第二课时 函数的表示方法
1.已知函数f（x－1）＝x2＋2x－3，则f（x）＝（ ）
A.x2＋4x B.x2＋4
C.x2＋4x－6 D.x2－4x－1
2.下表表示y是x的函数，则函数的值域是（ ）
x x＜2 2≤x≤3 x＞3
y 1 0 1
A.{y｜0≤y≤1} B.R
C.{0，1，1} D.{0，1}
3.已知函数f（x）满足2f（x）＋f＝x，则f（2）＝（ ）
A. B.1
C. D.2
4.在△ABC中，AB＝BC＝x，周长为20，将△ABC的面积表示成x的函数S（x），则（ ）
A.S（x）＝x（20－2x），5＜x＜10
B.S（x）＝x（20－2x），0＜x＜10
C.S（x）＝（10－x），0＜x＜10
D.S（x）＝（10－x），5＜x＜10
5.（多选）下列函数中，满足f（3x）＝3f（x）的是（ ）
A.f（x）＝2｜x｜ B.f（x）＝x－｜x｜
C.f（x）＝－x D.f（x）＝x＋2
6.若函数f＝x，则f（x）＝ .
7.将函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是 .
8.一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比.如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式为 .
9.已知f（x）是二次函数.且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x.求f（x）的解析式.
10.若函数f（x）＝x2－2x＋3－c的最小值为2 024，则f（x＋2 025）的最小值是 .
11.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为 .
12.已知函数f（x＋1）＝.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x＞0时，不等式f（x）＜t无解，求t的取值范围.
13.函数f（x）的定义域为[－1，1]，图象如图①所示，函数g（x）的定义域为[－1，2]，图象如图②所示.若集合A＝{x｜f（g（x））＝0}，B＝{x｜g（f（x））＝0}，则A∪B中有 个元素.
14.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益f（x）与投资额x成正比，其关系如图①；投资股票等风险型产品的年收益g（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图②.
（1）分别写出两种产品的年收益f（x）和g（x）的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
第二课时 函数的表示方法
1.A f（x－1）＝x2＋2x－3＝（x－1）2＋4（x－1），所以f（x）＝x2＋4x.故选A.
2.D 由题意，该函数的值域是{0，1}.故选D.
3.C 由已知可得解得f（x）＝，其中x≠0，因此，f（2）＝.故选C.
4.D 由题知△ABC是等腰三角形，S（x）＝×（20－2x）×＝（10－x），
又解得5＜x＜10.故选D.
5.ABC 对于A：f（x）＝2｜x｜，因为f（3x）＝2｜3x｜，3f（x）＝2｜3x｜，所以f（3x）＝3f（x），故A正确；对于B：f（x）＝x－｜x｜，因为f（3x）＝3x－｜3x｜＝3（x－｜x｜）＝3f（x），所以满足f（3x）＝3f（x），故B正确；对于C：f（x）＝－x，因为f（3x）＝－3x＝3f（x），所以满足f（3x）＝3f（x），故C正确；对于D：f（x）＝x＋2，因为f（3x）＝3x＋2，而3f（x）＝3x＋6，所以f（3x）≠3f（x），故D不正确.故选A、B、C.
6.（x≠－1） 解析：令t＝＝－1，则t≠－1，∴x＝－1，故f（t）＝－1＝，∴f（x）＝（x≠－1）.
7.y＝（x＋1）2－2 解析：函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度，得到y＝（x＋1）2，再向下平移2个单位长度，得到y＝（x＋1）2－2.
8.y＝x＋12（x≥0） 解析：设所求函数解析式为y＝kx＋12（k≠0），把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝，所以所求的函数解析式为y＝x＋12（x≥0）.
9.解：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则f（x＋1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c，
f（x－1）＝a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝ax2＋（－2a＋b）x＋a－b＋c，
所以f（x＋1）＋f（x－1）＝2ax2＋2bx＋2a＋2c，又f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x，
因此解得所以f（x）＝x2－2x－1.
10.2 024 解析：函数f（x＋2 025）的图象可由函数f（x）的图象向左平移2 025个单位长度得到，因此两函数的最小值相同，均为2 024，故f（x＋2 025）的最小值是2 024.
11.（－1，0）∪（1，3） 解析：不等式xf（x）＜0等价为或
解得1＜x＜3，或－1＜x＜0，
故不等式xf（x）＜0的解集为（－1，0）∪（1，3）.
12.解：（1）函数f（x＋1）＝，设u＝x＋1，则x＝u－1，
则f（u）＝＝＝u＋＋3，则f（x）＝x＋＋3，
所以函数f（x）的解析式f（x）＝x＋＋3.
（2）由（1）知，f（x）＝x＋＋3，当x＞0时，f（x）＝x＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x＝2时取“＝”，因此，当x＝2时，f（x）min＝7，
若x＞0时，不等式f（x）＜t无解，即t≤f（x）恒成立，则有t≤f（x）min＝7，
所以t的取值范围为（－∞，7].
13.4 解析：由图象可得，若f（g（x））＝0，则g（x）＝－1或g（x）＝0或g（x）＝1，
由g（x）＝－1知x不存在；由g（x）＝0得x＝0或x＝2，由g（x）＝1得x＝－1或x＝1，
所以x＝－1或x＝0或x＝1或x＝2，
所以A＝{x｜f（g（x））＝0}＝{－1，0，1，2}；
若g（f（x））＝0，则f（x）＝0或f（x）＝2，
所以x＝－1或x＝0或x＝1，
所以B＝{x｜g（f（x））＝0}＝{－1，0，1}，
所以A∪B＝{－1，0，1，2}，共4个元素.
14.解：（1）依题意：可设f（x）＝k1x（x≥0），
g（x）＝k2（x≥0），
由题意知f（1）＝k1＝，g（1）＝k2＝，所以f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）.
（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20－x）万元，年收益为y万元，
依题意得：y＝f（x）＋g（20－x），
即y＝＋（0≤x≤20），令t＝，
则x＝20－t2，t∈[0，2]，
则y＝＋＝－（t－2）2＋3，t∈[0，2]，
所以当t＝2，即x＝16时， y取最大值，为3.
故应投资债券类产品16万元，股票类产品4万元年收益最大，最大年收益为3万元.
2 / 2第二课时 函数的表示方法
新课程标准解读 核心素养
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用 数学抽象、直观想象
（1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km，设计速度目标值为380 km/h.若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x h后，路程为y km，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式.
（2）如图是我国近五年出生人口变化曲线：
（3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
【问题】 根据初中所学知识，说出上述分别是用什么法表示函数的？
知识点 函数的表示方法
1.函数的图象
（1）定义：将函数y＝f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图象，即F＝{（x，y）｜y＝f（x），x∈A}；
（2）F是函数y＝f（x）的图象，必须满足下列条件：
①图象上 的坐标（x，y）都满足函数关系y＝f（x）；
②满足函数关系y＝f（x）的点（x，y）都在函数图象F上.
2.函数的表示法
【想一想】
所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？
1.已知函数y＝f（x），用列表法表示如下：
x －2 －1 0 2 3
y 5 2 1 3 4
则f（－1）＋f（2）＝（ ）
A.4 B.5
C.6 D.9
2.某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）
3.一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为 .
题型一 函数的表示法
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
尝试解答
通性通法
函数的三种表示法的选择和应用的注意点
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少.
在应用三种方法表示函数时要注意：
（1）解析法必须注明函数的定义域；
（2）列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；
（3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
【跟踪训练】
已知函数f（x）的对应关系如下表，函数y＝g（x）的图象为如图所示的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f（g（2））＝（ ）
x 1 2 3
f（x） 2 3 0
A.3 B.2 C.1 D.0
题型二 函数图象的作法及应用
【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域：
（1）y＝2x＋1，x∈[0，2]；
（2）y＝，x∈[2，＋∞）；
（3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2].
尝试解答
通性通法
描点法作函数图象的步骤
（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f（x），并用表格的形式表示出来；
（2）描点：把第（1）步表格中的点（x，f（x））一一在平面直角坐标系中描出来；
（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大（或由大到小）的顺序连接起来.
提醒 （1）画函数的图象时要注意函数的定义域；（2）要作出更精确的图象，常常需要描出更多的点.
【跟踪训练】
1.直角梯形ABCD，如图①，动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）.如果函数y＝f（x）的图象如图②所示，则△ABC的面积为 .
2.作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
（1）
x －4 －2 2 4
y 1 －3 2 3
（2）y＝－，x∈[－3，0）∪（0，1]；
（3）y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0].
题型三 函数解析式的求法
角度1 已知函数的类型，求函数的解析式
【例3】 （1）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝4x＋6，则f（x）的解析式为 ；
（2）已知二次函数f（x）满足f（0）＝1，f（1）＝2，f（2）＝5，则该二次函数的解析式为 .
尝试解答
通性通法
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数.待定系数法求函数解析式的步骤如下：
（1）设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数的解析式设为f（x）＝ax＋b（a≠0），反比例函数的解析式设为f（x）＝（k≠0），二次函数的解析式设为f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
（2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，得到待定系数的值；
（4）将所求待定系数的值代回所设解析式.
【跟踪训练】
1.已知f（x）是反比例函数，且f（－3）＝－1，则f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝－ B.f（x）＝
C.f（x）＝3x D.f（x）＝－3x
2.已知f（x）为二次函数，且满足f（0）＝1，f（x－1）－f（x）＝4x，则f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝－2x2－2x＋1
B.f（x）＝－2x2＋2x＋1
C.f（x）＝－2x2－2x－1
D.f（x）＝2x2－2x＋1
角度2 已知f（g（x））的解析式，求f（x）的解析式
【例4】 （1）已知函数f（x＋1）＝x2＋2x，则f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝x2＋1
B.f（x）＝x2＋2x－1
C.f（x）＝x2－1
D.f（x）＝x2＋2x＋1
（2）已知f（＋1）＝x＋2，则f（x）的解析式为 .
尝试解答
通性通法
换元法、配凑法求函数解析式
已知f（g（x））＝h（x），求f（x）的两种方法：
（1）换元法：即令t＝g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f（x）的解析式.利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f（x）的定义域；
（2）配凑法：即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可.
【跟踪训练】
1.设函数f（x）＝4x－5，g（2x＋1）＝f（x），则函数g（x）的解析式是（ ）
A.g（x）＝2x＋1 B.g（x）＝2x－1
C.g（x）＝2x＋5 D.g（x）＝2x－7
2.设函数f（x）满足f（）＝x＋1，则f（4）＝ .
角度3 消元（方程组）法求函数解析式
【例5】 （1）已知函数f（x）满足f（x）＋2f＝x，则函数f（x）的解析式为 ；
（2）已知af（x）＋f（－x）＝bx，其中a≠±1，则函数f（x）的解析式为 .
尝试解答
通性通法
消元法（或解方程组法）求函数解析式
在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法称为消元法（或解方程组法）.即已知f（x）与f（φ（x））满足的关系式，要求f（x）时，可用φ（x）代替两边的所有的x，得到关于f（x）及f（φ（x））的方程组，解之即可求出f（x）.
【跟踪训练】
已知函数f（x）满足f（x）＋2f（3－x）＝x2，则f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝x2－12x＋18
B.f（x）＝x2－4x＋6
C.f（x）＝6x＋9
D.f（x）＝2x＋3
函数图象的三种变换
1.函数图象的平移变换
左加右减：函数y＝f（x）的图象沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位长度得到函数y＝f（x＋a）的图象.
上加下减：函数y＝f（x）的图象沿y轴方向向上（b＞0）或向下（b＜0）平移｜b｜个单位长度得到函数y＝f（x）＋b的图象.
例如：函数f（x）＝x2，分别作出y＝f（x＋1），y＝f（x－1），y＝f（x）＋1，y＝f（x）－1的图象如图所示.
图象向左平移
一个单位长度 图象向右平移
一个单位长度
图象向上平移
一个单位长度 图象向下平移
一个单位长度
2.函数图象的对称变换
（1）y＝f（x）y＝－f（x）；
（2）y＝f（x）y＝f（－x）；
（3）y＝f（x）y＝－f（－x）.
例如：f（x）＝（x＞0），分别作出y＝－f（x），y＝f（－x），y＝－f（－x）的图象如图所示.
3.函数图象的翻折变换
（1）y＝f（x）y＝｜f（x）｜；
（2）y＝f（x）
y＝f（｜x｜）.
例如：已知函数y＝f（x）＝x2－2x－3，分别作出函数y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图象如图所示.
y＝｜f（x）｜的图象为保留y＝f（x）图象在x轴上方的部分，把x轴下方的部分沿x轴翻折上去.
y＝f（｜x｜）的图象为保留y＝f（x）图象在y轴右侧的部分，把y轴右侧的图象翻折到y轴左侧.
【迁移应用】
画出下列函数的大致图象：
（1）y＝；
（2）y＝｜x2－1｜.
1.若f（x）是一次函数，2f（2）－3f（1）＝5，2f（0）－f（－1）＝1，则f（x）＝（ ）
A.3x＋2 B.3x－2
C.2x＋3 D.2x－3
2.函数y＝－的大致图象是（ ）
3.定义域为R的函数f（x）满足f（x）＋2f（－x）＝2x＋1，则f（x）＝（ ）
A.－2x＋1 B.2x－
C.2x－1 D.－2x＋
4.（多选）已知f（x＋2）＝x2＋6x＋8且f（a）＝3，则实数a的值可能是（ ）
A.－3 B.0 C.1 D.2
5.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2}，试写出从A到B的一个函数h（x）＝ .
第二课时 函数的表示方法
【基础知识·重落实】
知识点
1.（2）①任意一点 2.数学表达式 图象 表格
想一想
提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
自我诊断
1.B 由列表可知f（－1）＋f（2）＝2＋3＝5.故选B.
2.D 由题意可知：x＝0时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A、C，随着时间的增加，先跑步，开始时y随x的变化快，后步行，则y随x的变化慢，所以适合的图象为D.故选D.
3.y＝（x＞0） 解析：如图等腰梯形ABCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
由题意知，AD＝x，BC＝3x，AE＝y，则等腰梯形ABCD的面积为（AD＋BC）×AE＝（x＋3x）·y＝100，
即y与x的函数关系为y＝（x＞0）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）图象法：
（3）解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.
跟踪训练
B 观察函数y＝g（x）的图象得：g（2）＝1，由表格知：f（1）＝2，所以f（g（2））＝2.故选B.
【例2】 解：（1）当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分图（如图①），观察图象可知，其值域为[1，5].
（2）当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝的一部分（如图②），观察图象可知其值域为（0，1].
（3）当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分（如图③）.
由图象可得函数的值域为[－1，8].
跟踪训练
1.16 解析：由题意结合题图②可知：BC＝4，CD＝9－4＝5，AD＝14－9＝5，
如图，过D作DG⊥AB于点G，∴AG＝3，由此可求出AB＝3＋5＝8.
S△ABC＝AB·BC＝×8×4＝16.
2.解：（1）该函数的图象如图①所示，由图象可知值域为{－3，1，2，3}.
（2）作出函数y＝－，x∈[－3，0）∪（0，1]的图象，如图②所示，由图象可知值域为（－∞，－4]∪.
（3）作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1].
【例3】 （1）f（x）＝2x＋2或f（x）＝－2x－6 （2）f（x）＝x2＋1
解析：（1）设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有解得或所以f（x）＝2x＋2或f（x）＝－2x－6.
（2）设二次函数的解析式为f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意得解得故f（x）＝x2＋1.
跟踪训练
1.B 设f（x）＝（k≠0），∵f（－3）＝＝－1，∴k＝3，∴f（x）＝. 故选B.
2.A 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），因为f（0）＝1，所以c＝1.又f（x－1）－f（x）＝4x，所以有a（x－1）2＋b（x－1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝4x －2ax＋a－b＝4x 解得a＝b＝－2.故选A.
【例4】 （1）C （2）f（x）＝x2－1（x≥1）
解析：（1）法一（换元法） 令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，即f（x）＝x2－1.
法二（配凑法） 因为x2＋2x＝（x2＋2x＋1）－1＝（x＋1）2－1，所以f（x＋1）＝（x＋1）2－1，即f（x）＝x2－1.
（2）法一（换元法） 令t＝＋1，
则x＝（t－1）2，t≥1，
所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1），
所以函数的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
法二（配凑法） f（＋1）＝x＋2＝x＋2＋1－1＝（＋1）2－1.
因为＋1≥1，所以函数的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
跟踪训练
1.D ∵g（2x＋1）＝4x－5＝2（2x＋1）－7，∴g（x）＝2x－7.故选D.
2.17 解析：令＝t，t≥0，则x＝t2，因为函数f（x）满足f（）＝x＋1，所以f（t）＝t2＋1，t≥0，所以f（x）＝x2＋1，x≥0所以f（4）＝17.
【例5】 （1）f（x）＝－＋ （2）f（x）＝x，a≠±1
解析：（1）在已知等式中，将x换成，得f＋2f（x）＝，与已知方程联立，得
消去f，得f（x）＝－＋.
（2）在原式中以－x替换x，得af（－x）＋f（x）＝－bx，
于是得
消去f（－x），得f（x）＝.
故f（x）的解析式为f（x）＝x，a≠±1.
跟踪训练
B 用3－x代替原方程中的x得：f（3－x）＋2f[3－（3－x）]＝f（3－x）＋2f（x）＝（3－x）2＝x2－6x＋9，∴
消去f（3－x）得：－3f（x）＝－x2＋12x－18，∴f（x）＝x2－4x＋6.故选B.
拓视野 函数图象的三种变换
迁移应用
解：（1）因为y＝＝2－，所以可先作出函数y＝－的大致图象，把图象向左平移1个单位长度得到y＝－的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到了函数y＝的图象，如图①所示.
（2）先作出y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分沿x轴对称翻折到x轴上方，所得的图象就是函数y＝｜x2－1｜的图象，如图②所示.
随堂检测
1.B 设f（x）＝ax＋b，由题设有
解得故选B.
2.B 函数y＝－的图象是由函数y＝－的图象向左平移1个单位长度得到的，而函数y＝－的图象在第二、第四象限，结合所给的四个图象只有B符合，故选B.
3.D 因为定义域为R的函数f（x）满足f（x）＋2f（－x）＝2x＋1，
以－x替换x代入得f（－x）＋2f（x）＝－2x＋1，
联立方程组
②×2－①消去f（－x）得3f（x）＝－6x＋1，
所以f（x）＝－2x＋.故选D.
4.AC ∵f（x＋2）＝x2＋6x＋8＝（x＋2）2＋2（x＋2），∴f（x）＝x2＋2x，∵f（a）＝a2＋2a＝3，∴a＝1或－3.故选A、C.
5.x＋1（答案不唯一） 解析：令h（x）＝x＋1，
则有h（－1）＝0，h（0）＝1，h（1）＝2，满足题意.
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第二课时
函数的表示方法
新课程标准解读 核心素养
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法
（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函
数图象的作用 数学抽象、直观
想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km，设计速度目标值为
380 km/h.若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶 x h后，路程
为 y km，则 y 是 x 的函数，可以用 y ＝300 x 来表示，其中 y ＝300 x 叫做
该函数的解析式.
（2）如图是我国近五年出生人口变化曲线：
（3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
【问题】 根据初中所学知识，说出上述分别是用什么法表示
函数的？
知识点 函数的表示方法
1. 函数的图象
（1）定义：将函数 y ＝ f （ x ）， x ∈ A 中的自变量 x 和对应的函数
值 y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满
足条件的点（ x ， y ）组成的集合 F 称为函数的图象，即 F ＝
{（ x ， y ）｜ y ＝ f （ x ）， x ∈ A }；
①图象上 的坐标（ x ， y ）都满足函数关系 y ＝ f
（ x ）；
②满足函数关系 y ＝ f （ x ）的点（ x ， y ）都在函数图象 F 上.
任意一点
（2） F 是函数 y ＝ f （ x ）的图象，必须满足下列条件：
2. 函数的表示法
【想一想】
所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？
提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适
用于所有函数，如 D （ x ）＝列表法虽在理论上适用于所
有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的
一个概况或片段.
1. 已知函数 y ＝ f （ x ），用列表法表示如下：
x －2 －1 0 2 3
y 5 2 1 3 4
则 f （－1）＋ f （2）＝（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 9
解析： 由列表可知 f （－1）＋ f （2）＝2＋3＝5.故选B.
2. 某人去上班，先跑步，后步行.如果 y 表示该人离单位的距离， x 表
示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）
解析： 由题意可知： x ＝0时所走的路程为0，离单位的距离为
最大值，排除A、C，随着时间的增加，先跑步，开始时 y 随 x 的变
化快，后步行，则 y 随 x 的变化慢，所以适合的图象为D. 故选D.
3. 一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为 x cm，下底长为上底长的
3倍，则它的高 y 与 x 的函数关系为 .
解析：如图等腰梯形 ABCD ，过点 A 作 AE ⊥
BC ，垂足为点 E ，由题意知， AD ＝ x ， BC ＝3
x ， AE ＝ y ，则等腰梯形 ABCD 的面积为 （ AD
＋ BC ）× AE ＝ （ x ＋3 x ）· y ＝100，即 y 与 x 的
函数关系为 y ＝ （ x ＞0）.
y ＝ （ x ＞0）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数的表示法
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台
数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法
表示出来.
解：（1）列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）图象法：
（3）解析法： y ＝3 000 x ， x ∈{1，2，3，…，10}.
通性通法
函数的三种表示法的选择和应用的注意点
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与
函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用
图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内
自变量的个数较少.
在应用三种方法表示函数时要注意：
（1）解析法必须注明函数的定义域；
（2）列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；
（3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）的对应关系如下表，函数 y ＝ g （ x ）的图象为如图所
示的曲线 ABC ，其中 A （1，3）， B （2，1）， C （3，2），则 f （ g
（2））＝（ ）
x 1 2 3
f （ x ） 2 3 0
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析： 观察函数 y ＝ g （ x ）的图象得： g （2）＝1，由表格知： f （1）＝2，所以 f （ g （2））＝2.故选B.
题型二 函数图象的作法及应用
【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域：
（1） y ＝2 x ＋1， x ∈[0，2]；
解：当 x ∈[0，2]时，图象是直线 y ＝2 x ＋1
的一部分图（如图①），观察图象可知，其值域为
[1，5].
（2） y ＝ ， x ∈[2，＋∞）；
解：当 x ∈[2，＋∞）时，图象是反比
例函数 y ＝ 的一部分（如图②），观察图
象可知其值域为（0，1].
（3） y ＝ x2＋2 x ， x ∈[－2，2].
解：当－2≤ x ≤2时，图象是抛物线 y ＝ x2＋2
x 的一部分（如图③）.
由图象可得函数的值域为[－1，8].
通性通法
描点法作函数图象的步骤
（1）列表：先找出一些有代表性的自变量 x 的值，再计算出与这些自
变量 x 相对应的函数值 f （ x ），并用表格的形式表示出来；
（2）描点：把第（1）步表格中的点（ x ， f （ x ））一一在平面直角
坐标系中描出来；
（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大（或由大到
小）的顺序连接起来.
提醒 （1）画函数的图象时要注意函数的定义域；（2）要作
出更精确的图象，常常需要描出更多的点.
【跟踪训练】
1. 直角梯形 ABCD ，如图①，动点 P 从 B 点出发，沿 B → C → D → A 运
动，设点 P 运动的路程为 x ，△ ABP 的面积为 f （ x ）.如果函数 y ＝ f
（ x ）的图象如图②所示，则△ ABC 的面积为 .
16
解析：由题意结合题图②可知： BC ＝4， CD ＝9－
4＝5， AD ＝14－9＝5，
如图，过 D 作 DG ⊥ AB 于点 G ，∴ AG ＝3，由此可
求出 AB ＝3＋5＝8. S△ ABC ＝ AB · BC ＝ ×8×4＝16.
2. 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
（1）
x －4 －2 2 4
y 1 －3 2 3
解：该函数的图象如图①所示，由
图象可知值域为{－3，1，2，3}.
（2） y ＝－ ， x ∈[－3，0）∪（0，1]；
解：作出函数 y ＝－ ， x ∈[－3，0）∪（0，1]的图象，如图②所示，
由图象可知值域为（－∞，－4]∪ .
（3） y ＝ x2＋4 x ＋1， x ∈[－3，0].
解：作出函数 y ＝ x2
＋4 x ＋1， x ∈[－3，0]
的图象，如图③所示，由
图象可知值域为[－3，1].
题型三 函数解析式的求法
角度1 已知函数的类型，求函数的解析式
【例3】 （1）已知一次函数 f （ x ）满足 f （ f （ x ））＝4 x ＋6，则 f
（ x ）的解析式为 ；
f （ x ）＝2 x ＋2或 f （ x ）＝－2 x －6
解析：设 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），则 f （ f （ x ））＝ f （ ax ＋ b ）
＝ a （ ax ＋ b ）＋ b ＝ a2 x ＋ ab ＋ b ＝4 x ＋6，于是有
所以 f （ x ）＝2 x ＋2或 f （ x ）＝－2 x －6.
（2）已知二次函数 f （ x ）满足 f （0）＝1， f （1）＝2， f （2）＝5，
则该二次函数的解析式为 .
解析：设二次函数的解析式为 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
由题意得故 f （ x ）＝ x2＋1.
f （ x ）＝ x2＋1
通性通法
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件
求待定系数.待定系数法求函数解析式的步骤如下：
（1）设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数的解析式设为 f
（ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），反比例函数的解析式设为 f （ x ）＝
（ k ≠0），二次函数的解析式设为 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a
≠0）；
（2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，得到待定系数的值；
（4）将所求待定系数的值代回所设解析式.
【跟踪训练】
1. 已知 f （ x ）是反比例函数，且 f （－3）＝－1，则 f （ x ）的解析式
为（ ）
A. f （ x ）＝－ B. f （ x ）＝
C. f （ x ）＝3 x D. f （ x ）＝－3 x
解析： 设 f （ x ）＝ （ k ≠0），∵ f （－3）＝ ＝－1，∴ k ＝
3，∴ f （ x ）＝ . 故选B.
2. 已知 f （ x ）为二次函数，且满足 f （0）＝1， f （ x －1）－ f （ x ）
＝4 x ，则 f （ x ）的解析式为（ ）
A. f （ x ）＝－2 x2－2 x ＋1
B. f （ x ）＝－2 x2＋2 x ＋1
C. f （ x ）＝－2 x2－2 x －1
D. f （ x ）＝2 x2－2 x ＋1
解析： 设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），因为 f （0）＝1，所
以 c ＝1.又 f （ x －1）－ f （ x ）＝4 x ，所以有 a （ x －1）2＋ b （ x －
1）＋1－（ ax2＋ bx ＋1）＝4 x －2 ax ＋ a － b ＝4 x
解得 a ＝ b ＝－2.故选A.
角度2 已知 f （ g （ x ））的解析式，求 f （ x ）的解析式
【例4】 （1）已知函数 f （ x ＋1）＝ x2＋2 x ，则 f （ x ）的解析式为
（ C ）
A. f （ x ）＝ x2＋1 B. f （ x ）＝ x2＋2 x －1
C. f （ x ）＝ x2－1 D. f （ x ）＝ x2＋2 x ＋1
解析：法一（换元法） 令 x ＋1＝ t ，则 x ＝ t －1， t ∈R，所以 f
（ t ）＝（ t －1）2＋2（ t －1）＝ t2－1，即 f （ x ）＝ x2－1.
法二（配凑法） 因为 x2＋2 x ＝（ x2＋2 x ＋1）－1＝（ x ＋1）2－1，
所以 f （ x ＋1）＝（ x ＋1）2－1，即 f （ x ）＝ x2－1.
（2）已知 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，则 f （ x ）的解析式为
.
解析：法一（换元法） 令 t ＝ ＋1，则 x ＝（ t －1）2， t
≥1，
所以 f （ t ）＝（ t －1）2＋2（ t －1）＝ t2－1（ t ≥1），
所以函数的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
法二（配凑法） f （ ＋1）＝ x ＋2 ＝ x ＋2 ＋1－1＝
（ ＋1）2－1.
因为 ＋1≥1，所以函数的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
f （ x ）＝ x2
－1（ x ≥1）
通性通法
换元法、配凑法求函数解析式
已知 f （ g （ x ））＝ h （ x ），求 f （ x ）的两种方法：
（1）换元法：即令 t ＝ g （ x ），解出 x ，代入 h （ x ）中，得到一个
含 t 的解析式，再用 x 替换 t ，便得到 f （ x ）的解析式.利用换元
法解题时，换元后要确定新元 t 的取值范围，即函数 f （ x ）的定
义域；
（2）配凑法：即从 f （ g （ x ））的解析式中配凑出“ g （ x ）”，即
用 g （ x ）来表示 h （ x ），然后将解析式中的 g （ x ）用 x 代替
即可.
【跟踪训练】
1. 设函数 f （ x ）＝4 x －5， g （2 x ＋1）＝ f （ x ），则函数 g （ x ）的
解析式是（ ）
A. g （ x ）＝2 x ＋1 B. g （ x ）＝2 x －1
C. g （ x ）＝2 x ＋5 D. g （ x ）＝2 x －7
解析： ∵ g （2 x ＋1）＝4 x －5＝2（2 x ＋1）－7，∴ g （ x ）＝
2 x －7.故选D.
2. 设函数 f （ x ）满足 f （ ）＝ x ＋1，则 f （4）＝ .
解析：令 ＝ t ， t ≥0，则 x ＝ t2，因为函数 f （ x ）满足 f （ ）
＝ x ＋1，所以 f （ t ）＝ t2＋1， t ≥0，所以 f （ x ）＝ x2＋1， x ≥0所
以 f （4）＝17.
17
角度3 消元（方程组）法求函数解析式
【例5】 （1）已知函数 f （ x ）满足 f （ x ）＋2 f ＝ x ，则函数 f
（ x ）的解析式为 ；
解析：在已知等式中，将 x 换成 ，得 f ＋2 f （ x ）＝
消去 f ，得 f （ x ）＝－ ＋ .
f （ x ）＝－ ＋
（2）已知 af （ x ）＋ f （－ x ）＝ bx ，其中 a ≠±1，则函数 f （ x ）的
解析式为 .
解析：在原式中以－ x 替换 x ，得 af （－ x ）＋ f （ x ）＝－ bx ，
于是得
消去 f （－ x ），得 f （ x ）＝ .
故 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ x ， a ≠±1.
f （ x ）＝ x ， a ≠±1
通性通法
消元法（或解方程组法）求函数解析式
在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有
着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两
个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变
量，得到目标变量的解析式，这种方法称为消元法（或解方程组法）.
即已知 f （ x ）与 f （φ（ x ））满足的关系式，要求 f （ x ）时，可用φ
（ x ）代替两边的所有的 x ，得到关于 f （ x ）及 f （φ（ x ））的方程
组，解之即可求出 f （ x ）.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）满足 f （ x ）＋2 f （3－ x ）＝ x2，则 f （ x ）的解析式
为（ ）
A. f （ x ）＝ x2－12 x ＋18 B. f （ x ）＝ x2－4 x ＋6
C. f （ x ）＝6 x ＋9 D. f （ x ）＝2 x ＋3
解析： 用3－ x 代替原方程中的 x 得： f （3－ x ）＋2 f [3－（3－
x ）]＝ f （3－ x ）＋2 f （ x ）＝（3－ x ）2＝ x2－6 x ＋9，
∴
消去 f （3－ x ）得：－3 f （ x ）＝－ x2＋12 x －18，∴ f （ x ）＝ x2－4
x ＋6.故选B.
函数图象的三种变换
1. 函数图象的平移变换
左加右减：函数 y ＝ f （ x ）的图象沿 x 轴方向向左（ a ＞0）或向右
（ a ＜0）平移｜ a ｜个单位长度得到函数 y ＝ f （ x ＋ a ）的图象.
上加下减：函数 y ＝ f （ x ）的图象沿 y 轴方向向上（ b ＞0）或向下
（ b ＜0）平移｜ b ｜个单位长度得到函数 y ＝ f （ x ）＋ b 的图象.
例如：函数 f （ x ）＝ x2，分别作出 y ＝ f （ x ＋1）， y ＝ f （ x －
1）， y ＝ f （ x ）＋1， y ＝ f （ x ）－1的图象如图所示.
图象向左平移
一个单位长度
图象向右平移
一个单位长度
图象向上平移
一个单位长度
图象向下平移
一个单位长度
2. 函数图象的对称变换
（1） y ＝ f （ x ） y ＝－ f （ x ）；
（2） y ＝ f （ x ） y ＝ f （－ x ）；
（3） y ＝ f （ x ） y ＝－ f （－ x ）.
例如： f （ x ）＝ （ x ＞0），分别作出 y ＝－ f （ x ）， y ＝ f
（－ x ）， y ＝－ f （－ x ）的图象如图所示.
3. 函数图象的翻折变换
（1） y ＝ f （ x ） y ＝｜ f （ x ）｜；
（2） y ＝ f （ x ） y ＝ f （｜
x ｜）.
例如：已知函数 y ＝ f （ x ）＝ x2－2 x －3，分别作出函数 y
＝｜ f （ x ）｜与 y ＝ f （｜ x ｜）的图象如图所示.
y ＝｜ f （ x ）｜的图象为保留 y ＝ f （ x ）图象在 x 轴上方的部
分，把 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去.
y ＝ f （｜ x ｜）的图象为保留 y ＝ f （ x ）图象在 y 轴右侧的部
分，把 y 轴右侧的图象翻折到 y 轴左侧.
【迁移应用】
画出下列函数的大致图象：
（1） y ＝ ；
解：因为 y ＝ ＝2－ ，所以可先作出函数 y ＝－ 的大致图象，把图象向左平移1个单位长度得到 y ＝－ 的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到了函数 y ＝ 的图象，如图①所示.
解：先作出 y ＝ x2－1的大致图象，保留它在 x 轴及其上方的部分，再把它在 x 轴下方的部分沿 x 轴对称翻折到 x 轴上方，所得的图象就是函数 y ＝｜ x2－1｜的图象，如图②所示.
（2） y ＝｜ x2－1｜.
1. 若 f （ x ）是一次函数，2 f （2）－3 f （1）＝5，2 f （0）－ f （－1）
＝1，则 f （ x ）＝（ ）
A. 3 x ＋2 B. 3 x －2
C. 2 x ＋3 D. 2 x －3
解析：B设 f （ x ）＝ ax ＋ b ，由题设有
故选B.
2. 函数 y ＝－ 的大致图象是（ ）
解析： 函数 y ＝－ 的图象是由函数 y ＝－ 的图象向左平移1
个单位长度得到的，而函数 y ＝－ 的图象在第二、第四象限，结合
所给的四个图象只有B符合，故选B.
3. 定义域为R的函数 f （ x ）满足 f （ x ）＋2 f （－ x ）＝2 x ＋1，则 f
（ x ）＝（ ）
A. －2 x ＋1 B. 2 x －
C. 2 x －1 D. －2 x ＋
解析： 因为定义域为R的函数 f （ x ）满足 f （ x ）＋2 f （－ x ）
＝2 x ＋1，
以－ x 替换 x 代入得 f （－ x ）＋2 f （ x ）＝－2 x ＋1，
联立方程组
②×2－①消去 f （－ x ）得3 f （ x ）＝－6 x ＋1，
所以 f （ x ）＝－2 x ＋ .故选D.
4. （多选）已知 f （ x ＋2）＝ x2＋6 x ＋8且 f （ a ）＝3，则实数 a 的值
可能是（ ）
A. －3 B. 0
C. 1 D. 2
解析： ∵ f （ x ＋2）＝ x2＋6 x ＋8＝（ x ＋2）2＋2（ x ＋2），
∴ f （ x ）＝ x2＋2 x ，∵ f （ a ）＝ a2＋2 a ＝3，∴ a ＝1或－3.故选
A、C.
5. 已知集合 A ＝{－1，0，1}， B ＝{0，1，2}，试写出从 A 到 B 的一
个函数 h （ x ）＝ .
解析：令 h （ x ）＝ x ＋1，
则有 h （－1）＝0， h （0）＝1， h （1）＝2，满足题意.
x ＋1（答案不唯一）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x －1）＝ x2＋2 x －3，则 f （ x ）＝（ ）
A. x2＋4 x B. x2＋4
C. x2＋4 x －6 D. x2－4 x －1
解析： f （ x －1）＝ x2＋2 x －3＝（ x －1）2＋4（ x －1），所以
f （ x ）＝ x2＋4 x .故选A.
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2. 下表表示 y 是 x 的函数，则函数的值域是（ ）
x x ＜2 2≤ x ≤3 x ＞3
y 1 0 1
A. { y ｜0≤ y ≤1} B. R
C. {0，1，1} D. {0，1}
解析： 由题意，该函数的值域是{0，1}.故选D.
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3. 已知函数 f （ x ）满足2 f （ x ）＋ f ＝ x ，则 f （2）＝（ ）
A. B. 1
C. D. 2
解析： 由已知可得解得 f （ x ）＝
，其中 x ≠0，因此， f （2）＝ .故选C.
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4. 在△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ x ，周长为20，将△ ABC 的面积表示成 x 的
函数 S （ x ），则（ ）
A. S （ x ）＝ x （20－2 x ），5＜ x ＜10
B. S （ x ）＝ x （20－2 x ），0＜ x ＜10
C. S （ x ）＝（10－ x ） ，0＜ x ＜10
D. S （ x ）＝（10－ x ） ，5＜ x ＜10
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解析： 由题知△ ABC 是等腰三角形， S （ x ）＝ ×（20－2 x ）
× ＝（10－ x ） ，
又解得5＜ x ＜10.故选D.
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5. （多选）下列函数中，满足 f （3 x ）＝3 f （ x ）的是（ ）
A. f （ x ）＝2｜ x ｜ B. f （ x ）＝ x －｜ x ｜
C. f （ x ）＝－ x D. f （ x ）＝ x ＋2
1
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解析： 对于A： f （ x ）＝2｜ x ｜，因为 f （3 x ）＝2｜3
x ｜，3 f （ x ）＝2｜3 x ｜，所以 f （3 x ）＝3 f （ x ），故A正确；对
于B： f （ x ）＝ x －｜ x ｜，因为 f （3 x ）＝3 x －｜3 x ｜＝3（ x
－｜ x ｜）＝3 f （ x ），所以满足 f （3 x ）＝3 f （ x ），故B正确；
对于C： f （ x ）＝－ x ，因为 f （3 x ）＝－3 x ＝3 f （ x ），所以满足
f （3 x ）＝3 f （ x ），故C正确；对于D： f （ x ）＝ x ＋2，因为 f （3
x ）＝3 x ＋2，而3 f （ x ）＝3 x ＋6，所以 f （3 x ）≠3 f （ x ），故D
不正确.故选A、B、C.
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6. 若函数 f ＝ x ，则 f （ x ）＝ （ x ≠－1） .
解析：令 t ＝ ＝ －1，则 t ≠－1，∴ x ＝ －1，故 f （ t ）＝
－1＝ ，∴ f （ x ）＝ （ x ≠－1）.
（ x ≠－1）
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7. 将函数 y ＝ x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长
度，所得图象对应的函数解析式是 .
解析：函数 y ＝ x2的图象向左平移1个单位长度，得到 y ＝（ x ＋1）
2，再向下平移2个单位长度，得到 y ＝（ x ＋1）2－2.
y ＝（ x ＋1）2－2
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8. 一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与
所挂物体的质量成正比.如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则
弹簧总长 y （cm）与所挂物体质量 x （kg）之间的函数解析式为
.
解析：设所求函数解析式为 y ＝ kx ＋12（ k ≠0），把 x ＝3， y ＝
13.5代入，得13.5＝3 k ＋12，解得 k ＝ ，所以所求的函数解析式为
y ＝ x ＋12（ x ≥0）.
y ＝ x ＋12（ x ≥0）
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9. 已知 f （ x ）是二次函数.且 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝2 x2－4 x .求 f
（ x ）的解析式.
解：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
则 f （ x ＋1）＝ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋ c ＝ ax2＋（2 a ＋ b ） x
＋ a ＋ b ＋ c ，
f （ x －1）＝ a （ x －1）2＋ b （ x －1）＋ c ＝ ax2＋（－2 a ＋ b ） x
＋ a － b ＋ c ，
所以 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝2 ax2＋2 bx ＋2 a ＋2 c ，又 f （ x ＋1）
＋ f （ x －1）＝2 x2－4 x ，
因此所以 f （ x ）＝ x2－2 x －1.
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10. 若函数 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3－ c 的最小值为2 024，则 f （ x ＋2
025）的最小值是 .
解析：函数 f （ x ＋2 025）的图象可由函数 f （ x ）的图象向左平移
2 025个单位长度得到，因此两函数的最小值相同，均为2 024，故
f （ x ＋2 025）的最小值是2 024.
2 024
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11. 已知函数 y ＝ f （ x ）（ x ∈R）的图象如图所示，则不等式 xf
（ x ）＜0的解集为 .
解析：不等式 xf （ x ）＜0等价为
或
解得1＜ x ＜3，或－1＜ x ＜0，
故不等式 xf （ x ）＜0的解集为（－1，0）∪（1，3）.
（－1，0）∪（1，3）
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12. 已知函数 f （ x ＋1）＝ .
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
解：函数 f （ x ＋1）＝ ，设 u ＝ x ＋1，则 x ＝ u－1，
则 f （ u ）＝ ＝ ＝ u ＋ ＋3，则
f （ x ）＝ x ＋ ＋3，
所以函数 f （ x ）的解析式 f （ x ）＝ x ＋ ＋3.
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（2）若 x ＞0时，不等式 f （ x ）＜ t 无解，求 t 的取值范围.
解：由（1）知， f （ x ）＝ x ＋ ＋3，当 x ＞0时， f
（ x ）＝ x ＋ ＋3≥2 ＋3＝7，当且仅当 x ＝2时取
“＝”，因此，当 x ＝2时， f （ x ）min＝7，
若 x ＞0时，不等式 f （ x ）＜ t 无解，即 t ≤ f （ x ）恒成立，
则有 t ≤ f （ x ）min＝7，
所以 t 的取值范围为（－∞，7].
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13. 函数 f （ x ）的定义域为[－1，1]，图象如图①所示，函数 g （ x ）
的定义域为[－1，2]，图象如图②所示.若集合 A ＝{ x ｜ f （ g
（ x ））＝0}， B ＝{ x ｜ g （ f （ x ））＝0}，则 A ∪ B 中有
个元素.
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解析：由图象可得，若 f （ g （ x ））＝0，则 g （ x ）＝－1或 g
（ x ）＝0或 g （ x ）＝1，
由 g （ x ）＝－1知 x 不存在；
由 g （ x ）＝0得 x ＝0或 x ＝2，
由 g （ x ）＝1得 x ＝－1或 x ＝1，
所以 x ＝－1或 x ＝0或 x ＝1或 x ＝2，
所以 A ＝{ x ｜ f （ g （ x ））＝0}＝{－1，0，1，2}；
若 g （ f （ x ））＝0，则 f （ x ）＝0或 f （ x ）＝2，
所以 x ＝－1或 x ＝0或 x ＝1，
所以 B ＝{ x ｜ g （ f （ x ））＝0}＝{－1，0，1}，
所以 A ∪ B ＝{－1，0，1，2}，共4个元素.
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14. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳
健型产品的年收益 f （ x ）与投资额 x 成正比，其关系如图①；投
资股票等风险型产品的年收益 g （ x ）与投资额 x 的算术平方根成
正比，其关系如图②.
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（1）分别写出两种产品的年收益 f （ x ）和 g （ x ）的函数关
系式；
解：依题意：可设 f （ x ）＝ k1 x （ x ≥0），
g （ x ）＝ k2 （ x ≥0），
由题意知 f （1）＝ k1＝ ， g （1）＝ k2＝ ，所以 f （ x ）＝
x （ x ≥0）， g （ x ）＝ （ x ≥0）.
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（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配
资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
解：设投资债券类产品 x 万元，则股票类投资为（20－
x ）万元，年收益为 y 万元，
依题意得： y ＝ f （ x ）＋ g （20－ x ），
即 y ＝ ＋ （0≤ x ≤20），令 t ＝ ，
则 x ＝20－ t2， t ∈[0，2 ]，
则 y ＝ ＋ ＝－ （ t －2）2＋3， t ∈[0，2 ]，
所以当 t ＝2，即 x ＝16时， y 取最大值，为3.
故应投资债券类产品16万元，股票类产品4万元年收益最
大，最大年收益为3万元.
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