3.带电粒子在匀强磁场中的运动
题组一 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1.下列各图反映的是带电粒子在匀强磁场中沿垂直于磁场方向做匀速圆周运动的情况，其中正确的是（ ）
2.如图所示，在垂直于纸面向里的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直于磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为2v，则（ ）
A.a做圆周运动的轨道半径大
B.b做圆周运动的周期大
C.a、b同时回到出发点
D.a、b在纸面内做逆时针方向的圆周运动
3.洛伦兹力演示仪的结构示意图如图所示。由电子枪产生电子束，玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。前后两个励磁线圈之间产生匀强磁场，磁场方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压U和励磁线圈的电流I来调节。适当调节U和I，玻璃泡中就会出现电子束的圆形径迹。下列调节方式中，一定能让圆形径迹半径增大的是（ ）
A.同时增大U和I B.同时减小U和I
C.增大U，减小I D.减小U，增大I
题组二 带电粒子在有界磁场中的运动问题
4.如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子所受的重力，则粒子的速度大小为（ ）
A. B.
C. D.
5.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限中，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一带电粒子以一定的速度沿x轴正方向从y轴上的a处射入磁场，粒子经磁场偏转后恰好从坐标原点O射出磁场。现使同一带电粒子以方向不变、大小变为原来4倍的速度仍从y轴上的a处射入磁场，经过t0时间射出磁场，不计粒子所受的重力，则粒子的比荷为（ ）
A. B.
C. D.
题组三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
7.（多选）如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q（不计重力）的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a，则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正、负可能是（ ）
A.，正电荷 B.，正电荷
C.，负电荷 D.，负电荷
8.（多选）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从两极板间左边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）
A.使粒子的速度v＜
B.使粒子的速度v＞
C.使粒子的速度v＞
D.使粒子的速度＜v＜
9.（多选）如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子（不计重力）沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则（ ）
A.从P点射出的粒子速度大
B.从Q点射出的粒子向心加速度大
C.从P点射出的粒子角速度大
D.两个粒子在磁场中运动的时间一样长
10.如图所示，半径为R的圆形区域中，有磁感应强度大小为B，垂直于纸面向里的匀强磁场，质子从A点沿直径AC方向以速度v（未知）射入，射出磁场时，速度偏转角为60°，已知质子质量为m，电荷量为q，则（ ）
A.质子做圆周运动的半径为2R
B.质子的速度大小v＝
C.若质子的速度大小为v'＝v，当质子的入射速度方向与AC夹角为30°斜向右下方时，质子在磁场中的运动时间最长
D.若质子的速度大小为v'＝v，则质子在磁场中运动的最长时间为
11.如图所示，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P是圆外一点，OP＝3r。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从P点在纸面内垂直于OP射出。已知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力。求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。
3.带电粒子在匀强磁场中的运动
1.D 带电粒子在匀强磁场中沿垂直于磁场方向做匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供，由左手定则可判断D正确。
2.C 电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得evB＝m，e×2vB＝m，解得ra＝，rb＝＝2ra，a做圆周运动的轨道半径小，故A错误；电子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝＝，电子做匀速圆周运动的周期与电子的速度无关，两电子做匀速圆周运动的周期相等，两电子同时回到出发点，故B错误，C正确；由左手定则可知，电子刚射入磁场时电子所受洛伦兹力水平向右，电子沿顺时针方向做匀速圆周运动，故D错误。
3.C 电子在加速电场中加速，由动能定理得eU＝m；电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有eBv0＝。联立以上两式得r＝＝ ，可知增大电子枪的加速电压，减小励磁线圈中的电流使电流产生的磁场减弱，都可以使电子束的轨迹半径变大，故C正确。
4.C 粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定过圆心，由于粒子经过c点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为r，根据几何关系知r＋L＝L，再根据牛顿第二定律得Bqv0＝m，联立解得v0＝，所以C正确。
5.C 为使该电子的运动被限制在题图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，轨迹圆圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系知＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有evB＝m，联立解得B＝，选项C正确。
6.C 设a处与坐标原点O之间的距离为d，带电粒子射入匀强磁场后做匀速圆周运动，粒子第一次射入磁场时，轨迹半径为，由r＝知，粒子第二次射入磁场时，粒子轨迹半径为2d，由此可知粒子第二次在磁场中偏转60°后射出磁场，因此t0＝，又T＝，可得＝，C正确。
7.BC 如图所示，若粒子带正电，则a＝r（1－sin 30°）＝，则B＝，选项B正确；若粒子带负电，则a＝r（1＋sin 30°）＝，则B＝，选项C正确。
8.AB 如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有＝＋l2，又r1＝，所以v1＝；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，解得v2＝。故A、B正确。
9.BD 作出带电粒子的运动轨迹如图所示：
粒子在磁场中做圆周运动，分别从P点和Q点射出，洛伦兹力提供向心力：qvB＝m，轨迹半径r＝，两粒子比荷相等，rP＜rQ，所以vP＜vQ，故A错误；粒子的向心加速度a＝＝，vP＜vQ，所以aP＜aQ，故B正确；粒子在磁场中圆周运动的周期T＝＝，角速度ω＝＝，两粒子比荷相等，所以周期相等、角速度相等，故C错误；根据几何关系可知，粒子在磁场中偏转的圆心角相等，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，所以粒子在磁场中运动的时间相等，故D正确。
10.C 质子运动轨迹如图甲所示，根据几何关系，质子做匀速圆周运动的半径r1＝＝R，根据洛伦兹力提供向心力，可得qvB＝m，联立以上两式可得v＝，故A、B错误；若质子的速度为v'＝v，当质子的入射速度方向与AC夹角为30°斜向右下方时，则质子的运动半径为r2＝2R。只有轨迹圆弧所对的弦最长（为磁场圆的直径）质子的偏转角最大，即质子从C点射出时，运动时间最长，如图乙所示，由图乙可得sin φ＝＝，所以φ＝30°，对应运动的时间为t＝×，整理解得t＝，故C正确，D错误。
11.（1）r （2）
解析：（1）根据题意，画出粒子在磁场中运动的轨迹，如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系有（3r－R）2＝R2＋r2解得R＝r。
（2）粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有qvB＝，解得v＝，粒子在圆形区域内做匀速直线运动，位移为2r，则粒子第一次在圆形区域内运动的时间t＝＝。
2 / 33.带电粒子在匀强磁场中的运动
课标要求 素养目标
1.能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。 2.能运用洛伦兹力解释一些带电粒子的运动问题。 3.进一步形成物质观念、运动与相互作用观念，促进学科核心素养的养成和发展 1.通过理论分析和实验演示，知道带电粒子沿着与磁场垂直方向射入匀强磁场时做匀速圆周运动。（科学探究） 2.通过理论推导，建立带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式。（科学思维） 3.通过例题和习题，掌握求解有关带电粒子在匀强磁场中运动问题的方法。（科学推理）
知识点一 带电粒子在匀强磁场中的运动
1.洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的 ，不改变粒子速度的 。
2.沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做 运动，洛伦兹力提供 。
知识点二 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1.粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动需要的向心力由洛伦兹力提供，则qvB＝m，可得r＝，即粒子做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。
2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝＝ ，跟轨道半径和运动速度 。
【情景思辨】
利用洛伦兹力演示仪观察电子束在匀强磁场中的运动，观察现象，判断下列说法的正误。
（1）电子射入磁场中一定受洛伦兹力作用。（ ）
（2）洛伦兹力的方向随电荷运动方向的变化而变化，但无论怎样变化，洛伦兹力的方向都与运动方向垂直。（ ）
（3）同一带电粒子在磁场中运动的速度越大，运动半径越大。（ ）
（4）同一带电粒子在磁场中运动的速度越大，其周期越小。（ ）
（5）洛伦兹力在特殊情况下可能对带电粒子做功，改变粒子的速度大小。（ ）
要点一 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1.两种方法确定圆心
已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度方向的垂线，交点即为圆心
已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线（即过这两点的圆的弦），作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心
2.三个公式求解半径
（1）根据半径公式r＝求解。
（2）根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋（r－x）2。
（3）根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为α，磁场的宽度为d，则有关系式r＝。
3.三个常用角度关系
（1）如图所示，速度的偏向角β等于圆心角α。
（2）圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角（弦切角θ）的2倍（β＝α＝2θ＝ωt）。
（3）相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角φ互补，即θ＋φ＝180°。
4.两种途径计算时间
（1）利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角α，则t＝T。
（2）利用弧长s和速度v求解，t＝。
【典例1】 如图所示，质量为m，电荷量为q的负离子，以速度v垂直于荧光屏S经过小孔O射入匀强磁场中，磁场方向与离子的运动方向垂直，磁感应强度的大小为B，处于真空中。
（1）求离子打在荧光屏上的位置离O点的距离；
（2）若离子进入磁场后经过一段时间到达P点，已知OP连线与入射方向的夹角为θ，求离子从O到P所经历的时间。
尝试解答
方法技巧
“三步法”处理带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1.（多选）如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是（ ）
A.电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P
B.电子运动一周回到P点所用的时间T＝
C.B1＝4B2
D.B1＝2B2
2.在粒子物理研究中，带电粒子在云室等探测装置中的轨迹是非常重要的实验证据。根据对不同粒子轨迹的分析和比较，科学家可以得到粒子的带电情况、运动情况等许多信息，甚至可以发现新粒子。现将一粒子源装入放在匀强磁场的云室中（粒子源不固定，且云室中阻力忽略不计），粒子源不断向相反方向同时放出一对电荷量为pe，质量为km的正离子（p、k均为常量且都大于1）和电荷量为e，质量为m的电子，下列说法正确的是（ ）
A.两种粒子的运动轨迹如图甲所示，且半径大的一定是电子
B.两种粒子的运动轨迹如图乙所示，且半径大的一定是电子
C.若正离子和电子的速度之比为k，则粒子源不会移动
D.若正离子和电子的速度之比为，则粒子源不会移动
要点二 带电粒子在有界磁场中的运动问题
1.带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点
（1）直线边界：进出磁场具有对称性。
（2）平行边界：存在临界条件。
（3）圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。
2.带电粒子在磁场中运动的临界问题
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，速度大小不同会造成运动半径不同，或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口，注意应用以下结论：
（1）刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
（2）带电粒子以相等的速率垂直射入同一磁场时，运动的弧长越长，则带电粒子在磁场中运动时间越长。
（3）比荷相等的带电粒子在同一磁场中运动的圆心角越大，则运动时间越长。
【典例2】 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B'多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
尝试解答
1.如图所示，正方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子垂直于磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是（ ）
A.粒子带正电
B.若仅增大磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出
C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出
D.若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长
2.如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子（重力不计）从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为（ ）
A. B.
C. D.
要点三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
【探究】
两水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子（不计重力）从极板间边界中点处垂直射入磁场，欲使粒子不打在极板上，分析粒子出射的可能性。
【归纳】
带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的分析思路
（1）带电粒子在匀强磁场中运动造成多解的常见情况如下：
①带电粒子的电性不确定或磁场方向不确定形成多解，如图甲所示。
②临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，带电粒子有从不同边界飞出的可能，如图乙所示，于是形成多解。
③运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动可能具有往复性，从而形成多解，如图丙所示。
（2）解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知识求解。
【典例3】 如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子（不计重力）沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。
尝试解答
1.如图所示，真空中纸面内有一正方形区域ABCD，边长L＝1 m，区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电粒子（不计重力）以一定的初速度从A点射入磁场，恰能从B点射出，则下列说法正确的是（ ）
A.该粒子带正电，其轨道半径可能为0.2 m
B.该粒子带负电，其轨道半径可能为0.3 m
C.该粒子带正电，其轨道半径可能为0.6 m
D.该粒子带负电，其轨道半径可能为0.8 m
2.（多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子所受重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则质子的速度可能为（ ）
A.2BkL B. C. D.
1.有三束粒子，分别是质子（H）、氚核（H）和α（He）粒子束，如果它们均以相同的速度垂直射入匀强磁场（磁场方向垂直于纸面向里），图中能正确表示这三束粒子的运动轨迹的是（ ）
2.高纬度地区的高空，大气稀薄，常出现美丽的彩色“极光”，下面说法正确的是（ ）
A.极光是太阳发出的可见光
B.极光是高能粒子与地磁场相互作用的结果
C.两极磁场越强高能粒子运动半径越大
D.洛伦兹力对高能粒子做负功
3.（多选）如图所示，圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下，带电粒子（不计重力）以某一初速度沿截面直径方向入射时，穿过此区域的时间为t；若该区域加沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转了，根据上述条件可求得的物理量为（ ）
A.带电粒子的初速度
B.带电粒子在磁场中运动的半径
C.带电粒子在磁场中运动的周期
D.带电粒子的比荷
4.如图，光滑绝缘水平桌面xOy的第一象限存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于桌面向下。从P点垂直于Ox轴滚入一个带电小球甲，随后沿着轨迹b离开磁场，在磁场中经历的时间为t。现在Q点放置一个不带电的同样小球乙，再次从P点垂直于Ox轴以相同速度滚入带电小球甲，甲、乙两球发生碰撞后结合在一起，则（ ）
A.两球将继续沿着轨迹b离开磁场，经历的时间同样为t
B.两球将继续沿着轨迹b离开磁场，经历的时间大于t
C.两球将沿着轨迹a离开磁场，经历的时间大于t
D.两球将沿着轨迹c离开磁场，经历的时间小于t
3.带电粒子在匀强磁场中的运动
【基础知识·准落实】
知识点一
1.方向 大小 2.匀速圆周 向心力
知识点二
2. 无关
情景思辨
（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 （1） （2）
解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，作出其运动轨迹，如图
由牛顿第二定律可得Bqv＝m
解得r＝
如图所示，离子回到屏S上的位置与O点的距离为d＝2r＝。
（2）当离子到位置P时，圆心角α＝2θ
离子运动的时间为t＝T，而周期T＝
所以联立以上三式得离子运动时间t＝。
素养训练
1.AD 由左手定则可知，电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上，其运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P，选项A正确；由题图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2，由半径r＝可得＝2，选项C错误，D正确；电子运动一周的时间t＝T1＋＝＋＝，选项B错误。
2.D 两种电性不同的带电粒子在同一磁场中同时向相反的方向运动，根据左手定则可知，两粒子的轨迹在出发点相切，且两个圆轨迹互为内切圆；粒子在磁场中运动，洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律可得Bqv＝m0，解得r＝，则可知两粒子在磁场中运动的轨迹半径分别为r正＝；r电＝，可知＝，由以上比值关系无法确定正粒子和电子轨迹半径大小关系，故A、B错误；因为k＞1，如果正粒子和电子的速度之比为k，那么kmv正＞mv电，正粒子和电子总动量之和不为零，则粒子源会移动；若正离子和电子的速度之比为，正粒子和电子总动量之和为零，则粒子源不会移动，故C错误，D正确。
要点二
知识精研
【典例2】 （1）负电荷 （2）B
解析：（1）粒子的运动轨迹如图所示，由左手定则可知，该粒子带负电荷。
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r，
又qvB＝m，则粒子的比荷＝。
（2）设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，
粒子做圆周运动的半径R'＝＝r，
又R'＝，所以B'＝B，
粒子在磁场中运动所用时间
t＝T＝×＝。
素养训练
1.B 因为粒子向下偏转，根据左手定则可得粒子带负电，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力可知qBv＝m，则r＝可知，若仅增大磁感应强度，则粒子运动的半径减小，粒子可能从b点左侧射出，若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出，故B正确，C错误；若仅增大入射速率，根据r＝，可知粒子在磁场中运动半径增大，粒子轨迹对应的圆心角将减小，根据t＝T，而运动周期T＝＝，T保持不变，可知粒子运动的时间减小，故D错误。
2.C 从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图所示。由图知：2R＝OB·cos 30°，OB＝，又Bqv＝，解得v＝。故选C。
要点三
知识精研
【探究】 提示：（1）当粒子从右边射出时，恰好经过极板的右边缘时，此时对应的半径最小，半径再大一些就可以从右边射出；
（2）当粒子从极板的左边缘射出时，粒子在磁场中运动的轨迹为半圆，轨迹恰好与极板相切时轨道半径最大，半径再小一些，就可以从左边射出。
【典例3】 （2＋）（q为正电荷）或（2－）（q为负电荷）
解析：题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN'相切的圆弧，由洛伦兹力提供向心力知：qvB＝m
得轨道半径：R＝
又d＝R－，解得v＝（2＋）。
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN'相切的圆弧，则有：R'＝，d＝R'＋，解得v'＝（2－）。
素养训练
1.D 如图所示，当粒子从A点垂直于AB射入时，轨道半径最小，根据洛伦兹力指向圆心，用左手定则可判定粒子带负电，最小的半径为R＝＝ m，所以该粒子带负电，半径大于等于0.5 m，故A、B、C错误，D正确。
2.BD 因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝（n＝1，2，3，…），由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，即v＝＝Bk·（n＝1，2，3，…），故B、D正确。
【教学效果·勤检测】
1.C 由粒子在磁场中运动的半径r＝可知，质子、氚核、α粒子轨迹半径之比r1∶r2∶r3＝∶∶＝∶∶＝1∶3∶2，所以三种粒子的轨道半径应该是质子最小，氚核最大，选项C正确。
2.B 极光是由太阳发射的高速带电粒子受地磁场的影响，进入两极附近时，撞击并激发高空中的空气分子和原子引起的，故A错误，B正确；对高能粒子，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得qvB＝m，解得r＝，两极磁场越强，高能粒子运动半径越小，故C错误；洛伦兹力对高能粒子不做功，故D错误。
3.CD 无磁场时，带电粒子做匀速直线运动，设圆柱形区域磁场的半径为R0，则v＝；而有磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，由半径公式可得R＝；由几何关系得，圆形磁场半径与圆轨道半径的关系R＝R0，可得＝；设粒子在磁场中的运动时间为t0，粒子飞出此区域时，速度方向偏转60°角，则由周期公式可得t0＝＝πt；由于不知圆磁场的半径，因此带电粒子在磁场中运动的半径以及初速度无法求出。故选C、D。
4.B 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，两球结合在一起后，总动量不变，故轨迹半径r＝，大小不变，轨迹仍然沿着b。周期为T＝，解得T＝，可知周期变大，故经历的时间增加，故A、C、D错误，B正确。
7 / 8(共81张PPT)
3.带电粒子在匀强磁场中的运动
课标要求 素养目标
1.能用洛伦兹力分析带电粒
子在匀强磁场中的圆周运
动。 2.能运用洛伦兹力解释一些
带电粒子的运动问题。 3.进一步形成物质观念、运
动与相互作用观念，促进学
科核心素养的养成和发展 1.通过理论分析和实验演示，知道带
电粒子沿着与磁场垂直方向射入匀强
磁场时做匀速圆周运动。（科学探究）
2.通过理论推导，建立带电粒子在匀
强磁场中做匀速圆周运动的半径公式
和周期公式。（科学思维）
3.通过例题和习题，掌握求解有关带
电粒子在匀强磁场中运动问题的方
法。（科学推理）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 带电粒子在匀强磁场中的运动
1. 洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的
，不改变粒子速度的 。
2. 沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做
运动，洛伦兹力提供 。
方
向
大小
匀
速圆周
向心力
知识点二 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1. 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动需要的向心力由洛伦兹力提供，
则qvB＝m，可得r＝，即粒子做匀速圆周运动的半径与它的质
量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。
2. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝＝ ，
跟轨道半径和运动速度 。
无关
【情景思辨】
利用洛伦兹力演示仪观察电子束在匀强磁场中的运动，观察现象，
判断下列说法的正误。
（1）电子射入磁场中一定受洛伦兹力作用。 （ × ）
×
（2）洛伦兹力的方向随电荷运动方向的变化而变化，但无论怎样变
化，洛伦兹力的方向都与运动方向垂直。 （ √ ）
（3）同一带电粒子在磁场中运动的速度越大，运动半径越大。
（ √ ）
（4）同一带电粒子在磁场中运动的速度越大，其周期越小。
（ × ）
（5）洛伦兹力在特殊情况下可能对带电粒子做功，改变粒子的速度
大小。 （ × ）
√
√
×
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1. 两种方法确定圆心
已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度方向的垂线，交点即为圆心
已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出
粒子轨迹上的两点连线（即过这两点的圆的弦），作它
的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中
垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心
2. 三个公式求解半径
（1）根据半径公式r＝求解。
（2）根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点
侧移了x，则满足r2＝d2＋（r－x）2。
（3）根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为α，磁场的宽度为d，则有关系式r＝。
3. 三个常用角度关系
（1）如图所示，速度的偏向角β等于圆心角α。
（2）圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角（弦切角θ）的2倍（β＝
α＝2θ＝ωt）。
（3）相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角φ互补，即θ＋φ＝
180°。
4. 两种途径计算时间
（1）利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角α，则t＝
T。
（2）利用弧长s和速度v求解，t＝。
【典例1】 如图所示，质量为m，电荷量为q的负离子，以速度v垂直
于荧光屏S经过小孔O射入匀强磁场中，磁场方向与离子的运动方向垂
直，磁感应强度的大小为B，处于真空中。
（1）求离子打在荧光屏上的位置离O点的距离；
答案：
解析：离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用
下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，作出其运动轨迹，如图
由牛顿第二定律可得Bqv＝m
解得r＝
如图所示，离子回到屏S上的位置与O点的
距离为d＝2r＝。
（2）若离子进入磁场后经过一段时间到达P点，已知OP连线与入射
方向的夹角为θ，求离子从O到P所经历的时间。
答案：
解析：当离子到位置P时，圆心角α＝2θ
离子运动的时间为t＝T，而周期T＝
所以联立以上三式得离子运动时间t＝。
方法技巧
“三步法”处理带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1. （多选）如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为
B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电
子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应
强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，
以下说法正确的是（ ）
A. 电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P
B. 电子运动一周回到P点所用的时间T＝
C. B1＝4B2
D. B1＝2B2
解析： 由左手定则可知，电子在P点所受的洛伦兹力的方向
向上，其运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P，选项A正确；由题
图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2，由半径r＝可得＝2，选
项C错误，D正确；电子运动一周的时间t＝T1＋＝＋＝
，选项B错误。
2. 在粒子物理研究中，带电粒子在云室等探测装置中的轨迹是非常重
要的实验证据。根据对不同粒子轨迹的分析和比较，科学家可以得
到粒子的带电情况、运动情况等许多信息，甚至可以发现新粒子。
现将一粒子源装入放在匀强磁场的云室中（粒子源不固定，且云室
中阻力忽略不计），粒子源不断向相反方向同时放出一对电荷量为
pe，质量为km的正离子（p、k均为常量且都大于1）和电荷量为e，
质量为m的电子，下列说法正确的是（ ）
A. 两种粒子的运动轨迹如图甲所示，且半径大的一定是电子
B. 两种粒子的运动轨迹如图乙所示，且半径大的一定是电子
C. 若正离子和电子的速度之比为k，则粒子源不会移动
D. 若正离子和电子的速度之比为，则粒子源不会移动
解析： 两种电性不同的带电粒子在同一磁场中同时向相反的方
向运动，根据左手定则可知，两粒子的轨迹在出发点相切，且两个
圆轨迹互为内切圆；粒子在磁场中运动，洛伦兹力充当向心力，根
据牛顿第二定律可得Bqv＝m0，解得r＝，则可知两粒子在磁
场中运动的轨迹半径分别为r正＝；r电＝，可知＝，
由以上比值关系无法确定正粒子和电子轨迹半径大小关系，故A、
B错误；因为k＞1，如果正粒子和电子的速度之比为k，那么kmv正
＞mv电，正粒子和电子总动量之和不为零，则粒子源会移动；
若正离子和电子的速度之比为，正粒子和电子总动量之和为零，则
粒子源不会移动，故C错误，D正确。
要点二 带电粒子在有界磁场中的运动问题
1. 带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点
（1）直线边界：进出磁场具有对称性。
（2）平行边界：存在临界条件。
（3）圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。
2. 带电粒子在磁场中运动的临界问题
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，速度大小不同会造成运动半
径不同，或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态
在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突
破口，注意应用以下结论：
（1）刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运
动的轨迹与边界相切。
（2）带电粒子以相等的速率垂直射入同一磁场时，运动的弧长越
长，则带电粒子在磁场中运动时间越长。
（3）比荷相等的带电粒子在同一磁场中运动的圆心角越大，则运
动时间越长。
【典例2】 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁
感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一
个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方
向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
答案：负电荷
解析：粒子的运动轨迹如图所示，由左手
定则可知，该粒子带负电荷。
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向
改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r，
又qvB＝m，则粒子的比荷＝。
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为
B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速
度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B'多大？
此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
答案：B
解析：设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD
弧所对圆心角为60°，
粒子做圆周运动的半径R'＝＝r，
又R'＝，所以B'＝B，
粒子在磁场中运动所用时间
t＝T＝×＝。
1. 如图所示，正方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电
粒子垂直于磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是
（ ）
A. 粒子带正电
B. 若仅增大磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出
C. 若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出
D. 若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长
解析： 因为粒子向下偏转，根据左手定则可得粒子带负电，故
A错误；根据洛伦兹力提供向心力可知qBv＝m，则r＝可知，
若仅增大磁感应强度，则粒子运动的半径减小，粒子可能从b点左
侧射出，若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出，故B
正确，C错误；若仅增大入射速率，根据r＝，可知粒子在磁场
中运动半径增大，粒子轨迹对应的圆心角将减小，根据t＝T，而
运动周期T＝＝，T保持不变，可知粒子运动的时间减小，故
D错误。
2. 如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向
外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q
的带电粒子（重力不计）从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，
粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。
若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB
边有最大距离，则v的大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图所示。由图知：2R＝OB·cos 30°，OB＝，又Bqv＝，解得v＝。故选C。
要点三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
【探究】
两水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子（不计重
力）从极板间边界中点处垂直射入磁场，欲使粒子不打在极板上，分
析粒子出射的可能性。
提示：（1）当粒子从右边射出时，恰好经过极板的右边缘时，此时
对应的半径最小，半径再大一些就可以从右边射出；
（2）当粒子从极板的左边缘射出时，粒子在磁场中运动的轨迹为半
圆，轨迹恰好与极板相切时轨道半径最大，半径再小一些，就可以从
左边射出。
【归纳】
带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的分析思路
（1）带电粒子在匀强磁场中运动造成多解的常见情况如下：
①带电粒子的电性不确定或磁场方向不确定形成多解，如图甲
所示。
②临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，带电粒子有从不同边界飞出的可能，如图乙所示，于是形成多解。
③运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动可能具有往复性，从而形成多解，如图丙所示。
（2）解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考
虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程，画出各种可能
的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知
识求解。
【典例3】 如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子（不计重力）沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。
答案：（2＋）（q为正电荷）或（2－）（q为负电荷）
解析：题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带
哪种电荷。若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与
NN'相切的圆弧，由洛伦兹力提供向心力知：qvB＝
m
得轨道半径：R＝
又d＝R－
解得v＝（2＋）。
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN'相切的圆弧，则有：R'＝
，d＝R'＋，解得v'＝（2－）。
1. 如图所示，真空中纸面内有一正方形区域ABCD，边长L＝1 m，区
域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。一个
带电粒子（不计重力）以一定的初速度从A点射入磁场，恰能从B
点射出，则下列说法正确的是（ ）
A. 该粒子带正电，其轨道半径可能为0.2 m
B. 该粒子带负电，其轨道半径可能为0.3 m
C. 该粒子带正电，其轨道半径可能为0.6 m
D. 该粒子带负电，其轨道半径可能为0.8 m
解析： 如图所示，当粒子从A点垂直于AB射入
时，轨道半径最小，根据洛伦兹力指向圆心，用左
手定则可判定粒子带负电，最小的半径为R＝＝
m，所以该粒子带负电，半径大于等于0.5 m，故
A、B、C错误，D正确。
2. （多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁
场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面
向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速
度不同的质子（质子所受重力不计），所有质子均能通过C点，质
子比荷＝k，则质子的速度可能为（ ）
A. 2BkL B.
C. D.
解析： 因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝（n＝1，2，3，…），由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，即v＝＝Bk·（n＝1，2，3，…），故B、D正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 有三束粒子，分别是质子（H）、氚核（H）和α（He）粒子
束，如果它们均以相同的速度垂直射入匀强磁场（磁场方向垂直于
纸面向里），图中能正确表示这三束粒子的运动轨迹的是（ ）
解析： 由粒子在磁场中运动的半径r＝可知，质子、氚核、α
粒子轨迹半径之比r1∶r2∶r3＝∶∶＝∶∶＝
1∶3∶2，所以三种粒子的轨道半径应该是质子最小，氚核最大，
选项C正确。
2. 高纬度地区的高空，大气稀薄，常出现美丽的彩色“极光”，下面
说法正确的是（ ）
A. 极光是太阳发出的可见光
B. 极光是高能粒子与地磁场相互作用的结果
C. 两极磁场越强高能粒子运动半径越大
D. 洛伦兹力对高能粒子做负功
解析： 极光是由太阳发射的高速带电粒子受地磁场的影响，进
入两极附近时，撞击并激发高空中的空气分子和原子引起的，故A
错误，B正确；对高能粒子，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二
定律得qvB＝m，解得r＝，两极磁场越强，高能粒子运动半径
越小，故C错误；洛伦兹力对高能粒子不做功，故D错误。
3. （多选）如图所示，圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下，带
电粒子（不计重力）以某一初速度沿截面直径方向入射时，穿过此
区域的时间为t；若该区域加沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度
为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域
时，速度方向偏转了，根据上述条件可求得的物理量为（ ）
A. 带电粒子的初速度
B. 带电粒子在磁场中运动的半径
C. 带电粒子在磁场中运动的周期
D. 带电粒子的比荷
解析： 无磁场时，带电粒子做匀速直线运动，设圆柱形区域
磁场的半径为R0，则v＝；而有磁场时，带电粒子做匀速圆周运
动，由半径公式可得R＝；由几何关系得，圆形磁场半径与圆轨
道半径的关系R＝R0，可得＝；设粒子在磁场中的运动时
间为t0，粒子飞出此区域时，速度方向偏转60°角，则由周期公式
可得t0＝＝πt；由于不知圆磁场的半径，因此带电粒子在磁场中
运动的半径以及初速度无法求出。故选C、D。
4. 如图，光滑绝缘水平桌面xOy的第一象限存在磁感应强度为B的匀
强磁场，方向垂直于桌面向下。从P点垂直于Ox轴滚入一个带电小
球甲，随后沿着轨迹b离开磁场，在磁场中经历的时间为t。现在Q
点放置一个不带电的同样小球乙，再次从P点垂直于Ox轴以相同速
度滚入带电小球甲，甲、乙两球发生碰撞后结合在一起，则（ ）
A. 两球将继续沿着轨迹b离开磁场，经历的时间同样为t
B. 两球将继续沿着轨迹b离开磁场，经历的时间大于t
C. 两球将沿着轨迹a离开磁场，经历的时间大于t
D. 两球将沿着轨迹c离开磁场，经历的时间小于t
解析： 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，两球结合在一起
后，总动量不变，故轨迹半径r＝，大小不变，轨迹仍然沿着
b。周期为T＝，解得T＝，可知周期变大，故经历的时间
增加，故A、C、D错误，B正确。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1. 下列各图反映的是带电粒子在匀强磁场中沿垂直于磁场方向做匀速
圆周运动的情况，其中正确的是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 带电粒子在匀强磁场中沿垂直于磁场方向做匀速圆周运
动，其向心力由洛伦兹力提供，由左手定则可判断D正确。
2. 如图所示，在垂直于纸面向里的匀强磁场中，有a、b两个电子从同
一处沿垂直于磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为
2v，则（ ）
A. a做圆周运动的轨道半径大
B. b做圆周运动的周期大
C. a、b同时回到出发点
D. a、b在纸面内做逆时针方向的圆周运动
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得evB＝m，e×2vB＝m，解得ra＝，rb
＝＝2ra，a做圆周运动的轨道半径小，故A错误；电子在磁场中
做匀速圆周运动的周期T＝＝，电子做匀速圆周运动的周期
与电子的速度无关，两电子做匀速圆周运动的周期相等，两电子同
时回到出发点，故B错误，C正确；由左手定则可知，电子刚射入
磁场时电子所受洛伦兹力水平向右，电子沿顺时针方向做匀速圆周
运动，故D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 洛伦兹力演示仪的结构示意图如图所示。由电子枪产生电子束，玻
璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。前
后两个励磁线圈之间产生匀强磁场，磁场方向与两个线圈中心的连
线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速
电压U和励磁线圈的电流I来调节。适当调节U和I，玻璃泡中就会
出现电子束的圆形径迹。下列调节方式中，一定能让圆形径迹半径
增大的是（ ）
A. 同时增大U和I B. 同时减小U和I
C. 增大U，减小I D. 减小U，增大I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 电子在加速电场中加速，由动能定理得eU＝m；电
子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有eBv0＝
。联立以上两式得r＝＝ ，可知增大电子枪的加速电
压，减小励磁线圈中的电流使电流产生的磁场减弱，都可以使电子
束的轨迹半径变大，故C正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
题组二 带电粒子在有界磁场中的运动问题
4. 如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂
直正方形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量
为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰
好能通过c点，不计粒子所受的重力，则粒子的速度大小为（ ）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度
的反向延长线一定过圆心，由于粒子经过c点，因
此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图所示，设
粒子做圆周运动的半径为r，根据几何关系知r＋L
＝L，再根据牛顿第二定律得Bqv0＝m，联立
解得v0＝，所以C正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. 真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆
柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为
v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量
为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区
域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 为使该电子的运动被限制在题图中实线
圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周
运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为
r，轨迹圆圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，
由几何关系知＋r＝3a，解得r＝a，电子在
匀强磁场中做匀速圆周运动，有evB＝m，联立解
得B＝，选项C正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限中，存在垂直纸面向
外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一带电粒子以一定的
速度沿x轴正方向从y轴上的a处射入磁场，粒子经磁场偏转后恰好
从坐标原点O射出磁场。现使同一带电粒子以方向不变、大小变为
原来4倍的速度仍从y轴上的a处射入磁场，经过t0时间射出磁场，
不计粒子所受的重力，则粒子的比荷为（ ）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 设a处与坐标原点O之间的距离为d，带电粒子射入匀强
磁场后做匀速圆周运动，粒子第一次射入磁场时，轨迹半径为，
由r＝知，粒子第二次射入磁场时，粒子轨迹半径为2d，由此可
知粒子第二次在磁场中偏转60°后射出磁场，因此t0＝，又T＝
，可得＝，C正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
题组三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
7. （多选）如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁
场。一个质量为m、电荷量大小为q（不计重力）的带电粒子从坐
标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于
磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最
大距离为a，则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正、负可能是
（ ）
A. ，正电荷 B. ，正电荷
C. ，负电荷 D. ，负电荷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 如图所示，若粒子带正电，则a＝r
（1－sin 30°）＝，则B＝，选项B正
确；若粒子带负电，则a＝r（1＋sin 30°）＝
，则B＝，选项C正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. （多选）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为
q的带正电粒子（不计重力），从两极板间左边界中点处垂直磁感
线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法
是（ ）
使粒子的速度v＜ B. 使粒子的速度v＞
C. 使粒子的速度v＞ D. 使粒子的速度＜v＜
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 如图所示，带电粒子刚好打在极板右边
缘时，有＝＋l2，又r1＝，所以v1＝
；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，解
得v2＝。故A、B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. （多选）如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，比荷
相同的两个粒子（不计重力）沿AB方向射入磁场，分别从AC边上
的P、Q两点射出，则（ ）
A. 从P点射出的粒子速度大
B. 从Q点射出的粒子向心加速度大
C. 从P点射出的粒子角速度大
D. 两个粒子在磁场中运动的时间一样长
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 作出带电粒子的运动轨迹如图所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
粒子在磁场中做圆周运动，分别从P点和Q点射出，洛伦兹力提供向心力：qvB＝m，轨迹半径r＝，两粒子比荷相等，rP＜rQ，所以vP＜vQ，故A错误；粒子的向心加速度a＝＝，vP＜vQ，所以aP＜aQ，故B正确；粒子在磁场中圆周运动的周期T＝＝，角速度ω＝＝，两粒子比荷相等，所以周期相等、角速度相等，故C错误；
根据几何关系可知，粒子在磁场中偏转的圆心角相等，粒子在磁场中
运动的时间t＝T＝，所以粒子在磁场中运动的时间相等，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 如图所示，半径为R的圆形区域中，有磁感应强度大小为B，垂直
于纸面向里的匀强磁场，质子从A点沿直径AC方向以速度v（未
知）射入，射出磁场时，速度偏转角为60°，已知质子质量为
m，电荷量为q，则（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A. 质子做圆周运动的半径为2R
B. 质子的速度大小v＝
C. 若质子的速度大小为v'＝v，当质子的入射速度方向与AC夹角为30°斜向右下方时，质子在磁场中的运动时间最长
D. 若质子的速度大小为v'＝v，则质子在磁场中运动的最长时间为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 质子运动轨迹如图甲所示，根据几
何关系，质子做匀速圆周运动的半径r1＝＝
R，根据洛伦兹力提供向心力，可得qvB＝
m，联立以上两式可得v＝，故A、B错
误；若质子的速度为v'＝v，当质子的入射速度方向与AC夹角为30°斜向右下方时，则质子的运动半径为r2＝2R。只有轨迹圆弧所对的弦最长（为磁场圆的直径）质子的偏转角最大，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
即质子从C点射出时，运动时间最长，如图乙所示，由图乙可得sin φ＝＝，所以φ＝30°，对应运动的
时间为t＝×，整理解得t＝，故C正确，
D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. 如图所示，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在匀强磁场，磁场
方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P是圆外一点，OP
＝3r。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从P点在纸面内垂
直于OP射出。已知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力。求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
答案：r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：根据题意，画出粒子在磁场中运动的轨迹，如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系有（3r
－R）2＝R2＋r2解得R＝r。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有
qvB＝，解得v＝，粒子在圆形区域内做匀速直线运
动，位移为2r，则粒子第一次在圆形区域内运动的时间t＝
＝。
（2）粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。
答案：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
谢谢观看!
