章末检测（三） 函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝的定义域为（ ）
A.（－∞，0） B.（－∞，－1）
C. （－1，0） D.（－∞，－1）∪（－1，0）
2.若函数f（x）＝mx2－x－2只有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A.－ B.0
C.－或0 D.
3.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）＜f（b），则一定可得（ ）
A.a＜b B.a＞b C.｜a｜＜｜b｜ D.0≤a＜b或a＞b≥0
4.已知关于x的不等式kx2－3kx＋k＋2≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.{k｜0≤k≤1}
C.{k｜k≤0或k≥1} D.
5.若函数f（x）＝－x2＋2x在定义域[0，m]上的值域为[0，1]，则（ ）
A.1≤m≤2 B.m＞1 C.m＝2 D.1＜m≤2
6.函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象如图，则函数y＝f（x）·g（x）的图象可能是（ ）
7.某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度为（ ）
A.5 m B.3.5 m
C.5.5 m D.7.5 m
8.设函数f（x）＝若函数y＝f（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.（2，3） B.[2，3]
C.（1，3） D.[1，3]
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A.f（0）＝0
B.若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，则f（x）在（－∞，0]上有最大值1
C.若f（x）在[1，＋∞）上为增函数，则f（x）在（－∞，－1]上为减函数
D.若x＞0时，f（x）＝x2－2x，则x＜0时，f（x）＝－x2－2x
10.设0＜a＜b，函数f（x）＝x2－4x＋6，x∈[a，b]的最小值是a，最大值是b，则（ ）
A.b＝2 B.a＋b＝5
C.ab＝6 D.a＝2
11.定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数f（x），对于定义域内任意的x，y都有f＝f（x）－f（y）＋1，f（3）＝4，且当x＞1时，f（x）＞1，则下列结论正确的是（ ）
A.f（1）＝1 B.f（x）是奇函数
C.f（3）＞f（9） D.f（x）在（0，＋∞）上单调递增
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.设f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝－，则当x＞0时，f（x）＝ .
13.若关于x的一元二次方程x2－2ax＋4＝0有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是 .
14.用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f（x）＝min{x＋2，10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f（x）＝.
（1）求f（5）的值；
（2）求函数f（x）的解析式.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝
（1）若f（m）＝4，求m的值；
（2）若f（－a2－1）＞1，求a的取值集合.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝2x－，且f＝3.
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在（1，＋∞）上的单调性，并证明.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）满足f（x＋2）＝x2＋4x＋6，且g（x）＝f（x）＋2ax.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求a的值，使g（x）在区间[－5，5]上的最小值为－1.
19.（本小题满分17分）某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是万元.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.
章末检测（三） 函数
1.D 根据题意有 x＜0且x≠－1，即x∈（－∞，－1）∪（－1，0）.
2.C 当m＝0时，f（x）＝－x－2＝0 x＝－2，符合题意；
当m≠0时函数f（x）＝mx2－x－2只有一个零点，只需方程mx2－x－2＝0的判别式为零即可，所以有Δ＝（－1）2－4m·（－2）＝0 m＝－，综上所述：m＝－或m＝0.
3.C ∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，∴由f（a）＜f（b）可得｜a｜＜｜b｜.故选C.
4.A 当k＝0时，不等式kx2－3kx＋k＋2≥0可化为2≥0，显然成立；
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－3kx＋k＋2≥0对任意x∈R恒成立，
则需解得0＜k≤.综上，k的取值范围是.故选A.
5.A 因为f（x）＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，且f（1）＝1，f（0）＝f（2）＝0，所以若函数f（x）＝－x2＋2x在定义域[0，m]上的值域为[0，1]，则1≤m≤2.故选A.
6.A 由图象知y＝f（x）为偶函数，y＝g（x）为奇函数，所以y＝f（x）·g（x）为奇函数且x≠0.由图象知x∈时，f（x）＞0，g（x）＜0，x∈时，f（x）＜0，g（x）＜0，所以x∈时，y＝f（x）·g（x）＜0，x∈时，y＝f（x）·g（x）＞0.故A正确.
7.D 根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1（x＋2）2＋8（－10≤x≤0）或y＝a2（x－2）2＋8（0≤x≤10），由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是，所求函数解析式是y＝－（x＋2）2＋8（－10≤x＜0） 或y＝－（x－2）2＋8（0≤x≤10）.当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m.故选D.
8.B 由题意得：函数y＝f（x）在R上是减函数，
∵f（x）＝x2－2（a－1）x＋5在（－∞，a－1]上单调递减，∴a－1≥1，
∴当x∈（－∞，1]时，f（x）min＝f（1）＝1－2（a－1）＋5＝8－2a.
当x∈（1，＋∞）时，f（x）max＝f（1）＝a－1，
故解得2≤a≤3，∴a的取值范围为[2，3]，故选B.
9.ABD 由奇函数在x＝0处有定义知，f（0）＝0，故A正确；
由图象的对称性可知B正确；
由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故C不正确；
对于D，当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，
所以－f（x）＝f（－x）＝x2＋2x，所以f（x）＝－x2－2x，故D正确.综上可知，正确结论为A、B、D.
10.BCD ∵f（x）＝（x－2）2＋2≥2，∴a≥2，
∴f（x）在[a，b]上单调递增.
∵f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的最小值为a，最大值为b，∴f（a）＝a，f（b）＝b.
∴a，b为方程f（x）＝x的两根.
由x2－4x＋6＝x，得a＝2，b＝3.
故选B、C、D.
11.AD 因为f＝f（x）－f（y）＋1，
令x＝y＝1，则有f（1）＝f（1）－f（1）＋1＝1，所以选项A正确.
令x＝1，y＝－1，则有f（－1）＝f（1）－f（－1）＋1，则2f（－1）＝2，即f（－1）＝f（1）＝1，
令y＝－1，可得f（－x）＝f（x）－f（－1）＋1＝f（x），所以为f（x）偶函数，故选项B不正确.
由f（1）＝1，f（3）＝4，则f（3）＝f＝f（9）－f（3）＋1，
即f（9）＝2f（3）－1＝7＞4＝f（3），故选项C不正确.
任取x1，x2∈（0，＋∞）且x1＜x2，则＞1，所以f＞1，
f（x2）－f（x1）＝f－1＞0，即f（x2）＞f（x1），
故f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故选项D正确.
故选A、D.
12.＋ 解析：∵f（x）是偶函数，∴当x＞0时，－x＜0，f（x）＝f（－x）＝＋.
13. 解析：设f（x）＝x2－2ax＋4，由题意得解得a＞.
14.6 解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.解方程x＋2＝10－x得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为（4，6）.
根据min{x＋2，10－x}（x≥0）的含义可知，f（x）＝为图中的实线部分.
观察图象知，两图象的交点即为f（x）图象的最高点，故f（x）的最大值为6.
15.解：（1）因为函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）＝，
所以－f（5）＝f（－5）＝＝－，
所以f（5）＝.
（2）设x＞0，则－x＜0，所以f（－x）＝＝－f（x），
所以x＞0时，f（x）＝－＝.
所以f（x）＝
16.解：（1）当m≥0时，f（m）＝m2－5＝4，解得m＝3或m＝－3（舍去）；
当m＜0时，f（m）＝m＋6＝4，解得m＝－2.
∴m的值为3或－2.
（2）对任意实数a∈R，－a2－1＜0，∴f（－a2－1）＝－a2－1＋6，由f（－a2－1）＞1，得－a2－1＋6＞1，整理得a2＜4，解得－2＜a＜2.
∴a的取值集合是{x｜－2＜a＜2}.
17.解：（1）因为f（x）＝2x－，且f＝3，
所以f＝1－2a＝3，解得a＝－1.
（2）由（1）得f（x）＝2x＋，f（x）在（1，＋∞）上单调递增.
证明如下：
设x1，x2∈（1，＋∞），且x1≠x2，则
＝
＝＝2－，
由x1，x2∈（1，＋∞）知x1x2＞1，＜1，
所以2－＞0，即＞0，
故f（x）在（1，＋∞）上单调递增.
18.解：（1）因为f（x＋2）＝x2＋4x＋6＝（x＋2）2＋2，所以f（x）＝x2＋2.
（2）由（1）可得，g（x）＝x2＋2ax＋2，其对称轴为x＝－a，
当－a≤－5，即a≥5时，g（x）在区间[－5，5]上是增函数，所以g（x）min＝g（－5）＝－1.
即（－5）2－10a＋2＝－1，解得a＝，又因为a≥5，所以a＝不满足题意；
当－5＜－a＜5，即－5＜a＜5时，g（x）在区间[－5，5]上先减后增，所以g（x）min＝g（－a）＝－1，
即－a2＋2＝－1，解得a＝或a＝－；
当－a≥5，即a≤－5时，g（x）在区间[－5，5]上是减函数，所以g（x）min＝g（5）＝－1，
即（5）2＋10a＋2＝－1，解得a＝－，又因为a≤－5，所以a＝－不满足题意.
综合上述，a的值为或－.
19.解：（1）由题意可知，2≥30.
所以5x2－14x－3＝（5x＋1）（x－3）≥0，
所以x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
所以x的取值范围是[3，10].
（2）易知获得的利润y＝＝120，x∈[1，10]，
令t＝∈，则y＝120（－3t2＋t＋5）.
当t＝，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元.
3 / 3(共37张PPT)
章末检测（三） 函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数 f （ x ）＝ 的定义域为（ ）
A. （－∞，0）
B. （－∞，－1）
C. （－1，0）
D. （－∞，－1）∪（－1，0）
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解析： 根据题意有 x ＜0且 x ≠－1，即 x ∈（－∞，－1）∪（－1，0）.
2. 若函数 f （ x ）＝ mx2－ x －2只有一个零点，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A. － B. 0
C. － 或0 D.
解析： 当 m ＝0时， f （ x ）＝－ x －2＝0 x ＝－2，符合题意；
当 m ≠0时函数 f （ x ）＝ mx2－ x －2只有一个零点，只需方程 mx2－
x －2＝0的判别式为零即可，所以有Δ＝（－1）2－4 m ·（－2）＝
0 m ＝－ ，综上所述： m ＝－ 或 m ＝0.
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3. 定义在R上的偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上是增函数，若 f （ a ）＜
f （ b ），则一定可得（ ）
A. a ＜ b
B. a ＞ b
C. ｜ a ｜＜｜ b ｜
D. 0≤ a ＜ b 或 a ＞ b ≥0
解析： ∵ f （ x ）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函
数，∴由 f （ a ）＜ f （ b ）可得｜ a ｜＜｜ b ｜.故选C.
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4. 已知关于 x 的不等式 kx2－3 kx ＋ k ＋2≥0对任意 x ∈R恒成立，则实
数 k 的取值范围是（ ）
A.
B. { k ｜0≤ k ≤1}
C. { k ｜ k ≤0或 k ≥1}
D.
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解析： 当 k ＝0时，不等式 kx2－3 kx ＋ k ＋2≥0可化为2≥0，显
然成立；
当 k ≠0时，要满足关于 x 的不等式 kx2－3 kx ＋ k ＋2≥0对任意 x ∈R
恒成立，
则需解得0＜ k ≤ .综上， k 的取值范
围是 .故选A.
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5. 若函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x 在定义域[0， m ]上的值域为[0，1]，则
（ ）
A. 1≤ m ≤2 B. m ＞1
C. m ＝2 D. 1＜ m ≤2
解析： 因为 f （ x ）＝－ x2＋2 x 的对称轴为 x ＝1，且 f （1）＝
1， f （0）＝ f （2）＝0，所以若函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x 在定义域
[0， m ]上的值域为[0，1]，则1≤ m ≤2.故选A.
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6. 函数 y ＝ f （ x ）与函数 y ＝ g （ x ）的图象如图，则函数 y ＝ f
（ x ）· g （ x ）的图象可能是（ ）
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解析： 由图象知 y ＝ f （ x ）为偶函数， y ＝ g （ x ）为奇函数，
所以 y ＝ f （ x ）· g （ x ）为奇函数且 x ≠0.由图象知 x ∈ 时，
f （ x ）＞0， g （ x ）＜0， x ∈ 时， f （ x ）＜0， g （ x ）＜
0，所以 x ∈ 时， y ＝ f （ x ）· g （ x ）＜0， x ∈ 时，
y ＝ f （ x ）· g （ x ）＞0.故A正确.
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7. 某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边
靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处
达到最高，最高的高度为8 m.另外还要在喷水池的中心设计一个装
饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度为
（ ）
A. 5 m B. 3.5 m
C. 5.5 m D. 7.5 m
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解析： 根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距
离为 x ，与此点的高度 y 之间的函数关系式是： y ＝ a1（ x ＋2）2＋8
（－10≤ x ≤0）或 y ＝ a2（ x －2）2＋8（0≤ x ≤10），由 x ＝－
10， y ＝0，可得 a1＝－ ；由 x ＝10， y ＝0，可得 a2＝－ ，于是，
所求函数解析式是 y ＝－ （ x ＋2）2＋8（－10≤ x ＜0）或 y ＝－
（ x －2）2＋8（0≤ x ≤10）.当 x ＝0时， y ＝7.5，∴装饰物的高度
为7.5 m.故选D.
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8. 设函数 f （ x ）＝若函数 y ＝ f
（ x ）在R上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （2，3） B. [2，3]
C. （1，3） D. [1，3]
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解析： 由题意得：函数 y ＝ f （ x ）在R上是减函数，
∵ f （ x ）＝ x2－2（ a －1） x ＋5在（－∞， a －1]上单调递减，
∴ a －1≥1，∴当 x ∈（－∞，1]时， f （ x ）min＝ f （1）＝1－2（ a
－1）＋5＝8－2 a .
当 x ∈（1，＋∞）时， f （ x ）max＝ f （1）＝ a －1，
故解得2≤ a ≤3，∴ a 的取值范围为[2，3]，故
选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的
得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A. f （0）＝0
B. 若 f （ x ）在[0，＋∞）上有最小值－1，则 f （ x ）在（－∞，0]上
有最大值1
C. 若 f （ x ）在[1，＋∞）上为增函数，则 f （ x ）在（－∞，－1]上
为减函数
D. 若 x ＞0时， f （ x ）＝ x2－2 x ，则 x ＜0时， f （ x ）＝－ x2－2 x
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解析：由奇函数在 x ＝0处有定义知， f （0）＝0，故A正确；
由图象的对称性可知B正确；
由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故C不
正确；
对于D，当 x ＜0时，－ x ＞0，则 f （－ x ）＝（－ x ）2－2（－
x ）＝ x2＋2 x ，
所以－ f （ x ）＝ f （－ x ）＝ x2＋2 x ，
所以 f （ x ）＝－ x2－2 x ，故D正确.
综上可知，正确结论为A、B、D.
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10. 设0＜ a ＜ b ，函数 f （ x ）＝ x2－4 x ＋6， x ∈[ a ， b ]的最小值是
a ，最大值是 b ，则（ ）
A. b ＝2 B. a ＋ b ＝5
C. ab ＝6 D. a ＝2
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解析： ∵ f （ x ）＝（ x －2）2＋2≥2，∴ a ≥2，
∴ f （ x ）在[ a ， b ]上单调递增.
∵ f （ x ）在区间[ a ， b ]（ a ＜ b ）上的最小值为 a ，最大值为 b ，
∴ f （ a ）＝ a ， f （ b ）＝ b .
∴ a ， b 为方程 f （ x ）＝ x 的两根.
由 x2－4 x ＋6＝ x ，得 a ＝2， b ＝3.
故选B、C、D.
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11. 定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数 f （ x ），对于定义域
内任意的 x ， y 都有 f ＝ f （ x ）－ f （ y ）＋1， f （3）＝4，且
当 x ＞1时， f （ x ）＞1，则下列结论正确的是（ ）
A. f （1）＝1
B. f （ x ）是奇函数
C. f （3）＞ f （9）
D. f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增
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解析： 因为 f ＝ f （ x ）－ f （ y ）＋1，
令 x ＝ y ＝1，则有 f （1）＝ f （1）－ f （1）＋1＝1，所以选
项A正确.
令 x ＝1， y ＝－1，则有 f （－1）＝ f （1）－ f （－1）＋1，
则2 f （－1）＝2，即 f （－1）＝ f （1）＝1，
令 y ＝－1，可得 f （－ x ）＝ f （ x ）－ f （－1）＋1＝ f
（ x ），所以为 f （ x ）偶函数，故选项B不正确.
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由 f （1）＝1， f （3）＝4，则 f （3）＝ f ＝ f （9）－ f
（3）＋1，
即 f （9）＝2 f （3）－1＝7＞4＝ f （3），故选项C不正确.
任取 x1， x2∈（0，＋∞）且 x1＜ x2，则 ＞1，所以 f ＞1，
f （ x2）－ f （ x1）＝ f －1＞0，即 f （ x2）＞ f （ x1），
故 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，故选项D正确.
故选A、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 设 f （ x ）为偶函数，当 x ≤0时， f （ x ）＝ － ，则当 x ＞0
时， f （ x ）＝ .
解析：∵ f （ x ）是偶函数，∴当 x ＞0时，－ x ＜0， f （ x ）＝ f
（－ x ）＝ ＋ .
＋
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13. 若关于 x 的一元二次方程 x2－2 ax ＋4＝0有两个实根，且一个实根
小于1，另一个实根大于2，则实数 a 的取值范围是 .
解析：设 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋4，由题意得
解得 a ＞ .
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14. 用min{ a ， b }表示 a ， b 两个数中的较小值，设 f （ x ）＝min{ x ＋
2，10－ x }（ x ≥0），则 f （ x ）的最大值为 .
解析：在同一平面直角坐标系内画出函数 y ＝ x
＋2和 y ＝10－ x 的图象.解方程 x ＋2＝10－ x 得 x
＝4，此时 y ＝6，故两图象的交点为（4，6）.
根据min{ x ＋2，10－ x }（ x ≥0）的含义可知，
f （ x ）＝为图中的实线部
分.
观察图象知，两图象的交点即为 f （ x ）图象的
最高点，故 f （ x ）的最大值为6.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且 x
＜0时， f （ x ）＝ .
（1）求 f （5）的值；
解：因为函数 f （ x ）是奇函数，且 x ＜0时， f （ x ）＝
，所以－ f （5）＝ f （－5）＝ ＝－ ，
所以 f （5）＝ .
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（2）求函数 f （ x ）的解析式.
解：设 x ＞0，则－ x ＜0，所以 f （－ x ）＝ ＝－ f（ x ），
所以 x ＞0时， f （ x ）＝－ ＝ .
所以 f （ x ）＝
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16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝
（1）若 f （ m ）＝4，求 m 的值；
解：当 m ≥0时， f （ m ）＝ m2－5＝4，解得 m ＝3或 m
＝－3（舍去）；
当 m ＜0时， f （ m ）＝ m ＋6＝4，解得 m ＝－2.
∴ m 的值为3或－2.
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（2）若 f （－ a2－1）＞1，求 a 的取值集合.
解：对任意实数 a ∈R，－ a2－1＜0，∴ f （－ a2－1）
＝－ a2－1＋6，由 f （－ a2－1）＞1，得－ a2－1＋6＞1，整
理得 a2＜4，解得－2＜ a ＜2.
∴ a 的取值集合是{ x ｜－2＜ a ＜2}.
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝2 x － ，且 f ＝3.
（1）求实数 a 的值；
解：因为 f （ x ）＝2 x － ，且 f ＝3，
所以 f ＝1－2 a ＝3，解得 a ＝－1.
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（2）判断函数 f （ x ）在（1，＋∞）上的单调性，并证明.
解：由（1）得 f （ x ）＝2 x ＋ ， f （ x ）在（1，＋
∞）上单调递增.
证明如下：
设 x1， x2∈（1，＋∞），且 x1≠ x2，则
＝ ＝
＝2－ ，
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由 x1， x2∈（1，＋∞）知 x1 x2＞1， ＜1，
所以2－ ＞0，即 ＞0，
故 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递增.
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18. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）满足 f （ x ＋2）＝ x2＋4 x ＋
6，且 g （ x ）＝ f （ x ）＋2 ax .
（1）求 f （ x ）的解析式；
解：因为 f （ x ＋2）＝ x2＋4 x ＋6＝（ x ＋2）2＋2，所
以 f （ x ）＝ x2＋2.
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解：由（1）可得， g （ x ）＝ x2＋2 ax ＋2，其对称轴为 x ＝－ a ，
当－ a ≤－5，即 a ≥5时， g （ x ）在区间[－5，5]上是增函
数，所以 g （ x ）min＝ g （－5）＝－1.
即（－5）2－10 a ＋2＝－1，解得 a ＝ ，又因为 a ≥5，所
以 a ＝ 不满足题意；
当－5＜－ a ＜5，即－5＜ a ＜5时， g （ x ）在区间[－5，5]
上先减后增，所以 g （ x ）min＝ g （－ a ）＝－1，
即－ a2＋2＝－1，
（2）求 a 的值，使 g （ x ）在区间[－5，5]上的最小值为－1.
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解得 a ＝ 或 a ＝－ ；
当－ a ≥5，即 a ≤－5时， g （ x ）在区间[－5，5]上是减函
数，所以 g （ x ）min＝ g （5）＝－1，
即（5）2＋10 a ＋2＝－1，解得 a ＝－ ，
又因为 a ≤－5，所以 a ＝－ 不满足题意.
综合上述， a 的值为 或－ .
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19. （本小题满分17分）某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度匀速生产
某种产品（生产条件要求1≤ x ≤10），每小时可获得的利润是
万元.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求 x 的取值
范围；
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解：由题意可知，2 ≥30.
所以5 x2－14 x －3＝（5 x ＋1）（ x －3）≥0，
所以 x ≤－ 或 x ≥3.
又1≤ x ≤10，所以3≤ x ≤10.
所以 x 的取值范围是[3，10].
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（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选
取何种生产速度？并求出最大利润.
解：易知获得的利润 y ＝ ＝120
， x ∈[1，10]，
令 t ＝ ∈ ，则 y ＝120（－3 t2＋ t ＋5）.
当 t ＝ ，即 x ＝6时， ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，
且最大利润为610万元.
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