)
② ②
=|cosx|的最小正周期为π,故命题p
③否定应是“ x0∈R,x20+1<1”,所以③错误;④根据正弦
为假命题,┐p 为 真 命 题,令 g(x)=y=x3+sinx,则
函数的单调性,可知④正确.故选C.
g(-x)=(-x)3+sin(-x)=-(x3+sinx)=-g(x),即 13.C 【解析】本题考查常用逻辑用语的有关知识,依次
y=x3+sinx 的图象关于原点中心对称,故命题q 为真命 判断易知C选项中,若p 且q 为假命题,只需二者中有一个
题;由真值表,得p∨q为真命题;故选B. 为假即可,不需要二者都为假.
5
3.B 【解析】因为sinx ≤1, >1,所以命题p 为假命 【 】 ,(3
x 3 0
0 2 14.D 解析 当x<0时 )>( ),即4 4 3
x>4x 对
题;令f(x)=x-sinx,利用导函数的性质可求得在x∈(0, 任意x∈(-∞,0)恒成立,故p 是假命题;令g(x)=tanx-
73
小题狂刷 高考专题特训
( )] (), () ,
x,则g'(x)
1
= 2 -1,由于 x∈(,
π), 1-x = x 所以函数 x 为偶函数 所以命题 为真
cosx 0 2 cosx<1
,所以 f f p
ex-1
g'(x)>0,所以g(x) (),
命题;对于命题 : () ,函数 ( )的定义域为
>g 0 所以tanx-x>0,即tanx> qy
=f x =ex+1 f x
x,故命题q是真命题,所以(┐p)∧q是真命题,故选D. 1-1
15.B 【
-x x
解析】由否命题的概念可知,选B. , , ( ) e -1 e 1-e
x
R 关于原点对称 因为f -x = -x = = x=
16.B 【解析】写含有全称量词的命题的否定方法为:把 e +1 1
ex+1
1+e
全称量词写成存在量词,同时把结论否定.故选B.
-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以命题q 为假命题.所
17.A 【解析】p∨q是假命题,则p,q均为假命题,┐p 以(┐ )∧ 是假命题,故选B.
为真命题,反之,
p q
若┐p 为真命题,则p 是假命题,由于命题 1
q的真假不确定,故p∨q的真假不确定,所以“p∨q是假命 26.D 【解析】选项A,显然错误,例如f(x)= 是奇x
题”是“┐p 为真命题”的充分不必要条件,故选A. 函数,但当x=0时无意义;选项B,由于向量的数量积的消
18.D 【
a
解析】充分性:当a =0时,不能推出 n+1=q, 去律不成立,故B错;选项C,“ x∈R,
2
n x +1>0”的否定应an 是“ x0∈R,x20+1≤0”;选项D,根据否命题的定义知其正
故“an+1=2an”不是“数列{an}为等比数列”的充分条件;必 确,故选D.
要性: a当{a n+1n}为等比数列时,由 =q 得a an+1=qan
,但推
n 27.②④ 【
π
解析】由于y=sin(x- ) ,所以2 =-cosx
不出q=2,所以“an+1=2an”不是“数列{an}为等比数列”的 这个函数在[0,π]上是增函数,命题①不正确;由于3×1-1
必要条件,故选D. =2>0,3×2-7=-1<0.所以点A、B 在直线3x-y=0的
19.C 【解析】“若a>b>0,则a2>b2”的逆命题是“若 两侧,命题②正确;a1+a5=2a3=0,数列{an}递减,则a4<
a2>b2,则a>b>0”,当a=-2,b=1时,不成立,故该命题 0,故只有当n=2,3时,Sn 取得最大值,命题③不正确;
为假命题,所以 A正确;由导数意义和极值定义可知,B正 1 1
确;当a·b<0时, ,
2 3 2 2
向量ab的夹角为钝角或者等于π,选项 f(x)=(x +3x)· , ( )3x-x=3x +x -x f'x =x +
C是错误的.由命题的否定的定义知选项D正确,故选C.
, 1所以函数 ()的图象在点(, )处的切线的斜率是
ax+2y=3
2x-1 f x 1 3
20.A 【解析】由 { 有 唯 一 解,得x+(a-1) a≠y=1 1
f'(1)=2,所以切线方程是y-3=2
(x-1),整理得6x-
2 ,所以a≠2且a≠-1,所以“a≠2”是“关于x, 的二a-1 y 3y-5=0,命题④正确.
{ax+2y=3 2
x0
元一次方程组 有唯一解”的必要不充分条 28.①④ 【解析】①2x0>3x0 ( ) ,所以
x+(a-1)y=1 3
>1 x0
x x
件.故选A. ∈R,20>30成立,是真命题;②利用奇函数的定义f(-x)
21.B 【解析】命题“ x∈R,均有x2-x+1>0”的否定 =-f(x)恒成立,
1
可得a 的值为 ,是假命题;③利用圆心
是“ x0∈R,使得x20-x 2
2
0+1≤0”,选项A错误;2x -7x+3
(-1,2)在直线3x+y+m=0上可得,m=1,是假命题;1 ^ ^ ^ ④
=0 x=3或x= ,选项B正确;线性回归方程2 y=bx+a 从六个数中任取两个数的取法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,
对应的直线一定经过其样本数据点(x ,y 5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),1 1),(x2,y2),…,
- - (4,5),(4,6),(5,6),共15种,取出的两个数是连续自然数
(xn,yn)的中心(x,y),选项C错误;若p,┐q均是真命题时, 的方法有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),共5种,故所求
p∨(┐q)”为真命题,但“p∧q”为假命题,选项D错误.故选B. 1
22.B 【解析】对于①,由“p 且q”为假命题得p,q中至 概率为 ,是真命题3 .
少有一个是假命题,因此①不正确;对于②,易知是正确的; 29.【解析】若命题p 为真,则0对于③,易知是不正确的.综上所述,正确命题的序号是②, 1 5 1 1
选B. 因为2≤x+ ≤
,要使此式恒成立,需
x 2 c<2
,即c>2.
23.B 【解析】A中命题的否定应为“ x∈R,x2+2x 因为“p 或q”为真命题,“p 且q”为假命题,则p,q中必
+3≥0”;C中应为充分不必要条件;D中为假命题. 有一真一假,
24.B 【解析】若x31,所以命题p 1
当p 真q假时,c的取值范围是0π π 2
为假命题;若sinx-cosx= 2sin(x- )4 =- 2
,则x-4 当p 假q真时,c的取值范围是c≥1.
3π 7π
=2+2kπ
(k∈Z),即x= +2kπ(k∈Z),所以命题q为真 综上可知,c的取值范围是(,
1] [, )
4 0 2 ∪ 1 +∞ .
命题,所以(┐p)∧q为真命题. 30.【解析】因为x2-5x-6≤0,所以(x-6)(x+1)≤
25.B 【解析】对于命题p:y=f(x)=ln[(1-x)(1+ 0,所以p:-1≤x≤6,所以┐p:A={x|x<-1,或x>6}.
x)],令(1-x)(1+x)>0,得-1定义域为(-1,1),关于原点对称,因为f(-x)=ln[(1+x) (1-2a)]≤0.
74
数学·函数与导数
又因为a>0,所以q:1-2a≤x≤1+2a,所以┐q:B= m>0 m>0
{x|x<1-2a,或x>1+2a}. 所以{1-m<-2或{1-m≤-2,即 m≥9或 m>9,所
因为┐p 是┐q的必要不充分条件, 1+m≥10 1+m>10
1+2a>6 以m≥9.
5
所以B 是A 的真子集,所以{1-2a<-1,所以a>2. 综合特训
a>0 [母题特训]
5
但当a= 时,同样满足B 是A 的真子集,故a 的取值 1.C 【解析】集合B={x|-1而A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3},故选C.
5
范围为[ ,
2 +∞
). 2.D 【解析】由(x-2)(x-3)≥0解得x≥3或x≤2,
[易错题特训] 所以S={x|x≤2或x≥3},所以S∩T={x|01.A 【解析】q:2x>1 x>0,且(1,2) (0,+∞),所 ≥3
},故选D.
-
以p 是q的充分不必要条件. 3.A 【解析】由已知z=i(1-i)=i-i2=i+1,所以z=
【易错指导】注意从条件得出结论是条件具有充分性,由 1-i.故选A.
结论得出条件是条件具有必要性,不要搞颠倒了. 4.B 【解析】因为x(1+i)=1+yi,所以x+xi=1+
2.A 【解析】由题意知p 为真命题,q为假命题,则┐q yi,x=1,y=x=1,|x+yi|=|1+i|= 2,故选B.
为真命题,所以p∧┐q为真命题,故选A. 5.A 【解析】要使复数z对应的点在第四象限应满足:
【误区警示】含逻辑联结词的命题的判断易错点是:(1) m+3>0,解得 ,故选
对构成它的命题p,q的真假判断出错.(2)对构成它的命题 { -3p,q的真假判断正确,但将含有逻辑联结词的命题的真值表 (1-i)2 -2i
6.D 【解析】由题意得z= = =-i(1-i)=
中的“且”与“或”搞混,对“p∧q”是全真才真,一假必假;对 1+i 1+i
“p∨q”是一真就真,全假才假,应注意识别. -1-i,故选D.
[多解题特训] 7.D 【解析】由B={1,4,7,10},则A∩B={1,4},选
1.D 【解析】解 法 一:设f(x)=x2|x|,则f(x)= D.
x3,x≥0 8.C 【解析】由A={ }, { },则{ y|y>0 B= x|-1-1},选C.
[0,+∞)上是增函数,结合图象可知,由“a2-4)i=
“a2|a|解法二:取a=-3,b=-1,满足a 10.C 【解析】由已知得A={i,-1,-i,1},故选C.
2
b2|b|;取a=-1,b=-2,满足a2|a|b.故 11.A 【解析】因为 M={x|x =x}={0,1},N={x|
“a2.【解析】解法一:由q:x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤ 12.D 【解析】全称命题的否定为特称命题,因此命题
*
x≤1+m, “ n∈N ,f(n)∈N
* 且f(n)≤n”的否定形式是“ n0∈
* *
┐q:A={x|x>1+m,或x<1-m,m>0}. N ,f(n0) N 或f(n0)>n0”.
x-1 13.A 【解析】由于B={x|-2由|1- ,解得3 |≤2 -2≤x≤10
, {-1,0}.故选A.
所以┐p:B={x|x>10,或x<-2}. 14.D 【解析】 的否定是 , 的否定是 ,n≥x
2 的
因为┐p 是┐q的必要不充分条件.所以A B. 否定是n2.故选D.
m>0 m>0 15.D 【解析】由|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2
所以{1-m<-2或{1-m≤-2,即 m≥9或 m>9,所 a·b=0 a⊥b,故是既不充分也不必要条件,故选D.
1+m≥10 1+m>10 16.A 【解析】因为cos2α=cos2α-sin2α=0,所以sinα
以m≥9. =cosα或sinα=-cosα.因为“sinα=cosα” “cos2α=0”,但
解法二:因为┐p 是┐q的必要不充分条件, “sinα=cosα”/ “cos2α=0”,所以“sinα=cosα”是“cos2α=0”
所以p 是q的充分不必要条件. 的充分不必要条件,故选A.
由q:x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m, 17.A 【解析】对于集合E,当满足0≤p所以q:Q={x|1-m≤x≤1+m}, s≤4,0≤rx-1 p,q,r均可取0,1,2,3四个数中的任意一个,此时共有4
3
由|1- |≤2,解得3 -2≤x≤10
,
个不同的值;当s=3时,p,q,r均可取0,1,2三个数中的任
所以p:P={x|-2≤x≤10}. 意一个,此时共有33 个不同的值;当s=2时,p,q,r均可取
因为p 是q的充分不必要条件,所以P Q. 0,1两个数中的任意一个,此时共有23 个不同的值;当s=1
75
小题狂刷 高考专题特训
时,p,q,r只可取0,此时共有1个不同的值;于是,card(E) +8,除了最后一对,前面的每一对都可以交换,共有15种情
=1+23+33+43=100.对于集合F,由于0≤t0,1,2,3四个数;当u=3时,t可取0,1,2三个数;当u=2 元素个数为17.故选B.
时,t可取0,1两个数;当u=1时,t 只取0一个数;这样 π
9.B 【解析】因为x∈(0, ),所以2 sin2x>0.
任意x∈
(t,u,v,w)由(t,u)的不同情形有1+2+3+4=10种;同理
(t,u,v,w)由(v,w)的不同情形也有10种,故集合F 中的 (,π0 ),
π 2x
ksinxcosx不同元素个数也是100.故card(E)+card(F)=200. 2 2 sin2x
18.5 【解析】设复数z=a+bi,a,b∈R,则z2=a2- 当x∈(,
π
0 )时,2 0<2x<π
,设t=2x,则02 2
b2+2abi=3+4i,a,b∈R, {a -b =3则 ,a,b∈R,解 得 t-sint,则f'(t)=1-cost>0,所以f(t)=t-sint在(0,π)2ab=4 t
a=2 a=-2 上单调递增
,所以f(t)>0,所以t>sint>0,即 ,所以
{ { , sint
>1
或 则z=±(2+i),故|z|= 5.
b=1 b=-1 π 2x
k≤1.所以任意x∈(0, ),k< ,等价于k≤1.因为k≤
19.-2 【解析】由题意知,复数(1-2i)(a+i)=a+2 2 sin2x
+(1-2a)i是纯虚数,则实部a+2=0,虚部1-2a≠0,解得 π1/ k<1,但k≤1 k<1,所 以“对 任 意 x∈(0, ),
a=-2. 2
π ksinxcosx”是“k<1”的必要而不充分条件,故选B.
20.1 【解析】由已知可得 m≥tanx(x∈[0, ])恒成4 10.B 【解析】由A={1,2}得C(A)=2,由A*B=1,
π 得C(B)=1或C(B)=3.由(x2+ax)(x2+ax+2)=0得
立.设f(x)=tanx(x∈[0, ]),显然该函数为增函数,4 x2+ax=0或x2+ax+2=0,当C(B)=1时,方程(x2+
() (π) π , ax)(x
2+ax+2)=0只有实根x=0,这时a=0.当C(故f x 的最大值为f =tan =1 由不等式恒成立可 B
)=
4 4 3时,必有a≠0,这时x2+ax=0有两个不相等的实根x1=
得m≥1,即实数m 的最小值为1. 0,x =-a,方程x22 +ax+2=0必有两个相等的实根,且异
[过关特训]
于x 21=0,x2=-a,由Δ=a -8=0,得a=±22,可验证
1.B 【解析】当a=-1时,x=|-1-1|=2;当a=0
, ; , , 均满足题意
,故S={-22,0,22},C()时 x=|0-1|=1 当a=1时 x=|1-1|=0 所以 B S =3.=
{, ( )01,2},A∪B={-1,0,1,2},A∪B 中元素的个数是4.故 11.2 【 】
2i 2i1-i
解析 z= ,所以1+i=(1+i)(1-i)=1+i |z|
选B.
2 2
2.D 【解析】i(
= 1+1 = 2.
i+1)=i2+i=-1+i,故选D.
{,}
( ) 12.03
【解析】由于 M={0,1,3},N={x|x=3a,a
3.D 【 】
i i2+i -1+2i 1
解析 因为
2-i=(2-i)(2+i)= 5 =-5 ∈M},则 N={0,3,9},所以 M∩N={0,3}.
2 2 13.-3 【解析】因为 ( )( )2 i 1 2 5 z= 1+i 3-ai =
(3+a)+
+ i,所以| |= (- )+( )5 2-i 5 5 =5. (3-a)i为纯虚数,所以a+3=0,即a=-3.
a+i (a+i)(2-i) 13 1
4.B 【解 析】因 为 复 数 = = 14.(1)(-∞,2] (2)(-∞,- ]∪[- ,2] 【解2+i 5 12 8
2a+1+(2-a)i Δ=m
2-4>0
在复 平 面 上 对 应 的 点 在 第 二 象 限,所 以 析】(1)若p 为真,则{ ,解得m>2.若┐p 是真5 -m<0
{2a+1<0 1 a+i 命题,则p 是假命题,故实数m 的取值范围是(-∞,2].,即a<- ,故“复数 在复平面上对应的点2-a>0 2 2+i (2)设 f(x)=4x2+4(m-2)x+1,若q 为 真,则
位于第二象限”是“a<-1”的必要而不充分条件. f(0)=1>0
m2
13 1
+m-2=0 f(2)=16+8(m-2)+1<0 ,解得- 5.C 【解析】依题意有{ ,解得m=-2. { 12 8m2-1≠0 f(3)=36+120
6.D 【解析】集合P 是用列举法表示的,只含有一个元 为假, 13 1则m≤- 或m≥- .
素,即函数y=x2+1.集合Q,R,N 中的元素全是数,即这三 12 8
个集合都是数集,集合Q={y|y=x2+1}={y|y≥1},集合 综上,结合(1),若(┐p)∧(┐q)是真命题,则有 m≤
R 是一切实数.集合 M 的元素是函数y=x2+1图象上所有 13 1 13- 或12 -8≤m≤2
,即 m 的取值范围是(-∞,- ]12 ∪
的点.故选D.
7.B 【解析】
1
因为A={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5, [- ,8 2
].
6},B=|x∈R|x2-3x>0|={x|x>3或x<0},所以A∩ 1
B={4,5,6},则选B. 15.①⑤ 【解析】对于①,因为y= ,所以x x1x2+
8.B 【解析】若a,b同为正奇数或同为正偶数,则有16 1
可化为 ,所以( )2
=1+15=2+14=3+13=4+12=5+11=6+10=7+9=8 y1y2=0 x1x2+xx =0 x1x2 +1=0
,故不
1 2
76
数学·函数与导数
; yy
(1,2].
存在 对于②,xx + 1 21 2 y1y2=0可转换成xx =-1
,数形结
1 2 20.【解析】(1)当n=2时,S={1,2},此时A={1},B=
合显然成立;对于③,集合 M 中含有元素(0,0),故x1·0+ {2},所以P2=1.
y1·0=0恒成立;对于④,数形结合可知,显然成立;对于 当n=3时,S={1,2,3},若A={1},则B={2},或B=
⑤,采用特殊值,取点(x1,y1)=(1,0),若x1x2+y1y2=0 {3},或B={2,3};若A={2}或A={1,2}时,则B={3},所
恒成立,则x2=0,由函数定义,x2>0,故不是“孪生对点集”. 以P3=5.
16.【解析】(1)因为A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}, (2)当集合A 中的最大元素为k时,集合A 的其余元素
所以A-B={1}. 可从1,2,…,k-1中任取若干个(包含不取),所以集合 A
(2)不一定相等. 有2k-1种情况.
对于(1)中的集合A,B,A-B={1},而B-A={5},
此时,集合B 的元素只能从k+1,k+2,…,n 中任取若
所以A-B≠B-A.
干个(至少取1个),即B 为集合{k+1,k+2,…,n}的一个
若A={1,2,3,4),B={1,2,3,4},则A-B= ,B-A
真子集,所以集合B 共有2n-k-1种情况.
= .
当k依次取1,2,3,…,n-1时,可分别得到集合对(A,
此时A-B=B-A.
B)的个数,
故A-B 与B-A 不一定相等.
( ) 求和可得 Pn=(n-1)·
n-1
x x-1 ≤0 2 -
(20+21+22+…+
【 】 : x-117.解析 对于命题p 由 ≤0,得{ ,所 n-2x ) ( )· n-1x≠0 2 = n-2 2 +1.
以0对于命题q:由(x-m)(x-m+2)≤0,得 m-2≤x≤
m. 第一节 函数概念及其表示
因为p 是q的充分不必要条件, [基础特训]
{m-2≤0所以 ,所以1≤m≤2. 1.C 【解析】由集合性质结合已知条件可得a=1,b=m≥1 0,所以a+b=1.
18.【解析】因为A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B= 2.C 【解析】由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=
{x|(x-1)(x-a+1)=0},
,所以函数的定义域可以是{, },{, },{, ,
又因为B A,
± 2 0 2 0 - 2 0 2
所以a-1=1,即a=2.
因为A∪C=A,所以C A,则C 中的元素有以下三种 - 2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.
情况: 3.B 【
1
解析】根据题中条件可知,f(log2 ) ( )
(1)若C= ,即方程x2-bx+2=0无实根,则Δ=b2 8
=f -3
=f(-1)=f(1)=f(3)=23=8,故选B.
-8<0,所以-22() 32 若C={1},或C={2},即方程x2-bx+2=0有两 4.B 【解析】由函数图象知,当0≤x≤1时,y= ;2x
个相等的实根,则Δ=b2-8=0,b=± 2,此时C={2}或 3 3
当1≤x≤2时,=- x+3.所以当0≤x≤2时, = -
C={- 2},
y y
不合题意,舍去; 2 2
(3)若C={1,2},则b=1+2=3,而两根之积恰好等于 3
2|x-1|.2.
故同时满足B A,A∪C=A 的实数a,b存在,且为a 5.A 【解析】M=(-1,1),N=(-1,+∞),故 M∪
=2,-22( ) {
或a=2,b=3. RN = x|x<1
},故选A.
19.【解析】由x2-4ax+3a2<0(其中a>0), 6.D
【解析】当x≥1时,解得a< log2x≥log21=0
;当x<-1
x<3a,即p:a1
= ,故函数的值域为{y|y≥0}∪{3 y|0由{|x-1|≤2 -1≤x≤3x+3 得{ ,解得20 x>2 x<-3 3
7.C 【解析】显然函数的定义域是[-3,1],且y≥0,故
22
(1)若a=1,则p:12-2x+3=4+
{12+4,显 然 有 0≤ - (x+1)2 +4≤4,x∈
p∧q为真,则 ,所以22因此实数x 的取值范围是(2,3). m 2
(2)因为┐p 是┐q的充分不必要条件, 所以M =2.
所以p 是q的必要不充分条件,即(2,3] (a,3a), 8.C 【解析】根据f(1+x)=f(-x),可知函数f(x)
3a>3
则只需{ ,解得177
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1 也有 (x)=x+2,
调递增,故f(x)在(-∞, ]上单调递减,则函数f(x)在
f
2 即y= [f(x)]2+f(x2)= (x+2)2+ (x2+2)=
[-2,0]上的最大值与最小值之和为f(-2)+f(0)=f(1+ 2(x+1)2+4,
2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+log22=4. 所以当x=1时,y 取得最小值,ymin=12,当x=3时,y
9.D 【解析】函数f(x)=ex-1的值域为(-1,+∞), 取得最大值,ymax=36,
g(x)=-x2+4x-3的值域为(-∞,1],若存在f(a)= 所以所求函数的值域为[12,36].
g(b),则需g(b)>-1,即-b2+4b-3>-1,所以b2-4b+2 18.【解析】(1)由f(0)=1,可设f(x)=ax2+bx+1(a
<0,所以2- 210.B 【解析】选项 B中,f(x)=2x-1-1的值域为 故f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2
(-1,+∞),将函数f(x)的图象关于x 轴对称变换后所得 +bx+1)=2ax+a+b,
函数的值域为(-∞,1),值域改变,不属于同值变换.经验 2a=2 a=1
由题意得 ,解得 ,故 ( ) 2
证,其他选项正确, { f x =x -x+故选B. a+b=0 {b=-1
11.[2,+∞) 【解析】使 函 数 有 意 义 的 x 应 满 足 1.
{log2x-1≥0 ()由题意得,
2 ,即 2
, , [, ) 2 x -x+1>2x+m x -3x+1>m
,
解得x≥2 因此函数的定义域为 2 +∞ .
x>0 对x∈[-1,1]恒成立.
π 令 () 2【 】 () () () x =x -3x+1
,则问题可转化为 (x)min>m,
12.1 解析 由已知得f6 =f5 =f 4 =sin =
g g
2 又因 为 g(x)在 [-1,1]上 递 减,所 以g(x)min =
1. g(1)=-1,故m<-1.
13.[-2,-1] [1,2] 【解析】由已知可得x+2∈ [高频题特训]
[0,1],故x∈[-2,-1],所以函数f(x+2)的定义域为 1.C 【解析】根据分段函数解析式,当x>0时,3+
[-2,-1].函数f(x)的图象向左平移2个单位得到函数f log2x≤5,解得0(x+2)的图象,所以值域不发生变化,所以函数f(x+2)的 ≤x≤0,综上不等式的解集是[-2,4],故选C.
值域仍为[1,2]. 2.B 【解析】根据题中所给的函数解析式可知f(2)=
3 3
14. 【解析】当f(x)=0时,x=1;当f(x)=2时, 2=8,f(8)=log28=3,故选B.4
1 3.C 【 】 ()
1 1 π
解析 f 2 =2,f( )=f( )=tan =
即|log1x|=2,可得log1x=2或log1x=-2,解得x= f(2) 2 62 2 2 4
3
1 ,故选( ) [ ,] 3 C.或x=4.函数f x =|log1x|在区间 4 内的图象如图2 4
2x,x<0
( ) 1 3 4.D
【解析】函 数 (x)=
所示.故 b-a min=1- = . f { ,则4 4 f(x-1)+1,x≥0
f(2016)=f(2015)+1=f(2014)+2=…=f(0)+2016=
f(-1)
4035
+2017= ,故选2 D.
5.B 【解析】g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以
(x)=2x-1.
15.【
g
解析】由题意令f(x)=ax+b,
6.D 【解析】因为纵轴表示离学校的距离,所以距离应
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=3x+2.
该越来越小,排除A,C,又一开始跑步,速度快,所以只有D
{a
2=3
所以 ,解得
ab+b=2 {a= 3 {a=- 3或 , 符合.b= 3-1 b=- 3-1 7.C 【解析】要使函数f(x)的解析式有意义,则需
所以f(x)= 3x+ 3-1或f(x)=- 3x- 3-1. 1-x2≥0
16.【解析】对任意的x∈(-1,1),有-x∈(-1,1),
由2f(x)-f(-x)=lg(x+1)①, {x2-1≥0,解得x=1或x=-1,所以函数的定义域 A=x≠0
则2f(-x)-f(x)=lg(-x+1)②, {-1,1}.而f(1)=f(-1)=0,故函数的值域B={0},所以
①×2+②消去 f(-x),得3f(x)=2lg(x+1)+ A∪B={1,-1,0},其子集的个数为23=8.
lg(-x+1), 8.C 【解析】对于选项 A,由于f(x)= x2 =|x|,
2 1
所以f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x)(-13
x = x33 3 =x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它
17.【解析】因为函数f(x)的定义域为[1,9], 们不是同一个函数;对于选项B,由于函数f(x)的定义域为
所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义, (-∞,0)∪(0,+∞),而g(x)的定义域为R,所以它们不是同
必须满足1≤x≤9,1≤x2≤9,解得1≤x≤3. 一个函数;对于选项C,由于当n∈N
*时,2n±1为奇数,所以
2n+1 2n-1 2n-1
所以函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3]. f(x)= x2n+1=x,g(x)=( x) =x,它们的定义
因为当1≤x≤9时,f(x)=x+2,所以当1≤x≤3时, 域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一个函数;对于选
78
数学·函数与导数
项D,由于函数f(x)= x· x+1的定义域为[0,+∞),而 17.[e,+∞) 【解析】由函数解析式可知函数定义域为
g(x)= x(x+1)的定义域为(-∞,-1]∪[0,+∞),它们 (0,+∞),
k
且k>0,f'(x)=lnk- .在区间(0,
k )上,
x lnk
的定义域不同,所以它们不是同一个函数.
k
9.B 【解析】因为2<5,所以f(2)=f(2+2)=f(4). f'(x)<0,f(x)单调递减,在区间( , )上, ( ) ,lnk +∞ f'x >0
因为4<5,所以f(4)=f(4+2)=f(6).因为6>5,所以
() , () , f(x)单调递增,所以在区间(0,+∞)上,f(x)min=f(
k )
f6 =6-3=3 所以f2 =3 故选B. lnk .
{x
2,|x|≥1 又因为f(k)=klnk-klnk=0,函数f(x)的图象不过第四10.B 【解析】由f(x)= 知:|x|≥1时,
x,|x|<1
象限,所以f (
k
x)min≥0,所以 =k,即k=e,所以函数
f(x)≥1;|x|<1时,-1设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),若Δ<0,则 x∈R,g(x)≠ f(x)的值域为[0,+∞),函数g(x)=f(x)+e的值域为
0,所以f[g(x)]≠0,不合题意;若Δ>0或Δ=0且a<0,则 [e,+∞).
x0∈R,使得-1合题意,因此Δ=0且a>0,即g(x)的值域是[0,+∞),满
9 9
足条件,故选B. 1-2,则f[f( )]9 =f
(-2)=f(-2+3)=f(1)=log31=0.
11.D 【解析】f(x)=ex-1>-1,因为f(a)=g(b). 19.①②③ 【解析】①取x1=x2=0,代入f(x1+x2)
所以g(b)=-b2+4b-4>-1,解得112.B 【解析】因为f:x→x2 是集合A 到集合B 的函 已知对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,可得f(0)≥0,所以
数,又B={1,2},所以可求出x 的值,从而得到集合 A f(0)=0.
{-1,1,2,- 2},且A 中至少含±1中的一个元素,± 2中 ②显然f(x)=2x-1(x∈[0,1])在[0,1]上满足f(0)
的一个元素,故A∩B={1}或当A={-1,2}时,A∩B= . ≥0及 f(1)=1.若 x1≥0,x2≥0,且 x1+x2≤1,则
13.B 【解析】因为f(2)=f(2×1)=f(2)+f(1),所 (x x ) [ (x ) (x x1+x xf 1+ 2 12 - f 1 +f 2)]=2 -1-[(2 -1)+
1 1
以f(1)=0,又f(1)=f(2× )=f(2)+f( )=0,所以 (
x
22-1)]=(2x2-1)(2x1-1)≥0.故f(x)=2x-1满足条
2 2
件(i)(i)(ii),所以f(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数.
1
f( )2 =-1. ③由条件(ii)知,任给m,n∈[0,1],当m14.A 【解析】由f(x )+f(x +1)+…+f(x +n) ∈
[0,1],所以f(n)=f(n-m+m)≥f(n-m)+f(m)≥
0 0 0
=63得 f(m).若f(x0)>x0,则f(x0)≤f[f(x0)]=x0,前后矛
(2x +1)+[2(x +1)+1]+[2(x +2)+1]+…+ 盾;若f(x0)[2(x +n) ( )+1]=63, f x0 =x0.0
所以有2(
,
n+1)x +2(1+2+…+n)+n+1=63, 综上三个命题都正确 答案为①②③.0
20.【解析】因为函数f(x)=x3( ) ( )2 , +mx 是[-1,1]上的平即2n+1x0+ n+1 =63
(n+1)(2x0+n+1)
均值函数,
=63.
, *, f(1)-f(因为x n∈N -1
)
0 所以关于x 的方程x3+mx= ( 在(1- -1) -1
,1)
{n+1=7 {n+1=3所以 或 , 内有实数根,2x0+n+1=9 2x0+n+1=21 即x3-1+m(x-1)=0,变形为(x-1)(x2+x+1+
解得{n=6 n=2或 . m)=0.x0=1 {x0=9 又x∈(-1,1),所以x2+x+1+m=0,
所以函数f(x)的“生成点”共有(1,6),(9,2)两个,故选A.
3 1 3 1
15.(2,4) 【解析】因为y=f(2x)的定义域为[-1, 解得x= -m-4 -
或
2 x=- -m-4 -2.
1],
1 1
所以 x
2<2 <2.
令
2,解得 23 1 -1< -m- -
当 4 2
<1
(lo x)的定义域是( ,) x= -4 . m- -
时, ,解
f g í2 2 4 2
3
-m- ≥0
16.3 【解析】作出函数f(x)=x2-2x,x∈[0,b]的图 4
象如图,由图可知,区间右端点必为函数最大值的对应点,所 3
得m∈(-3,- ].
以f(b)=3,即b2-2b=3,所以b=-1或b=3,又-1 4
[0,b],所以b=3. ì 3 1
3 1 -1<- -m-4-2<1当x=- -m- 时, ,4-2 í 3
-m-4≥0
解得m∈(
3
-1,- ]4 .
79
小题狂刷 高考专题特训
3 ≤2时,f(x)( , ] ≥4
;又函数f(x)的值域为[4,+∞),所以综合得m∈ -3 -4 . {a>121.【解析】(1)因为a=2, ,解得1所以F(x)=f(x)-g(x)=x2-1-2|x-1|= [技巧题特训]
x2{ -2x+1,1≤x≤3. 4x-1 2(2x-1)+1x2+2x-3,0≤x<1 1.4028 【解析】因为f(x)=2x-1= 2x-1 =2
当1≤x≤3时,x2-2x+1∈[0,4],当0≤x<1时,x2 1+ ,
+2x-3∈[-3,0),所以 F(x)=f(x)-g(x)的值域为 2x-1
[-3,4]. ( 1 1f1-x)=2+2(1-x)-1=2-
,
(x-1)(x+1-a),x≥1 2x-1(2)F(x)={(x-1)( .x+1+a),x<1 1 2014所以f(x)+f(1-x)=4,f( )2015 +f( ) ,2015 =4
当x≥1时,F(x)≥0,由a>2得x≤1或x≥a-1,即 1007 1008
x≥a-1或x=1. f( ) ( ) ,2015 +f 2015 =4
当x<1时,F(x)≥0,由a>2得x≤-a-1或x≥1,
(1所以f )+f(
2 )+… (
2013) (2014+f +f )即x≤-a-1. 2015 2015 2015 2015 =
综上,x≤-a-1或x≥a-1或x=1. 4×1007=4028.
22.【解析】(1)命题p 为真,即f(x)的定义域是R,等价 2.(1)5 (2)(5,1,2) 【解析】(1)因为集合A 的好子
于(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立. 集C 中所有元素在对应的集合B 中元素之和大于或等于3,
2
{a -1>0 又f:x→1,所以集合C 中含有3个元素或4个元素,集合A等价于a=-1或 ,解得aΔ=(a+1)2-4(a2-1)<0 含3个元素的子集共有4个,含4个元素的子集共有1个,
5 所以符合条件的集合A 的好子集共有5个;(2)当C 中含有
≤-1或a>3. π和至少A 中3个整数时,y≥1,z≥1,z+3≥q或z+y+2
所以实数a的取值范围为(
5
-∞,-1]∪( ,+∞). ≥q,当C 中至少含有A 中5个整数时,5≥q,所以q=5,z=3 2,y=1.
命题q为真,即f(x)的值域是 R,等价于u=(a2-1)x2 3.【解析】令m=logax,n=logay,由a>1及x≥1,y≥
+(a+1)x+1 的 值 域 (0,+ ∞),等 价 于 a=1 或 1知logax≥0,logay≥0,即m≥0,n≥0,且题中等式可化为
{a
2-1>0 , 5解得1≤a≤3.
(m-1)2+(n-1)2=4.
Δ=(a+1)2-4(a2-1)≥0 另一方面,loga(xy)=m+n,令m+n=k.
5
所以实数a的取值范围为[1, ]. 则问题转化为:圆弧(m-1)2+(n-1)2=4(3 m≥0
,n≥
)与直线 有公共点,求 的最大值与最小值
() () , : ( ,5
0 m+n=k k .
2 由 1 知 ┐pa∈ -1 ],q:a∈[1,
5]
3 3 . 如图所示,圆弧与坐标轴交于点(1+3,0)与(0,1+3),
( ,5而 -1 ] [
5
3 1
, ],
3
所以┐p 是q的必要而不充分条件.
23.【解析】(1)由f(0)=2,得c=2,所以f(x)=ax2+
bx+2(a≠0),
f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+2]-[ax2+ 当直线l:m+n=k位于直线l1 的位置时,k取最小值1
bx+2]=4ax+4a+2b.
+ 3;
因为f(x+2)-f(x)=16x,所以4ax+4a+2b=16x,
当直线l:m+n=k位于直线l2 的位置时,
解得a=4,b=-8. (
() 2 m-1
)2+(n-1)2=4
所以f x =4x -8x+2. 由{ 得2n2-2kn+k2-2k-2=
( m+n=k2)因为存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m 成立,
0,
即存在x∈[1,2],使不等式m<4x2-10x+2成立,
令 ,得 或 (舍去),即此时
令g(x)=4x2-10x+2,x∈[1,2],故g(x) =g(2) Δ=0 k=2+22 k=2-22 kmax
=-2, 取最大值2+22.
所以m<-2. 综上所述,f(x,y)=loga(xy)的最小值与最大值分别
[易错题特训] 为1+ 3与2+22.
1.C 【解析】设函数的定义域为I,则根据函数的定义 第二节 函数的基本性质
知若a∈I,则有1个交点;若a I,则无交点. [基础特训]
(,] 【 】 () {-x+6,x≤22.12 解析 因为fx = ,所以当x 1 x3+logx,x>2 1.B 【解析】y= ,y=2 不是偶函数,排除a x A、C;y=
80
数学·函数与导数
-x2 是偶函数,但在(0,1)上单调递减,y=lg|x|是偶函数, 213.(-1, ) 【解析】因为f(x)是定义在 R上的以3
根据图象,可判断在区间(0,1)上单调递增,故选B. 3
2.B 【解析】依题意得b=0,且2a=-(a-1),所以a 为周期的奇函数,所以f(2015)=f(2)=f(-1)=-f(1)<
1, 2
2a-3 2
= 则2a+b= . -1,所以 <-1,解得a+1 -1.
3.D 【解析】由题易知函数f(x),g(x)的定义域为 14.②③⑤ 【解析】如果函数y=f(x)图象上的点都
(-1,1),又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),所以f(x) 在第一、三象限,那么这个函数就不是偶函数,命题①不正
为偶函数,g(x)为奇函数. 确;如 果 在( 1- ,0)∪(0,1]上 的 函 数 解 析 式 为 y=
4.A 【解析】f(-2)=-f(2)=-lg(4-2)=-lg2= 2
1 1
lg . 1-x
2,在[-1,- ]上取y=- 1-x2,则函数既不是
2 2
【 】 () () 奇函数也不是偶函数,命题 正确;如果函数 ( )图象5.D 解析 依题意得g 3 =f 3 =-f(-3)= ② y=f x
上的点都在第一、二象限,那么这个函数就是偶函数,如果函
-2-3
1
=- ,选8 D. 数图象上的点都在第一、三象限,那么这个函数就是奇函数,
6.B 【解析】因为f(-x)=f(x),f(-x-1)=-f(x 故 命 题 ③ 正 确; 若 取 y =
-1),所以f(-2+x)=-f(-x)=-f(x),则f(4+x)= ì 1 11-x2,x∈[- ,0)∪(0, ]
-f(x+2)=f(x),即4是函数f(x)的一个周期,所以 2 2í ,则 其 为 偶 函 数,但
f(8.5)=f(0.5)=9,故应选B. 1 1 - 1-x
2,x∈[-1,- )∪( ,1]
7.D 【解析】因为f(x+8)
2 2
是偶函数,所以f(8+x)=
其值域不是( ,]或[,),命题 不正确;对于 ,可以采
f(8-x),故f(7)=f(8-1)=f( ) (),
-10 01 ④ ⑤
8+1 =f 9 同理可得
用反证法证明,假设函数不是奇函数,则至少存在一点
f(6)=f(10).又函数f(x)在(8,
x0∈
+∞)上是减函数,所以 [-1,0)∪(0,1],使得f(-x0)=-f(x0),函数图象在单位
f(7)=f(9)>f(10)=f(6).
圆上,此时只能是f(-x0)=f(x0),那么在函数的值域中就
8.B 【解析】因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函
不会有-f(x0),则函数f(x)的值域就不会是连续的区间,
数, (() 1且f f x - )=2对任意x∈(0,+∞)都成立,所以x 故命题⑤正确.
1 1 1
f(x)- =c>0(c为常数),即f(x)=c+ ,且f(c)=2, 15.【解析】因为f(x)=a-2x
是定义在( ,
-1 -∞ -1
]
x x
1 1 1 ∪[1,+∞)上的奇函数,所以f(-1)=-f(1),
故2=c+ ,解得c c=1
,故f(x)=1+ ,所以x f
( )
5 =1+ 1 1 1解得a=- ,故f(x)=- - x .
5=6. 2 2 2 -1
9.D 【
x
解析】A选项定义域为 R,f(-x)=sin(-x)= 令t=2 ,x∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
-sinx=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以 A错误;B选项 1 1 1则原函 数 可 化 为 y= - - , (, ]2 t-1t∈ 0 2 ∪
定义 域 为 R,f(-x)=ln[ (-x)2+1- (-x)]= [2,+∞),
ln( x2+1+x)≠f(x),所以函数不是偶函数;C选项定义
(,1此函数在 0 ]和[2,+∞)上单调递增,
域为R,f(-x) -x
1
=e = x≠f(x),所以函数不是偶函数;e D
2
从而f(x)的值域为[
3
- ,
1
- )∪(
1,3].
选项定义域为R,f(-x)=ln (-x)2+1=ln x2+1= 2 2 2 2
f(x),所以函数为偶函数.故选D. 16.【解 析】由 于 函 数 为 偶 函 数,f (ax -1)=
10.B 【解析】函数y=f(x)的图象与x 轴的交点即为 f(|ax-1|),
y=f(x)的零点,先在区间[0,2)上讨论,令f(x)=0,即x(x 因此f(ax-1)2) f(|ax-1|)-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1(x=-1舍去).又函数 x2),
f(x)在R上以2为周期,则当x=2,x=4,x=6或x=3,x 据已 知 单 调 性 可 得 f(|ax-1|)2)
=5时也有f(x)=0,即在区间[0,6]上f(x)的图象与x 轴 |ax-1|<2+x2,
的交点个数为7. 据题意可得不等式|ax-1|<2+x2 恒成立,
11.-5 【解析】因为f(x)在[2,9]上是增函数,所以 x2-ax+3>0即-(2+x2)f(x)在区间[3,8]上为增函数,由题知f(8)=9,f(3)=2, {x2+ax+1>0
又f(x)为奇函数,所以f(-8)-2f(-3)=-f(8)+ 立,
2f(3)=-9+4=-5. a2-12<0据二次函数知识可知 ,解得-212.{x|1是R上的偶函数,得b=0,分别画出y=f(x-1)与y=|x| 17.【解析】(1)因为f(1)=1+m+n=3,所以m+n=
的图象,分析图象可得f(x-1)<|x|的解集为{x|12}. 因为f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,
81
小题狂刷 高考专题特训
所以f(0)=n=f(-2)=4-2m+n,解得m=2,n=0, 3.A 【解析】∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(x ),
所以f(x)=x2+2x. 1∴f(2x-1 )=f( ),再根据f(x)的单调性,得|2x-1|
因为函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称, 3
所以g(x)=-x2+2x. 1 1 2< ,解得 (2)因为F(x)=g(x)-λf(x)在[-1,1]上是增函数, 3 3 3
所以F'(x)=(-2-2λ)x+2-2λ在[-1,1]上非负, 4.C 【解析】因为f(x)=ln(x+ a+x
2)为奇函数,
{-2(1+λ)>0 {-2(1+λ)=0 所以f(x)+f(-x)=ln(x+ a+x
2)(-x+ a+x2)
所以 或
( .-2-2λ)(-1)+2-2λ≥0 2-2λ≥0 =ln(a+x2-x2)=lna=0,所以a=1,故选C.
{-2(1+λ)<0或 . 5.A 【解析】 πy=cosx 在(0, )上为减函数,在(0,1)(-2-2λ)+2-2λ≥0 2
解得λ≤0. 上也为减函数;y=2x 在 R上为增函数;y=sinx 在(,
π
0 )
18.【解析】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以 2
f(0)=0. 上为增函数, π在(0,1)上也为增函数;y=tanx 在(0, )上为2
取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x), 增函数,在(0,1)上也为增函数.故选A.
所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,所以函数 ex,x≥0,
f(x)为奇函数. 6.B 【解析】因为y= 1 若x>0,则-x<
(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1 {( )x,2 1 e x<0,
0. 1 -x
所以f(x )+f(-x )=f(x -x )<0, 0
,所以f(-x)=( ) =ex=f(x);若x<0,则e -x>0
,所
2 1 2 1
所以f(x x2)<-f(-x1).
以f(-x)=e-x=(
1)=f(x),所以此函数为偶函数,且在
又因为f(x)为奇函数,所以f(x1)>f(x2). e
所以f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. (-∞,0)上单调递减,对于A,函数是奇函数,故错误;对于B,
所以对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3). 函数是偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,故正确;对于C,函
因为f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3 数是非奇非偶函数,故错误;对于D,函数是偶函数.因为0<
=-6,所以f(-3)=-f(3)=6, 1<1,所以在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,
所以f(x)在[-3,3]上的最大值为6. e
(3)因为f(x)为奇函数,所以整理原不等式得f(ax2)
故错误.故选B.
+f(-2x)( ) f
(x) f
fax-2 .
f(x),所以函数f(x)是周期为6的周期函数 又 (() . f 107.5
)
因为f x 在(-∞,+∞)上是减函数,所以ax2-2x>
ax-2,即(
1
ax-2)(x-1)>0. =f(18×6-0.5)=f(-0.5)=f(0.5)=- ,f(-2.5)
所以当a=0时,x∈(-∞,1);当a=2时,x∈{x|x≠1
2 f(-2.5)
1
=-10,故f(107.5)= .故选B.
且x∈R};当a<0时,x∈{x|a};当08.A 【解析】由题意知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,
{ 2 }; 2∈ x|x> 或x<1 当a a>2
时,x∈{x|x< 或x>1}a . A中,
1
f(x)= 满足要求;B中,f(x)=(x-1)2 在[0,1]上x
综上所述,当a=0时,x∈(-∞,1); 是减函数,在(1,+∞)上是增函数;C中,f(x)=ex 是增函
当a=2时,x∈{x|x=1且x∈R}; 数;D中,f(x)=ln(x+1)是增函数,故选A.
2
当a<0时,x∈{x| f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x),所以2 f
(20+x)=
当0 或 };a x<1 -f(40+x),所以f(40+x)=f(x),所以f(x)是以T=40
2 为周期的周期函数,因为f(-x)=f(40-x)=f[(20+
当a>2时,x∈{x|x< 或a x>1
}. (20-x)]=-f[20-(20-x)]=-f(x),所以f(x)是奇
[高频题特训] 函数故选D.
1.D 【解析】因 为 y=x4+1(x>0)的 值 域 为(1, 10.C 【解析】由x1x2<0不妨设x1<0,x2>0,因为
+∞),且y=cos2x(x≤0)的值域为[-1,1],所以f(x)的 x1+x2<0,所以x1<-x2<0,由f(x)+f(-x)=0知
值域为(1,+∞)∪[-1,1]=[-1,+∞),故选D. f(x)为奇函数,又由f(x)在(-∞,0)上单调递增得,f(x1)
2.D 【解析】令y=g(x)=f(x)+x,∵f(2)=1, ∴g(2)=f(2)+2=1+2=3,∵函数g(x)=f(x)+x 是偶 11.A 【解析】由题意知f(x)为偶函数,所以f(-2)=
函数,∴g(-2)=3=f(-2)+(-2),解得f(-2)=5.故选 f(2),又x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且3>2>1,所以
D. f(3)82
数学·函数与导数
12.A 【解析】依题意得,f(x+2)=-f(x+1)= (( ,) ,f -x
)+f(x)
在 -∞ 0 上为增函数 <0可化为xf(x)
f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,f(2)=f(0)=0, x
f(3)=f(-1)=-f(1);又f(3)=-f(2)=0,f(1)= <0,所以当x>0时,解集为{x|x>1},当x<0时,解集为
{x|-1f(0)=0,又f(x)在[0,1)上是增函数,
1
于是有f( )2 > (1,+∞).
f(0)=f(2)=f(3),即a>b=c. 18.①②③ 【解析】对于x∈Z,f(x)的图象为离散的
13.A 【解析】由于f(x)是奇函数,所以f(-x)+ 点,关于y 轴对称,①正确;f(x)为周期函数,T=2,②正确;
x+1 x
f() ,
1+ax 1-ax
x =0 即lg ,所以1-2x+lg1+2x=0 a
2=4,而a≠ ( ) ( )f(x +1)+f(x)
1+ -1 1+ -1
= 2 + 2 =1+
x+1 x
-2,所以a=2,
1+2x 1
此时,函数 f(x)=lg ,1-2x x∈
(- , (-1) +(-1)2 =1,③正确2 .
1), 1所以
2 b∈
(0, ],因此ab2 ∈
(1,2],故选A. 19.【解析】(1)设 x<0,则-x>0,所 以 f(-x)=
-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
14.C 【解析】对于命题p:①中,f(-x)=-(-x)2- 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0
2x=-x2-2x≠-f(x),不符合;②中,f(x)
πx
=sin ,是 时,2 f
(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
1 (2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的
奇函数;③中,f(-x)=|-x-1|2≠-f(-x).对于命题 图象知-1q:①中,f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1,f(x+ 是(1,3].
1)是将f(x)向左平移一个单位,则其图象的对称轴为直线 20.【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数且x∈R,
x=0,易知f(x+1)在(0,1)上是减函数,不符合;②中,f(x 所以
( ) f
(0)=0,即20+k×20=0,解得k=-1,所以
+1)
πx+1 πx
=sin =cos ,
πx
令t= ,当 时,2 2 2 0(x)=2x-2-x.
π 因为f'(x)=2
xln2+2-xln2=(2x+2-x)ln2>0,
< ,易知y=cost在(0,
π)上单调递减,故 ( )在(,
2 2 f x+1 0 所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
1 ( ) ( 2) ) ,1 上是减函数,不符合;③中,f(x+1)=|x| ,当0因为f2m+1 +f m -2m-4 >02
即f(2m+1)>f[-(m2
, 1 1
-2m-4)],
时 f(x+1)=|x|2 单调递增.对于命题r:①中,f( )2 = 所以2m+1>-(m2-2m-4),
(1
2
) 1 3 1
所以 或
- +2× = > 符合; , (
1) π 2 m<- 3 m> 3.中
2 2 4 2 ② f 2 =sin4=2 (2)因为 x∈[0,+∞),2x+k·2-x>2-x,即22x+k
1 1 1 1 2 1 >1,
> ,符合; 中,( ) 2 ,符合,对于2 ③ f 2 =|2-1| =2>2 所以k>1-22x对任意的x∈[0,+∞)恒成立,
命题s:①中,函数图象关于直线x=1对称,符合;②中; 所以k>(1-22x)max.
f()
πx πx π 2x x
x =sin ,其图象的对称轴为直线2 2=2+kπ
,k∈Z, 又因为t=1-2 =1-4 在[0,+∞)上单调递减,
所以t≤1-40=0,所以k>0.
即x=1+2k,当k=0时,一条对称轴为直线x=1,符合;③
x+y
中,
1
因为g(x)=|x|2,g(-x)=g(x),所以 (x)为偶函 21.
【解析】(1)由f(x)+f(y)=f( ),令g 1+x x= =y y
1
数,其图象关于直线x=0对称,所以f(x)=|x-1|2 是由 x-x0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f( )
1 1-x2
=
g(x)=|x|2向右平移1个单位得到的,则其图象的对称轴
f(0)=0,
为直线x=1,符合.所以命题r,s对三个函数都成立,故选C.
所以 (x)=- (-x),即 (x)为奇函数.
15.0 【解析】由题意知,f()
f f f
x =ln(x2+ax+1)为偶函 (
, (2 ) (2 ), 2 2 2
)先证f(x)在(0,1)上单调递减.令0数 即lnx -ax+1 =lnx +ax+1 即x -ax+1=x
, x2-x1+ax+1 显然a=0. 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f( ),1-x1x2
16.1 【解析】因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)= 因为00,1-x1x2>0,即
-f(x).因为f(x+2)为偶函数,所以f(-x+2)=f(x+ x2-x1
2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4), 1-xx >0.1 2
f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,所以f(8)=0.同 又因为(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,
理可得f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5)= x2-x1
-f(3+2)=-f(-3+2)=f(1)=1,所以f(8)+f(9)= 所以x2-x1<1-x2x1
,所以0<1-xx <1
,由题意
1 2
1.
知 (x2-x1 )<0,即 (x )< ( ), () (,)
17.( ,) (, ) 【
x 所以 x 在 01 上
-10 ∪ 1 +∞ 解析】因为函数f(x)的图象
f 1-xx f 2 f 1 f1 2
关于y 轴对称,所以该函数是偶函数,又 f(1)=0,所以 为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0,所以f(x)在(-1,
f(-1)=0,又已知f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以f(x) 1)上为减函数.
83
小题狂刷 高考专题特训
22.【解 析】(1)当 a=2 时,f(x)=x|x-2|= =(-x)2,所以f(x)=x2,即当-1≤x≤0时,f(x)=x2;
{x(x-2),x≥2 当0≤x≤1时,f(x)=x
2.又f(x)的周期为2,故作出函数,由图象可知,单调递增区间为(-∞,1]和
x(2-x),x<2 f(x)的图象如图所示.
[2,+∞).
(2)因为a>2,x∈[1,2],
a 2 a2
所以f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-(x- )+ ,2 4 所以直线y=x+a与曲线y=f(x)恰有两个不同的交
a 3
当1< ≤ ,即2同的交点,所以a=0,由周期性可知,a=2k(k∈Z)符合题
a 3
当 > ,即2 2 a>3
时,f(x)min=f(1)=a-1. 意;②当直线与曲线相切时,当0≤x≤1时,f(x)=x2,由
y=x2 1
f(x) ={2a-4,23 y=x+a
{x(x-a),x≥a
1
周期性可知,a=2k- (k∈Z)符合题意.综上得,a=2k 或(3)f(x)= , 4
x(a-x),x1
①当a>0时,图象如图(1)所示. a=2k- (k∈Z)4 .
故选D.
a2
y= (2+1)a a 1
由{ 4 得x= ,所以0≤m< ,a< 2. -5 【解析】由f( 1x+3)= (),得f(5 - x+6)2 2 f x
y=x(x-a) 1
= ( )=f(x),故函数 (- x+3 f x
)是周期为6的周期函数.
2+1 f
n≤ 2 a. ( 1故f7)=f(1)= ,f(2014)=f( ) ()
②当a<0时,图象如图(2)所示. 5
6×335+4 =f 4 =
a2 1 1{y=-由 4 (1+ 2)a 1+ 2得x= ,所以 a≤m< -f(1)= 1=-5.2 2 -( ) 5y=xa-x
3.B 【解析】由题意可知,f(|ax-1|)a,22 恒成立.设m(x)=|ax-1|,n(x)=2+x2,
其临界位置的图象如图所示:
图() 1 图(2)
[易错题特训]
1.D 【解析】函数f(x)=log1 (x2-9)的定义域为 3
(-∞,-3)∪(3,+∞).求函数f(x)=log1(x2-9)的单调 下面求出相切情形下的a的大小:3
递增区间 即 求 函 数u(x)=x2-9的 单 调 递 减 区 间,即 如左图,设切点坐标为(x0,y0),则n'(x)|x=x0=2x0=
( 2-∞,-3).故选D. a
2 +2-0
【易错提醒】求复合函数f(x)=logau(x)(0a a 4
切点可表示为(- , ),所以2 4+2 a 1=-a
,得
单调递增区间即为求函数u(x)的单调递减区间,这里千万 -2-a
不要弄成是直接求函数u(x)的单调递增区间了. a=2;如右图,同理可求得a=-2.综上可知a∈(-2,2).
2.B 【解析】当x<0时,函数f(x)=x2-ax+1是减 第三节 函数的图象
函数,所以a≥0,当x≥0时,函数f(x)=-x+3a 是减函
[基础特训]
, 1数 分段点0处的值应满足1≥3a,解得a≤ ,所以3 0≤a≤ 1.B 【解析】将函数y=f(x)的图象向左平移两个单
1 位得到y=f(x+2)的图象,再由关于原点对称即可得y=
3. -f(2-x)的图象,故选择B.
[技巧题特训] 2.C 【解析】在同一坐标系中画出函数f(x)的图象和
1.D 【解析】因为原函数是偶函数,且当0≤x≤1时, 函数g(x)=log2x 的图象,如图所示:
f(x)=x2,所以当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,所以f(-x)
84
数学·函数与导数
f(m+1),f(0)=f(2m)(m≠1),即
[(m-1)2+2a(m-1)]{ |m-1-2|=[(m+1)2+2a(m+1)]|m+1-2| ,
0=[(2m)2+2a(2n)]|2m-2|
m=2
解之得{ .a=-2
m 2 m2
易得两个函数图象共有3个交点.故选C. 14.【解析】(1)f(x)=x2-mx=(x- )2 -
,
4
3.A 【解析】当x<0时,f(x)=x3+1是增函数,排除 m m m2
x 当0(m)=f( )=- .
C,D;当x≥0时,f(x)=( ) 是减函数,排除3 B.
故选A. 2 2 4
() ,() ( m
2 m2
x( ) 2 当m>4时 f x = x- )- 在[0,2]上单调
4.D 【解析】由题意知,函数f(x)={e x≥0 , 2 4根据e-x(x<0) 递减,
各个选项中图象的特征易知选D. 所以g(m)=f(2)=4-2m.
5.B 【解析】由题意知函数为奇函数,排除 A,C;又 m2,
() ,( ) - 0() elne , , 1 g m =
4 .
fe= 排除 故选e =1>0 D B. {4-2m,m>4
6.C 【解析】因为函数f(x)的定义域关于原点对称, 因为x>0时,h(x)=g(x),所以x>0时,h(x)=
2
且f(
-x x
-x)= ( )= =f( ),
x
所以函数 ( )为偶 ,
sin -x sinx x f x {-4 04
g'(x)=1-cosx≥0,故函数g(x)在(0,π)上单调递增,而 易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.
g(0)=0-sin0=0,所以g(x)>g(0),即x>sinx,又因为当 因为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)的函数h(x)为偶函
x 数,且h(t)>h(4),所以h(|t|)>h(4),所以 ,
x∈(0,π)时,sinx>0, ,
0<|t|<4
所以 >1 故排除选项B及选项sinx t≠0
, 所以{ , t≠0即 ,从而 或D 所以选C. { -41 1 , ( ,) (,)
7.A 【解析】由y=log2x,y= 2lo
综上所述 所求实数 的取值范围为
g2x,y= log t -40 ∪ 04 .2 2 [高频题特训]
(x-2)可知,需将y=log2x 图象上的点的纵坐标缩短到原
1 1.A 【 】
cos4x
解析 ∵函数y= 2x
,∴函数的零点呈周期
来的 ,横坐标不变,再向右平移 个单位长度得到函数
2 2 y 性出现,且当自变量趋向于正无穷大时,函数值在x 轴上下
1
= log(x-2)的图象. 震荡,幅度越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值2 2 在x 轴上下震荡,幅度越来越大,
8.C 【解析】把函数y=f(x)的图象向左平移1个单 A选项符合题意;
位,即把其中x 换成x+1,于是得y=[(x+1)-2]2+2= B选项振幅变化规律与函数的性质相悖,不正确;
(x-1)2+2,再向上平移1个单位,即得到y=(x-1)2+2 C选项是一个偶函数的图象,而已知的函数不是一个偶
+1=(x-1)2+3. 函数,故不正确;
9.D 【解析】因为当x=1时,y=0,所以图象过点 D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意,
P(1,0).故选D. 故不对.
10.C 【解析】由图可知图象上移超过1个单位,所以a 综上,A选项符合题意.
>1,又因为周期小于π,所以b>2,所以函数单调递增,右移 故选A.
a个单位.故选C. ax,x>0
11.(-1,-3) 【解析】依题意,得f(-1+2)=f(1)= 2.B 【解析】化简函数解析式可得y={ ,结-ax,x<0
3,即函数f(x)的图象一定过点(1,3),因此函数y=f(x)的 合底数a>1,可以判断正确结果是B,故选B.
图象关于原点O 对称的图象一定过点(-1,-3). 3.B 【解析】由前四年年产量的增长速度越来越慢,可
12.2 【解析】因为y=f(x-1)的图象关于直线x=1 知图象的斜率随x 的变大而变小,在图象上呈现上凸的情
对称,所以y=f(x)的图象关于y 轴对称,所以y=f(x)为 形.后四年年产量的增长速度保持不变,可知图象的斜率不
偶函数,令x=-2,得f(2)-f(-2)=2f(2),又f(-2)= 变,呈直线型变化,故选B.
f(2),故f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),即该函数的周期 m 1
为4,所以f(2013)=f(1)=2. 4.B 【解析】因为直线y= x- 经过第一、二、四象n n
13.【解 析】由 于 f(x)= (x2 +2ax)|x-2|=
(2 )( 限,
m 1
故 且 ,即 且 ,但此为充要条件,
{ x +2ax x-2),x≥2 n
<0 -n>0 m>0 n<0
是两个三次函数的组合,因此,根
(x2+2ax)(2-x),x<2 因此其一个必要不充分条件为mn<0.故选B.
据三次函数的图象特点,若f(x)的图象是轴对称图形,设其 5.C 【解 析】要 想 由 y=f(x)的 图 象 得 到 y=
对称轴是x=m,则f(m-x)=f(m+x),于是f(m-1)= -f(x+1)的图象,需要先将y=f(x)的图象关于x 轴对称
85
小题狂刷 高考专题特训
得到y=-f(x)的图象,然后再向左平移一个单位得到y= a个单位,则在y 轴右边,当g(9)<1时,右边产生4个交
-f(x+1)的图象,根据上述步骤可知选项C正确. 点;同时y 轴左边满足g(-10)≤0时,左边产生6个交点,
6.D 【解 析 】由 y = e|lnx| - |x - 1| = ()
, {g9 <1 , 1, 这样共产生10个交点 即 解得x 0≤a≤ 同{1 ≥1 g(-10)≤0 10
.
1 ,可以判断D符合.
x+ -1,x 01
理 根据函数图象的对称性可知,当a<0时,只需-10≤
( ),
7.C 【解析】因为y=f(
f -x x≥0
-|x|)= { ,当 1 1时满足题意 综上,当 时,函数 ( )f(x), a<0 . -10≤a≤10 y=f x -x<0
x<0时,y=f(-|x|)的图象对应y=f(x)在x<0时的图 1-a在区间[-10,10]上有10个零点(互不相同).故选C.
象,又y=f(-|x|)是偶函数,故图②中的图象对应的函数 x
为y=f(-|x|).
ì 1 ,
【 】 () 1 1+x
x≥0
8.C 解析 由f x = = í 可知,在1+|x| 1
, 1-x x<0 1 113.B 【解析】当m=0时,- x≥0时,x 增大,
1
减小,所以
1+x f
(x)在x≥0时为减函数; 1 3 3
=x;当m=1时,2,
2 f
(x)=x-1;当m=2时,
1 2
在x<0时,x 增大, 增大,所以f(x)在x<0时为增函1-x 5数.故选C. 2
2
9.D 【解析】由图可知图象甲是一个指数函数的图象, 其图象如图所示,又二次函数g(x)=ax +bx 的图象恒过
它应满足②;图象乙是一个对数函数的图象,它应满足③;图 小题狂刷 高考专题特训
综合特训
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
9.(2022·新课标全国卷Ⅱ高考T2)若a为实数,
且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a= ( )
1.(2022·全国2卷高考)已知集合A={1,2,3}, A.-1 B.0
B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B= ( ) C.1 D.2
A.{1} B.{1,2} 10.(2022·福建高考T1)若集合A={i,i2,i3,i4}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} (i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B 等于 ( )
2.(2022·全国3卷高考)设集合S={x|(x-2) A.{-1} B.{1}
(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T= ( ) C.{1,-1} D.
A.[2,3] B . (- ∞,2]∪ [3,+∞) 11.(2022·陕西高考 T1)设集合 M={x|x2=
C.[3,+∞) D .( 0, 2]∪ [3,+∞) x},N={x|lgx≤0},则 M∪N= ( )
- A.[0,1]z B.
(0,1]
3.(2022·山东高考T2)若复数z满足1-i=i
,其
C.[0,1) D.(-∞,1]
中i是虚数单位,则z= ( ) 12.(2022·浙江高考T4)命题“ n∈N*,f(n)∈
A.1-i B.1+i N*且f(n)≤n”的否定形式是 ( )
C.-1-i D.-1+i A. n∈N*,f(n)∈N*且f(n)>n
4.(2022·全国Ⅰ卷高考)设(1+i)x=1+yi,其 B. n∈N*,f(n)∈N*或f(n)>n
中x,y 为实数,则 x+yi = ( ) C. n ∈N*0 ,f(n0)∈N*或f(n0)>n0
A.1 B.2 D. n0∈N*,f(n0)/∈N*或f(n0)>n0
C.3 D.2 13.(2022·新课标全国卷Ⅱ高考T1)已知集合A
5.(2022·全国2卷高考)已知z=(m+3)+(m ={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则
-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的 A∩B= ( )
取值范围是 ( ) A.{-1,0} B.{0,1}
A.(-3,1) B.(-1,3) C.{-1,0,1} D.{0,1,2}
C.(1,+∞) D.(-∞,-3) 14.(2022·浙江高考)命题“ x∈R, n∈N
*,
2
( ” (1-i)2 使得n≥x 的否定形式是 )
6.(2022·湖南高考T1)已知 z =1+i
(i为
A. x∈R, n∈N*,使得n虚数单位),则复数z= ( ) B. x∈R, n∈N*,使得nA.1+i B.1-i C. x∈R, n∈N*,使得nC.-1+i D.-1-i D. x∈R, n∈N*,使得n7.(2022·天津高考)已知集合A={1,2,3,4},B 15.(2022·北京高考)设a,b 是向量,则“|a|=
={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B= ( ) |b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ( )
A.{1} B.{4} A.充分而不必要条件
C.{1,3} D.{1,4} B.必要而不充分条件
8.(2022·山东高考)设集合A={y|y=2x,x∈ C.充分必要条件
R},B={x|x2-1<0},则A∪B= ( ) D.既不充分也不必要条件
A.(-1,1) B.(0,1) 16.(2022·陕西高考T6)“sinα=cosα”是“cos2α
16
数学·函数与导数
=0”的 ( ) A.5 B.3
A.充分不必要条件 3 5
B.必要不充分条件 C.3 D.5
C.充分必要条件
4.(2022·
a+i
武汉四月调研)“复数 (
2+ia∈R
,i为
D.既不充分也不必要条件
17.(2022·广东高考T10)若集合E={(p,q,r, 虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限”是“a<
s)|0≤p∈N*},F={(t,u,v,w)|0≤tt,u,v,w ∈N},用card(X)表示集合 X 中的元素个 B.必要而不充分条件
数,则card(E)+card(F)= ( ) C.充要条件
A.200 B.150 D.既不充分也不必要条件
C.100 D.50 5.(2022·武汉市武昌区调研)设 m∈R,m2+m
18.(2022·江苏高考T3)设复数z 满足z2=3+ -2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=
4i(i是虚数单位),则z的模为 . ( )
19.(2022·天津高考T9)i是虚数单位,若复数(1 A.1 B.-1
-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 . C.-2 D.2
( π20.2022·山东高考T12)若“ x∈[0, ],tanx 6.(2022·山东泰安统考)已知集合P={y=x
2
4
+1},Q={y|y=x2+1},R={x|y=x2+1},M=
≤m”是真命题,则实数m 的最小值为 .
{(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1},则 ( )
A.P=M B.Q=R
C.R=M D.Q=N
( ) ( ) 7.
(2022·湖北荆门调研)集合 A={x∈N|x≤
本试卷分第Ⅰ卷 选择题 和第Ⅱ卷 非选择题 两
6},B={x∈R|x2-3x>0},则, A∩B=
( )
部分.共100分 考试时间100分钟.
( ) A.{3,4,第Ⅰ卷 30 5
} B.{4,5,6}
选择题 共 分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分. C.
{x|3, ( ·山东文登考试)对于任意两个正整数在每小题列出的四个选项中 只有一项是符合题目要 8.2022
) m,n,. 定义某种运算
“※”如下:当 m,n 都为正偶数或求的
1.(2022· , ; , ,湖北襄阳检测)已知集合A={-1,0, 正奇数时 m※n=m+n 当m n 中一个为正偶数 另
1},B={x|x=|a-1|,a∈A},则A∪B 中的元素的 一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合 M
个数是 ( ) ={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是 ( )
A.2 B.4 A.18 B.17
C.6 D.8 C.16 D.15
2.(2022·北京海淀区检测)复数i(i+1)等于 9.(
π
2022·高考福建 T12)“对任意x∈(0, ),2
( )
ksinxcosxA.1+i B.-1-i
A.充分而不必要条件
C.1-i D.-1+i
B.必要而不充分条件
3.(2022·广州调研)已知i为虚数单位,则复数
i C.
充分必要条件
的模等于 (
2-i
)
D.既不充分也不必要条件
17
小题狂刷 高考专题特训
10.(2022·山东临沂测试)用C(A)表示非空集 (1)若A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},求A 与B
合 A 中 的 元 素 个 数, 定 义 A * B = 的差集;
{C(A)-C(B),C(A)≥C(B) (2)差集A-B 与B-A 是否一定相等 举例说.若A={1,2},B={x|C(B)-C(A),C(A)(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且 A*B=1,设实数a
的所有可能取值构成的集合是S,则C(S)= ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.)
11.(2022·北京西城区期末)已知复数z 满足z
2i
= ,那么1+i |z|= .
12.(2022·江苏淮安调研)已知集合 M={0,1,
3},N={x|x=3a,a∈M},则 M∩N= .
13.(2022·南京一模)若复数z=(1+i)(3-ai)(i
为虚数单位)为纯虚数,则实数a= .
14.(2022·湖北百所重点中学联考)已知p:关于
x 的方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根,q:
关于x 的方程4x2+4(m-2)x+1=0的两个实数根
分别在区间(0,2)与(2,3)内. 17.(2022·安徽皖南八校第一次联考)已知命题
(1)若┐p 是真命题,则实数 m 的取值范围为 :x-1p ≤0,命题q:(x-m)(x-m+2)≤0,m∈R.若
; x
() ( ) ( ) , p 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围2 若 ┐p ∧ ┐q 是真命题 则实数 m 的取值 q m .
范围为 .
15.(2022·安 徽 江 淮 名 校 联 考)已知集合 M=
{(x,y)|y=f(x)},对于任意实数对(x1,y1)∈M,存
在实数对(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则
称集合 M 是“孪生对点集”,给出下列五个集合:
①M={(x,y)
1
|y= };x
②M={(x,y)|y=ex-2};
③M={(x,y)|y=sinx};
④|M={(x,y)|y=x2-1};
⑤M={(x,y)|y=lnx}.
其中不是“孪生对点集”的序号是 .
三、解答题(本大题共5小题,每小题10分,共50分.)
16.(2022·广东联考)设A,B 是两个非空集合,
定义A 与B 的差集A-B={x|x∈A 且x B}.
18
数学·函数与导数
18.(2022·安庆调研)已知三个集合A={x|x2 20.(2022·江苏南京、盐城第一次模拟)设集合S
-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2 ={1,2,3,…,n}(n∈N*,n≥2),A,B 是S 的两个非
-bx+2=0},问:同时满足B A,A∪C=A 的实数 空子集,且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最
a,b是否存在 若存在,求出a,b;若不存在,请说明 小数,记满足条件的集合对(A,B)的个数为Pn.
理由. (1)求P2,P3 的值;
(2)求Pn 的表达式.
19.(2022·山东枣庄检测)命题p:实数x 满足
x2-4ax+3a2<0(其中a>0),命题q:实数x 满足
ì |x-1|≤2
í
x+3
.
x-2>0
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x 的取值范围;
(2)若┐p 是┐q的充分不必要条件,求实数a 的
取值范围.
19
