3.1.3 函数的奇偶性
第一课时 函数的奇偶性
1.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A.y＝x＋1 B.y＝x2
C.y＝ D.y＝x｜x｜
2.已知f（x）＝3ax2＋bx－5a＋5b是偶函数，且其定义域为[3a－1，a]，则a＋b＝（ ）
A. B.
C. D.7
3.函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝4x＋m，则f＝（ ）
A.1 B.－2
C.－1 D.－
4.函数f（x）＝的图象大致为（ ）
5.（多选）定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式f（x）＝x（1＋x），则f（x）在[0，＋∞）上正确的结论是（ ）
A.f（0）＝0 B.f（1）＝0
C.最大值 D.最小值－
6.若定义在（－1，1）上的奇函数f（x）＝，则常数m，n的值分别为 .
7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常数），且f（－3）＝5，则f（3）＝ .
8.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2－x，则f（1）－g（1）＝ .
9.已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示.
（1）请补出函数y＝f（x）的完整图象；
（2）根据图象写出函数y＝f（x）的增区间；
（3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合.
10.已知函数f（x）＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜，则“a＝－1”是“f（x）为奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知定义在R上的偶函数f（x）＝｜x－m＋1｜－2.若正实数a，b满足f（a）＋f（2b）＝m，则＋的最小值为（ ）
A.9 B.5
C.25 D.
12.已知函数f（x）对一切x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）.
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给与证明；
（2）若f（－3）＝a，试用a表示f（15）.
13.我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.则函数f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心为（ ）
A.（－1，2） B.（－1，－2）
C.（1，2） D.（1，－2）
14.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m，n使得h（x）＝mf（x）＋ng（x），那么称h（x）为f（x），g（x）在R上生成的函数.设f（x）＝x2＋x，g（x）＝x＋2，若h（x）为f（x），g（x）在R上生成的一个偶函数，且h（1）＝3，求函数h（x）.
第一课时 函数的奇偶性
1.D y＝x＋1是非奇非偶函数，A错误；y＝x2是偶函数，B错误；y＝的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），C错误；y＝x｜x｜的值域为R，且为奇函数，D正确.故选D.
2.C 根据偶函数的性质，由f（x）＝3ax2＋bx－5a＋5b是偶函数，可得b＝0.又由定义域[3a－1，a]关于原点对称，可得3a－1＋a＝4a－1＝0，所以a＝，所以a＋b＝， 故选C.
3.B 由函数f（x）为定义在R上的奇函数，得f（0）＝0，解得m＝0，所以f（x）＝4x（x≥0）.
所以f＝4×＝2.所以f＝－f＝－2.故选B.
4.A 因为f（x）定义域为R，且f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项B、D；又x＞0时，f（x）＞0，排除选项C，故选项A正确.故选A.
5.ABC 因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0.f（x）在（－∞，0）上的图象与在（0，＋∞）上的图象关于原点对称.画出f（x）在R上的图象如图.易得A、B、C正确.
6.0，0 解析：由已知得f（0）＝0，故m＝0.
由f（x）是奇函数，知f（－x）＝－f（x），
即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.
7.－21 解析：设g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（x）为奇函数.由题设可得f（－3）＝g（－3）－8＝5，得g（－3）＝13.又g（x）为奇函数，所以g（3）＝－g（－3）＝－13，于是f（3）＝g（3）－8＝－13－8＝－21.
8.2 解析：因为f（x）＋g（x）＝x2－x，所以有f（－1）＋g（－1）＝（－1）2－（－1）＝2，
因为f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），因此由f（－1）＋g（－1）＝2 f（1）－g（1）＝2.
9.解：（1）由题意作出函数图象如图：
（2）由图可知，单调增区间为（－1，0），（1，＋∞）.
（3）由图可知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（0，2）.
10.C 法一 若函数f（x）为奇函数，且函数f（x）的定义域为R，
则f（x）＋f（－x）＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜＋｜－x－1｜＋a｜－x＋1｜＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜＋｜x＋1｜＋a｜x－1｜＝（a＋1）（｜x－1｜＋｜x＋1｜）＝0，∴a＋1＝0，解得a＝－1.
∴“a＝－1”是“f（x）为奇函数”的充要条件.故选C.
法二 若f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝1＋a＝0，
∴a＝－1，必要性成立.
若a＝－1则f（x）＝｜x－1｜－｜x＋1｜，
∴f（－x）＝｜－x－1｜－｜－x＋1｜
＝－（｜x－1｜－｜x＋1｜）＝－f（x），
∴f（x）是R上的奇函数，充分性成立.
∴a＝－1是f（x）为奇函数的充要条件.
11.B 因f（x）＝｜x－m＋1｜－2是R上的偶函数，则 x∈R，f（－x）＝f（x），即｜x－m＋1｜＝｜－x－m＋1｜恒成立，平方整理得：4x（m－1）＝0，则有m＝1，此时f（x）＝｜x｜－2，由正实数a，b满足f（a）＋f（2b）＝m得a＋2b＝5，
＋＝（a＋2b）＝≥＝5，当且仅当＝，即b＝2a＝2时取“＝”，所以当a＝1，b＝2时，＋取最小值，为5.故选B.
12.解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝0，
令y＝－x，即f（x＋y）＝f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，
则f（－x）＝－f（x），∴f（x）是奇函数.
（2）∵f（x）是奇函数，∴f（3）＝－f（－3）＝－a，
又∵f（x＋y）＝f（x）＋f（y），∴f（15）＝5f（3）＝－5a.
13.A 设（a，b）为f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心，
则有y＝f（x＋a）－b＝（x＋a）3＋3（x＋a）2－b为奇函数，
设g（x）＝（x＋a）3＋3（x＋a）2－b，则g（x）为奇函数，
g（x）＝x3＋3（a＋1）x2＋3（a2＋2a）x＋a3＋3a2－b，又g（－x）＋g（x）＝0，
可得3（a＋1）x2＋a3＋3a2－b＝0，
所以解得
所以函数f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心的坐标为（－1，2）.故选A.
14.解：h（x）＝mf（x）＋ng（x）＝m（x2＋x）＋n（x＋2）＝mx2＋（m＋n）x＋2n.
∵h（x）为偶函数，∴m＋n＝0， ①
又h（1）＝3，∴m＋m＋n＋2n＝3， ②
联立①②解得m＝－3，n＝3，
∴h（x）＝－3x2＋6.
2 / 23.1.3 函数的奇偶性
第一课时 函数的奇偶性
新课程标准解读 核心素养
1.理解奇函数、偶函数的定义 数学抽象、逻辑推理
2.了解奇函数、偶函数图象的特征 直观想象、数学运算
3.掌握判断函数奇偶性的方法 逻辑推理、数学运算
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
【问题】 （1）上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“部分”对称？
（2）哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
知识点 函数的奇偶性
1.偶函数
（1）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有 ，且 ，则称y＝f（x）为偶函数；
（2）图象特征：图象关于 对称.
2.奇函数
（1）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有 ，且 ，则称y＝f（x）为奇函数；
（2）图象特征：图象关于 对称.
提醒 函数奇偶性的再理解：①函数y＝f（x）是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性；②若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则根据定义可得，f（－0）＝－f（0），即f（0）＝0，即奇函数的图象过原点；③若f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f（x）＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.
【想一想】
如果定义域内存在x0，满足f（－x0）＝f（x0），函数f（x）是偶函数吗？
1.下列说法中错误的个数为（ ）
①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交.
A.4 B.3 C.2 D.1
2.函数f（x）＝x2（x＜0）的奇偶性为（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
3.已知f（x）为奇函数，f（2）＝3，则f（－2）＝ .
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】 （链接教科书第111页例1）判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝2－｜x｜；
（2）f（x）＝ ＋ ；
（3）f（x）＝；
（4）f（x）＝
尝试解答
通性通法
判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法
（2）图象法
提醒 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式.
【跟踪训练】
1.给定四个函数：①y＝｜x｜＋（）2；②y＝（x＞0）；③y＝x2＋1；④y＝.其中是偶函数的有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A.f（x）＋g（x）为奇函数
B.f（x）＋g（x）为偶函数
C.f（x）g（x）为奇函数
D.f（x）g（x）为偶函数
题型二 奇、偶函数的图象问题
【例2】 已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
（1）画出在区间[－5，0]上的图象；
（2）写出使f（x）＜0的x的取值集合.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题.
通性通法
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称；
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题.
【跟踪训练】
1.（多选）已知定义在[－7，7]上的偶函数，它在[0，7]上的图象如图所示，则该函数（ ）
A.有两个单调递增区间
B.有三个单调递减区间
C.在其定义域内有最大值7
D.在其定义域内有最小值－7
2.设奇函数f（x）的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f（x）的图象如图所示，不等式f（x）＜0的解集用区间表示为 .
题型三 利用函数奇偶性求参数值
【例3】 （1）已知函数f（x）＝x3＋ax＋b为奇函数，则b＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
（2）若函数f（x）＝x4＋bx3＋ax2＋2是定义在[1－3a，a]上的偶函数，则a＋b＝ .
尝试解答
通性通法
利用奇偶性求参数的常见类型
（1）定义域含参数：奇偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；
（2）解析式含参数：根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝2x2＋，且f（－1）＝4，则m＝（ ）
A.2 B.－2
C.4 D.－6
2.已知函数f（x）＝是奇函数，则a＝ .
1.下列函数不具备奇偶性的是（ ）
A.y＝2x B.y＝x2－5
C.y＝－ D.y＝
2.函数f（x）＝的图象关于（ ）
A.x轴对称 B.原点对称
C.y轴对称 D.直线y＝x对称
3.若函数f（x）＝ax2＋（2b－a）x＋b－a是定义在[2－2a，a]上的偶函数，则a－b＝（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.（多选）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝3，f（1）＋g（－1）＝5，则（ ）
A.f（1）＝1 B.f（－1）＝1
C.g（1）＝4 D.g（－1）＝－4
5.设函数f（x）＝为奇函数，则a＝ .
第一课时 函数的奇偶性
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）－x∈D f（－x）＝f（x） （2）y轴 2.（1）－x∈D
f（－x）＝－f（x） （2）原点
想一想
提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立.
自我诊断
1.C 由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f（x）＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f（x）＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以④说法错误.故选C.
2.D 因为函数f（x）＝x2（x＜0）的定义域为（－∞，0），不关于原点对称，所以函数f（x）＝x2（x＜0）为非奇非偶函数.故选D.
3.－3 解析：因为f（x）为奇函数，f（2）＝3，所以f（－2）＝－f（2）＝－3.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（－x）＝2－｜－x｜＝2－｜x｜＝f（x），
∴f（x）为偶函数.
（2）∵函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0，又∵f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x），
∴f（x）既是奇函数又是偶函数.
（3）∵函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数.
（4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，
f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）；
当x＜0时，－x＞0，
f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）.
综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数.
跟踪训练
1.A ①y＝｜x｜＋（）2的定义域为[0，＋∞），定义域关于原点不对称，故①不是偶函数；②y＝（x＞0）的定义域为（0，＋∞），定义域关于原点不对称，故②不是偶函数；③y＝f（x）＝x2＋1的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝（－x）2＋1＝f（x），故③是偶函数；④y＝定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，故④不是偶函数.故①②④不是偶函数，③是偶函数.故选A.
2.C 令F1（x）＝f（x）＋g（x），则F1（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠－F1（x），且F1（－x）≠F1（x），
∴F1（x）既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令F2（x）＝f（x）g（x），则F2（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x）＝－F2（x），且F2（－x）≠F2（x），
∴F2（x）是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选C.
【例2】 解：（1）因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f（x）在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.
（2）由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）.
母题探究
解：（1）图象如图所示，
（2）由（1）可知，使函数值y＜0的x的取值集合为（－5，－2）∪（2，5）.
跟踪训练
1.AC 由题意作出该函数在[－7，7]上的图象，如图所示.由图象可知该函数有两个单调递增区间，两个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值－2.故选A、C.
2.[－6，－3）∪（0，3） 解析：由f（x）在[0，6]上的图象知，满足f（x）＜0的不等式的解集为（0，3）.又f（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0）上，不等式f（x）＜0的解集为[－6，－3）.综上可知，不等式f（x）＜0的解集为[－6，－3）∪（0，3）.
【例3】 （1）B （2） 解析：（1）因为f（x）＝x3＋ax＋b为奇函数，且f（x）的定义域为R.所以f（0）＝0，所以b＝0，经检验符合题意.故选B.
（2）由题意得：1－3a＋a＝0，解得a＝，又因为f（x）＝x4＋bx3＋ax2＋2为偶函数，所以f（－x）＝f（x），即x4－bx3＋ax2＋2＝x4＋bx3＋ax2＋2，解得b＝0，所以a＋b＝.
跟踪训练
1.A 由函数f（x）为偶函数，所以f（－1）＝f（1）＝2＋m＝4，所以m＝2.故选A.
2.1 解析：因为f（x）为奇函数，所以f（－1）＋f（1）＝0，
即（a－1）＋（－1＋1）＝0，故a＝1.
随堂检测
1.D 对于A选项，函数y＝2x为奇函数；对于B选项，函数y＝x2－5的对称轴为y轴，该函数为偶函数；对于C选项，函数y＝－为奇函数；对于D选项，函数y＝的定义域为{x｜x≠－3}，该函数为非奇非偶函数.故选D.
2.B 由得f（x）的定义域为[－，0）∪（0，]，关于原点对称.
又f（－x）＝＝＝－＝－f（x），
∴f（x）是奇函数，∴f（x）＝的图象关于原点对称.
3.A ∵二次函数为偶函数，
∴对称轴为y轴，且区间[2－2a，a]关于原点对称，
∵
∴a－b＝1.故选A.
4.AC 因f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（－1）＋g（1）＝3 －f（1）＋g（1）＝3，f（1）＋g（－1）＝5 f（1）＋g（1）＝5，解得f（1）＝1，g（1）＝4，即A、C都正确；而f（－1）＝－1，g（－1）＝4，即B、D都不正确.故选A、C.
5.－1 解析：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－（a＋1）x＋a＝x2＋（a＋1）x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
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第一课时 函数的奇偶性
新课程标准解读 核心素养
1.理解奇函数、偶函数的定义 数学抽象、逻辑推理
2.了解奇函数、偶函数图象的特征 直观想象、数学运算
3.掌握判断函数奇偶性的方法 逻辑推理、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪
花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
【问题】 （1）上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对
称”还是“部分”对称？
（2）哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
知识点 函数的奇偶性
1. 偶函数
（1）定义：一般地，设函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 D ，如果对 D 内
的任意一个 x ，都有 ，且
，则称 y ＝ f （ x ）为偶函数；
（2）图象特征：图象关于 对称.
－ x ∈ D
f （－ x ）＝ f
（ x ）
y 轴
2. 奇函数
（1）定义：一般地，设函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 D ，如果对 D 内
的任意一个 x ，都有 ，且
，则称 y ＝ f （ x ）为奇函数；
－ x ∈ D
f （－ x ）＝－ f
（ x ）
（2）图象特征：图象关于 对称.
原点
提醒 函数奇偶性的再理解：①函数 y ＝ f （ x ）是奇函数或
偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言
之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具
有奇偶性；②若奇函数 f （ x ）在 x ＝0处有定义，则根据定义
可得， f （－0）＝－ f （0），即 f （0）＝0，即奇函数的图象
过原点；③若 f （－ x ）＝－ f （ x ），且 f （－ x ）＝ f （ x ），
则 f （ x ）既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一
类，即 f （ x ）＝0， x ∈ D ， D 是关于原点对称的非空数集.
【想一想】
如果定义域内存在 x0，满足 f （－ x0）＝ f （ x0），函数 f （ x ）是偶函
数吗？
提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个 x 都成立.
1. 下列说法中错误的个数为（ ）
①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；
②图象关于 y 轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；
④偶函数的图象一定与 y 轴相交.
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，
如 f （ x ）＝ ， x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是奇函数，但
它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如 f （ x ）＝ ， x
∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是偶函数，但它的图象不与 y 轴
相交，所以④说法错误.故选C.
2. 函数 f （ x ）＝ x2（ x ＜0）的奇偶性为（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 非奇非偶函数
解析： 因为函数 f （ x ）＝ x2（ x ＜0）的定义域为（－∞，
0），不关于原点对称，所以函数 f （ x ）＝ x2（ x ＜0）为非奇非偶
函数.故选D.
3. 已知 f （ x ）为奇函数， f （2）＝3，则 f （－2）＝ .
解析：因为 f （ x ）为奇函数， f （2）＝3，
所以 f （－2）＝－ f （2）＝－3.
－3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】 （链接教科书第111页例1）判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝2－｜ x ｜；
解：∵函数 f （ x ）的定义域为R，关于原点对称，又 f
（－ x ）＝2－｜－ x ｜＝2－｜ x ｜＝ f （ x ），
∴ f （ x ）为偶函数.
（2） f （ x ）＝ ＋ ；
解：∵函数 f （ x ）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，
且 f （ x ）＝0，又∵ f （－ x ）＝－ f （ x ）， f （－ x ）＝ f
（ x ），
∴ f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
（3） f （ x ）＝ ；
解：∵函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠1}，不关于原
点对称，
∴ f （ x ）是非奇非偶函数.
（4） f （ x ）＝
解：f （ x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于
原点对称.当 x ＞0时，－ x ＜0，
f （－ x ）＝1－（－ x ）＝1＋ x ＝ f （ x ）；
当 x ＜0时，－ x ＞0，
f （－ x ）＝1＋（－ x ）＝1－ x ＝ f （ x ）.
综上可知，对于 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有 f （－
x ）＝ f （ x ）， f （ x ）为偶函数.
通性通法
判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法
（2）图象法
提醒 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据 x
的范围取相应的函数解析式.
【跟踪训练】
1. 给定四个函数：① y ＝｜ x ｜＋（ ）2；② y ＝ （ x ＞0）；③ y
＝ x2＋1；④ y ＝ .其中是偶函数的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
③ y ＝ f （ x ）＝ x2＋1的定义域为R，关于原点对称， f （－ x ）＝
（－ x ）2＋1＝ f （ x ），故③是偶函数；
④ y ＝ 定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对
称，故④不是偶函数.
故①②④不是偶函数，③是偶函数.故选A.
解析： ① y ＝｜ x ｜＋（ ）2的定义域为[0，＋∞），定义域
关于原点不对称，故①不是偶函数；
② y ＝ （ x ＞0）的定义域为（0，＋∞），定义域关于原点不对
称，故②不是偶函数；
2. 函数 f （ x ）为奇函数， g （ x ）为偶函数，在公共定义域内，下列
结论一定正确的是（ ）
A. f （ x ）＋ g （ x ）为奇函数
B. f （ x ）＋ g （ x ）为偶函数
C. f （ x ） g （ x ）为奇函数
D. f （ x ） g （ x ）为偶函数
解析： 令 F1（ x ）＝ f （ x ）＋ g （ x ），则 F1（－ x ）＝ f （－
x ）＋ g （－ x ）＝－ f （ x ）＋ g （ x ）≠－ F1（ x ），且 F1（－ x ）
≠ F1（ x ），
∴ F1（ x ）既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令 F2（ x ）＝ f （ x ） g （ x ），则 F2（－ x ）＝ f （－ x ） g （－ x ）
＝－ f （ x ） g （ x ）＝－ F2（ x ），且 F2（－ x ）≠ F2（ x ），
∴ F2（ x ）是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选C.
题型二 奇、偶函数的图象问题
【例2】 已知奇函数 f （ x ）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]
上的图象如图所示.
（1）画出在区间[－5，0]上的图象；
解：因为函数 f （ x ）是奇函数，所以 y ＝ f （ x ）在[－5，5]上的图象关于原点对称.由 y ＝ f （ x ）在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.
（2）写出使 f （ x ）＜0的 x 的取值集合.
解：由图象知，使函数值 y ＜0的 x 的取值集合为（－2，0）∪（2，5）.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上
述问题.
解：（1）图象如图所示，
（2）由（1）可知，使函数值 y ＜0的 x 的取值集合为（－5，－2）∪
（2，5）.
通性通法
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于 y 轴
对称；
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性，可以解决诸如求函数值
或画出奇、偶函数图象的问题.
【跟踪训练】
1. （多选）已知定义在[－7，7]上的偶函数，它在[0，7]上的图象如
图所示，则该函数（ ）
A. 有两个单调递增区间
B. 有三个单调递减区间
C. 在其定义域内有最大值7
D. 在其定义域内有最小值－7
解析： 由题意作出该函数在[－7，7]上
的图象，如图所示.由图象可知该函数有两个单
调递增区间，两个单调递减区间，在其定义域
内有最大值7，最小值－2.故选A、C.
2. 设奇函数 f （ x ）的定义域为[－6，6]，当 x ∈[0，6]时 f （ x ）的图
象如图所示，不等式 f （ x ）＜0的解集用区间表示为
.
解析：由 f （ x ）在[0，6]上的图象知，满足 f （ x ）＜0的不等式的
解集为（0，3）.又 f （ x ）为奇函数，图象关于原点对称，所以在
[－6，0）上，不等式 f （ x ）＜0的解集为[－6，－3）.综上可知，
不等式 f （ x ）＜0的解集为[－6，－3）∪（0，3）.
[－6，－3）
∪（0，3）
题型三 利用函数奇偶性求参数值
【例3】 （1）已知函数 f （ x ）＝ x3＋ ax ＋ b 为奇函数，则 b ＝
（ B ）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析：因为 f （ x ）＝ x3＋ ax ＋ b 为奇函数，且 f （ x ）的定义域为R.
所以 f （0）＝0，所以 b ＝0，经检验符合题意.故选B.
（2）若函数 f （ x ）＝ x4＋ bx3＋ ax2＋2是定义在[1－3 a ， a ]上的偶
函数，则 a ＋ b ＝ .
解析：由题意得：1－3 a ＋ a ＝0，解得 a ＝ ，
又因为 f （ x ）＝ x4＋ bx3＋ ax2＋2为偶函数，
所以 f （－ x ）＝ f （ x ），
即 x4－ bx3＋ ax2＋2＝ x4＋ bx3＋ ax2＋2，
解得 b ＝0，所以 a ＋ b ＝ .
通性通法
利用奇偶性求参数的常见类型
（1）定义域含参数：奇偶函数 f （ x ）的定义域为[ a ， b ]，根据定义
域关于原点对称，利用 a ＋ b ＝0求参数；
（2）解析式含参数：根据 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f （－ x ）＝ f （ x ）
列式，比较系数利用待定系数法求解.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）为偶函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝2 x2＋ ，且 f
（－1）＝4，则 m ＝（ ）
A. 2 B. －2
C. 4 D. －6
解析： 由函数 f （ x ）为偶函数，所以 f （－1）＝ f （1）＝2＋ m
＝4，所以 m ＝2.故选A.
2. 已知函数 f （ x ）＝是奇函数，则 a ＝ .
解析：因为 f （ x ）为奇函数，
所以 f （－1）＋ f （1）＝0，
即（ a －1）＋（－1＋1）＝0，
故 a ＝1.
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1. 下列函数不具备奇偶性的是（ ）
A. y ＝2 x B. y ＝ x2－5
C. y ＝－ D. y ＝
解析： 对于A选项，函数 y ＝2 x 为奇函数；对于B选项，函数 y
＝ x2－5的对称轴为 y 轴，该函数为偶函数；对于C选项，函数 y ＝
－ 为奇函数；对于D选项，函数 y ＝ 的定义域为{ x ｜ x ≠－
3}，该函数为非奇非偶函数.故选D.
2. 函数 f （ x ）＝ 的图象关于（ ）
A. x 轴对称 B. 原点对称
C. y 轴对称 D. 直线 y ＝ x 对称
解析： 由得 f （ x ）的定义域为[－ ，0）∪
（0， ]，关于原点对称.
又 f （－ x ）＝ ＝ ＝－ ＝－ f （ x ），
∴ f （ x ）是奇函数，
∴ f （ x ）＝ 的图象关于原点对称.
3. 若函数 f （ x ）＝ ax2＋（2 b － a ） x ＋ b － a 是定义在[2－2 a ， a ]上
的偶函数，则 a － b ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： ∵二次函数为偶函数，
∴对称轴为 y 轴，且区间[2－2 a ， a ]关于原点对称，
∵
∴ a － b ＝1.故选A.
4. （多选） f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函数，且 f （－1）＋ g
（1）＝3， f （1）＋ g （－1）＝5，则（ ）
A. f （1）＝1 B. f （－1）＝1
C. g （1）＝4 D. g （－1）＝－4
解析： 因 f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函数，则 f （－
1）＋ g （1）＝3 － f （1）＋ g （1）＝3， f （1）＋ g （－
1）＝ 5 f （1）＋ g （1）＝5，解得 f （1）＝1， g （1）＝
4，即A、C都正确；而 f （－1）＝－1， g （－1）＝4，即B、D
都不正确.故选A、C.
5. 设函数 f （ x ）＝ 为奇函数，则 a ＝ .
解析：∵ f （ x ）为奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ），
即 ＝－ .
显然 x ≠0，整理得 x2－（ a ＋1） x ＋ a ＝ x2＋（ a ＋1） x ＋ a ，
故 a ＋1＝0，得 a ＝－1.
－1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A. y ＝ x ＋1 B. y ＝ x2
C. y ＝ D. y ＝ x ｜ x ｜
解析： y ＝ x ＋1是非奇非偶函数，A错误； y ＝ x2是偶函数，B
错误； y ＝ 的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），C错误； y ＝
x ｜ x ｜的值域为R，且为奇函数，D正确.故选D.
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2. 已知 f （ x ）＝3 ax2＋ bx －5 a ＋5 b 是偶函数，且其定义域为[3 a －
1， a ]，则 a ＋ b ＝（ ）
A. B.
C. D. 7
解析： 根据偶函数的性质，由 f （ x ）＝3 ax2＋ bx －5 a ＋5 b 是
偶函数，可得 b ＝0.又由定义域[3 a －1， a ]关于原点对称，可得3 a
－1＋ a ＝4 a －1＝0，所以 a ＝ ，所以 a ＋ b ＝ ， 故选C.
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3. 函数 f （ x ）为定义在R上的奇函数，当 x ≥0时， f （ x ）＝4 x ＋
m ，则 f ＝（ ）
A. 1 B. －2
C. －1 D. －
解析： 由函数 f （ x ）为定义在R上的奇函数，得 f （0）＝0，解
得 m ＝0，所以 f （ x ）＝4 x （ x ≥0）.所以 f ＝4× ＝2.所以 f
＝－ f ＝－2.故选B.
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4. 函数 f （ x ）＝ 的图象大致为（ ）
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解析： 因为 f （ x ）定义域为R，且 f （－ x ）＝ ＝
＝ f （ x ），所以 f （ x ）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故
排除选项B、D；又 x ＞0时， f （ x ）＞0，排除选项C，故选项A正
确.故选A.
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5. （多选）定义在R上的奇函数 f （ x ）在（－∞，0）上的解析式 f（ x ）＝ x （1＋ x ），则 f （ x ）在[0，＋∞）上正确的结论是（ ）
A. f （0）＝0 B. f （1）＝0
C. 最大值 D. 最小值－
解析： 因为 f （ x ）为R上的奇函数，所
以 f （0）＝0. f （ x ）在（－∞，0）上的图象
与在（0，＋∞）上的图象关于原点对称.画出 f
（ x ）在R上的图象如图.易得A、B、C正确.
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6. 若定义在（－1，1）上的奇函数 f （ x ）＝ ，则常数 m ， n
的值分别为 .
解析：由已知得 f （0）＝0，故 m ＝0.
由 f （ x ）是奇函数，知 f （－ x ）＝－ f （ x ），
即 ＝－ ，
∴ x2－ nx ＋1＝ x2＋ nx ＋1，∴ n ＝0.
0，0
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7. 已知 f （ x ）＝ x5＋ ax3＋ bx －8（ a ， b 是常数），且 f （－3）＝5，
则 f （3）＝ .
解析：设 g （ x ）＝ x5＋ ax3＋ bx ，则 g （ x ）为奇函数.由题设可得 f
（－3）＝ g （－3）－8＝5，得 g （－3）＝13.又 g （ x ）为奇函
数，所以 g （3）＝－ g （－3）＝－13，于是 f （3）＝ g （3）－8＝
－13－8＝－21.
－21
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8. 已知 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 f
（ x ）＋ g （ x ）＝ x2－ x ，则 f （1）－ g （1）＝ .
解析：因为 f （ x ）＋ g （ x ）＝ x2－ x ，所以有 f （－1）＋ g （－
1）＝（－1）2－（－1）＝2，
因为 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以 f （－1）＝ f （1）， g （－1）＝－ g （1），因此由 f （－1）
＋ g （－1）＝2 f （1）－ g （1）＝2.
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9. 已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且当 x ≤0时， f （ x ）
＝ x2＋2 x .现已画出函数 f （ x ）在 y 轴左侧的图象，如图所示.
（1）请补出函数 y ＝ f （ x ）的完整图象；
解：由题意作出函数图象如图：
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（2）根据图象写出函数 y ＝ f （ x ）的增区间；
解：由图可知，单调增区间为（－
1，0），（1，＋∞）.
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（3）根据图象写出使 f （ x ）＜0的 x 的取值集合.
解：由图可知，使 f （ x ）＜0的 x
的取值集合为（－2，0）∪（0，2）.
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10. 已知函数 f （ x ）＝｜ x －1｜＋ a ｜ x ＋1｜，则“ a ＝－1”是“ f
（ x ）为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 法一 若函数 f （ x ）为奇函数，且函数 f （ x ）的定义
域为R，
则 f （ x ）＋ f （－ x ）＝｜ x －1｜＋ a ｜ x ＋1｜＋｜－ x －1｜＋
a ｜－ x ＋1｜＝｜ x －1｜＋ a ｜ x ＋1｜＋｜ x ＋1｜＋ a ｜ x －1｜
＝（ a ＋1）（｜ x －1｜＋｜ x ＋1｜）＝0，∴ a ＋1＝0，解得 a ＝
－1.
∴“ a ＝－1”是“ f （ x ）为奇函数”的充要条件.故选C.
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法二 若 f （ x ）是R上的奇函数，则 f （0）＝1＋ a ＝0，
∴ a ＝－1，必要性成立.
若 a ＝－1则 f （ x ）＝｜ x －1｜－｜ x ＋1｜，
∴ f （－ x ）＝｜－ x －1｜－｜－ x ＋1｜
＝－（｜ x －1｜－｜ x ＋1｜）
＝－ f （ x ），
∴ f （ x ）是R上的奇函数，充分性成立.
∴ a ＝－1是 f （ x ）为奇函数的充要条件.
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11. 已知定义在R上的偶函数 f （ x ）＝｜ x － m ＋1｜－2.若正实数 a ，
b 满足 f （ a ）＋ f （2 b ）＝ m ，则 ＋ 的最小值为（ ）
A. 9 B. 5
C. 25 D.
解析： 因 f （ x ）＝｜ x － m ＋1｜－2是R上的偶函数，则 x ∈R， f （－ x ）＝ f （ x ），即｜ x － m ＋1｜＝｜－ x － m ＋1｜恒成立，平方整理得：4 x （ m －1）＝0，则有 m ＝1，此时 f （ x ）＝｜ x ｜－2，由正实数 a ， b 满足 f （ a ）＋ f （2 b ）＝ m 得 a ＋2 b ＝5，
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＋ ＝ （ a ＋2 b ） ＝ （17＋ ＋ ）≥
＝5，当且仅当 ＝ ，即 b ＝2 a ＝2时取“＝”，所以当 a ＝1， b ＝
2时， ＋ 取最小值，为5.故选B.
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12. 已知函数 f （ x ）对一切 x ， y ∈R，都有 f （ x ＋ y ）＝ f （ x ）＋ f
（ y ）.
（1）判断函数 f （ x ）的奇偶性，并给与证明；
解：令 x ＝ y ＝0，则 f （0）＝0，
令 y ＝－ x ，即 f （ x ＋ y ）＝ f （0）＝ f （ x ）＋ f （－
x ）＝0，
则 f （－ x ）＝－ f （ x ），∴ f （ x ）是奇函数.
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（2）若 f （－3）＝ a ，试用 a 表示 f （15）.
解：∵ f （ x ）是奇函数，∴ f （3）＝－ f （－3）＝－a ，
又∵ f （ x ＋ y ）＝ f （ x ）＋ f （ y ），
∴ f （15）＝5 f （3）＝－5 a .
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13. 我们知道，函数 y ＝ f （ x ）的图象关于坐标原点成中心对称图形
的充要条件是函数 y ＝ f （ x ）为奇函数，有同学发现可以将其推
广为：函数 y ＝ f （ x ）的图象关于点 P （ a ， b ）成中心对称图形
的充要条件是函数 y ＝ f （ x ＋ a ）－ b 为奇函数.则函数 f （ x ）＝ x3
＋3 x2图象的对称中心为（ ）
A. （－1，2） B. （－1，－2）
C. （1，2） D. （1，－2）
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解析： 设（ a ， b ）为 f （ x ）＝ x3＋3 x2图象的对称中心，
则有 y ＝ f （ x ＋ a ）－ b ＝（ x ＋ a ）3＋3（ x ＋ a ）2－ b 为奇
函数，
设 g （ x ）＝（ x ＋ a ）3＋3（ x ＋ a ）2－ b ，则 g （ x ）为奇
函数，
g （ x ）＝ x3＋3（ a ＋1） x2＋3（ a2＋2 a ） x ＋ a3＋3 a2－
b ，又 g （－ x ）＋ g （ x ）＝0，
可得3（ a ＋1） x2＋ a3＋3 a2－ b ＝0，
所以
所以函数 f （ x ）＝ x3＋3 x2图象的对称中心的坐标为（－1，
2）.故选A.
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14. 已知 f （ x ）， g （ x ）都是定义在R上的函数，如果存在实数 m ，
n 使得 h （ x ）＝ mf （ x ）＋ ng （ x ），那么称 h （ x ）为 f （ x ），
g （ x ）在R上生成的函数.设 f （ x ）＝ x2＋ x ， g （ x ）＝ x ＋2，若
h （ x ）为 f （ x ）， g （ x ）在R上生成的一个偶函数，且 h （1）
＝3，求函数 h （ x ）.
解： h （ x ）＝ mf （ x ）＋ ng （ x ）＝ m （ x2＋ x ）＋ n （ x ＋2）＝
mx2＋（ m ＋ n ） x ＋2 n .
∵ h （ x ）为偶函数，∴ m ＋ n ＝0， ①
又 h （1）＝3，∴ m ＋ m ＋ n ＋2 n ＝3， ②
联立①②解得 m ＝－3， n ＝3，
∴ h （ x ）＝－3 x2＋6.
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