第二课时 函数奇偶性的应用
1.下列四个函数中，在（0，＋∞）上为增函数且为奇函数的是（ ）
A.f（x）＝3－x B.f（x）＝x2－3x
C.f（x）＝－ D.f（x）＝－｜x｜
2.已知定义域为R的偶函数f（x），则“f（1）＜f（－2）”是“函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上，函数f（x）的解析式是（ ）
A.f（x）＝－x（1－x）
B.f（x）＝x（1＋x）
C.f（x）＝－x（1＋x）
D.f（x）＝－x（x－1）
4.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，f（－3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A.（－∞，－3）∪（0，3）
B.（－∞，－3）∪（3，＋∞）
C.（－3，0）∪（0，3）
D.（－3，0）∪（3，＋∞）
5.（多选）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f（－x）＝f（x）；② m，n∈（0，＋∞），当m≠n时，都有＜0；③f（－1）＝0.则下列选项成立的是（ ）
A.f（3）＞f（－4）
B.若f（m－1）＜f（2），则m∈（3，＋∞）
C.若＜0，x∈（－1，0）∪（1，＋∞）
D. x∈R， M∈R，使得f（x）≤M
6.已知f（x）＝是奇函数，则f（g（－3））＝ .
7.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）按从小到大的排列是 .
8.已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，＋∞）上单调递增，写出一个满足条件的函数f（x）＝ .
9.设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b.
（1）求b的值；
（2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实数m的取值范围.
10.已知函数f（x＋1）为偶函数，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f，b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.b＞a＞c
11.若f（x）＝x2＋｜x｜，则满足f（1－a）≤f（a）的a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.
（1）当x＜0时，f（x）＝x（x－1），求当x＞0时，f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（－∞，0]上单调递增.
①判断函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的判断；
②若f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围.
13.函数f（x）＝x3＋x＋－8（a∈R）在区间[m，n]上的最大值为10，则函数f（x）在区间[－n，－m]上的最小值为 .
14.已知函数f（x）＝x2＋（x≠0）.
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（1）＝2，试判断f（x）在[2，＋∞）上的单调性.
第二课时 函数奇偶性的应用
1.C f（x）＝3－x在（0，＋∞）单调递减且不是奇函数，故A错误；f（x）＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增，且不是奇函数，故B错误；f（x）＝－在（0，＋∞）上为增函数且为奇函数，C正确；f（－x）＝－｜－x｜＝－｜x｜＝f（x）是偶函数，D错误.故选C.
2.B 因为f（x）是定义域为R的偶函数，所以f（－2）＝f（2），
因为由f（1）＜f（－2）＝f（2）不能说明函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，而当函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增时，有f（1）＜f（2），即f（1）＜f（－2），
所以“f（1）＜f（－2）”是“函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增”的必要而不充分条件，故选B.
3.B 依题意，f（x）是奇函数，当x＜0时，－x＞0，
所以f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）（1＋x）]＝x（1＋x）.故选B.
4.A 依题意函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上递增，f（3）＝f（－3）＝0.画出f（x）的大致图象如图所示，
由图可知，不等式xf（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（0，3）.故选A.
5.ACD 由①知函数f（x）为偶函数，由②知，函数f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递减，
则函数f（x）在x∈（－∞，0）上单调递增.
对于A，f（3）＝f（－3）＞f（－4），故A正确；
对于B，f（m－1）＜f（2），则｜m－1｜＞2，解得m∈（3，＋∞）∪（－∞，－1），故B错误；
对于C，若＜0，由题知f（－1）＝f（1）＝0，则当x＞0时，f（x）＜0，解得x＞1；当x＜0时，f（x）＞0，解得－1＜x＜0，故C正确；
对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大值f（0），则只需M≥f（0），即可满足条件，故D正确.故选A、C、D.
6.－33 解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－3）＝g（－3）＝－f（3）＝－6，所以f（g（－3））＝f（－6）＝－f（6）＝－33.
7.f（－2）＜f（1）＜f（0） 解析：当m＝1时，f（x）＝6x＋2不合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，
∴m＝0，∴f（x）＝－x2＋2，
∴f（x）在（－∞，0）上递增，在（0，＋∞）上递减.
又0＜1＜2，∴f（0）＞f（1）＞f（2）＝f（－2）.
8.｜x2－1｜（答案不唯一） 解析：若f（x）＝｜x2－1｜，则f（－x）＝｜（－x）2－1｜＝｜x2－1｜＝f（x），
所以f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝显然f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，＋∞）上单调递增， 故f（x）的解析式可以是f（x）＝｜x2－1｜.
9.解：（1）因为函数f（x）是定义在[－2，2]上的奇函数，
所以f（0）＝0，解得b＝0.
（2）因为函数f（x）在[0，2]上是增函数，又因为f（x）是奇函数，所以f（x）在[－2，2]上单调递增，
因为f（m）＋f（m－1）＞0，
所以f（m－1）＞－f（m）＝f（－m），
所以m－1＞－m， ①
又不等式f（m）＋f（m－1）＞0在函数f（x）定义域范围内有意义，
所以 ②
解①②得＜m≤2，所以m的取值范围为.
10.D 因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－x），所以f（x）的图象关于x＝1对称，所以f＝f.又当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＜0恒成立，所以函数f（x）在（1，＋∞）上递减，所以b＞a＞c.故选D.
11.C 因为f（－x）＝x2＋｜x｜＝f（x），且函数f（x）的定义域为R，故函数f（x）为定义域R上的偶函数，又当x＞0时，f（x）＝x2＋x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（1－a）≤f（a），则有｜1－a｜≤｜a｜，解得a≥.故选C.
12.解：（1）当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋1），因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以当x＞0时，f（x）＝－x（x＋1）.
（2）①f（x）在（0，＋∞）上单调递增，证明如下：
因为f（x）在（－∞，0]上单调递增，所以对任意x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则－x1，－x2∈（0，＋∞），且－x1＞－x2，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x1）＝－f（－x1），f（x2）＝－f（－x2），故－f（－x1）＜－f（－x2），即f（－x1）＞f（－x2），故函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
②因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0]上的单调递增，可得：函数f（x）在R上单调递增，又f（－2x2＋x）＜－f（－2x2－k），则f（－2x2＋x）＜f（2x2＋k），因为f（x）在R上的单调递增，故－2x2＋x＜2x2＋k恒成立，即k＞－4x2＋x＝－4＋，所以实数k的取值范围为.
13.－26 解析：由题设，令g（x）＝f（x）＋8＝x3＋x＋，易知：g（－x）＝－x3－x－＝－g（x）且x≠0，
∴g（x）＝f（x）＋8为奇函数，又f（x）在[m，n]上的最大值为10，
∴g（x）在[m，n]上的最大值为18，
由奇函数对称区间上单调性相同，∴g（x）在[－n，－m]上的最小值为－18，
∴f（x）在[－n，－m]上的最小值为－26.
14.解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，f（－x）＝f（x），函数f（x）是偶函数.
当a≠0时，f（x）＝x2＋（x≠0），而f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）.
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
（2）f（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f（x）＝x2＋.
任取x1，x2∈[2，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1＋x2）（x1－x2）＋＝（x1－x2），
由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[2，＋∞）上单调递增.
2 / 2第二课时 函数奇偶性的应用
新课程标准解读 核心素养
1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式 数学抽象、逻辑推理
2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的实际问题 逻辑推理、数学运算
通过上节学习了函数f（x）的奇偶性可知，具有奇（偶）性的函数f（x）的图象关于原点（y轴）对称.
【问题】 若已知f（x）的奇偶性和x∈[a，b]的单调性能否探究f（x）在[－b，－a]上的单调性？
知识点 函数奇偶性的综合应用
1.函数的奇偶性与单调性的性质
（1）若f（x）为奇函数且在区间[a，b]（a＜b）上为增函数（减函数），则f（x）在[－b，－a]上为 （减函数），即在关于原点对称的区间上单调性 ；
（2）若f（x）为偶函数且在区间[a，b]（a＜b）上为增函数（减函数），则f（x）在[－b，－a]上为 （增函数），即在关于原点对称的区间上单调性 .
2.函数的对称轴与对称中心
（1）若函数f（x）的定义域为D，对 x∈D都有f（a＋x）＝f（a－x）（a为常数），则x＝ 是f（x）的对称轴；
（2）若函数f（x）的定义域为D，对 x∈D都有f（a＋x）＋f（a－x）＝2b（a，b为常数），则 是f（x）的对称中心.
【想一想】
奇函数f（x）＝，当x＞0时的解析式与x＜0时的解析式相同，所以一般的奇函数在（0，＋∞）上的解析式与（－∞，0）上的解析式也相同，这种说法正确吗？
1.若函数f（x）的定义域为R，则f（0）＝0是函数f（x）为奇函数的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（ ）
A.y＝x（x－1） B.y＝－x
C.y＝x（x2－1） D.y＝2x－
3.偶函数f（x）在（0，＋∞）内的最小值为2 024，则f（x）在（－∞，0）上的最小值为 .
题型一 利用函数的奇偶性求解析式
【例1】 若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3，求f（x）的解析式.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x＜0时，f（x）的解析式.
通性通法
利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
（2）转化到已知区间上，代入已知的解析式；
（3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）.
【跟踪训练】
1.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝x＋2，则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A.－x－2 B.－x＋2
C.x－2 D.x＋2
2.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋x＋1，则f（x）在R上的解析式为 .
题型二 函数单调性与奇偶性的综合应用
角度1 比较大小
【例2】 已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＜0，则下列关系式中成立的是（ ）
A.f＜f（－1）＜f（2）
B.f（－1）＜f＜f（2）
C.f（2）＜f（－1）＜f
D.f（2）＜f＜f（－1）
尝试解答
通性通法
比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上，当在同一单调区间上时，直接利用函数的单调性比较大小；当不在同一单调区间上时，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，则f（1）和f（－10）的大小关系为（ ）
A.f（1）＞f（－10） B.f（1）＜f（－10）
C.f（1）＝f（－10） D.f（1）和f（－10）关系不定
2.（多选）已知函数f（x）是偶函数，在区间[1，6]上单调，若f（－3）＜f（－5），则有（ ）
A.f（1）＜f（3） B.f（－2）＞f（4）
C.f（－4）＜f（3） D.f（－1）＜f（2）
角度2 解不等式
【例3】 （1）已知函数y＝f（x）在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f（1－a2）＋f（1－a）＜0，求实数a的取值范围；
（2）定义在[－2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围.
尝试解答
通性通法
解不等式问题的求解策略
解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响.
【跟踪训练】
1.已知f（x）是偶函数，且在区间（－∞，0]上递增，若f（2x2－x）≥f（1），则x的取值范围是（ ）
A.
B.
C.（－∞，－1]∪
D.[－2，1]
2.设定义在R上的奇函数f（x）满足，对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2都有＜0，且f（3）＝0，则不等式≥0的解集为（ ）
A.（－∞，－3]∪[3，＋∞）
B.[－3，0）∪[3，＋∞）
C.（－∞，－3]∪（0，3]
D.[－3，0）∪（0，3]
函数图象的对称性
研究函数的奇偶性的实质就是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于特殊点（原点）及特殊直线（y轴）对称的问题.那么，我们能否把这种对称性加以推广呢？
1.函数图象关于直线x＝a对称的问题
当函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？
如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f（a－x）＝f（a＋x）.
反之，若对函数y＝f（x）的定义域内任一x都有f（a－x）＝f（a＋x），则可证明其图象关于直线x＝a对称.
提示：设函数y＝f（x）图象上的任一点为P（x，y），则它关于直线x＝a对称的点为P'（2a－x，y），因为f（a－x）＝f（a＋x），所以f（2a－x）＝f[a＋（a－x）]＝f[a－（a－x）]＝f（x）.
这说明点P'（2a－x，y）也在函数y＝f（x）的图象上，即函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
由此得出：函数y＝f（x）对其定义域内任一x都有f（a－x）＝f（a＋x） 函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
同样地，可以得到如下结论：
函数y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 函数y＝f（x）的图象的对称轴
f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a
f（x）＝f（a－x） 直线x＝
f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝
2.函数图象关于点（a，0）对称的问题
当函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称时，又会满足怎样的条件呢？如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f（a－x）＝－f（a＋x）.
反之，若对函数y＝f（x）定义域内任一x都有f（a－x）＝－f（a＋x），则可证明其图象关于点（a，0）对称.
提示：设函数y＝f（x）图象上的任一点为P（x，y），则它关于点（a，0）的对称点为P'（2a－x，－y），因为f（a－x）＝－f（a＋x），所以f（2a－x）＝f[a＋（a－x）]＝－f[a－（a－x）]＝－f（x）.
这说明点P'（2a－x，－y）也在函数y＝f（x）的图象上，即函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称.
由此得出：函数y＝f（x）对其定义域内任一x都有f（a－x）＝－f（a＋x） 函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称.
同样地，可以得到如下结论：
函数y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 函数y＝f（x）图象的对称中心
f（a＋x）＝－f（a－x） 点（a，0）
f（x）＝－f（a－x） 点
f（a＋x）＝－f（b－x） 点
【迁移应用】
已知函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y＝f（x＋2）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（1）＜f＜f
B.f＜f（1）＜f
C.f＜f＜f（1）
D.f＜f（1）＜f
1.若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则f（x）在区间[－7，－3]上是（ ）
A.增函数且有最大值－5
B.增函数且有最小值－5
C.减函数且有最大值－5
D.减函数且有最小值－5
2.已知偶函数在（－∞，0）上单调递增，则（ ）
A.f（1）＞f（2）
B.f（1）＜f（2）
C.f（1）＝f（2）
D.以上都有可能
3.函数f（x）为R上的奇函数，且f（x）＝＋1（x＞0），则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A.－＋1 B.－－1
C.＋1 D.－1
4.（多选）关于函数f（x）＝－x2＋2｜x｜＋3，下列说法正确的是（ ）
A.f（x）是偶函数
B.f（x）的单调递增区间是（－∞，－1），（0，1）
C.f（x）的最大值是4
D.f（x）的单调递减区间是（－1，0）∪（1，＋∞）
5.已知奇函数f（x）是定义在[－1，1]上的增函数，且f（x－1）＋f（1－2x）＜0，则x的取值范围为 .
第二课时 函数奇偶性的应用
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）增函数 相同 （2）减函数 相反 2.（1）a （2）（a，b）
想一想
提示：不正确.
自我诊断
1.B 当f（x）＝x2时，f（0）＝0，但f（x）＝x2为偶函数；若f（x）为奇函数，则f（0）＝－f（0），所以f（0）＝0，所以f（0）＝0是函数f（x）为奇函数的必要不充分条件.故选B.
2.D 选项A、B不是奇函数；选项C中y＝x（x2－1）在（0，1）上不是单调函数；选项D符合条件，故选D.
3.2 024 解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以f（x）在对称区间内的最值相等.
又当x∈（0，＋∞）时，f（x）min＝2 024，
故当x∈（－∞，0）时，f（x）min＝2 024.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：当x＜0时，－x＞0，
f（－x）＝（－x）2－2（－x）＋3＝x2＋2x＋3，
由于f（x）是奇函数，故f（x）＝－f（－x），
所以f（x）＝－x2－2x－3.
即当x＜0时，f（x）＝－x2－2x－3.
故f（x）＝
母题探究
解：当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）2－2（－x）＋3＝x2＋2x＋3，由于f（x）是偶函数，故f（x）＝f（－x），所以f（x）＝x2＋2x＋3，即当x＜0时，f（x）＝x2＋2x＋3.
跟踪训练
1.B 当x＜0时可得－x＞0，∵当x＞0时，f（x）＝x＋2，∴f（－x）＝－x＋2，又函数为定义在R上的偶函数，∴当x＜0时f（x）＝－x＋2.故选B.
2.f（x）＝ 解析：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，
当x＜0时，－x＞0，∴f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）3＋（－x）＋1]＝x3＋x－1.
【例2】 B ∵f（x）是偶函数，∴f（2）＝f（－2），
∵（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＜0，
∴f（x）在（－∞，－1]上是减函数，
∴f（－1）＜f＜f（2）.
跟踪训练
1.A ∵f（x）是偶函数，∴f（－10）＝f（10）.又f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且1＜10，∴f（1）＞f（10），即f（1）＞f（－10）.
2.AD ∵函数f（x）是偶函数，在区间[1，6]上单调， f（－3）＜f（－5），∴f（－x）＝f（x），f（－3）＝f（3），f（－5）＝f（5），f（3）＜f（5），∴函数f（x）在区间[1，6]上单调递增，在区间[－6，－1]上单调递减，∴f（1）＜f（3），f（－2）＝f（2）＜f（4），f（－4）＝f（4）＞f（3），f（－1）＝f（1）＜f（2）.故选A、D.
【例3】 解：（1）由f（1－a2）＋f（1－a）＜0，
得f（1－a2）＜－f（1－a）.
∵y＝f（x）在定义域[－1，1]上是奇函数，
∴－f（1－a）＝f（a－1），∴f（1－a2）＜f（a－1）.
又∵f（x）在定义域[－1，1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a＜1，∴a的取值范围是[0，1）.
（2）∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（｜x｜）.
∴f（1－m）＝f（｜1－m｜），f（m）＝f（｜m｜）.
∴原不等式等价于
∴实数m的取值范围是.
跟踪训练
1.A 依题意，函数为偶函数，且在y轴两侧左增右减，故－1≤2x2－x≤1，解得x∈.故选A.
2.A 因为对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2都有＜0，
所以函数在（0，＋∞）上单调递减，又f（x）是在R上的奇函数，则在（－∞，0）上也单调递减，由f（3）＝0，则f（－3）＝0，＝＝≥0，即≤0.当x＞0时，f（x）≤0，即f（x）≤f（3），解得x≥3；当x＜0时，f（x）≥0，即f（x）≥f（－3），解得x≤－3.综上，不等式的解集为（－∞，－3]∪[3，＋∞），故选A.
拓视野 函数图象的对称性
迁移应用
B ∵y＝f（x＋2）是偶函数，
∴f（x＋2）＝f（－x＋2），
∴y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称.
∴f（1）＝f（3），又f（x）在（0，2）上为增函数，
∴f（x）在（2，4）上为减函数.
∴f＜f（1）＝f（3）＜f.
随堂检测
1.A 因为f（x）在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，所以f（3）＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f（x）在区间[－7，－3]上为增函数，且有最大值f（－3）＝－f（3）＝－5.故选A.
2.A ∵f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（1）＞f（2），故选A.
3.B 当x＜0时，－x＞0，因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－（＋1）＝－－1，故选B.
4.ABC 函数f（x）＝－x2＋2｜x｜＋3的定义域为R，f（－x）＝－（－x）2＋2｜－x｜＋3＝f（x），f（x）是偶函数，A正确；
当x≥0时，f（x）＝－x2＋2x＋3在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，由偶函数的性质知，f（x）在（－∞，－1）上单调递增，在（－1，0）上单调递减，因此，f（x）的单调递增区间是（－∞，－1），（0，1），B正确；
因f（x）＝－｜x｜2＋2｜x｜＋3＝－（｜x｜－1）2＋4，则当｜x｜＝1，即x＝±1时，f（x）max＝4，C正确；
显然f（x）的单调递减区间是（－1，0），（1，＋∞），不能写成（－1，0）∪（1，＋∞），D不正确.
故选A、B、C.
5.（0，1] 解析：因为奇函数f（x）在[－1，1]上是增函数，所以有f（－x）＝－f（x），f（x－1）＋f（1－2x）＜0可化为f（x－1）＜－f（1－2x）＝f（2x－1），要使该不等式成立，则有解得0＜x≤1，所以x的取值范围为（0，1].
5 / 5(共76张PPT)
第二课时
函数奇偶性的应用
新课程标准解读 核心素养
1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式 数学抽象、逻辑
推理
2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单
的实际问题 逻辑推理、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
通过上节学习了函数 f （ x ）的奇偶性可知，具有奇（偶）性的函
数 f （ x ）的图象关于原点（ y 轴）对称.
【问题】 若已知 f （ x ）的奇偶性和 x ∈[ a ， b ]的单调性能否探究 f
（ x ）在[－ b ，－ a ]上的单调性？
知识点 函数奇偶性的综合应用
1. 函数的奇偶性与单调性的性质
（1）若 f （ x ）为奇函数且在区间[ a ， b ]（ a ＜ b ）上为增函数
（减函数），则 f （ x ）在[－ b ，－ a ]上为 （减函
数），即在关于原点对称的区间上单调性 ；
（2）若 f （ x ）为偶函数且在区间[ a ， b ]（ a ＜ b ）上为增函数
（减函数），则 f （ x ）在[－ b ，－ a ]上为 （增函
数），即在关于原点对称的区间上单调性 .
增函数
相同
减函数
相反
2. 函数的对称轴与对称中心
（1）若函数 f （ x ）的定义域为 D ，对 x ∈ D 都有 f （ a ＋ x ）＝ f
（ a － x ）（ a 为常数），则 x ＝ 是 f （ x ）的对称轴；
（2）若函数 f （ x ）的定义域为 D ，对 x ∈ D 都有 f （ a ＋ x ）＋ f
（ a － x ）＝2 b （ a ， b 为常数），则 是 f
（ x ）的对称中心.
a
（ a ， b ）
【想一想】
奇函数 f （ x ）＝ ，当 x ＞0时的解析式与 x ＜0时的解析式相同，所以
一般的奇函数在（0，＋∞）上的解析式与（－∞，0）上的解析式也
相同，这种说法正确吗？
提示：不正确.
1. 若函数 f （ x ）的定义域为R，则 f （0）＝0是函数 f （ x ）为奇函数
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 当 f （ x ）＝ x2时， f （0）＝0，但 f （ x ）＝ x2为偶函
数；若 f （ x ）为奇函数，则 f （0）＝－ f （0），所以 f （0）＝0，
所以 f （0）＝0是函数 f （ x ）为奇函数的必要不充分条件.故选B.
2. 下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（ ）
A. y ＝ x （ x －1） B. y ＝ － x
C. y ＝ x （ x2－1） D. y ＝2 x －
解析： 选项A、B不是奇函数；选项C中 y ＝ x （ x2－1）在（0，
1）上不是单调函数；选项D符合条件，故选D.
3. 偶函数 f （ x ）在（0，＋∞）内的最小值为2 024，则 f （ x ）在（－
∞，0）上的最小值为 .
解析：由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以 f （ x ）在对称区间内
的最值相等.
又当 x ∈（0，＋∞）时， f （ x ）min＝2 024，
故当 x ∈（－∞，0）时， f （ x ）min＝2 024.
2 024
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用函数的奇偶性求解析式
【例1】 若 f （ x ）是定义在R上的奇函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝ x2
－2 x ＋3，求 f （ x ）的解析式.
解：当 x ＜0时，－ x ＞0，
f （－ x ）＝（－ x ）2－2（－ x ）＋3＝ x2＋2 x ＋3，
由于 f （ x ）是奇函数，故 f （ x ）＝－ f （－ x ），
所以 f （ x ）＝－ x2－2 x －3.
即当 x ＜0时， f （ x ）＝－ x2－2 x －3.
故 f （ x ）＝
【母题探究】
（变条件）若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当 x
＜0时， f （ x ）的解析式.
解：当 x ＜0时，－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2－2（－ x ）＋3＝ x2＋
2 x ＋3，由于 f （ x ）是偶函数，故 f （ x ）＝ f （－ x ），所以 f （ x ）
＝ x2＋2 x ＋3，即当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2＋2 x ＋3.
通性通法
利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， x 就应在哪个区
间上设；
（2）转化到已知区间上，代入已知的解析式；
（3）利用 f （ x ）的奇偶性写出－ f （ x ）或 f （－ x ），从而解出 f
（ x ）.
【跟踪训练】
1. 已知 f （ x ）是定义在R上的偶函数，且当 x ＞0时， f （ x ）＝ x ＋
2，则当 x ＜0时， f （ x ）＝（ ）
A. － x －2 B. － x ＋2
C. x －2 D. x ＋2
解析： 当 x ＜0时可得－ x ＞0，∵当 x ＞0时， f （ x ）＝ x ＋2，
∴ f （－ x ）＝－ x ＋2，又函数为定义在R上的偶函数，∴当 x ＜0时
f （ x ）＝－ x ＋2.故选B.
2. 已知函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ＞0时， f （ x ）＝ x3
＋ x ＋1，则 f （ x ）在R上的解析式为
.
解析：∵函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，∴ f （0）＝0，
当 x ＜0时，－ x ＞0，∴ f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－[（－ x ）3＋（－
x ）＋1]＝ x3＋ x －1.
f （ x ）＝
题型二 函数单调性与奇偶性的综合应用
角度1 比较大小
【例2】 已知 f （ x ）是偶函数，对任意的 x1， x2∈（－∞，－1]，都有（ x2－ x1）[ f （ x2）－ f （ x1）]＜0，则下列关系式中成立的是（ ）
A. f ＜ f （－1）＜ f （2）
B. f （－1）＜ f ＜ f （2）
C. f （2）＜ f （－1）＜ f
D. f （2）＜ f ＜ f （－1）
解析： ∵ f （ x ）是偶函数，∴ f （2）＝ f （－2），
∵（ x2－ x1）[ f （ x2）－ f （ x1）]＜0，
∴ f （ x ）在（－∞，－1]上是减函数，
∴ f （－1）＜ f ＜ f （2）.
通性通法
比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上，当在同一单调区间上时，直接
利用函数的单调性比较大小；当不在同一单调区间上时，需利用函数
的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1. 已知偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递减，则 f （1）和 f （－
10）的大小关系为（ ）
A. f （1）＞ f （－10）
B. f （1）＜ f （－10）
C. f （1）＝ f （－10）
D. f （1）和 f （－10）关系不定
解析： ∵ f （ x ）是偶函数，∴ f （－10）＝ f （10）.又 f （ x ）
在[0，＋∞）上单调递减，且1＜10，∴ f （1）＞ f （10），即 f
（1）＞ f （－10）.
2. （多选）已知函数 f （ x ）是偶函数，在区间[1，6]上单调，若 f
（－3）＜ f （－5），则有（ ）
A. f （1）＜ f （3） B. f （－2）＞ f （4）
C. f （－4）＜ f （3） D. f （－1）＜ f （2）
解析： ∵函数 f （ x ）是偶函数，在区间[1，6]上单调， f （－
3）＜ f （－5），∴ f （－ x ）＝ f （ x ）， f （－3）＝ f （3）， f
（－5）＝ f （5）， f （3）＜ f （5），∴函数 f （ x ）在区间[1，6]
上单调递增，在区间[－6，－1]上单调递减，∴ f （1）＜ f （3），
f （－2）＝ f （2）＜ f （4）， f （－4）＝ f （4）＞ f （3）， f （－
1）＝ f （1）＜ f （2）.故选A、D.
角度2 解不等式
【例3】 （1）已知函数 y ＝ f （ x ）在定义域[－1，1]上是奇函数，
又是减函数，若 f （1－ a2）＋ f （1－ a ）＜0，求实数 a 的取值范围；
解：由 f （1－ a2）＋ f （1－ a ）＜0，
得 f （1－ a2）＜－ f （1－ a ）.
∵ y ＝ f （ x ）在定义域[－1，1]上是奇函数，
∴－ f （1－ a ）＝ f （ a －1），
∴ f （1－ a2）＜ f （ a －1）.
又∵ f （ x ）在定义域[－1，1]上单调递减，
∴
解得
∴0≤ a ＜1，∴ a 的取值范围是[0，1）.
（2）定义在[－2，2]上的偶函数 f （ x ）在区间[0，2]上单调递减，
若 f （1－ m ）＜ f （ m ），求实数 m 的取值范围.
解：∵函数 f （ x ）是偶函数，∴ f （ x ）＝ f （｜ x ｜）.
∴ f （1－ m ）＝ f （｜1－ m ｜）， f （ m ）＝ f （｜ m ｜）.
∴原不等式等价于
∴实数 m 的取值范围是 .
通性通法
解不等式问题的求解策略
解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等
式转化成 f （ x1）＞ f （ x2）或 f （ x1）＜ f （ x2）的形式，再根据
函数的奇偶性与单调性， 列出不等式（组），要注意函数定义域
对参数的影响.
【跟踪训练】
1. 已知 f （ x ）是偶函数，且在区间（－∞，0]上递增，若 f （2 x2－
x ）≥ f （1），则 x 的取值范围是（ ）
A.
B.
C. （－∞，－1]∪
D. [－2，1]
解析： 依题意，函数为偶函数，且在 y 轴两侧左增右减，故－1≤2 x2－ x ≤1，解得 x ∈ .故选A.
2. 设定义在R上的奇函数 f （ x ）满足，对任意 x1， x2∈（0，＋∞），
且 x1≠ x2都有 ＜0，且 f （3）＝0，则不等式
≥0的解集为（ ）
A. （－∞，－3]∪[3，＋∞）
B. [－3，0）∪[3，＋∞）
C. （－∞，－3]∪（0，3]
D. [－3，0）∪（0，3]
解析： 因为对任意 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1≠ x2都有
＜0，
所以函数在（0，＋∞）上单调递减，又 f （ x ）是在R上的奇函
数，则在（－∞，0）上也单调递减，由 f （3）＝0，则 f （－3）＝
0， ＝ ＝ ≥0，即
≤0.
当 x ＞0时， f （ x ）≤0，即 f （ x ）≤ f （3），解得 x ≥3；
当 x ＜0时， f （ x ）≥0，即 f （ x ）≥ f （－3），解得 x ≤－3.
综上，不等式的解集为（－∞，－3]∪[3，＋∞），
故选A.
函数图象的对称性
研究函数的奇偶性的实质就是研究函数图象的对称性，只不过它是一
种特殊的对称性，是关于特殊点（原点）及特殊直线（ y 轴）对称的
问题.那么，我们能否把这种对称性加以推广呢？
1. 函数图象关于直线 x ＝ a 对称的问题
当函数 y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称时，会满足怎样的
条件呢？
如图所示，在直线 x ＝ a 两边取对称的两个自变量
的值，如 a － x ， a ＋ x ，由对称性知它们的函数
值相等，即 f （ a － x ）＝ f （ a ＋ x ）.
反之，若对函数 y ＝ f （ x ）的定义域内任一 x 都有 f （ a － x ）＝ f
（ a ＋ x ），则可证明其图象关于直线 x ＝ a 对称.
提示：设函数 y ＝ f （ x ）图象上的任一点为 P （ x ， y ），则它关于
直线 x ＝ a 对称的点为P'（2 a － x ， y ），因为 f （ a － x ）＝ f （ a ＋
x ），所以 f （2 a － x ）＝ f [ a ＋（ a － x ）]＝ f [ a －（ a － x ）]＝ f
（ x ）.
这说明点P'（2 a － x ， y ）也在函数 y ＝ f （ x ）的图象上，即函数 y
＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称.
由此得出：函数 y ＝ f （ x ）对其定义域内任一 x 都有 f （ a － x ）＝ f
（ a ＋ x ） 函数 y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称.
函数 y ＝ f （ x ）在定义域内恒满
足的条件 函数 y ＝ f （ x ）的图象的对称轴
f （ a ＋ x ）＝ f （ a － x ） 直线 x ＝ a
f （ x ）＝ f （ a － x ） 直线 x ＝
f （ a ＋ x ）＝ f （ b － x ） 直线 x ＝
同样地，可以得到如下结论：
2. 函数图象关于点（ a ，0）对称的问题
当函数 y ＝ f （ x ）的图象关于点（ a ，0）对称时，又会满足怎样的
条件呢？如图所示，在直线 x ＝ a 两边取对称的两个自变量的值，
如 a － x ， a ＋ x ，由对称性知它们的函数值互为相反数，即 f （ a －
x ）＝－ f （ a ＋ x ）.
反之，若对函数 y ＝ f （ x ）定义域内任一 x 都有 f （ a － x ）＝－ f
（ a ＋ x ），则可证明其图象关于点（ a ，0）对称.
提示：设函数 y ＝ f （ x ）图象上的任一点为 P （ x ， y ），则它关于
点（ a ，0）的对称点为P'（2 a － x ，－ y ），因为 f （ a － x ）＝－ f
（ a ＋ x ），所以 f （2 a － x ）＝ f [ a ＋（ a － x ）]＝－ f [ a －（ a －
x ）]＝－ f （ x ）.
这说明点P'（2 a － x ，－ y ）也在函数 y ＝ f （ x ）的图象上，即函数
y ＝ f （ x ）的图象关于点（ a ，0）对称.
由此得出：函数 y ＝ f （ x ）对其定义域内任一 x 都有 f （ a － x ）＝
－ f （ a ＋ x ） 函数 y ＝ f （ x ）的图象关于点（ a ，0）对称.
同样地，可以得到如下结论：
函数 y ＝ f （ x ）在定义域
内恒满足的条件 函数 y ＝ f （ x ）图象的对称中心
f （ a ＋ x ）＝－ f （ a －
x ） 点（ a ，0）
f （ x ）＝－ f （ a － x ） 点
f （ a ＋ x ）＝－ f （ b －
x ） 点
已知函数 y ＝ f （ x ）在（0，2）上是增函数，函数 y ＝ f （ x ＋2）是
偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. f （1）＜ f ＜ f
B. f ＜ f （1）＜ f
C. f ＜ f ＜ f （1）
D. f ＜ f （1）＜ f
【迁移应用】
解析： ∵ y ＝ f （ x ＋2）是偶函数，
∴ f （ x ＋2）＝ f （－ x ＋2），
∴ y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝2对称.
∴ f （1）＝ f （3），
又 f （ x ）在（0，2）上为增函数，
∴ f （ x ）在（2，4）上为减函数.
∴ f ＜ f （1）＝ f （3）＜ f .
1. 若奇函数 f （ x ）在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则 f
（ x ）在区间[－7，－3]上是（ ）
A. 增函数且有最大值－5
B. 增函数且有最小值－5
C. 减函数且有最大值－5
D. 减函数且有最小值－5
解析： 因为 f （ x ）在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，
所以 f （3）＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知 f （ x ）在
区间[－7，－3]上为增函数，且有最大值 f （－3）＝－ f （3）＝－
5.故选A.
2. 已知偶函数在（－∞，0）上单调递增，则（ ）
A. f （1）＞ f （2）
B. f （1）＜ f （2）
C. f （1）＝ f （2）
D. 以上都有可能
解析： ∵ f （ x ）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递增，
∴ f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，∴ f （1）＞ f （2），故选A.
3. 函数 f （ x ）为R上的奇函数，且 f （ x ）＝ ＋1（ x ＞0），则当 x
＜0时， f （ x ）＝（ ）
A. － ＋1 B. － －1
C. ＋1 D. －1
解析： 当 x ＜0时，－ x ＞0，因为函数 f （ x ）为R上的奇函数，
所以 f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（ ＋1）＝－ －1，故选B.
4. （多选）关于函数 f （ x ）＝－ x2＋2｜ x ｜＋3，下列说法正确的是
（ ）
A. f （ x ）是偶函数
B. f （ x ）的单调递增区间是（－∞，－1），（0，1）
C. f （ x ）的最大值是4
D. f （ x ）的单调递减区间是（－1，0）∪（1，＋∞）
解析： 函数 f （ x ）＝－ x2＋2｜ x ｜＋3的定义域为R， f （－
x ）＝－（－ x ）2＋2｜－ x ｜＋3＝ f （ x ）， f （ x ）是偶函数，A
正确；
当 x ≥0时， f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3在（0，1）上单调递增，在
（1，＋∞）上单调递减，由偶函数的性质知， f （ x ）在（－∞，
－1）上单调递增，在（－1，0）上单调递减，因此， f （ x ）的单
调递增区间是（－∞，－1），（0，1），B正确；
因 f （ x ）＝－｜ x ｜2＋2｜ x ｜＋3＝－（｜ x ｜－1）2＋4，则当｜
x ｜＝1，即 x ＝±1时， f （ x ）max＝4，C正确；
显然 f （ x ）的单调递减区间是（－1，0），（1，＋∞），不能写
成（－1，0）∪（1，＋∞），D不正确.
故选A、B、C.
5. 已知奇函数 f （ x ）是定义在[－1，1]上的增函数，且 f （ x －1）＋ f
（1－2 x ）＜0，则 x 的取值范围为 .
解析：因为奇函数 f （ x ）在[－1，1]上是增函数，所以有 f （－
x ）＝－ f （ x ）， f （ x －1）＋ f （1－2 x ）＜0可化为 f （ x －1）＜
－ f （1－2 x ）＝ f （2 x －1），要使该不等式成立，则有
解得0＜ x ≤1，所以 x 的取值范围为（0，1].
（0，1]
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列四个函数中，在（0，＋∞）上为增函数且为奇函数的是
（ ）
A. f （ x ）＝3－ x
B. f （ x ）＝ x2－3 x
C. f （ x ）＝－
D. f （ x ）＝－｜ x ｜
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解析： f （ x ）＝3－ x 在（0，＋∞）单调递减且不是奇函数，
故A错误； f （ x ）＝ x2－3 x 在 上
单调递增，且不是奇函数，故B错误； f （ x ）＝－ 在（0，＋∞）
上为增函数且为奇函数，C正确； f （－ x ）＝－｜－ x ｜＝－｜ x ｜
＝ f （ x ）是偶函数，D错误.故选C.
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2. 已知定义域为R的偶函数 f （ x ），则“ f （1）＜ f （－2）”是“函
数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 因为 f （ x ）是定义域为R的偶函数，所以 f （－2）＝ f （2），
因为由 f （1）＜ f （－2）＝ f （2）不能说明函数 f （ x ）在[0，＋
∞）上单调递增，而当函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增时，有
f （1）＜ f （2），即 f （1）＜ f （－2），
所以“ f （1）＜ f （－2）”是“函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递
增”的必要而不充分条件，故选B.
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3. 奇函数 f （ x ）在（0，＋∞）上的解析式是 f （ x ）＝ x （1－ x ），
则在（－∞，0）上，函数 f （ x ）的解析式是（ ）
A. f （ x ）＝－ x （1－ x ）
B. f （ x ）＝ x （1＋ x ）
C. f （ x ）＝－ x （1＋ x ）
D. f （ x ）＝－ x （ x －1）
解析： 依题意， f （ x ）是奇函数，当 x ＜0时，－ x ＞0，
所以 f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－[（－ x ）（1＋ x ）]＝ x （1＋ x ）.
故选B.
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4. 已知函数 f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上单调
递减， f （－3）＝0，则不等式 xf （ x ）＞0的解集为（ ）
A. （－∞，－3）∪（0，3）
B. （－∞，－3）∪（3，＋∞）
C. （－3，0）∪（0，3）
D. （－3，0）∪（3，＋∞）
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解析： 依题意函数 f （ x ）是定义在R上的偶
函数，且在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，
0）上递增， f （3）＝ f （－3）＝0.画出 f （ x ）的
大致图象如图所示，由图可知，不等式 xf （ x ）
＞0的解集为（－∞，－3）∪（0，3）.故选A.
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5. （多选）已知定义在R上函数 f （ x ）的图象是连续不断的，且满足
以下条件：① x ∈R， f （－ x ）＝ f （ x ）；② m ， n ∈（0，＋
∞），当 m ≠ n 时，都有 ＜0；③ f （－1）＝0.则下列
选项成立的是（ ）
A. f （3）＞ f （－4）
B. 若 f （ m －1）＜ f （2），则 m ∈（3，＋∞）
C. 若 ＜0， x ∈（－1，0）∪（1，＋∞）
D. x ∈R， M ∈R，使得 f （ x ）≤ M
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解析： 由①知函数 f （ x ）为偶函数，由②知，函数 f （ x ）
在 x ∈（0，＋∞）上单调递减，
则函数 f （ x ）在 x ∈（－∞，0）上单调递增.
对于A， f （3）＝ f （－3）＞ f （－4），故A正确；
对于B， f （ m －1）＜ f （2），则｜ m －1｜＞2，解得 m ∈（3，＋
∞）∪（－∞，－1），故B错误；
对于C，若 ＜0，由题知 f （－1）＝ f （1）＝0，则当 x ＞0
时， f （ x ）＜0，解得 x ＞1；当 x ＜0时， f （ x ）＞0，解得－1＜ x
＜0，故C正确；
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对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大
值 f （0），则只需 M ≥ f （0），即可满足条件，故D正确.故选A、C、
D.
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6. 已知 f （ x ）＝是奇函数，则 f （ g （－3））＝
.
解析：因为函数 f （ x ）是奇函数，所以 f （－3）＝ g （－3）＝－ f
（3）＝－6，所以 f （ g （－3））＝ f （－6）＝－ f （6）＝－33.
－33
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7. 若 f （ x ）＝（ m －1） x2＋6 mx ＋2是偶函数，则 f （0）， f （1），
f （－2）按从小到大的排列是 .
解析：当 m ＝1时， f （ x ）＝6 x ＋2不合题意；当 m ≠1时，由题意
可知，其图象关于 y 轴对称，
∴ m ＝0，
∴ f （ x ）＝－ x2＋2，
∴ f （ x ）在（－∞，0）上递增，在（0，＋∞）上递减.
又0＜1＜2，
∴ f （0）＞ f （1）＞ f （2）＝ f （－2）.
f （－2）＜ f （1）＜ f （0）
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8. 已知函数 f （ x ）为定义在R上的偶函数，且 f （ x ）在区间（0，1）
内单调递减，在区间（1，＋∞）上单调递增，写出一个满足条件
的函数 f （ x ）＝ .
解析：若 f （ x ）＝｜ x2－1｜，
则 f （－ x ）＝｜（－ x ）2－1｜＝｜ x2－1｜＝ f （ x ），
所以 f （ x ）为偶函数，
当 x ＞0时， f （ x ）＝
显然 f （ x ）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，＋∞）上单
调递增，
故 f （ x ）的解析式可以是 f （ x ）＝｜ x2－1｜.
｜ x2－1｜（答案不唯一）
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9. 设定义在[－2，2]上的奇函数 f （ x ）＝ x5＋ x3＋ b .
（1）求 b 的值；
解：因为函数 f （ x ）是定义在[－2，2]上的奇函数，
所以 f （0）＝0，
解得 b ＝0.
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（2）若 f （ x ）在[0，2]上单调递增，且 f （ m ）＋ f （ m －1）＞
0，求实数 m 的取值范围.
解：因为函数 f （ x ）在[0，2]上是增函数，又因为 f
（ x ）是奇函数，所以 f （ x ）在[－2，2]上单调递增，
因为 f （ m ）＋ f （ m －1）＞0，
所以 f （ m －1）＞－ f （ m ）＝ f （－ m ），
所以 m －1＞－ m ， ①
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又不等式 f （ m ）＋ f （ m －1）＞0在函数 f （ x ）定义域范围
内有意义，
所以 ②
解①②得 ＜ m ≤2，
所以 m 的取值范围为 .
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10. 已知函数 f （ x ＋1）为偶函数，当 x2＞ x1＞1时，[ f （ x2）－ f
（ x1）]·（ x2－ x1）＜0恒成立，设 a ＝ f ， b ＝ f （2）， c ＝ f
（3），则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）
A. c ＞ a ＞ b B. c ＞ b ＞ a
C. a ＞ c ＞ b D. b ＞ a ＞ c
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解析： 因为函数 f （ x ＋1）为偶函数，所以 f （ x ＋1）＝ f （1
－ x ），所以 f （ x ）的图象关于 x ＝1对称，所以 f ＝ f .又
当 x2＞ x1＞1时，[ f （ x2）－ f （ x1）]·（ x2－ x1）＜0恒成立，所以
函数 f （ x ）在（1，＋∞）上递减，所以 b ＞ a ＞ c .故选D.
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11. 若 f （ x ）＝ x2＋｜ x ｜，则满足 f （1－ a ）≤ f （ a ）的 a 的取值范
围是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因为 f （－ x ）＝ x2＋｜ x ｜＝ f （ x ），且函数 f （ x ）
的定义域为R，故函数 f （ x ）为定义域R上的偶函数，又当 x ＞0
时， f （ x ）＝ x2＋ x 在（0，＋∞）上单调递增，所以 f （1－ a ）
≤ f （ a ），则有｜1－ a ｜≤｜ a ｜，解得 a ≥ .故选C.
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12. 已知函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数.
（1）当 x ＜0时， f （ x ）＝ x （ x －1），求当 x ＞0时， f （ x ）的
解析式；
解：当 x ＞0时，－ x ＜0， f （－ x ）＝－ x （－ x －1）
＝ x （ x ＋1），因为函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所
以 f （－ x ）＝－ f （ x ），所以当 x ＞0时， f （ x ）＝－ x （ x
＋1）.
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①判断函数 f （ x ）在（0，＋∞）上的单调性，并用定义证
明你的判断；
②若 f （－2 x2＋ x ）＋ f （－2 x2－ k ）＜0对一切实数 x 都成
立，求实数 k 的取值范围.
（2）若 f （ x ）在（－∞，0]上单调递增.
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解：① f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，证明如下：
因为 f （ x ）在（－∞，0]上单调递增，所以对任意 x1， x2∈
（－∞，0），且 x1＜ x2时，有 f （ x1）＜ f （ x2），则－ x1，
－ x2∈（0，＋∞），且－ x1＞－ x2，因为函数 f （ x ）是定
义在R上的奇函数，则 f （ x1）＝－ f （－ x1）， f （ x2）＝－
f （－ x2），故－ f （－ x1）＜－ f （－ x2），即 f （－ x1）＞ f
（－ x2），故函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增.
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②因为函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且 f （ x ）在（－∞，0]上
的单调递增，可得：函数 f （ x ）在R上单调递增，又 f （－2 x2＋ x ）
＜－ f （－2 x2－ k ），则 f （－2 x2＋ x ）＜ f （2 x2＋ k ），因为 f （ x ）
在R上的单调递增，故－2 x2＋ x ＜2 x2＋ k 恒成立，即 k ＞－4 x2＋ x ＝
－4 ＋ ，所以实数 k 的取值范围为 .
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13. 函数 f （ x ）＝ x3＋ x ＋ －8（ a ∈R）在区间[ m ， n ]上的最大值
为10，则函数 f （ x ）在区间[－ n ，－ m ]上的最小值为 .
解析：由题设，令 g （ x ）＝ f （ x ）＋8＝ x3＋ x ＋ ，易知： g
（－ x ）＝－ x3－ x － ＝－ g （ x ）且 x ≠0，
∴ g （ x ）＝ f （ x ）＋8为奇函数，
又 f （ x ）在[ m ， n ]上的最大值为10，
∴ g （ x ）在[ m ， n ]上的最大值为18，
由奇函数对称区间上单调性相同，
∴ g （ x ）在[－ n ，－ m ]上的最小值为－18，
∴ f （ x ）在[－ n ，－ m ]上的最小值为－26.
－26
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14. 已知函数 f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0）.
（1）判断 f （ x ）的奇偶性，并说明理由；
解：当 a ＝0时， f （ x ）＝ x2， f （－ x ）＝ f （ x ），函
数 f （ x ）是偶函数.
当 a ≠0时， f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0），
而 f （－1）＋ f （1）＝2≠0， f （－1）－ f （1）＝－2 a≠0，
∴ f （－1）≠－ f （1）， f （－1）≠ f （1）.
∴函数 f （ x ）既不是奇函数也不是偶函数.
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（2）若 f （1）＝2，试判断 f （ x ）在[2，＋∞）上的单调性.
解：f （1）＝2，即1＋ a ＝2，
解得 a ＝1，
这时 f （ x ）＝ x2＋ .
任取 x1， x2∈[2，＋∞），
且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ －
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＝（ x1＋ x2）（ x1－ x2）＋
＝（ x1－ x2） ，
由于 x1≥2， x2≥2，
且 x1＜ x2，
∴ x1－ x2＜0， x1＋ x2＞ ，
∴ f （ x1）＜ f （ x2），
故 f （ x ）在[2，＋∞）上单调递增.
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谢 谢 观 看！
