3.1.1 第三课时 分段函数(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第一册

文档属性

名称 3.1.1 第三课时 分段函数(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第一册
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资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-05 18:43:32

文档简介

第三课时 分段函数
1.已知函数y=f(x)表示为
x [-2,0) 0 (0,2]
y 1 0 -2
设f(1)=m,f(x)的值域为M,则(  )
A.m=-2,M={-2,0,1}
B.m=-2,M={y|-2≤y≤1}
C.m=1,M={-2,0,1}
D.m=1,M={y|-2≤y≤1}
2.已知函数f(x)=则f(f(3))=(  )
A.1 B.3
C.-1 D.-3
3.函数f(x)=x2-2|x|的图象是(  )
4.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于(  )
A.-1 B.-2
C.1 D.3
5.(多选)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(  )
A.f(x)的最大值为3
B.f(0)=2
C.若f(x)=-1,则x=2
D.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞)
6.已知函数f(x)=则f(-1)=    .
7.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f=    .
8.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中x代表拟录用人数,y代表面试人数.若面试人数为60,则该公司拟录用人数为    .
9.已知f(x)=
(1)画出f(x)的图象;
(2)若f(x)≥,求x的取值范围;
(3)求f(x)的值域.
10.已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是(  )
A.{x|x≤1} B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|x<0}
11.若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是    .
12.对定义域分别是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数h(x)=
(1)若函数f(x)=-2x+3,x≥1;g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;
(2)求(1)中函数h(x)的最大值.
13.2024年3月,某人的工资应纳税所得额是11 000元,纳税标准按如下表格,则他应该纳税    元.
纳税 级数 应纳税所得额 税率 (%)
1 不超过3 000元的部分 3%
2 超过3 000元至12 000元的部分 10%
14.如图,在同一平面上,已知等腰直角三角形纸片ABC的腰长为3,正方形纸片CDEF的边长为1,其中B、C、D三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a个单位,0<a≤3.设两张纸片重叠部分的面积为S.
(1)求S关于a的函数解析式;
(2)若S=,求a的值.
第三课时 分段函数
1.A 根据题意得f(1)=-2=m,f(x)的值域为M={-2,0,1}.故选A.
2.D 因为f(x)=则f(3)=-=-1,故f(f(3))=f(-1)=-1-2=-3.故选D.
3.C f(x)=分段画出,应选C.
4.B 当a>0时,由f(a)+f(1)=0 a2+1=0,该方程无实根;当a≤0时,f(a)+f(1)=0 a+1+1=0 a=-2,显然符合a≤0,故选B.
5.BD 画出函数f(x)=的图象如图,
可知f(x)≠3,A选项错误;f(0)=0+2=2,B选项正确;当x<1时,f(x)=x+2=-1,解得x=-3,当x>1时,f(x)=-x2+3=-1,解得x=2,C选项错误;当x<1时,f(x)=x+2<2,解得x<0,当x>1时,f(x)=-x2+3<2,解得x>1,D选项正确;故选B、D.
6.-1 解析:由题意可知f(-1)=f(-1+2)=f(1)=2-3=-1.
7. 解析:由题图可知,函数f(x)的解析式为f(x)=所以f=-1=-,所以f=f=-+1=.
8.25 解析:令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故该公司拟录用25人.
9.解:(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.
(2)由于f=,结合此函数图象可知,使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],
当x>1或x<-1时,f(x)=1.
所以f(x)的值域为[0,1].
10.A 当x≥0时,f(x)=1,
xf(x)+x≤2 x≤1,
所以0≤x≤1;
当x<0时,f(x)=0,xf(x)+x≤2 x≤2,
所以x<0,综上,x≤1.
11.(-∞,1] 解析:由题意知f(x)=
画出图象,如图所示.
由图易得值域为(-∞,1].
12.解:(1)h(x)=
(2)当x≥1时,h(x)=-2x2+7x-6
=-2+,
∴h(x)≤.
当x<1时,h(x)<-1,
∴当x=时,h(x)取最大值且最大值是.
13.890 解析:由题得应纳税3 000×3%+(11 000-3 000)×10%=890(元).
14.解:(1)如图,延长EF交AB于点G,易得Rt△AFG∽Rt△ACB,又AC=3FC=3,
则==,
所以FG=2,
当0<a≤1时,S=a;
当1<a≤2时,S=1;
当2<a≤3时,S=1-(a-2)2=-+2a-1.
综上,S=
(2)由(1)知:在(0,1]上,S=a=;
在(2,3]上,S=-+2a-1=,整理得4a2-16a+15=(2a-3)(2a-5)=0,
解得a=(舍)或a=.
综上,a=或a=.
1 / 2第三课时 分段函数
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用 数学抽象、直观想象、数学运算
  某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:
  (1)5千米以内(含5千米),票价2元;
  (2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算).
  已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.
【问题】 (1)从起点站出发,公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗?
(2)函数的表达式是什么?
                      
                      
                      
                      
知识点 分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有         ,则称其为分段函数.
2.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分段函数的图象.
3.常数函数
值域      元素的函数,通常称为常数函数.
提醒 分段函数应注意4点:①分段函数是一个函数,而不是几个函数.处理分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系;
②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围;
③分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的形式;
④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.
1.已知函数f(x)=则f(f(-1))的值为(  )
A.3        B.0
C.-1 D.-2
2.函数f(x)=的值域是(  )
A.R B.[-1,1]
C.{-1,1} D.{-1,0,1}
3.下列图形是函数y=x|x|的图象的是    (填序号).
题型一 分段函数的定义域、值域
【例1】 (1)已知函数f(x)=,则其定义域为(  )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
(2)函数f(x)=的定义域为    ,值域为    .
尝试解答
通性通法
1.分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集;
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集.
2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
【跟踪训练】
函数f(x)=的值域是(  )
A.R        B.[0,+∞)
C.[0,3] D.[0,2]∪{3}
题型二 分段函数求值问题
【例2】 已知函数f(x)=
(1)求f的值;
(2)若f(a)=,求a的值.
尝试解答
通性通法
分段函数问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值;
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验;
(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
【跟踪训练】
1.已知函数f(x)=则f(6)=(  )
A.-2         B.0
C.1 D.2
2.设f(x)=若f(x)=3,则x=(  )
A.1 B.±
C. D.
3.设f(x)=若f(x)>-1,则实数x的取值范围为(  )
A.(-∞,-1)
B.(0,+∞)
C.(-∞,-1)∪(0,+∞)
D.(-1,0)
题型三 分段函数的图象及应用
【例3】 分别作出下列分段函数的图象,并写出定义域及值域.
(1)y=
(2)y=
尝试解答
通性通法
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象;也可以利用翻折变换作出图象;
(2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.
【跟踪训练】
1.函数f(x)=x+的图象是(  )
2.设x∈R,则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为    .
1.19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数D(x)=,则D{D[D(π)]}=(  )
A.0        B.1
C.π D.π2
2.函数y=的图象的大致形状是(  )
3.若函数f(x)=则f(2)=(  )
A.2  B.3 
C.4  D.5
4.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=10,则a的值可以是 (  )
A.-3 B.3
C.0 D.5
5.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是    .
第三课时 分段函数
【基础知识·重落实】
知识点
1.不同的对应方式 3.只有一个
自我诊断
1.D 由题意得,f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,则f(f(-1))=f(3)=-3+1=-2.故选D.
2.D ∵函数f(x)=∴函数值只有三个数:-1,0,1.∴函数f(x)的值域为{-1,0,1},故选D.
3.④ 解析:y=故只有④符合.
【典型例题·精研析】
【例1】 (1)D (2)(-1,1) (-1,1)
解析:(1)要使f(x)有意义,需x≠0,
故定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)由已知定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|-1<x<0}={x|-1<x<1},即(-1,1).又0<x<1时,0<-x2+1<1,-1<x<0时,-1<x2-1<0,x=0时,f(x)=0,故值域为(-1,0)∪{0}∪(0,1)=(-1,1).
跟踪训练
 D 当x∈[0,1]时,f(x)=2x2∈[0,2],所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}=[0,2]∪{3}.
【例2】 解:(1)因为f=-2=-,
所以f=f==.
(2)f(a)=,若|a|≤1,则|a-1|-2=,
得a=或a=-.
因为|a|≤1,所以a的值不存在;
若|a|>1,则=,得a=±,符合|a|>1.
所以若f(a)=,a的值为±.
跟踪训练
1.A 根据分段函数可知:f(6)=f(5)=f(4)=f(3)=f(2)=f(1)=-2.故选A.
2.D 若即无解;
若即所以x=;
若即无解.综上x=.故选D.
3.C 当x≥0时,f(x)=x-1>-1,解得x>0;当x<0时,f(x)=>-1,解得x<-1.综上,实数x的取值范围为x<-1或x>0.故选C.
【例3】 解:各函数对应图象如图所示:
由图象知,(1)的定义域是(0,+∞),值域是[1,+∞).
(2)的定义域是(-∞,+∞),值域是(-6,6].
跟踪训练
1.C 依题意,知f(x)=x+=所以函数f(x)的图象为选项C中的图象.故选C.
2.(-∞,2] 解析:当x≥1时,y=2(x-1)-3x=-x-2;
当0≤x<1时,y=-2(x-1)-3x=-5x+2;
当x<0时,y=-2(x-1)+3x=x+2.
故y=
根据函数解析式作出函数图象,如图所示.
由图象可以看出,函数的值域为(-∞,2].
随堂检测
1.B 因为π Q,所以D(π)=0,则D{D[D(π)]}=D[D(0)]=D(1)=1,故选B.
2.A 因为y==所以函数的图象为A.
3.B ∵f(x)=∴f(2)=f(2+2)=f(4)=f(4+2)=f(6)=6-3=3.故选B.
4.AD 当a≤0时,f(a)=a2+1=10,解得a=3(舍去)或a=-3,当a>0时,f(a)=2a=10,解得a=5,符合,综上,a=-3或5.故选A、D.
5.f(x)= 解析:由题图可知,f(x)的图象是由两条线段组成的.当-1≤x<0时,设f(x)=ax+b,将(-1,0),(0,1)代入解析式,得解得
当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将(1,-1)代入,得k=-1.
所以f(x)的解析式为f(x)=
5 / 5(共59张PPT)
第三课时 分段函数
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例,了解简单的分段函数,并能
简单应用 数学抽象、直观想
象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  (2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算).
  已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.
  某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:
  (1)5千米以内(含5千米),票价2元;
(2)函数的表达式是什么?
                      
                      
                      
                      
【问题】 (1)从起点站出发,公共汽车的行程 x (千米)与票价 y
(元)有函数关系吗?
知识点 分段函数
1. 分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有
,则称其为分段函数.
不同的对应方式 
2. 分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标
系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段
图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分段函
数的图象.
3. 常数函数
值域 元素的函数,通常称为常数函数.
提醒 分段函数应注意4点:①分段函数是一个函数,而不是几个
函数.处理分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从
而选取相应的对应关系;
只有一个 
②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形
式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围;
③分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义
域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的形式;
④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的
并集.
1. 已知函数 f ( x )=则 f ( f (-1))的值为
(  )
A. 3 B. 0
C. -1 D. -2
解析: 由题意得, f (-1)=(-1)2-2×(-1)=3,则 f
( f (-1))= f (3)=-3+1=-2.故选D.
2. 函数 f ( x )=的值域是(  )
A. R B. [-1,1]
C. {-1,1} D. {-1,0,1}
解析: ∵函数 f ( x )=∴函数值只有三个数:-
1,0,1.∴函数 f ( x )的值域为{-1,0,1},故选D.
3. 下列图形是函数 y = x | x |的图象的是 (填序号).
解析: y =故只有④符合.

典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分段函数的定义域、值域
【例1】 (1)已知函数 f ( x )= ,则其定义域为( D )
A. R B. (0,+∞)
C. (-∞,0) D. (-∞,0)∪(0,+∞)
解析:要使 f ( x )有意义,需 x ≠0,
故定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)函数 f ( x )=的定义域为
,值域为 .
解析:由已知定义域为{ x |0< x <1}∪{0}∪{ x |-1< x <0}
={ x |-1< x <1},即(-1,1).又0< x <1时,0<- x2+1
<1,-1< x <0时,-1< x2-1<0, x =0时, f ( x )=0,故
值域为(-1,0)∪{0}∪(0,1)=(-1,1).
(-1,
1) 
(-1,1) 
通性通法
1. 分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集;
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集.
2. 绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
【跟踪训练】
函数 f ( x )=的值域是(  )
A. R B. [0,+∞)
C. [0,3] D. [0,2]∪{3}
解析: 当 x ∈[0,1]时, f ( x )=2 x2∈[0,2],所以函数 f ( x )
的值域为[0,2]∪{2,3}=[0,2]∪{3}.
题型二 分段函数求值问题
【例2】 已知函数 f ( x )=
(1)求 f 的值;
解:因为 f = -2=- ,
所以 f = f = = .
(2)若 f ( a )= ,求 a 的值.
解:f ( a )= ,若| a |≤1,则| a -1|-2= ,
得 a = 或 a =- .
因为| a |≤1,所以 a 的值不存在;
若| a |>1,则 = ,得 a =± ,符合| a |>1.
所以若 f ( a )= , a 的值为± .
通性通法
分段函数问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属
于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现 f ( f
( a ))的形式时,应从内到外依次求值;
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量
的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,
切记要检验;
(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:
先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相
应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f ( x )=则 f (6)=(  )
A. -2 B. 0
C. 1 D. 2
解析: 根据分段函数可知: f (6)= f (5)= f (4)= f (3)
= f (2)= f (1)=-2.故选A.
2. 设 f ( x )=若 f ( x )=3,则 x =(  )
A. 1 B. ±
C. D.
解析: 若无解;
若所以 x = ;
若无解.
综上 x = .故选D.
3. 设 f ( x )=若 f ( x )>-1,则实数 x 的取值范
围为(  )
A. (-∞,-1)
B. (0,+∞)
C. (-∞,-1)∪(0,+∞)
D. (-1,0)
解析: 当 x ≥0时, f ( x )= x -1>-1,解得 x >0;当 x <0
时, f ( x )= >-1,解得 x <-1.综上,实数 x 的取值范围为 x <
-1或 x >0.故选C.
题型三 分段函数的图象及应用
【例3】 分别作出下列分段函数的图象,并写出定义域及值域.
(1) y =
解:各函数对应图象如图所示:
由图象知,(1)的定义域是
(0,+∞),值域是[1,+
∞).
(2) y =
解:的定义域是(-∞,+∞),值域是(-6,6].
通性通法
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意
义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函
数图象;也可以利用翻折变换作出图象;
(2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图
象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内
的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证
不重不漏.
【跟踪训练】
1. 函数 f ( x )= x + 的图象是(  )
解析: 依题意,知 f ( x )= x + =所以
函数 f ( x )的图象为选项C中的图象.故选C.
2. 设 x ∈R,则函数 y =2| x -1|-3| x |的值域为 .
解析:当 x ≥1时, y =2( x -1)-3 x =- x -2;
当0≤ x <1时, y =-2( x -1)-3 x =-5 x +2;
当 x <0时, y =-2( x -1)+3 x = x +2.
故 y =
根据函数解析式作出函数图象,如图所示.
由图象可以看出,函数的值域为(-∞,2].
(-∞,2] 
1.19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数 D
( x )=,则 D { D [ D (π)]}=(  )
A. 0 B. 1
C. π D. π2
解析: 因为π Q,所以 D (π)=0,则 D { D [ D (π)]}= D [ D
(0)]= D (1)=1,故选B.
2. 函数 y = 的图象的大致形状是(  )
解析: 因为 y = =所以函数的图象为A.
3. 若函数 f ( x )=则 f (2)=(  )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析: ∵ f ( x )=∴ f (2)= f (2+2)= f
(4)= f (4+2)= f (6)=6-3=3.故选B.
4. (多选)已知函数 f ( x )=若 f ( a )=10,则 a
的值可以是(  )
A. -3 B. 3
C. 0 D. 5
解析: 当 a ≤0时, f ( a )= a2+1=10,解得 a =3(舍去)
或 a =-3,当 a >0时, f ( a )=2 a =10,解得 a =5,符合,综
上, a =-3或5.故选A、D.
5. 已知函数 f ( x )的图象如图所示,则 f ( x )的解析式是
.
f ( x )=
 
解析:由题图可知, f ( x )的图象是由两条线段组成的.当-
1≤ x <0时,设 f ( x )= ax + b ,将(-1,0),(0,1)代
入解析式,

解得
当0≤ x ≤1时,设 f ( x )= kx ,将(1,-1)代入,得 k =-1.
所以 f ( x )的解析式为 f ( x )=
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 y = f ( x )表示为
x [-2,0) 0 (0,2]
y 1 0 -2
设 f (1)= m , f ( x )的值域为 M ,则(  )
A. m =-2, M ={-2,0,1}
B. m =-2, M ={ y |-2≤ y ≤1}
C. m =1, M ={-2,0,1}
D. m =1, M ={ y |-2≤ y ≤1}
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解析: 根据题意得 f (1)=-2= m , f ( x )的值域为 M ={-2,0,1}.故选A.
2. 已知函数 f ( x )=则 f ( f (3))=(  )
A. 1 B. 3
C. -1 D. -3
解析: 因为 f ( x )=则 f (3)=- =-1,故
f ( f (3))= f (-1)=-1-2=-3.故选D.
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3. 函数 f ( x )= x2-2| x |的图象是(  )
解析:  f ( x )=分段画出,应选C.
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4. 已知函数 f ( x )=若 f ( a )+ f (1)=0,则实数
a 的值等于(  )
A. -1 B. -2
C. 1 D. 3
解析: 当 a >0时,由 f ( a )+ f (1)=0 a2+1=0,该方程
无实根;当 a ≤0时, f ( a )+ f (1)=0 a +1+1=0 a =-2,
显然符合 a ≤0,故选B.
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5. (多选)已知函数 f ( x )=关于函数 f ( x )的
结论正确的是(  )
A. f ( x )的最大值为3
B. f (0)=2
C. 若 f ( x )=-1,则 x =2
D. f ( x )<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞)
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解析: 画出函数 f ( x )=
的图象如图,
可知 f ( x )≠3,A选项错误; f (0)=0+2
=2,B选项正确;当 x <1时, f ( x )= x +2
=-1,解得 x =-3,当 x >1时, f ( x )=-
x2+3=-1,解得 x =2,C选项错误;当 x <1
时, f ( x )= x +2<2,解得 x <0,当 x >1
时, f ( x )=- x2+3<2,解得 x >1,D选项
正确;故选B、D.
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6. 已知函数 f ( x )=则 f (-1)= .
解析:由题意可知 f (-1)= f (-1+2)= f (1)=2-3=-1.
-1
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7. 已知函数 f ( x )的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则 f
=    .

解析:由题图可知,函数 f ( x )的解析式为 f ( x )=
所以 f = -1=- ,
所以 f = f =- +1= .
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8. 某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y
=其中 x 代表拟录用人数, y 代
表面试人数.若面试人数为60,则该公司拟录用人数为 .
解析:令 y =60,若4 x =60,则 x =15>10,不合题意;若2 x +10
=60,则 x =25,满足题意;若1.5 x =60,则 x =40<100,不合题
意.故该公司拟录用25人.
25
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9. 已知 f ( x )=
(1)画出 f ( x )的图象;
解:利用描点法,作出 f ( x )的图
象,如图所示.
(2)若 f ( x )≥ ,求 x 的取值范围;
解:由于 f = ,结合此函数图象可知,使 f ( x )
≥ 的 x 的取值范围是 ∪ .
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(3)求 f ( x )的值域.
解:由图象知,当-1≤ x ≤1时, f ( x )= x2的值域为
[0,1],
当 x >1或 x <-1时, f ( x )=1.
所以 f ( x )的值域为[0,1].
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10. 已知 f ( x )=则不等式 xf ( x )+ x ≤2的解集是
(  )
A. { x | x ≤1} B. { x | x ≤2}
C. { x |0≤ x ≤1} D. { x | x <0}
解析: 当 x ≥0时, f ( x )=1,
xf ( x )+ x ≤2 x ≤1,所以0≤ x ≤1;
当 x <0时, f ( x )=0, xf ( x )+ x ≤2 x ≤2,
所以 x <0,综上, x ≤1.
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11. 若定义运算 a ☉ b =则函数 f ( x )= x ☉(2- x )的值
域是 .
解析:由题意知 f ( x )=
画出图象,如图所示.
由图易得值域为(-∞,1].
(-∞,1] 
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12. 对定义域分别是 Df , Dg 的函数 y = f ( x ), y = g ( x ),规定:
函数 h ( x )=
(1)若函数 f ( x )=-2 x +3, x ≥1; g ( x )= x -2, x ∈R,
写出函数 h ( x )的解析式;
解:h ( x )=
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(2)求(1)中函数 h ( x )的最大值.
解:当 x ≥1时, h ( x )=-2 x2+7 x -6
=-2 + ,∴ h ( x )≤ .
当 x <1时, h ( x )<-1,
∴当 x = 时, h ( x )取最大值且最大值是 .
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13. 2024年3月,某人的工资应纳税所得额是11 000元,纳税标准按如
下表格,则他应该纳税 元.
纳税 级数 应纳税所得额 税率(%)
1 不超过3 000元的部分 3%
2 超过3 000元至12 000元的部分 10%
解析:由题得应纳税3 000×3%+(11 000-3 000)×10%=890(元).
890
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14. 如图,在同一平面上,已知等腰直角三角形纸片 ABC 的腰长为3,
正方形纸片 CDEF 的边长为1,其中 B 、 C 、 D 三点在同一水平线
上依次排列.把正方形纸片向左平移 a 个单位,0< a ≤3.设两张纸
片重叠部分的面积为 S .
(1)求 S 关于 a 的函数解析式;
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解:如图,延长 EF 交 AB 于点 G ,易得Rt△ AFG ∽Rt△ ACB ,又 AC =3 FC =3,
则 = = ,所以 FG =2,
当0< a ≤1时, S = a ;
当1< a ≤2时, S =1;
当2< a ≤3时, S =1- ( a -2)2=- +2 a -1.
综上, S =
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(2)若 S = ,求 a 的值.
解:由(1)知:在(0,1]上, S =a = ;
在(2,3]上, S =- +2 a -1= ,
整理得4 a2-16 a +15=(2 a -3)(2 a -
5)=0,
解得 a = (舍)或 a = .
综上, a = 或 a = .
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谢 谢 观 看!