第二课时 函数的最值、平均变化率
1.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),则等于( )
A.4 B.4Δx
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
2.已知函数f(x)=,则f(x)在区间[2,6]上的最大值为( )
A. B.3
C.4 D.5
3.若函数f(x)=在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为( )
A.10 B.10或20
C.20 D.无法确定
4.已知函数f(x)=2-x,对于任意的x∈[-2,2],f(x)≤m恒成立,则实数m的最小值是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
5.(多选)已知函数f(x)的定义域为[a,b],且a<c<b.则下列说法中错误的是( )
A.若f(x)在[a,c]上是增函数,在[c,b]上是减函数,则f(x)max=f(c)
B.若f(x)在[a,c)上是增函数,在[c,b]上是减函数,则f(x)max=f(c)
C.若f(x)在(a,c]上是增函数,在[c,b]上是减函数,则f(x)max=f(c)
D.若f(x)在[a,c]上是增函数,在(c,b]上是减函数,则f(x)max=f(c)
6.已知三点A(-3,-1),B(0,2),C(m,4)在同一直线上,则实数m的值为 .
7.若关于x的不等式|x-2|-|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是 .
8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为,则a= .
9.已知函数f(x)=-(a>0,x>0).
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.
10.已知函数f(x)=有最小值,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.“ x∈[1,2], t∈[1,2],使得x+2>t+m成立”为真命题,则实数m的范围为 .
12.已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
13.已知min{a,b}=设f(x)=min{x-2,-x2+4x-2},则函数f(x)的最大值是( )
A.-2 B.1
C.2 D.3
14.已知函数y=x+有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0, ]上是减函数,在[,+∞)上是增函数.已知f(x)=,x∈[0,1],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域.
第二课时 函数的最值、平均变化率
1.C ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2-4)=2(Δx)2+4Δx,∴=2Δx+4,故选C.
2.C ∵f(x)==2+在[2,6]上单调递减,∴f(x)max=f(2)=4.故选C.
3.C 当k=0时,不符合题意;
当k>0时,f(x)=在区间[2,4]上是减函数,∴f(x)min=f(4)==5,∴k=20,符合题意;
当k<0时,f(x)=在区间[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)==5,∴k=10,
又∵k<0,∴k=10舍去.∴k的值为20.故选C.
4.D 对于任意的x∈[-2,2]使2-x≤m恒成立,令=t(t∈[0,2]),则x=t2-2,即2-x=2t-t2+2,设g(t)=-t2+2t+2(t∈[0,2]),则g(t)∈[2,3],即f(x)max=3.故m≥3,即实数m的最小值是3.故选D.
5.BCD 若f(x)在[a,c]上是增函数,则f(c)≥f(x),x∈[a,c];在[c,b]上是减函数,则f(c)≥f(x),x∈[c,b],所以f(x)max=f(c),故A正确;
若f(x)在[a,c)上是增函数,在[c,b]上是减函数,函数的最大值不一定为f(c),
如f(x)=值域为[-1,2),没有最大值,故B错误;
若f(x)在(a,c]上是增函数,在[c,b]上是减函数,函数的最大值不一定为f(c),例如函数f(x)=其图象如图所示.
显然f(x)在(1,2]上是增函数,在[2,3]上是减函数,但f(x)在[1,3]上的最大值是f(1)=2,故C不正确.若f(x)在[a,c]上是增函数,在(c,b]上是减函数,函数的最大值不一定为f(c),故D错误.故选B、C、D.
6.2 解析:因为A,B,C三点在同一直线上,所以kAB=kBC,即=,故m=2.
7.(-∞,-5] 解析:根据题意,设f(x)=|x-2|-|x+3|,则f(x)=易得f(x)min=-5.
因为关于x的不等式|x-2|-|x+3|<a无解,所以f(x)≥a恒成立,即f(x)min≥a,故a≤-5.
8.- 解析:y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,对称轴方程为x=-1,当a≤-1时,x=-1,函数取得最大值为4,不合题意舍去,当a>-1时,x=a,函数取得最大值为-a2-2a+3=,即4a2+8a+3=0,(2a+3)(2a+1)=0,解得a=-或a=-(舍去).
9.解:(1)证明:设x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,则
===,
由x1,x2∈(0,+∞)知,x1x2>0,>0,
∴>0,故f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)由(1)可知,f(x)在上为增函数,
∴f=-2=,f(2)=-=2,
解得a=.
10.C 当x≥0时,f(x)=(x-1)2-1 ,此时f(x)min=f(1)=-1;
当x<0时,f(x)=(a-1)x+2a.
①a=1时,f(x)=2为常函数,此时在R上满足函数f(x)有最小值为-1.
②a≠1时,函数f(x)在(-∞,0)上为一次函数,若要满足在R上有最小值,
需解得-≤a<1,
综上,满足题意的实数a的取值范围为 .
故选C.
11.(-∞,2) 解析:令f(x)=x+2,g(t)=t+m,要想 x∈[1,2], t∈[1,2],使得x+2>t+m成立为真命题,只需f(x)min>g(t)min,其中f(x)=x+2在[1,2]上单调递增,f(x)min=f(1)=3,g(t)=t+m在[1,2]上单调递增,g(t)min=g(1)=1+m,故3>1+m,解得m<2.所以实数m的范围为(-∞,2).
12.解:(1)证明:当a=-2时,f(x)=.
设x1,x2∈(-∞,-2),且x1≠x2,则
==
=.
由x1,x2∈(-∞,-2)知,x1+2<0,x2+2<0,
所以(x1+2)(x2+2)>0,即>0,
所以f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1≠x2,则
==
=.
由a>0,x1,x2∈(1,+∞),且<0知(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1,故0<a≤1,
所以a的取值范围为(0,1].
13.B 法一 当x-2≤-x2+4x-2,即x∈[0,3]时,f(x)=x-2在x∈[0,3]上单调递增,所以f(x)max=f(3)=3-2=1,当x-2>-x2+4x-2,即x∈(-∞,0)∪(3,+∞)时,f(x)=-x2+4x-2=-(x-2)2+2在x∈(-∞,0)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,因为f(0)=-2,f(3)=1,所以f(x)<f(3)=1.
综上:函数f(x)的最大值为1.故选B.
法二 由x-2≤-x2+4x-2得x2-3x≤0,∴0≤x≤3,
∴f(x)=
其图象如图所示(实线部分).
∵f(x)图象的最高点是(3,1),
∴f(x)max=f(3)=1.
故选B.
14.解:f(x)==2x+1+-8,设u=2x+1,x∈[0,1],则1≤u≤3,故y=u+-8,u∈[1,3].由已知性质得,当1≤u≤2,即0≤x≤时,f(x)单调递减,所以递减区间为;当2≤u≤3,即≤x≤1时,f(x)单调递增,所以递增区间为.
由f(0)=-3,f=-4,f(1)=-,得f(x)的值域为[-4,-3].
2 / 2第二课时 函数的最值、平均变化率
科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】 (1)在区间[6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),=一定大于零吗?
(2)如果在区间[12,24]对应的曲线上任取不同两点C(x3,y3),D(x4,y4),=一定大于零吗?
知识点一 函数的最值
1.函数的最大值和最小值
一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:
(1)如果对任意x∈D,都有 ,则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max=f(x0)),而x0称为f(x)的 ;
(2)如果对任意x∈D,都有 ,则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min=f(x0)),而x0称为f(x)的 .
提醒 对函数最值的几点说明:①最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值;②对于定义域内的任意元素x,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),“任意”两个字不可省略;③函数f(x)在其定义域(某个区间)内不一定有最大(小)值,如果有,最大(小)值只能有一个.但最大(小)值点x0可能不止一个.这里的最大(小)值点不是点而是实数;④函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标;最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.
2.最值和最值点
值和 值统称为最值,最大值点和最小值点统称为 点.
【想一想】
如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M,那么M一定是函数f(x)的最大值吗?
知识点二 函数的平均变化率
1.直线的斜率
(1)定义:给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1≠x2时,称 为直线AB的斜率(若记Δx=x2-x1,相应的Δy=y2-y1,当Δx≠0时,斜率记为);当x1=x2时,称直线AB的斜率 .
(2)作用:直线AB的斜率反映了直线相对于 的倾斜程度.
2.平均变化率与函数的单调性
若区间I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2),=,则:
(1)y=f(x)在区间I上是增函数的充要条件是 > 在区间I上恒成立;
(2)y=f(x)在区间I上是减函数的充要条件是 < 在区间I上恒成立.
当x1≠x2时,称=为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率.通常称Δx为自变量的改变量,Δy为因变量的改变量.
提醒 对函数平均变化率的几点说明:①函数f(x)应在x1,x2处有定义;②x2在x1附近,Δx=x2-x1≠0,但Δx可正可负;③注意变量的对应,若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),而不是Δy=f(x1)-f(x2);④平均变化率可正可负,也可为零.但是,若函数在某区间上的平均变化率为0,不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如,f(x)=x2在区间[-2,2]上的平均变化率为0,但f(x)=x2在[-2,2]上的图象先下降后上升,值域是[0,4];⑤平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度,但效果是“粗糙不精确的”.只有当Δx=x2-x1无限变小时,这种量化才由“粗糙”逼近“精确”.
【想一想】
1.函数的平均变化率是固定不变的吗?
2.如果=0在I上恒成立,那么函数f(x)有什么特点?
1.已知f(x)=3x2+5,则自变量x从0.1到0.2的平均变化率为( )
A.0.3 B.0.9
C.0.6 D.1.2
2.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 , .
3.已知过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1,求m的值.
题型一 平均变化率
角度1 直线的斜率公式及应用
【例1】 (1)已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)已知三点A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线上,求实数a的值.
尝试解答
通性通法
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;
(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.
【跟踪训练】
1.已知经过两点(5, m)和(2,8)的直线的斜率大于1,则m的取值范围是( )
A.(2,8) B.(8,+∞)
C.(11,+∞) D.(-∞,11)
2.若A(3,1),B(-2,k),C(8,1)三点能构成三角形,则实数k的取值范围为 .
角度2 平均变化率的计算
【例2】 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm,加热后会膨胀,当温度为t ℃时,边长变为10(1+at)cm,a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率.
尝试解答
通性通法
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤是:
【跟踪训练】
路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯.
(1)求身影的长度y与人距路灯的射影点C的距离x之间的关系式;
(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率.
题型二 利用平均变化率证明函数的单调性
【例3】 若函数y=f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)>0,求证:g(x)=在I上为减函数.
尝试解答
通性通法
1.y=f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立.
2.y=f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立.
【跟踪训练】
已知函数f(x)=1-,x∈[3,5],判断函数f(x)的单调性,并证明.
题型三 求函数的最值
角度1 图象法求函数的最值
【例4】 已知函数f(x)=求函数f(x)的最大值和最小值.
尝试解答
通性通法
用图象法求最值的3个步骤
【跟踪训练】
函数y=|x+1|-|2-x|的最大值是( )
A.3 B.-3
C.5 D.-2
角度2 利用单调性求函数的最值
【例5】 已知函数f(x)=x+.
(1)证明:f(x)在(1,+∞)内是增函数;
(2)求f(x)在[2,4]上的最值.
尝试解答
通性通法
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是增函数,在区间[b,c)上是减函数,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最大值f(b);
(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是减函数,在区间[b,c)上是增函数,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最小值f(b);
(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值.
【跟踪训练】
1.设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x)( )
A.只有最大值
B.只有最小值
C.既有最大值,又有最小值
D.既无最大值,又无最小值
2.已知函数f(x)是定义在区间[-1,3]上的减函数,且函数f(x)的图象经过点P(-1,2),Q(3,-4),则该函数的值域是 .
1.直线l经过原点和点(-1,1),则l的斜率为( )
A.0 B.1
C.-1 D.不存在
2.函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数的最大值、最小值分别为( )
A.3,0 B.3,1
C.3,无最小值 D.3,-2
3.若函数f(x)=x2-2x,x∈[-1,4],则f(x)的值域为( )
A.[-1,3] B.[-1,16]
C.[-1,8] D.[3,8]
4.(多选)下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法正确的是( )
A.当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1
B.当a<0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1
C.当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1
D.当a>0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1
5.汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别是,,,则三者由小到大的关系为 .
第二课时 函数的最值、平均变化率
【基础知识·重落实】
知识点一
1.(1)f(x)≤f(x0) 最大值点 (2)f(x)≥f(x0) 最小值点
2.最大 最小 最值
想一想
提示:不一定.如函数f(x)=-x2≤1恒成立,但是1不是函数的最大值.
知识点二
1.(1) 不存在 (2)x轴 2.(1) 0 (2) 0
想一想
1.提示:不一定.当x1取定值后,Δx取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;当Δx取定值后,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同.比如,f(x)=x2在区间[0,2]和[2,4]上都有Δx=2,但Δy分别为4-0=4和16-4=12.
事实上,根据下面将要学均变化率的几何意义可知,曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等,即一般情况下函数的平均变化率是不相同的.
2.提示:函数f(x)是常数函数.
自我诊断
1.B Δy=f(0.2)-f(0.1)=0.12+5-0.03-5=0.09,可得平均变化率==0.9.
2.-1 2
3.解:由题意得=1,解得m=1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)因为直线l的斜率是1,
所以=1,即=1,解得m=.
(2)∵A,B,C三点共线,且3≠-2,
∴BC,AB的斜率都存在,且kAB=kBC.
又∵kAB==,kBC==,
∴=,解得a=2或a=.
跟踪训练
1.C 由题意得>1,解得m>11.故选C.
2.(-∞,1)∪(1,+∞) 解析:因为A,B,C三点能构成三角形,所以A,B,C三点不共线,所以kAB≠kAC.
即≠,因此k-1≠0,解得k≠1.
故实数k的取值范围为(-∞,1)∪(1,+∞).
【例2】 解:设温度的增量为Δt,则铁板面积S的增量为:
ΔS=102[1+a(t+Δt)]2-102(1+at)2=200(a+a2t)Δt+100a2(Δt)2,所以平均膨胀率=200(a+a2t)+100a2Δt.
跟踪训练
解:(1)如图所示,由题意知人从C点运动到B点的距离为x m,AB为身影长度,AB的长度为y m,由于CD∥BE,则=,即=,所以y=0.25x.
(2)84 m/min=1.4 m/s,则y关于t的函数关系式为y=0.25×1.4t=0.35t,所以10 s内平均变化率==0.35(m/s),
即此人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s.
【例3】 证明:任取x1,x2∈I且x2>x1,
则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1),
∵函数y=f(x)是其定义域的子集I上的增函数,
∴Δy>0,>0,
∴Δg=g(x2)-g(x1)=-=.
又∵f(x)>0,∴f(x1)f(x2)>0且f(x1)-f(x2)<0,
∴Δg<0,∴<0,故g(x)=在I上为减函数.
跟踪训练
解:由于y=x+2在[3,5]上是增函数,且恒大于零,因此,f(x)=1-在[3,5]上为增函数.
证明过程如下:
任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2,即Δx=x2-x1>0,
则Δy=f(x2)-f(x1)=1--=-=.
∵(x1+2)(x2+2)>0,
∴Δy>0,∴>0,故函数f(x)在[3,5]上是增函数.
【例4】 解:作出f(x)的图象如图.由图象可知,当x=2时,f(x)取最大值为2;
当x=时,f(x)取最小值为-.
所以f(x)的最大值为2,最小值为-.
跟踪训练
A 由题意可知y=|x+1|-|2-x|=画出函数图象即可得最大值为3.故选A.
【例5】 解:(1)证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1≠x2,则
===1-.
由x1,x2∈(1,+∞)知x1x2>1,<1,1->0,
∴>0,故f(x)在(1,+∞)内是增函数.
(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数,
∴当x∈[2,4]时,f(2)≤f(x)≤f(4).
又f(2)=2+=,f(4)=4+=,
∴f(x)在[2,4]上的最大值为,最小值为.
跟踪训练
1.D f(x)=x|x|=作出f(x)的图象如图所示,可知f(x)既无最大值又无最小值.故选D.
2.[-4,2] 解析:∵f(x)的图象经过点P(-1,2),Q(3,-4),
∴f(-1)=2,f(3)=-4.
又∵f(x)在定义域[-1,3]上为减函数,∴该函数的值域是[-4,2].
随堂检测
1.C 因为直线l经过原点和点(-1,1),所以l的斜率是=-1.故选C.
2.C 观察题中图象可知,图象的最高点坐标是(0,3),从而其最大值是3;图象无最低点,即该函数不存在最小值.故选C.
3.C ∵f(x)=(x-1)2-1,∴函数y=f(x)在区间[-1,1)上单调递减,在区间(1,4]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=-1,∵f(-1)=3,f(4)=8,∴f(x)max=f(4)=8.因此,函数y=f(x)在区间[-1,4]上的值域为[-1,8].故选C.
4.AD 当a<0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减,当x=0时,函数取得最大值为1;当x=2时,函数取得最小值为2a+1.当a>0时,函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增,当x=0时,函数取得最小值为1,当x=2时,函数取得最大值为2a+1.故选A、D.
5.<< 解析:∵==kOA,==kAB,==kBC,由题图得kOA<kAB<kBC,
∴<<.
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第二课时
函数的最值、平均变化率
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠
气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】 (1)在区间[6,17]对应的曲线上任取不同两点 A ( x1,
y1), B ( x2, y2), = 一定大于零吗?
(2)如果在区间[12,24]对应的曲线上任取不同两点 C ( x3, y3),
D ( x4, y4), = 一定大于零吗?
知识点一 函数的最值
1. 函数的最大值和最小值
一般地,设函数 f ( x )的定义域为 D ,且 x0∈ D :
(1)如果对任意 x ∈ D ,都有 ,则称 f ( x )
的最大值为 f ( x0)(记作 f ( x )max= f ( x0)),而 x0称为 f
( x )的 ;
f ( x )≤ f ( x0)
最大值点
(2)如果对任意 x ∈ D ,都有 ,则称 f ( x )
的最小值为 f ( x0)(记作 f ( x )min= f ( x0)),而 x0称为 f
( x )的 .
f ( x )≥ f ( x0)
最小值点
提醒 对函数最值的几点说明:①最值首先是一个函数值,
即存在一个自变量 x0,使得 f ( x0)等于最值;②对于定义域
内的任意元素 x ,都有 f ( x )≤ f ( x0)(或 f ( x )≥ f
( x0)),“任意”两个字不可省略;③函数 f ( x )在其定
义域(某个区间)内不一定有最大(小)值,如果有,最大
(小)值只能有一个.但最大(小)值点 x0可能不止一个.这里
的最大(小)值点不是点而是实数;④函数 f ( x )在其定义
域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的
纵坐标;最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.
2. 最值和最值点
值和 值统称为最值,最大值点和最小值点统称
为 点.
最大
最小
最值
【想一想】
如果函数 f ( x )对于定义域内的任意 x 都满足 f ( x )≤ M ,那么 M
一定是函数 f ( x )的最大值吗?
提示:不一定.如函数 f ( x )=- x2≤1恒成立,但是1不是函数的
最大值.
知识点二 函数的平均变化率
1. 直线的斜率
(1)定义:给定平面直角坐标系中的任意两点 A ( x1, y1), B
( x2, y2),当 x1≠ x2时,称 为直线 AB 的斜率(若
记Δ x = x2- x1,相应的Δ y = y2- y1,当Δ x ≠0时,斜率记为
);当 x1= x2时,称直线 AB 的斜率 .
(2)作用:直线 AB 的斜率反映了直线相对于 的倾斜程度.
不存在
x 轴
2. 平均变化率与函数的单调性
若区间 I 是函数 y = f ( x )的定义域的子集,对任意 x1, x2∈ I 且
x1≠ x2,记 y1= f ( x1), y2= f ( x2), = ,则:
(1) y = f ( x )在区间 I 上是增函数的充要条件是 >
在区间 I 上恒成立;
0
(2) y = f ( x )在区间 I 上是减函数的充要条件是 <
在区间 I 上恒成立.
当 x1≠ x2时,称 = 为函数 y = f ( x )在区间
[ x1, x2]( x1< x2时)或[ x2, x1]( x1> x2时)上的平均变化
率.通常称Δ x 为自变量的改变量,Δ y 为因变量的改变量.
0
提醒 对函数平均变化率的几点说明:①函数 f ( x )应在
x1, x2处有定义;② x2在 x1附近,Δ x = x2- x1≠0,但Δ x 可正
可负;③注意变量的对应,若Δ x = x2- x1,则Δ y = f ( x2)
- f ( x1),而不是Δ y = f ( x1)- f ( x2);④平均变化率可
正可负,也可为零.但是,若函数在某区间上的平均变化率为
0,不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如, f
( x )= x2在区间[-2,2]上的平均变化率为0,但 f ( x )=
x2在[-2,2]上的图象先下降后上升,值域是[0,4];⑤平均
变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均
变化率的“视觉化”.
利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度,但效果是
“粗糙不精确的”.只有当Δ x = x2- x1无限变小时,这种量化才由“粗
糙”逼近“精确”.
【想一想】
1. 函数的平均变化率是固定不变的吗?
提示:不一定.当 x1取定值后,Δ x 取不同的数值时,函数的平均变
化率不一定相同;当Δ x 取定值后, x1取不同的数值时,函数的平均
变化率也不一定相同.比如, f ( x )= x2在区间[0,2]和[2,4]上都
有Δ x =2,但Δ y 分别为4-0=4和16-4=12.
事实上,根据下面将要学均变化率的几何意义可知,曲线上
任意不同两点间连线的斜率一般不相等,即一般情况下函数的平均
变化率是不相同的.
2. 如果 =0在 I 上恒成立,那么函数 f ( x )有什么特点?
提示:函数 f ( x )是常数函数.
1. 已知 f ( x )=3 x2+5,则自变量 x 从0.1到0.2的平均变化率为
( )
A. 0.3 B. 0.9
C. 0.6 D. 1.2
解析: Δ y = f (0.2)- f (0.1)=0.12+5-0.03-5=0.09,可
得平均变化率 = =0.9.
2. 函数 y = f ( x )在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小
值、最大值分别是 , .
3. 已知过点 P (-2, m )和 Q ( m ,4)的直线的斜率等于1,求
m 的值.
解:由题意得 =1,解得 m =1.
-1
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平均变化率
角度1 直线的斜率公式及应用
【例1】 (1)已知直线 l 过点 M ( m +1, m -1), N (2 m ,1).
当 m 为何值时,直线 l 的斜率是1?
解:因为直线 l 的斜率是1,
所以 =1,即 =1,
解得 m = .
(2)已知三点 A ( a ,2), B (3,7), C (-2,-9 a )在同一条
直线上,求实数 a 的值.
解:∵ A , B , C 三点共线,且3≠-2,
∴ BC , AB 的斜率都存在,且 kAB = kBC .
又∵ kAB = = , kBC = = ,
∴ = ,
解得 a =2或 a = .
通性通法
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“ x1≠ x2”,即直线不与 x 轴垂直,因为
当直线与 x 轴垂直时,斜率是不存在的;
(2)斜率公式与两点 P1, P2的先后顺序无关,也就是说公式中的 x1
与 x2, y1与 y2可以同时交换位置.
【跟踪训练】
1. 已知经过两点(5, m )和(2,8)的直线的斜率大于1,则 m 的取
值范围是( )
A. (2,8) B. (8,+∞)
C. (11,+∞) D. (-∞,11)
解析: 由题意得 >1,解得 m >11.故选C.
2. 若 A (3,1), B (-2, k ), C (8,1)三点能构成三角形,则
实数 k 的取值范围为 .
(-∞,1)∪(1,+∞)
解析:因为 A , B , C 三点能构成三角形,所以 A , B , C 三点不共
线,所以 kAB ≠ kAC .
即 ≠ ,因此 k -1≠0,解得 k ≠1.
故实数 k 的取值范围为(-∞,1)∪(1,+∞).
角度2 平均变化率的计算
【例2】 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm,加热后会膨胀,当温
度为 t ℃时,边长变为10(1+ at )cm, a 为常数.试求铁板面积对温度
的平均膨胀率.
解:设温度的增量为Δ t ,则铁板面积 S 的增量为:
Δ S =102[1+ a ( t +Δ t )]2-102(1+ at )2=200( a + a2 t )Δ t +
100 a2(Δ t )2,所以平均膨胀率 =200( a + a2 t )+100 a2Δ t .
通性通法
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清
自变量的增量Δ x 与函数值的增量Δ y ,求平均变化率的主要步骤是:
【跟踪训练】
路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从
路灯在地面上的射影点 C 处沿直线匀速离开路灯.
(1)求身影的长度 y 与人距路灯的射影点 C 的距离 x 之间的关系式;
解:如图所示,由题意知人从 C 点运动到
B 点的距离为 x m, AB 为身影长度, AB 的长度
为 y m,由于 CD ∥ BE ,则 = =
,所以 y =0.25 x .
(2)求人离开路灯10 s内身影长度 y 关于时间 t 的平均变化率.
解:84 m/min=1.4 m/s,则 y 关于 t 的函数关系式为 y =
0.25×1.4 t =0.35 t ,所以10 s内平均变化率 = =0.35
(m/s),
即此人离开路灯10 s内身影长度 y 关于时间 t 的平均变化率为0.35
m/s.
题型二 利用平均变化率证明函数的单调性
【例3】 若函数 y = f ( x )是其定义域的子集 I 上的增函数且 f ( x )
>0,求证: g ( x )= 在 I 上为减函数.
证明:任取 x1, x2∈ I 且 x2> x1,
则Δ x = x2- x1>0,Δ y = f ( x2)- f ( x1),
∵函数 y = f ( x )是其定义域的子集 I 上的增函数,
∴Δ y >0, >0,
∴Δ g = g ( x2)- g ( x1)= - = .
又∵ f ( x )>0,∴ f ( x1) f ( x2)>0且 f ( x1)- f ( x2)<0,
∴Δ g <0,∴ <0,故 g ( x )= 在 I 上为减函数.
通性通法
1. y = f ( x )在 I 上是增函数的充要条件是 >0在 I 上恒成立.
2. y = f ( x )在 I 上是减函数的充要条件是 <0在 I 上恒成立.
【跟踪训练】
已知函数 f ( x )=1- , x ∈[3,5],判断函数 f ( x )的单调性,
并证明.
解:由于 y = x +2在[3,5]上是增函数,且恒大于零,因此, f ( x )
=1- 在[3,5]上为增函数.
证明过程如下:
任取 x1, x2∈[3,5]且 x1< x2,
即Δ x = x2- x1>0,
则Δ y = f ( x2)- f ( x1)=1- - = - =
.
∵( x1+2)( x2+2)>0,
∴Δ y >0,∴ >0,
故函数 f ( x )在[3,5]上是增函数.
题型三 求函数的最值
角度1 图象法求函数的最值
【例4】 已知函数 f ( x )=求函数 f ( x )的
最大值和最小值.
解:作出 f ( x )的图象如图.由图象可知,当 x =2
时, f ( x )取最大值为2;
当 x = 时, f ( x )取最小值为- .
所以 f ( x )的最大值为2,最小值为- .
通性通法
用图象法求最值的3个步骤
【跟踪训练】
函数 y =| x +1|-|2- x |的最大值是( )
A. 3 B. -3
C. 5 D. -2
解析:A 由题意可知 y =| x +1|-|2- x |=
画出函数图象即可得最大值为3.故选A.
角度2 利用单调性求函数的最值
【例5】 已知函数 f ( x )= x + .
(1)证明: f ( x )在(1,+∞)内是增函数;
解:证明:任取 x1, x2∈(1,+∞),且 x1≠ x2,
则 =
=
=1- .
由 x1, x2∈(1,+∞)知 x1 x2>1, <1,1- >0,
∴ >0,故 f ( x )在(1,+∞)内是增函数.
(2)求 f ( x )在[2,4]上的最值.
解:由(1)可知 f ( x )在[2,4]上是增函数,
∴当 x ∈[2,4]时, f (2)≤ f ( x )≤ f (4).
又 f (2)=2+ = , f (4)=4+ = ,
∴ f ( x )在[2,4]上的最大值为 .
通性通法
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数 y = f ( x )在区间( a , b ]上是增函数,在区间[ b ,
c )上是减函数,则函数 y = f ( x ), x ∈( a , c )在 x = b 处
有最大值 f ( b );
(2)如果函数 y = f ( x )在区间( a , b ]上是减函数,在区间[ b ,
c )上是增函数,则函数 y = f ( x ), x ∈( a , c )在 x = b 处
有最小值 f ( b );
(3)如果函数 y = f ( x )在区间[ a , b ]上是增(减)函数,则
在区间[ a , b ]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最
大(小)值.
【跟踪训练】
1. 设定义在R上的函数 f ( x )= x | x |,则 f ( x )( )
A. 只有最大值
B. 只有最小值
C. 既有最大值,又有最小值
D. 既无最大值,又无最小值
解析: f ( x )= x | x |=作出 f
( x )的图象如图所示,可知 f ( x )既无最大值又无
最小值.故选D.
2. 已知函数 f ( x )是定义在区间[-1,3]上的减函数,且函数 f
( x )的图象经过点 P (-1,2), Q (3,-4),则该函数的值
域是 .
解析:∵ f ( x )的图象经过点 P (-1,2), Q (3,-4),
∴ f (-1)=2, f (3)=-4.
又∵ f ( x )在定义域[-1,3]上为减函数,∴该函数的值域是[-
4,2].
[-4,2]
1. 直线 l 经过原点和点(-1,1),则 l 的斜率为( )
A. 0 B. 1
C. -1 D. 不存在
解析: 因为直线 l 经过原点和点(-1,1),所以 l 的斜率是
=-1.故选C.
2. 函数 f ( x )在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数的最大
值、最小值分别为( )
A. 3,0 B. 3,1
C. 3,无最小值 D. 3,-2
解析: 观察题中图象可知,图象的最高点坐标是(0,3),从
而其最大值是3;图象无最低点,即该函数不存在最小值.故选C.
3. 若函数 f ( x )= x2-2 x , x ∈[-1,4],则 f ( x )的值域为( )
A. [-1,3] B. [-1,16]
C. [-1,8] D. [3,8]
解析: ∵ f ( x )=( x -1)2-1,∴函数 y = f ( x )在区间[-
1,1)上单调递减,在区间(1,4]上单调递增,∴ f ( x )min= f
(1)=-1,∵ f (-1)=3, f (4)=8,∴ f ( x )max= f (4)
=8.因此,函数 y = f ( x )在区间[-1,4]上的值域为[-1,8].故
选C.
4. (多选)下列关于函数 y = ax +1, x ∈[0,2]的说法正确的是
( )
A. 当 a <0时,此函数的最大值为1,最小值为2 a +1
B. 当 a <0时,此函数的最大值为2 a +1,最小值为1
C. 当 a >0时,此函数的最大值为1,最小值为2 a +1
D. 当 a >0时,此函数的最大值为2 a +1,最小值为1
解析: 当 a <0时,函数 y = ax +1在区间[0,2]上单调递减,
当 x =0时,函数取得最大值为1;当 x =2时,函数取得最小值为2 a
+1.当 a >0时,函数 y = ax +1在区间[0,2]上单调递增,当 x =0
时,函数取得最小值为1,当 x =2时,函数取得最大值为2 a +1.故
选A、D.
5. 汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的变化规律如图所示,在时间段
[ t0, t1],[ t1, t2],[ t2, t3]内的平均速度分别是 , , ,则
三者由小到大的关系为 .
< <
解析:∵ = = kOA , = = kAB ,
= = kBC ,由题图得 kOA < kAB < kBC ,∴ < <
.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f ( x )=2 x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1
+Δ x ,-2+Δ y ),则 等于( )
A. 4 B. 4Δ x
C. 4+2Δ x D. 4+2(Δ x )2
解析: ∵Δ y = f (1+Δ x )- f (1)=2(1+Δ x )2-4-(2-
4)=2(Δ x )2+4Δ x ,∴ =2Δ x +4,故选C.
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2. 已知函数 f ( x )= ,则 f ( x )在区间[2,6]上的最大值为
( )
A. B. 3
C. 4 D. 5
解析: ∵ f ( x )= =2+ 在[2,6]上单调递减,∴ f
( x )max= f (2)=4.故选C.
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3. 若函数 f ( x )= 在区间[2,4]上的最小值为5,则 k 的值为
( )
A. 10 B. 10或20
C. 20 D. 无法确定
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解析: 当 k =0时,不符合题意;
当 k >0时, f ( x )= 在区间[2,4]上是减函数,
∴ f ( x )min= f (4)= =5,
∴ k =20,符合题意;
当 k <0时, f ( x )= 在区间[2,4]上是增函数,
f ( x )min= f (2)= =5,∴ k =10,
又∵ k <0,∴ k =10舍去.
∴ k 的值为20.故选C.
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4. 已知函数 f ( x )=2 - x ,对于任意的 x ∈[-2,2], f
( x )≤ m 恒成立,则实数 m 的最小值是( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析: 对于任意的 x ∈[-2,2]使2 - x ≤ m 恒成立,令
= t ( t ∈[0,2]),则 x = t2-2,即2 - x =2 t - t2+
2,设 g ( t )=- t2+2 t +2( t ∈[0,2]),则 g ( t )∈[2,3],
即 f ( x )max=3.故 m ≥3,即实数 m 的最小值是3.故选D.
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5. (多选)已知函数 f ( x )的定义域为[ a , b ],且 a < c < b .则下列
说法中错误的是( )
A. 若 f ( x )在[ a , c ]上是增函数,在[ c , b ]上是减函数,则 f
( x )max= f ( c )
B. 若 f ( x )在[ a , c )上是增函数,在[ c , b ]上是减函数,则 f
( x )max= f ( c )
C. 若 f ( x )在( a , c ]上是增函数,在[ c , b ]上是减函数,则 f
( x )max= f ( c )
D. 若 f ( x )在[ a , c ]上是增函数,在( c , b ]上是减函数,则 f
( x )max= f ( c )
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解析: 若 f ( x )在[ a , c ]上是增函数,则 f ( c )≥ f
( x ), x ∈[ a , c ];在[ c , b ]上是减函数,则 f ( c )≥ f
( x ), x ∈[ c , b ],所以 f ( x )max= f ( c ),故A正确;
若 f ( x )在[ a , c )上是增函数,在[ c , b ]上是减函数,函数的
最大值不一定为 f ( c ),
如 f ( x )=值域为[-1,2),没有最大
值,故B错误;
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若 f ( x )在( a , c ]上是增函数,在[ c , b ]上是减函数,函数的
最大值不一定为 f ( c ),例如函数 f ( x )=
其图象如图所示.
显然 f ( x )在(1,2]上是增函数,在[2,3]上是减函数,但 f
( x )在[1,3]上的最大值是 f (1)=2,故C不正确.若 f ( x )在
[ a , c ]上是增函数,在( c , b ]上是减函数,函数的最大值不一定
为 f ( c ),故D错误.故选B、C、D.
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6. 已知三点 A (-3,-1), B (0,2), C ( m ,4)在同一直线
上,则实数 m 的值为 .
解析:因为 A , B , C 三点在同一直线上,所以 kAB = kBC ,即
= ,故 m =2.
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7. 若关于 x 的不等式| x -2|-| x +3|< a 无解,则实数 a 的取值
范围是 .
解析:根据题意,设 f ( x )=| x -2|-| x +3|,则 f ( x )=
易得 f ( x )min=-5.
因为关于 x 的不等式| x -2|-| x +3|< a 无解,所以 f ( x )≥
a 恒成立,即 f ( x )min≥ a ,故 a ≤-5.
(-∞,-5]
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8. 已知函数 y =- x2-2 x +3在[ a ,2]上的最大值为 ,则 a = - .
解析: y =- x2-2 x +3=-( x +1)2+4,对称轴方程为 x =-
1,当 a ≤-1时, x =-1,函数取得最大值为4,不合题意舍去,
当 a >-1时, x = a ,函数取得最大值为- a2-2 a +3= ,即4 a2
+8 a +3=0,(2 a +3)(2 a +1)=0,解得 a =- 或 a =-
(舍去).
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9. 已知函数 f ( x )= - ( a >0, x >0).
(1)求证: f ( x )在(0,+∞)上是增函数;
解:证明:设 x1, x2∈(0,+∞)且 x1≠ x2,则
=
= = ,
由 x1, x2∈(0,+∞)知, x1 x2>0, >0,
∴ >0,故 f ( x )在(0,+∞)上是增函数.
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(2)若 f ( x )在 上的值域是 ,求 a 的值.
解:由(1)可知, f ( x )在 上为增函数,
∴ f = -2= , f (2)= - =2,
解得 a = .
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10. 已知函数 f ( x )=有最小值,则 a 的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析: 当 x ≥0时, f ( x )=( x -1)2-1 ,此时 f ( x )min=
f (1)=-1;当 x <0时, f ( x )=( a -1) x +2 a .
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① a =1时, f ( x )=2为常函数,此时在R上满足函数 f ( x )有
最小值为-1.
② a ≠1时,函数 f ( x )在(-∞,0)上为一次函数,若要满足
在R上有最小值,
需
解得- ≤ a <1,
综上,满足题意的实数 a 的取值范围为 .
故选C.
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11. “ x ∈[1,2], t ∈[1,2],使得 x +2> t + m 成立”为真命
题,则实数 m 的范围为 .
解析:令 f ( x )= x +2, g ( t )= t + m ,要想 x ∈[1,2], t
∈[1,2],使得 x +2> t + m 成立为真命题,只需 f ( x )min> g
( t )min,其中 f ( x )= x +2在[1,2]上单调递增, f ( x )min= f
(1)=3, g ( t )= t + m 在[1,2]上单调递增, g ( t )min= g
(1)=1+ m ,故3>1+ m ,解得 m <2.所以实数 m 的范围为(-
∞,2).
(-∞,2)
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12. 已知 f ( x )= ( x ≠ a ).
(1)若 a =-2,试证 f ( x )在(-∞,-2)内单调递增;
解:证明:当 a =-2时, f ( x )= .
设 x1, x2∈(-∞,-2),且 x1≠ x2,则
= =
= .
由 x1, x2∈(-∞,-2)知, x1+2<0, x2+2<0,
所以( x1+2)( x2+2)>0,即 >0,
所以 f ( x )在(-∞,-2)内单调递增.
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(2)若 a >0且 f ( x )在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取
值范围.
解:任取 x1, x2∈(1,+∞),且 x1≠ x2,
则 =
=
= .
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由 a >0, x1, x2∈(1,+∞),且 <0知( x1- a )·( x2
- a )>0恒成立,所以 a ≤1,
故0< a ≤1,
所以 a 的取值范围为(0,1].
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13. 已知min{ a , b }=设 f ( x )=min{ x -2,- x2+4 x
-2},则函数 f ( x )的最大值是( )
A. -2 B. 1
C. 2 D. 3
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解析: 法一 当 x -2≤- x2+4 x -2,即 x ∈[0,3]时, f
( x )= x -2在 x ∈[0,3]上单调递增,所以 f ( x )max= f (3)
=3-2=1,当 x -2>- x2+4 x -2,即 x ∈(-∞,0)∪(3,
+∞)时, f ( x )=- x2+4 x -2=-( x -2)2+2在 x ∈(-
∞,0)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,因为 f (0)=
-2, f (3)=1,所以 f ( x )< f (3)=1.
综上:函数 f ( x )的最大值为1.故选B.
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法二 由 x -2≤- x2+4 x -2得 x2-3 x ≤0,
∴0≤ x ≤3,∴ f ( x )=
其图象如图所示(实线部分).
∵ f ( x )图象的最高点是(3,1),
∴ f ( x )max= f (3)=1.
故选B.
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14. 已知函数 y = x + 有如下性质:如果常数 t >0,那么该函数在
(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数.已知 f ( x )=
, x ∈[0,1],利用上述性质,求函数 f ( x )的单调区
间和值域.
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解: f ( x )= =2 x +1+ -8,
设 u =2 x +1, x ∈[0,1],
则1≤ u ≤3,
故 y = u + -8, u ∈[1,3].
由已知性质得,当1≤ u ≤2,
即0≤ x ≤ 时, f ( x )单调递减,所以递减区间为 ;
当2≤ u ≤3,即 ≤ x ≤1时, f ( x )单调递增,
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所以递增区间为 .
由 f (0)=-3, f =-4, f (1)=- ,
得 f ( x )的值域为[-4,-3].
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谢 谢 观 看!