1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
1.若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
2.已知集合A中的元素x满足x－1＜，则下列各式正确的是（ ）
A.3∈A且－3 A B.3∈A且－3∈A
C.3 A且－3 A D.3 A且－3∈A
3.已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是（ ）
A.1∈M B.0∈M
C.－1∈M D.－2∈M
4.（2024·泰州月考）集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，则实数a的值为（ ）
A.2或4 B.－2
C.4 D.2或6
5.（多选）下列关系中，正确的是（ ）
A.∈R B. Q
C.－3 N D.∈N*
6.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.N*中最小的数是1
B.若－a N*，则a∈N*
C.若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素
7.已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1 A，－34 A.（填“∈”或“ ”）
8.已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝ .
9.（2024·宿迁月考）若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 024＋b2 024＝ .
10.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合.
（1）0是否是集合A中的元素？
（2）若－5∈A，求实数a的值.
11.（2024·南通质检）集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A.2∈A，且2∈B
B.（1，2）∈A，且（1，2）∈B
C.2∈A，且（3，10）∈B
D.（3，10）∈A，且2∈B
12.（多选）（2024·常州质检）已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值组成的集合为M，则M中的元素可能为（ ）
A.1 B.3
C.－1 D.－3
13.已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝ ；b＝ .
14.已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值.
15.集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由.
第1课时 集合的概念
1.A 因为a，b，c，d是集合A中的四个元素，故a，b，c，d均不相等.故选A.
2.D 因为3－1＝2＞，所以3 A.又－3－1＝－4＜，所以－3∈A.故选D.
3.C 由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，故－1∈M.故选C.
4.A 若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0 A.故选A.
5.AC 是实数，故A正确；＝2，是有理数，故B不正确；－3不是自然数，故C正确；不是正整数，故D不正确.故选A、C.
6.AC N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a N*，且a N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故选A、C.
7.∈ ∈ 解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.
8.6 解析：因为x∈N，2＜x＜a，且集合P中恰有三个元素，则这三个元素只能为3，4，5，故a＝6.
9.1 解析：由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以＝0，所以b＝0，所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1.所以a2 024＋b2 024＝1.
10.解：（1）将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素.
（2）若－5∈A，则有（－5）2－（－5）a－5＝0，解得a＝－4.
11.C 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B.故选C.
12.BC ①当x，y均为正数时，代数式＋＋的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式＋＋的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式＋＋的值为－1，所以集合M的元素有－1，3.故选B、C.
13.－3 2 解析：因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，所以1∈B，2∈B，即1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根.所以即
14.解：因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，集合A不满足元素的互异性，所以舍去a＝－1.
当a＝－时，经检验，符合题意.
故a＝－.
15.解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去.
若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去.
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意.
综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.
2 / 2第一章 集合
1.1 集合的概念与表示
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，掌握集合元素的三个特征，初步运用集合元素的特征解决简单问题 数学抽象
2.体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号 逻辑推理
3.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法） 数学抽象
4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合 数学抽象
第1课时 集合的概念
麋鹿是中国特有的世界濒危珍稀动物，江苏大丰麋鹿国家级自然保护区是世界占地面积最大的麋鹿自然保护区，拥有世界最大的野生麋鹿种群.截止2024年3月底，麋鹿数量已增至7 850头，其中野生麋鹿种群数量达3 360头.
【问题】 江苏大丰麋鹿国家级自然保护区内的所有麋鹿能否组成一个集合？
知识点一 元素与集合的相关概念
1.集合：一般地，一定范围内某些 、 对象的全体组成一个集合，通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合B等.
2.元素：集合中的 称为该集合的元素，简称元.通常用小写拉丁字母表示，例如元素a、元素b等.
3.集合相等：如果两个集合所含的元素 ，那么称这两个集合相等.
4.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性.
特性 含义
确定性 集合的元素必须是确定的.因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来
互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素
无序性 集合中的元素没有顺序要求
提醒 （1）集合是一个不加定义的原始概念，同平面几何中“点”“线”等概念一样，只作描述性说明；（2）集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【想一想】
1.集合中的元素一定是数吗？
2.高一年级学生中的游泳能手能否构成一个集合？
知识点二 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a A a属于A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A 或a A a不属于A
提醒 符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向.
【想一想】
符号“∈”“ ”的左边可以是集合吗？
知识点三 常见的数集及符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
【想一想】
N与N*（N＋）有何区别？
1.（多选）（2024·南京月考）下列每组对象能组成集合的是（ ）
A.某班级年龄较小的同学
B.1～10之间的所有偶数
C.所有很小的数
D.地球上的四大洋
2.（2024·无锡玉祁高中期中）由英文单词“mathematics”中的字母构成的集合中元素的个数为（ ）
A.8 B.9
C.10 D.11
3.（2024·无锡辅仁期中改编）用“∈”或“ ”填空：
Z； R；π Q.
题型一 集合的概念
【例1】 （多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
A.某校高一年级成绩优秀的学生
B.1～10以内的所有素数
C.到直线l的距离等于定长d的所有点
D.方程x2－3x＋2＝0的所有实数根
通性通法
判断一组对象能否组成集合的条件
（1）确定性：能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素；
（2）互异性：任何两个对象都是不同的；
（3）无序性：对元素出现的顺序没有要求.
【跟踪训练】
（多选）下列说法正确的是（ ）
A.与定点A，B等距离的点的全体可以组成一个集合
B.高一（1）班所有的高个子男生可以组成一个集合
C.不大于10的正偶数的全体可以组成一个集合
D.一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6图象的交点不能组成集合
题型二 元素与集合的关系
角度1 判断元素与集合间的关系
【例2】 （链接教科书第8页习题4题）（多选）集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）
A. M B.0∈M
C.1∈M D.－1 M
通性通法
判断元素与集合关系的方法
（1）直接法：若集合中的元素是直接给出的，则只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
角度2 利用元素与集合间的关系求参数的值（范围）
【例3】 已知集合A中元素x满足2x＋a＞0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为 .
通性通法
已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定是集合A中的某个元素；反之，当a A时，则a不满足集合A中元素的性质.利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.
【跟踪训练】
1.（2024·盐城质检）下列关系中正确的是（ ）
A.∈Q B. R
C.0∈N* D.π∈Z
2.若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中元素的个数为 .
题型三 集合中元素的特性及应用
【例4】 （链接教科书第8页习题5题）（1）已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝ ；
（2）已知集合A中含有两个元素1和4，集合B中含有两个元素1和a2，若集合A与集合B相等，则实数a＝ .
【母题探究】
（变条件）本例（1）中若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
通性通法
1.根据集合中元素的特性求参数的3个步骤
2.判断两个集合相等的注意点
若两个集合相等，则构成这两个集合的元素完全相同，但要注意集合中元素的无序性.
【跟踪训练】
1.已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.（2024·苏州月考）由三个不同的数1，a＋b，a组成的集合与由0，，b组成的集合相等，则b－a＝ .
1.下列表示正确的是（ ）
A.0∈N B.∈N
C.－3 Z D.∈Q
2.方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.（2024·镇江月考）集合A中有两个元素：x＋2，x2.若1∈A，则实数x的值为 .
4.设集合A含有两个元素x，y，集合B含有两个元素0，x2，若集合A与集合B相等，则x＋y＝ .
第1课时 集合的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.确定的 不同的 2.每一个对象
3.完全相同
想一想
1.提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、图形、多项式、方程、代数式，也可以是人或物等.
2.提示：不能.因为“游泳能手”没有明确的标准，所以“高一年级学生中的游泳能手”不能组成集合.
知识点二
∈
想一想
提示：左边不可以是集合.“∈”和“ ”具有方向性，左边是元素，右边是集合.
知识点三
想一想
提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*（N＋）多一个元素0.
自我诊断
1.BD A项，年龄较小没有明确的标准，无法确定集合中的元素，故A不能；C项，所有很小的数，没有明确的标准，无法确定集合中的元素，故C不能；根据集合元素的确定性可知B、D能构成集合.故选B、D.
2.A 由英文单词“mathematics”中的字母构成的集合中的元素有“m，a，t，h，e，i，c，s”，共8个.故选A.
3. ∈ 解析： Z；∈R；π Q.
【典型例题·精研析】
【例1】 BCD A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合.故选B、C、D.
跟踪训练
AC A中与定点A，B等距离的这些点是确定的，可以组成集合，A正确；B中由于“高个子”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，B错误；C中不大于10正偶数的全体可以组成一个集合，C正确；D中一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6图象的交点能组成集合，D错误.故选A、C.
【例2】 AB ＞1，故 M，A正确；－2＜0＜1，故0∈M，B正确；1 M，C错误；－2＜－1＜1，故－1∈M，D错误.
【例3】 a＞－4 解析：因为2∈A，所以2×2＋a＞0，即a＞－4.
跟踪训练
1.A 对于A，因为为有理数，所以∈Q，所以A正确；对于B，为无理数，但是实数，所以∈R，所以B错误；对于C，因为0不是正整数，所以0 N*，所以C错误；对于D，因为π为无理数，所以π Z，所以D错误.故选A.
2.3 解析：因为∈N，所以3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2，即集合A中的元素个数为3.
【例4】 （1）－1 （2）±2 解析：（1）若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.所以a＝－1.
（2）由题意得a2＝4，即a＝±2，经检验满足题意.
母题探究
解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.
跟踪训练
1.D 因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.
2.2 解析：由题意可知a≠0，则a＋b＝0，＝－1，所以a＝－1，b＝1，则b－a＝2.
随堂检测
1.A 对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B，是不可约分数，即有 N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有－3∈Z，故C错误；对于D，是无理数，即有 Q，故D错误.故选A.
2.C 这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素.故选C.
3.1 解析：因为1∈A，所以x＋2＝1或x2＝1.①当x＋2＝1时，x＝－1，此时x2＝1，不满足集合中元素的互异性，舍去；②当x2＝1时，x＝±1，由①知x≠－1，所以x＝1，此时x＋2＝3，满足集合中元素的互异性.综上可知，x＝1.
4.1 解析：由题意得x≠0，即得即x＋y＝1.
3 / 4(共58张PPT)
1.1 集合的概念与表示
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，掌握集合元素的三个
特征，初步运用集合元素的特征解决简单问题 数学抽象
2.体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常
用数集的表示符号 逻辑推理
3.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法） 数学抽象
4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合 数学抽象
第1课时 集合的概念
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
麋鹿是中国特有的世界濒危珍稀动物，江苏大丰麋鹿国家级自然
保护区是世界占地面积最大的麋鹿自然保护区，拥有世界最大的野生
麋鹿种群.截止2024年3月底，麋鹿数量已增至7 850头，其中野生麋鹿
种群数量达3 360头.
【问题】 江苏大丰麋鹿国家级自然保护区内的所有麋鹿能否组成一
个集合？
知识点一 元素与集合的相关概念
1. 集合：一般地，一定范围内某些 、 对象的全
体组成一个集合，通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合 A 、
集合 B 等.
2. 元素：集合中的 称为该集合的元素，简称元.通常
用小写拉丁字母表示，例如元素 a 、元素 b 等.
3. 集合相等：如果两个集合所含的元素 ，那么称这两个
集合相等.
确定的
不同的
每一个对象
完全相同
4. 集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性.
特性 含义
确定
性 集合的元素必须是确定的.因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来
续特性 含义
互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素
无序性 集合中的元素没有顺序要求
提醒 （1）集合是一个不加定义的原始概念，同平面几何中
“点”“线”等概念一样，只作描述性说明；（2）集合是一个整
体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组
成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【想一想】
1. 集合中的元素一定是数吗？
提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、图形、多项式、方
程、代数式，也可以是人或物等.
2. 高一年级学生中的游泳能手能否构成一个集合？
提示：不能.因为“游泳能手”没有明确的标准，所以“高一年级
学生中的游泳能手”不能组成集合.
知识点二 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属
于 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A a A a 属于 A
不属
于 如果 a 不是集合 A 中的元
素，就说 a 不属于集合 A a A 或 a A a 不属于 A
∈
提醒 符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合
之间的从属关系，注意开口方向.
【想一想】
符号“∈”“ ”的左边可以是集合吗？
提示：左边不可以是集合.“∈”和“ ”具有方向性，左边是元素，
右边是集合.
知识点三 常见的数集及符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
【想一想】
N与N*（N＋）有何区别？
提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的
集合，所以N比N*（N＋）多一个元素0.
1. （多选）（2024·南京月考）下列每组对象能组成集合的是（ ）
A. 某班级年龄较小的同学
B. 1～10之间的所有偶数
C. 所有很小的数
D. 地球上的四大洋
解析： A项，年龄较小没有明确的标准，无法确定集合中的
元素，故A不能；C项，所有很小的数，没有明确的标准，无法确
定集合中的元素，故C不能；根据集合元素的确定性可知B、D能构
成集合.故选B、D.
2. （2024·无锡玉祁高中期中）由英文单词“mathematics”中的字母
构成的集合中元素的个数为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
解析： 由英文单词“mathematics”中的字母构成的集合中的元
素有“m，a，t，h，e，i，c，s”，共8个.故选A.
3. （2024·无锡辅仁期中改编）用“∈”或“ ”填空：
Z； R；π Q.
解析： Z； ∈R；π Q.
∈
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合的概念
【例1】 （多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
A. 某校高一年级成绩优秀的学生
B. 1～10以内的所有素数
C. 到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点
D. 方程 x2－3 x ＋2＝0的所有实数根
解析： A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个
集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合.故选B、
C、D.
通性通法
判断一组对象能否组成集合的条件
（1）确定性：能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都
能确定它是不是给定集合的元素；
（2）互异性：任何两个对象都是不同的；
（3）无序性：对元素出现的顺序没有要求.
【跟踪训练】
（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 与定点 A ， B 等距离的点的全体可以组成一个集合
B. 高一（1）班所有的高个子男生可以组成一个集合
C. 不大于10的正偶数的全体可以组成一个集合
D. 一次函数 y ＝ x ＋3与 y ＝－2 x ＋6图象的交点不能组成集合
解析： A中与定点 A ， B 等距离的这些点是确定的，可以组成集
合，A正确；B中由于“高个子”的标准不明确，不满足集合中元素
的确定性，B错误；C中不大于10正偶数的全体可以组成一个集合，C
正确；D中一次函数 y ＝ x ＋3与 y ＝－2 x ＋6图象的交点能组成集合，
D错误.故选A、C.
题型二 元素与集合的关系
角度1 判断元素与集合间的关系
【例2】 （链接教科书第8页习题4题）（多选）集合 M 是由大于－2
且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）
A. M B. 0∈ M
C. 1∈ M D. －1 M
解析： ＞1，故 M ，A正确；－2＜0＜1，故0∈ M ，B正
确；1 M ，C错误；－2＜－1＜1，故－1∈ M ，D错误.
通性通法
判断元素与集合关系的方法
（1）直接法：若集合中的元素是直接给出的，则只要判断该元素在
已知集合中是否出现即可；
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否
满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合
中的元素具有什么特征.
角度2 利用元素与集合间的关系求参数的值（范围）
【例3】 已知集合 A 中元素 x 满足2 x ＋ a ＞0， a ∈R，若2∈ A ，则
实数 a 的取值范围为 .
解析：因为2∈ A ，所以2×2＋ a ＞0，即 a ＞－4.
a ＞－4
通性通法
已知元素与集合的关系求参数的思路
当 a ∈ A 时，则 a 一定是集合 A 中的某个元素；反之，当 a A
时，则 a 不满足集合 A 中元素的性质.利用上述结论建立方程（组）或
不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的
参数进行检验.
【跟踪训练】
1. （2024·盐城质检）下列关系中正确的是（ ）
A. ∈Q B. R
C. 0∈N* D. π∈Z
解析： 对于A，因为 为有理数，所以 ∈Q，所以A正确；对
于B， 为无理数，但 是实数，所以 ∈R，所以B错误；对
于C，因为0不是正整数，所以0 N*，所以C错误；对于D，因为π
为无理数，所以π Z，所以D错误.故选A.
2. 若集合 A 中的元素 x 满足 ∈N， x ∈N，则集合 A 中元素的个数
为 .
解析：因为 ∈N，所以3－ x ＝1或3－ x ＝2或3－ x ＝3或3－ x ＝
6，即 x ＝2或1或0或－3.又 x ∈N，故 x ＝0或1或2，即集合 A 中的
元素个数为3.
3
题型三 集合中元素的特性及应用
【例4】 （链接教科书第8页习题5题）（1）已知集合 A 含有两个元
素 a 和 a2，若1∈ A ，则实数 a ＝ ；
解析：若1∈ A ，则 a ＝1或 a2＝1，即 a ＝±1.当 a ＝1时，集合 A 有
重复元素，不符合元素的互异性，所以 a ≠1；当 a ＝－1时，集合 A
含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.所以 a ＝－1.
－1
（2）已知集合 A 中含有两个元素1和4，集合 B 中含有两个元素1和
a2，若集合 A 与集合 B 相等，则实数 a ＝ .
解析：由题意得 a2＝4，即 a ＝±2，经检验满足题意.
±2
【母题探究】
（变条件）本例（1）中若去掉条件“1∈ A ”，其他条件不变，则
实数 a 的取值范围是什么？
解：因为 A 中有两个元素 a 和 a2，所以 a ≠ a2，解得 a ≠0且 a ≠1.
通性通法
1. 根据集合中元素的特性求参数的3个步骤
2. 判断两个集合相等的注意点
若两个集合相等，则构成这两个集合的元素完全相同，但要注意集
合中元素的无序性.
【跟踪训练】
1. 已知集合 S 中的三个元素 a ， b ， c 是△ ABC 的三条边长，那么△
ABC 一定不是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解析： 因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边
长两两不相等，故选D.
2. （2024·苏州月考）由三个不同的数1， a ＋ b ， a 组成的集合与由
0， ， b 组成的集合相等，则 b － a ＝ .
解析：由题意可知 a ≠0，则 a ＋ b ＝0， ＝－1，所以 a ＝－1， b
＝1，则 b － a ＝2.
2
1. 下列表示正确的是（ ）
A. 0∈N B. ∈N
C. －3 Z D. ∈Q
解析： 对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B，
是不可约分数，即有 N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有
－3∈Z，故C错误；对于D， 是无理数，即有 Q，故D错误.
故选A.
2. 方程 x2＋2 x －8＝0和方程 x2＋ x －12＝0的所有实数解组成的集合
为 M ，则 M 中的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合
中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有
3个元素.故选C.
3. （2024·镇江月考）集合 A 中有两个元素： x ＋2， x2.若1∈ A ，则
实数 x 的值为 .
解析：因为1∈ A ，所以 x ＋2＝1或 x2＝1.①当 x ＋2＝1时， x ＝－
1，此时 x2＝1，不满足集合中元素的互异性，舍去；②当 x2＝1
时， x ＝±1，由①知 x ≠－1，所以 x ＝1，此时 x ＋2＝3，满足集
合中元素的互异性.综上可知， x ＝1.
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4. 设集合 A 含有两个元素 x ， y ，集合 B 含有两个元素0， x2，若集合
A 与集合 B 相等，则 x ＋ y ＝ .
解析：由题意得 x ≠0，即得即 x ＋ y ＝1.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若以集合 A 的四个元素 a ， b ， c ， d 为边长构成一个四边形，则这
个四边形可能是（ ）
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 菱形 D. 矩形
解析： 因为 a ， b ， c ， d 是集合 A 中的四个元素，故 a ， b ，
c ， d 均不相等.故选A.
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2. 已知集合 A 中的元素 x 满足 x －1＜ ，则下列各式正确的是（ ）
A. 3∈ A 且－3 A B. 3∈ A 且－3∈ A
C. 3 A 且－3 A D. 3 A 且－3∈ A
解析： 因为3－1＝2＞ ，所以3 A . 又－3－1＝－4＜ ，
所以－3∈ A . 故选D.
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3. 已知集合 M 是方程 x2－ x ＋ m ＝0的解组成的集合，若2∈ M ，则下
列判断正确的是（ ）
A. 1∈ M B. 0∈ M
C. －1∈ M D. －2∈ M
解析： 由2∈ M 知2为方程 x2－ x ＋ m ＝0的一个解，所以22－2
＋ m ＝0，解得 m ＝－2.所以方程为 x2－ x －2＝0，解得 x1＝－1，
x2＝2，故－1∈ M . 故选C.
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4. （2024·泰州月考）集合 A 中含有三个元素2，4，6，若 a ∈ A ，且6
－ a ∈ A ，则实数 a 的值为（ ）
A. 2或4 B. －2
C. 4 D. 2或6
解析： 若 a ＝2，则6－2＝4∈ A ；若 a ＝4，则6－4＝2∈ A ；若
a ＝6，则6－6＝0 A . 故选A.
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5. （多选）下列关系中，正确的是（ ）
A. ∈R B. Q
C. －3 N D. ∈N*
解析： 是实数，故A正确； ＝2，是有理数，故B不正
确；－3不是自然数，故C正确； 不是正整数，故D不正确.故选
A、C.
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6. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. N*中最小的数是1
B. 若－ a N*，则 a ∈N*
C. 若 a ∈N*， b ∈N*，则 a ＋ b 的最小值是2
D. x2＋4＝4 x 的实数解组成的集合中含有2个元素
解析： N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当 a ＝0
时，－ a N*，且 a N*，故B错误；若 a ∈N*，则 a 的最小值是1，
又 b ∈N*， b 的最小值也是1，当 a 和 b 都取最小值时， a ＋ b 取最小
值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故选A、C.
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7. 已知集合 A 中的元素 x 满足 x ＝3 k －1， k ∈Z，则－1 A ，－
34 A . （填“∈”或“ ”）
解析：当 k ＝0时， x ＝－1，所以－1∈ A ；令－34＝3 k －1，得 k
＝－11，所以－34∈ A .
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∈
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8. 已知集合 P 中元素 x 满足： x ∈N，且2＜ x ＜ a ，又集合 P 中恰有三
个元素，则整数 a ＝ .
解析：因为 x ∈N，2＜ x ＜ a ，且集合 P 中恰有三个元素，则这三
个元素只能为3，4，5，故 a ＝6.
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9. （2024·宿迁月考）若由 a ， ，1组成的集合 A 与由 a2， a ＋ b ，0
组成的集合 B 相等，则 a2 024＋ b2 024＝ .
解析：由已知可得 a ≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以 ＝0，
所以 b ＝0，所以 a2＝1，即 a ＝±1，又当 a ＝1时，集合 A 不满足
集合中元素的互异性，舍去，所以 a ＝－1.所以 a2 024＋ b2 024＝1.
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10. 设 A 是方程 x2－ ax －5＝0的解组成的集合.
（1）0是否是集合 A 中的元素？
解：将 x ＝0代入方程，02－ a ×0－5＝－5≠0，所以0
不是集合 A 中的元素.
（2）若－5∈ A ，求实数 a 的值.
解：若－5∈ A ，则有（－5）2－（－5） a －5＝0，解
得 a ＝－4.
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11. （2024·南通质检）集合 A 的元素 y 满足 y ＝ x2＋1，集合 B 的元素
（ x ， y ）满足 y ＝ x2＋1（ A ， B 中 x ∈R， y ∈R）.则下列选项中
元素与集合的关系都正确的是（ ）
A. 2∈ A ，且2∈ B
B. （1，2）∈ A ，且（1，2）∈ B
C. 2∈ A ，且（3，10）∈ B
D. （3，10）∈ A ，且2∈ B
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解析： 集合 A 中的元素为 y ，是数集，又 y ＝ x2＋1≥1，故2∈
A ，集合 B 中的元素为点（ x ， y ），且满足 y ＝ x2＋1，经验证，
（3，10）∈ B . 故选C.
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12. （多选）（2024·常州质检）已知 x ， y 为非零实数，代数式
＋ ＋ 的值组成的集合为 M ，则 M 中的元素可能为
（ ）
A. 1 B. 3 C. －1 D. －3
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解析： ①当 x ， y 均为正数时，代数式 ＋ ＋
的值为3；②当 x ， y 为一正一负时，代数式 ＋
＋ 的值为－1；③当 x ， y 均为负数时，代数式
＋ ＋ 的值为－1，所以集合 M 的元素有－
1，3.故选B、C.
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13. 已知集合 A 含有两个元素1和2，集合 B 表示方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的
解组成的集合，且集合 A 与集合 B 相等，则 a ＝ ； b ＝ .
解析：因为集合 A 与集合 B 相等，且1∈ A ，2∈ A ，所以1∈ B ，
2∈ B ，即1，2是方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的两个实数根.所以
即
－3
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14. 已知集合 A 含有三个元素 a －2，2 a2＋5 a ，12，且－3∈ A ，求 a
的值.
解：因为－3∈ A ，所以 a －2＝－3或2 a2＋5 a ＝－3，解得 a ＝－
1或 a ＝－ .
当 a ＝－1时， a －2＝－3，2 a2＋5 a ＝－3，集合 A 不满足元素的
互异性，所以舍去 a ＝－1.
当 a ＝－ 时，经检验，符合题意.
故 a ＝－ .
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15. 集合 A 中共有3个元素－4，2 a －1， a2，集合 B 中也共有3个元素
9， a －5，1－ a ，现知9∈ A 且集合 B 中再没有其他元素属于 A ，
能否根据上述条件求出实数 a 的值？若能，则求出 a 的值，若不
能，则说明理由.
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解：∵9∈ A ，∴2 a －1＝9或 a2＝9，
若2 a －1＝9，则 a ＝5，此时 A 中的元素为－4，9，25； B 中的元
素为9，0，－4，显然－4∈ A 且－4∈ B ，与已知矛盾，故舍去.
若 a2＝9，则 a ＝±3，当 a ＝3时， A 中的元素为－4，5，9； B 中
的元素为9，－2，－2， B 中有两个－2，与集合中元素的互异性
矛盾，故舍去.
当 a ＝－3时， A 中的元素为－4，－7，9； B 中的元素为9，－8，
4，符合题意.
综上所述，满足条件的 a 存在，且 a ＝－3.
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谢 谢 观 看！
