10.5导线切割磁感线时的感应电动势
满分：126
班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、单选题（共4小题,共16分）
1. 如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于2L的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、
乙两个合金导线框的质量均为m,长均为2L，宽均为L，电阻分别为R和2R。
2 3
两线框在光滑水平面上以相同初速度v = 4B L0 并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则 mR
（ ）
（4分）
A.甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B.甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为1：1
C.乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D.甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4：3
正确答案： D
答案解析： 解：A、根据右手定则可知，甲线框进磁场过程中电流方向为顺时针，出磁场的过程中电流
方向为逆时针，所以甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相反，故A错误；
B2L2v
B、甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力均为安培力，根据安培力的计算公式可得：F安=BIL= 0
R
由于甲和乙的电阻大小分别为R和2R，则所受合力大小之比为2：1，故B错误；
C、设乙线框恰好完全出磁场区域时速度大小为v,取向右为正方向，对乙全过程根据动量定理可得：-BI
LΔt=mv-mv0
B2L2即： Δx =mv0-mv,其中：Δx=4L 2R
2 3
解得：v= 2B L
v
= 0 ，故C错误；
mR 2
D、设甲线框恰好完全出磁场区域时速度大小为v′，取向右为正方向，对甲全过程根据动量定理可得：-
BI ′LΔt′=mv′-mv0
即： B
2L2Δx
=mv0-mv′，其中：Δx=4L R
解得：v′=0
1 mv2Q甲 2 0
甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为： Q = 1 mv2 1 mv2
=
乙 2 0 2
v20 4
v2 1 2
=
v
，故D正确。
0 （
3
0 ）2
故选：D。
2. 如图，两条固定的光滑平行金属导轨，所在平面与水平面夹角为θ，间距为l,导轨电阻忽略不计，
两端各接一个阻值为2R的定值电阻，形成闭合回路；质量为m的金属棒垂直导轨放置，
并与导轨接触良好，接入导轨之间的电阻为R；
劲度系数为k的两个完全相同的绝缘轻质弹簧与导轨平行，一端固定，另一端均与金属棒中间位置相连，
1 2
弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep kx = ；将金属棒移至导轨中间位置时，2
两弹簧刚好处于原长状态；整个装置处于垂直导轨所在平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。
将金属棒从导轨中间位置向上移动距离a后静止释放，金属棒沿导轨向下运动到最远处，用时为t,
最远处与导轨中间位置距离为b,弹簧形变始终在弹性限度内。此过程中（ ）
（4分）
2 2
A.金属棒所受安培力冲量大小为 B l （a + b）
R
2 2
B.每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为 B l （a + b） mgt sin θ
+4R 2
C.每个定值电阻产生的热量为 k（a
2 2
b ） mg（a + b） sin θ
+8 4
2 2
D.金属棒的平均输出功率为 k（a b ）+ mg（a + b） sin θ
2t
正确答案： D
答案解析： 解：A、金属棒所受安培力冲量大小为I安 = BIlΔt = Blq ，又
q E t ΔΦ Bl（a + b）= Δ = = R 2R · 2R
2 2
R R R ， = + R = 2R ，解得I B l （a + b）= ，故A
总 总 总 总 2E + 2R 安 2R
错误；
B、该过程中，取沿导轨向下为正方向，对金属棒，由动量定理得
2I弹-I安+mgsinθ t=0
2 2
解得每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为I 1 1 B l （a + b） 1弹 = I安 mgt sin θ = R mgt sin θ 2 2 4 2
，故B错误；
C、由能量关系可知回路产生的总热量Q = mg sin θ（a b 1 1+ ）+ 2 2× ka 2 × kb
2
2 2
1 mg sin θ（a + b） 1 2 2
每个定值电阻产生的热量为Q Q1 = = + k（a b ） ，故C错误；4 4 4
D、因金属棒的电阻与外电路总电阻相等，则金属棒的平均输出功率
1
Q
P 2 mg sin θ（a + b）+ k a
2 2
（ b ）
= = ，故D正确。 t 2t
故选：D。
3. 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN与水平面的夹角为θ，间距为l,P、
M间接有一定值电阻R，质量为m的金属棒垂直于导轨放置且接触良好，
整个装置处于垂直导轨平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场中。t=0时刻，
mgR sin θ
金属棒在沿导轨向上的恒力F=3mgsinθ作用下，以初速度v = 2 2 0 沿导轨向下运动，B l
此时金属棒的安培力大小为FA0，电阻R的电功率为P0。已知重力加速度为g,导轨和金属棒电阻不计，
若以初速度v0的方向为正方向，则金属棒的速度为v、安培力FA、流过金属棒横截面的电荷量为q、
电阻R的电功率P随时间t变化的图像正确的是（ ）
（4分）
A.
B.
C.
D.
正确答案： A
答案解析： 解：A、开始时金属棒沿导轨向下运动，安培力沿导轨向上，随着速度减小，安培力减小，
2mg sin θ F
加速度为：a A = 增大，速度—时间图像的斜率增大；当速度减为0后，金属棒在恒力作 m
用下沿导轨向上加速运动，安培力沿导轨向下，随着速度增大，安培力增大，加速度减小，速度—时间
2 2
图像的斜率减小，当a = 0 时，金属棒匀速运动，此时有：2mg sin θ = B l v ，由于 R
v mgR sin θ0 = B2l2
，可解得匀速时速度 v=2v0，方向沿导轨向上，所以速度—时间图像先斜率增大减速
到0，再斜率减小加速到2v0，故A正确；
B2l2B、因为F = v ，安培力与速度成正比，结合选项A中速度的变化情况，安培力应先减小到0，再反A R
向增大到2FA0 （因为匀速时速度是2v0），安培力与速度成正比），故B错误；
ΔΦ
C、流过金属棒横截面的电荷量为q = It = Blx R = R （x 为金属棒的位移），q-t图像的斜率表示电
流I 。金属棒先做加速度变化的减速运动，再做加速度变化的加速运动，电流是变化的，q-t图像的斜率
应是变化的，不是先增大后减小这种规律，故C错误；
2 2 2
D、电阻R的电功率为：P = I2R = B l v ，电功率与速度的平方成正比。结合选项A中速度的变化情 R
况，电功率应先减小到0，再增大到4P0 （因为匀速时速度是2v0，电功率与速度平方成正比），故D错
误。
故选：A。
4. 如图为某跑步机测速原理示意图。绝缘橡胶带下面固定有间距L = 0.5m 、长度d = 0.2m
的两根水平平行金属导轨，导轨间矩形区域内存在竖直向里的匀强磁场，磁感应强度大小B = 1.5T 。
两导轨左侧间接有R = 0.5Ω 的电阻，橡胶带上嵌有长为L 、间距为d 的平行铜棒，每根铜棒的阻值均为
r = 0.1Ω ，磁场区中始终仅有一根铜棒与导轨接触良好且垂直。
健身者在橡胶带上跑步时带动橡胶带水平向右运动，当橡胶带以某一速度匀速运动时，
理想电压表示数为2.5V ，则（ ）
（4分）
A.A 点的电势比C点的电势低
B.铜棒切割磁感线产生的电动势为3.5V
C.橡胶带匀速运动的速度大小v = 5m/s
D.每根铜棒每次通过磁场区域通过R 的电荷量为0.25C
正确答案： D
答案解析： A. 铜棒向右运动切割磁感线，由右手定则可知，A 点的电势比C 点的电势高，故A 错；
B. 电路中的电流大小
，铜棒切割磁感线产生的电动势为E = I(R + r) = 3.0V ，故B 错误；
C. 根据E = BLv ，得橡胶带匀速运动的速度大小v = 4m/s ，故C 错误；
D. 每根铜棒每次通过磁场区所用时间
，则通过R 的电荷量为q = It = 0.25C ，故D 正确。
二、多选题（共4小题,共24分）
5. 如图，关于x轴对称的光滑导轨固定在水平面内，导轨形状为抛物线，顶点位于O点。
一足够长的金属杆初始位置与y轴重合，金属杆的质量为m,单位长度的电阻为r0。
整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现给金属杆一沿x轴正方向的初速度v0，
金属杆运动过程中始终与y轴平行，且与电阻不计的导轨接触良好。下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y轴负方向
B.金属杆可以在沿x轴正方向的恒力作用下做匀速直线运动
mv r
0 0
C.金属杆停止运动时，与导轨围成的面积为 2 B
D.若金属杆的初速度减半，则金属杆停止运动时经过的距离小于原来的一半
正确答案： A C
答案解析： 解：A、根据右手定则可知，金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中感应电流沿y轴负方
向，故A正确；
B、若金属杆可以在沿x轴正方向的恒力F作用下做匀速直线运动，金属杆受到的安培力大小F安=BIL，其
BLv
I 0
BLv0 Bv0
中 = R = Lr = 0 r
0
B2Lv
联立可得F = 0 安 r
0
由于金属杆运动过程中接入导轨中的长度L在变化，F安在变化，不可能与恒力一直平衡，所以金属杆在
沿x轴正方向的恒力作用下不可能做匀速直线运动，故B错误；
C、取一微小时间Δt内，设此时金属杆接入导轨中的长度为L′，取向右为正方向，根据动量定理有得
-BI′L′Δt=-BL′q′=mΔv
ΔΦ
同时有 Δtq ΔΦ B · ΔS= L r · Δt =′ =0 L′r 0 L
′r0
B2ΔS
联立得 r = mΔv 0
B2 S对从开始到金属杆停止运动的整个过程累积可得 r = 0 mv0
0
mv r
解得此时金属杆与导轨围成的面积为S 0 0 = 2 ，故C正确；B
D、若金属杆的初速度减半，根据前面分析可知当金属杆停止运动时金属杆与导轨围成的面积为
S 1′ = S ，根据抛物线的图像规律可知此时金属杆停止运动时经过的距离大于原来的一半，故D错误。2
故选：AC。
6. 如图所示，顶角为θ=37°的光滑金属导轨AOC水平固定，处在方向与导轨平面垂直、
磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与OC垂直的导体棒MN（足够长）
在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨向右滑动，t=0时，导体棒位于O处，t1时刻撤掉外力。
已知导轨与导体棒单位长度的电阻均为r,导体棒质量为m,与导轨接触良好，sin37°=0.6，则（ ）
（6分）
A.0～t1时间内，流过导体棒MN的电流大小不变
3Bv t
B.0～t1时间内，流过导体棒MN的电荷量为
0 1
r 4
B2v33 0t
2
C.0～t1时间内，回路产生的焦耳热为 1
r 32
mrv
D.从撤掉外力到导体棒停止运动的过程，穿过回路的磁通量增加 0
B
正确答案： A C
3
答案解析： 解、导体棒向右做匀速直线运动，经时间t,导体棒切割磁感线的有效长度L=v0ttanθ= 4
v0t,
v t
此时回路中的电阻为：R=（v0t+v ttanθ+
0
0 ）r=3v0tr cos θ
3
导体棒切割磁感线产生的感应电动势E=BLv0= Bv
2
4 0 t
3 Bv2 t Bv
A、0～t1时间内，流过导体棒MN的电流I=
E = 4 0 0 R v tr
= ，电流大小不变，故A正确；
3 4r0
Bv
B、0～t 时间内，流过导体棒MN的电荷量q=It = 0
t1
1 1 ，故B错误； 4r
Bv B2v33
C、t时刻的电功率P=I2R= 0 2（ r ） × 3v tr
= 0 t∝t4 0 16r
3B2v30t 1 B2v3t23
0～t 时间内，回路产生的焦耳热Q=P t = 16r = 0 1 1 1 ，故C正确；
× t
2 1 32r
D、以向右为正方向，从撤掉外力到导体棒停止运动过程，在很短时间Δt内，对导体棒，由动量定理
得：
-ILBΔt=-mΔv
B 3× vt × v
2 2
其中I= BLv 4= = Bv ，代入得：-
B vLΔt
=mΔv,则- 4r ∑
B
r （LvΔt）= ∑mΔv R 3vrt 4r 4
2 2 4mv r
即- B ΔS =-mv ，由于 B ΔS B × BΔS BΔΦ0 = = ，解得：ΔΦ= 0 ，故D错误。 4r 4r 4r 4r B
故选：AC。
7. 如图所示，间距为L0的两平行长直金属导轨水平放置，导轨所在空间存在方向竖直向下、
磁感应强度大小为B的匀强磁场。长度均为L0的金属杆ab、cd垂直导轨放置，初始时两金属杆相距为L0，
金属杆ab沿导轨向右运动的速度大小为v0，金属杆cd速度为零且受到平行导轨向右、
大小为F的恒力作用。已知金属杆与导轨接触良好且整个过程中始终与导轨垂直，在金属杆ab、
cd的整个运动过程中，两金属杆间的最小距离为L1，重力加速度大小为g,两金属杆的质量均为m,
F
电阻均为R，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ= 2mg ，金属导轨电阻不计，下列说法正确的是
（ ）
（6分）
B2L2v
A.金属杆cd运动过程中的最大加速度为 F 0 0
m + 2 2mR
mv B2L2(L L )
B.从金属杆cd开始运动到两金属杆间距离最小的时间为 0 0 0 1
F + FR
v
C.金属杆ab运动过程中的最小速度为 0
2
FR v0
D.金属杆cd的最终速度为 B2
+
L2 2 20
正确答案： A D
答案解析： 解：对金属杆ab、cd的运动过程分析如下：
①、初始ab向右运动，cd速度为零，两者间距开始减小，回路中磁通量先开始减小，根据楞次定律可知
回路中的感应电流方向先是顺时针的，ab受到的安培力与滑动摩擦力均先向左，ab先向右做减速运动，
F
设其速度大小为v1。cd受到的安培力先向右，而滑动摩擦力向左，因动摩擦因数为μ= 2mg ，可知滑动
摩擦力小于F，故cd先向右做加速运动，设其速度大小为v2。回路中的感应电动势为：E=BL0（v1-v2），
因（v1-v2）先减小，故感应电动势、感应电流、两金属杆所受安培力均减小。故ab先向右做加速度减小
的减速运动，cd先向右做加速度减小的加速运动。
②、当v1=v2时，感应电动势、安培力均为零，由于存在滑动摩擦力，ab继续减速，但cd继续加速（因F
＞μmg），导致v2＞v1，两者间距开始增大，回路中磁通量先开始增大，根据楞次定律可知回路中的感
应电流方向变为逆时针，ab受到的安培力反向，方向向右，与滑动摩擦力方向相反；cd受到的安培力也
反向，方向向左，与滑动摩擦力同向。此后的回路中的感应电动势为：E=BL0（v2-v1），因（v2-v1）增
大，故感应电动势、感应电流、两金属杆所受安培力均由零逐渐增大，对ab有：μmg-BIL0=ma1，对cd
有：F-μmg-BIL0=ma2，可见ab、cd的加速度均减小，故ab继续向右做加速度减小的减速运动，cd向右做
加速度减小的加速运动。
③、当安培力增加到等于滑动摩擦力，即：BIL0=μmg时，ab的加速度a1为零，此时对于cd有：F-μmg-
F
BIL0=F-2μmg=0（因μ= 2mg ），即：cd的加速度a2为零，可见两者加速度同时减小到零，此后v1、v2
若保持不变，则（v2-v1）恒定，感应电动势、感应电流、两金属杆所受安培力均保持不变，两者加速度
可保持为零，故两者终极状态为匀速直线运动。终极状态有：v2＞v1；BIL0=μmg,F=2μmg。
A、由上述分析，可知金属杆cd运动过程中的加速度一直减小到零，则初始其加速度最大。
E B2L2v
初始电动势为：E0=BL0v0，安培力为：F =B
0
L = 0 0 0 0 ，根据牛顿第二定律得： 2R 2R
F B
2L20 vma 0 0=F+F0-μmg,结合：μ= mg 2 ，解得：a0= F ，故A正确； 2m + 2mR
B、由上述①②的分析可知当v1=v2时两者的间距离最小，以水平向右为正方向，根据动量定理得：
对ab有：-BI L0t-μmgt=mv1-mv0
对cd有：Ft+BI L0t-μmgt=mv2-0……④
F 1
两式相加，再结合μ= 2mg ，可得：v1=v2= v2 0
ΔΦ
又有：It E = R t = R ，ΔΦ=BL0（L0-L2 2 1）
2 2
可得：BIL B L (L L )0 t = 0 0 1 2R
mv B2L2(L L )
代入④式可得所求的时间为：t= 0 0 0 1
F FR
，故B错误；
1
C、由B选项可知v1=v2时，金属杆ab的速度v1= v0，而由②的分析可知此后ab继续做减速运动，故运动2
v
过程中金属杆ab的最小速度小于 0 ，故C错误； 2
BL (v v )
D、设ab、cd的最终速度分别为va、vc，由③的分析有：F-μmg-BIL =0，其中：I=
0 c a
0 2R
FR
解得：vc-va= B2L20
1
从两者速度v1=v2= v0时到终极状态的过程，以水平向右为正方向，根据动量定理得：2
1
对ab有：-BI L0t1-μmgt1=mva- mv2 0
1
对cd有：Ft1+BI L0t1-μmgt1=mvc- mv2 0
两式相加可得：va+vc=v0
FR v0
联立解得：v = 2 +c 2 2 ，故D正确。2B L0
故选：AD。
8. 如图甲所示，间距L=0.4m的金属轨道与水平面成θ=37°角放置，上端接定值电阻R1=1Ω，
下端接定值电阻R2=4Ω，其间分布着两个有界匀强磁场区域：区域Ⅰ内的磁场垂直轨道平面向下，
磁感应强度B1=3T；区域Ⅱ内的磁场平行轨道向下，磁感应强度B2=2T。金属棒MN的质量m=0.12kg,
接入电路的电阻r=4Ω，金属棒与轨道间的动摩擦因数μ=0.5。
现从区域Ⅰ的上方某处沿轨道静止释放金属棒，当金属棒MN刚到达区域Ⅰ的下边界时，
B1开始均匀变化。整个过程中金属棒的速度随下滑时间的变化情况如图乙所示，
图像中除ab段外均为直线，Oa段与cd段平行。金属棒在下滑过程中始终与磁场边界平行，
且与轨道间接触良好，轨道电阻及空气阻力忽略不计，两磁场互不影响，sin37°=0.6，g取10m/s2。
下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.图乙中c点对应的速度v2大小为1m/s
B.区域Ⅰ的宽度为0.8m
C.金属棒穿过区域Ⅰ过程，回路中产生的焦耳热为0.192J
D.B1均匀变化时的变化率为11.25T/s
正确答案： B D
答案解析： 解：A、图乙中c点对应金属棒出区域Ⅰ，且金属棒出磁场Ⅰ前已经达到匀速，由受力平衡
得：mgsinθ=μmgcosθ+BI1L
B1L v2 R1R 2
根据闭合电路欧姆定律可得：I1= R ，其中：R总=r+ 总 R1 + R2
解得：v2=0.8m/s,故A错误；
B、金属棒进入区域Ⅰ之前的过程中，取沿导轨向下为正方向，根据动量定理有：（mgsinθ-
μmgcosθ）t1=mv1-0
代入数据解得：v1=0.4m/s
设区域Ⅰ的宽度为x1，金属棒穿过区域Ⅰ的过程中，取沿导轨向下为正方向，根据动量定理有：
（mgsinθ-μmgcosθ）t2-B1I Lt2=mv2-mv1
B1L x1
I t2=q= R ，其中t1=0.2s,t2=（1.4-0.2）s=1.2s总
联立解得：x1= 0.8m,故B正确；
1
（ mv2 1 mv2C、金属棒穿过区域Ⅰ的过程中，由能量守恒得：mgx1sinθ- ） 2 2 2 1 =Q+μmgcosθ x1
解得：Q= 0.1692J，故C错误；
D、由图乙可知v3-v2=v1-0，解得：v3=1.2m/s
金属棒穿过区域Ⅱ的过程中做匀速直线运动，有：mgsinθ= μ（mgcosθ+B2l2L）
ΔB
另外，金属棒穿过区域Ⅱ时B1均匀变化，回路中产生感生电动势，电动势为E2=
1
t · LxΔ 1
R2r
金属棒与R2并联，再与R1串联，所以回路中的总电阻为：R总′= R r + R1 ，解得：R总′=3Ω2 +
E2 R2
金属棒中的电流为：I2= R ×总 ′ R2 + r
ΔB
联立解得： 1 =11.25T/s,故D正确。 Δt
故选：BD。
三、计算题（组）（共6小题,共86分）
9. 如图所示，光滑水平面上有一个长为L、宽为d的长方体空绝缘箱，
其四周紧固一电阻为R的水平矩形导线框，箱子与导线框的总质量为M。
与箱子右侧壁平行的磁场边界平面如截面图中虚线PQ所示，边界右侧存在范围足够大的匀强磁场，
其磁感应强度大小为B、方向竖直向下。t=0时刻，箱子在水平向右的恒力F（大小未知）
作用下由静止开始做匀加速直线运动，这时箱子左侧壁上距离箱底h处、质量为m的木块（视为质点）
恰好能与箱子保持相对静止。箱子右侧壁进入磁场瞬间，木块与箱子分离；
箱子完全进入磁场前某时刻，木块落到箱子底部，且箱子与木块均不反弹
（木块下落过程中与箱子侧壁无碰撞）；木块落到箱子底部时即撤去F。运动过程中，
箱子右侧壁始终与磁场边界平行，忽略箱壁厚度、箱子形变、导线粗细及空气阻力。
木块与箱子内壁间的动摩擦因数为μ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（15分）
(1)求F的大小； （5分）
（M + m）g
正确答案： F的大小为 μ ；
答案解析： 对木块恰好能与箱子保持相对静止，一起做匀加速直线运动的过程，设木块与箱子的
加速度大小为a,物块与箱子之间的弹力为N。
在竖水平方向上对小物块由牛顿第二定律得：N=ma
在竖直方向上小物块受力平衡，则有：μN=mg
g
联立解得：a = μ
对木块与箱子整体，根据牛顿第二定律得：F=（M+m）a
（M + m）g
解得：F = μ
(2)求t=0时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离； （5分）
（M m 2+ ） R2g
正确答案： t=0时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离为 4 4 ；
2μB d
答案解析： 箱子右侧壁进入磁场瞬间木块与箱子分离，分离后木块在水平方向上做匀速运动，则
箱子不能做匀加速运动，此时箱子受到的安培力不小于F，即箱子右侧壁进入磁场瞬间所受安培力最小值
等于F。设t=0时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离为smin，箱子右侧壁进入磁场瞬间的最小速度为
v。
此时感应电动势为：E=Bdv
E
感应电流为：I = R
安培力为：F安=BdI
B2d2联立可得：F v安 = R
2 2 （M + m）g
由F安=F，可得：
B d v =
R μ
解得：v
（M + m）gR
= 2 2
μB d
由运动学公式得：v2=2asmin
M m 2R2（ + ） g
解得：smin= 4 4
2μB d
(3)若t=0时刻，箱子右侧壁距磁场边界的距离为s（s大于（2）问中最小距离），
求最终木块与箱子的速度大小。 （5分）
2 2
正确答案： 当 1 （√ 2gh + √ 2μgs）≥ B d L 时，最终木块与箱子的速度大小为 μ （M + m）R
1 2 2 1
（√ 2gh + √ 2μgs） B d L ；当 （√ 2gh + √ 2μgs）＜ B
2d2L 时，最终 μ （M + m）R μ （M + m）R
木块与箱子的速度大小为零。
答案解析： 设木块做匀加速直线运动的时间为t1，由运动学公式可得：
s 1= at
2
2 1
设从木块与箱子分离到木块落到箱子底部的时间为t2，此过程木块做平抛运动，在竖直方向上做自由落
体运动，由运动学公式可得：
h 1= gt
2
2 2
由题意可得力F作用时间为：t=t +t =√ 2h √ 2μs1 2 g + g
假设最终木块与箱子共速一起在磁场中做匀速直线运动，设最终两者的速度大小为v1。以水平向右为正
方向，从最初到最终木块与箱子共速的过程，对系统由动量定理得：
Ft-BdIt =（M+m）v1-0
It E t Bdv t BdL其中： = R = R = R
联立解得：v = 1 （√ 2gh + √ 2μgs） B
2d2L
1 μ （M + m ）R
讨论：①当 1
2 2
（√ 2gh + √ 2μgs）≥
B d L 时最终木块与箱子共速一起在磁场中做匀速直
μ （M + m）R
2 2
线运动，则v1=
1
（√ 2gh + √ 2μgs）
B d L ；
μ （M + m）R
1 2 2②当 （√ 2gh + √ 2μgs）＜ B d L 时最终箱子没有完全进入磁场，则v =0。 μ （M + m）R 1
10. 如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框abcd,置于始终竖直向下的匀强磁场中，
ad边与磁场边界平行，ab边中点位于磁场边界。导体框的质量m=1kg、电阻R=0.5Ω、边长L=1m。
磁感应强度B随时间t连续变化，0～1s内B-t图像如图（b）所示。
导体框中的感应电流I与时间t关系图像如图（c）所示，其中0～1s内的图像未画出，
规定顺时针方向为电流正方向。
（12分）
(1)求t=0.5s时ad边受到的安培力大小F。 （4分）
正确答案： ad的安培力大小F为0.015N；
ΔΦ ΔB · S 0.2 0.1 1
答案解析： 根据法拉第电磁感应定律E=n t =n t Δ Δ =1× 1 ×1× 2 V=0.05V，由闭合
E 0.05
电路的欧姆定律I= R = 0.5 A=0.1A，由图（b）可知，0.5s时的磁感应强度大小B1=0.15T，则t=0.5s
时，根据安培力公式，ad边受到的安培力F=B1IL=0.15×0.1×1N=0.015N；
(2)在图（b）中画出1～2s内B-t图像（无需写出计算过程）。 （4分）
正确答案： 补充（b）如解析；
答案解析： 由图（c）可知，1～2s内电流大小为0.2A，方向沿逆时针方向，由（1）的解答可知，磁感
应强度变化率大小是第1s内的2倍，又磁场大小时间连续变化，可知磁场方向不变，均匀增大，补充后的
图像如下
(3)从t=2s开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，
给导体框一个向右的初速度v0=0.1m/s,求ad边离开磁场时的速度大小v1。 （4分）
正确答案： 给导体框一个向右的初速度v0=0.1m/s，解得ad经过磁场边界的速度大小v1为0.01m/s。
答案解析： 由图t=2s时，磁感应强度为B=0.3T，对导体框，规定初速度v0的方向为正方向，由动
B ΔS· · Δt B · ΔS 0.3 × 1 × 0.5
量定理有-BI L Δt=mv1-mv0，而q=I Δt= Δt = R = 0.5 C=0.3C，代入数据解得 R
v1=0.01m/s,方向水平向右。
11. 如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。
水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；
从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，
直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m,电阻为R，长度恰好等于导轨间距，
与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，
忽略回路中的电流对原磁场的影响。求：
（18分）
(1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； （6分）
B2L2v2
正确答案： 第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率为 0
R
；
2
答案解析： 第1根导体棒刚进入磁场时产生的感应电动势为E=BLv0
E
则此时回路的电流为：I = 2R
此时导体棒受到的安培力F安=BIL
此时导体棒受安培力的功率为：P=F安v0
B2L2v2
联立解得：P= 0 ； 2R
(2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； （6分）
mv
正确答案： 第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量为 0 ；
BL
答案解析： 第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，取向右为正方向，根据动量定理有：-
BI LΔt=0-mv0
其中：I Δt=q
mv
解得通过其横截面上的电荷量：q 0 = ； BL
(3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，
导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 （6分）
正确答案： 从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的
nmv2
总热量为 0 （n = 1，2，3，……）
2（n + 1）
答案解析： 由于每根导体棒均以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，则根据能量守恒，每根
1
导体棒进入磁场后产生的总热量均为：Q = mv2 2 0
第n根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，有（n-1）个导体棒并联再与R并联，然后与第n个导体棒串
1 1
联。电路的总电阻为R+ n R ，电阻R的电流为总电流的 n ，根据焦耳定律以及能量的分配关系可得：
1
第1根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量：QR = · Q 1 2
1 1
第2根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量：QR2 = × · Q 2 3
1 1
第3根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量：QR3 = ×3 · Q 4
……
第n根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量：
Q 1 1Rn = n × n · Q + 1
则从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量：
QR= QR1+QR2+QR3+…+QRn
nmv2
通过分式分解和观察数列的“望远镜求和”性质，得出：Q = n 0 · Q = （n = 1，R n + 1 2（n + 1）
2，3，……）。
12. 圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、
外转子可绕中心轴OO′转动。外转子半径为r1，由四个相同的单匝线圈紧密围成，
每个线圈的电阻均为R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为r2，
由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，线圈处的磁感应强度大小均为B。
外转子始终以角速度ω0匀速转动，某时刻线圈abcd的直边ab与cd处的磁场方向如图乙所示。
（16分）
(1)若内转子固定，求ab边产生感应电动势的大小E； （5分）
正确答案： ab边产生感应电动势的大小为BLω0r1；
答案解析： 根据题意可知，ab转动时的线速度为v=ω0r1
则ab产生的感应电动势E1=BLv=BLω0r1
(2)若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热Q； （5分）
πB2L2 r28 ω
正确答案： 外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热为 0 1 ；
R
答案解析： 根据题意，由图可知，若内转子固定，外转子转动过程中，ab、cd均切割磁感线，且
产生的感应电流方向相反，则转动过程中感应电动势为E2=2BLv=2BLω0r1
E
感应电流为I 2 = R
2π
转子转动的周期为T = ω0
πB2L28 r2ω
则abcd转一圈产生的热量Q I2RT 1 0 = = R
(3)若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，
求线圈abcd中电流的周期T。 （6分）
2πBLr
正确答案： 线圈abcd中电流的周期为 1
IR
。
1
答案解析： 结合图可知，转子转动 T 电流方向改变，大小不变，若内转子不固定，跟着外转子4
一起转，且abcd中的电流为I，则感应电动势为E′=IR
又有E′=2BLΔv
解得Δv = IR 2BL
1
则电流改变方向的时间为
× 2πr
4 1 BLπr
t 1 = =Δv IR
2BLπr
则电流的周期为T 1 = 2t = 。 IR
13. 如图所示，光滑水平面内存在一有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向如图所示。
一边长为L的正方形单匝导线框位于水平面内，
某时刻导线框以垂直磁场边界的初速度v从磁场左边缘进入磁场。已知导线框的质量为m、电阻为R。
求导线框完全进入磁场的过程中：
（9分）
(1)感应电流的最大值I； （3分）
正确答案： 感应电流的最大值I为
BLv
R ；
答案解析： 线框刚进入磁场时，产生的感应电动势最大为：E=BLv
E
根据闭合电路欧姆定律，可得感应电流：I= R
BLv
则感应电流的最大值为：I= R
(2)加速度的最大值a； （3分）
2 2
正确答案： 加速度的最大值a为 B L v ；
mR
答案解析： 线框受到的安培力为：F=BIL
根据牛顿第二定律可得：F=ma
B2L2解得加速度的最大值为：a= v mR
(3)流过导线截面的电荷量q。 （3分）
2
正确答案： 流过导线截面的电荷量q为 BL
R
。
2
答案解析： 导线框完全进入磁场的过程中，平均电动势为：E = BL Δt
平均电流为：I E = R
流过导线截面的电荷量q为：q=I Δt
2
联立解得流过导线截面的电荷量q为：q= BL 。 R
14. 电动机的动力来源于电流与磁场间的相互作用，其内部工作原理可借助图（a）
所建立的模型来理解：粗糙水平金属导轨宽度L=0.4m,处于竖直向下、
磁感应强度大小B=2.5T的匀强磁场中，质量m=2kg、电阻R=1Ω的金属棒MN置于导轨上，
电源电动势E=10V，不计电源及导轨电阻。接通电源后，MN沿导轨由静止开始运动，
在运动过程中MN始终与导轨保持良好接触，所受阻力大小恒为f=6N，图（b）
1
为金属棒MN的加速度倒数与速度（ a v） 的关系图像，图中右侧虚线为该图像的渐近线。
（16分）
(1)判断导体棒MN的运动方向（回答“水平向左”或“水平向右”）； （2分）
正确答案： 导体棒MN的运动方向水平向右；
答案解析： 根据左手定则可以判断出导体棒MN的运动方向为水平向右
(2)求电源接通瞬间金属棒MN的加速度a0和最终趋近的最大速度vm； （5分）
正确答案： 电源接通瞬间金属棒MN的加速度为2m/s2，最终趋近的最大速度为4m/s；
答案解析： 接通电源瞬间流过MN的电流为I0，则：
I = E 0 R
此时金属棒MN的加速度为a0，由牛顿第二定律得：
BI0L-f=ma0
解得：
a = m s20 2 /
当金属棒MN加速度为零时，达到最大速度vm，此时金属棒MN产生的反电动势为E′，回路电流为I1，则：
E′=BLvm
BI1L-f=0
I E E′1 = R
解得：
vm=4m/s
1
(3)求金属棒MN从静止启动到速度为v1=1m/s的过程中，电源消耗的电能E电。（ a v
图像中速度从0至v1的图像可近似处理为线性关系） （9分）
正确答案： 金属棒MN从静止启动到速度为v1=1m/s的过程中，电源消耗的电能为55J。
答案解析： 设当金属棒MN速度为v1=1m/s时，其加速度为a1，电流为I2，从静止启动到速度为v1所
用时间为t,电路通过电源的电荷量为q,则：
E BLv
I 1 2 = R
由牛顿第二定律得：
BI2L-f=ma1
1
由 a v 图像的面积可知：
t 1 1 1= ×（ a +2 a ）v1 0 1
对金属棒从静止启动到速度为v1=1m/s的过程，由动量定理得：
ΣBiLΔt-ft=mv1-0
q=ΣiΔt
电源消耗的电能为：
E电=Eq
解得：
E电=55J。 10.5导线切割磁感线时的感应电动势
满分：126
班级：________ 姓名：________ 成绩：________
一、单选题（共4小题,共16分）
如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于2L的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m,长均为2L，宽均为L，电阻分别为R和2R。两线框在光滑水平面上以相同初速度v0=并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（ ）
（4分）
A.甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B.甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为1：1
C.乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D.甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4：3
如图，两条固定的光滑平行金属导轨，所在平面与水平面夹角为θ，间距为l,导轨电阻忽略不计，两端各接一个阻值为2R的定值电阻，形成闭合回路；质量为m的金属棒垂直导轨放置，并与导轨接触良好，接入导轨之间的电阻为R；劲度系数为k的两个完全相同的绝缘轻质弹簧与导轨平行，一端固定，另一端均与金属棒中间位置相连，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为；将金属棒移至导轨中间位置时，两弹簧刚好处于原长状态；整个装置处于垂直导轨所在平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。将金属棒从导轨中间位置向上移动距离a后静止释放，金属棒沿导轨向下运动到最远处，用时为t,最远处与导轨中间位置距离为b,弹簧形变始终在弹性限度内。此过程中（ ）
（4分）
A.金属棒所受安培力冲量大小为
B.每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为
C.每个定值电阻产生的热量为
D.金属棒的平均输出功率为
如图所示，足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN与水平面的夹角为θ，间距为l,P、M间接有一定值电阻R，质量为m的金属棒垂直于导轨放置且接触良好，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场中。t=0时刻，金属棒在沿导轨向上的恒力F=3mgsinθ作用下，以初速度v0=沿导轨向下运动，此时金属棒的安培力大小为FA0，电阻R的电功率为P0。已知重力加速度为g,导轨和金属棒电阻不计，若以初速度v0的方向为正方向，则金属棒的速度为v、安培力FA、流过金属棒横截面的电荷量为q、电阻R的电功率P随时间t变化的图像正确的是（ ）
（4分）
A.B.C.D.
如图为某跑步机测速原理示意图。绝缘橡胶带下面固定有间距、长度的两根水平平行金属导轨，导轨间矩形区域内存在竖直向里的匀强磁场，磁感应强度大小。两导轨左侧间接有的电阻，橡胶带上嵌有长为、间距为的平行铜棒，每根铜棒的阻值均为，磁场区中始终仅有一根铜棒与导轨接触良好且垂直。健身者在橡胶带上跑步时带动橡胶带水平向右运动，当橡胶带以某一速度匀速运动时，理想电压表示数为，则（ ）
（4分）
A.点的电势比C点的电势低 B.铜棒切割磁感线产生的电动势为3.5V
C.橡胶带匀速运动的速度大小
D.每根铜棒每次通过磁场区域通过的电荷量为
二、多选题（共4小题,共24分）
如图，关于x轴对称的光滑导轨固定在水平面内，导轨形状为抛物线，顶点位于O点。一足够长的金属杆初始位置与y轴重合，金属杆的质量为m,单位长度的电阻为r0。整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现给金属杆一沿x轴正方向的初速度v0，金属杆运动过程中始终与y轴平行，且与电阻不计的导轨接触良好。下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y轴负方向
B.金属杆可以在沿x轴正方向的恒力作用下做匀速直线运动
C.金属杆停止运动时，与导轨围成的面积为
D.若金属杆的初速度减半，则金属杆停止运动时经过的距离小于原来的一半
如图所示，顶角为θ=37°的光滑金属导轨AOC水平固定，处在方向与导轨平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与OC垂直的导体棒MN（足够长）在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨向右滑动，t=0时，导体棒位于O处，t1时刻撤掉外力。已知导轨与导体棒单位长度的电阻均为r,导体棒质量为m,与导轨接触良好，sin37°=0.6，则（ ）
（6分）
A.0～t1时间内，流过导体棒MN的电流大小不变
B.0～t1时间内，流过导体棒MN的电荷量为
C.0～t1时间内，回路产生的焦耳热为
D.从撤掉外力到导体棒停止运动的过程，穿过回路的磁通量增加
如图所示，间距为L0的两平行长直金属导轨水平放置，导轨所在空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长度均为L0的金属杆ab、cd垂直导轨放置，初始时两金属杆相距为L0，金属杆ab沿导轨向右运动的速度大小为v0，金属杆cd速度为零且受到平行导轨向右、大小为F的恒力作用。已知金属杆与导轨接触良好且整个过程中始终与导轨垂直，在金属杆ab、cd的整个运动过程中，两金属杆间的最小距离为L1，重力加速度大小为g,两金属杆的质量均为m,电阻均为R，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=，金属导轨电阻不计，下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.金属杆cd运动过程中的最大加速度为
B.从金属杆cd开始运动到两金属杆间距离最小的时间为
C.金属杆ab运动过程中的最小速度为
D.金属杆cd的最终速度为
如图甲所示，间距L=0.4m的金属轨道与水平面成θ=37°角放置，上端接定值电阻R1=1Ω，下端接定值电阻R2=4Ω，其间分布着两个有界匀强磁场区域：区域Ⅰ内的磁场垂直轨道平面向下，磁感应强度B1=3T；区域Ⅱ内的磁场平行轨道向下，磁感应强度B2=2T。金属棒MN的质量m=0.12kg,接入电路的电阻r=4Ω，金属棒与轨道间的动摩擦因数μ=0.5。现从区域Ⅰ的上方某处沿轨道静止释放金属棒，当金属棒MN刚到达区域Ⅰ的下边界时，B1开始均匀变化。整个过程中金属棒的速度随下滑时间的变化情况如图乙所示，图像中除ab段外均为直线，Oa段与cd段平行。金属棒在下滑过程中始终与磁场边界平行，且与轨道间接触良好，轨道电阻及空气阻力忽略不计，两磁场互不影响，sin37°=0.6，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.图乙中c点对应的速度v2大小为1m/s
B.区域Ⅰ的宽度为0.8m
C.金属棒穿过区域Ⅰ过程，回路中产生的焦耳热为0.192J
D.B1均匀变化时的变化率为11.25T/s
三、计算题（组）（共6小题,共86分）
如图所示，光滑水平面上有一个长为L、宽为d的长方体空绝缘箱，其四周紧固一电阻为R的水平矩形导线框，箱子与导线框的总质量为M。与箱子右侧壁平行的磁场边界平面如截面图中虚线PQ所示，边界右侧存在范围足够大的匀强磁场，其磁感应强度大小为B、方向竖直向下。t=0时刻，箱子在水平向右的恒力F（大小未知）作用下由静止开始做匀加速直线运动，这时箱子左侧壁上距离箱底h处、质量为m的木块（视为质点）恰好能与箱子保持相对静止。箱子右侧壁进入磁场瞬间，木块与箱子分离；箱子完全进入磁场前某时刻，木块落到箱子底部，且箱子与木块均不反弹（木块下落过程中与箱子侧壁无碰撞）；木块落到箱子底部时即撤去F。运动过程中，箱子右侧壁始终与磁场边界平行，忽略箱壁厚度、箱子形变、导线粗细及空气阻力。木块与箱子内壁间的动摩擦因数为μ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（15分）
(1) 求F的大小；（5分）
(2) 求t=0时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离；（5分）
(3) 若t=0时刻，箱子右侧壁距磁场边界的距离为s（s大于（2）问中最小距离），求最终木块与箱子的速度大小。（5分）
如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框abcd,置于始终竖直向下的匀强磁场中，ad边与磁场边界平行，ab边中点位于磁场边界。导体框的质量m=1kg、电阻R=0.5Ω、边长L=1m。磁感应强度B随时间t连续变化，0～1s内B-t图像如图（b）所示。导体框中的感应电流I与时间t关系图像如图（c）所示，其中0～1s内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方向。
（12分）
(1) 求t=0.5s时ad边受到的安培力大小F。（4分）
(2) 在图（b）中画出1～2s内B-t图像（无需写出计算过程）。（4分）
(3) 从t=2s开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度v0=0.1m/s,求ad边离开磁场时的速度大小v1。（4分）
如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m,电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。求：
（18分）
(1) 第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率；（6分）
(2) 第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量；（6分）
(3) 从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。（6分）
圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、外转子可绕中心轴OO′转动。外转子半径为r1，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为r2，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，线圈处的磁感应强度大小均为B。外转子始终以角速度ω0匀速转动，某时刻线圈abcd的直边ab与cd处的磁场方向如图乙所示。
（16分）
(1) 若内转子固定，求ab边产生感应电动势的大小E；（5分）
(2) 若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热Q；（5分）
(3) 若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd中电流的周期T。（6分）
如图所示，光滑水平面内存在一有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向如图所示。一边长为L的正方形单匝导线框位于水平面内，某时刻导线框以垂直磁场边界的初速度v从磁场左边缘进入磁场。已知导线框的质量为m、电阻为R。求导线框完全进入磁场的过程中：
（9分）
(1) 感应电流的最大值I；（3分）
(2) 加速度的最大值a；（3分）
(3) 流过导线截面的电荷量q。（3分）
电动机的动力来源于电流与磁场间的相互作用，其内部工作原理可借助图（a）所建立的模型来理解：粗糙水平金属导轨宽度L=0.4m,处于竖直向下、磁感应强度大小B=2.5T的匀强磁场中，质量m=2kg、电阻R=1Ω的金属棒MN置于导轨上，电源电动势E=10V，不计电源及导轨电阻。接通电源后，MN沿导轨由静止开始运动，在运动过程中MN始终与导轨保持良好接触，所受阻力大小恒为f=6N，图（b）为金属棒MN的加速度倒数与速度的关系图像，图中右侧虚线为该图像的渐近线。
（16分）
(1) 判断导体棒MN的运动方向（回答“水平向左”或“水平向右”）；（2分）
(2) 求电源接通瞬间金属棒MN的加速度a0和最终趋近的最大速度vm；（5分）
(3) 求金属棒MN从静止启动到速度为v1=1m/s的过程中，电源消耗的电能E电。图像中速度从0至v1的图像可近似处理为线性关系）（9分）
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第2页10.5导线切割磁感线时的感应电动势
满分：126
班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、单选题（共4小题,共16分）
1. 如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于2L的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、
乙两个合金导线框的质量均为m,长均为2L，宽均为L，电阻分别为R和2R。
2 3
两线框在光滑水平面上以相同初速度v0=
4B L
并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则 mR
（ ）
（4分）
A.甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B.甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为1：1
C.乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D.甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4：3
2. 如图，两条固定的光滑平行金属导轨，所在平面与水平面夹角为θ，间距为l,导轨电阻忽略不计，
两端各接一个阻值为2R的定值电阻，形成闭合回路；质量为m的金属棒垂直导轨放置，
并与导轨接触良好，接入导轨之间的电阻为R；
劲度系数为k的两个完全相同的绝缘轻质弹簧与导轨平行，一端固定，另一端均与金属棒中间位置相连，
1 2
弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep = kx 2 ；将金属棒移至导轨中间位置时，
两弹簧刚好处于原长状态；整个装置处于垂直导轨所在平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。
将金属棒从导轨中间位置向上移动距离a后静止释放，金属棒沿导轨向下运动到最远处，用时为t,
最远处与导轨中间位置距离为b,弹簧形变始终在弹性限度内。此过程中（ ）
（4分）
2 2
A.金属棒所受安培力冲量大小为 B l （a + b）
R
2 2
B.每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为 B l （a + b） mgt sin θ
4R + 2
2 2
C.每个定值电阻产生的热量为 k（a b ） mg（a + b） sin θ
+ 8 4
2 2
D.金属棒的平均输出功率为 k（a b ）+ mg（a + b） sin θ
2t
3. 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN与水平面的夹角为θ，间距为l,P、
M间接有一定值电阻R，质量为m的金属棒垂直于导轨放置且接触良好，
整个装置处于垂直导轨平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场中。t=0时刻，
mgR sin θ
金属棒在沿导轨向上的恒力F=3mgsinθ作用下，以初速度v = 0 2 2 沿导轨向下运动，B l
此时金属棒的安培力大小为FA0，电阻R的电功率为P0。已知重力加速度为g,导轨和金属棒电阻不计，
若以初速度v0的方向为正方向，则金属棒的速度为v、安培力FA、流过金属棒横截面的电荷量为q、
电阻R的电功率P随时间t变化的图像正确的是（ ）
（4分）
A.
B.
C.
D.
4. 如图为某跑步机测速原理示意图。绝缘橡胶带下面固定有间距L = 0.5m 、长度d = 0.2m
的两根水平平行金属导轨，导轨间矩形区域内存在竖直向里的匀强磁场，磁感应强度大小B = 1.5T 。
两导轨左侧间接有R = 0.5Ω 的电阻，橡胶带上嵌有长为L 、间距为d 的平行铜棒，每根铜棒的阻值均为
r = 0.1Ω ，磁场区中始终仅有一根铜棒与导轨接触良好且垂直。
健身者在橡胶带上跑步时带动橡胶带水平向右运动，当橡胶带以某一速度匀速运动时，
理想电压表示数为2.5V ，则（ ）
（4分）
A.A 点的电势比C点的电势低
B.铜棒切割磁感线产生的电动势为3.5V
C.橡胶带匀速运动的速度大小v = 5m/s
D.每根铜棒每次通过磁场区域通过R 的电荷量为0.25C
二、多选题（共4小题,共24分）
5. 如图，关于x轴对称的光滑导轨固定在水平面内，导轨形状为抛物线，顶点位于O点。
一足够长的金属杆初始位置与y轴重合，金属杆的质量为m,单位长度的电阻为r0。
整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现给金属杆一沿x轴正方向的初速度v0，
金属杆运动过程中始终与y轴平行，且与电阻不计的导轨接触良好。下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.金属杆沿x轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿y轴负方向
B.金属杆可以在沿x轴正方向的恒力作用下做匀速直线运动
mv r
0 0
C.金属杆停止运动时，与导轨围成的面积为 2 B
D.若金属杆的初速度减半，则金属杆停止运动时经过的距离小于原来的一半
6. 如图所示，顶角为θ=37°的光滑金属导轨AOC水平固定，处在方向与导轨平面垂直、
磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与OC垂直的导体棒MN（足够长）
在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨向右滑动，t=0时，导体棒位于O处，t1时刻撤掉外力。
已知导轨与导体棒单位长度的电阻均为r,导体棒质量为m,与导轨接触良好，sin37°=0.6，则（ ）
（6分）
A.0～t1时间内，流过导体棒MN的电流大小不变
3Bv t
B.0～t1时间内，流过导体棒MN的电荷量为
0 1
r 4
2 3 2
3B v t
C.0～t1时间内，回路产生的焦耳热为 0 1
r 32
mrv
D.从撤掉外力到导体棒停止运动的过程，穿过回路的磁通量增加 0
B
7. 如图所示，间距为L0的两平行长直金属导轨水平放置，导轨所在空间存在方向竖直向下、
磁感应强度大小为B的匀强磁场。长度均为L0的金属杆ab、cd垂直导轨放置，初始时两金属杆相距为L0，
金属杆ab沿导轨向右运动的速度大小为v0，金属杆cd速度为零且受到平行导轨向右、
大小为F的恒力作用。已知金属杆与导轨接触良好且整个过程中始终与导轨垂直，在金属杆ab、
cd的整个运动过程中，两金属杆间的最小距离为L1，重力加速度大小为g,两金属杆的质量均为m,
F
电阻均为R，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ= mg 2 ，金属导轨电阻不计，下列说法正确的是
（ ）
（6分）
B2L2v
A.金属杆cd运动过程中的最大加速度为 F 0 0
2m + 2mR
mv B2L2(L L )
B.从金属杆cd开始运动到两金属杆间距离最小的时间为 0 0 0 1
F + FR
v
C.金属杆ab运动过程中的最小速度为 0
2
FR v0
D.金属杆cd的最终速度为 +2 2
2B L 20
8. 如图甲所示，间距L=0.4m的金属轨道与水平面成θ=37°角放置，上端接定值电阻R1=1Ω，
下端接定值电阻R2=4Ω，其间分布着两个有界匀强磁场区域：区域Ⅰ内的磁场垂直轨道平面向下，
磁感应强度B1=3T；区域Ⅱ内的磁场平行轨道向下，磁感应强度B2=2T。金属棒MN的质量m=0.12kg,
接入电路的电阻r=4Ω，金属棒与轨道间的动摩擦因数μ=0.5。
现从区域Ⅰ的上方某处沿轨道静止释放金属棒，当金属棒MN刚到达区域Ⅰ的下边界时，
B1开始均匀变化。整个过程中金属棒的速度随下滑时间的变化情况如图乙所示，
图像中除ab段外均为直线，Oa段与cd段平行。金属棒在下滑过程中始终与磁场边界平行，
且与轨道间接触良好，轨道电阻及空气阻力忽略不计，两磁场互不影响，sin37°=0.6，g取10m/s2。
下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.图乙中c点对应的速度v2大小为1m/s
B.区域Ⅰ的宽度为0.8m
C.金属棒穿过区域Ⅰ过程，回路中产生的焦耳热为0.192J
D.B1均匀变化时的变化率为11.25T/s
三、计算题（组）（共6小题,共86分）
9. 如图所示，光滑水平面上有一个长为L、宽为d的长方体空绝缘箱，
其四周紧固一电阻为R的水平矩形导线框，箱子与导线框的总质量为M。
与箱子右侧壁平行的磁场边界平面如截面图中虚线PQ所示，边界右侧存在范围足够大的匀强磁场，
其磁感应强度大小为B、方向竖直向下。t=0时刻，箱子在水平向右的恒力F（大小未知）
作用下由静止开始做匀加速直线运动，这时箱子左侧壁上距离箱底h处、质量为m的木块（视为质点）
恰好能与箱子保持相对静止。箱子右侧壁进入磁场瞬间，木块与箱子分离；
箱子完全进入磁场前某时刻，木块落到箱子底部，且箱子与木块均不反弹
（木块下落过程中与箱子侧壁无碰撞）；木块落到箱子底部时即撤去F。运动过程中，
箱子右侧壁始终与磁场边界平行，忽略箱壁厚度、箱子形变、导线粗细及空气阻力。
木块与箱子内壁间的动摩擦因数为μ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（15分）
(1)求F的大小； （5分）
(2)求t=0时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离； （5分）
(3)若t=0时刻，箱子右侧壁距磁场边界的距离为s（s大于（2）问中最小距离），
求最终木块与箱子的速度大小。 （5分）
10. 如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框abcd,置于始终竖直向下的匀强磁场中，
ad边与磁场边界平行，ab边中点位于磁场边界。导体框的质量m=1kg、电阻R=0.5Ω、边长L=1m。
磁感应强度B随时间t连续变化，0～1s内B-t图像如图（b）所示。
导体框中的感应电流I与时间t关系图像如图（c）所示，其中0～1s内的图像未画出，
规定顺时针方向为电流正方向。
（12分）
(1)求t=0.5s时ad边受到的安培力大小F。 （4分）
(2)在图（b）中画出1～2s内B-t图像（无需写出计算过程）。 （4分）
(3)从t=2s开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，
给导体框一个向右的初速度v0=0.1m/s,求ad边离开磁场时的速度大小v1。 （4分）
11. 如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。
水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；
从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，
直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m,电阻为R，长度恰好等于导轨间距，
与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，
忽略回路中的电流对原磁场的影响。求：
（18分）
(1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； （6分）
(2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； （6分）
(3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，
导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 （6分）
12. 圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、
外转子可绕中心轴OO′转动。外转子半径为r1，由四个相同的单匝线圈紧密围成，
每个线圈的电阻均为R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为r2，
由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，线圈处的磁感应强度大小均为B。
外转子始终以角速度ω0匀速转动，某时刻线圈abcd的直边ab与cd处的磁场方向如图乙所示。
（16分）
(1)若内转子固定，求ab边产生感应电动势的大小E； （5分）
(2)若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热Q； （5分）
(3)若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，
求线圈abcd中电流的周期T。 （6分）
13. 如图所示，光滑水平面内存在一有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向如图所示。
一边长为L的正方形单匝导线框位于水平面内，
某时刻导线框以垂直磁场边界的初速度v从磁场左边缘进入磁场。已知导线框的质量为m、电阻为R。
求导线框完全进入磁场的过程中：
（9分）
(1)感应电流的最大值I； （3分）
(2)加速度的最大值a； （3分）
(3)流过导线截面的电荷量q。 （3分）
14. 电动机的动力来源于电流与磁场间的相互作用，其内部工作原理可借助图（a）
所建立的模型来理解：粗糙水平金属导轨宽度L=0.4m,处于竖直向下、
磁感应强度大小B=2.5T的匀强磁场中，质量m=2kg、电阻R=1Ω的金属棒MN置于导轨上，
电源电动势E=10V，不计电源及导轨电阻。接通电源后，MN沿导轨由静止开始运动，
在运动过程中MN始终与导轨保持良好接触，所受阻力大小恒为f=6N，图（b）
1
为金属棒MN的加速度倒数与速度（ a v） 的关系图像，图中右侧虚线为该图像的渐近线。
（16分）
(1)判断导体棒MN的运动方向（回答“水平向左”或“水平向右”）； （2分）
(2)求电源接通瞬间金属棒MN的加速度a0和最终趋近的最大速度vm； （5分）
1
(3)求金属棒MN从静止启动到速度为v1=1m/s的过程中，电源消耗的电能E电。（ a v
图像中速度从0至v1的图像可近似处理为线性关系） （9分）
