3.1.2 函数的单调性
第一课时 单调性的定义与证明
1.下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（ ）
A.y＝｜x｜＋2 B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋4
2.若二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0），满足f（1）＝f（3），则下列不等式成立的是（ ）
A.f（1）＜f（4）＜f（2）
B.f（4）＜f（1）＜f（2）
C.f（4）＜f（2）＜f（1）
D.f（2）＜f（4）＜f（1）
3.设（a，b），（c，d）都是f（x）的单调递增区间，且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1＜x2，则f（x1）与f（x2）的大小关系为（ ）
A.f（x1）＜f（x2） B.f（x1）＞f（x2）
C.f（x1）＝f（x2） D.不能确定
4.（多选）如图是函数y＝f（x）的图象，则函数f（x）在下列区间单调递增的是（ ）
A.[2，5] B.[－6，－4]
C.[－1，2] D.[－1，2]∪[5，8]
5.（多选）已知函数f（x）＝是R上的减函数，则实数k的可能的取值有（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
6.已知命题p：“若f（x）＜f（4）对任意的x∈（0，4）都成立，则f（x）在（0，4）上为增函数”.能说明命题p为假命题的一个函数是 .
7.已知函数f（x）的图象如图所示，若f（x）在[m，m＋3]上单调递减，则m的取值范围为 .
8.函数f（x）＝的单调增区间是 .
9.已知函数f（x）＝x－.
（1）判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）求f（x）在区间[1，2]上的值域.
10.已知函数f（x）＝对于 x1，x2∈[1，＋∞）且x1≠x2，都有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，则m的取值范围为 .
11.设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，则不等式f（x）＋f（－2）＞1的解集为 .
12.已知f（x）在（0，＋∞）上是增函数，且f（x）＞0，f（3）＝1.试判断g（x）＝f（x）＋在（0，3]上是增函数还是减函数，并加以证明.
13.已知函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且f＝1，f（1）＝0，则f（3）＝（ ）
A. B.
C.2 D.3
14.定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，且对任意x＞0，恒有f（x）＞1.
（1）判断f（x）单调性，并证明；
（2）已知f（4）＝5，若不等式f（mx2＋2）＋f（1－2mx）＞4对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
第一课时 单调性的定义与证明
1.A 因为－1＜0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在（0，＋∞）上递减，二次函数y＝－x2＋4在（0，＋∞）上递减.故选A.
2.B 因为f（1）＝f（3），所以二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，又因为a＜0，所以f（4）＜f（3）＜f（2），又f（1）＝f（3），所以f（4）＜f（1）＜f（2）.故选B.
3.D 由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f（x1）与f（x2）的大小关系不能确定.故选D.
4.BC 图象从左往右上升的区间有：[－6，－4]，[－1，2]，[5，8]，∴f（x）在[－6，－4]，[－1，2]，[5，8]上单调递增.故选B、C.
5.ABC 因为函数f（x）是R上的减函数，所以 2≤k≤6.故选A、B、C.
6.f（x）＝（x－1）2，x∈（0，4）（答案不唯一）
解析：取f（x）＝（x－1）2，x∈（0，4），则函数f（x）在（0，4）上先减后增， 当x＝1时，函数值最小，且f（x）＜f（4），满足题意，所以函数f（x）＝（x－1）2，x∈（0，4）可以说明命题p为假命题.
7.（－∞，－3]∪[2，＋∞） 解析：由题图可知，f（x）的单调递减区间为（－∞，0]，[2，＋∞）.
因为函数f（x）在[m，m＋3]上单调递减，则[m，m＋3] （－∞，0]或[m，m＋3] [2，＋∞），
由题意得m＋3≤0或m≥2，即m≤－3或m≥2.
8. 解析：由题意知，4－3x－x2≥0，x2＋3x－4≤0，（x＋4）·（x－1）≤0，解得－4≤x≤1，
所以f（x）的定义域为[－4，1].
y＝－x2－3x＋4的对称轴为直线x＝－，开口向下，y＝在[0，＋∞）上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知f（x）的单调递增区间是.
9.解：（1）f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，有f（x1）－f（x2）＝－＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）＋＝（x1x2＋1）.
因为x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，所以x1x2＞0，x1－x2＜0.
于是（x1x2＋1）＜0，即f（x1）＜f（x2）.故f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.
（2）由第（1）问结论可知，f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，
因为f（1）＝0，f（2）＝.
所以f（x）在区间[1，2]上的值域为.
10. 解析：由题意可知，f（x）在[1，＋∞）上为单调增函数，要使y＝－在[1，2）上单调递增，则－m＜0，即m＞0，要使f（x）＝x2－mx在[2，＋∞）上单调递增，则m≤2，同时×22－2m≥－m，解得m≤，综上可知：0＜m≤.
11. 解析：由条件可得f（x）＋f（－2）＝f（－2x），
又f（3）＝1，∴不等式f（x）＋f（－2）＞1，
即为f（－2x）＞f（3）.
∵f（x）是定义在R上的增函数，∴－2x＞3，
解得x＜－.故不等式f（x）＋f（－2）＞1的解集为.
12.解：函数g（x）在（0，3]上是减函数.
证明如下：任取x1，x2∈（0，3]，且x1＜x2，则
g（x1）－g（x2）＝－［f（x2）＋］＝[f（x1）－f（x2）].
因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
所以f（x1）－f（x2）＜0.
又f（x）＞0，f（3）＝1，
所以0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）＝1，
则0＜f（x1）f（x2）＜1，＞1，
即1－＜0，
所以g（x1）－g（x2）＞0，g（x1）＞g（x2）.
故g（x）＝f（x）＋在（0，3]上是减函数.
13.B 令f（x）＋＝t，即有f（t）＝1，因函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，则t为常数，
因此f（x）＝－＋t，从而解得a＝t＝2，于是得f（x）＝－＋2，显然函数f（x）在（0，＋∞）上递增，所以f（3）＝－＋2＝.故选B.
14.解：（1）函数f（x）在R上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1＞x2，
则f（x1－x2）＞1，
f（x1）－f（x2）＝f[（x1－x2）＋x2]－f（x2）
＝f（x1－x2）＋f（x2）－1－f（x2）＝f（x1－x2）－1＞0，
即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在R上单调递增.
（2）因为f（4）＝f（2）＋f（2）－1＝5，则f（2）＝3，
原不等式可化为f（mx2－2mx＋3）＞3，即f（mx2－2mx＋3）＞f（2），
由函数f（x）在R上单调递增可得mx2－2mx＋3＞2对 x∈R恒成立，
即mx2－2mx＋1＞0对 x∈R恒成立.
若m＝0，1＞0恒成立，符合题意；
若m≠0，则得0＜m＜1.
综上可得m∈[0，1）.
2 / 23.1.2 函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解函数的平均变化率，理解它们的作用和实际意义 数学抽象、直观想象、 逻辑推理、数学运算
第一课时 单调性的定义与证明
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间 间隔t 刚记忆 完毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9 小时后 1天后 2天后 6天后 一个 月后
记忆量y （百分比） 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”.
【问题】 （1）当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？
（2）“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
知识点 增函数、减函数的概念
1.增函数、减函数的定义
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，且区间I D：
（1）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有 ，则称y＝f（x）在区间I上是增函数（也称在区间I上 ），如图①所示；
（2）如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有 ，则称y＝f（x）在区间I上是减函数（也称在区间I上 ），如图②所示.
提醒 （1）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：①属于同一个区间I；②任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替；③区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1＜x2.
（2）并非所有的函数都具有单调性.如函数f（x）＝它的定义域为R，但不具有单调性.
【想一想】
在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？
2.函数的单调区间
在上述两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性（区间I称为函数的 ，也可分别称为 或 ）.
提醒 （1）函数在某个区间上是单调增（减）函数，但是在整个定义域上不一定是单调增（减）函数.如函数y＝（x≠0）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性.
（2）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接.如函数y＝（x≠0）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，不能认为y＝（x≠0）的单调减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（3）当一个函数给定后，它的单调区间相应被确定，函数y＝f（x）在区间I上单调与函数y＝f（x）的单调区间是I的含义不同.如函数y＝x2在[a，＋∞）上单调递增时，a≥0，函数y＝x2的单调递增区间是[a，＋∞）时，a＝0.
1.下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A.y＝｜x｜ B.y＝x
C.y＝x2 D.y＝
2.若函数f（x）＝（2a－1）x（a为实数）是R上的减函数，则（ ）
A.a≥ B.a≤
C.a＞ D.a＜
3.如果函数y＝f（x）的图象如图所示，那么此函数的减区间为 .
题型一 利用定义判断或证明函数的单调性
【例1】 （链接教科书第101页例1）求证：函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数，在（－∞，0）上是增函数.
尝试解答
通性通法
利用定义证明函数单调性的4个步骤
【跟踪训练】
已知函数y＝f（x）是R上的增函数，k＞0，且g（x）＝kf（x），求证：g（x）在R上也是增函数.
题型二 判断函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
（1）y＝｜x2＋2x－3｜；
（2）y＝－x2＋2｜x｜＋1.
尝试解答
通性通法
图象法求函数单调区间的注意点
凡能作出函数图象的求单调区间问题，都可应用图象法.图象法主要用于求熟悉的常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调区间，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数图象的函数的单调区间.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝｜x｜（x－2）.
（1）画出函数图象；
（2）结合图象写出函数的单调增区间和单调减区间.
题型三 函数单调性的应用
角度1 利用单调性求参数及解不等式
【例3】 （1）若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是 ；
（2）已知函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6），则实数x的取值范围为 .
尝试解答
通性通法
1.利用函数的单调性解不等式的方法
利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值的大小得到自变量的大小.若f（x）为增函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＜x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＞x2.若f（x）为减函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＞x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＜x2.需要注意的是求解时不要忘了函数的定义域对参数的限制.
2.利用函数单调性求参数取值范围的两种思路
（1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
（2）借助常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解.
需注意若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.
【跟踪训练】
1.函数y＝x2－2mx＋3在区间[1，3]上具有单调性，则m的取值范围为 .
2.若f（x）是定义在[0，＋∞）上的减函数，则不等式f（x）＜f（－2x＋8）的解集是 .
角度2 分段函数的单调性
【例4】 若函数f（x）＝是R上的减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A.（2，4] B.[2，4]
C.（2，4） D.[2，4）
尝试解答
通性通法
分段函数单调性问题的求解策略
首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则界点左侧值大于等于右侧值.
【跟踪训练】
若函数f（x）＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为（ ）
A.[1，2] B. C.（1，2] D.
复合函数y＝f（g（x））的单调性
【典例】 已知函数f（x）＝，x∈[2，6].
（1）试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；
（2）根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤.
解：（1）函数f（x）＝可分解为函数y＝和函数u＝x－1.
因为x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f（x）＝在x∈[2，6]上单调递减.
（2）解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.
结论 一般地，对于复合函数y＝f（g（x）），单调性如表所示，简记为“同增异减”.
g（x） f（x） f（g（x））
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
【迁移应用】
求函数f（x）＝的单调区间.
1.已知函数f（x）＝x2－2ax＋b在区间（－∞，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.[1，＋∞） B.（－∞，1]
C.[－1，＋∞） D.（－∞，－1]
2.函数f（x）＝－｜x－2｜的单调递减区间为（ ）
A.（－∞，2] B.[2，＋∞）
C.[0，2] D.[0，＋∞）
3.若函数f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），则下列结论不正确的是（ ）
A.＞0
B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0
C.f（a）≤f（x1）＜f（x2）≤f（b）
D.f（x1）≠f（x2）
4.已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1），B（3，1）是其图象上的两点，那么－1＜f（x＋1）＜1的解集的是 .
第一课时 单调性的定义与证明
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）f（x1）＜f（x2） 单调递增 （2）f（x1）＞f（x2）
单调递减
想一想
提示：不能.
2.单调区间 单调递增区间 单调递减区间
自我诊断
1.B 对于A，y＝｜x｜，当x＜0时，函数为减函数，故错误；对于C，y＝x2，当x＜0时，函数为减函数，故错误；对于D，函数y＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，故错误.故选B.
2.D 由题意知2a－1＜0，解得a＜.故选D.
3.[－3，－1]，[1，3] 解析：由函数y＝f（x）的图象得此函数的减区间为：[－3，－1]，[1，3].
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：任取x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，
有f（x1）－f（x2）＝－＝＝.
∵x1＜x2＜0，∴x2－x1＞0，x1＋x2＜0，＞0.
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.
∴函数f（x）＝在（－∞，0）上是增函数.
任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，有
f（x1）－f（x2）＝.
∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x2＋x1＞0，＞0.
∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
∴函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数.
跟踪训练
证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则g（x2）－g（x1）＝k[f（x2）－f（x1）].
∵函数y＝f（x）是R上的增函数，∴f（x2）－f（x1）＞0，
∵k＞0，∴g（x2）－g（x1）＞0，即g（x2）＞g（x1），
∴g（x）在R上也是增函数.
【例2】 解：（1）令f（x）＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4.作出f（x）的图象，保留其在x轴上及x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝｜x2＋2x－3｜的图象，如图①所示.由图象可得函数y＝｜x2＋2x－3｜的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞），单调递减区间是（－∞，－3]和[－1，1].
（2）y＝即y＝
画出函数图象如图②所示，由图可得函数的单调递增区间为（－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞）.
跟踪训练
解：（1）由函数解析式可得f（x）＝图象如图所示：
（2）由（1）中函数图象知：函数在（－∞，0]和[1，＋∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减.
【例3】 （1）（－∞，－4] （2）（－∞，1）
解析：（1）∵f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3的图象开口向下，要使f（x）在（－∞，3]上是增函数，只需－（a＋1）≥3，即a≤－4，
∴实数a的取值范围为（－∞，－4].
（2）∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，
且f（2x－3）＞f（5x－6），
∴2x－3＞5x－6，即x＜1.
∴实数x的取值范围为（－∞，1）.
跟踪训练
1.（－∞，1]∪[3，＋∞） 解析：二次函数y＝x2－2mx＋3的对称轴为x＝m，因函数y＝x2－2mx＋3在区间[1，3]上具有单调性，所以m≤1或m≥3.
2. 解析：依题意，得不等式组解得＜x≤4.
【例4】 A 因为函数f（x）是R上的减函数，所以解得2＜m≤4.故选A.
跟踪训练
A 由题意可得解得1≤b≤2.故选A.
拓视野 复合函数y＝f（g（x））的单调性
迁移应用
解：由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，
∴函数f（x）的定义域为[－4，2].
设y＝，u＝8－2x－x2.
二次函数u＝8－2x－x2＝－（x＋1）2＋9的单调递增区间是（－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞）.
∴函数y＝f（x）的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是[－1，2].
随堂检测
1.A f（x）＝x2－2ax＋b对称轴为x＝a，开口向上，要想在区间（－∞，1]是减函数，所以a∈[1，＋∞）.故选A.
2.B ∵y＝｜x－2｜＝∴函数y＝｜x－2｜的单调递减区间是（－∞，2]，单调增区间为[2，＋∞），
∴f（x）＝－｜x－2｜的单调递减区间是[2，＋∞）， 故选B.
3.C 由函数的单调性定义知，若函数f（x）在给定的区间上是增函数，则x1－x2，与f（x1）－f（x2）同号，由此可知，选项A、B、D都正确.若x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），故选项C不正确.故选C.
4.（－1，2） 解析：易知f（0）＝－1，f（3）＝1，所以由－1＜f（x＋1）＜1，得f（0）＜f（x＋1）＜f（3），又因为函数f（x）是R上的增函数， 所以0＜x＋1＜3，即－1＜x＜2，所以－1＜f（x＋1）＜1的解集为（－1，2）.
5 / 5(共71张PPT)
第一课时
单调性的定义与证明
新课程标准解读 核心素养
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、
最大值、最小值，理解函数的平均变化率，理解它
们的作用和实际意义 数学抽象、直观
想象、
逻辑推理、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进
行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间 间隔 t 刚记忆 完毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9小时后 1天后 2天后 6天后 一个
月后
记忆量 y
（百分比） 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明，记忆量 y 是时间间隔 t 的函数.艾宾浩斯根据这些
数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”.
（2）“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如
何用数学观点进行解释？
【问题】 （1）当时间间隔 t 逐渐增大你能看出对应的函数值 y 有什
么变化趋势？
知识点 增函数、减函数的概念
1. 增函数、减函数的定义
一般地，设函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 D ，且区间 I D ：
（1）如果对任意 x1， x2∈ I ，当 x1＜ x2时，都有
，则称 y ＝ f （ x ）在区间 I 上是增函数（也称在区间 I
上 ），如图①所示；
f （ x1）＜ f
（ x2）
单调递增
（2）如果对任意 x1， x2∈ I ，当 x1＜ x2时，都有
，则称 y ＝ f （ x ）在区间 I 上是减函数（也称在区间 I
上 ），如图②所示.
f （ x1）＞ f
（ x2）
单调递减
提醒 （1）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因
此对 x1， x2有下列要求：①属于同一个区间 I ；②任意性，即
x1， x2是定义域中某一区间 I 上的任意两个值，不能用特殊值
代替；③区分大小，即确定的任意两值 x1， x2必须区分大小，
一般令 x1＜ x2.
（2）并非所有的函数都具有单调性.如函数 f （ x ）＝
它的定义域为R，但不具有单调性.
【想一想】
在增函数和减函数定义中，能否把“任意 x1， x2∈ I ”改为“存在
x1， x2∈ I ”？
提示：不能.
2. 函数的单调区间
在上述两种情况下，都称函数在区间 I 上具有单调性（区间 I 称为函
数的 ，也可分别称为 或
）.
提醒 （1）函数在某个区间上是单调增（减）函数，但是在整个
定义域上不一定是单调增（减）函数.如函数 y ＝ （ x ≠0）在区间
（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，但是在整个定义域上不
具有单调性.
单调区间
单调递增区间
单调递减
区间
（2）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用
“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接.如函数 y ＝ （ x
≠0）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，不能
认为 y ＝ （ x ≠0）的单调减区间为（－∞，0）∪（0，＋
∞）.
（3）当一个函数给定后，它的单调区间相应被确定，函数 y ＝ f
（ x ）在区间 I 上单调与函数 y ＝ f （ x ）的单调区间是 I 的含义
不同.如函数 y ＝ x2在[ a ，＋∞）上单调递增时， a ≥0，函数
y ＝ x2的单调递增区间是[ a ，＋∞）时， a ＝0.
1. 下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝ x
C. y ＝ x2 D. y ＝
解析： 对于A， y ＝｜ x ｜，当 x ＜0时，函数为减函数，故错
误；对于C， y ＝ x2，当 x ＜0时，函数为减函数，故错误；对于D，
函数 y ＝ 在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，故错误.故
选B.
2. 若函数 f （ x ）＝（2 a －1） x （ a 为实数）是R上的减函数，则
（ ）
A. a ≥ B. a ≤
C. a ＞ D. a ＜
解析： 由题意知2 a －1＜0，
解得 a ＜ .故选D.
3. 如果函数 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，那么此函数的减区间为
.
解析：由函数 y ＝ f （ x ）的图象得此函数的减区间为：[－3，－1]，
[1，3].
[－3，－1]，[1，3]
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用定义判断或证明函数的单调性
【例1】 （链接教科书第101页例1）求证：函数 f （ x ）＝ 在（0，
＋∞）上是减函数，在（－∞，0）上是增函数.
证明：任取 x1， x2∈（－∞，0），且 x1＜ x2，
有 f （ x1）－ f （ x2）＝ －
＝ ＝ .
∵ x1＜ x2＜0，
∴ x2－ x1＞0， x1＋ x2＜0， ＞0.
∴ f （ x1）－ f （ x2）＜0，
即 f （ x1）＜ f （ x2）.
∴函数 f （ x ）＝ 在（－∞，0）上是增函数.
任取 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1＜ x2，有
f （ x1）－ f （ x2）＝ .
∵0＜ x1＜ x2，
∴ x2－ x1＞0， x2＋ x1＞0， ＞0.
∴ f （ x1）－ f （ x2）＞0，
即 f （ x1）＞ f （ x2）.
∴函数 f （ x ）＝ 在（0，＋∞）上是减函数.
通性通法
利用定义证明函数单调性的4个步骤
【跟踪训练】
已知函数 y ＝ f （ x ）是R上的增函数， k ＞0，且 g （ x ）＝ kf （ x ），
求证： g （ x ）在R上也是增函数.
证明：任取 x1， x2∈R且 x1＜ x2，则 g （ x2）－ g （ x1）＝ k [ f （ x2）－
f （ x1）].
∵函数 y ＝ f （ x ）是R上的增函数，
∴ f （ x2）－ f （ x1）＞0，
∵ k ＞0，∴ g （ x2）－ g （ x1）＞0，
即 g （ x2）＞ g （ x1），
∴ g （ x ）在R上也是增函数.
题型二 判断函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
（1） y ＝｜ x2＋2 x －3｜；
解：令 f （ x ）＝ x2＋2 x －3＝（ x ＋1）2－4.作出 f （ x ）的图象，保留其在 x 轴上及 x 轴上方的部分，将位于 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，得到 y ＝｜ x2＋2 x －3｜的图象，如图①所示.由图象可得函数 y ＝｜ x2＋2 x －3｜的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞），单调递减区间是（－∞，－3]和[－1，1].
（2） y ＝－ x2＋2｜ x ｜＋1.
解：y ＝
即 y ＝
画出函数图象如图②所示，由图可得函数的单调递增区间为
（－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞）.
通性通法
图象法求函数单调区间的注意点
凡能作出函数图象的求单调区间问题，都可应用图象法.图象法主
要用于求熟悉的常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）
的单调区间，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到
所给函数图象的函数的单调区间.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝｜ x ｜（ x －2）.
（1）画出函数图象；
解：由函数解析式可得 f （ x ）＝
图象如图所示：
（2）结合图象写出函数的单调增区间和单调减区间.
解：由（1）中函数图象知：函数在（－∞，0]和[1，＋
∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减.
题型三 函数单调性的应用
角度1 利用单调性求参数及解不等式
【例3】 （1）若函数 f （ x ）＝－ x2－2（ a ＋1） x ＋3在区间（－
∞，3]上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ；
解析：∵ f （ x ）＝－ x2－2（ a ＋1） x ＋3的图象开口向下，要使 f
（ x ）在（－∞，3]上是增函数，只需－（ a ＋1）≥3，即 a ≤－4，
∴实数 a 的取值范围为（－∞，－4].
（－∞，－4]
（2）已知函数 y ＝ f （ x ）是（－∞，＋∞）上的增函数，且 f （2 x －
3）＞ f （5 x －6），则实数 x 的取值范围为 .
解析：∵ f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，
且 f （2 x －3）＞ f （5 x －6），
∴2 x －3＞5 x －6，
即 x ＜1.
∴实数 x 的取值范围为（－∞，1）.
（－∞，1）
通性通法
1. 利用函数的单调性解不等式的方法
利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值
的大小得到自变量的大小.若 f （ x ）为增函数，则当 f （ x1）＜ f
（ x2）时 x1＜ x2，当 f （ x1）＞ f （ x2）时 x1＞ x2.若 f （ x ）为减函
数，则当 f （ x1）＜ f （ x2）时 x1＞ x2，当 f （ x1）＞ f （ x2）时 x1＜
x2.需要注意的是求解时不要忘了函数的定义域对参数的限制.
2. 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路
（1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知
数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区
间，与已知单调区间比较求参数；
（2）借助常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的
单调性求解.
需注意若一个函数在区间[ a ， b ]上是单调的，则该函数在此
区间的任意子区间上也是单调的.
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝ x2－2 mx ＋3在区间[1，3]上具有单调性，则 m 的取值范围
为 .
解析：二次函数 y ＝ x2－2 mx ＋3的对称轴为 x ＝ m ，因函数 y ＝ x2－
2 mx ＋3在区间[1，3]上具有单调性，所以 m ≤1或 m ≥3.
（－∞，1]∪[3，＋∞）
2. 若 f （ x ）是定义在[0，＋∞）上的减函数，则不等式 f （ x ）＜ f
（－2 x ＋8）的解集是 .
解析：依题意，得不等式组
解得 ＜ x ≤4.
角度2 分段函数的单调性
【例4】 若函数 f （ x ）＝是R上的减
函数，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. （2，4] B. [2，4]
C. （2，4） D. [2，4）
解析： 因为函数 f （ x ）是R上的减函数，所以
解得2＜ m ≤4.故选A.
通性通法
分段函数单调性问题的求解策略
首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果
是增函数，则界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则界点左
侧值大于等于右侧值.
【跟踪训练】
若函数 f （ x ）＝在R上为增函数，则
实数 b 的取值范围为（ ）
A. [1，2] B.
C. （1，2] D.
解析： 由题意可得
解得1≤ b ≤2.故选A.
复合函数 y ＝ f （ g （ x ））的单调性
【典例】 已知函数 f （ x ）＝ ， x ∈[2，6].
（1）试判断此函数在 x ∈[2，6]上的单调性；
解：函数 f （ x ）＝ 可分解为函数 y ＝ 和函数 u ＝ x －1.
因为 x ∈[2，6]，所以 u ∈[1，5]，显然函数 u ＝ x －1在 x
∈[2，6]上单调递增，函数 y ＝ 在 u ∈[1，5]上单调递减，由
复合函数的单调性，知 f （ x ）＝ 在 x ∈[2，6]上单调递减.
（2）根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤.
解：解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再
判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函
数的单调性.
g （ x ） f （ x ） f （ g （ x ））
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
结论 一般地，对于复合函数 y ＝ f （ g （ x ）），单调性如表所
示，简记为“同增异减”.
【迁移应用】
求函数 f （ x ）＝ 的单调区间.
解：由题意可知8－2 x － x2≥0，
解得－4≤ x ≤2，
∴函数 f （ x ）的定义域为[－4，2].
设 y ＝ ， u ＝8－2 x － x2.
二次函数 u ＝8－2 x － x2＝－（ x ＋1）2＋9的单调递增区间是
（－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞）.
∴函数 y ＝ f （ x ）的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区
间是[－1，2].
1. 已知函数 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋ b 在区间（－∞，1]上是减函数，则
实数 a 的取值范围是（ ）
A. [1，＋∞） B. （－∞，1]
C. [－1，＋∞） D. （－∞，－1]
解析： f （ x ）＝ x2－2 ax ＋ b 对称轴为 x ＝ a ，开口向上，要想
在区间（－∞，1]是减函数，所以 a ∈[1，＋∞）.故选A.
2. 函数 f （ x ）＝－｜ x －2｜的单调递减区间为（ ）
A. （－∞，2] B. [2，＋∞）
C. [0，2] D. [0，＋∞）
解析： ∵ y ＝｜ x －2｜＝∴函数 y ＝｜ x －
2｜的单调递减区间是（－∞，2]，单调增区间为[2，＋∞），∴ f
（ x ）＝－｜ x －2｜的单调递减区间是[2，＋∞）， 故选B.
3. 若函数 f （ x ）在[ a ， b ]上是增函数，对于任意的 x1， x2∈[ a ， b ]
（ x1≠ x2），则下列结论不正确的是（ ）
A. ＞0
B. （ x1－ x2）[ f （ x1）－ f （ x2）]＞0
C. f （ a ）≤ f （ x1）＜ f （ x2）≤ f （ b ）
D. f （ x1）≠ f （ x2）
解析： 由函数的单调性定义知，若函数 f （ x ）在给定的区间上
是增函数，则 x1－ x2，与 f （ x1）－ f （ x2）同号，由此可知，选项
A、B、D都正确.若 x1＞ x2，则 f （ x1）＞ f （ x2），故选项C不正确.
故选C.
4. 已知函数 f （ x ）是R上的增函数， A （0，－1）， B （3，1）是其
图象上的两点，那么－1＜ f （ x ＋1）＜1的解集的是 .
解析：易知 f （0）＝－1， f （3）＝1，所以由－1＜ f （ x ＋1）＜
1，得 f （0）＜ f （ x ＋1）＜ f （3），又因为函数 f （ x ）是R上的增
函数， 所以0＜ x ＋1＜3，即－1＜ x ＜2，所以－1＜ f （ x ＋1）＜1
的解集为（－1，2）.
（－1，2）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（ ）
A. y ＝｜ x ｜＋2 B. y ＝3－ x
C. y ＝ D. y ＝－ x2＋4
解析： 因为－1＜0，所以一次函数 y ＝－ x ＋3在R上递减，反比
例函数 y ＝ 在（0，＋∞）上递减，二次函数 y ＝－ x2＋4在（0，
＋∞）上递减.故选A.
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2. 若二次函数 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ＜0），满足 f （1）＝ f
（3），则下列不等式成立的是（ ）
A. f （1）＜ f （4）＜ f （2）
B. f （4）＜ f （1）＜ f （2）
C. f （4）＜ f （2）＜ f （1）
D. f （2）＜ f （4）＜ f （1）
解析： 因为 f （1）＝ f （3），所以二次函数 f （ x ）＝ ax2＋ bx
＋ c 的对称轴为直线 x ＝2，又因为 a ＜0，所以 f （4）＜ f （3）＜ f
（2），又 f （1）＝ f （3），所以 f （4）＜ f （1）＜ f （2）.故选B.
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3. 设（ a ， b ），（ c ， d ）都是 f （ x ）的单调递增区间，且 x1∈
（ a ， b ）， x2∈（ c ， d ）， x1＜ x2，则 f （ x1）与 f （ x2）的大小
关系为（ ）
A. f （ x1）＜ f （ x2） B. f （ x1）＞ f （ x2）
C. f （ x1）＝ f （ x2） D. 不能确定
解析： 由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单
调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大
小，而本题中的 x1， x2不在同一单调区间内，所以 f （ x1）与 f
（ x2）的大小关系不能确定.故选D.
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4. （多选）如图是函数 y ＝ f （ x ）的图象，则函数 f （ x ）在下列区间
单调递增的是（ ）
A. [2，5] B. [－6，－4]
C. [－1，2] D. [－1，2]∪[5，8]
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解析： 图象从左往右上升的区间有：[－6，－4]，[－1，2]，
[5，8]，∴ f （ x ）在[－6，－4]，[－1，2]，[5，8]上单调递增.
故选B、C.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）＝是R上的减函
数，则实数 k 的可能的取值有（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 因为函数 f （ x ）是R上的减函数，所以
2≤ k ≤6.故选A、B、C.
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6. 已知命题 p ：“若 f （ x ）＜ f （4）对任意的 x ∈（0，4）都成立，
则 f （ x ）在（0，4）上为增函数”.能说明命题 p 为假命题的一个函
数是 .
解析：取 f （ x ）＝（ x －1）2， x ∈（0，4），则函数 f （ x ）在
（0，4）上先减后增， 当 x ＝1时，函数值最小，且 f （ x ）＜ f
（4），满足题意，所以函数 f （ x ）＝（ x －1）2， x ∈（0，4）可
以说明命题 p 为假命题.
f （ x ）＝（ x －1）2， x ∈（0，4）（答案不唯一）
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7. 已知函数 f （ x ）的图象如图所示，若 f （ x ）在[ m ， m ＋3]上单调
递减，则 m 的取值范围为 .
（－∞，－3]∪[2，＋∞）
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解析：由题图可知， f （ x ）的单调递减区间为（－∞，0]，[2，＋
∞）.
因为函数 f （ x ）在[ m ， m ＋3]上单调递减，则[ m ， m ＋3] （－
∞，0]或[ m ， m ＋3] [2，＋∞），
由题意得 m ＋3≤0或 m ≥2，
即 m ≤－3或 m ≥2.
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8. 函数 f （ x ）＝ 的单调增区间是 .
解析：由题意知，4－3 x － x2≥0，
x2＋3 x －4≤0，（ x ＋4）（ x －1）≤0，
解得－4≤ x ≤1，
所以 f （ x ）的定义域为[－4，1].
y ＝－ x2－3 x ＋4的对称轴为直线 x ＝－ ，开口向下， y ＝ 在
[0，＋∞）上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知 f （ x ）的单调递增区间是
.
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9. 已知函数 f （ x ）＝ x － .
（1）判断 f （ x ）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用定义证明；
解：f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递增，证明如下：
任取 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1＜ x2，有 f （ x1）－ f
（ x2）＝ － ＝（ x1－ x2）＋
＝（ x1－ x2）＋ ＝ （ x1 x2＋1）.
因为 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1＜ x2，
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所以 x1 x2＞0， x1－ x2＜0.
于是 （ x1 x2＋1）＜0，
即 f （ x1）＜ f （ x2）.
故 f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递增.
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（2）求 f （ x ）在区间[1，2]上的值域.
解：由第（1）问结论可知， f （ x ）在区间（0，＋∞）
上单调递增，
因为 f （1）＝0， f （2）＝ .
所以 f （ x ）在区间[1，2]上的值域为 .
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10. 已知函数 f （ x ）＝对于 x1， x2∈[1，＋∞）
且 x1≠ x2，都有（ x1－ x2）[ f （ x1）－ f （ x2）]＞0，则 m 的取值
范围为 .
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解析：由题意可知， f （ x ）在[1，＋∞）上为单调增函数，要使 y
＝－ 在[1，2）上单调递增，则－ m ＜0，即 m ＞0，要使 f （ x ）
＝ x2－ mx 在[2，＋∞）上单调递增，则 m ≤2，同时 ×22－2 m
≥－ m ，解得 m ≤ ，综上可知：0＜ m ≤ .
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11. 设 f （ x ）是定义在R上的增函数， f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）， f
（3）＝1，则不等式 f （ x ）＋ f （－2）＞1的解集为 .
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解析：由条件可得 f （ x ）＋ f （－2）＝ f （－2 x ），
又 f （3）＝1，
∴不等式 f （ x ）＋ f （－2）＞1，
即为 f （－2 x ）＞ f （3）.
∵ f （ x ）是定义在R上的增函数，
∴－2 x ＞3，
解得 x ＜－ .
故不等式 f （ x ）＋ f （－2）＞1的解集为 .
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12. 已知 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数，且 f （ x ）＞0， f （3）＝
1.试判断 g （ x ）＝ f （ x ）＋ 在（0，3]上是增函数还是减
函数，并加以证明.
解：函数 g （ x ）在（0，3]上是减函数.
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证明如下：任取 x1， x2∈（0，3]，且 x1＜ x2，
则 g （ x1）－ g （ x2）
＝ －［ f （ x2）＋ ］
＝[ f （ x1）－ f （ x2）] .
因为 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＜0.
又 f （ x ）＞0， f （3）＝1，
所以0＜ f （ x1）＜ f （ x2）≤ f （3）＝1，
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则0＜ f （ x1） f （ x2）＜1， ＞1，
即1－ ＜0，
所以 g （ x1）－ g （ x2）＞0， g （ x1）＞ g （ x2）.
故 g （ x ）＝ f （ x ）＋ 在（0，3]上是减函数.
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13. 已知函数 f （ x ）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且 f ＝1， f （1）＝0，则 f （3）＝（ ）
A. B.
C. 2 D. 3
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解析： 令 f （ x ）＋ ＝ t ，即有 f （ t ）＝1，因函数 f （ x ）是
定义在（0，＋∞）上的增函数，则 t 为常数，
因此 f （ x ）＝－ ＋ t ，从而解得 a ＝ t ＝
2，于是得 f （ x ）＝－ ＋2，显然函数 f （ x ）在（0，＋∞）上递
增，所以 f （3）＝－ ＋2＝ .故选B.
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14. 定义在R上的函数 f （ x ）对任意 a ， b ∈R都有 f （ a ＋ b ）＝ f
（ a ）＋ f （ b ）－1，且对任意 x ＞0，恒有 f （ x ）＞1.
（1）判断 f （ x ）单调性，并证明；
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解：函数 f （ x ）在R上单调递增.证明如下：
任取 x1， x2∈R，且 x1＞ x2，则 f （ x1－ x2）＞1，
f （ x1）－ f （ x2）＝ f [（ x1－ x2）＋ x2]－ f （ x2）
＝ f （ x1－ x2）＋ f （ x2）－1－ f （ x2）＝ f （ x1－ x2）－
1＞0，
即 f （ x1）＞ f （ x2），
所以函数 f （ x ）在R上单调递增.
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（2）已知 f （4）＝5，若不等式 f （ mx2＋2）＋ f （1－2 mx ）＞4
对任意 x ∈R恒成立，求实数 m 的取值范围.
解：因为 f （4）＝ f （2）＋ f （2）－1＝5，则 f （2）＝3，
原不等式可化为 f （ mx2－2 mx ＋3）＞3，
即 f （ mx2－2 mx ＋3）＞ f （2），
由函数 f （ x ）在R上单调递增可得 mx2－2 mx ＋3＞2对 x
∈R恒成立，即 mx2－2 mx ＋1＞0对 x ∈R恒成立.
若 m ＝0，1＞0恒成立，符合题意；
若 m ≠0，则得0＜ m ＜1.
综上可得 m ∈[0，1）.
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