3.1.1 函数及其表示方法
第一课时 函数的概念
1.已知函数y＝f（x），则函数图象与直线x＝a的交点（ ）
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.至多有一个
2.f（x）＝（x－1）0＋ 的定义域是（ ）
A.（－1，＋∞） B.（－∞，－1）
C.R D.（－1，1）∪（1，＋∞）
3.函数y＝x2－4x＋6，x∈[1，5）的值域是（ ）
A.[2，11） B.[3，11）
C.[1，11） D.[2，11]
4.已知函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，则函数g（x）＝的定义域是（ ）
A.（－∞，－2）∪（－2，3]
B.[－8，－2）∪（－2，1]
C.
D.∪
5.（多选）如图是函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.f（0）＝－2
B.f（x）的定义域为[－3，2]
C.f（x）的值域为[－2，2]
D.若f（x）＝0，则x＝或2
6.已知函数f（x）与g（x）的定义域相同，值域也相同，但不是同一个函数，则满足上述条件的一组f（x）与g（x）的解析式可以为 .
7.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为 .
8.已知函数f（x＋1）的定义域为（－1，1），则f（｜x｜）的定义域为 .
9.已知函数f（x）＝＋.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求f（－2）＋f的值；
（3）当a＞6时，求f（a＋1）的值.
10.函数f（x）＝的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（－∞，－1]
C.[1，＋∞） D.（－∞，－1）
11.已知f（x）＝＋，则函数g（x）＝的定义域是（ ）
A.[－2，1）∪（1，2] B.[0，1）∪（1，4]
C.[0，1）∪（1，2] D.[－1，1）∪（1，3]
12.已知函数f（x）＝＋的定义域是A，函数g（x）＝x2＋2x在[m，1]上的值域是[－1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B.
（1）分别求出定义域A与集合B；
（2）设集合C＝{x｜x＜2a－6或x＞a}.若B∩C＝ ，求实数a的取值范围.
13.已知函数f（x）＝，集合A为函数f（x）的定义域，集合B为函数f（x）的值域，若定义A－B＝{x｜x∈A，且x B}，A B＝（A－B）∪（B－A），则A B＝ .
14.对于函数f（x）和g（x），记函数f（x）的定义域为A，函数g（x）的定义域为B，若B A，则称函数g（x）是函数f（x）的好函数，否则，称函数g（x）不是函数f（x）的好函数.现已知函数h（x）的定义域为（0，＋∞）.
（1）若函数φ（x）＝h（2x－1），判断函数φ（x）是不是函数h（x）的好函数；
（2）若函数u（x）＝h（－x2－ax＋a＋1），且函数u（x）是函数h（x）的好函数，求实数a的取值范围.
第一课时 函数的概念
1.D 根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x都有唯一的函数值与之对应，故选D.
2.D 要使函数f（x）有意义，
需满足且x≠1，
∴定义域为（－1，1）∪（1，＋∞）.
3.A f（x）＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2，∵x∈[1，5），且函数f（x）的对称轴是直线x＝2，∴函数f（x）的值域是[2，11）.故选A.
4.D 题意得：－8≤2x＋1≤1，解得－≤x≤0，由x＋2≠0，解得x≠－2，故函数的定义域是∪.故选D.
5.ABD 由图象知f（0）＝－2正确，A对，函数f（x）的定义域为[－3，2]正确，B对，函数f（x）的最小值为－3，即函数f（x）的值域为[－3，2]，C错，若f（x）＝0，则x＝或2，D对.故选A、B、D.
6.f（x）＝x，g（x）＝－x，x∈R（答案不唯一）
解析：结合一次函数的性质可知，f（x）＝x，g（x）＝－x，两个函数的定义域和值域都是R，但是对应关系不同，所以两个函数不是同一个函数.
7.{－1，1，3，5，7} 解析：∵x＝1，2，3，4，5，∴f（x）＝2x－3＝－1，1，3，5，7.
∴f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.
8.（－2，0）∪（0，2） 解析：依题意函数f（x＋1）的定义域为（－1，1），－1＜x＜1 0＜x＋1＜2，所以0＜｜x｜＜2，解得－2＜x＜0或0＜x＜2，所以f（｜x｜）的定义域为（－2，0）∪（0，2）.
9.解：（1）若使函数有意义，需解得x≤－2或x≥2且x≠7，
故函数f（x）的定义域为（－∞，－2]∪[2，7）∪（7，＋∞）.
（2）∵f（－2）＝－，f＝－＝，
∴f（－2）＋f＝－＋＝.
（3）∵a＞6，∴f（a＋1）有意义，
∴f（a＋1）＝＋.
10.B f（x）的定义域是R，则－mx2－2x＋1≥0恒成立，即mx2＋2x－1≤0恒成立，则解得m≤－1，所以实数m的取值范围为（－∞，－1].故选B.
11.A ∵f（x）＝＋，∴∴－1≤x≤3，∴f（x）的定义域为x∈[－1，3].又∵g（x）＝，∴∴－2≤x≤2且x≠1.∴g（x）＝的定义域是[－2，1）∪（1，2].故选A.
12.解：（1）由题意得∴－1≤x＜2，
∴A＝[－1，2），
∵g（x）＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，∴当x＝－1时，g（x）的最小值为－1，
∵函数g（x）在[m，1]的值域为[－1，3]，∴－3≤m≤－1，∴B＝[－3，－1].
（2）∵B∩C＝ ，∴∴－1≤a≤，
∴a的取值范围为.
13.∪ 解析：要使函数f（x）＝有意义，则1－4x2≥0，解得－≤x≤，
所以A＝，函数f（x）＝的值域B＝[0，1]，
A－B＝{x｜x∈A，且x B}＝，B－A＝{x｜x∈B，且x A}＝.
A B＝（A－B）∪（B－A）＝∪＝∪.
14.解：（1）由题设知：2x－1＞0，解得x＞，
∴函数φ（x）的定义域为，又 （0，＋∞），
∴函数φ（x）是函数h（x）的好函数.
（2）记函数u（x）的定义域为M，则M＝{x｜－x2－ax＋a＋1＞0}且M （0，＋∞），
由－x2－ax＋a＋1＞0得x2＋ax－a－1＜0，即（x－1）·（x＋a＋1）＜0，
由函数的定义知：M为非空数集，故a＋1≠－1，即a≠－2.
当a＜－2时，M＝（1，－a－1），显然满足M （0，＋∞）；
当a＞－2时，M＝（－a－1，1），又M （0，＋∞），则－a－1≥0，解得a≤－1，故－2＜a≤－1.
综上，实数a的取值范围为（－∞，－2）∪（－2，－1].
2 / 23.1.1 函数及其表示方法
第一课时 函数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算
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【问题】 你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？
知识点一 函数的相关概念
定义 给定两个 A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的 实数x，在集合B中都有 确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个 ，记作y＝f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三 要 素 对应关系 y＝f（x），x∈A
定义域 自变量x的取值的范围（即数集A）
值域 所有函数值组成的集合{y｜y＝f（x），x∈A}
提醒 （1）给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值的集合；
（2）函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.
【想一想】
1.有同学认为“y＝f（x）”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
2.f（x）与f（a）（a为x定义域内的一个定值）有何区别与联系？
知识点二 同一个函数
如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
【想一想】
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
1.下图中不能表示函数关系的是（ ）
2.已知函数f（x）＝，那么f（－1）＝（ ）
A.－2 B.－1
C.－ D.2
3.给出下列四组函数，其中表示同一个函数的是 （填序号）.
①f（x）＝x，g（x）＝；
②f（x）＝2x＋1，g（x）＝2x－1；
③f（x）＝x，g（x）＝；
④f（x）＝x2，f（x－1）＝x2.
题型一 函数关系的判断
【例1】 （1）下列图形能表示函数y＝f（x）的图象的是（ ）
（2）判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数：
①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝；
②A＝{1，2，3}，B＝R，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应法则如图所示：
尝试解答
通性通法
1.判断一个对应是否是函数的方法
2.根据图形判断对应是否为函数的步骤
（1）任取一条垂直于x轴的直线l；
（2）在定义域内平行移动直线l；
（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
【跟踪训练】
1.设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.（多选）下列对应关系f是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A.A＝B＝R，f为“加1”
B.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f为“求平方”
C.A＝B＝R，f为“求平方根”
D.A＝Z，B＝Q，f为“求倒数”
题型二 求函数的定义域
【例2】 （链接教科书第91页例1）求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝2＋；
（2）f（x）＝·；
（3）f（x）＝－.
尝试解答
通性通法
求函数定义域的常用方法
（1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零；
（2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
（3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
（4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
（5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A.（－∞，2） B.（－∞，2]
C.（－∞，1）∪（1，2） D.（－∞，1）∪（1，2]
2.函数y＝的定义域是 .
题型三 求函数值和值域
【例3】 （链接教科书第92页例3）（1）已知f（x）＝（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R），则f（2）＝ ，f（g（2））＝ .
（2）求下列函数的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3）；
③y＝；
④y＝2x－.
尝试解答
通性通法
1.函数求值的方法
（1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值；
（2）求f（g（a））的值时应遵循由里往外的原则.
2.求函数值域常用的4种方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f（x）＝ax＋b＋（其中a，b，c，d为常数，且a≠0）型的函数常用换元法.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝2x－5，则f（f（1））＝（ ）
A.－11 B.－3
C.11 D.3
2.函数y＝（x＞3）的值域是（ ）
A.（1，＋∞） B.（0，＋∞）
C.（3，＋∞） D.（4，＋∞）
3.函数g（x）＝x2－2x－3在区间[0，4]上的值域为（ ）
A.[－3，5] B.（－3，5）
C.[－4，5] D.（－4，5）
题型四 判断两个函数是否是同一个函数
【例4】 （多选）下列各选项给出的两个函数中，表示同一个函数的有（ ）
A.f（x）＝x与g（x）＝
B.f（t）＝｜t－1｜与g（x）＝｜x－1｜
C.f（x）＝与g（x）＝－x
D.f（x）＝与g（x）＝x－1
尝试解答
通性通法
判断同一个函数的方法
判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则：
（1）先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；
（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.
【跟踪训练】
下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A.y＝x＋1与y＝
B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x（x≥0）
D.y＝（x＋1）2与y＝x2
抽象函数与复合函数
1.抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.
2.复合函数的定义
如果函数y＝f（t）的定义域为A，函数t＝g（x）的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f（g（x））为f与g在D上的复合函数.其中t叫做中间变量，t＝g（x）叫做内层函数，y＝f（t）叫做外层函数.
3.抽象函数与复合函数定义域的求法
复合函数f（g（x））的定义域是指x的取值范围，而不是g（x）的范围.
（1）已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已知g（x）的取值范围（值域）为A，求x的取值范围；
（2）已知f（g（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f（g（x））中的x的取值范围为B，求出g（x）的取值范围（值域），即f（x）的定义域；
（3）已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域，先由x的取值范围，求出g（x）的取值范围，即f（x）中的x的取值范围，即h（x）的取值范围，再根据h（x）的取值范围求出x的取值范围.
【典例】 （1）已知函数f（x）的定义域[0，2]，则g（x）＝f＋f的定义域为 ；
（2）若函数f（x＋3）的定义域为[－5，－2]，则函数F（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）的定义域为 .
答案：（1） （2）[－1，0]
解析：（1）∵f（x）的定义域是[0，2]，
且g（x）＝f＋f，
∴则
∴≤x≤，∴g（x）的定义域为.
（2）∵函数f（x＋3）的定义域为[－5，－2]，
∴－5≤x≤－2，∴－2≤x＋3≤1，
∴函数f（x）的定义域为[－2，1].
∴∴－1≤x≤0，
∴函数F（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）的定义域为[－1，0].
【迁移应用】
已知函数y＝f（2x－1）的定义域为（－1，1），则函数y＝f（3－x）的定义域为 .
1.函数f（x）＝的定义域是（ ）
A.[3，＋∞） B.[3，4）∪（4，＋∞）
C.（3，＋∞） D.[3，4）
2.已知f（x）＝，则f（5）＝（ ）
A.－8 B.－7
C.－6 D.－5
3.函数f（x）＝值域是（ ）
A.（－∞，1] B.[1，＋∞）
C.[0，＋∞） D.（0，1]
4.（多选）下列各图中，可能是函数图象的是（ ）
5.给出下列三个函数：①y＝；②y＝；③y＝.其中与函数f（x）＝x是同一个函数的序号是 .
第一课时 函数的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
非空实数集 每一个 唯一 函数
想一想
1.提示：这种看法不对.符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f（x）仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f（x）外，还常用g（x），F（x），G（x）等来表示函数.
2.提示：f（a）表示当x＝a时，函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值，如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一个常数.
知识点二
定义域 对应关系
想一想
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.
自我诊断
1.C 由于C中的2与1和3同时对应，故C不是函数.
2.A f（－1）＝＝－2.故选A.
3.③ 解析：①中f（x）＝x与g（x）＝的定义域不同；②中f（x）＝2x＋1，g（x）＝2x－1的对应关系不同；④中，f（x）＝x2和f（x－1）＝x2由于对应关系f所施加的对象不同（前者为x，后者为x－1），因此两者不是同一个函数.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B 由函数的定义可知，只有B选项能表示函数y＝f（x）的图象.故选B.
（2）解：①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数.
②由f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数.
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数.
跟踪训练
1.B ①中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3 N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是，故选B.
2.AB A：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故A正确；B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，所以在集合B中无对应元素，不是函数，故D错误.
【例2】 解：（1）当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f（x）＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x｜x≠2}.
（2）当且仅当函数有意义，
解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x｜1≤x≤3}.
（3）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x｜x≤1且x≠－1}.
跟踪训练
1.D 由题设得可得x∈（－∞，1）∪（1，2]，所以函数定义域为（－∞，1）∪（1，2].故选D.
2.[－1，7] 解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，
即x2－6x－7≤0，即（x＋1）（x－7）≤0，解得－1≤x≤7.
故所求函数的定义域为[－1，7].
【例3】 （1）解析：∵f（x）＝，∴f（2）＝＝.
又∵g（x）＝x2＋2，∴g（2）＝22＋2＝6，
∴f（g（2））＝f（6）＝＝.
（2）解：①（观察法）因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②（配方法）y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3），再结合函数的图象（如图（ⅰ）），可得函数的值域为[2，6）.
③（分离常数法）y＝＝＝3－.
因为≠0，所以y≠3，
所以y＝的值域为{y｜y≠3}.
④（换元法）设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2（t2＋1）－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象（如图（ⅱ）），可得函数的值域为.
跟踪训练
1.A 因为函数f（x）＝2x－5，所以f（1）＝2×1－5＝－3，所以f（f（1））＝f（－3）＝2×（－3）－5＝－11，故选A.
2.A ∵y＝＝1＋，
又∵x＞3，∴＞0，∴y＞1，∴函数y＝（x＞3）的值域为（1，＋∞）.故选A.
3.C g（x） ＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，因此该函数的对称轴为直线x＝1，因为x∈[0，4]，所以当x＝1时，函数有最小值，最小值为－4，而g（0）＝－3，g（4）＝5，所以最大值为5，因此值域为[－4，5]， 故选C.
【例4】 BC 对于A：f（x）、g（x）定义域都为R，但f（x）＝x，g（x）＝｜x｜，对应关系不同，故不是同一个函数；对于B：f（t）＝｜t－1｜定义域为R，g（x）＝｜x－1｜定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，故为同一个函数；对于C：f（x）＝定义域为x≤0，且可化简为f（x）＝－x，函数g（x）＝－x定义域为x≤0，两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一个函数；对于D：f（x）＝定义域为x≠－1，g（x）＝x－1定义域为R，定义域不同，故不是同一个函数.故选B、C.
跟踪训练
B 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x｜x≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.
拓视野 抽象函数与复合函数
迁移应用
（2，6） 解析：∵函数y＝f（2x－1）的定义域为（－1，1），
∴－3＜2x－1＜1，∴－3＜3－x＜1，
即2＜x＜6，∴函数y＝f（3－x）的定义域为（2，6）.
随堂检测
1.B 要使有意义，只需解得x∈[3，4）∪（4，＋∞）.故选B.
2.B f（x）＝，f（5）＝＝－7.故选B.
3.D 因为x2＋1≥1，所以0＜≤1，故选D.
4.ACD B选项，当x＞0时有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误；故选A、C、D.
5.② 解析：y＝的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞），与f（x）＝x定义域不同，y＝＝x与f（x）＝x定义域、对应关系均相同，y＝＝｜x｜，与f（x）＝x对应关系不同， 故填②.
6 / 6(共83张PPT)
第一课时 函数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础
上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的
函数概念 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作
用 数学抽象
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的
新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可
以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我
们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现
在微信成了我们生活不可缺少的一部分.大部分同学都有微信号，这样
微信号与同学之间就有对应关系，即微信号（可能不止一个）对应唯
一一位同学.在数学领域也有类似的对应问题，即实数 x （可能不止一
个）对应实数 y （唯一一个）.
【问题】 你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？
知识点一 函数的相关概念
定义 给定两个 A 与 B ，以及对应关系 f ，如果对
于集合 A 中的 实数 x ，在集合 B 中都有
确定的实数 y 与 x 对应，则称 f 为定义在集合 A 上的一个
，记作 y ＝ f （ x ）， x ∈ A ，其中 x 称为自变量， y 称
为因变量
非空实数集
每一个
唯一
函
数
三
要
素 对应关系 y ＝ f （ x ）， x ∈ A
定义域 自变量 x 的取值的范围（即数集 A ）
值域 所有函数值组成的集合{ y ｜ y ＝ f （ x ）， x ∈ A }
提醒 （1）给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示
的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的
解析式有意义的自变量取值的集合；
（2）函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.
【想一想】
1. 有同学认为“ y ＝ f （ x ）”表示的是“ y 等于 f 与 x 的乘积”，这种
看法对吗？
提示：这种看法不对.符号 y ＝ f （ x ）是“ y 是 x 的函数”的数学表
示，应理解为 x 是自变量； f 是对应关系，它可以是一个或几个解析
式，可以是图象、表格，也可以是文字描述； y 是自变量的函数，
当 x 允许取某一具体值时，相应的 y 值为与该自变量值对应的函数
值. y ＝ f （ x ）仅仅是函数符号，不表示“ y 等于 f 与 x 的乘积”.在研
究函数时，除用符号 f （ x ）外，还常用 g （ x ）， F （ x ）， G
（ x ）等来表示函数.
2. f （ x ）与 f （ a ）（ a 为 x 定义域内的一个定值）有何区别与联系？
提示： f （ a ）表示当 x ＝ a 时，函数 f （ x ）的值，是一个常量，而 f
（ x ）是自变量 x 的函数，一般情况下，它是一个变量， f （ a ）是 f
（ x ）的一个特殊值，如一次函数 f （ x ）＝3 x ＋4，当 x ＝8时， f
（8）＝3×8＋4＝28是一个常数.
知识点二 同一个函数
如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相
同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相
等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
定义域
对应关系
【想一想】
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.
1. 下图中不能表示函数关系的是（ ）
解析： 由于C中的2与1和3同时对应，故C不是函数.
2. 已知函数 f （ x ）＝ ，那么 f （－1）＝（ ）
A. －2 B. －1
C. － D. 2
解析： f （－1）＝ ＝－2.故选A.
3. 给出下列四组函数，其中表示同一个函数的是 （填序号）.
① f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝ ；
② f （ x ）＝2 x ＋1， g （ x ）＝2 x －1；
③ f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝ ；
④ f （ x ）＝ x2， f （ x －1）＝ x2.
③
解析：①中 f （ x ）＝ x 与 g （ x ）＝ 的定义域不同；②中 f （ x ）
＝2 x ＋1， g （ x ）＝2 x －1的对应关系不同；④中， f （ x ）＝ x2和 f
（ x －1）＝ x2由于对应关系 f 所施加的对象不同（前者为 x ，后者为
x －1），因此两者不是同一个函数.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数关系的判断
【例1】 （1）下列图形能表示函数 y ＝ f （ x ）的图象的是（ B ）
解析： 由函数的定义可知，只有B选项能表示函数 y ＝ f （ x ）的图象.故选B.
（2）判断下列对应 f 是否为定义在集合 A 上的函数：
① A ＝R， B ＝R，对应法则 f ： y ＝ ；
② A ＝{1，2，3}， B ＝R， f （1）＝ f （2）＝3， f （3）＝4；
③ A ＝{1，2，3}， B ＝{4，5，6}，对应法则如图所示：
解：① A ＝R， B ＝R，对于集合 A 中的元素 x ＝0，在对应法则
f ： y ＝ 的作用下，在集合 B 中没有元素与之对应，故所给对
应不是定义在 A 上的函数.
②由 f （1）＝ f （2）＝3， f （3）＝4，知集合 A 中的每一个元
素在对应法则 f 的作用下，在集合 B 中都有唯一的元素与之对
应，故所给对应是定义在 A 上的函数.
③集合 A 中的元素3在集合 B 中没有与之对应的元素，且集合 A
中的元素2在集合 B 中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对
应不是定义在 A 上的函数.
通性通法
1. 判断一个对应是否是函数的方法
2. 根据图形判断对应是否为函数的步骤
（1）任取一条垂直于 x 轴的直线 l ；
（2）在定义域内平行移动直线 l ；
（3）若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有
交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
【跟踪训练】
1. 设 M ＝{ x ｜0≤ x ≤2}， N ＝{ y ｜0≤ y ≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的个数是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： ①中，因为在集合 M 中当1＜ x ≤2时，在 N 中无元素与之
对应，所以①不是；②中，对于集合 M 中的任意一个数 x ，在 N 中
都有唯一的数与之对应，所以②是；③中， x ＝2对应元素 y ＝3
N ，所以③不是；④中，当 x ＝1时，在 N 中有两个元素与之对应，
所以④不是.因此只有②是，故选B.
2. （多选）下列对应关系 f 是从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ）
A. A ＝ B ＝R， f 为“加1”
B. A ＝{－1，0，1}， B ＝{0，1}， f 为“求平方”
C. A ＝ B ＝R， f 为“求平方根”
D. A ＝Z， B ＝Q， f 为“求倒数”
解析： A：集合 A 中的任意元素在集合 B 中都有元素和它一一
对应，是函数，故A正确；B：集合 A 中的任意元素在集合 B 中都有
元素和它一一对应，是函数，故B正确；C：集合 A 中的负数在集合
B 中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；D：集合 A 中元素为
0时，其倒数不存在，所以在集合 B 中无对应元素，不是函数，故D
错误.
题型二 求函数的定义域
【例2】 （链接教科书第91页例1）求下列函数的定义域：
（1） f （ x ）＝2＋ ；
解：当且仅当 x －2≠0，即 x ≠2时，
函数 f （ x ）＝2＋ 有意义，
所以这个函数的定义域为{ x ｜ x ≠2}.
（2） f （ x ）＝ · ；
解：当且仅当函数有意义，
解得1≤ x ≤3，
所以这个函数的定义域为{ x ｜1≤ x ≤3}.
（3） f （ x ）＝ － .
解：要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
解得 x ≤1且 x ≠－1，
即函数定义域为{ x ｜ x ≤1且 x ≠－1}.
通性通法
求函数定义域的常用方法
（1）若 f （ x ）是分式，则应考虑使分母不为零；
（2）若 f （ x ）是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
（3）若 f （ x ）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数
集合；
（4）若 f （ x ）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定
义域的交集；
（5）若 f （ x ）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问
题有意义.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域为（ ）
A. （－∞，2） B. （－∞，2]
C. （－∞，1）∪（1，2） D. （－∞，1）∪（1，2]
解析： 由题设得可得 x ∈（－∞，1）∪（1，2]，
所以函数定义域为（－∞，1）∪（1，2].故选D.
2. 函数 y ＝ 的定义域是 .
解析：要使函数有意义，需7＋6 x － x2≥0，
即 x2－6 x －7≤0，即（ x ＋1）（ x －7）≤0，解得－1≤ x ≤7.
故所求函数的定义域为[－1，7].
[－1，7]
题型三 求函数值和值域
【例3】 （链接教科书第92页例3）（1）已知 f （ x ）＝ （ x
∈R，且 x ≠－1）， g （ x ）＝ x2＋2（ x ∈R），则 f （2）＝ ， f
（ g （2））＝ .
解析：∵ f （ x ）＝ ，∴ f （2）＝ ＝ .
又∵ g （ x ）＝ x2＋2，∴ g （2）＝22＋2＝6，
∴ f （ g （2））＝ f （6）＝ ＝ .
（2）求下列函数的值域：
① y ＝ x ＋1；
② y ＝ x2－2 x ＋3， x ∈[0，3）；
③ y ＝ ；
④ y ＝2 x － .
解：①（观察法）因为 x ∈R，所以 x ＋1∈R，即函数值域是R.
②（配方法） y ＝ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2，
由 x ∈[0，3），再结合函数的图象（如图
（ⅰ）），可得函数的值域为[2，6）.
③（分离常数法） y ＝ ＝ ＝3－ .
因为 ≠0，所以 y ≠3，
所以 y ＝ 的值域为{ y ｜ y ≠3}.
④（换元法）设 t ＝ ，则 t ≥0且 x ＝ t2＋1，所以 y ＝2（ t2
＋1）－ t ＝2 ＋ ，由 t ≥0，再结合函数的图象（如图
（ⅱ）），可得函数的值域为 .
通性通法
1. 函数求值的方法
（1）已知 f （ x ）的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f
（ a ）的值；
（2）求 f （ g （ a ））的值时应遵循由里往外的原则.
2. 求函数值域常用的4种方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得
到；
（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函
数时，可利用配方法求其值域；
（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转
化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函
数，从而求得原函数的值域.对于 f （ x ）＝ ax ＋ b ＋
（其中 a ， b ， c ， d 为常数，且 a ≠0）型的函数常用换元法.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝2 x －5，则 f （ f （1））＝（ ）
A. －11 B. －3
C. 11 D. 3
解析： 因为函数 f （ x ）＝2 x －5，所以 f （1）＝2×1－5＝－
3，所以 f （ f （1））＝ f （－3）＝2×（－3）－5＝－11，故选A.
2. 函数 y ＝ （ x ＞3）的值域是（ ）
A. （1，＋∞） B. （0，＋∞）
C. （3，＋∞） D. （4，＋∞）
解析： ∵ y ＝ ＝1＋ ，
又∵ x ＞3，∴ ＞0，∴ y ＞1，∴函数 y ＝ （ x ＞3）的值域为
（1，＋∞）.故选A.
3. 函数 g （ x ）＝ x2－2 x －3在区间[0，4]上的值域为（ ）
A. [－3，5] B. （－3，5）
C. [－4，5] D. （－4，5）
解析： g （ x ） ＝ x2－2 x －3＝（ x －1）2－4，因此该函数的对
称轴为直线 x ＝1，因为 x ∈[0，4]，所以当 x ＝1时，函数有最小
值，最小值为－4，而 g （0）＝－3， g （4）＝5，所以最大值为
5，因此值域为[－4，5]， 故选C.
题型四 判断两个函数是否是同一个函数
【例4】 （多选）下列各选项给出的两个函数中，表示同一个函数
的有（ ）
A. f （ x ）＝ x 与 g （ x ）＝
B. f （ t ）＝｜ t －1｜与 g （ x ）＝｜ x －1｜
C. f （ x ）＝ 与 g （ x ）＝－ x
D. f （ x ）＝ 与 g （ x ）＝ x －1
解析： 对于A： f （ x ）、 g （ x ）定义域都为R，但 f （ x ）＝ x ，
g （ x ）＝｜ x ｜，对应关系不同，故不是同一个函数；对于B： f
（ t ）＝｜ t －1｜定义域为R， g （ x ）＝｜ x －1｜定义域为R，定义
域相同，对应关系也相同，故为同一个函数；对于C： f （ x ）＝
定义域为 x ≤0，且可化简为 f （ x ）＝－ x ，函数 g （ x ）＝
－ x 定义域为 x ≤0，两函数定义域相同，对应关系相同，故为同
一个函数；对于D： f （ x ）＝ 定义域为 x ≠－1， g （ x ）＝ x －1
定义域为R，定义域不同，故不是同一个函数.故选B、C.
通性通法
判断同一个函数的方法
判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则：
（1）先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；
（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.
【跟踪训练】
下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A. y ＝ x ＋1与 y ＝
B. y ＝ x2＋1与 s ＝ t2＋1
C. y ＝2 x 与 y ＝2 x （ x ≥0）
D. y ＝（ x ＋1）2与 y ＝ x2
解析： 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{ x ｜ x ≠1}，
不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系
均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域
不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系
不同，不是同一个函数.
抽象函数与复合函数
1. 抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.
2. 复合函数的定义
如果函数 y ＝ f （ t ）的定义域为 A ，函数 t ＝ g （ x ）的定义域为
D ，值域为 C ，则当 C A 时，称函数 y ＝ f （ g （ x ））为 f 与 g 在 D
上的复合函数.其中 t 叫做中间变量， t ＝ g （ x ）叫做内层函数， y
＝ f （ t ）叫做外层函数.
3. 抽象函数与复合函数定义域的求法
复合函数 f （ g （ x ））的定义域是指 x 的取值范围，而不是 g （ x ）
的范围.
（1）已知 f （ x ）的定义域为 A ，求 f （ g （ x ））的定义域，
其实质是已知 g （ x ）的取值范围（值域）为 A ，求 x 的取
值范围；
（2）已知 f （ g （ x ））的定义域为 B ，求 f （ x ）的定义域，其实
质是已知 f （ g （ x ））中的 x 的取值范围为 B ，求出 g （ x ）
的取值范围（值域），即 f （ x ）的定义域；
（3）已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ h （ x ））的定义域，先
由 x 的取值范围，求出 g （ x ）的取值范围，即 f （ x ）中的 x
的取值范围，即 h （ x ）的取值范围，再根据 h （ x ）的取值范
围求出 x 的取值范围.
【典例】 （1）已知函数 f （ x ）的定义域[0，2]，则 g
（ x ）＝ f ＋ f 的定义域为 ；
解析：∵ f （ x ）的定义域是[0，2]，
且 g （ x ）＝ f ＋ f ，
∴则
∴ ≤ x ≤ ，
∴ g （ x ）的定义域为 .
（2）若函数 f （ x ＋3）的定义域为[－5，－2]，则函数 F （ x ）＝ f
（ x ＋1）＋ f （ x －1）的定义域为 .
解析：∵函数 f （ x ＋3）的定义域为[－5，－2]，
∴－5≤ x ≤－2，∴－2≤ x ＋3≤1，
∴函数 f （ x ）的定义域为[－2，1].
∴∴－1≤ x ≤0，
∴函数 F （ x ）＝ f （ x ＋1）＋ f （ x －1）的定义域为[－1，0].
[－1，0]
【迁移应用】
已知函数 y ＝ f （2 x －1）的定义域为（－1，1），则函数 y ＝ f （3－
x ）的定义域为 .
解析：∵函数 y ＝ f （2 x －1）的定义域为（－1，1），
∴－3＜2 x －1＜1，∴－3＜3－ x ＜1，
即2＜ x ＜6，∴函数 y ＝ f （3－ x ）的定义域为（2，6）.
（2，6）
1. 函数 f （ x ）＝ 的定义域是（ ）
A. [3，＋∞） B. [3，4）∪（4，＋∞）
C. （3，＋∞） D. [3，4）
解析： 要使解得 x
∈[3，4）∪（4，＋∞）.故选B.
2. 已知 f （ x ）＝ ，则 f （5）＝（ ）
A. －8 B. －7
C. －6 D. －5
解析： f （ x ）＝ ， f （5）＝ ＝－7.故选B.
3. 函数 f （ x ）＝ 值域是（ ）
A. （－∞，1] B. [1，＋∞）
C. [0，＋∞） D. （0，1]
解析： 因为 x2＋1≥1，所以0＜ ≤1，故选D.
4. （多选）下列各图中，可能是函数图象的是（ ）
解析： B选项，当 x ＞0时有两个 y 值与之对应，不是函数图
象，B错误；故选A、C、D.
5. 给出下列三个函数：① y ＝ ；② y ＝ ；③ y ＝ .其中与
函数 f （ x ）＝ x 是同一个函数的序号是 .
解析： y ＝ 的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞），与 f （ x ）＝ x 定义域不同， y ＝ ＝ x 与 f （ x ）＝ x 定义域、对应关系均相同， y ＝ ＝｜ x ｜，与 f （ x ）＝ x 对应关系不同， 故填②.
②
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 y ＝ f （ x ），则函数图象与直线 x ＝ a 的交点（ ）
A. 有1个 B. 有2个
C. 有无数个 D. 至多有一个
解析： 根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量 x
都有唯一的函数值与之对应，故选D.
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2. f （ x ）＝（ x －1）0＋ 的定义域是（ ）
A. （－1，＋∞） B. （－∞，－1）
C. R D. （－1，1）∪（1，＋∞）
解析： 要使函数 f （ x ）有意义，
需满足且 x ≠1，
∴定义域为（－1，1）∪（1，＋∞）.
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3. 函数 y ＝ x2－4 x ＋6， x ∈[1，5）的值域是（ ）
A. [2，11） B. [3，11）
C. [1，11） D. [2，11]
解析： f （ x ）＝ x2－4 x ＋6＝（ x －2）2＋2，∵ x ∈[1，5），
且函数 f （ x ）的对称轴是直线 x ＝2，∴函数 f （ x ）的值域是[2，
11）.故选A.
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4. 已知函数 y ＝ f （ x ）的定义域为[－8，1]，则函数 g （ x ）＝
的定义域是（ ）
A. （－∞，－2）∪（－2，3]
B. [－8，－2）∪（－2，1]
C.
D. ∪
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解析： 题意得：－8≤2 x ＋1≤1，解得－ ≤ x ≤0，由 x ＋
2≠0，解得 x ≠－2，故函数的定义域是 ∪ .
故选D.
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5. （多选）如图是函数 f （ x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. f （0）＝－2
B. f （ x ）的定义域为[－3，2]
C. f （ x ）的值域为[－2，2]
D. 若 f （ x ）＝0，则 x ＝ 或2
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解析： 由图象知 f （0）＝－2正确，A对，函数 f （ x ）的定
义域为[－3，2]正确，B对，函数 f （ x ）的最小值为－3，即函数 f
（ x ）的值域为[－3，2]，C错，若 f （ x ）＝0，则 x ＝ 或2，D对.
故选A、B、D.
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6. 已知函数 f （ x ）与 g （ x ）的定义域相同，值域也相同，但不是同
一个函数，则满足上述条件的一组 f （ x ）与 g （ x ）的解析式可以
为 .
解析：结合一次函数的性质可知， f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝－ x ，两
个函数的定义域和值域都是R，但是对应关系不同，所以两个函数
不是同一个函数.
f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝－ x ， x ∈R（答案不唯一）
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7. 已知函数 f （ x ）＝2 x －3， x ∈{ x ∈N｜1≤ x ≤5}，则函数 f （ x ）
的值域为 .
解析：∵ x ＝1，2，3，4，5，
∴ f （ x ）＝2 x －3＝－1，1，3，5，7.
∴ f （ x ）的值域为{－1，1，3，5，7}.
{－1，1，3，5，7}
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8. 已知函数 f （ x ＋1）的定义域为（－1，1），则 f （｜ x ｜）的定义
域为 .
解析：依题意函数 f （ x ＋1）的定义域为（－1，1），－1＜ x ＜
1 0＜ x ＋1＜2，所以0＜｜ x ｜＜2，解得－2＜ x ＜0或0＜ x ＜2，
所以 f （｜ x ｜）的定义域为（－2，0）∪（0，2）.
（－2，0）∪（0，2）
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9. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ .
（1）求函数 f （ x ）的定义域；
解：若使函数有意义，需解得 x ≤－2或 x
≥2且 x ≠7，
故函数 f （ x ）的定义域为（－∞，－2]∪[2，7）∪（7，＋
∞）.
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（2）求 f （－2）＋ f 的值；
解：∵ f （－2）＝－ ， f ＝ － ＝ ，
∴ f （－2）＋ f ＝－ ＋ ＝ .
（3）当 a ＞6时，求 f （ a ＋1）的值.
解：∵ a ＞6，∴ f （ a ＋1）有意义，
∴ f （ a ＋1）＝ ＋ .
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10. 函数 f （ x ）＝ 的定义域为R，则实数 m 的取值范
围是（ ）
A. （0，1） B. （－∞，－1]
C. [1，＋∞） D. （－∞，－1）
解析： f （ x ）的定义域是R，则－ mx2－2 x ＋1≥0恒成立，即
mx2＋2 x －1≤0恒成立，则解得 m ≤－1，所以实数 m 的
取值范围为（－∞，－1].故选B.
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11. 已知 f （ x ）＝ ＋ ，则函数 g （ x ）＝ 的定
义域是（ ）
A. [－2，1）∪（1，2]
B. [0，1）∪（1，4]
C. [0，1）∪（1，2]
D. [－1，1）∪（1，3]
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解析： ∵ f （ x ）＝ ＋ ，∴∴－1≤
x ≤3，∴ f （ x ）的定义域为 x ∈[－1，3].又∵ g （ x ）＝
，∴∴－2≤ x ≤2且 x ≠1.∴ g （ x ）＝
的定义域是[－2，1）∪（1，2].故选A.
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12. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域是 A ，函数 g （ x ）＝ x2
＋2 x 在[ m ，1]上的值域是[－1，3]，且实数 m 的取值范围所组成
的集合是 B .
（1）分别求出定义域 A 与集合 B ；
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解：由题意得∴－1≤ x ＜2，
∴ A ＝[－1，2），
∵ g （ x ）＝ x2＋2 x ＝（ x ＋1）2－1，∴当 x ＝－1时， g
（ x ）的最小值为－1，
∵函数 g （ x ）在[ m ，1]的值域为[－1，3]，
∴－3≤ m ≤－1，
∴ B ＝[－3，－1].
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（2）设集合 C ＝{ x ｜ x ＜2 a －6或 x ＞ a }.若 B ∩ C ＝ ，求实数 a
的取值范围.
解：∵ B ∩ C ＝ ，
∴
∴－1≤ a ≤ ，
∴ a 的取值范围为 .
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13. 已知函数 f （ x ）＝ ，集合 A 为函数 f （ x ）的定义域，集
合 B 为函数 f （ x ）的值域，若定义 A － B ＝{ x ｜ x ∈ A ，且 x
B }， A B ＝（ A － B ）∪（ B － A ），则 A B ＝
.
解析：要使函数 f （ x ）＝ 有意义，
则1－4 x2≥0，
∪
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解得－ ≤ x ≤ ，所以 A ＝ ，
函数 f （ x ）＝ 的值域 B ＝[0，1]，
A － B ＝{ x ｜ x ∈ A ，且 x B }＝ ， B － A ＝{ x ｜ x
∈ B ，且 x A }＝ .
A B ＝（ A － B ）∪（ B － A ）＝ ∪ ＝ ∪ .
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14. 对于函数 f （ x ）和 g （ x ），记函数 f （ x ）的定义域为 A ，函数 g
（ x ）的定义域为 B ，若 B A ，则称函数 g （ x ）是函数 f （ x ）
的好函数，否则，称函数 g （ x ）不是函数 f （ x ）的好函数.现已
知函数 h （ x ）的定义域为（0，＋∞）.
（1）若函数φ（ x ）＝ h （2 x －1），判断函数φ（ x ）是不是函数
h （ x ）的好函数；
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解：由题设知：2 x －1＞0，解得 x ＞ ，
∴函数φ（ x ）的定义域为 （0，
＋∞），
∴函数φ（ x ）是函数 h （ x ）的好函数.
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（2）若函数 u （ x ）＝ h （－ x2－ ax ＋ a ＋1），且函数 u （ x ）是
函数 h （ x ）的好函数，求实数 a 的取值范围.
解：记函数 u （ x ）的定义域为 M ，
则 M ＝{ x ｜－ x2－ ax ＋ a ＋1＞0}且 M （0，＋∞），
由－ x2－ ax ＋ a ＋1＞0得 x2＋ ax － a －1＜0，即（ x －
1）·（ x ＋ a ＋1）＜0，
由函数的定义知： M 为非空数集，
故 a ＋1≠－1，即 a ≠－2.
当 a ＜－2时， M ＝（1，－ a －1），显然满足 M （0，＋∞）；
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当 a ＞－2时， M ＝（－ a －1，1），
又 M （0，＋∞），则－ a －1≥0，
解得 a ≤－1，
故－2＜ a ≤－1.
综上，实数 a 的取值范围为（－∞，－2）∪（－2，－1].
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谢 谢 观 看！
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