3.3 函数的应用（一）
1.某种药物服用x小时后在血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f（x）的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（ ）
A.上午10：00 B.中午12：00
C.下午4：00 D.下午6：00
2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）.当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为（ ）
A.x＝15，y＝12 B.x＝12，y＝15
C.x＝14，y＝10 D.x＝10，y＝14
3.4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较（ ）
A.2个茶杯贵 B.3包茶叶贵
C.两者相同 D.无法确定
4.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为（ ）
A.200吨 B.300吨
C.400吨 D.600吨
5.（多选）如图①是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.
则下列说法中，正确的有（ ）
A.图②的建议：提高成本，并提高票价
B.图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C.图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D.图③的建议：提高票价，并降低成本
6.某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）＝已知某家庭2024年前三个月的煤气费如下表：
月份 用气量 煤气费
一月份 4 m3 4元
二月份 25 m3 14元
三月份 35 m3 19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为 元.
7.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位，成本增加1万元，又知总收入R是生产数量Q的函数：R（Q）＝4Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是 万元，这时产品的生产数量为 .（总利润＝总收入－成本）
8.某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处理池，如图所示.已知处理池的外墙造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若要使污水处理池的总造价最低，则污水处理池的长和宽分别为 .
9.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图所示）是边长为1 m的正方形ABCD，点E，F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，△CFE，△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成.制成△CFE，△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元.问点E在什么位置时，每块地砖所需的材料费用最省？
10.中央电视台综合频道每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治评论性较强的一个节目，坚持用“事实说话”，深受广大人民群众的喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”.即晚上7点半到8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（ ）
A.7点36分 B.7点38分
C.7点39分 D.7点40分
11.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
12.某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且R（x）＝通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出今年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
3.3 函数的应用（一）
1.C 由图象知：当0≤x≤4时，设直线y＝f（x）＝k1x，把点（4，320）代入得k1＝80，所以y＝80x；
当4＜x≤20时，设直线y＝f（x）＝k2x＋b，将点（4，320）和（20，0）代入得
解得此时y＝f（x）＝－20x＋400，所以y＝f（x）＝
当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4，
当4＜x≤20时，令y＝－20x＋400≥240，解得：4＜x≤8，所以3≤x≤8，
故第二次服药最迟的时间应为第一次服药后8个小时，也即是下午4：00，故选C.
2.A 结合题图，可得＝，得y＝24－，矩形铁片的面积S＝xy＝x＝－＋24x，所以当x＝－＝15时，S最大，此时y＝24－×15＝12，故选A.
3.A 设茶杯单价为x元，茶叶每包为y元，则4x＋5y＜22且6x＋3y＞24，则原问题可转化为比较t＝2x－3y与0的大小.
设4x＋5y＝m，6x＋3y＝n，
则2x＝，3y＝，
故t＝2x－3y＝＞＝0，
所以2个茶杯贵.
4.C 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低.故选C.
5.BC 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；
由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确.
6.11.5 解析：若0＜A＜4，则此方程组无解；
若A≥25，则此方程组无解；故4≤C＜25.
根据一月份用气量4 m3，煤气费4元，可知f（4）＝C＝4，由解得A＝5，B＝，所以f（x）＝所以f（20）＝4＋（20－5）＝11.5.
7.250 300 解析：由L（Q）＝4Q－Q2－（200＋Q）＝－（Q－300）2＋250，则当Q＝300时，总利润L（Q）取得最大值250万元.
8.30 m， m 解析：设污水池的宽为x m，则长为 m，总造价为y元，则y＝200＋2×250x＋80×400＝900x＋＋32 000≥2＋32 000＝56 000.
当且仅当900x＝，即x＝时，取等号，所以要使污水处理池的总造价最低，则污水处理池的长和宽分别为30 m， m.
9.解：设CE＝x m，0＜x＜1，则BE＝（1－x）m，每块地砖所需的材料费用为W，则W＝x2×30＋×1×（1－x）×20＋×10＝10x2－5x＋15＝10＋.
当x＝＝0.25时，W有最小值，即费用最省.
故当点E与点C相距0.25 m时，每块地砖所需的材料费用最省.
10.B 如图，设7点t分（30＜t＜60）时针OA与分针OB重合.在7点时，时针OC与分针OD所夹的角为210°，时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，则分针从OD到达OB需旋转6°t，时针从OC到达OA需旋转0.5°t，于是6°t＝0.5°t＋210°，解得t＝38≈38（分）.故选B.
11.0.5 解析：若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系（图略），则抛物线的对称轴为直线x＝1.
设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5，
当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2.
∴y＝2（x－1）2＋0.5.
∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米.
12.解：（1）当0＜x＜40时，W（x）＝700x－（10x2＋100x）－300＝－10x2＋600x－300；
当x≥40时，W（x）＝700x－－300＝－＋9 150，
∴W（x）＝
（2）若0＜x＜40，W（x）＝－10（x－30）2＋8 700，
当x＝30时，W（x）max＝8 700万元.
若x≥40，W（x）＝－＋9 150≤9 150－2＝8 950，
当且仅当x＝时，即x＝100时取等号，
∴W（x）max＝8 950万元.
∴今年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元.
3 / 33.3 函数的应用（一）
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具 数学建模、数学运算
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律 数学建模、数学运算
随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
年份 2021 2022 2023
销量/万辆 8 18 30
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2024年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标……
【问题】 （1）在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？
（2）你认为该目标能够实现吗？
知识点 常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
分段函数模型 f（x）＝
提醒 求解函数应用题的程序
1.某物体一天中的温度T与时间t满足函数关系：T（t）＝t3－3t＋60，时间的单位是小时，
温度的单位是℃，t＝0表示中午12：00，其前t值为负，其后t值为正，则上午8时的温度是（ ）
A.8 ℃ B.12 ℃
C.58 ℃ D.18 ℃
2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点.若甲、乙两车的S － t图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是（ ）
A.丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B.丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C.丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D.丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
3.某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元.
题型一 一次函数模型的应用
【例1】 （链接教科书第129页例2）某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？
尝试解答
通性通法
利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点
（1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；
（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.
【跟踪训练】
若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（ ）
题型二 二次函数模型的应用
【例2】 （链接教科书第129页例3）渔场中鱼群的最大养殖量为m（m＞0），为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）.
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值.
尝试解答
通性通法
二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题.
【跟踪训练】
把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A. cm2 B.4 cm2
C.3 cm2 D.2 cm2
题型三 对勾函数模型的应用
【例3】 （链接教科书第130页例5）某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造一个平面图形为矩形，占地面积为126 m2的厂房，工程条件是：①建1 m新墙的费用为a元；②修1 m旧墙的费用为元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为元.经讨论有两种方案：（1）利用旧墙的一段x m（x＜14）为矩形厂房的一面；（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙总费用最省？（1）（2）两种方案哪个更好？
尝试解答
通性通法
形如y＝x＋（a＞0）的函数模型，我们称之为“对勾函数”模型，它是一个奇函数，在（－∞，－ ]和[，＋∞）上是增函数，在[－，0）和（0， ]上是减函数，应用此函数模型求解最值时，要注意自变量的最值范围及取得最值的条件.
【跟踪训练】
单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速（m/s）.当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A.135 B.149
C.165 D.195
题型四 分段函数模型的应用
【例4】 （链接教科书第128页例1）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）＝x2＋x（万元）.在年产量不小于8万件时，W（x）＝6x＋－38（万元）.每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
尝试解答
通性通法
1.现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
2.分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
【跟踪训练】
国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14％纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2％纳税，已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为（ ）
A.2 800元 B.3 000元
C.3 800元 D.3 818元
1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为（ ）
A.y＝3x（x≥0） B.y＝3x
C.y＝x（x≥0） D.y＝x
2.某工厂八年来某种产品总产量C与时间t的函数关系如图所示.下列说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度保持稳定；
③第三年后产量增长的速度保持稳定；
④第三年后，年产量保持不变；
⑤第三年后，这种产品停止生产.
其中说法正确的是（ ）
A.②⑤ B.①③
C.①④ D.②④
3.某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收0.10元（不满一分钟按一
分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费（ ）
A.1.00元 B.0.90元
C.1.20元 D.0.80元
4.（多选）水滴进玻璃容器，如图所示（设单位时间内进水量相同），观察水的高度随时间的变化，下列图象与容器匹配的有（ ）
A.a—（3） B.b—（2）
C.c—（1） D.d—（4）
5.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为 元.
3.3 函数的应用（一）
【基础知识·重落实】
知识点
自我诊断
1.A 求上午8时的温度，即求t＝－4时的值，所以T（－4）＝（－4）3－3×（－4）＋60＝8.故选A.
2.A 由图象可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.
3.60 解析：设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝（50＋x－45）（50－2x）＝－2x2＋40x＋250
＝－2（x－10）2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共（20x＋10×250）份；每月退回报社报纸共10×（x－250）份.
依题意得y＝（0.40－0.24）×（20x＋10×250）－（0.24－0.08）×10（x－250）.
即y＝0.16（20x＋2 500）－0.16（10x－2 500），
化简得y＝1.6x＋800（其中250≤x≤400）.
∵此一次函数（y＝kx＋b，k≠0）的k＝1.6＞0，
∴y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440（元）.
∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1 440元.
跟踪训练
B 依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系，又∵函数图象必过两端点（0，20），（4，0），且该图象应为一条线段.故选B.
【例2】 解：（1）根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是y＝kx·，0≤x＜m.
（2）由（1）知，y＝kx·＝－x2＋kx＝－·＋，0≤x＜m，则当x＝时，y取得最大值，ymax＝.
所以鱼群年增长量的最大值为.
跟踪训练
D 设两段长分别为x cm，（12－x）cm，其中0＜x＜12，则这两个正三角形的边长分别为 cm， cm，面积之和为S（x）＝＝，由二次函数的性质可知，当x＝－＝6时，S（x）取得最小值，所以S（x）min＝S（6）＝2 cm2.故选D.
【例3】 解：易知矩形厂房中与旧墙相邻的一面的边长为 m.设建墙总费用为y元.
（1）利用旧墙的一段x m（x＜14）为矩形厂房的一面，则修旧墙的费用为x·元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为（14－x）·元，
其余建新墙的费用为a元.
故总费用为y＝·a＋·a＋（2x＋－14）·a＝a＝7a（0＜x＜14）.
∴y≥7a＝35a，
当且仅当＝，即x＝12时，y取得最小值，ymin＝35a.
（2）若矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，则修旧墙的费用为·14＝a（元），建新墙的费用为（ 2x＋－14）a元，
故总费用为y＝a＋a＝a＋2a（x＋－7）（x≥14）.
令f（x）＝x＋（x≥14），设14≤x2＜x1，
则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1－x2）.
∵14≤x2＜x1，∴x1－x2＞0，x1x2＞126.
从而＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）＝x＋在[14，＋∞）上为增函数.
故当x＝14时，y取得最小值，ymin＝a＋2a（14＋－7）＝35.5a.
综上可知，采用方案（1），利用12 m的旧墙为矩形厂房的一面时，建墙总费用最省，为35a元.
跟踪训练
B 由题意得，N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.
【例4】 解：（1）因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得：当0＜x＜8时，
L（x）＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L（x）＝5x－－3＝35－.
所以L（x）＝
（2）当0＜x＜8时，L（x）＝－（x－6）2＋9.
此时，当x＝6时，L（x）取得最大值L（6）＝9万元，
当x≥8时，L（x）＝35－≤35－2＝35－20＝15，
当且仅当x＝时等号成立，
即x＝10时，L（x）取得最大值15万元.
因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.
跟踪训练
C 由题意，知纳税额y（单位：元）与稿费（扣税前）x（单位：元）之间的函数关系式为
y＝，而此人纳税420元.
∴800＜x≤4 000时，令（x－800）×0.14＝420，解得x＝3 800，
x＞4 000时，令0.112x＝420，解得x＝3 750（舍去），故这个人应得稿费（扣税前）为3 800元.故选C.
随堂检测
1.A 由题意设y＝kx（k≠0），将（36，108）代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x≥0.
2.A 观察函数图象知，在区间[0，3]上图象是线段，直线上升，表明年产量增长的速度保持不变，②正确；在区间（3，8]上图象是线段，却是水平的，表明总产量停留在第三年末的总产量上未变，第三年后的年产量为0，即产品停止生产，⑤正确.故选A.
3.B y＝0.2＋0.1×（[x]－3）（[x]是不小于x的最小整数，x＞3），令x＝，故[x]＝10，则y＝0.9.
4.AB 图a和图b的水面上升速度是匀速的，且a上升得快，因此a—（3），b—（2）.图c的水面开始是缓慢上升，后来上升得快，而图d的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此c—（4），d—（1）.故选A、B.
5.4 050 解析：设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益：
y＝（x－150）×－50×（x－3 000）＝（x－150）－x＋3 000＝－＋162x－21 000＝－（x－4 050）2＋307 050，∴当x＝4 050时，f（x）最大，最大值为f（4 050）＝307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元.
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3.3 函数的应用（一）
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律
的重要数学语言和工具 数学建模、数学
运算
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实
问题的变化规律 数学建模、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下
面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
年份 2021 2022 2023
销量/万辆 8 18 30
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2024年初，该汽车销售
公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标……
【问题】 （1）在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用
什么方式获取直观信息？
（2）你认为该目标能够实现吗？
知识点 常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ， b 为常数， a ≠0）
二次函数模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 为常数， a ≠0）
分段函数模型 f （ x ）＝
提醒 求解函数应用题的程序
1. 某物体一天中的温度 T 与时间 t 满足函数关系： T （ t ）＝ t3－3 t ＋
60，时间的单位是小时，温度的单位是℃， t ＝0表示中午12：00，
其前 t 值为负，其后 t 值为正，则上午8时的温度是（ ）
A. 8 ℃ B. 12 ℃
C. 58 ℃ D. 18 ℃
解析： 求上午8时的温度，即求 t ＝－4时的值，所以 T （－4）
＝（－4）3－3×（－4）＋60＝8.故选A.
2. 甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，
丙车最先到达终点，丁车最后到达终点.若甲、乙两车的 S － t 图象
如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是（ ）
A. 丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B. 丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C. 丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D. 丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
解析： 由图象可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路
程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.
3. 某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售
单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的
最佳售价应为每个 元.
解析：设涨价 x 元，销售的利润为 y 元，
则 y ＝（50＋ x －45）（50－2 x ）＝－2 x2＋40 x ＋250
＝－2（ x －10）2＋450，
所以当 x ＝10，即销售价为60元时， y 取得最大值.
60
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 一次函数模型的应用
【例1】 （链接教科书第129页例2）某报刊亭从报社买进报纸的价
格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每
份0.08元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）里，有20天每天可
卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸
份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才
能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？
解：设每天从报社买进 x 份（250≤ x ≤400）报纸；每月所获利润
是 y 元，则每月售出报纸共（20 x ＋10×250）份；每月退回报社
报纸共10×（ x －250）份.
依题意得 y ＝（0.40－0.24）×（20 x ＋10×250）－（0.24－
0.08）×10（ x －250）.
即 y ＝0.16（20 x ＋2 500）－0.16（10 x －2 500），
化简得 y ＝1.6 x ＋800（其中250≤ x ≤400）.
∵此一次函数（ y ＝ kx ＋ b ， k ≠0）的 k ＝1.6＞0，
∴ y 是一个单调增函数，再由250≤ x ≤400知当 x ＝400时， y 取得
最大值，此时 y ＝1.6×400＋800＝1 440（元）.
∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1
440元.
通性通法
利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点
（1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；
（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负
时，一次函数为减函数.
【跟踪训练】
若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度 h
（cm）与燃烧时间 t （小时）的函数关系用图象表示为（ ）
解析： 依题设可知，蜡烛高度 h 与燃烧时间 t 之间构成一次函数关
系，又∵函数图象必过两端点（0，20），（4，0），且该图象应为
一条线段.故选B.
题型二 二次函数模型的应用
【例2】 （链接教科书第129页例3）渔场中鱼群的最大养殖量为 m
（ m ＞0），为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量 x 小于 m ，以便留
出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率（空闲
率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为 k （ k ＞
0）.
（1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出该函数的定义域；
解：根据题意知，空闲率是 ，故 y 关于 x 的函数关系式
是 y ＝ kx · ，0≤ x ＜ m .
（2）求鱼群年增长量的最大值.
解：由（1）知， y ＝ kx · ＝－ x2＋ kx ＝－ ·
＋ ，0≤ x ＜ m ，则当 x ＝ 时， y 取得最大值， ymax＝ .
所以鱼群年增长量的最大值为 .
通性通法
二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等
问题，是高考考查的重点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用
配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而
解决实际问题.
【跟踪训练】
把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两
个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A. cm2 B. 4 cm2
C. 3 cm2 D. 2 cm2
解析： 设两段长分别为 x cm，（12－ x ）cm，其中0＜ x ＜12，则
这两个正三角形的边长分别为 cm， cm，面积之和为 S （ x ）＝
［ ＋ ］＝ ，由二次函数的性质可
知，当 x ＝－ ＝6时， S （ x ）取得最小值，所以 S （ x ）min＝ S
（6）＝2 cm2. 故选D.
题型三 对勾函数模型的应用
【例3】 （链接教科书第130页例5）某工厂有一段旧墙长14 m，
现准备利用这段旧墙为一面建造一个平面图形为矩形，占地面积
为126 m2的厂房，工程条件是：①建1 m新墙的费用为 a 元；②修
1 m旧墙的费用为 元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙
的费用为 元.经讨论有两种方案：（1）利用旧墙的一段 x m（ x
＜14）为矩形厂房的一面；（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长 x
≥14.问如何利用旧墙，即 x 为多少米时，建墙总费用最省？（1）
（2）两种方案哪个更好？
解：易知矩形厂房中与旧墙相邻的一面的边长为 m.设建墙总费用
为 y 元.
（1）利用旧墙的一段 x m（ x ＜14）为矩形厂房的一面，则修旧
墙的费用为 x · 元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为
（14－ x ）· 元，
其余建新墙的费用为 a 元.
故总费用为 y ＝ · a ＋ · a ＋（2 x ＋ －14）· a ＝ a
＝7 a （0＜ x ＜14）.
∴ y ≥7 a ＝35 a ，
当且仅当 ＝ ，即 x ＝12时， y 取得最小值， ymin＝35 a .
（2）若矩形厂房利用旧墙的一面边长 x ≥14，
则修旧墙的费用为 ·14＝ a （元），
建新墙的费用为（ 2 x ＋ －14） a 元，
故总费用为 y ＝ a ＋ a ＝ a ＋2 a （ x ＋ －7）（ x
≥14）.
令 f （ x ）＝ x ＋ （ x ≥14），
设14≤ x2＜ x1，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝（ x1－ x2）
.
∵14≤ x2＜ x1，
∴ x1－ x2＞0， x1 x2＞126.
从而 ＞0，
∴ f （ x1）＞ f （ x2），
∴函数 f （ x ）＝ x ＋ 在[14，＋∞）上为增函数.
故当 x ＝14时， y 取得最小值，
ymin＝ a ＋2 a （14＋ －7）＝35.5 a .
综上可知，采用方案（1），利用12 m的旧墙为矩形厂房的一面时，
建墙总费用最省，为35 a 元.
通性通法
形如 y ＝ x ＋ （ a ＞0）的函数模型，我们称之为“对勾函数”模
型，它是一个奇函数，在（－∞，－ ]和[ ，＋∞）上是增函
数，在[－ ，0）和（0， ]上是减函数，应用此函数模型求解最
值时，要注意自变量的最值范围及取得最值的条件.
【跟踪训练】
单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道
路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时
通过的车辆数 N 满足关系 N ＝ ，其中 d0为安全距离， v 为
车速（m/s）.当安全距离 d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的
最大值约为（ ）
A. 135 B. 149
C. 165 D. 195
解析： 由题意得， N ＝ ＝ ≤
≈149，当且仅当0.3 v ＝ ，即 v ＝10时取“＝”，所以该道路一小时
“道路容量”的最大值约为149.故选B.
题型四 分段函数模型的应用
【例4】 （链接教科书第128页例1）小王大学毕业后，决定利用所
学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年
固定成本为3万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 W （ x ）万
元，在年产量不足8万件时， W （ x ）＝ x2＋ x （万元）.在年产量不
小于8万件时， W （ x ）＝6 x ＋ －38（万元）.每件产品售价为5元.
通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.
（1）写出年利润 L （ x ）（万元）关于年产量 x （万件）的函数解析
式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
解：因为每件商品售价为5元，则 x 万件商品销售收入为5 x
万元，依题意得：当0＜ x ＜8时，
L （ x ）＝5 x － －3＝－ x2＋4 x －3；
当 x ≥8时， L （ x ）＝5 x － －3＝35－ .
所以 L （ x ）＝
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最
大？最大利润是多少？
解：当0＜ x ＜8时， L （ x ）＝－ （ x －6）2＋9.
此时，当 x ＝6时， L （ x ）取得最大值 L （6）＝9万元，
当 x ≥8时， L （ x ）＝35－ ≤35－2 ＝35－20＝
15，
当且仅当 x ＝ 时等号成立，
即 x ＝10时， L （ x ）取得最大值15万元.
因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产
中所获利润最大，最大利润为15万元.
通性通法
1. 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个
人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
2. 分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其
看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，
要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
【跟踪训练】
国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不
超过4 000元的按超过800元部分的14％纳税；超过4 000元的按全部稿
酬的11.2％纳税，已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得
稿费（扣税前）为（ ）
A. 2 800元 B. 3 000元
C. 3 800元 D. 3 818元
解析： 由题意，知纳税额 y （单位：元）与稿费（扣税前） x （单
位：元）之间的函数关系式为
y ＝，而此人纳税420元.
∴800＜ x ≤4 000时，令（ x －800）×0.14＝420，解得 x ＝3 800，
x ＞4 000时，令0.112 x ＝420，解得 x ＝3 750（舍去），故这个人应得
稿费（扣税前）为3 800元.故选C.
1. 随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下
降，且含氧量 y （g/m3）与大气压强 x （kPa）成正比例函数关系.当
x ＝36 kPa时， y ＝108 g/m3，则 y 与 x 的函数关系式为（ ）
A. y ＝3 x （ x ≥0） B. y ＝3 x
C. y ＝ x （ x ≥0） D. y ＝ x
解析： 由题意设 y ＝ kx （ k ≠0），将（36，108）代入解析式可
得 k ＝3，故 y ＝3 x ，考虑到含氧量不可能为负，可知 x ≥0.
2. 某工厂八年来某种产品总产量 C 与时间 t 的函数关系如图所示.下列
说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度保持稳定；
③第三年后产量增长的速度保持稳定；
④第三年后，年产量保持不变；
⑤第三年后，这种产品停止生产.
其中说法正确的是（ ）
A. ②⑤ B. ①③ C. ①④ D. ②④
解析： 观察函数图象知，在区间[0，3]上图象是线段，直线上
升，表明年产量增长的速度保持不变，②正确；在区间（3，8]上
图象是线段，却是水平的，表明总产量停留在第三年末的总产量上
未变，第三年后的年产量为0，即产品停止生产，⑤正确.故选A.
3. 某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元（不满三分钟按三分
钟计算），以后每加一分钟增收0.10元（不满一分钟按一分钟计
算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费（ ）
A. 1.00元 B. 0.90元
C. 1.20元 D. 0.80元
解析： y ＝0.2＋0.1×（[ x ]－3）（[ x ]是不小于 x 的最小整数，
x ＞3），令 x ＝ ，故[ x ]＝10，则 y ＝0.9.
4. （多选）水滴进玻璃容器，如图所示（设单位时间内进水量相同），观察水的高度随时间的变化，下列图象与容器匹配的有（ ）
A. a—（3） B. b—（2）
C. c—（1） D. d—（4）
解析： 图a和图b的水面上升速度是匀速的，且a上升得快，因
此a—（3），b—（2）.图c的水面开始是缓慢上升，后来上升得
快，而图d的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此
c—（4），d—（1）.故选A、B.
5. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部
租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.
租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维
护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定
为 元.
4 050
解析：设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益：
y ＝（ x －150）× －50× （ x －3 000）
＝（ x －150） － x ＋3 000＝－ ＋162 x －21 000＝－
（ x －4 050）2＋307 050，∴当 x ＝4 050时， f （ x ）最大，最大值
为 f （4 050）＝307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁
公司的月收益最大，最大月收益是307 050元.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某种药物服用 x 小时后在血液中的残留量为 y 毫克，如图所示为函数
y ＝ f （ x ）的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有
效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟
的时间应为（ ）
A. 上午10：00 B. 中午12：00
C. 下午4：00 D. 下午6：00
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解析： 由图象知：当0≤ x ≤4时，设直线 y ＝ f （ x ）＝ k1 x ，把
点（4，320）代入得 k1＝80，所以 y ＝80 x ；
当4＜ x ≤20时，设直线 y ＝ f （ x ）＝ k2 x ＋ b ，将点（4，320）和
（20，0）代入得
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解得此时 y ＝ f （ x ）＝－20 x ＋400，所以 y ＝ f （ x ）
＝
当0≤ x ≤4时，令80 x ≥240，得3≤ x ≤4，
当4＜ x ≤20时，令 y ＝－20 x ＋400≥240，解得：4＜ x ≤8，所以
3≤ x ≤8，
故第二次服药最迟的时间应为第一次服药后8个小时，也即是下午
4：00，故选C.
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2. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从
这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）.当截取的矩形面积最大
时，矩形两边的长 x ， y 应为（ ）
A. x ＝15， y ＝12 B. x ＝12， y ＝15
C. x ＝14， y ＝10 D. x ＝10， y ＝14
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解析： 结合题图，可得 ＝ ，得 y ＝24－ ，矩形铁片的
面积 S ＝ xy ＝ x ＝－ ＋24 x ，所以当 x ＝－ ＝15
时， S 最大，此时 y ＝24－ ×15＝12，故选A.
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3.4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格
之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较（ ）
A. 2个茶杯贵 B. 3包茶叶贵
C. 两者相同 D. 无法确定
解析： 设茶杯单价为 x 元，茶叶每包为 y 元，则4 x ＋5 y ＜22且6 x
＋3 y ＞24，则原问题可转化为比较 t ＝2 x －3 y 与0的大小.
设4 x ＋5 y ＝ m ，6 x ＋3 y ＝ n ，则2 x ＝ ，3 y ＝ ，故 t ＝2
x －3 y ＝ ＞ ＝0，所以2个茶杯贵.
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4. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二
氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少
为400吨，最多为600吨，月处理成本 y （元）与月处理量 x （吨）之
间的函数关系可近似地表示为 y ＝ x2－200 x ＋80 000，为使每吨的
平均处理成本最低，该单位每月处理量应为（ ）
A. 200吨 B. 300吨
C. 400吨 D. 600吨
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解析： 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 ＝ x ＋
－200≥2 －200＝200，当且仅当 x ＝ ，即 x
＝400时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的
平均处理成本最低.故选C.
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5. （多选）如图①是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收
入与付出成本的差） y 与乘客量 x 之间关系的图象.由于目前该条公
交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.
则下列说法中，正确的有（ ）
A. 图②的建议：提高成本，并提高票价
B. 图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C. 图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D. 图③的建议：提高票价，并降低成本
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解析： 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上
平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议
是降低成本而保持票价不变，故B正确；
由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角
变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议
是提高票价而保持成本不变，故C正确.
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6. 某市家庭煤气的使用量 x （m3）和煤气费 f （ x ）（元）满足关系 f
（ x ）＝已知某家庭2024年前三个月的煤气
费如下表：
月份 用气量 煤气费
一月份 4 m3 4元
二月份 25 m3 14元
三月份 35 m3 19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为 元.
11.5
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解析：若0＜ A ＜4，则此方程组无解；
若 A ≥25，则此方程组无解；
故4≤ C ＜25.
根据一月份用气量4 m3，煤气费4元，
可知 f （4）＝ C ＝4，
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由
解得 A ＝5， B ＝ ，所以 f （ x ）＝
所以 f （20）＝4＋ （20－5）＝11.5.
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7. 某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一
单位，成本增加1万元，又知总收入 R 是生产数量 Q 的函数： R
（ Q ）＝4 Q － Q2，则总利润 L （ Q ）的最大值是 万元，
这时产品的生产数量为 .（总利润＝总收入－成本）
解析：由 L （ Q ）＝4 Q － Q2－（200＋ Q ）＝－ （ Q －300）
2＋250，则当 Q ＝300时，总利润 L （ Q ）取得最大值250万元.
250
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8. 某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处
理池，如图所示.已知处理池的外墙造价为每米200元，中间两条隔
墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元（池壁的厚度忽略
不计，且污水处理池无盖）.若要使污水处理池的总造价最低，则污
水处理池的长和宽分别为 .
30 m， m
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解析：设污水池的宽为 x m，则长为 m，总造价为 y 元，则 y ＝
200 ＋2×250 x ＋80×400＝900 x ＋ ＋32 000≥2
＋32 000＝56 000.
当且仅当900 x ＝ ，即 x ＝ 时，取等号，所以要使污水处理
池的总造价最低，则污水处理池的长和宽分别为30 m， m.
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9. 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图所示）是边长为1 m的正方
形 ABCD ，点 E ， F 分别在边 BC 和 CD 上，且 CE ＝ CF ，△ CFE ，
△ ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成.制成△ CFE ，△ ABE 和四
边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元.问
点 E 在什么位置时，每块地砖所需的材料费用最省？
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解：设 CE ＝ x m，0＜ x ＜1，则 BE ＝（1－ x ）m，每块地砖所需的
材料费用为 W ，则 W ＝ x2×30＋ ×1×（1－ x ）×20＋ ×10
＝10 x2－5 x ＋15＝10 ＋ .
当 x ＝ ＝0.25时， W 有最小值，即费用最省.
故当点 E 与点 C 相距0.25 m时，每块地砖所需的材料费用最省.
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10. 中央电视台综合频道每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治评论
性较强的一个节目，坚持用“事实说话”，深受广大人民群众的
喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”.即
晚上7点半到8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与
分针重合的时刻，高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的
“焦点”，则这个时刻大约是（ ）
A. 7点36分 B. 7点38分
C. 7点39分 D. 7点40分
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解析： 如图，设7点 t 分（30＜ t ＜60）时针
OA 与分针 OB 重合.在7点时，时针 OC 与分针 OD
所夹的角为210°，时针每分钟转0.5°，分针每分
钟转6°，则分针从 OD 到达 OB 需旋转6° t ，时针
从 OC 到达 OA 需旋转0.5° t ，于是6° t ＝0.5° t ＋
210°，解得 t ＝38 ≈38（分）.故选B.
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11. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做
了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下
垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好
接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
0.5
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解析：若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系（图略），则
抛物线的对称轴为直线 x ＝1.
设抛物线方程为 y ＝ ax2－2 ax ＋2.5，
当 x ＝0.5时， y ＝0.25 a － a ＋2.5＝1，
解得 a ＝2.
∴ y ＝2（ x －1）2＋0.5.
∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米.
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12. 某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新
手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，
每生产 x （千部）手机，需另投入成本 R （ x ）万元，且 R （ x ）＝
通过市场调研知，每部手机售价
0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出今年的利润 W （ x ）（万元）关于年产量 x （千部）的
函数关系式（利润＝销售额－成本）；
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解：当0＜ x ＜40时， W （ x ）＝700 x －（10 x2＋100
x ）－300＝－10 x2＋600 x －300；
当 x ≥40时， W （ x ）＝700 x －（ 701 x ＋ －9 450）－
300＝－ ＋9 150，
∴ W （ x ）＝
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（2）今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润
是多少？
解：若0＜ x ＜40， W （ x ）＝－10（ x －30）2＋8 700，
当 x ＝30时， W （ x ）max＝8 700万元.
若 x ≥40， W （ x ）＝－ ＋9 150≤9 150－2
＝8 950，
当且仅当 x ＝ 时，即 x ＝100时取等号，
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∴ W （ x ）max＝8 950万元.
∴今年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利
润是8 950万元.
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谢 谢 观 看！
