1.2 子集、全集、补集(课件 学案 练习)高中数学 苏教版(2019)必修 第一册

文档属性

名称 1.2 子集、全集、补集(课件 学案 练习)高中数学 苏教版(2019)必修 第一册
格式 zip
文件大小 2.0MB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-05 19:13:16

文档简介

1.2 子集、全集、补集
1.下列四个集合中,是空集的为(  )
A.{0}
B.{x|x>8,且x<5}
C.{x∈N|x2-1=0}
D.{x|x>4}
2.(2024·金陵中学质检)已知集合A={x|x<4,x∈N},则(  )
A.0 A B.-1∈A
C.{0} A D.{-1} A
3.已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={0,1,2},则集合M与N的关系是(  )
A.M=N B.N M
C.M N D.N M
4.设集合A={x|-1<x<1},B={x|x-a>0}.若A B,则实数a的取值范围是(  )
A.{a|a≥1}
B.{a|a>1}
C.{a|a<-1}
D.{a|a≤-1}
5.(多选)已知集合A={x|x2-2x=0},则有(  )
A. A
B.-2∈A
C.{0,2} A
D.A {y|y<3}
6.(多选)已知A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则集合A可以是(  )
A.{1,8} B.{2,3}
C.{1} D.{2}
7.(2024·扬州月考)若集合A {1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有    个.
8.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|1<x<5,x∈Z},则集合 UA=    .
9.设全集U={1,3,5,7},集合M={1,a-5},M U, UM={5,7},则实数a=    .
10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a}.
(1)若A B,求a的取值范围;
(2)若B A,求a的取值范围.
11.已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},若集合B满足{0} B A,则集合B=(  )
A.{-1} B.{0}
C.{-1,0} D.{0,1}
12.(2024·常州月考)设U=R,A={x|a≤x≤b}, UA={x|x<3或x>4},则a+b=(  )
A.5 B.6
C.7 D.8
13.(多选)已知集合A={x|1<x<2},B={x|2a-3<x<a-2},则下列结论正确的是(  )
A.不存在实数a使得A=B
B.存在实数a使得A B
C.当0≤a≤4时,B A
D.存在实数a使得B A
14.已知集合M={x|x2+2x-a=0}.
(1)若M≠ ,求实数a的取值范围;
(2)若N={x|x2+x=0}且M N,求实数a的取值范围.
15.(2024·无锡月考)对于一个非空集合,如果集合满足如下四个条件:
①D {(a,b)|a∈A,b∈A};
②任意a∈A,(a,a)∈D;
③任意a,b∈A,若(a,b)∈D且(b,a)∈D,则a=b;
④任意a,b,c∈A,若(a,b)∈D且(b,c)∈D,则(a,c)∈D,
则称集合D为集合A的一个“偏序关系”.
(1)设A={1,2,3},试判断集合D={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合A的一个“偏序关系”,请你写出一个含有4个元素且是集合A的“偏序关系”的集合;
(2)证明:R≤={(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b}是实数集R的一个“偏序关系”.
1.2 子集、全集、补集
1.B 满足x>8且x<5的实数不存在,故{x|x>8,且x<5}= .
2.C 因为A={0,1,2,3},则0∈A,-1 A,{0} A,{-1} A,故C对,A、B、D均错.故选C.
3.C 解方程x2-3x+2=0得x=2或x=1,则M={1,2},因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N,所以M N.又因为0∈N但0 M,所以M N.故选C.
4.D 化简得集合B={x|x>a},结合数轴可知,要使A B,则只要a≤-1即可,即实数a的取值范围是{a|a≤-1}.故选D.
5.ACD 由题得集合A={0,2},由于空集是任何集合的子集,故A正确;因为A={0,2},所以C、D正确,B错误.故选A、C、D.
6.AC ∵A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},∴集合A中一定含有集合B,C的公共元素,结合选项可知A、C满足题意.
7.5 解析:若集合A中含有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{3,2};若集合A中含有两个奇数,则A={1,3}.综上,符合题意的集合A有5个.
8.{1,5} 解析:由于1<x<5,x∈Z,∴A={2,3,4},∴ UA={1,5}.
9.8 解析:由题知a-5=3,a=8.
10.解:(1)若A B,由图可知,a>2.
故实数a的取值范围为{a|a>2}.
(2)若B A,①当a<1时,集合B是 ,符合题意;
②当a≥1时,由图可知,1≤a≤2.
故实数a的取值范围为{a|a≤2}.
11.C 解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={-1,0},因为集合B满足{0} B A,所以集合B={-1,0}.
12.C 因为 UA={x|x<3或x>4},所以A={x|3≤x≤4},又A={x|a≤x≤b},所以a=3,b=4,则a+b=7.故选C.
13.AD 对于A,由集合相等的概念可得此方程组无解,故不存在实数a使得A=B,因此A正确;对于B,由A B,得即此不等式组无解,因此B错误;对于C,当2a-3≥a-2,即a≥1时,B= A,符合B A,当a<1时,要使B A,需满足解得2≤a≤4,不满足a<1,故这样的实数a不存在,故当a≥1时,B A,因此C错误;对于D,由C选项分析可得存在实数a使得B A,因此D正确.故选A、D.
14.解:(1)由题意得,方程x2+2x-a=0有实数解,
∴Δ=22-4×(-a)≥0,解得a≥-1,
∴实数a的取值范围是{a|a≥-1}.
(2)∵N={x|x2+x=0}={0,-1},且M N,
∴当M= 时,Δ=22-4×(-a)<0,解得a<-1;
当M≠ 时,当Δ=0时,a=-1.
此时M={-1},满足M N,符合题意;
当Δ>0时,a>-1,M中有两个元素,
若M N,则M=N,从而根据一元二次方程根与系数的关系有无解.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1}.
15.解:(1)集合D满足①②③,但不满足④.
若集合D是集合A的“偏序关系”,则由(1,2)∈D,(2,3)∈D可知(1,3)∈D,而由条件可知(1,3) D,所以不满足④.
所以集合D不是集合的一个“偏序关系”.
含有4个元素且是集合A的一个“偏序关系”的集合是{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}(答案不唯一).
(2)证明:由题意得,R≤={(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b},满足①②.
任意(a,b)∈D a≤b,且(b,a)∈D b≤a,则a=b,满足条件③.
任意a,b,c∈R,若(a,b)∈R≤且(b,c)∈R≤,则a≤b,b≤c,所以a≤c,所以(a,c)∈R≤,满足条件④.
综上所述,R≤={(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b}是实数集R的一个“偏序关系”.
2 / 21.2 子集、全集、补集
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集 数学抽象、逻辑推理
2.了解全集的概念,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集 数学抽象、数学运算
3.能理解用Venn图表示集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用 数学抽象、直观想象
南京红山森林动物园拥有世界上具有代表性的动物和珍稀动物近300种4 000余只,有近二十多个品种的猴子,猴山是动物园最热闹的地方,聚集了100多只猕猴.如果猴山上的所有猕猴组成集合A,动物园内的所有猴子组成集合B.
【问题】 (1)集合A与集合B存在什么关系?
(2)如何用数学语言来表示这两个集合之间的关系?
                      
                      
知识点一 子集、真子集
子集 真子集
概念 如果集合A的    元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作   或   ,读作“集合A    集合B”或“集合B包含集合A” 如果    ,并且    ,那么集合A称为集合B的真子集,记为    或    ,读作“       ”或“      ”
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即    ; (2)对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么    ; (3)规定 A,即空集是任何集合的子集 (1)若A B且B C,则A  C; (2)若A B且A≠B,则A  B; (3)空集是任何非空集合的真子集
提醒 (1)子集刻画了两个集合之间的关系,它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).“集合A是集合B的子集”可表述为:若x∈A,则x∈B;(2)在真子集的定义中,A B首先要满足A B,其次至少有一个x∈B,但x A;(3)对于集合A,B,子集、真子集与集合相等的关系如下:A B A=B或A B.即子集包含真子集和集合相等两种情况.
【想一想】
1.任意两个集合之间的关系有哪些情形,你能用Venn图表示吗?
2.你能用Venn图表示常用数集之间的关系吗?
知识点二 全集、补集
1.全集:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的      ,那么就称这个集合为全集,全集通常记作U.
2.补集
文字语言 设A S,由S中不属于A的     组成的集合称为S的子集A的补集,记作   (读作“A在S中的补集”)
符号语言 SA=       
图形语言
提醒 (1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割;(2)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.
1.已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},下列关系中正确的是(  )
A.P∈Q B.P Q
C.Q P D.Q∈P
2.已知全集U={0,1,2},且 UA={2},则A=(  )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{0,1,2}
3.若全集U=R,求集合A={x|x>2}的补集 UA.
题型一 集合间关系的判断
【例1】 (链接教科书第9页例1)判断下列两个集合之间的关系:
(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)·(x-3)=0};
(2)A={1,2,4},B={x|x是8的约数};
(3)A={x|0<x<2},B={x|-1<x≤3};
(4)A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z}.
通性通法
判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
1.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(  )
2.(多选)下列关系中正确的有(  )
A.0∈{0}      B. {0}
C.{0,1} {(0,1)} D.{(1,2)}={(2,1)}
题型二 确定集合的子集和真子集
【例2】 (链接教科书第9页例2)写出下列集合的所有子集,并指出哪些是它的真子集:
(1)集合{a,b};
(2)集合{a,b,c}.
通性通法
求集合子集、真子集个数的步骤
提醒 (1)要注意两个特殊的子集: 和自身;(2)对含有n个元素的集合,它的子集有2n个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
【跟踪训练】
1.(2024·南航附属高中月考)集合M={1,2,3}的子集个数为(  )
A.5 B.6
C.7 D.8
2.(2024·淮安期中)满足{1} A {1,2,3}的集合A的个数为    .
题型三 确定集合的补集
【例3】 (链接教科书第10页例4)(1)设全集U={0,1,2,3,4,5},A={2,4},试求 UA;
(2)设全集U=R,不等式组的解集为A,试求A及 UA,并把它们分别表示在数轴上.
通性通法
求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时,直接用定义或借助Venn图求解;
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解.
【跟踪训练】
1.若全集U={x∈R|-2≤x≤2},集合A={x∈R|-2≤x≤0},则 UA=(  )
A.{x∈R|0<x<2} B.{x∈R|0≤x<2}
C.{x∈R|0<x≤2} D.{x∈R|0≤x≤2}
2.若集合A={x|x>1},则 RA=    .
题型四 由集合间的关系求参数的范围
【例4】 (链接教科书第12页习题7题)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m,m>1},且B A,则实数m的取值范围是    .
【母题探究】
1.(变条件)本例若将“B={x|1<x<m,m>1}”改为“B={x|1<x<m}”,其他条件不变,则实数m的取值范围是什么?
2.(变条件)本例若将“B={x|1<x<m,m>1}”改为“B={x|2m-1<x<m+1}”,其他条件不变,则实数m的取值范围是什么?
通性通法
由集合间的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时,常根据集合间包含关系的意义,转化为方程或方程组求解,此时应注意分类讨论;
(2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,应注意端点处是实点还是虚点.
提醒 (1)不能忽视集合为 的情形;
(2)当集合中含有字母参数时,一般要分类讨论.
【跟踪训练】
 已知全集U=R,A={x|x<3},B={x|x<a}.
(1)若B A,求a的取值范围;
(2)若A B,求a的取值范围;
(3)若 UB=A,求a的取值范围.
1.下列结论中正确的是(  )
A.{1}∈{0,1,2}
B.{1,-3}={-3,1}
C.{0,1,2} {1,0,2}
D. ∈{0,1,2}
2.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 UM=(  )
A.U B.{1,3,5}
C.{3,5,6} D.{2,4,6}
3.(2024·常州奔牛高中月考)设集合A={0,1,2},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M的真子集的个数为    .
4.已知集合A={x|x>4},非空集合B={x|2a≤x≤a+3},若B A,求实数a的取值范围.
1.2 子集、全集、补集
【基础知识·重落实】
知识点一
 任意一个 A B B A 包含于 A B A≠B A B B A A真包含于B B真包含A (1)A A 
(2)A C (1)  (2)
想一想
1.提示:对于任意两个集合A,B,它们可能是包含关系、相等关系(即互相包含)、真包含关系、互不包含关系.Venn图表示为:
 
2.提示:
知识点二
1.所有元素 2.所有元素  SA
{x|x∈S,且x A}
自我诊断
1.C 集合Q中的元素都在集合P中,所以Q P.故选C.
2.C ∵U={0,1,2}, UA={2},∴A={0,1}.故选C.
3.解:借助数轴得 UA={x|x≤2}.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)B={x|(x-1)(x-2)·(x-3)=0}={1,2,3}=A.
(2)∵A={1,2,4},B={1,2,4,8},如图,
∴A B.
(3)∵A={x|0<x<2},
B={x|-1<x≤3},
用数轴表示如下:
∴A B.
(4)法一 任取x0∈A,则x0=2k0+1,k0∈Z.
又∵x0=2(k0+1)-1,k0∈Z,∴k0+1∈Z,∴x0∈B,则A B.同理可得,B A.由A B,B A,得A=B.
法二 集合A={…,-5,-3,-1,1,3,5,7,…},集合B={…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,…},根据规律可知集合A与B所含元素相同,∴A=B.
跟踪训练
1.B 解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
2.AB 对于A,集合{0}中含有1个元素0,所以0∈{0}正确;对于B,由于空集是任何非空集合的真子集,所以 {0}正确;对于C,{0,1}是数集,{(0,1)}是点集,所以C错误;对于D,{(1,2)}与{(2,1)}是不同的点集,所以D错误.
【例2】 解:(1)集合{a,b}的所有子集为 ,{a},{b},{a,b}.真子集为 ,{a},{b}.
(2)集合{a,b,c}的所有子集为 ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.真子集为 ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}.
跟踪训练
1.D 法一 由题设,M的所有子集为 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共8个.故选D.
法二 集合M={1,2,3}含有3个元素,所以其子集个数为23=8,故选D.
2.4 解析:∵{1} A {1,2,3},∴A={1}或{1,2}或{1,3}或{1,2,3},故集合A的个数为4.
【例3】 解:(1)因为全集U={0,1,2,3,4,5},A={2,4},由补集的定义,得集合 UA={0,1,3,5}.
(2)A=, UA={x|x≤,或x>,在数轴上分别表示如下:
跟踪训练
1.C 借助数轴(如图)易得 UA={x∈R|0<x≤2}.
2.{x|x≤1} 解析:∵A={x|x>1},∴ RA={x|x≤1}.
【例4】 {m|1<m≤4} 解析:由于B A,结合数轴分析可知,m≤4,又m>1,所以1<m≤4.
母题探究
1.解:若m≤1,则B= ,满足B A.
若m>1,则由例题解析可知1<m≤4.
综上可知m≤4.
2.解:因为B A,
①当B= 时,m+1≤2m-1,解得m≥2.
②当B≠ 时,有
解得-1≤m<2.
综上得m≥-1.
跟踪训练
 解:(1)因为B A,B是A的子集,由图①得a≤3.
(2)因为A B,A是B的子集,由图②得a≥3.
(3)因为 UB=A,所以 UB={x|x<3},所以B={x|x≥3},又B={x|x<a},所以实数a的取值范围为 .
随堂检测
1.B 对于A,应是{1} {0,1,2},故A错误;对于B,集合中的元素有无序性,故B正确;对于C,任何集合都是本身的子集,但不是真子集,故{0,1,2} {1,0,2},故C错误;对于D,应是 {0,1,2},故D错误.故选B.
2.C ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},∴ UM={3,5,6}.
3.15 解析:集合M={4,5,6,7},所以集合M的真子集的个数为24-1=15.
4.解:因为B≠ ,根据题意作出如图所示的数轴,
则解得2<a≤3.
所以实数a的取值范围为{a|2<a≤3}.
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1.2 子集、全集、补集
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的
子集 数学抽象、
逻辑推理
2.了解全集的概念,理解在给定集合中一个子集的补
集的含义,能求给定子集的补集 数学抽象、
数学运算
3.能理解用Venn图表示集合的基本关系,体会图形对
理解抽象概念的作用 数学抽象、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
南京红山森林动物园拥有世界上具有代表性的动物和珍稀动物近
300种4 000余只,有近二十多个品种的猴子,猴山是动物园最热闹的
地方,聚集了100多只猕猴.如果猴山上的所有猕猴组成集合 A ,动物
园内的所有猴子组成集合 B .
【问题】 (1)集合 A 与集合 B 存在什么关系?
(2)如何用数学语言来表示这两个集合之间的关系?
                       
                       
                       
                       
知识点一 子集、真子集
子集 真子集

念 如果集合 A 的 元素
都是集合 B 的元素(若 a ∈ A ,则
a ∈ B ),那么集合 A 称为集合 B
的子集,记作 或
,读作“集合 A 集
合 B ”或“集合 B 包含集合 A ” 如果 ,并且
,那么集合 A 称为集合 B 的
真子集,记为 或
,读作“
”或“ ”
任意一个 
A B  
B
A  
包含于 
A B  
A ≠
B  
A B  
B
A  
A 真包含于
B  
B 真包含 A  
子集 真子集



论 (1)任何一个集合是它本身的子
集,即 ; (2)对于集合 A , B , C ,如果
A B ,且 B C ,那么
; (3)规定 A ,即空集是任何
集合的子集 (1)若 A B 且 B C ,则
A C ;
(2)若 A B 且 A ≠ B ,则
A B ;
(3)空集是任何非空集合的真
子集
A A  
A
C  
 
 
提醒 (1)子集刻画了两个集合之间的关系,它反映的是局部与整
体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关
系).“集合 A 是集合 B 的子集”可表述为:若 x ∈ A ,则 x ∈ B ;
(2)在真子集的定义中, A B 首先要满足 A B ,其次至少有一个 x
∈ B ,但 x A ;(3)对于集合 A , B ,子集、真子集与集合相等的关
系如下: A B A = B 或 A B . 即子集包含真子集和集合相等两种
情况.
【想一想】
1. 任意两个集合之间的关系有哪些情形,你能用Venn图表示吗?
提示:对于任意两个集合 A , B ,它们可能是包含关系、相等关系
(即互相包含)、真包含关系、互不包含关系.Venn图表示为:
2. 你能用Venn图表示常用数集之间的关系吗?
提示:
知识点二 全集、补集
1. 全集:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的 ,
那么就称这个集合为全集,全集通常记作 U .
所有元素 
2. 补集
文字
语言 设 A S ,由 S 中不属于 A 的 组成的集合称为 S
的子集 A 的补集,记作 (读作“ A 在 S 中的补集”)
符号
语言 SA =
图形
语言
所有元素 
SA  
{ x | x ∈ S ,且 x A } 
提醒 (1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割;(2)
补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求
集合 A 的补集的前提是 A 为全集 U 的子集,随着所选全集的不同,
得到的补集也是不同的.
1. 已知集合 P ={-1,0,1,2}, Q ={-1,0,1},下列关系中正
确的是(  )
A. P ∈ Q B. P Q
C. Q P D. Q ∈ P
解析: 集合 Q 中的元素都在集合 P 中,所以 Q P . 故选C.
2. 已知全集 U ={0,1,2},且 UA ={2},则 A =(  )
A. {0} B. {1}
C. {0,1} D. {0,1,2}
解析: ∵ U ={0,1,2}, UA ={2},∴ A ={0,1}.故选C.
3. 若全集 U =R,求集合 A ={ x | x >2}的补集 UA .
解:借助数轴得 UA ={ x | x ≤2}.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合间关系的判断
【例1】 (链接教科书第9页例1)判断下列两个集合之间的关系:
(1) A ={1,2,3}, B ={ x |( x -1)( x -2)( x -3)=0};
解: B ={ x |( x -1)( x -2)( x -3)=0}={1,2,3}= A .
(2) A ={1,2,4}, B ={ x | x 是8的约数};
解:∵ A ={1,2,4}, B ={1,2,4,8},如图,
∴ A B .
(3) A ={ x |0< x <2}, B ={ x |-1< x ≤3};
解:∵ A ={ x |0< x <2},
B ={ x |-1< x ≤3},
用数轴表示如下:
∴ A B .
(4) A ={ x | x =2 k +1, k ∈Z}, B ={ x | x =2 k -1, k ∈Z}.
解:法一 任取 x0∈ A ,则 x0=2 k0+1, k0∈Z.
又∵ x0=2( k0+1)-1, k0∈Z,∴ k0+1∈Z,∴ x0∈ B ,则 A
B . 同理可得, B A . 由 A B , B A ,得 A = B .
法二 集合 A ={…,-5,-3,-1,1,3,5,7,…},集合 B ={…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,…},根据规律可知集合 A 与 B 所含元素相同,∴ A = B .
通性通法
判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
1. 能正确表示集合 M ={ x ∈R|0≤ x ≤2}和集合 N ={ x ∈R| x2- x
=0}关系的Venn图是(  )
解析: 解 x2- x =0得 x =1或 x =0,故 N ={0,1},易得 N
M ,其对应的Venn图如选项B所示.
2. (多选)下列关系中正确的有(  )
A. 0∈{0} B. {0}
C. {0,1} {(0,1)} D. {(1,2)}={(2,1)}
解析: 对于A,集合{0}中含有1个元素0,所以0∈{0}正确;
对于B,由于空集是任何非空集合的真子集,所以 {0}正确;对
于C,{0,1}是数集,{(0,1)}是点集,所以C错误;对于D,
{(1,2)}与{(2,1)}是不同的点集,所以D错误.
题型二 确定集合的子集和真子集
【例2】 (链接教科书第9页例2)写出下列集合的所有子集,并指
出哪些是它的真子集:
(1)集合{ a , b };
解:集合{ a , b }的所有子集为 ,{ a },{ b },{ a , b }.真子集
为 ,{ a },{ b }.
(2)集合{ a , b , c }.
解:集合{ a , b , c }的所有子集为 ,{ a },{ b },{ c },{ a ,
b },{ a , c },{ b , c },{ a , b , c }.真子集为 ,{ a },{ b },
{ c },{ a , b },{ a , c },{ b , c }.
通性通法
求集合子集、真子集个数的步骤
提醒 (1)要注意两个特殊的子集: 和自身;(2)对含有 n 个
元素的集合,它的子集有2 n 个,非空子集有2 n -1个,非空真子集
有2 n -2个.
【跟踪训练】
1. (2024·南航附属高中月考)集合 M ={1,2,3}的子集个数为
(  )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析: 法一 由题设, M 的所有子集为 ,{1},{2},{3},
{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共8个.故选D.
法二 集合 M ={1,2,3}含有3个元素,所以其子集个数为23=8,
故选D.
2. (2024·淮安期中)满足{1} A {1,2,3}的集合 A 的个数为 .
解析:∵{1} A {1,2,3},∴ A ={1}或{1,2}或{1,3}或
{1,2,3},故集合 A 的个数为4.
4 
题型三 确定集合的补集
【例3】 (链接教科书第10页例4)(1)设全集 U ={0,1,2,3,
4,5}, A ={2,4},试求 UA ;
解:因为全集 U ={0,1,2,3,4,5}, A ={2,4},由补集的定
义,得集合 UA ={0,1,3,5}.
(2)设全集 U =R,不等式组的解集为 A ,试求 A 及
UA ,并把它们分别表示在数轴上.
解: A = , UA ={ x | x ≤ ,或 x > ,在数轴
上分别表示如下:
通性通法
求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时,直接用定义或借助Venn图求解;
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴
分析求解.
【跟踪训练】
1. 若全集 U ={ x ∈R|-2≤ x ≤2},集合 A ={ x ∈R|-2≤ x
≤0},则 UA =(  )
A. { x ∈R|0< x <2} B. { x ∈R|0≤ x <2}
C. { x ∈R|0< x ≤2} D. { x ∈R|0≤ x ≤2}
解析: 借助数轴(如图)易得 UA ={ x ∈R|0< x ≤2}.
2. 若集合 A ={ x | x >1},则 R A = .
解析:∵ A ={ x | x >1},∴ R A ={ x | x ≤1}.
{ x | x ≤1} 
题型四 由集合间的关系求参数的范围
【例4】 (链接教科书第12页习题7题)已知集合 A ={ x |-3≤ x
≤4}, B ={ x |1< x < m , m >1},且 B A ,则实数 m 的取值范围
是 .
{ m |1< m ≤4} 
解析:由于 B A ,结合数轴分析可知, m ≤4,又 m >1,所以1< m
≤4.
【母题探究】
1. (变条件)本例若将“ B ={ x |1< x < m , m >1}”改为“ B =
{ x |1< x < m }”,其他条件不变,则实数 m 的取值范围是什么?
解:若 m ≤1,则 B = ,满足 B A .
若 m >1,则由例题解析可知1< m ≤4.
综上可知 m ≤4.
2. (变条件)本例若将“ B ={ x |1< x < m , m >1}”改为“ B =
{ x |2 m -1< x < m +1}”,其他条件不变,则实数 m 的取值范围
是什么?
解:因为 B A ,
①当 B = 时, m +1≤2 m -1,解得 m ≥2.
②当 B ≠ 时,有
解得-1≤ m <2.
综上得 m ≥-1.
通性通法
由集合间的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时,常根据集合间包含关系的意义,转化
为方程或方程组求解,此时应注意分类讨论;
(2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,应注
意端点处是实点还是虚点.
提醒 (1)不能忽视集合为 的情形;
(2)当集合中含有字母参数时,一般要分类讨论.
【跟踪训练】
 已知全集 U =R, A ={ x | x <3}, B ={ x | x < a }.
(1)若 B A ,求 a 的取值范围;
解:因为 B A , B 是 A 的子集,由图①得 a ≤3.
(2)若 A B ,求 a 的取值范围;
解:因为 A B , A 是 B 的子集,由图②得 a ≥3.
(3)若 UB = A ,求 a 的取值范围.
解:因为 UB = A ,所以 UB ={ x | x <3},所以 B =
{ x | x ≥3},又 B ={ x | x < a },所以实数 a 的取值范围为 .
1. 下列结论中正确的是(  )
A. {1}∈{0,1,2} B. {1,-3}={-3,1}
C. {0,1,2} {1,0,2} D. ∈{0,1,2}
解析: 对于A,应是{1} {0,1,2},故A错误;对于B,集合
中的元素有无序性,故B正确;对于C,任何集合都是本身的子
集,但不是真子集,故{0,1,2} {1,0,2},故C错误;对于
D,应是 {0,1,2},故D错误.故选B.
2. 设集合 U ={1,2,3,4,5,6}, M ={1,2,4},则 UM =( )
A. U B. {1,3,5}
C. {3,5,6} D. {2,4,6}
解析: ∵ U ={1,2,3,4,5,6}, M ={1,2,4},∴ UM
={3,5,6}.
3. (2024·常州奔牛高中月考)设集合 A ={0,1,2}, B ={4,5},
M ={ x | x = a + b , a ∈ A , b ∈ B },则集合 M 的真子集的个数
为 .
解析:集合 M ={4,5,6,7},所以集合 M 的真子集的个数为24-
1=15.
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4. 已知集合 A ={ x | x >4},非空集合 B ={ x |2 a ≤ x ≤ a +3},若
B A ,求实数 a 的取值范围.
解:因为 B ≠ ,根据题意作出如图所示的数轴,
则解得2< a ≤3.
所以实数 a 的取值范围为{ a |2< a ≤3}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列四个集合中,是空集的为(  )
A. {0} B. { x | x >8,且 x <5}
C. { x ∈N| x2-1=0} D. { x | x >4}
解析: 满足 x >8且 x <5的实数不存在,故{ x | x >8,且 x <
5}= .
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2. (2024·金陵中学质检)已知集合 A ={ x | x <4, x ∈N},则
(  )
A. 0 A B. -1∈ A
C. {0} A D. {-1} A
解析: 因为 A ={0,1,2,3},则0∈ A ,-1 A ,{0} A ,
{-1} A ,故C对,A、B、D均错.故选C.
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3. 已知集合 M ={ x | x2-3 x +2=0}, N ={0,1,2},则集合 M 与
N 的关系是(  )
A. M = N B. N M
C. M N D. N M
解析: 解方程 x2-3 x +2=0得 x =2或 x =1,则 M ={1,2},
因为1∈ M 且1∈ N ,2∈ M 且2∈ N ,所以 M N . 又因为0∈ N 但
0 M ,所以 M N . 故选C.
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4. 设集合 A ={ x |-1< x <1}, B ={ x | x - a >0}.若 A B ,则实
数 a 的取值范围是(  )
A. { a | a ≥1} B. { a | a >1}
C. { a | a <-1} D. { a | a ≤-1}
解析: 化简得集合 B ={ x | x > a },结合数轴可知,要使 A
B ,则只要 a ≤-1即可,即实数 a 的取值范围是{ a | a ≤-1}.故
选D.
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5. (多选)已知集合 A ={ x | x2-2 x =0},则有(  )
A. A B. -2∈ A
C. {0,2} A D. A { y | y <3}
解析: 由题得集合 A ={0,2},由于空集是任何集合的子
集,故A正确;因为 A ={0,2},所以C、D正确,B错误.故选A、
C、D.
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6. (多选)已知 A B , A C , B ={2,0,1,8}, C ={1,9,
3,8},则集合 A 可以是(  )
A. {1,8} B. {2,3}
C. {1} D. {2}
解析: ∵ A B , A C , B ={2,0,1,8}, C ={1,9,
3,8},∴集合 A 中一定含有集合 B , C 的公共元素,结合选项可
知A、C满足题意.
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7. (2024·扬州月考)若集合 A {1,2,3},且 A 中至少含有一个奇
数,则这样的集合 A 有 个.
解析:若集合 A 中含有一个奇数,则 A 可能为{1},{3},{1,2},
{3,2};若集合 A 中含有两个奇数,则 A ={1,3}.综上,符合题
意的集合 A 有5个.
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8. 已知全集 U ={1,2,3,4,5},集合 A ={ x |1< x <5, x
∈Z},则集合 UA = .
解析:由于1< x <5, x ∈Z,∴ A ={2,3,4},∴ UA ={1,5}.
{1,5} 
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9. 设全集 U ={1,3,5,7},集合 M ={1, a -5}, M U , UM =
{5,7},则实数 a = .
解析:由题知 a -5=3, a =8.
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10. 已知集合 A ={ x |1≤ x ≤2}, B ={ x |1≤ x ≤ a }.
(1)若 A B ,求 a 的取值范围;
解:若 A B ,由图可知, a >2.
故实数 a 的取值范围为{ a | a >2}.
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(2)若 B A ,求 a 的取值范围.
解:若 B A ,①当 a <1时,集合 B 是 ,符合题意;
②当 a ≥1时,由图可知,1≤ a ≤2.
故实数 a 的取值范围为{ a | a ≤2}.
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11. 已知集合 A ={ x | x2+ x =0, x ∈R},若集合 B 满足{0} B
A ,则集合 B =(  )
A. {-1} B. {0}
C. {-1,0} D. {0,1}
解析: 解方程 x2+ x =0,得 x =-1或 x =0,所以集合 A ={-
1,0},因为集合 B 满足{0} B A ,所以集合 B ={-1,0}.
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12. (2024·常州月考)设 U =R, A ={ x | a ≤ x ≤ b }, UA ={ x | x
<3或 x >4},则 a + b =(  )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解析: 因为 UA ={ x | x <3或 x >4},所以 A ={ x |3≤ x
≤4},又 A ={ x | a ≤ x ≤ b },所以 a =3, b =4,则 a + b =7.
故选C.
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13. (多选)已知集合 A ={ x |1< x <2}, B ={ x |2 a -3< x < a -
2},则下列结论正确的是(  )
A. 不存在实数 a 使得 A = B
B. 存在实数 a 使得 A B
C. 当0≤ a ≤4时, B A
D. 存在实数 a 使得 B A
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解析: 对于A,由集合相等的概念可得此方程
组无解,故不存在实数 a 使得 A = B ,因此A正确;对于B,由 A
B ,得即此不等式组无解,因此B错
误;对于C,当2 a -3≥ a -2,即 a ≥1时, B = A ,符合 B
A ,当 a <1时,要使 B A ,需满足解得2≤ a
≤4,不满足 a <1,故这样的实数 a 不存在,故当 a ≥1时, B
A ,因此C错误;对于D,由C选项分析可得存在实数 a 使得 B
A ,因此D正确.故选A、D.
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14. 已知集合 M ={ x | x2+2 x - a =0}.
(1)若 M ≠ ,求实数 a 的取值范围;
解:由题意得,方程 x2+2 x - a =0有实数解,
∴Δ=22-4×(- a )≥0,解得 a ≥-1,
∴实数 a 的取值范围是{ a | a ≥-1}.
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(2)若 N ={ x | x2+ x =0}且 M N ,求实数 a 的取值范围.
解:∵ N ={ x | x2+ x =0}={0,-1},且 M N ,
∴当 M = 时,Δ=22-4×(- a )<0,解得 a <-1;
当 M ≠ 时,当Δ=0时, a =-1.
此时 M ={-1},满足 M N ,符合题意;
当Δ>0时, a >-1, M 中有两个元素,
若 M N ,则 M = N ,从而根据一元二次方程根与系数的关
系有无解.
综上,实数 a 的取值范围为{ a | a ≤-1}.
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15. (2024·无锡月考)对于一个非空集合,如果集合满足如下四
个条件:
① D {( a , b )| a ∈ A , b ∈ A };
②任意 a ∈ A ,( a , a )∈ D ;
③任意 a , b ∈ A ,若( a , b )∈ D 且( b , a )∈ D ,则 a = b ;
④任意 a , b , c ∈ A ,若( a , b )∈ D 且( b , c )∈ D ,则
( a , c )∈ D ,
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则称集合 D 为集合 A 的一个“偏序关系”.
(1)设 A ={1,2,3},试判断集合 D ={(1,1),(1,2),
(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合 A 的一个“偏
序关系”,请你写出一个含有4个元素且是集合 A 的“偏序
关系”的集合;
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解:集合 D 满足①②③,但不满足④.
若集合 D 是集合 A 的“偏序关系”,则由(1,2)∈ D ,
(2,3)∈ D 可知(1,3)∈ D ,而由条件可知(1,3)
D ,所以不满足④.
所以集合 D 不是集合的一个“偏序关系”.
含有4个元素且是集合 A 的一个“偏序关系”的集合是
{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}(答案不唯一).
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(2)证明:R≤={( a , b )| a ∈R, b ∈R, a ≤ b }是实数集R
的一个“偏序关系”.
解:证明:由题意得,R≤={( a , b )| a ∈R, b ∈R, a ≤ b },满足①②.
任意( a , b )∈ D a ≤ b ,且( b , a )∈ D b ≤ a ,则
a = b ,满足条件③.
任意 a , b , c ∈R,若( a , b )∈R≤且( b , c )∈R≤,
则 a ≤ b , b ≤ c ,所以 a ≤ c ,所以( a , c )∈R≤,满足
条件④.
综上所述,R≤={( a , b )| a ∈R, b ∈R, a ≤ b }是实
数集R的一个“偏序关系”.
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谢 谢 观 看!