培优课 集合的综合问题
1.如图所示，已知全集U＝R，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{4，5，6，7，8}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.{1，3} B.{5，7}
C.{1，3，5} D.{1，3，7}
2.（2024·苏州月考）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩（ UA）＝（ ）
A.{1，6} B.{1，7}
C.{6，7} D.{1，6，7}
3.定义集合运算：A☉B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{a，b}，则集合A☉B的所有元素之和为（ ）
A.1 B.0
C.－1 D.a＋b
4.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A.1 B.3
C.5 D.9
5.（2024·徐州质检）给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A.6个 B.12个
C.9个 D.5个
6.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝，若M与N“相交”，则实数a＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
7.（多选）已知全集U＝{2，4，6，8，10，12}，M＝{4，6，8}，N＝{8，10}，则集合{2，12}＝（ ）
A.M∪N B.（ UM）∩（ UN）
C. U（M∪N） D. U（M∩N）
8.（多选）定义集合运算：A*B＝{z｜z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}.若集合A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，则集合 （A*B）A中的元素是（ ）
A.0 B.2 C.4 D.6
9.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”.对于集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”，则a的值为 .
10.已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1 A，且x＋1 A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有 个，其中的一个是 .（写出一个即可）
11.（2024·镇江质检）设集合M＝xm≤x≤m＋，N＝{xn－≤x≤n}，且M，N都是集合{x｜0≤x≤1}的子集，如果把b－a称为集合{x｜a≤x≤b，a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值为 .
12.已知集合A＝{x｜－4≤x≤－2}，集合B＝{x｜x－a≥0}.
（1）若A B，求a的取值范围；
（2）若全集U＝R，且A （ UB），求a的取值范围.
13.已知A＝{x｜x2－2x－8＝0}，B＝{x｜x2＋ax＋a2－12＝0}.若B∪A≠A，求实数a的取值范围.
培优课 集合的综合问题
1.A 因为Venn图表示的集合为A∩（ UB），所以A∩（ UB）＝{1，3}.故选A.
2.C ∵ U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，∴ UA＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，∴B∩（ UA）＝{6，7}.故选C.
3.B 因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为a，b，所以xy的所有可能取值为－a，0，a，－b，b，所以所有元素之和为0.故选B.
4.C x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.
5.A 要不含“好元素”，说明这三个数必须是连续的，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A.
6.B M＝，由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1.当a＝4时，M＝，此时M N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意.综上，实数a的值为1.
7.BC M∪N＝{4，6，8，10}，M∩N＝{8}， UM＝{2，10，12}， UN＝{2，4，6，12}，则（ UM）∩（ UN）＝{2，12}， U（M∪N）＝{2，12}， U（M∩N）＝{2，4，6，10，12}.故选B、C.
8.ACD 因为A∩B＝{1，2}，A∪B＝{0，1，2，3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z＝0，1，2，3，4，6，所以A*B＝{0，1，2，3，4，6}，所以 （A*B）A＝{0，4，6}.故选A、C、D.
9.0 解析：当a＝0时，B＝ ，显然B A，符合题意；当a≠0时，显然集合B中元素是两个互为相反数的实数，而集合A中的两个元素不互为相反数，所以集合A、B之间不存在子集关系，不符合题意，故a的值为0.
10.6 {0，1，2，3} 解析：因为集合S＝{0，1，2，3，4，5}，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S中无“孤立元素”的4个元素的子集有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个.其中一个可以是{0，1，2，3}.
11. 解析：由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M，N的“长度”分别为，，因此要使M∩N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为＋－1＝.
12.解：∵A＝{x｜－4≤x≤－2}，B＝{x｜x≥a}，
（1）由A B，结合数轴，如图，可知a的范围为a≤－4.
（2）∵U＝R，∴ UB＝{x｜x＜a}，要使A （ UB），如图，可知a＞－2.
13.解：若B∪A＝A，则B A.又A＝{x｜x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况：
①当B＝ 时，Δ＝a2－4（a2－12）＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4；
②当B是单元素集时，Δ＝a2－4（a2－12）＝0，∴a＝－4或a＝4，若a＝－4，则B＝{2} A；若a＝4，则B＝{－2} A；
③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实根，∴∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为{a｜a＜－4或a＝－2或a≥4}.
∴B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}.
2 / 2培优课 集合的综合问题
题型一 集合的综合运算
【例1】 （1）（2022·全国甲卷3题）设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则 U（A∪B）＝（ ）
A.{1，3} B.{0，3}
C.{－2，1} D.{－2，0}
（2）若集合P＝{x｜3＜x≤22}，非空集合Q＝{x｜2a＋1≤x＜3a－5}，则能使Q （P∩Q）成立的所有实数a的取值范围为（ ）
A.1＜a＜9 B.1≤a≤9
C.6≤a＜9 D.6＜a≤9
通性通法
解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解；
（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.
【跟踪训练】
（2024·宿迁月考）已知集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}，C＝{x｜x＞m－2}.
（1）求A∪B；
（2）若 ，求实数m的取值范围.
请从①A C；②A∩C≠ ；③C RA.这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
题型二 集合中的创新性问题
角度1 集合的新定义问题
【例2】 若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合A＝，B＝{x｜ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为 .
通性通法
解决以集合为背景的新定义问题的方法
（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.
角度2 集合的新运算问题
【例3】 （2024·泰州质检）定义集合的商集运算为＝{x｜x＝，m∈A，n∈B}，已知集合S＝{2，4，6}，T＝{x｜x＝－1，k∈S}，则集合∪T中的元素个数为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
通性通法
解决集合新运算问题的方法
（1）定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素；
（2）定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题；
（3）定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素.
【跟踪训练】
1.定义集合运算：A☉B＝{z｜z＝xy（x＋y），x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为（ ）
A.0 B.6
C.12 D.18
2.（2024·南通月考）设全集U＝{1，2，3}，集合A，B（A≠B）都是U的子集，若A∩B＝{1}，则称A，B为“理想配集”，记作（A，B），（A，B）和（B，A）是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”（A，B）有（ ）
A.3种 B.4种
C.7种 D.8种
1.已知M＝{x｜x∈A且x B}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则M＝（ ）
A.{1，3，5，6} B.{1，3，5}
C.{2，4} D.{6}
2.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝ .
3.已知集合M＝{1，2，3}，A M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.
（1）若n＝3，求集合A；
（2）若n为偶数，求集合A.
培优课 集合的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）D 解析：（1）集合B＝{1，3}，∴A∪B＝{－1，1，2，3}，∴ U（A∪B）＝{－2，0}.故选D.
（2）∵Q （P∩Q），∴P∩Q＝Q，Q P，∴解得6＜a≤9，故选D.
跟踪训练
解：（1）∵集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}，
∴A∪B＝{x｜－1＜x＜3}∪{x｜x≥1}＝{x｜x＞－1}.
（2）若选择①，由A C，得m－2≤－1，即m≤1，
∴实数m的取值范围是{m｜m≤1}.
若选择②，由A∩C≠ ，得m－2＜3，即m＜5，
∴实数m的取值范围是{m｜m＜5}.
若选择③，由C RA，且 RA＝{x｜x≤－1或x≥3}，得m－2≥3，即m≥5，
∴实数m的取值范围是{m｜m≥5}.
【例2】 0或1或4 解析：若a＝0，则B＝ ，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a＞0，则B＝＝.又A与B构成“全食”或“偏食”，则＝1或＝，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4.
【例3】 B 由T＝{x－1，k∈S}，得T＝{0，1，2}，又集合的商集运算为＝{x｜x＝，m∈A，n∈B}，所以＝{1，2，3，4，6}，所以∪T＝{0，1，2，3，4，6}.则集合∪T中元素的个数为6.故选B.
跟踪训练
1.D 当x＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12.故所有元素之和为18.故选D.
2.B 由A∩B＝{1}可知，1这个元素在集合A和B中，且A≠B，则集合A，B可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，所以讨论满足条件的集合A和B可能的情况.因为（A，B）和（B，A）是相同的“理想配集”，所以集合A，B的可能情况有：①A＝{1}，B＝{1，2}；②A＝{1}，B＝{1，3}；③A＝{1}，B＝{1，2，3}；④A＝{1，2}，B＝{1，3}.所以这样的（A，B）有4种.
随堂检测
1.B 由题得M＝{1，3，5}.故选B.
2.{x｜－3≤x＜0或x＞3} 解析：因为A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.所以A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.
3.解：（1）若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1，3}.
（2）因为集合M的子集共有8个： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}，共3个，
“累积值”为偶数的集合共有5个： ，{2}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}.
故A＝ 或A＝{2}或A＝{1，2}或A＝{2，3}或A＝{1，2，3}.
2 / 2(共40张PPT)
培优课 集合的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合的综合运算
【例1】 （1）（2022·全国甲卷3题）设全集 U ＝{－2，－1，0，1，
2，3}，集合 A ＝{－1，2}， B ＝{ x ｜ x2－4 x ＋3＝0}，则 U （ A ∪
B ）＝（ ）
A. {1，3} B. {0，3}
C. {－2，1} D. {－2，0}
解析：集合 B ＝{1，3}，∴ A ∪ B ＝{－1，1，2，3}，∴ U （ A ∪
B ）＝{－2，0}.故选D.
（2）若集合 P ＝{ x ｜3＜ x ≤22}，非空集合 Q ＝{ x ｜2 a ＋1≤ x ＜3 a
－5}，则能使 Q （ P ∩ Q ）成立的所有实数 a 的取值范围为
（ ）
A. 1＜ a ＜9 B. 1≤ a ≤9
C. 6≤ a ＜9 D. 6＜ a ≤9
解析：∵ Q （ P ∩ Q ），∴ P ∩ Q ＝ Q ， Q P ，
∴解得6＜ a ≤9，故选D.
通性通法
解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，
然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借
助于Venn图来求解；
（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分
别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.
【跟踪训练】
（2024·宿迁月考）已知集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x
≥1}， C ＝{ x ｜ x ＞ m －2}.
（1）求 A ∪ B ；
解：∵集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x ≥1}，
∴ A ∪ B ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}∪{ x ｜ x ≥1}＝{ x ｜ x ＞－1}.
（2）若 ，求实数 m 的取值范围.
请从① A C ；② A ∩ C ≠ ；③ C R A . 这三个条件中选一个
填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：若选择①，由 A C ，得 m －2≤－1，即 m ≤1，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≤1}.
若选择②，由 A ∩ C ≠ ，得 m －2＜3，即 m ＜5，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ＜5}.
若选择③，由 C R A ，且 R A ＝{ x ｜ x ≤－1或 x ≥3}，得 m －
2≥3，即 m ≥5，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥5}.
题型二 集合中的创新性问题
角度1 集合的新定义问题
【例2】 若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全
食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构
成“偏食”.对于集合 A ＝ ， B ＝{ x ｜ ax2＝1， a ≥0}，
若两个集合构成“全食”或“偏食”，则 a 的值为 .
0或1或4
解析：若 a ＝0，则 B ＝ ，满足 B 为 A 的真子集，此时 A 与 B 构成“全
食”；若 a ＞0，则 B ＝ ＝ .又 A 与 B 构成“全
食”或“偏食”，则 ＝1或 ＝ ，解得 a ＝1或 a ＝4.综上， a 的
值为0或1或4.
通性通法
解决以集合为背景的新定义问题的方法
（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题
的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解
新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性
质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.
角度2 集合的新运算问题
【例3】 （2024·泰州质检）定义集合的商集运算为 ＝{ x ｜ x ＝
， m ∈ A ， n ∈ B }，已知集合 S ＝{2，4，6}， T ＝{ x ｜ x ＝ －1，
k ∈ S }，则集合 ∪ T 中的元素个数为（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 由 T ＝{ x －1， k ∈ S }，得 T ＝{0，1，2}，又集合的
商集运算为 ＝{ x ｜ x ＝ ， m ∈ A ， n ∈ B }，所以 ＝{1，2，3，
4，6}，所以 ∪ T ＝{0，1，2，3，4，6}.则集合 ∪ T 中元素的个数
为6.故选B.
通性通法
解决集合新运算问题的方法
（1）定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有
元素；
（2）定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转
化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的
有关运算问题；
（3）定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出
所求集合中的所有元素.
【跟踪训练】
1. 定义集合运算： A ☉ B ＝{ z ｜ z ＝ xy （ x ＋ y ）， x ∈ A ， y ∈ B }，
设集合 A ＝{0，1}， B ＝{2，3}，则集合 A ☉ B 的所有元素之和为
（ ）
A. 0 B. 6
C. 12 D. 18
解析： 当 x ＝0时， z ＝0；当 x ＝1， y ＝2时， z ＝6；当 x ＝1，
y ＝3时， z ＝12.故所有元素之和为18.故选D.
2. （2024·南通月考）设全集 U ＝{1，2，3}，集合 A ， B （ A ≠ B ）
都是 U 的子集，若 A ∩ B ＝{1}，则称 A ， B 为“理想配集”，记作
（ A ， B ），（ A ， B ）和（ B ， A ）是相同的“理想配集”，则
这样的“理想配集”（ A ， B ）有（ ）
A. 3种 B. 4种
C. 7种 D. 8种
解析： 由 A ∩ B ＝{1}可知，1这个元素在集合 A 和 B 中，且
A ≠ B ，则集合 A ， B 可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，
3}，所以讨论满足条件的集合 A 和 B 可能的情况.因为（ A ，
B ）和（ B ， A ）是相同的“理想配集”，所以集合 A ， B 的可
能情况有：① A ＝{1}， B ＝{1，2}；② A ＝{1}， B ＝{1，
3}；③ A ＝{1}， B ＝{1，2，3}；④ A ＝{1，2}， B ＝{1，
3}.所以这样的（ A ， B ）有4种.
1. 已知 M ＝{ x ｜ x ∈ A 且 x B }，若集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝
{2，4，6}，则 M ＝（ ）
A. {1，3，5，6} B. {1，3，5}
C. {2，4} D. {6}
解析： 由题得 M ＝{1，3，5}.故选B.
2. 对于任意两集合 A ， B ，定义 A － B ＝{ x ｜ x ∈ A 且 x B }，A*B＝
（ A － B ）∪（ B － A ），记 A ＝{ x ｜ x ≥0}， B ＝{ x ｜－3≤ x
≤3}，则A*B＝ .
解析：因为 A － B ＝{ x ｜ x ＞3}， B － A ＝{ x ｜－3≤ x ＜0}.所以
A*B＝{ x ｜－3≤ x ＜0或 x ＞3}.
{ x ｜－3≤ x ＜0或 x ＞3}
3. 已知集合 M ＝{1，2，3}， A M ，集合 A 中所有元素的乘积称为
集合 A 的“累积值”，且规定：当集合 A 只有一个元素时，其累积
值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合 A 的累积值为 n .
（1）若 n ＝3，求集合 A ；
解：若 n ＝3，据“累积值”的定义得 A ＝{3}或 A ＝{1，3}.
（2）若 n 为偶数，求集合 A .
解：因为集合 M 的子集共有8个： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}，共3个，
“累积值”为偶数的集合共有5个： ，{2}，{1，2}，{2，
3}，{1，2，3}.
故 A ＝ 或 A ＝{2}或 A ＝{1，2}或 A ＝{2，3}或 A ＝{1，2，3}.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示，已知全集 U ＝R，集合 A ＝{1，3，5，7}， B ＝{4，5，
6，7，8}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. {1，3} B. {5，7}
C. {1，3，5} D. {1，3，7}
解析： 因为Venn图表示的集合为 A ∩（ UB ），所以 A ∩（
UB ）＝{1，3}.故选A.
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2. （2024·苏州月考）已知集合 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}， A ＝
{2，3，4，5}， B ＝{2，3，6，7}，则 B ∩（ UA ）＝（ ）
A. {1，6} B. {1，7}
C. {6，7} D. {1，6，7}
解析： ∵ U ＝{1，2，3，4，5，6，7}， A ＝{2，3，4，5}，
∴ UA ＝{1，6，7}.又 B ＝{2，3，6，7}，∴ B ∩（ UA ）＝{6，
7}.故选C.
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3. 定义集合运算： A ☉ B ＝{ z ｜ z ＝ xy ， x ∈ A ， y ∈ B }，设集合 A ＝
{－1，0，1}， B ＝{ a ， b }，则集合 A ☉ B 的所有元素之和为（ ）
A. 1 B. 0
C. －1 D. a ＋ b
解析： 因为 x ∈ A ，所以 x 的可能取值为－1，0，1.同理， y 的
可能取值为 a ， b ，所以 xy 的所有可能取值为－ a ，0， a ，－ b ，
b ，所以所有元素之和为0.故选B.
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4. 已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{ x － y ｜ x ∈ A ， y ∈ A }中元
素的个数是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
解析： x ＝0， y ＝0，1，2时， x － y ＝0，－1，－2； x ＝1， y
＝0，1，2时， x － y ＝1，0，－1； x ＝2， y ＝0，1，2时， x － y
＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合 B 中的元素为－2，
－1，0，1，2，共5个.
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5. （2024·徐州质检）给定集合 S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对
于 x ∈ S ，如果 x ＋1 S ， x －1 S ，那么 x 是 S 的一个“好元素”.
由 S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有
（ ）
A. 6个 B. 12个 C. 9个 D. 5个
解析： 要不含“好元素”，说明这三个数必须是连续的，故不
含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，
5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A.
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6. 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集
合“相交”.对于集合 M ＝{ x ｜ ax2－1＝0， a ＞0}， N ＝ ，若 M 与 N “相交”，则实数 a ＝（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析： M ＝ ，由 ＝ ，得 a ＝4，由 ＝1，得 a
＝1.当 a ＝4时， M ＝ ，此时 M N ，不合题意；当 a ＝1
时， M ＝{－1，1}，满足题意.综上，实数 a 的值为1.
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7. （多选）已知全集 U ＝{2，4，6，8，10，12}， M ＝{4，6，8}，
N ＝{8，10}，则集合{2，12}＝（ ）
A. M ∪ N B. （ UM ）∩（ UN ）
C. U （ M ∪ N ） D. U （ M ∩ N ）
解析： M ∪ N ＝{4，6，8，10}， M ∩ N ＝{8}， UM ＝{2，
10，12}， UN ＝{2，4，6，12}，则（ UM ）∩（ UN ）＝{2，
12}， U （ M ∪ N ）＝{2，12}， U （ M ∩ N ）＝{2，4，6，10，
12}.故选B、C.
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8. （多选）定义集合运算：A*B＝{ z ｜ z ＝ xy ， x ∈ A ∩ B ， y ∈ A ∪
B }.若集合 A ＝{1，2，3}， B ＝{0，1，2}，则集合 （A*B） A 中的
元素是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
解析： 因为 A ∩ B ＝{1，2}， A ∪ B ＝{0，1，2，3}，所以
当 x ∈ A ∩ B ， y ∈ A ∪ B 时， z ＝0，1，2，3，4，6，所以 A * B ＝
{0，1，2，3，4，6}，所以 （ A* B） A ＝{0，4，6}.故选A、C、D.
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9. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”.对
于集合 A ＝{－1，2}， B ＝{ x ｜ ax2＝2， a ≥0}，若这两个集合构
成“鲸吞”，则 a 的值为 .
解析：当 a ＝0时， B ＝ ，显然 B A ，符合题意；当 a ≠0时，显
然集合 B 中元素是两个互为相反数的实数，而集合 A 中的两个元素
不互为相反数，所以集合 A 、 B 之间不存在子集关系，不符合题
意，故 a 的值为0.
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10. 已知集合 S ＝{0，1，2，3，4，5}， A 是 S 的一个子集，当 x ∈ A
时，若有 x －1 A ，且 x ＋1 A ，则称 x 为 A 的一个“孤立元
素”，那么 S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有 个，其中
的一个是 .（写出一个即可）
解析：因为集合 S ＝{0，1，2，3，4，5}，根据题意知只要有元
素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以 S 中无“孤立元素”
的4个元素的子集有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，
5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个.其中一
个可以是{0，1，2，3}.
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{0，1，2，3}
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11. （2024·镇江质检）设集合 M ＝ x m ≤ x ≤ m ＋ ， N ＝{ x n － ≤
x ≤ n }，且 M ， N 都是集合{ x ｜0≤ x ≤1}的子集，如果把 b － a
称为集合{ x ｜ a ≤ x ≤ b ， a ， b ∈R}的“长度”，那么集合 M ∩
N 的“长度”的最小值为 .
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解析：由题意可知，集合 M ， N 都是
由数轴上0～1这一段上的点所对应的
实数组成的集合（如图所示），且集
合 M ， N 的“长度”分别为 ， ，因此要使 M ∩ N 的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们
分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为 ＋ －1＝ .
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12. 已知集合 A ＝{ x ｜－4≤ x ≤－2}，集合 B ＝{ x ｜ x － a ≥0}.
（1）若 A B ，求 a 的取值范围；
由 A B ，结合数轴，如图，可知 a
的范围为 a ≤－4.
解：∵ A ＝{ x ｜－4≤ x ≤－2}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }，
（2）若全集 U ＝R，且 A （ UB ），求 a 的取值范围.
解： ∵ U ＝R，∴ UB ＝{ x ｜ x ＜ a }，要使
A （ UB ），如图，可知 a ＞－2.
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13. 已知 A ＝{ x ｜ x2－2 x －8＝0}， B ＝{ x ｜ x2＋ ax ＋ a2－12＝0}.若
B ∪ A ≠ A ，求实数 a 的取值范围.
解：若 B ∪ A ＝ A ，则 B A . 又 A ＝{ x ｜ x2－2 x －8＝0}＝{－
2，4}，∴集合 B 有以下三种情况：
①当 B ＝ 时，Δ＝ a2－4（ a2－12）＜0，即 a2＞16，∴ a ＜－4或
a ＞4；
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③当 B ＝{－2，4}时，－2，4是方程 x2＋ ax ＋ a2－12＝0的两实
根，∴∴ a ＝－2.
综上可得， B ∪ A ＝ A 时， a 的取值范围为{ a ｜ a ＜－4或 a ＝－2
或 a ≥4}.
∴ B ∪ A ≠ A 时，实数 a 的取值范围为{ a ｜－4≤ a ＜4，且 a ≠－2}.
②当 B 是单元素集时，Δ＝ a2－4（ a2－12）＝0，∴ a ＝－4或 a ＝
4，若 a ＝－4，则 B ＝{2} A ；若 a ＝4，则 B ＝{－2} A ；
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谢 谢 观 看！
