第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给大家展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后继续猜……
【问题】 怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？
知识点一 函数零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且 （即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间[a，b]中 零点，即 x0∈[a，b]，f（x0）＝0.
【想一想】
1.函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，是不是一定有f（a）f（b）＜0？
2.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f（b）＜0时，能否判断函数在区间（a，b）上的零点个数？
知识点二 二分法
用二分法求函数零点近似值的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f（a）f（b）＜0），给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得｜x1－x0｜＜ε的一般步骤如下：
第一步：检查｜b－a｜≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步.
第二步：计算区间（a，b）的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步.
第三步：若f（a）f＜0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff（b）＜0，将的值赋给a，回到第一步.
【想一想】
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
1.方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是（ ）
A.[－1，0] B.[0，1]
C.[1，2] D.[2，3]
2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
3.用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈ ，第二次应计算 .
题型一 判断函数零点个数或所在区间
【例1】 （1）已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则下列说法正确的是（ ）
A.函数y＝f（x）在区间[1，6]上有3个零点
B.函数y＝f（x）在区间[1，6]上至少有3个零点
C.函数y＝f（x）在区间[1，6]上至多有3个零点
D.函数y＝f（x）在区间[1，2]上无零点
（2）函数f（x）＝x3＋x－5的零点所在区间为（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
尝试解答
通性通法
1.判断函数零点所在区间的三个步骤
（1）代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值；
（2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；
（3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.
2.判断函数存在零点的2种方法
（1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数.可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数；
（2）图象法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一平面直角坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.
【跟踪训练】
已知f（x），g（x）均为[－1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f（x）＝g（x）有实数解的区间是（ ）
x －1 0 1 2 3
f（x） －0.670 3.011 5.432 5.980 7.651
g（x） －0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2，3）
题型二 根据函数零点求参数
【例2】 已知a是实数，函数f（x）＝2｜x－1｜＋x－a，若函数y＝f（x）有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.
尝试解答
通性通法
根据函数零点个数求参数值（范围）的方法
已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝2ax－a＋3，若 x0∈（－1，1），f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
B.（－∞，－1）∪（3，＋∞）
C.（－3，1）
D.（－1，3）
题型三 二分法
角度1 对二分法概念的理解
【例3】 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（ ）
尝试解答
通性通法
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可.
【跟踪训练】
如图，函数f（x）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0），P（x3，0），Q（x4，0）四点，则不能用二分法求出的f（x）的零点是（ ）
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
角度2 用二分法求方程的近似解
【例4】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解.（精确度为0.1）
尝试解答
通性通法
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）；
（2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【跟踪训练】
用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算f（0.54）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（ ）
A.0.68 B.0.72
C.0.7 D.0.6
二分法实际应用举例
乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的.乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味.乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神很有好处.因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动.
现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.用一架天平，限称b次，把这个“坏乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重.
【问题探究】
1.当a＝12，b＝3时，又该如何称？
提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：
（1）若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中.第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上.
①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放到天平上一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重.任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”.
（2）若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重.从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左面4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边.看天平，有三种可能.
①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边.因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是轻还是重）.
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重.
2.若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，又该如何称？
提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”.
综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”.
【迁移应用】
将“a个乒乓球”改为“从A地到B地的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎样检测最合理？
1.若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A.若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
B.若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
C.若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
D.若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
2.函数f（x）的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f（x）＝0在（1，2）内近似解的过程可得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的解所在区间为（ ）
A.（1.25，1.5） B.（1，1.25）
C.（1.5，2） D.不能确定
3.函数f（x）＝x3－9的零点所在的大致区间是（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2，3）
4.（多选）以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（ ）
5.已知函数f（x）＝2x－b的零点为x0，且x0∈（－1，1），那么b的取值范围是 .
第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
【基础知识·重落实】
知识点一
f（a）f（b）＜0 至少有一个
想一想
1.提示：不一定，如f（x）＝x2在区间（－1，1）上有零点0，但是f（－1）f（1）＝1×1＝1＞0.
2.提示：不能.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f（b）＜0只能判断y＝f（x）在[a，b]上有零点，并不能判断零点的个数，如图.
知识点二
想一想
提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点.
自我诊断
1.C 令f（x）＝x3－x－3，易知函数f（x）＝x3－x－3在R上的图象是连续不断的，f（1）＝－3＜0，f（2）＝8－2－3＝3＞0，f（－1）＝－3＜0，f（0）＝－3＜0，f（3）＝21＞0，结合选项知，f（1）·f（2）＜0，
故函数f（x）＝x3－x－3的零点所在的区间为[1，2]，
即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1，2].
2.A
3.（0，0.5） f（0.25）
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）B 解析：（1）由表可知，f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0.由函数零点存在定理知，函数y＝f（x）在区间（2，3），（3，4），（4，5）上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个.虽然f（1）·f（2）＞0，但函数y＝f（x）在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点.
（2）由函数f（x）＝x3＋x－5可得f（1）＝1＋1－5＝－3＜0，f（2）＝8＋2－5＝5＞0，
故有f（1）f（2）＜0，
根据函数零点存在定理可得，函数f（x）的零点所在区间为（1，2），故选B.
跟踪训练
B 令h（x）＝f（x）－g（x）可得：h（0）＝f（0）－g（0）＜0，h（1）＝f（1）－g（1）＞0，
由题意得h（x）连续，根据函数的零点存在定理可知：h（x）在（0，1）上有零点，故f（x）＝g（x）在（0，1）上有解.故选B.
【例2】 解：函数f（x）＝2｜x－1｜＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2｜x－1｜＋x与y＝a有且仅有两个交点.
分别作出函数y＝2｜x－1｜＋x与y＝a的图象，如图所示.
由图易知，当a＞1时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是（1，＋∞）.
跟踪训练
A 函数f（x）＝2ax－a＋3，若 x0∈（－1，1），f（x0）＝0，可得f（1）f（－1）＝（－3a＋3）（a＋3）＜0，解得a＜－3或a＞1，则实数a的取值范围是（－∞，－3）∪（1，＋∞），故选A.
【例3】 B 利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点.由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.
跟踪训练
B 由图象可知，在x＝x2附近，函数f（x）均大于0，故x2不能用二分法求出.其他零点附近函数值符号均变号，可以用二分法求解.故选B.
【例4】 解：令f（x）＝2x3＋3x－3，
经计算，f（0）＝－3＜0，f（1）＝2＞0，f（0）·f（1）＜0，
所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在（0，1）内有解.
取（0，1）的中点0.5，经计算f（0.5）＜0，
又f（1）＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5，1）内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
（a，b） 中点c f（a） f（b） f
（0，1） 0.5 f（0）＜0 f（1）＞0 f（0.5）＜0
（0.5，1） 0.75 f（0.5）＜0 f（1）＞0 f（0.75）＞0
（0.5，0.75） 0.625 f（0.5）＜0 f（0.75）＞0 f（0.625）＜0
（0.625，0.75） 0.687 5 f（0.625）＜0 f（0.75）＞0 f（0.687 5）＜0
（0.687 5，0.75） ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1
由于｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
跟踪训练
C 由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72），由于｜0.72－0.68｜＝0.04＜0.1，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7，故选C.
拓视野 二分法实际应用举例
迁移应用
解：如下图所示，把从A地到B地的海底电缆抽象成一条线段，图中的15个点代表电缆上的15个接点.按照从左到右的顺序将其编号为1，2，3，…，15.先检查最中间的接点，即第8号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查1～7号中间的接点，即第4号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查第2号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点；若左端断路，则故障点为第1号接点；若右端断路，则故障点为第3号接点，到此检查完毕.
随堂检测
1.C 对函数f（x）＝x2，f（－1）·f（1）＞0，但f（0）＝0，故A错误；对于函数f（x）＝x3－x，f（－2）·f（2）＜0，但f（0）＝f（－1）＝f（1）＝0，故B错误；函数f（x）＝x2满足C，故C正确；由函数零点存在定理知D错误.
2.A 因为f（1.25）·f（1.5）＜0，故方程f（x）＝0的解所在区间为（1.25，1.5）.故选A.
3.D 因为函数f（x）＝x3－9在R上单调递增，
f（2）＝8－9＝－1＜0，f（3）＝27－9＝18＞0，
所以根据零点存在定理，可得函数f（x）＝x3－9的零点所在的大致区间是（2，3）.
故选D.
4.ABC D选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同，因此不能用二分法求零点，而A、B、C选项符合利用二分法求函数零点的条件.故选A、B、C.
5.（－2，2） 解析：因为函数f（x）＝2x－b的零点为x0，且x0∈（－1，1），所以f（－1）·f（1）＜0，即（－2－b）·（2－b）＜0，解得－2＜b＜2，所以b的取值范围是（－2，2）.
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第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给大家展示
一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高
了”还是“低了”，然后继续猜……
【问题】 怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？
知识点一 函数零点存在定理
如果函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的，并且
（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数 y
＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]中 零点，即 x0∈[ a ， b ]， f
（ x0）＝0.
f
（ a ） f （ b ）＜0
至少有一个
【想一想】
1. 函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上有零点，是不是一定有 f
（ a ）· f （ b ）＜0？
提示：不一定，如 f （ x ）＝ x2在区间（－1，1）上有零点0，但是 f
（－1） f （1）＝1×1＝1＞0.
2. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的一条曲
线， f （ a ） f （ b ）＜0时，能否判断函数在区间（ a ， b ）上
的零点个数？
提示：不能.函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的一条曲线， f （ a ） f （ b ）＜0只能判断 y ＝ f （ x ）在[ a ， b ]上有零点，并不能判断零点的个数，如图.
知识点二 二分法
用二分法求函数零点近似值的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时（即 f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图
象是连续不断的，且 f （ a ） f （ b ）＜0），给定近似的精确度ε，用
二分法求零点 x0的近似值 x1，使得｜ x1－ x0｜＜ε的一般步骤如下：
第一步：检查｜ b － a ｜≤2ε是否成立，如果成立，取 x1＝ ，计
算结束；如果不成立，转到第二步.
第二步：计算区间（ a ， b ）的中点 对应的函数值，若 f ＝
0，取 x1＝ ，计算结束；若 f ≠0，转到第三步.
第三步：若 f （ a ） f ＜0，将 的值赋给 b ，回到第一步；否则必有 f f （ b ）＜0，将
的值赋给 a ，回到第一步.
【想一想】
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函
数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点.
1. 方程 x3－ x －3＝0的实数解所在的区间是（ ）
A. [－1，0] B. [0，1]
C. [1，2] D. [2，3]
解析： 令 f （ x ）＝ x3－ x －3，易知函数 f （ x ）＝ x3－ x －3在R
上的图象是连续不断的， f （1）＝－3＜0， f （2）＝8－2－3＝3＞
0， f （－1）＝－3＜0， f （0）＝－3＜0， f （3）＝21＞0，结合选
项知， f （1）· f （2）＜0，
故函数 f （ x ）＝ x3－ x －3的零点所在的区间为[1，2]，
即方程 x3－ x －3＝0的实数解所在的区间为[1，2].
2. 观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
3. 用二分法研究函数 f （ x ）＝ x3＋3 x －1的零点时，第一次经计算得 f
（0）＜0， f （0.5）＞0，可得其中一个零点 x0∈ ，第
二次应计算 .
（0，0.5）
f （0.25）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 判断函数零点个数或所在区间
【例1】 （1）已知函数 y ＝ f （ x ）的图象是连续不断的一条曲线，
有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则下列说法正确的是（ B ）
B
题型一 判断函数零点个数或所在区间
【例1】 （1）已知函数 y ＝ f （ x ）的图象是连续不断的一条曲线，
有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则下列说法正确的是（ B ）
A. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[1，6]上有3个零点
B. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[1，6]上至少有3个零点
C. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[1，6]上至多有3个零点
D. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[1，2]上无零点
解析：由表可知， f （2）· f （3）＜0， f （3）· f （4）＜0， f （4）· f
（5）＜0.由函数零点存在定理知，函数 y ＝ f （ x ）在区间（2，3），
（3，4），（4，5）上分别至少存在一个零点，所以函数 y ＝ f （ x ）
在区间[1，6]上的零点至少有3个.虽然 f （1）· f （2）＞0，但函数 y ＝
f （ x ）在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点.
（2）函数 f （ x ）＝ x3＋ x －5的零点所在区间为（ B ）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析：由函数 f （ x ）＝ x3＋ x －5可得 f （1）＝1＋1－5＝－3＜
0， f （2）＝8＋2－5＝5＞0，
故有 f （1） f （2）＜0，
根据函数零点存在定理可得，函数 f （ x ）的零点所在区间为
（1，2），故选B.
通性通法
1. 判断函数零点所在区间的三个步骤
（1）代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值；
（2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；
（3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区
间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有
一个零点.
2. 判断函数存在零点的2种方法
（1）方程法：若方程 f （ x ）＝0的解可求或能判断解的个数.可通
过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数；
（2）图象法：由 f （ x ）＝ g （ x ）－ h （ x ）＝0，得 g （ x ）
＝ h （ x ），在同一平面直角坐标系内作出 y1＝ g （ x ）和
y2＝ h （ x ）的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数
零点的个数.
【跟踪训练】
已知 f （ x ）， g （ x ）均为[－1，3]上连续不断的曲线，根据下表能
判断方程 f （ x ）＝ g （ x ）有实数解的区间是（ ）
x －1 0 1 2 3
f （ x ） －0.670 3.011 5.432 5.980 7.651
g （ x ） －0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （1，2） D. （2，3）
解析： 令 h （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）可得： h （0）＝ f （0）－ g
（0）＜0， h （1）＝ f （1）－ g （1）＞0，由题意得 h （ x ）连续，
根据函数的零点存在定理可知： h （ x ）在（0，1）上有零点，故 f
（ x ）＝ g （ x ）在（0，1）上有解.故选B.
题型二 根据函数零点求参数
【例2】 已知 a 是实数，函数 f （ x ）＝2｜ x －1｜＋ x － a ，若函数 y
＝ f （ x ）有且仅有两个零点，求实数 a 的取值范围.
解：函数 f （ x ）＝2｜ x －1｜＋ x － a 有且仅
有两个零点，即函数 y ＝2｜ x －1｜＋ x 与 y ＝
a 有且仅有两个交点.
分别作出函数 y ＝2｜ x －1｜＋ x 与 y ＝ a 的图
象，如图所示.
由图易知，当 a ＞1时，两函数的图象有两个
不同的交点，故实数 a 的取值范围是（1，＋∞）.
通性通法
根据函数零点个数求参数值（范围）的方法
已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不
等式确定参数的取值范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以
解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画
出函数的图象，然后数形结合求解.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝2 ax － a ＋3，若 x0∈（－1，1）， f （ x0）＝0，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （－∞，－3）∪（1，＋∞）
B. （－∞，－1）∪（3，＋∞）
C. （－3，1）
D. （－1，3）
解析： 函数 f （ x ）＝2 ax － a ＋3，若 x0∈（－1，1）， f
（ x0）＝0，可得 f （1） f （－1）＝（－3 a ＋3）（ a ＋3）＜0，
解得 a ＜－3或 a ＞1，则实数 a 的取值范围是（－∞，－3）∪
（1，＋∞），故选A.
题型三 二分法
角度1 对二分法概念的理解
【例3】 下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的
是（ ）
解析： 利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，
在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点.由于
A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.
通性通法
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件
是函数零点的存在性.对“函数在区间[ a ， b ]上连续”的理解如下：
不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函
数图象是连续的即可.
【跟踪训练】
如图，函数 f （ x ）的图象与 x 轴交于 M （ x1，0）， N （ x2，0）， P
（ x3，0）， Q （ x4，0）四点，则不能用二分法求出的 f （ x ）的零点
是（ ）
A. x1 B. x2
C. x3 D. x4
解析： 由图象可知，在 x ＝ x2附近，函数 f （ x ）均大于0，故 x2不
能用二分法求出.其他零点附近函数值符号均变号，可以用二分法求
解.故选B.
角度2 用二分法求方程的近似解
【例4】 用二分法求方程2 x3＋3 x －3＝0的一个正实数近似解.（精确
度为0.1）
解：令 f （ x ）＝2 x3＋3 x －3，
经计算， f （0）＝－3＜0， f （1）＝2＞0， f （0）· f （1）＜0，
所以函数 f （ x ）在（0，1）内存在零点，
即方程2 x3＋3 x ＝3在（0，1）内有解.
取（0，1）的中点0.5，经计算 f （0.5）＜0，
又 f （1）＞0，所以方程2 x3＋3 x －3＝0在（0.5，1）内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
（ a ， b ） 中点 c f （ a ） f （ b ） f
（0，1） 0.5 f （0）＜0 f （1）＞0 f （0.5）＜0
（0.5，1） 0.75 f （0.5）＜0 f （1）＞0 f （0.75）＞0
（0.5，
0.75） 0.625 f （0.5）＜0 f （0.75）＞0 f （0.625）＜0
（0.625，0.75） 0.687
5 f （0.625）＜
0 f （0.75）＞0 f （0.687 5）＜0
（0.687
5，0.75） ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1
由于｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正
实数近似解.
通性通法
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[ m ， n ]（一般采用估计值
的方法完成）；
（2）取区间端点的中点 c ，计算 f （ c ），确定有解区间是（ m ， c ）
还是（ c ， n ），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端
点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【跟踪训练】
用二分法求函数 f （ x ）的一个正实数零点时，经计算 f （0.54）＜0，
f （0.72）＞0， f （0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点
的近似值为（ ）
A. 0.68 B. 0.72
C. 0.7 D. 0.6
解析： 由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区
间为（0.68，0.72），由于｜0.72－0.68｜＝0.04＜0.1，则函数的一个
精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7，故选C.
二分法实际应用举例
乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的.乒乓球是两个半
圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶
水的气味.乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别
是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对
培养顽强拼搏的精神很有好处.因此，乒乓球已经成为一项世界性、普
遍性的体育运动.
现有 a 个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标
准外，其余的乒乓球质量均相同.用一架天平，限称 b 次，把这个“坏
乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重.
【问题探究】
1. 当 a ＝12， b ＝3时，又该如何称？
提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：
（1）若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中.第二次，取剩下
的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放
在天平上.
①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒
乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放到天平上一看，即知“坏乒乓
球”是偏轻还是偏重；
（2）若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右
边较重.从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左
面4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个
乒乓球补入左边.看天平，有三种可能.
②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还
是重.任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定
“坏乒乓球”.
①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边.因此，“坏乒乓
球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒
乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是
轻还是重）.
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒
乓球”，且知其是轻还是重.
2. 若“坏乒乓球偏轻”，当 a ＝26时，又该如何称？
提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒
乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出
1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两
端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不
平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个
乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在
质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放
在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若
天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”.
综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”.
【迁移应用】
将“ a 个乒乓球”改为“从 A 地到 B 地的海底电缆有15个接点”，
现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎
样检测最合理？
解：如下图所示，把从 A 地到 B地的海底电缆抽象成一条线段，图中的15个点代表电缆上的15个接点.按照从左到右的顺序将其编号为1，2，3，…，15.先检查最中间的接点，即第8号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查1～7号中间的接点，即第4号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查第2号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点；若左端断路，则故障点为第1号接点；若右端断路，则故障点为第3号接点，到此检查完毕.
1. 若函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象为连续不断的一条曲
线，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若 f （ a ） f （ b ）＞0，则不存在实数 c ∈（ a ， b ），使得 f （ c ）
＝0
B. 若 f （ a ） f （ b ）＜0，则存在且只存在一个实数 c ∈（ a ， b ），
使得 f （ c ）＝0
C. 若 f （ a ） f （ b ）＞0，则有可能存在实数 c ∈（ a ， b ），使得 f
（ c ）＝0
D. 若 f （ a ） f （ b ）＜0，则有可能不存在实数 c ∈（ a ， b ），使得 f
（ c ）＝0
解析： 对函数 f （ x ）＝ x2， f （－1）· f （1）＞0，但 f （0）＝
0，故A错误；对于函数 f （ x ）＝ x3－ x ， f （－2）· f （2）＜0，但 f
（0）＝ f （－1）＝ f （1）＝0，故B错误；函数 f （ x ）＝ x2满足
C，故C正确；由函数零点存在定理知D错误.
2. 函数 f （ x ）的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程 f （ x ）
＝0在（1，2）内近似解的过程可得 f （1）＜0， f （1.5）＞0， f
（1.25）＜0，则方程的解所在区间为（ ）
A. （1.25，1.5） B. （1，1.25）
C. （1.5，2） D. 不能确定
解析： 因为 f （1.25）· f （1.5）＜0，故方程 f （ x ）＝0的解所在
区间为（1.25，1.5）.故选A.
3. 函数 f （ x ）＝ x3－9的零点所在的大致区间是（ ）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （1，2） D. （2，3）
解析： 因为函数 f （ x ）＝ x3－9在R上单调递增，
f （2）＝8－9＝－1＜0， f （3）＝27－9＝18＞0，
所以根据零点存在定理，可得函数 f （ x ）＝ x3－9的零点所在的大
致区间是（2，3）.故选D.
4. （多选）以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（ ）
解析： D选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同，因此不能用二分法求零点，而A、B、C选项符合利用二分法求函数零点的条件.故选A、B、C.
5. 已知函数 f （ x ）＝2 x － b 的零点为 x0，且 x0∈（－1，1），那么 b
的取值范围是 .
解析：因为函数 f （ x ）＝2 x － b 的零点为 x0，且 x0∈（－1，1），
所以 f （－1）· f （1）＜0，即（－2－ b ）·（2－ b ）＜0，解得－2
＜ b ＜2，所以 b 的取值范围是（－2，2）.
（－2，2）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 用二分法求如图所示函数 f （ x ）的零点时，不可能求出的零点是
（ ）
A. x1 B. x2
C. x3 D. x4
解析： 观察图象可知：点 x3的附近两旁的函数值都为负值，
∴点 x3不能用二分法求，故选C.
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2. 函数 f （ x ）＝ x2－ 的零点所在的区间为（ ）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （1，2） D. （2，3）
解析： 当 x ＜0时， f （ x ）＞0恒成立，当 x ＞0时， f （ x ）单调
递增. f （1）＝－1＜0， f （2）＝3＞0，根据函数零点存在定理， f
（ x ）的零点所在的区间是（1，2）.故选C.
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3. 若函数 f （ x ）的图象是一条连续不断的曲线，且 f （0）＞0， f
（1）＞0， f （2）＜0，则 y ＝ f （ x ）有唯一零点需满足的一个必
要条件是（ ）
A. f （3）＜0
B. 函数 f （ x ）在定义域内是增函数
C. f （3）＞0
D. 函数 f （ x ）在定义域内是减函数
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解析： ∵ f （0）＞0， f （1）＞0， f
（2）＜0，∴ f （ x ）在（1，2）上一定
有零点 x0，且图象是一条连续不断的曲
线.若要保证只有一个零点，只需 x ＜ x0上
f （ x ）＞0且 x ＞ x0上 f （ x ）＜0，如图所
示，∴ f （ x ）在定义域内不一定单调，
但 f （3）＜0.故选A.
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4. 已知函数 f （ x ）＝ ax2＋2 x ＋2 a ＋1的两个零点分别在（0，1）和
（1，2）内，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因为函数 f （ x ）＝ ax2＋2 x ＋2 a ＋1的两个零点分别在
（0，1）和（1，2）内，所以 f （0） f （1）＜0且 f （2） f （1）＜
0，所以解得－1＜ a ＜－ ，即 a ∈
.故选D.
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5. （多选）对于方程 x3＋ x2－2 x －1＝0，则下列判断中正确的有
（ ）
A. 在（－2，－1）内有实数根
B. 在（－1，0）内有实数根
C. 在（1，2）内有实数根
D. 在（－∞，＋∞）内没有实数根
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解析： 设 f （ x ）＝ x3＋ x2－2 x －1，则 f （－2）＝－1＜0， f
（－1）＝1＞0， f （0）＝－1＜0， f （1）＝－1＜0， f （2）＝7＞
0，根据零点存在定理，则 f （ x ）在（－2，－1），（－1，0），
（1，2）内均有零点.故选A、B、C.
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6. 函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法求出，则 a ， b
的关系是 .
解析：∵函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法，∴函
数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 图象与 x 轴相切.∴Δ＝ a2－4 b ＝0.∴ a2＝4 b .
a2＝4 b
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7. 求函数 f （ x ）＝ x3－ x －1在区间（1，1.5）内的一个零点（精确度
ε＝0.1），用“二分法”逐次计算列表如下：
端（中）点的值 中点函数值符号 零点所在区间 ｜ an － bn ｜
（1，1.5） 0.5
1.25 f （1.25）＜0 （1.25，1.5） 0.25
1.375 f （1.375）＞0 （1.25，1.375） 0.125
1.312 5 f （1.312 5）＜0 （1.312 5，
1.375） 0.062 5
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则函数零点的近似值为
.
解析：∵精确度ε＝0.1，由表可知｜1.375－1.312 5｜＝0.062 5＜
0.1，∴此函数的零点 x0∈[1.312 5，1.375].
∴函数零点的近似值为1.312 5.
1.312 5（答案不唯一，取[1.312 5，1.375]
内的任一值均可）
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8. 已知函数 f （ x ）＝ x2＋ x ＋ a 在区间（0，1）上有零点，则实数 a 的
取值范围是 .
解析：函数 f （ x ）＝ x2＋ x ＋ a 的图象的对称轴方程为 x ＝－ ，故
函数在区间（0，1）上单调递增，再根据函数 f （ x ）在（0，1）上
有零点，可得解得－2＜ a ＜0.
（－2，0）
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9. 已知二次函数 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋4，求下列条件下实数 a 的取
值范围.
（1）零点均大于1；
解：由题可得方程 x2－2 ax ＋4＝0的两根均大于1，结合
二次函数的单调性与零点存在定理，得
解得2≤ a ＜ .
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（2）一个零点大于1，一个零点小于1；
解：由题可得方程 x2－2 ax ＋4＝0的一个根大于1，一个
根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 f （1）
＝5－2 a ＜0，解得 a ＞ .
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（3）一个零点在（0，1）内，另一个零点在（6，8）内.
解：由题可得方程 x2－2 ax ＋4＝0的一个根在（0，1）
内，另一个根在（6，8）内，结合二次函数的单调性与零点
存在性定理，得＜ a ＜ .
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10. 方程｜ x ｜－ ＝0（ a ＞0）的零点有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 至少1个
解析： ｜ x ｜－ ＝0 ｜ x ｜＝ ，令 f
（ x ）＝｜ x ｜， g （ x ）＝ （ a ＞0），作
出两个函数的图象，如图，从图象可以看
出，交点只有1个.故选A.
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11. 已知 f （ x ）是定义在R上的奇函数，当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－4
x ，则方程 f （ x ）＝ x －2解的个数为 .
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解析：当 x ＜0时，－ x ＞0，所以 f （－ x ）＝（－ x ）2＋4 x ，因为
f （ x ）是定义在R上的奇函数，
所以－ f （ x ）＝ f （－ x ）＝ x2＋4 x ，所以 f （ x ）＝－ x2－4 x ，
所以 f （ x ）＝
令 g （ x ）＝ f （ x ）－ x ＋2，
所以 g （ x ）＝
由 y ＝ g （ x ）的图象知， y ＝ g （ x ）有3个零点，所以方程 f
（ x ）＝ x －2解的个数为3.
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12. 已知函数 f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ x －1.若函数 h （ x ）＝ f （ x ）
－λ g （ x ）在区间（2，3）上存在零点，求正实数λ的取值范围.
解：函数 h （ x ）＝ f （ x ）－λ g （ x ）＝ －λ（ x －1），
因为 y ＝ 在区间（2，3）上单调递减，又λ＞0，所以 y ＝－λ
（ x －1）在区间（2，3）上单调递减，所以 h （ x ）在区间（2，
3）上单调递减，若 h （ x ）在区间（2，3）上存在零点，
则 ＜λ＜ .
故λ的取值范围是 .
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13. 用二分法求方程 x3－8＝0在区间（2，3）内的近似解至少经
过 次“二分”后精确度能达到0.01.
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解析：∵区间（2，3）的长度为1，当6次二分后区间长度为 ＝
＞ ＝0.01，不满足精确度要求，当7次二分后区间长度为 ＝
＜ ＝0.01，满足精确度要求，故要至少经过7次二分后精确
度能达到0.01.
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14. 对于函数 f （ x ），若存在 x0，使 f （ x0）＝ x0成立，则称 x0为函数 f
（ x ）的不动点，已知 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ c .
（1）若 f （ x ）的两个不动点为－3，2，求函数 f （ x ）的零点；
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解：由题意知 f （ x ）＝ x 有两根，
即 x2＋（ b －1） x ＋ c ＝0有两根，分别为－3，2.
∴∴
从而 f （ x ）＝ x2＋2 x －6.
由 f （ x ）＝0，得 x1＝－1－ ， x2＝－1＋ .
故 f （ x ）的零点为－1＋ ，－1－ .
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（2）当 c ＝ b2时，函数 f （ x ）没有不动点，求实数 b 的取值
范围.
解：若 c ＝ ，则 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ ，
又 f （ x ）无不动点，即方程 x2＋ bx ＋ ＝ x 无解，
化简得方程 x2＋（ b －1） x ＋ ＝0无解，
∴Δ＝（ b －1）2－ b2＜0，即－2 b ＋1＜0，∴ b ＞ .
故 b 的取值范围是 .
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谢 谢 观 看！第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
1.用二分法求如图所示函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
2.函数f（x）＝x2－的零点所在的区间为（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2，3）
3.若函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0，则y＝f（x）有唯一零点需满足的一个必要条件是（ ）
A.f（3）＜0
B.函数f（x）在定义域内是增函数
C.f（3）＞0
D.函数f（x）在定义域内是减函数
4.已知函数f（x）＝ax2＋2x＋2a＋1的两个零点分别在（0，1）和（1，2）内，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）对于方程x3＋x2－2x－1＝0，则下列判断中正确的有（ ）
A.在（－2，－1）内有实数根
B.在（－1，0）内有实数根
C.在（1，2）内有实数根
D.在（－∞，＋∞）内没有实数根
6.函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 .
7.求函数f（x）＝x3－x－1在区间（1，1.5）内的一个零点（精确度ε＝0.1），用“二分法”逐次计算列表如下：
端（中）点的值 中点函数值符号 零点所在区间 ｜an－bn｜
（1，1.5） 0.5
1.25 f（1.25）＜0 （1.25，1.5） 0.25
1.375 f（1.375）＞0 （1.25，1.375） 0.125
1.312 5 f（1.312 5）＜0 （1.312 5，1.375） 0.062 5
则函数零点的近似值为 .
8.已知函数f（x）＝x2＋x＋a在区间（0，1）上有零点，则实数a的取值范围是 .
9.已知二次函数f（x）＝x2－2ax＋4，求下列条件下实数a的取值范围.
（1）零点均大于1；
（2）一个零点大于1，一个零点小于1；
（3）一个零点在（0，1）内，另一个零点在（6，8）内.
10.方程｜x｜－＝0（a＞0）的零点有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.至少1个
11.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，则方程f（x）＝x－2解的个数为 .
12.已知函数f（x）＝，g（x）＝x－1.若函数h（x）＝f（x）－λg（x）在区间（2，3）上存在零点，求正实数λ的取值范围.
13.用二分法求方程x3－8＝0在区间（2，3）内的近似解至少经过 次“二分”后精确度能达到0.01.
14.对于函数f（x），若存在x0，使f（x0）＝x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点，已知f（x）＝x2＋bx＋c.
（1）若f（x）的两个不动点为－3，2，求函数f（x）的零点；
（2）当c＝b2时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围.
第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
1.C 观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.
2.C 当x＜0时，f（x）＞0恒成立，当x＞0时，f（x）单调递增.f（1）＝－1＜0，f（2）＝3＞0，根据函数零点存在定理，f（x）的零点所在的区间是（1，2）.故选C.
3.A ∵f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0，∴f（x）在（1，2）上一定有零点x0，且图象是一条连续不断的曲线.若要保证只有一个零点，只需x＜x0上f（x）＞0且x＞x0上f（x）＜0，如图所示，∴f（x）在定义域内不一定单调，但f（3）＜0.故选A.
4.D 因为函数f（x）＝ax2＋2x＋2a＋1的两个零点分别在（0，1）和（1，2）内，所以f（0）f（1）＜0且f（2）f（1）＜0，所以解得－1＜a＜－，即a∈.故选D.
5.ABC 设f（x）＝x3＋x2－2x－1，则f（－2）＝－1＜0，f（－1）＝1＞0，f（0）＝－1＜0，f（1）＝－1＜0，f（2）＝7＞0，根据零点存在定理，则f（x）在（－2，－1），（－1，0），（1，2）内均有零点.故选A、B、C.
6.a2＝4b 解析：∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f（x）＝x2＋ax＋b图象与x轴相切.∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
7.1.312 5（答案不唯一，取[1.312 5，1.375]内的任一值均可）解析：∵精确度ε＝0.1，由表可知｜1.375－1.312 5｜＝0.062 5＜0.1，∴此函数的零点x0∈[1.312 5，1.375].
∴函数零点的近似值为1.312 5.
8.（－2，0） 解析：函数f（x）＝x2＋x＋a的图象的对称轴方程为x＝－，故函数在区间（0，1）上单调递增，再根据函数f（x）在（0，1）上有零点，可得解得－2＜a＜0.
9.解：（1）由题可得方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得2≤a＜.
（2）由题可得方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f（1）＝5－2a＜0，解得a＞.
（3）由题可得方程x2－2ax＋4＝0的一个根在（0，1）内，另一个根在（6，8）内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理，得解得＜a＜.
10.A ｜x｜－＝0 ｜x｜＝，令f（x）＝｜x｜，g（x）＝（a＞0），作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个.故选A.
11.3 解析：当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）＝（－x）2＋4x，因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以－f（x）＝f（－x）＝x2＋4x，所以f（x）＝－x2－4x，
所以f（x）＝
令g（x）＝f（x）－x＋2，
所以g（x）＝
由y＝g（x）的图象知，y＝g（x）有3个零点，所以方程f（x）＝x－2解的个数为3.
12.解：函数h（x）＝f（x）－λg（x）＝－λ（x－1），
因为y＝在区间（2，3）上单调递减，又λ＞0，所以y＝－λ（x－1）在区间（2，3）上单调递减，所以h（x）在区间（2，3）上单调递减，若h（x）在区间（2，3）上存在零点，则 ＜λ＜.
故λ的取值范围是.
13.7 解析：∵区间（2，3）的长度为1，当6次二分后区间长度为＝＞＝0.01，不满足精确度要求，当7次二分后区间长度为＝＜＝0.01，满足精确度要求，故要至少经过7次二分后精确度能达到0.01.
14.解：（1）由题意知f（x）＝x有两根，
即x2＋（b－1）x＋c＝0有两根，分别为－3，2.
∴∴
从而f（x）＝x2＋2x－6.
由f（x）＝0，得x1＝－1－，x2＝－1＋.
故f（x）的零点为－1＋，－1－.
（2）若c＝，则f（x）＝x2＋bx＋，
又f（x）无不动点，即方程x2＋bx＋＝x无解，
化简得方程x2＋（b－1）x＋＝0无解，
∴Δ＝（b－1）2－b2＜0，即－2b＋1＜0，∴b＞.
故b的取值范围是.
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