一、数学运算
数学运算核心素养在本章中主要体现在求函数的定义域、值域、解析式等问题中.
培优一 函数的定义域问题
【例1】 （1）函数f（x）＝＋（3x－1）0的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.∪
（2）已知函数y＝f（x＋1）的定义域是[－2，3]，则y＝f（2x－1）的定义域是（ ）
A. B.[－1，4]
C.[－5，5] D.[－3，7]
（3）函数f（x）＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围为 .
尝试解答
培优二 求函数值（值域）
【例2】 （1）已知函数f（x）＝则f的值为（ ）
A.2 B.
C.5 D.
（2）已知函数f（x）＝的定义域与值域均为[0，4]，则a＝（ ）
A.－4 B.－2
C.－1 D.1
（3）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）＝－f（x＋2），当x∈[0，2]时，f（x）＝－x2＋2x，则函数f（x）在[－2，6]上的值域为（ ）
A.[0，1] B.
C.[－2，0] D.[－2，4]
尝试解答
培优三 求函数的解析式
【例3】 （1）已知二次函数f（x）满足f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）满足2f（x）＋f＝3x，求f（x）的解析式.
尝试解答
二、直观想象
直观想象在本章中主要体现在函数图象的应用中.
培优四 利用函数图象求最值
【例4】 对任意x∈R，函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的最大者，求f（x）的最小值.
尝试解答
培优五 利用图象解不等式
【例5】 已知函数f（x）＝则满足不等式f（1－x）＞f（2x）的x的取值范围是 .
尝试解答
培优六 利用图象研究函数零点
【例6】 试讨论函数f（x）＝x2－2｜x｜－a－1（a∈R）的零点的个数.
尝试解答
三、逻辑推理
函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，对于某些数学问题，通过函数的单调性或奇偶性可将函数值之间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，很好地培养了学生逻辑推理的核心素养.
培优七 函数单调性与奇偶性的综合问题
【例7】 （1）已知偶函数f（x）的图象经过点（－1，－3），且当0≤a＜b时，不等式（f（b）－f（a））（b－a）＜0恒成立，则使得f（x－2）＋3＜0成立的x取值范围为（ ）
A.（3，＋∞） B.（1，3）
C.（－∞，1）∪（3，＋∞） D.[1，3]
（2）（多选）已知定义域为R的函数f（x）在（－∞，－1）上为增函数，且f（x－1）为偶函数，则（ ）
A.f（x）的图象关于直线x＝1对称
B.f（x）在（－1，＋∞）上为减函数
C.f（－1）为f（x）的最大值
D.f（－3）＜f（0）＜f
尝试解答
培优八 函数的实际应用
【例8】 某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同.现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工.设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k（k∈N*）个，加工完A型零件所需的时间为g（x），加工完B型零件所需的时间为h（x）.
（1）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；
（2）怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 （1）D （2）A （3）[0，4]
解析：（1）由题意得，解得x＜1且x≠.
（2）设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f（u）的定义域为[－1，4].再由－1≤2x－1≤4，
解得0≤x≤，即函数y＝f（2x－1）的定义域是.
（3）由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立.当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则解得0＜m≤4.综上可知0≤m≤4.
【例2】 （1）C （2）A （3）D 解析：（1）∵－1≤－＜0，∴f＝2×＋3＝2.
∴f＝f（2）＝22＋1＝5.
（2）∵ax2＋bx＋c≥0的解集为[0，4]，∴方程ax2＋bx＋c＝0的解为x＝0或4，
则c＝0，b＝－4a，a＜0，∴f（x）＝＝，
又∵函数的值域为[0，4]，∴＝4，∴a＝－4.故选A.
（3）当x∈[0，2]时，f（x）＝x（2－x）＝1－（x－1）2∈[0，1]，
则当x∈[－2，0]时，x＋2∈[0，2]，所以f（x）＝－f（x＋2）＝（x＋1）2－∈；
当x∈[2，4]时，x－2∈[0，2]，
由f（x）＝－f（x＋2），得f（x＋2）＝－2f（x），从而f（x）＝－2f（x－2）＝2（x－3）2－2∈[－2，0]；
当x∈[4，6]时，x－2∈[2，4]，则f（x）＝－2f（x－2）＝－4（x－5）2＋4∈[0，4].
综上得函数f（x）在[－2，6]上的值域为[－2，4].故选D.
【例3】 解：（1）设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则f（2x＋1）＝a（2x＋1）2＋b（2x＋1）＋c
＝4ax2＋（4a＋2b）x＋（a＋b＋c）＝4x2－6x＋5，
故4a＝4，4a＋2b＝－6，a＋b＋c＝5，
解得a＝1，b＝－5，c＝9，
故f（x）＝x2－5x＋9.
（2）因为f（x）满足2f（x）＋f＝3x，用替换x，
得2f＋f（x）＝，
联立方程组解得f（x）＝2x－，即为所求.
【例4】 解：在同一平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象，如图所示，得到三个交点A（0，3），B（1，2），C（5，8）.
观察图象可得函数f（x）的表达式为
f（x）＝
因为图象的最低点是B（1，2），
所以函数f（x）的最小值是2.
【例5】 解析：
作出函数f（x）＝的图象，如图所示.
由f（1－x）＞f（2x），可得解得x＜.
故所求x的取值范围是.
【例6】 解：令g（x）＝x2－2｜x｜，h（x）＝a＋1（a∈R），
则g（x）＝
g（x）的图象如图，
g（－2）＝g（0）＝g（2）＝0，
g（－1）＝g（1）＝－1.
由图可知，当a＋1＜－1，即a＜－2时，g（x）与h（x）的图象无交点；
当a＋1＝－1或a＋1＞0，即a＝－2或a＞－1时，g（x）与h（x）的图象有2个交点；
当－1＜a＋1＜0，即－2＜a＜－1时，g（x）与h（x）的图象有4个交点；
当a＋1＝0，即a＝－1时，g（x）与h（x）的图象有3个交点.
综上，当a＜－2时，函数f（x）无零点；当a＝－2或a＞－1时，函数f（x）有2个零点；当a＝－1时，函数f（x）有3个零点；当－2＜a＜－1时，函数f（x）有4个零点.
【例7】 （1）C （2）BD 解析：（1）由题意，f（x）是偶函数且经过点（－1，3），所以点（1，－3）也在函数图象上，即f（1）＝－3，
当0≤a＜b时，不等式（f（b）－f（a））（b－a）＜0恒成立，
所以函数f（x）在[0，＋∞）上为减函数，因为f（x－2）＋3＜0即f（x－2）＜－3，
所以f（｜x－2｜）＜f（1），即｜x－2｜＞1，解得x＜1或x＞3，
所以使得f（x－2）＋3＜0成立的x取值范围为（－∞，1）∪（3，＋∞）.故选C.
（2）因为f（x－1）为偶函数，且函数f（x）在（－∞，－1）上为增函数，
所以f（x）的图象关于直线x＝－1对称，且f（x）在（－1，＋∞）上为减函数，
所以A不正确，B正确；
因为f（x）在（－∞，－1）上为增函数，在（－1，＋∞）上为减函数，但没有明确函数是否连续，不能确定f（－1）的值，所以C不正确；
因为f（0）＝f（－2），f＝f，又f（x）在（－∞，－1）上为增函数，
所以f（－3）＜f（－2）＜f，即f（－3）＜f（0）＜f，所以D正确.故选B、D.
【例8】 解：（1）由已知A型零件需要生产4 500个，B型零件需要生产1 500个，加工B型零件的工人有（214－x）名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个.
所以g（x）＝＝，
h（x）＝＝.
则g（x）－h（x）＝－＝·.
因为0＜x＜214，且x∈N，k∈N，所以当0＜x≤137时，g（x）＞h（x），
当137＜x＜214时，g（x）＜h（x）.
所以f（x）＝其中x∈N.
（2）因为当0＜x≤137时，f（x）为减函数，当137＜x＜214时，f（x）为增函数，且＝·＝＜1，所以当x＝137时f（x）的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少.
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章末复习与总结
一、数学运算
数学运算核心素养在本章中主要体现在求函数的定义域、值域、
解析式等问题中.
培优一 函数的定义域问题
【例1】 （1）函数 f （ x ）＝ ＋（3 x －1）0的定义域是（ D ）
A. B.
C. D. ∪
解析：由题意得，
解得 x ＜1且 x ≠ .
（2）已知函数 y ＝ f （ x ＋1）的定义域是[－2，3]，则 y ＝ f （2 x －
1）的定义域是（ A ）
A. B. [－1，4]
C. [－5，5] D. [－3，7]
解析：设 u ＝ x ＋1，由－2≤ x ≤3，得－1≤ x ＋1≤4，所以 y ＝
f （ u ）的定义域为[－1，4].再由－1≤2 x －1≤4，
解得0≤ x ≤ ，即函数 y ＝ f （2 x －1）的定义域是 .
（3）函数 f （ x ）＝ 的定义域为一切实数，则实数 m
的取值范围为 .
解析：由题意可得 mx2＋ mx ＋1≥0恒成立.
当 m ＝0时，1≥0恒成立；
当 m ≠0时，则
解得0＜ m ≤4.
综上可知0≤ m ≤4.
[0，4]
培优二 求函数值（值域）
【例2】 （1）已知函数 f （ x ）＝则 f
的值为（ C ）
A. 2 B.
C. 5 D.
解析：∵－1≤－ ＜0，
∴ f ＝2× ＋3＝2.
∴ f ＝ f （2）＝22＋1＝5.
（2）已知函数 f （ x ）＝ 的定义域与值域均为[0，4]，
则 a ＝（ A ）
A. －4 B. －2
C. －1 D. 1
解析：∵ ax2＋ bx ＋ c ≥0的解集为[0，4]，
∴方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的解为 x ＝0或4，
则 c ＝0， b ＝－4 a ， a ＜0，
∴ f （ x ）＝ ＝ ，
又∵函数的值域为[0，4]，
∴ ＝4，
∴ a ＝－4.故选A.
（3）已知函数 f （ x ）对任意 x ∈R，都有 f （ x ）＝－ f （ x ＋2），
当 x ∈[0，2]时， f （ x ）＝－ x2＋2 x ，则函数 f （ x ）在[－2，
6]上的值域为（ D ）
A. [0，1] B.
C. [－2，0] D. [－2，4]
解析：当 x ∈[0，2]时， f （ x ）＝ x （2－ x ）＝1－（ x －1）
2∈[0，1]，
则当 x ∈[－2，0]时， x ＋2∈[0，2]，所以 f （ x ）＝－ f （ x ＋
2）＝ （ x ＋1）2－ ∈ ；
当 x ∈[2，4]时， x －2∈[0，2]，
由 f （ x ）＝－ f （ x ＋2），得 f （ x ＋2）＝－2 f （ x ），从而 f
（ x ）＝－2 f （ x －2）＝2（ x －3）2－2∈[－2，0]；
当 x ∈[4，6]时， x －2∈[2，4]，则 f （ x ）＝－2 f （ x －2）＝
－4（ x －5）2＋4∈[0，4].
综上得函数 f （ x ）在[－2，6]上的值域为[－2，4].
故选D.
培优三 求函数的解析式
【例3】 （1）已知二次函数 f （ x ）满足 f （2 x ＋1）＝4 x2－6 x ＋
5，求 f （ x ）的解析式；
解：设二次函数 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
则 f （2 x ＋1）＝ a （2 x ＋1）2＋ b （2 x ＋1）＋ c
＝4 ax2＋（4 a ＋2 b ） x ＋（ a ＋ b ＋ c ）＝4 x2－6 x ＋5，
故4 a ＝4，4 a ＋2 b ＝－6， a ＋ b ＋ c ＝5，
解得 a ＝1， b ＝－5， c ＝9，
故 f （ x ）＝ x2－5 x ＋9.
（2）已知 f （ x ）满足2 f （ x ）＋ f ＝3 x ，求 f （ x ）的解析式.
解：因为 f （ x ）满足2 f （ x ）＋ f ＝3 x ，用 替换 x ，
得2 f ＋ f （ x ）＝ ，
联立方程组解得 f （ x ）＝2 x － ，即为所求.
二、直观想象
直观想象在本章中主要体现在函数图象的应用中.
培优四 利用函数图象求最值
【例4】 对任意 x ∈R，函数 f （ x ）表示－ x ＋3， x ＋ ， x2－4 x ＋
3中的最大者，求 f （ x ）的最小值.
解：在同一平面直角坐标系中作出函数 f （ x ）的
图象，如图所示，得到三个交点 A （0，3）， B
（1，2）， C （5，8）.
观察图象可得函数 f （ x ）的表达式为
f （ x ）＝
因为图象的最低点是 B （1，2），
所以函数 f （ x ）的最小值是2.
培优五 利用图象解不等式
【例5】 已知函数 f （ x ）＝则满足不等式 f （1－
x ）＞ f （2 x ）的 x 的取值范围是 .
解析：作出函数 f （ x ）＝的图象，如图所示.
由 f （1－ x ）＞ f （2 x ），可得解得 x ＜ .
故所求 x 的取值范围是 .
培优六 利用图象研究函数零点
【例6】 试讨论函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜－ a －1（ a ∈R）的零点
的个数.
解：令 g （ x ）＝ x2－2｜ x ｜， h （ x ）＝ a ＋1
（ a ∈R），
则 g （ x ）＝
g （ x ）的图象如图，
g （－2）＝ g （0）＝ g （2）＝0，
g （－1）＝ g （1）＝－1.
由图可知，当 a ＋1＜－1，即 a ＜－2时， g（ x ）与 h （ x ）的图象无交点；
当 a ＋1＝－1或 a ＋1＞0，即 a ＝－2或 a ＞－1时， g （ x ）与 h （ x ）的图象有2个交点；
当－1＜ a ＋1＜0，即－2＜ a ＜－1时， g （ x ）与 h （ x ）的图象有4个交点；
当 a ＋1＝0，即 a ＝－1时， g （ x ）与 h （ x ）的图象有3个交点.
综上，当 a ＜－2时，函数 f （ x ）无零点；当 a ＝－2或 a ＞－1时，函数 f （ x ）有2个零点；
当 a ＝－1时，函数 f （ x ）有3个零点；当－2＜ a ＜－1时，函数 f （ x ）有4个零点.
三、逻辑推理
函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，对于某些数学问题，
通过函数的单调性或奇偶性可将函数值之间的关系转化为自变量之间
的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，很好地培养了学生逻辑
推理的核心素养.
培优七 函数单调性与奇偶性的综合问题
【例7】 （1）已知偶函数 f （ x ）的图象经过点（－1，－3），且当
0≤ a ＜ b 时，不等式（ f （ b ）－ f （ a ））（ b － a ）＜0恒成立，则
使得 f （ x －2）＋3＜0成立的 x 取值范围为（ C ）
A. （3，＋∞） B. （1，3）
C. （－∞，1）∪（3，＋∞） D. [1，3]
解析：由题意， f （ x ）是偶函数且经过点（－1，3），所以点（1，
－3）也在函数图象上，即 f （1）＝－3，
当0≤ a ＜ b 时，不等式（ f （ b ）－ f （ a ））（ b － a ）＜0恒成立，
所以函数 f （ x ）在[0，＋∞）上为减函数，因为 f （ x －2）＋3＜0即 f
（ x －2）＜－3，
所以 f （｜ x －2｜）＜ f （1），即｜ x －2｜＞1，
解得 x ＜1或 x ＞3，
所以使得 f （ x －2）＋3＜0成立的 x 取值范围为（－∞，1）∪（3，
＋∞）.故选C.
（2）（多选）已知定义域为R的函数 f （ x ）在（－∞，－1）上为增
函数，且 f （ x －1）为偶函数，则（ BD ）
A. f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称
B. f （ x ）在（－1，＋∞）上为减函数
C. f （－1）为 f （ x ）的最大值
D. f （－3）＜ f （0）＜ f
解析：因为 f （ x －1）为偶函数，且函数 f （ x ）在（－∞，－
1）上为增函数，
所以 f （ x ）的图象关于直线 x ＝－1对称，且 f （ x ）在（－1，
＋∞）上为减函数，
所以A不正确，B正确；
因为 f （ x ）在（－∞，－1）上为增函数，在（－1，＋∞）上
为减函数，但没有明确函数是否连续，不能确定 f （－1）的
值，所以C不正确；
因为 f （0）＝ f （－2）， f ＝ f ，又 f （ x ）在（－
∞，－1）上为增函数，
所以 f （－3）＜ f （－2）＜ f ，即 f （－3）＜ f （0）＜ f
，所以D正确.故选B、D.
培优八 函数的实际应用
【例8】 某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3
个 A 型零件和1个 B 型零件配套组成，每名工人加工5个 A 型零件与3个
B 型零件所需的时间相同.现将全部工人分成两组，分别加工 A 型零件
与 B 型零件，且同时开工.设加工 A 型零件的工人有 x 名，单位时间内
每名工人加工 A 型零件5 k （ k ∈N*）个，加工完 A 型零件所需的时间
为 g （ x ），加工完 B 型零件所需的时间为 h （ x ）.
（1）试比较 g （ x ）与 h （ x ）的大小，并写出完成总任务所需时间的
表达式；
解：由已知 A 型零件需要生产4 500个， B 型零件需要生产
1 500个，加工 B 型零件的工人有（214－ x ）名，单位时间内每
名工人加工 B 型零件3 k 个.
所以 g （ x ）＝ ＝ ， h （ x ）＝ ＝
.
则 g （ x ）－ h （ x ）＝ － ＝ · .
因为0＜ x ＜214，且 x ∈N， k ∈N，所以当0＜ x ≤137时， g
（ x ）＞ h （ x ），
当137＜ x ＜214时， g （ x ）＜ h （ x ）.
所以 f （ x ）＝
其中 x ∈N.
（2）怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？
解：因为当0＜ x ≤137时， f （ x ）为减函数，当137＜ x ＜
214时， f （ x ）为增函数，且 ＝ · ＝
＜1，所以当 x ＝137时 f （ x ）的值最小，即安排137名工人
加工 A 型零件，77名工人加工 B 型零件时，完成总任务所需时间
最少.
谢 谢 观 看！
