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2025-2026学年直线和圆的方程单元测试卷（培优卷）
试卷分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (36.8%)
2 容易 (52.6%)
3 困难 (10.5%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 直线与圆的位置关系 27.0(18.0%) 7,8,10,11,12
2 关于点、直线对称的圆的方程 5.0(3.3%) 13
3 平面向量的数量积运算 6.0(4.0%) 11
4 相交弦所在直线的方程 17.0(11.3%) 19
5 直线与圆相交的性质 36.0(24.0%) 11,15,18
6 平面内点到直线的距离公式 35.0(23.3%) 8,15,19
7 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 5.0(3.3%) 1
8 基本不等式在最值问题中的应用 5.0(3.3%) 7
9 用斜率判定两直线垂直 15.0(10.0%) 16
10 恒过定点的直线 15.0(10.0%) 17
11 圆的标准方程 28.0(18.7%) 2,4,14,15
12 与直线关于点、直线对称的直线方程 5.0(3.3%) 6
13 两圆的公切线条数及方程的确定 5.0(3.3%) 3
14 斜率的计算公式 17.0(11.3%) 19
15 点与圆的位置关系 5.0(3.3%) 6
16 直线的点斜式方程 11.0(7.3%) 10,13
17 平面内中点坐标公式 15.0(10.0%) 16
18 方程组解的个数与两直线的位置关系 6.0(4.0%) 9
19 轨迹方程 17.0(11.3%) 18
20 两条直线垂直的判定 5.0(3.3%) 5
21 直线的斜截式方程 15.0(10.0%) 16
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2025-2026学年直线和圆的方程单元测试卷（培优卷）
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，4 B．，4 C．，2 D．，2
3．圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．4
4．圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知点关于直线对称的点在圆上，则（ ）
A．4 B．5 C．-4 D．-5
7．若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
8．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，3） C． D．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。)
9．设直线：，：，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与不重合
B．当时，直线与相交
C．当时，
D．当时，
10．已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆相离
B．当最大时，
C．点到直线的距离最大值为
D．点到直线的距离最小值为
11．已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（ ）
A．直线l的斜率k的取值范围是
B．点M的轨迹为圆的一部分
C．为定值
D．为定值
三、填空题(本题共3小题；每小题5分，共15分)
12．已知直线与圆有且仅有一个公共点，则 .
13．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为 ．
14．已知，，，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为 ．
四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15．（13分）已知圆，直线：.
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程.
16．（15分）的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
17．（15分）已知直线．
（1）为何值时，点到直线的距离最大 并求出最大值；
（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．
18．（17分）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点．
（1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；
（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；
（3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．
19．（17分）已知直线 和圆 ，过直线上的一点 作两条直线 ， 与圆C相切于A，B两点.
（1）当P点坐标为 时，求以 为直径的圆的方程，并求直线 的方程；
（2）设切线 与 的斜率分别为 ， ，且 时，求点P的坐标.
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2025-2026学年直线和圆的方程单元测试卷（培优卷）答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：将直线方程变形为斜截式，所以直线的斜率，
已知倾斜角为，根据直线倾斜角与斜率的关系，斜率，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】本题考查直线倾斜角与斜率的关系，先将直线方程化为斜截式求斜率，再结合倾斜角的正切值等于斜率来计算的值.
2．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆M：，
所以，圆的圆心坐标为，半径为.
故答案为：D.
【分析】利用已知圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径长.
3．【答案】A
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：圆：①，所以，.
圆：②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的方程为①②：，
圆的圆心到公共弦的距离为，
即公共弦长为.
故答案为：A.
【分析】本题考查两圆公共弦长的计算，先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用圆的弦长公式（弦长 = ，为圆半径，为圆心到弦的距离 ）求解.
4．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆心为且与轴相切，
所以半径，
则圆的方程为.
故答案为：D.
【分析】先利用圆心为且与轴相切得到圆的半径，再利用圆的标准方程得到圆的方程.
5．【答案】A
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】因为直线 与直线 互相垂直，
所以 ，
所以 或 .
因为“ ”可以推出“ 或 ”，“ 或 ”不能推出“ ”，
所以“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分非必要条件.
故答案为：A
【分析】利用两条直线相互垂直的条件求出 或 ，再根据充分条件、必要条件的定义，即可求出答案。
6．【答案】B
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设，则，解得，所以
代入圆C方程可得，解得，
故选：B.
【分析】设，利用直线 与PQ垂直，以及PQ的中点在直线 ，列式求得点的对称点Q，再代入圆C的方程中进而求得m的值即可.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，直线过圆心，
则，
由，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意易知直线过圆心，从而得出，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
8．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆心到直线的距离，又 圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 满足，即，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，当圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个时，，通过计算求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】方程组解的个数与两直线的位置关系
【解析】【解答】对于A，时，若，，且时，
两直线：，：重合，A不符合题意；
对于B，联立 ，可得，
当时，，此时方程组有唯一一组解，
故直线与相交，B符合题意；
对于C，时，若，则无解，
此时；
若，则有无数多组解，
此时重合，C不符合题意；
对于D，若，则由可得，
即两直线斜率之积等于，故；
若，则可得，此时满足，
直线：，：，
此时，
故当时，，D符合题意，
故答案为：
【分析】 举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断B， C；讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】直线的点斜式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知直线，即，
圆的圆心为，半径为，
则圆心到的距离为，即直线与圆相交，故A错误；
要使最大，只需与圆相切，则，故B正确；
由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，故C正确，D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，写出直线方程，根据圆心到该直线距离判定直线与圆位置，数形结合判断最大时的位置，逐项判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、设，，直线l的方程为．
由得，
所以，
解得，故A正确；
B、由，可得，所以点的轨迹是以为直径的圆的一部分，故B正确；
C、由，可得，
又，故C错误；
D、由，
得，，
，
又，，
所以
，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】由题意，利用直线和圆相交求斜率范围，再利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系判断即可.
12．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线与圆有且仅有一个公共点，
所以，圆心为，半径为，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】先把直线与圆有且仅有一个公共点转化为点到直线距离等于半径，从而得出圆的半径r的值.
13．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：易知圆的标准方程为，圆心，
圆的圆心，
由题意可知：直线为线段的垂直平分线，
因为，线段的中点，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
【分析】化圆的方程为标准方程，由题意可知直线为线段的垂直平分线，确定线段的中点和斜率，利用点斜式求直线的方程即可.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：①、当过点A的直线与直线BC平行时，围成的四边形是等腰梯形，外接圆就是过，，的圆，
设该外接圆的圆心坐标为，则，，
所以半径，
则圆的标准方程为；
②、当过点A的直线与BC垂直时，外接圆就是以线段AC的中点为圆心，AC为直径的圆，
其圆心坐标为，半径，
则圆的标准方程为．
故答案为：.（答案不唯一）
【分析】根据四边形外接圆的几何性质，分情况求解，当过点A的直线与直线BC平行时可满足，当过点A的直线与BC垂直时，从而得对应的圆的方程.
15．【答案】（1）解：圆的标准方程为，易知圆心为，半径，
若直线与圆相切，则，解得；
（2）解：设圆心到直线的距离为，则，即，解得
即，解得或，
则直线的方程为或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，求得圆心和半径，根据圆心到直线的距离等于半径列式求解即可；
（2）设圆心到直线的距离为，由弦长公式求解即可.
（1）根据题意，圆，
则圆的标准方程为，
其圆心为，半径，
若直线与圆相切，则有
解得.
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
即，解得
则有，
解得或，
则直线的方程为或.
16．【答案】解：（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为.
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为.
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的斜截式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和中点坐标公式，从而求得BC的中点坐标，再结合点A的坐标，则由两点求斜率公式和点斜式方程得出边BC上的中线所在的直线的方程.
（2）利用两点求斜率公式得出直线BC的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求得其上的高所在直线的斜率，再利用高线过点，再由两点求斜率公式和点斜式方程得出边BC上的高所在直线的方程.
（3）由（1）知边BC的中点坐标为，由（2）知高的斜率为，再结合点斜式方程得出边BC的垂直平分线的方程.
17．【答案】（1）解：已知直线，整理得，
由，故直线过定点，
点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值，
所以为最大值．
∵，
∴的斜率为，得，解得；
（2）解：若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，
则设直线为，，则，，
．
（当且仅当时，取“=”），
故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0.
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【分析】 (1)由题设求出直线l过定点P(-2，-3)，则Q与定点P的连线的距离就是所求最大值，根据垂直的关系及 ，求参数m，进而得最大值；
(2) 设直线为，，并求出A， B坐标，应用三角形面积公式，基本不等式求最小值，求出 面积的最小值及此时直线的方程 .
18．【答案】（1）解：根据题意，，．
设，，则，，
由于，所以，
得
将其代入，得，
故点的轨迹方程为．
（2）解：根据垂径定理可得．
①当斜率不存在时，直线的方程为：，
直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意；
②当斜率存在时，设直线，
圆心到直线的距离为，解得．
直线的方程为或．
（3）证明：设，则，
直线方程是，令，得，
直线方程是，令得，
所以
．
综上为定值32．
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）先设，，再利用可得，把点的坐标代入圆的方程化简即可得求解；
（2）分直线的斜率存在和不存两种情况讨论，求出，再结合圆的弦长公式即可求解；
（3）先设直线的方程得到点的坐标，代入计算化简即可证明.
（1）根据题意，，．
设，，则，，
由于，所以，
得
将其代入，得，
故点的轨迹方程为．
（2）根据垂径定理可得．
①当斜率不存在时，直线的方程为：，
直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意；
②当斜率存在时，设直线，
圆心到直线的距离为，解得．
直线的方程为或．
（3）设，则，
直线方程是，令，得，
直线方程是，令得，
所以
．
即为定值．
19．【答案】（1）解：圆 ，可化为 ，
中点为 ， ，
∴以 为直径的圆的方程为圆 ，
∵ ， ，
∴P，A，B，C四点共圆E，
∴直线 的方程是两圆公共弦所在直线方程，
两方程相减可得直线 的方程为 ；
（2）解：设过P的直线l方程为 ，
由于 与直线l相切，得到 ，
整理得到： ，
∴
，代入，可得 ，
∴ 或 ，∴点P坐标 或 .
【知识点】斜率的计算公式；平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程，从而求出圆心C的坐标和半径长，再利用已知的点P的坐标，结合中点坐标公式，从而求出PC的中点坐标，进而求出以 为直径的圆的圆心坐标，再利用两点距离公式求出以 为直径的圆的直径，进而求出圆的半径，进而求出以 为直径的圆的标准方程，∵ ， ，∴P，A，B，C四点共圆E，∴直线 的方程是两圆公共弦所在直线方程，再将两圆方程联立作差，从而求出直线 的方程。
（2） 设过P的直线l的点斜式方程为 ， 再利用直线与圆相切的位置关系的判断方法结合点到直线的距离公式，从而结合已知条件和代入法，从而解一元二次方程求出点P坐标。
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