3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第一课时 函数的零点、三个“二次”间的关系
1.函数y＝1＋的零点是（ ）
A.（－1，0） B.－1
C.（0，1） D.0
2.关于x的不等式ax－b＞0的解集是（1，＋∞），则关于x的不等式（ax＋b）（x－3）＞0的解集是（ ）
A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）
B.（－1，3）
C.（1，3）
D.（－∞，1）∪（3，＋∞）
3.要使关于x的方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a｜－1＜a＜2} B.{a｜－2＜a＜1}
C.{a｜a＜－2} D.{a｜a＞1}
4.≥1的解集是（ ）
A.{x｜1＜x≤2}
B.{x｜－1≤x＜0或2＜x≤3}
C.{x｜0≤x≤4}
D.{x｜0≤x＜1或2＜x≤4}
5.（多选）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是（ ）
A.a＜1
B.若x1x2≠0，则＋＝
C.f（－1）＝f（3）
D.函数有y＝f（｜x｜）四个零点
6.若f（x）＝则函数g（x）＝f（x）－x的零点为 .
7.不等式（x＋1）（x2－9）≥0的解集是 .
8.若关于x的方程＝1的根均为负数，则实数a的取值范围是 .
9.已知二次函数f（x）＝x2－（a＋2）x＋2a，a∈R.
（1）若函数f（x）只有一个零点，求a的值；
（2）解关于x的不等式f（x）≤0.
10.已知不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A.a≤0 B.a＜0
C.a≤－1 D.a＜－2
11.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在（0，＋∞）上是增函数，则该函数有 个零点，这几个零点的和等于 .
12.二次函数y＝ax2＋（b－2）x＋3（a≠0）.
（1）当a＝1，b＝6时，求此函数的零点；
（2）若不等式y＞0的解集为{x｜－1＜x＜1}，求实数a，b的值；
（3）当b＝1－a时，不等式y－1＞0在R上恒成立，求实数a的取值集合.
13.已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）只有一个零点，则实数λ的值是（ ）
A. B.
C.－ D.－
14.若函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2－4x＋3.
（1）求f（x）在R的解析式；
（2）若a∈R，g（x）＝f（x）－a，试讨论a取何值时，g（x）零点的个数最多？最少？
第一课时 函数的零点、三个“二次”间的关系
1.B 令y＝1＋＝0，∴x＝－1.∴函数y＝1＋的零点是－1.故选B.
2.A 由题意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以（ax＋b）（x－3）＝a（x＋1）（x－3）＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
3.B 由题意可得1＋（a2－1）＋a－2＝a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.故选B.
4.D 由≥1可得1－＝＝≤0，如图所示：
由图可知，原不等式的解集为{x｜0≤x＜1或2＜x≤4}.故选D.
5.ABC 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；对于C选项，f（－1）＝1＋2＋a＝3＋a，f（3）＝9－6＋a＝3＋a，所以f（－1）＝f（3），故C选项正确；对于D选项，当a＝0时，由y＝f（｜x｜）＝0得｜x｜2－2｜x｜＝0，所以x1＝0，x2＝－2，x3＝2，故有三个零点，则D选项错误.故选A、B、C.
6.1，1＋ 解析：由f（x）＝x，得或
解得x＝1＋或x＝1.
7.{x｜－3≤x≤－1或x≥3} 解析：原不等式可化为（x＋1）（x＋3）·（x－3）≥0，则对应方程的三个实数根分别为－1，－3，3.
如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过.由图可知不等式（x＋1）·（x2－9）≥0的解集为{x｜－3≤x≤－1或x≥3}.
8.（－∞，－4）∪（－4，－2） 解析：方程＝1，则x＋2≠0，x≠－2，
即＝0，
所以x－（a＋2）＝0，x＝a＋2，又因为方程＝1的根均为负数，
所以所以a＜－2且a≠－4.所以实数a的取值范围是（－∞，－4）∪（－4，－2）.
9.解：（1）函数f（x）只有一个零点，则Δ＝0， 即（a＋2）2－4×2a＝0，（a－2）2＝0，
所以a＝2.
（2）不等式x2－（a＋2）x＋2a≤0，即（x－2）（x－a）≤0，
①当a＞2时，不等式的解集为{x｜2≤x≤a}，
②当a＝2时，不等式的解集为{x｜x＝2}，
③当a＜2时，不等式的解集为{x｜a≤x≤2}.
综上所述：当a＞2时，不等式的解集为{x｜2≤x≤a}，
当a＝2时，不等式的解集为{x｜x＝2}，
当a＜2时，不等式的解集为{x｜a≤x≤2}.
10.A 解得x∈（2，3），因为x∈（2，3）是不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，故f（x）＝x2－3x＋a要满足：解得a≤0，故选A.
11.3 0 解析：因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数，所以f（0）＝0.又因为f（－2）＝0，所以f（2）＝－f（－2）＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
12.解：（1）当a＝1，b＝6时，y＝x2＋4x＋3，令y＝0，则x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，
所以此函数的零点是－1，－3.
（2）依题意，不等式ax2＋（b－2）x＋3＞0的解集为{x｜－1＜x＜1}，则－1，1是方程ax2＋（b－2）x＋3＝0的两个根，且a＜0，由根与系数的关系得解得a＝－3，b＝2，
所以实数a，b的值分别为a＝－3，b＝2.
（3）当b＝1－a时，不等式y－1＞0化为ax2－（a＋1）x＋2＞0，
依题意，不等式ax2－（a＋1）x＋2＞0在R上恒成立，
因为a≠0，则解得3－2＜a＜3＋2，
所以实数a的取值集合是{a｜3－2＜a＜3＋2}.
13.C 依题意，函数y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）的零点，即方程f（2x2＋1）＋f（λ－x）＝0的根，
由f（2x2＋1）＋f（λ－x）＝0得f（2x2＋1）＝－f（λ－x），因为f（x）是R上的奇函数，
从而有f（2x2＋1）＝f（x－λ），又f（x）是R上的单调函数，则有2x2＋1＝x－λ，
而函数y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）只有一个零点，于是得2x2－x＋1＋λ＝0有两个相等实数解，
因此得Δ＝1－8（1＋λ）＝0，解得λ＝－，所以实数λ的值是－.故选C.
14.解：（1）当x＝0时，f（0）＝0；
当x＜0时，－x＞0，根据定义可知，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋4x＋3）＝－x2－4x－3，
故f（x）＝
（2）在坐标系中，作出函数f（x）的图象.
当a＝0时，g（x）＝f（x）－a有5个零点；
当0＜a＜1或－1＜a＜0时，g（x）有4个零点；
当a＝±1时，g（x）有3个零点；
当1＜a＜3或－3＜a＜－1时，g（x）有2个零点；
当a≤－3或a≥3时，g（x）有1个零点；
故a＝0时，g（x）＝f（x）－a零点的个数最多；a≤－3或a≥3时，零点的个数最少.
2 / 23.2 函数与方程、不等式之间的关系
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象，了解函数零点、方程解与不等式的关系 直观想象、数学抽象
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，了解用二分法求函数零点近似值具有一般性 直观想象、数学运算
第一课时 函数的零点、三个“二次”间的关系
路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组图示.
【问题】 哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
知识点 函数的零点
1.函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于 ，即f（α）＝ ，则称α为函数y＝f（x）的零点.
2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）：
（1）当Δ＝b2－4ac 时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图象与x轴有 公共点 ， ；
（2）当Δ＝b2－4ac 时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f（x）唯一的零点，f（x）的图象与x轴有 公共点（x0，0）；
（3）当Δ＝b2－4ac 时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f（x）无零点，f（x）的图象与x轴 公共点.
提醒 当a＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）的解集、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝ （其中x1＜x2） x1＝x2＝ 方程无实数根
y＝ax2＋bx＋c的图象
y＝ax2＋bx＋c的零点 无零点
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x｜x＜x1或x＞x2} {x｜x≠x1} R
ax2＋bx＋c＜0的解集 {x｜x1＜x＜x2}
类似可得到a＜0时的情形.
【想一想】
函数的零点是点吗？
1.函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的零点为（ ）
A.1 B.2
C.（0，1） D.（2，0）
2.函数f（x）＝ax＋8的零点为4，则实数a的值为（ ）
A.2 B.－2 C. D.－
3.函数f（x）＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是 .
题型一 求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝x2＋2x＋4.
尝试解答
通性通法
求函数y＝f（x）的零点的方法
（1）求函数f（x）的零点就是求方程f（x）＝0的解，求解时注意函数的定义域；
（2）已知x0是函数f（x）的零点，则必有f（x0）＝0.
【跟踪训练】
函数f（x）＝x3－2x2－8x的零点是 .
题型二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
【例2】 （链接教科书第120页例4）分别画出下列函数的图象，并指出函数值y＞0，y＝0，y＜0时自变量x的取值.
（1）y＝x2＋x－2；
（2）y＝x2＋6x＋9；
（3）y＝2x2－4x＋4.
尝试解答
通性通法
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）中满足y＞0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合.
【跟踪训练】
1.若不等式f（x）＝ax2－x－c＞0的解集为（－2，1），则函数y＝f（x）的图象为（ ）
2.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为（ ）
A.3 B.2
C.1 D.6
题型三 一元二次方程根的分布问题
【例3】 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围.
尝试解答
通性通法
解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑：
（1）抛物线开口方向；
（2）一元二次方程根的判别式；
（3）对应区间端点函数值的符号；
（4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.
【跟踪训练】
1.一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ）
A.a＜0 B.a＞0
C.a＜－2 D.a＞1
2.已知方程x2＋（m－2）x＋5－m＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A.（－5，－4）∪（4，＋∞）
B.（－5，＋∞）
C.（－5，－4）
D.（－4，－2）∪（4，＋∞）
题型四 用函数零点法求一元高次不等式的解集
【例4】 （链接教科书第120页例5）求函数f（x）＝2（x2－3x＋2）（x＋1）的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集.
尝试解答
通性通法
解高次不等式的基本方法
（1）将高次不等式f（x）＜0（＞0）中的多项式f（x）分解成若干个不可约因式的积，根据符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式（组），于是原不等式的解集就是各不等式（组）解集的并集.
（2）穿针引线法（穿根法）：
①将不等式转化为一端为零的形式，如f（x）＞0或f（x）＜0等；
②对f（x）进行因式分解，使各因式为一次因式或二次不可约因式；
③求出各因式对应方程的实数根，并在数轴上依次标出，注意点的虚实；
④若最高次项的系数为正，则自最右端上方起依次穿过各根画出曲线；若最高次项的系数为负，则自最右端下方起依次穿过各根画出曲线，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（即奇过偶不过）；
⑤记数轴上方为正，下方为负，根据不等式符号写出解集.
上述步骤可以概述为：首正右上翘，首负右下掉；奇过偶不过，引线解知道.
【跟踪训练】
1.不等式＜0的解集为（ ）
A.{x｜x＜－2，或0＜x＜3}
B.{x｜－2＜x＜2，或x＞3}
C.{x｜x＜－2，或x＞0}
D.{x｜x＜0，或x＞3}
2.不等式≤0的解集为（ ）
A.{x｜－3＜x≤1或x≥2}
B.{x｜x＜－3或1≤x≤2}
C.{x｜x＝4或－3＜x≤1或x≥2}
D.{x｜x＝4或x＜－3或1≤x≤2}
1.函数f（x）＝－x2＋5x－6的零点是（ ）
A.（－2，3） B.2，3
C.（2，3） D.－2，－3
2.不等式＞0解集为（ ）
A.（－∞，－2）∪（3，＋∞）
B.（－∞，－2）∪（1，3）
C.（－2，1）∪（3，＋∞）
D.（－2，1）∪（1，3）
3.（多选）若函数y＝（ax＋1）（x＋2）的唯一零点为－2，则实数a的可能取值为（ ）
A.－2 B.0
C. D.－
4.若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根都是负数，则k的取值范围为 .
第一课时 函数的零点、三个“二次”间的关系
【基础知识·重落实】
知识点
1.零 0 2.（1）＞0 两个 （x1，0） （x2，0） （2）＝0
一个 （3）＜0 没有
想一想
提示：不是，是使f（x）＝0的实数x，是方程f（x）＝0的根.
自我诊断
1.B 根据函数f（x）的图象，可知f（x）与x轴的交点为（2，0），所以函数f（x）的零点为2.故选B.
2.B 由题意得f（4）＝4a＋8＝0，即a＝－2.故选B.
3.1 解析：依题意得：f（－6）＝0，则36－6m－6＝0，解得m＝5.所以f（x）＝x2＋5x－6＝0的两根为1，－6，故1为函数的另一个零点.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）令＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝的零点是－3.
（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，
所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点.
跟踪训练
－2，0，4 解析：令f（x）＝0，则x（x＋2）（x－4）＝0，故x＝0或x＝－2或x＝4.
【例2】 解：（1）作出函数的图象，如图①所示，由图可知：当y＞0时，x＜－2或x＞1；当y＝0时，x＝－2或x＝1；当y＜0时，－2＜x＜1.
（2）作出函数的图象，如图②所示，由图可知：当y＞0时，x≠－3；当y＝0时，x＝－3；当y＜0时，符合题意的x不存在.
（3）作出函数的图象，如图③所示，由图可知：当y＞0时，x∈R；当y＝0时，符合题意的x不存在；当y＜0时，符合题意的x不存在.
跟踪训练
1.B 因为不等式f（x）的解集为（－2，1），所以a＜0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.
2.D 因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，
则a＜0，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根.由根与系数的关系，得－＝－1＋，＝－1×，
解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.故选D.
【例3】 解：令f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出图象如图所示：
由图象得即
即m的取值范围是.
跟踪训练
1.C 由题意，记方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，因为一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根，所以解得a＜0，
则充分不必要条件的范围应是集合{a｜a＜0}的真子集，故选C.
2.C 令f（x）＝x2＋（m－2）x＋5－m，
由题可知： 则－5＜m＜－4，故选C.
【例4】 解：令f（x）＝0，即2（x－1）（x－2）（x＋1）＝0，得函数的零点为－1，1，2.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如表所示：
x （－∞，－1） （－1，1） （1，2） （2，＋∞）
f（x） － ＋ － ＋
f（x）的示意图如图：
∴f（x）≥0的解集为[－1，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集为（－∞，－1）∪（1，2）.
跟踪训练
1.A 原不等式可转化为x（x＋2）（x－3）＜0，
结合穿根法可得，x＜－2或0＜x＜3.
即不等式的解集为{x｜x＜－2，或0＜x＜3}.故选A.
2.D ∵≤0，
即
即
利用穿针引线法画出y＝（x＋3）（x－1）（x－2）（x－4）2的示意图如图所示：
故原不等式的解集为{x｜x＝4或x＜－3或1≤x≤2}.故选D.
随堂检测
1.B 由－x2＋5x－6＝0得x＝2或x＝3.所以函数的零点为2或3.故选B.
2.C 不等式＞0化简为＞0，即（x－3）（x＋2）（x－1）＞0，解得－2＜x＜1或x＞3，所以不等式＞0的解集为（－2，1）∪（3，＋∞），故选C.
3.BC 当a＝0时，函数解析式为y＝x＋2，该函数只有唯一零点－2；当a≠0时，由题意可得－2a＋1＝0，解得a＝. 综上所述，a＝0或a＝.故选B、C.
4.∪（3，＋∞） 解析：首先k≠0，设方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根为x1，x2，则x1＜0，x2＜0
所以
又k≠0，解得k≤－或k＞3.
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3.2 函数与方程、不等式之间的关系
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象，了解函数零点、方程解与
不等式的关系 直观想象、数学
抽象
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零
点存在定理，了解用二分法求函数零点近似值具有
一般性 直观想象、数学
运算
第一课时 函数的零点、三个“二次”间的关系
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
路边有一条河，小明从 A 点走到了 B 点，观察下列两组图示.
【问题】 哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
知识点 函数的零点
1. 函数零点的概念
一般地，如果函数 y ＝ f （ x ）在实数α处的函数值等于 ，即 f
（α）＝ ，则称α为函数 y ＝ f （ x ）的零点.
零
0
2. 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 f （ x ）＝
ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）：
（1）当Δ＝ b2－4 ac 时，方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的解集中有两
个元素 x1， x2，且 x1， x2是 f （ x ）的两个零点， f （ x ）的图
象与 x 轴有 公共点 ， ；
（2）当Δ＝ b2－4 ac 时，方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的解集中只有
一个元素 x0，且 x0是 f （ x ）唯一的零点， f （ x ）的图象与 x
轴有 公共点（ x0，0）；
＞0
两个
（ x1，0）
（ x2，0）
＝0
一个
（3）当Δ＝ b2－4 ac 时，方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0没有实数根，
此时 f （ x ）无零点， f （ x ）的图象与 x 轴 公共点.
提醒 当 a ＞0时，一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的实数根、
一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0（＜0）的解集、二次函数 y
＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的零点之间
的关系如下表所示：
＜0
没有
Δ＝ b2－4 ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋ bx ＋ c ＝
0的实数根 x1，2＝ （其中
x1＜ x2） x1＝ x2＝ 方程无实数根
y ＝ ax2＋ bx ＋
c 的图象
Δ＝ b2－4 ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y ＝ ax2＋ bx ＋
c 的零点 无零点
ax2＋ bx ＋ c ＞
0的解集 { x ｜ x ＜ x1或 x ＞ x2} { x ｜ x ≠
x1} R
ax2＋ bx ＋ c ＜
0的解集 { x ｜ x1＜ x ＜ x2}
类似可得到 a ＜0时的情形.
【想一想】
函数的零点是点吗？
提示：不是，是使 f （ x ）＝0的实数 x ，是方程 f （ x ）＝0的根.
1. 函数 f （ x ）的图象如图所示，则函数 f （ x ）的零点为（ ）
A. 1 B. 2
C. （0，1） D. （2，0）
解析： 根据函数 f （ x ）的图象，可知 f （ x ）与 x 轴的交点为
（2，0），所以函数 f （ x ）的零点为2.故选B.
2. 函数 f （ x ）＝ ax ＋8的零点为4，则实数 a 的值为（ ）
A. 2 B. －2
C. D. －
解析： 由题意得 f （4）＝4 a ＋8＝0，即 a ＝－2.故选B.
3. 函数 f （ x ）＝ x2＋ mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是
.
解析：依题意得： f （－6）＝0，则36－6 m －6＝0，解得 m ＝
5.所以 f （ x ）＝ x2＋5 x －6＝0的两根为1，－6，故1为函数的
另一个零点.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
（1） f （ x ）＝ ；
解：令 ＝0，解得 x ＝－3，
所以函数 f （ x ）＝ 的零点是－3.
（2） f （ x ）＝ x2＋2 x ＋4.
解：令 x2＋2 x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，
所以方程 x2＋2 x ＋4＝0无实数解，
所以函数 f （ x ）＝ x2＋2 x ＋4不存在零点.
通性通法
求函数 y ＝ f （ x ）的零点的方法
（1）求函数 f （ x ）的零点就是求方程 f （ x ）＝0的解，求解时注意
函数的定义域；
（2）已知 x0是函数 f （ x ）的零点，则必有 f （ x0）＝0.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝ x3－2 x2－8 x 的零点是 .
解析：令 f （ x ）＝0，则 x （ x ＋2）（ x －4）＝0，故 x ＝0或 x ＝－2
或 x ＝4.
－2，0，4
题型二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
【例2】 （链接教科书第120页例4）分别画出下列函数的图象，并
指出函数值 y ＞0， y ＝0， y ＜0时自变量 x 的取值.
（1） y ＝ x2＋ x －2；
解：作出函数的图象，如图①
所示，由图可知：当 y ＞0时， x ＜－
2或 x ＞1；当 y ＝0时， x ＝－2或 x ＝
1；当 y ＜0时，－2＜ x ＜1.
（2） y ＝ x2＋6 x ＋9；
解：作出函数的图象，如图②所示，由图可
知：当 y ＞0时， x ≠－3；当 y ＝0时， x ＝－3；当 y
＜0时，符合题意的 x 不存在.
（3） y ＝2 x2－4 x ＋4.
解：作出函数的图象，如图③所示，由图可知：当 y ＞0
时， x ∈R；当 y ＝0时，符合题意的 x 不存在；当 y ＜0时，符合
题意的 x 不存在.
通性通法
一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ＞0）的根就是二次函数的图象
与 x 轴交点的横坐标.一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ＞0）的解
集，即二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ＞0）中满足 y ＞0时的自变量 x 组
成的集合，即二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ＞0）的图象在 x 轴上方时
点的横坐标 x 的集合.
【跟踪训练】
1. 若不等式 f （ x ）＝ ax2－ x － c ＞0的解集为（－2，1），则函数 y ＝
f （ x ）的图象为（ ）
解析： 因为不等式 f （ x ）的解集为（－2，1），所以 a ＜0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.
2. 关于 x 的一元二次不等式 ax2＋ bx ＋1＞0的解集为
，则 ab 的值为（ ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 6
解析： 因为关于 x 的一元二次不等式 ax2＋ bx ＋1＞0的解集为
，
则 a ＜0，－1， 是方程 ax2＋ bx ＋1＝0的根.由根与系数的关系，得
－ ＝－1＋ ＝－1× ，
解得 a ＝－3， b ＝－2，
故 ab ＝6.故选D.
题型三 一元二次方程根的分布问题
【例3】 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋2 m ＋1＝0.若方程有
两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求
m 的取值范围.
解：令 f （ x ）＝ x2＋2 mx ＋2 m ＋1，依题意得函数 f （ x ）＝ x2＋2 mx
＋2 m ＋1的图象与 x 轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，
画出图象如图所示：
由图象得
即 m 的取值范围是 .
通性通法
解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑：
（1）抛物线开口方向；
（2）一元二次方程根的判别式；
（3）对应区间端点函数值的符号；
（4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.
【跟踪训练】
1. 一元二次方程 ax2＋5 x ＋4＝0（ a ≠0）有一个正根和一个负根的一
个充分不必要条件是（ ）
A. a ＜0 B. a ＞0
C. a ＜－2 D. a ＞1
解析： 由题意，记方程 ax2＋5 x ＋4＝0（ a ≠0）的两根分别为
x1， x2，因为一元二次方程 ax2＋5 x ＋4＝0（ a ≠0）有一个正根和
一个负根，所以解得 a ＜0，
则充分不必要条件的范围应是集合{ a ｜ a ＜0}的真子集，故选C.
2. 已知方程 x2＋（ m －2） x ＋5－ m ＝0有两个不相等的实数根，且两
个实数根都大于2，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. （－5，－4）∪（4，＋∞）
B. （－5，＋∞）
C. （－5，－4）
D. （－4，－2）∪（4，＋∞）
解析： 令 f （ x ）＝ x2＋（ m －2） x ＋5－ m ，
由题可知：
则－5＜ m ＜－4，故选C.
题型四 用函数零点法求一元高次不等式的解集
【例4】 （链接教科书第120页例5）求函数 f （ x ）＝2（ x2－3 x ＋
2）（ x ＋1）的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式 f （ x ）
≥0和 f （ x ）＜0的解集.
解：令 f （ x ）＝0，即2（ x －1）（ x －2）（ x ＋1）＝0，得函数的零
点为－1，1，2.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函
数值的符号如表所示：
x （－∞，－1） （－1，1） （1，2） （2，＋∞）
f （ x ） － ＋ － ＋
f （ x ）的示意图如图：
∴ f （ x ）≥0的解集为[－1，1]∪[2，＋
∞）， f （ x ）＜0的解集为（－∞，－1）∪
（1，2）.
通性通法
解高次不等式的基本方法
（1）将高次不等式 f （ x ）＜0（＞0）中的多项式 f （ x ）分解成若干
个不可约因式的积，根据符号法则，把它等价转化为两个或多
个不等式（组），于是原不等式的解集就是各不等式（组）解
集的并集.
（2）穿针引线法（穿根法）：
①将不等式转化为一端为零的形式，如 f （ x ）＞0或 f （ x ）
＜0等；
②对 f （ x ）进行因式分解，使各因式为一次因式或二次不可约
因式；
③求出各因式对应方程的实数根，并在数轴上依次标出，注意
点的虚实；
④若最高次项的系数为正，则自最右端上方起依次穿过各根画
出曲线；若最高次项的系数为负，则自最右端下方起依次穿过
各根画出曲线，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（即奇
过偶不过）；
⑤记数轴上方为正，下方为负，根据不等式符号写出解集.
上述步骤可以概述为：首正右上翘，首负右下掉；奇过偶不
过，引线解知道.
【跟踪训练】
1. 不等式 ＜0的解集为（ ）
A. { x ｜ x ＜－2，或0＜ x ＜3}
B. { x ｜－2＜ x ＜2，或 x ＞3}
C. { x ｜ x ＜－2，或 x ＞0}
D. { x ｜ x ＜0，或 x ＞3}
解析： 原不等式可转化为 x （ x ＋2）（ x －3）＜0，结合穿根法
可得， x ＜－2或0＜ x ＜3.即不等式的解集为{ x ｜ x ＜－2，或0＜ x
＜3}.故选A.
2. 不等式 ≤0的解集为（ ）
A. { x ｜－3＜ x ≤1或 x ≥2}
B. { x ｜ x ＜－3或1≤ x ≤2}
C. { x ｜ x ＝4或－3＜ x ≤1或 x ≥2}
D. { x ｜ x ＝4或 x ＜－3或1≤ x ≤2}
解析： ∵ ≤0，
即
即
利用穿针引线法画出 y ＝（ x ＋3）（ x －1）
（ x －2）·（ x －4）2的示意图如图所示：
故原不等式的解集为{ x ｜ x ＝4或 x ＜－3或
1≤ x ≤2}.故选D.
1. 函数 f （ x ）＝－ x2＋5 x －6的零点是（ ）
A. （－2，3） B. 2，3
C. （2，3） D. －2，－3
解析： 由－ x2＋5 x －6＝0得 x ＝2或 x ＝3.所以函数的零点为2或
3.故选B.
2. 不等式 ＞0解集为（ ）
A. （－∞，－2）∪（3，＋∞）
B. （－∞，－2）∪（1，3）
C. （－2，1）∪（3，＋∞）
D. （－2，1）∪（1，3）
解析： 不等式 ＞0化简为 ＞0，即（ x －3）
（ x ＋2）（ x －1）＞0，解得－2＜ x ＜1或 x ＞3，所以不等式
＞0的解集为（－2，1）∪（3，＋∞），故选C.
3. （多选）若函数 y ＝（ ax ＋1）（ x ＋2）的唯一零点为－2，则实数
a 的可能取值为（ ）
A. －2 B. 0
C. D. －
解析： 当 a ＝0时，函数解析式为 y ＝ x ＋2，该函数只有唯一
零点－2；当 a ≠0时，由题意可得－2 a ＋1＝0，解得 a ＝ . 综上所
述， a ＝0或 a ＝ . 故选B、C.
4. 若一元二次方程 kx2＋3 kx ＋ k －3＝0的两根都是负数，则 k 的取值范
围为 .
解析：首先 k ≠0，设方程 kx2＋3 kx ＋ k －3＝0的两根为 x1， x2，则
x1＜0， x2＜0 所以又 k ≠0，解得 k ≤－ 或 k ＞3.
∪（3，＋∞）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝1＋ 的零点是（ ）
A. （－1，0） B. －1
C. （0，1） D. 0
解析： 令 y ＝1＋ ＝0，∴ x ＝－1.∴函数 y ＝1＋ 的零点是－1.
故选B.
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2. 关于 x 的不等式 ax － b ＞0的解集是（1，＋∞），则关于 x 的不等式
（ ax ＋ b ）（ x －3）＞0的解集是（ ）
A. （－∞，－1）∪（3，＋∞）
B. （－1，3）
C. （1，3）
D. （－∞，1）∪（3，＋∞）
解析： 由题意，知 a ＞0，且1是 ax － b ＝0的根，所以 a ＝ b ＞
0，所以（ ax ＋ b ）（ x －3）＝ a （ x ＋1）·（ x －3）＞0，所以 x ＜
－1或 x ＞3，因此原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
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3. 要使关于 x 的方程 x2＋（ a2－1） x ＋ a －2＝0的一根比1大且另一根
比1小，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. { a ｜－1＜ a ＜2} B. { a ｜－2＜ a ＜1}
C. { a ｜ a ＜－2} D. { a ｜ a ＞1}
解析： 由题意可得1＋（ a2－1）＋ a －2＝ a2＋ a －2＜0，解得
－2＜ a ＜1.故选B.
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4. ≥1的解集是（ ）
A. { x ｜1＜ x ≤2}
B. { x ｜－1≤ x ＜0或2＜ x ≤3}
C. { x ｜0≤ x ≤4}
D. { x ｜0≤ x ＜1或2＜ x ≤4}
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解析： 由 ≥1可得1－ ＝ ＝
≤0，如图所示：
由图可知，原不等式的解集为{ x ｜0≤ x ＜1或2＜ x ≤4}.故选D.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）＝ x2－2 x ＋ a 有两个零点 x1， x2，以下结
论正确的是（ ）
A. a ＜1
B. 若 x1 x2≠0，则 ＋ ＝
C. f （－1）＝ f （3）
D. 函数有 y ＝ f （｜ x ｜）四个零点
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解析： 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4 a
＝4－4 a ＞0， a ＜1，故A正确；由根与系数的关系得 x1＋ x2＝2，
x1 x2＝ a ， ＋ ＝ ＝ ，故B正确；对于C选项， f （－1）
＝1＋2＋ a ＝3＋ a ， f （3）＝9－6＋ a ＝3＋ a ，所以 f （－1）＝ f
（3），故C选项正确；对于D选项，当 a ＝0时，由 y ＝ f （｜ x ｜）
＝0得｜ x ｜2－2｜ x ｜＝0，所以 x1＝0， x2＝－2， x3＝2，故有三
个零点，则D选项错误.故选A、B、C.
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6. 若 f （ x ）＝则函数 g （ x ）＝ f
（ x ）－ x 的零点为 .
解析：由 f （ x ）＝ x ，得
或
解得 x ＝1＋ 或 x ＝1.
1，1＋
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7. 不等式（ x ＋1）（ x2－9）≥0的解集是
.
解析：原不等式可化为（ x ＋1）·（ x ＋3）（ x －
3）≥0，则对应方程的三个实数根分别为－1，－
3，3.
如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开
始依次穿过.由图可知不等式（ x ＋1）·（ x2－9）
≥0的解集为{ x ｜－3≤ x ≤－1或 x ≥3}.
{ x ｜－3≤ x ≤－1或 x
≥3}
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8. 若关于 x 的方程 ＝1的根均为负数，则实数 a 的取值范围
是 .
解析：方程 ＝1，则 x ＋2≠0， x ≠－2，
即 ＝0，
所以 x －（ a ＋2）＝0， x ＝ a ＋2，
又因为方程 ＝1的根均为负数，
所以
所以 a ＜－2且 a ≠－4.
所以实数 a 的取值范围是（－∞，－4）∪（－4，－2）.
（－∞，－4）∪（－4，－2）
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9. 已知二次函数 f （ x ）＝ x2－（ a ＋2） x ＋2 a ， a ∈R.
（1）若函数 f （ x ）只有一个零点，求 a 的值；
解：函数 f （ x ）只有一个零点，则Δ＝0， 即（ a ＋2）2
－4×2 a ＝0，（ a －2）2＝0，所以 a ＝2.
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（2）解关于 x 的不等式 f （ x ）≤0.
解：不等式 x2－（ a ＋2） x ＋2 a ≤0，即（ x －2）（ x
－ a ）≤0，
①当 a ＞2时，不等式的解集为{ x ｜2≤ x ≤ a }，
②当 a ＝2时，不等式的解集为{ x ｜ x ＝2}，
③当 a ＜2时，不等式的解集为{ x ｜ a ≤ x ≤2}.
综上所述：当 a ＞2时，不等式的解集为{ x ｜2≤ x ≤ a }，
当 a ＝2时，不等式的解集为{ x ｜ x ＝2}，
当 a ＜2时，不等式的解集为{ x ｜ a ≤ x ≤2}.
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10. 已知不等式组的解集是关于 x 的不等式 x2－3 x
＋ a ＜0的解集的子集，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. a ≤0 B. a ＜0
C. a ≤－1 D. a ＜－2
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解析： 解得 x ∈（2，3），因为 x ∈（2，
3）是不等式 x2－3 x ＋ a ＜0的解集的子集，故 f （ x ）＝ x2－3 x ＋ a
要满足：解得 a ≤0，故选A.
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11. 已知函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且
在（0，＋∞）上是增函数，则该函数有 个零点，这几个零
点的和等于 .
解析：因为函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，且在（0，＋∞）
上是增函数，所以 f （0）＝0.又因为 f （－2）＝0，所以 f （2）＝
－ f （－2）＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
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12. 二次函数 y ＝ ax2＋（ b －2） x ＋3（ a ≠0）.
（1）当 a ＝1， b ＝6时，求此函数的零点；
解：当 a ＝1， b ＝6时， y ＝ x2＋4 x ＋3，
令 y ＝0，则 x2＋4 x ＋3＝0，
解得 x1＝－1， x2＝－3，
所以此函数的零点是－1，－3.
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（2）若不等式 y ＞0的解集为{ x ｜－1＜ x ＜1}，求实数 a ， b
的值；
解：依题意，不等式 ax2＋（ b －2） x ＋3＞0的解集为
{ x ｜－1＜ x ＜1}，则－1，1是方程 ax2＋（ b －2） x ＋3＝0
的两个根，且 a ＜0，由根与系数的关系得
解得 a ＝－3， b ＝2，
所以实数 a ， b 的值分别为 a ＝－3， b ＝2.
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（3）当 b ＝1－ a 时，不等式 y －1＞0在R上恒成立，求实数 a 的取
值集合.
解：当 b ＝1－ a 时，不等式 y －1＞0化为 ax2－（ a ＋
1） x ＋2＞0，
依题意，不等式 ax2－（ a ＋1） x ＋2＞0在R上恒成立，
因为 a ≠0，则
解得3－2 ＜ a ＜3＋2 ，
所以实数 a 的取值集合是{ a ｜3－2 ＜ a ＜3＋2 }.
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13. 已知 f （ x ）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数 y ＝ f （2 x2＋
1）＋ f （λ－ x ）只有一个零点，则实数λ的值是（ ）
A. B.
C. － D. －
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解析： 依题意，函数 y ＝ f （2 x2＋1）＋ f （λ－ x ）的零点，即
方程 f （2 x2＋1）＋ f （λ－ x ）＝0的根，由 f （2 x2＋1）＋ f （λ－
x ）＝0得 f （2 x2＋1）＝－ f （λ－ x ），因为 f （ x ）是R上的奇函
数，从而有 f （2 x2＋1）＝ f （ x －λ），又 f （ x ）是R上的单调函
数，则有2 x2＋1＝ x －λ，而函数 y ＝ f （2 x2＋1）＋ f （λ－ x ）只有
一个零点，于是得2 x2－ x ＋1＋λ＝0有两个相等实数解，因此得Δ
＝1－8（1＋λ）＝0，解得λ＝－ ，所以实数λ的值是－ .故选C.
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14. 若函数 f （ x ）为R上的奇函数，且当 x ＞0时， f （ x ）＝ x2－
4 x ＋3.
（1）求 f （ x ）在R的解析式；
解：当 x ＝0时， f （0）＝0；
当 x ＜0时，－ x ＞0，根据定义可知， f （ x ）＝－ f （－ x ）
＝－（ x2＋4 x ＋3）＝－ x2－4 x －3，
故 f （ x ）＝
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（2）若 a ∈R， g （ x ）＝ f （ x ）－ a ，试讨论 a 取何值时， g
（ x ）零点的个数最多？最少？
解：在坐标系中，作出函数 f （ x ）的图象.
当 a ＝0时， g （ x ）＝ f （ x ）－ a 有5个零点；
当0＜ a ＜1或－1＜ a ＜0时， g （ x ）有4个零点；
当 a ＝±1时， g （ x ）有3个零点；
当1＜ a ＜3或－3＜ a ＜－1时， g （ x ）有2个零点；
当 a ≤－3或 a ≥3时， g （ x ）有1个零点；
故 a ＝0时， g （ x ）＝ f （ x ）－ a 零点的个数最多；
a ≤－3或 a ≥3时，零点的个数最少.
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