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11.1.1 同底数幂的乘法 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十一章
课题 11.1.1 同底数幂的乘法 课时 1课时
课标要求 理解同底数幂乘法的运算性质，能用符号语言和文字语言准确表述这一性质。 能熟练运用同底数幂的乘法性质进行简单的幂运算，解决相关数学问题。通过探究同底数幂乘法性质，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，发展归纳推理能力和符号意识。
教材分析 同底数幂的乘法是华师大版八年级上册第十一章《整式的乘除》的起始内容。在本节课之前，学生已经系统掌握了有理数乘方运算以及幂的基本概念。作为幂运算体系的基石，本节课不仅是对已有知识的延伸拓展，更为后续学习幂的乘方、积的乘方以及整式乘法运算筑牢根基，在初中代数知识体系中起着承上启下的关键作用。
学情分析 学生在之前的学习中，已经系统掌握了有理数四则运算及乘方概念，能够熟练计算简单幂运算，这为探究同底数幂乘法规律奠定了坚实的知识基础。在日常学习中，学生通过大量的练习，不仅能快速得出幂运算的结果，还对幂的形式、底数与指数的关系有了直观认识，具备了观察、分析和归纳数学规律的基本能力。此外，他们在过往的数学探究活动中，积累了一定的合作学习与自主探究经验，能够运用类比、猜想等方法尝试解决新问题，这些都为顺利开展本节课的学习提供了有力支撑。
核心素养目标 数学抽象：从具体幂运算实例中抽象出am·an=am+n (m，n都是正整数)的运算性质，提升符号表达能力。 逻辑推理：通过幂的意义推导运算性质，体会 “特殊到一般”的推理过程，培养逻辑思维。 数学运算：熟练运用法则进行同底数幂乘法运算，提高运算准确性与速度。 数学建模：将实际问题转化为幂运算模型，感受数学的应用价值。
教学重点 1.理解同底数幂乘法性质的推导过程，掌握公式am·an=am+n(m，n都是正整数)的本质.2.能准确运用性质进行简单幂运算，解决基础数学问题。
教学难点 1.引导学生从幂的意义出发，自主推导同底数幂乘法性质。 2.正确处理多项式底数，如 (x+y)的幂运算，避免出现 "指数相乘"" 底数相加 " 等错误。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新想一想：1.乘方的定义是什么？求几个相同因数的积的运算叫做乘方.2.an中各部分名称：底数是__a__，指数是__n___，表示___n_个__a__相乘。3.计算：(-3)2 =____9___，-32=__-9____。 独立思考后举手回答，在练习本上完成计算并核对。 强化幂的概念及符号规则，为后续推导奠定基础，通过对比(-3)2与-32的区别，预防运算符号错误。
二、引新 创设情境，引入课题观察下面算式，回答问题.23×24=__________这两个幂的底数有何特点？这是什么运算？这两个幂的底数相同，都是2，并且为乘法运算.上面的运算称为同底数幂的乘法. 观察算式特征（底数均为 10），尝试用幂的意义展开计算. 通过实际问题激发探究欲，让学生初步感知 "同底数幂相乘，指数相加" 的规律。
三、探究 试一试：根据幂的意义填空（1）23×24=2×2×2×2×2×2×2=____27____ . （2）53×54=5×5×5×5×5×5×5=____57_____. （3）a3×a4=a×a×a×a×a×a×a=__a7____.想一想：am·an= ？你能发现同底数幂相乘有什么规律吗？概括：可得：am· an=am+n (m，n都是正整数).这样我们就得到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.特别强调：①适用条件：底数相同；②易错点：指数是“相加”而非“相乘”； ③底数可拓展为多项式：如(x + y)2·(x +y)3 = (x +y)5。例1：计算(1) 103×104 ； (2)a · a3 ； (3) a · a 3· a5.解：(1) 解：(1) 103×104=103+4=107. (2)a · a3=a1+3=a4. (3) a · a 3· a5=a1+3+5=a9.总结归纳：法则am· an=am+n还可以推广使用：即当三个或三个以上的同底数幂相乘时，底数仍然不变，只要将指数分别相加即可，即am · an · ap=a m + n + p (m，n，p都是正整数).拓展提高【做一做】若2x+3 =32，求x的值. 小提示：同底数幂的乘法法则可以逆用哦！即：am+n=am · an解：因为2x+3 =2x × 23=2x ×8=32，所以2x =4，所以x=2.【做一做】已知3m=4，3n= 6，求3m+n+2的值. 解：由题意得3m+n+2 =3m× 3n× 32，将3m=4，3n= 6代入上式，则3m× 3n× 32=4 × 6× 9=216. 完成特例计算后，小组内交流发现，尝试用文字语言总结规律（如 "底数不变，指数加起来"），再转化为符号语言。学生在笔记本上记录法则，同桌互说 3 遍法则内容，完成即时判断。独立完成例题后，对照课件解析订正，标注易错点（如符号处理、指数计算）。学生完成拓展提高题目，总结同底数幂的乘法法则可以逆用。 通过具体实例，让学生经历从特殊到一般的归纳过程，培养学生的归纳总结能力，加深对立方根概念的理解。通过多形式强化记忆，即时判断帮助学生快速识别典型错误。通过梯度例题覆盖数字底数、字母底数、多项式底数三种情况，突破多项式底数运算的难点。通过逆向应用培养思维灵活性，为后续学习方程奠定基础。
四、尝试 尝试练习，巩固提高1.【知识技能类作业】必做题：1.下列各项中，两个幂是同底数幂的是( D ).A. x2 与 a2B. (-a)5 与 a3C. (x - y)2 与 (y -x)2 D. -x2 与 x2 2. 在等式x2 ·□=x8 中，“□”所表示的代数式为（ A ）.A. x6 B. -x6 C. ( -x )7 D. x 7 3.计算（1）y4 · (-y3) （2）( a-b )3 · ( a-b )5 （3）am · a3 · a2m+1解：（1）原式= -y4+3= -y7（2）原式=( a-b )3+5=( a-b )8（3）原式=am+3+2m+1=a3m+44. 若ax =5， ax+y =30，则 ax+ay=( C ).A. 25 B. 10 C. 11 D. 215. 已知2a= 3，2b= m，2c=30，若1+a+b=c，求m的值.解：因为1+a+b=c,所以21+a+b=2c，即2 · 2a · 2b=2c.因为2a = 3，2b = m，2c=30,所以2×3m=30. 所以m =5.6.电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB = 210 MB，1 MB=210 KB，1 KB= 210B.某视频文件的大小约为1GB，1GB等于( A ).A.230B B.830B C.8× 1010B D.2 x1030B【综合拓展类作业】7. 若xm-n · x2n+1=x11，且ym-1 · y4-n =y7，求m -n的算术平方根.解：因为xm-n · x2n+1=xm+n+1=x11，ym-1 · y4-n =ym-n+3=y7所以 m-n=4. 所以 m-n 的算术平方根为2. 独立完成练习题，遇到问题可以举手向教师提问。 通过课堂练习，巩固学生所学的知识和求法，及时发现学生存在的问题并加以解决，提高学生的知识应用能力。
五、提升 适时小结，兴趣延伸引导学生构建知识树： 核心法则：am· an=am+n关键提醒：底数相同、指数相加、符号统一 布置课后任务：用思维导图梳理本节课知识。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统地认识。
板书设计 10.1.2 立方根1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.am· an=am+n (m，n都是正整数).2.同底数幂的乘法法则可以逆用.3.同底数幂的乘法法则的应用 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标：1.下列计算正确的是( D ).A. y · y8= y8B. y8 +y8 =y16C. y +y8 = y8D. y3 ·y5= y82. 计算：( x-y )3 · ( y-x ) =( B ).A. (x - y)4M B. -(x - y)4 C. (y - x)4 D. (x + y)4 能力提升：3. 已知3a= 4，3b=8，3c= 6，那么a，b，c之间满足的关系是( A ).A. a + c =b + 1B. a + c = 2bC. a：b：c = 1：3：2D. ac = 2b4. 计算.(1)-x2 · x3+4x3 · (-x)2 - 2x · x4； (2)(x - y)5 · (y - x)2·( x-y )4.解：(1)原式=-x5+4x3 · x2-2x5= -x5+4x5-2x5= x5.(2) 原式=(x-y)5 · (x-y)2·( x-y )4 =(x-y)11.拓展迁移：5.已知关于x，y的方程组 则当3x+y=81时，a的值为多少？解：因为3x+y=81=34，所以x+y=4.①+②，得2x + 2y = 4+2a，即2(x +y) = 4+2a. 所以2×4=4+2a. 所以a=2.
教学反思 本节课采用 "问题链驱动 - 小组协作探究" 的教学模式，显著提升学生课堂参与度。教学实践数据显示，85% 以上的学生能够自主完成同底数幂乘法法则的推导过程，有效达成知识建构目标。分层设计的练习体系呈现良好教学反馈。基础题组正确率达 90%，表明学生对核心算法掌握扎实；提升题组 70% 的完成率则验证了阶梯式训练对高阶思维培养的有效性。借助动态可视化多媒体资源解构幂的运算本质，通过动画演示指数叠加的数学原理，成功突破抽象概念的理解障碍，实现具象思维向抽象思维的有效过渡。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十一章
课标要求 1.探索并了解正整数幂的运算法则（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），并会运用它们进行计算。 2.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算。 3.会由整式的乘法推导出乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。 4.探索并了解单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并能进行简单的整式除法运算。 5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，从中体会事物之间可以互相转换的辩证思想。
内容分析 全章共包含幂的运算、整式的乘法、乘法公式、整式的除法、因式分解这几节内容。幂的运算性质是学习整式乘法的基础，这 4 个运算性质都是根据乘方的意义，通过找规律，由特殊到一般，从而归纳出来的法则。在掌握幂的运算性质后，其第一个直接的应用，便是开始安排单项式乘法，而运用多项式乘法法则进行多项式乘法的关键是熟练掌握单项式乘法。在学生掌握了单项式乘法的基础上，利用运算律就能进一步进行单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法。学习多项式的乘法之后，将某些具有特殊形式的多项式相乘的式子及结果，写成公式的形式，就是乘法公式。将整式乘法按相反方向变形，便是因式分解。
学情分析 学生在之前已经学习了整式的概念及加减法运算，对代数式有了一定的认识，这为本章整式乘除的学习奠定了基础。但整式的乘除运算涉及到更多的运算法则和公式推导，对于八年级学生来说，从具体数字运算过渡到抽象的字母运算，在理解和应用上可能存在一定困难。特别是在处理复杂的多项式乘法或除法，以及乘法公式的灵活运用时，部分学生可能会感到困惑。此外，学生在进行运算时，容易出现符号错误、指数运算错误等问题 。
单元目标 （一）教学目标1.学生能够熟练掌握正整数幂的运算法则，准确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算。2.深入理解并能运用单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，进行准确的整式乘法运算。3.清晰掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，完成简单的整式除法运算。4.理解因式分解的意义，熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解。5.通过对幂的运算法则、整式乘除法法则及因式分解方法的探究过程，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，提升逻辑思维水平。（二）教学重点、难点重点1.整式乘除法运算法则及其应用；2.乘法公式的理解和运用；3.因式分解的两种基本方法（提取公因式法、公式法）。难点1.理解整式乘除法运算的原理；2.灵活运用乘除法运算法则及乘法公式解决实际问题；3.在因式分解时，如何准确地选择合适的方法进行分解 。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1幂的运算同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法411.2整式的乘法单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘多项式与多项式相乘311.3 乘法公式平方差公式完全平方公式211.4整式的除法单项式除以单项式多项式除以单项式211.5因式分解提取公因式法公式法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1幂的运算1.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2.学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。掌握同底数幂乘法法则，学生是否能正确运用法则进行计算，底数和指数的处理是否准确。任务一：探究同底数幂乘法法则。任务二：巩固练习。1.经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义；2.了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力推导法则时，适当设置与本课内容相关的挑战性问题，更能使学生进一步体会幂的意义。1.理解并掌握积的乘方法则及计算；2.会进行简单的幂的混合运算；3.注意积的乘方、幂的乘方与同底数幂的运算的指数变化。布置一系列包含积的乘方运算任务，检查学生对两个法则的综合运用能力组织小组讨论积的乘方法则的推导过程，观察学生在讨论中的思维活跃度，1.掌握同底数幂相除的法则及运算；2.能逆用同底数幂相除的法则；3.理解并掌握零指数幂与负整数指数幂。掌握同底数幂相除的法则及运算，理解并掌握零指数幂与负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值较小的数。经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.11.2整式的乘法1.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则；2.理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；3.能运用单项式乘法解决简单的实际问题。掌握单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。在经验过程中主动探索，让学生在运算的过程中理解单项式的乘法法则。1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。2.学会用多项式乘法法则进行计算。3.培养用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。理解多项式乘法法则的推导过程，掌握多项式的乘法法则并加以运用。利用几何图形来解释多项式乘以法则，并通过分配律的应用加以解释，让学生体会数形结合和转化的思想。1.会进行多项式与多项式相乘的计算；2.能综合运用多项式乘法进行化简与计算．掌握多项式与多项式相乘的法则，综合运用多项式乘法进行化简与计算。通过积极探索，寻求规律，发展归纳推理能力。11.3 乘法公式1.掌握平方差公式，会利用平方差公式计算；2.能运用平方差公式进行简便计算．掌握平方差公式，会利用平方差公式计算。通过面积拼图，理解平方差公式。运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2.能运用完全平方公式解决有关问题．理解完全平方公式的结构特征，掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算。通过面积拼图，理解平方差公式，理解完全平方公式的结构特征。11.4整式的除法1.理解并掌握单项式除以单项式法则并能运用；2.会进行简单的计算．学生掌握单项式除以单项式法则，能准确进行计算。通过计算理解并掌握单项式除以单项式法则，并会进行简单的乘除混合运算。1.理解并掌握多项式除以单项式法则并能运用；2.会进行简单的乘除混合运算．讲解多项式除以单项式题目的解题思路，学生对法则的理解和运用能力，同时锻炼学生的逻辑思维和语言表达能力。引导学生反思在学习多项式除以单项式过程中容易出错的地方，以及如何避免这些错误，培养学生的学习反思能力。11.5因式分解1.在进行提取公因式时的操作过程，能正确提取公因式并将多项式进行因式分解。2.提高学生对公因式的识别能力，能否准确找出多项式各项的公因式。学生能正确提取公因式并将多项式进行因式分解。组织小组互助学习，让学生互相检查和讨论因式分解的结果，培养学生的合作学习能力和批判性思维。
《整式的乘除》 大单元教学设计
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第十一章 整式的乘除
11.1.1 同底数幂的乘法
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解同底数幂乘法的运算性质，能用符号语言和文字语言正确表述这一性质。
01
能够熟练运用同底数幂的乘法性质进行简单的幂的乘法运算，解决与之相关的数学问题。
02
通过对同底数幂乘法性质的探究，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法，发展学生的归纳推理能力和符号意识 。
03
02
新知导入
想一想：
1.乘方的定义是什么？
2.an中各部分名称：底数是____，指数是_____，表示____个____相乘。
求几个相同因数的积的运算叫做乘方.
3.计算：
(-3)2 =_______，-32=______。
a
n
n
a
9
-9
02
新知导入
观察下面算式，回答问题.
这两个幂的底数有何特点？这是什么运算？
23×24=__________
这两个幂的底数相同，都是2，并且为乘法运算.
上面的运算称为同底数幂的乘法.
怎样计算呢？
03
新知探究
探究
同底数幂的乘法法则
根据幂的意义填空：
（1）23×24=____________×______________=________
2×2×2
2×2×2×2
7个2相乘
27
（2）53×54=____________×______________=________
5×5×5
5×5×5×5
57
03
新知探究
探究
同底数幂的乘法法则
根据幂的意义填空：
（3）a3×a4=____________×______________=______
a×a×a
a×a×a×a
你能发现同底数幂相乘有什么规律吗
a7
想一想：am · an=
知识要点
这样我们就得到同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am · an= （a · a · ... · a）（a · a · ... · a）
m个
n个
= a · a · ... · a
（m+n）个
=am+n
可得：am· an=am+n (m，n都是正整数).
知识要点
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am· an=am+n (m，n都是正整数).
特别强调：
①适用条件：底数相同；
②易错点：指数是“相加”而非“相乘”;
③底数可拓展为多项式：如(x + y)2·(x +y)3 = (x +y)5。
03
新知讲解
计算：(1) 103×104 ; (2)a · a3 ; (3) a · a 3· a5.
例1
解：(1) 103×104=103+4=107.
(2)a · a3=a1+3=a4.
(3) a · a 3· a5=a1+3+5=a9.
总结归纳
法则am · an=am+n 还可以推广使用：
即当三个或三个以上的同底数幂相乘时，底数仍然不变，只要将指数分别相加即可，
即am · an · ap=a m + n + p (m，n，p都是正整数).
拓展提高
【做一做】若2x+3 =32，求x的值.
小提示：同底数幂的乘法法则可以逆用哦！
即：am+n=am · an
解：因为2x+3 =2x × 23=2x ×8=32，
所以2x =4，所以x=2.
拓展提高
【做一做】已知3m=4，3n= 6，求3m+n+2的值.
解：由题意得3m+n+2 =3m× 3n× 32，
将3m=4，3n= 6代入上式，
则3m× 3n× 32=4 × 6× 9=216.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各项中，两个幂是同底数幂的是( ).
A. x2 与 a2
B. (-a)5 与 a3
C. (x - y)2 与 (y -x)2
D. -x2 与 x2
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 在等式x2 ·□=x8 中，“□”所表示的代数式为（ ）.
A. x6
B. -x6
C. ( -x )7
D. x 7
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.计算
（1）y4 · (-y3) （2）( a-b )3 · ( a-b )5 （3）am · a3 · a2m+1
解：（1）原式= -y4+3= -y7
（2）原式=( a-b )3+5=( a-b )8
（3）原式=am+3+2m+1=a3m+4
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 若ax =5， ax+y =30，则 ax+ay=( ).
A. 25
B. 10
C. 11
D. 21
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 已知2a= 3，2b= m，2c=30，若1+a+b=c，求m的值.
解：因为1+a+b=c,
所以21+a+b=2c，即2 · 2a · 2b=2c.
因为2a = 3，2b = m，2c=30,
所以2×3m=30. 所以m =5.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中
1GB = 210 MB，1 MB=210 KB，1 KB= 210B.某视频文件的大小约为1GB，1GB等于( ).
A.230B
B.830B
C.8× 1010B
D.2 x1030B
A
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 若xm-n · x2n+1=x11，且ym-1 · y4-n =y7，求m -n的算术平方根.
解：因为xm-n · x2n+1=xm+n+1=x11，ym-1 · y4-n =ym-n+3=y7
所以 m-n=4. 所以 m-n 的算术平方根为2.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am· an=am+n (m，n都是正整数).
2.当三个或三个以上的同底数幂相乘时，底数仍然不变，只要将指数分别相加即可，即am · an · ap=a m + n + p (m，n，p都是正整数).
3.同底数幂的乘法法则可以逆用，即：am+n=am · an.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列计算正确的是( ).
A. y · y8= y8
B. y8 +y8 =y16
C. y +y8 = y8
D. y3 ·y5= y8
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 计算：( x-y )3 · ( y-x ) =( ).
A. (x - y)4
B. -(x - y)4
C. (y - x)4
D. (x + y)4
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 已知3a= 4，3b=8，3c= 6，那么a，b，c之间满足的关系是( ).
A. a + c =b + 1
B. a + c = 2b
C. a：b：c = 1：3：2
D. ac = 2b
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 计算.
(1)-x2 · x3+4x3 · (-x)2 - 2x · x4; (2)(x - y)5 · (y - x)2·( x-y )4.
解：原式=-x5+4x3 · x2-2x5
= -x5+4x5-2x5
= x5.
解: 原式=(x-y)5 · (x-y)2·( x-y )4
=(x-y)11.
06
作业布置
解：因为3x+y=81=34，所以x+y=4.
【综合拓展类作业】
5.已知关于x，y的方程组 则当3x+y=81时，
a的值为多少？
①+②，得2x + 2y = 4+2a，即
2(x +y) = 4+2a. 所以2×4=4+2a. 所以a=2.
Thanks!
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