一、集合的基本概念
理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
【例1】 （1）设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B的真子集的个数是（ ）
A.31 B.32 C.63 D.64
（2）若2∈{1，a2＋1，a＋1}，则a＝（ ）
A.2 B.1或－1 C.1 D.－1
（3）设集合A＝{x｜3x－1＜m}，若1∈A且2 A，则实数m的取值范围为 .
反思感悟
求解与集合中元素有关问题的关键点
（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；
（2）集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
二、集合的基本关系
能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值（范围）.
【例2】 （1）已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y｜y＝｜x｜－1，x∈A}，则下列关系正确的是（ ）
A.A＝B B.A B
C.B A D.A∩B＝
（2）（2024·扬州月考）已知集合A＝{x｜0＜x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a｜0＜a＜4} B.{a｜－8＜a＜4}
C.{a｜a≥4} D.{a｜a＞4}
反思感悟
破解集合间基本关系的方法
（1）若B A，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论；
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
三、集合的基本运算
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
【例3】 （1）已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（ ）
A. B.S
C.T D.Z
（2）（2024·苏州月考）已知全集U＝R，A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{y｜y＝}，则A∩（ UB）＝（ ）
A.{x｜－1＜x＜0}
B.{x｜－1＜x≤0}
C.{x｜0＜x＜1}
D.{x｜0≤x＜1}
反思感悟
求解集合基本运算的方法步骤
四、补集思想及应用
在讨论一些较为复杂的集合问题时，可以先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略，这就是补集思想.具体的讲，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，则A的补集即为所求.
【例4】 设集合A＝{x｜a≤x≤a＋4}，B＝{x｜x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围.
反思感悟
“正难则反”——补集思想的应用
补集的性质A＝ U（ UA）为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决，要么解题思路不明朗，要么需要考虑的因素太多，因此，用补集思想考虑其对立面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路.
章末复习与总结
【例1】 （1）C （2）D （3）（2，5]
解析：（1）∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，其真子集的个数为26－1＝63，故选C.
（2）若2∈{1，a2＋1，a＋1}，则a＋1＝2或a2＋1＝2，所以a＝1或a＝－1，当a＝1时，a2＋1＝a＋1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a＝－1时，a＋1＝0，a2＋1＝2，符合题意，所以a＝－1.故选D.
（3）∵集合A＝{x｜3x－1＜m}，1∈A且2 A，∴3×1－1＜m且3×2－1≥m，解得2＜m≤5.
【例2】 （1）C （2）C 解析：（1）由集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y｜y＝｜x｜－1，x∈A}，得B＝{－1，0，1}，所以B A.故选C.
（2）在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴知，若A B，则a≥4.
【例3】 （1）C （2）A 解析：（1）法一 在集合T中，令n＝k（k∈Z），则t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T S，所以S∩T＝T，故选C.
法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T S，所以S∩T＝T，故选C.
（2）因为B＝{y｜y＝}＝{y｜y≥0}，又由全集U＝R，所以 UB＝{y｜y＜0}，则A∩（ UB）＝{x｜－1＜x＜0}.故选A.
【例4】 解：当A∩B＝ 时，如图所示，
则
解得－1≤a≤1.
即A∩B＝ 时，实数a的取值范围为M＝{a｜－1≤a≤1}.
而A∩B≠ 时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a｜a＜－1，或a＞1}.
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章末复习与总结
一、集合的基本概念
理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法、元素与集合之间
的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
【例1】 （1）设集合 A ＝{1，2，4}，集合 B ＝{ x ｜ x ＝ a ＋ b ， a
∈ A ， b ∈ A }，则集合 B 的真子集的个数是（ C ）
A. 31 B. 32
C. 63 D. 64
解析：∵ a ∈ A ， b ∈ A ， x ＝ a ＋ b ，∴ x ＝2，3，4，5，6，8，∴ B
中有6个元素，其真子集的个数为26－1＝63，故选C.
C
解析：若2∈{1， a2＋1， a ＋1}，则 a ＋1＝2或 a2＋1＝2，所以
a ＝1或 a ＝－1，当 a ＝1时， a2＋1＝ a ＋1，与元素互异性相矛
盾，舍去；当 a ＝－1时， a ＋1＝0， a2＋1＝2，符合题意，所
以 a ＝－1.故选D.
（2）若2∈{1， a2＋1， a ＋1}，则 a ＝（ D ）
A. 2 B. 1或－1
C. 1 D. －1
D
（3）设集合 A ＝{ x ｜3 x －1＜ m }，若1∈ A 且2 A ，则实数 m 的取值
范围为 .
解析：∵集合 A ＝{ x ｜3 x －1＜ m }，1∈ A 且2 A ，∴3×1－1
＜ m 且3×2－1≥ m ，解得2＜ m ≤5.
（2，5]
反思感悟
求解与集合中元素有关问题的关键点
（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再
看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他
类型的集合；
（2）集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含
有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素
是否满足互异性.
二、集合的基本关系
能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集
合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值（范围）.
【例2】 （1）已知集合 A ＝{－2，－1，0，1，2}， B ＝{ y ｜ y ＝｜
x ｜－1， x ∈ A }，则下列关系正确的是（ C ）
A. A ＝ B B. A B
C. B A D. A ∩ B ＝
解析：由集合 A ＝{－2，－1，0，1，2}， B ＝{ y ｜ y ＝｜ x ｜－1， x
∈ A }，得 B ＝{－1，0，1}，所以 B A . 故选C.
C
（2）（2024·扬州月考）已知集合 A ＝{ x ｜0＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x ＜
a }，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ C ）
A. { a ｜0＜ a ＜4} B. { a ｜－8＜ a ＜4}
C. { a ｜ a ≥4} D. { a ｜ a ＞4}
解析：在数轴上标出 A ， B 两集合如图所示，结合数轴知，若 A
B ，则 a ≥4.
C
反思感悟
破解集合间基本关系的方法
（1）若 B A ，应分 B ＝ 和 B ≠ 两种情况讨论；
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系
转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.
解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进
行求解.
三、集合的基本运算
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.对于较抽象的集合
问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、
形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
【例3】 （1）已知集合 S ＝{ s ｜ s ＝2 n ＋1， n ∈Z}， T ＝{ t ｜ t ＝4
n ＋1， n ∈Z}，则 S ∩ T ＝（ C ）
A. B. S
C. T D. Z
C
解析：法一 在集合 T 中，令 n ＝ k （ k ∈Z），则 t ＝4 n ＋1＝2（2
k ）＋1（ k ∈Z），而集合 S 中， s ＝2 n ＋1（ n ∈Z），所以必有 T
S ，所以 S ∩ T ＝ T ，故选C.
法二 S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}， T ＝{…，－3，1，
5，…}，观察可知， T S ，所以 S ∩ T ＝ T ，故选C.
（2）（2024·苏州月考）已知全集 U ＝R， A ＝{ x ｜－1＜ x ＜1}， B
＝{ y ｜ y ＝ }，则 A ∩（ UB ）＝（ A ）
A. { x ｜－1＜ x ＜0} B. { x ｜－1＜ x ≤0}
C. { x ｜0＜ x ＜1} D. { x ｜0≤ x ＜1}
解析：因为 B ＝{ y ｜ y ＝ }＝{ y ｜ y ≥0}，又由全集 U ＝
R，所以 UB ＝{ y ｜ y ＜0}，则 A ∩（ UB ）＝{ x ｜－1＜ x ＜
0}.故选A.
A
反思感悟
求解集合基本运算的方法步骤
四、补集思想及应用
在讨论一些较为复杂的集合问题时，可以先求解问题的反面，采
用“正难则反”的解题策略，这就是补集思想.具体的讲，就是将研
究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合 A ，则 A 的补集
即为所求.
【例4】 设集合 A ＝{ x ｜ a ≤ x ≤ a ＋4}， B ＝{ x ｜ x ＜－1，或 x ＞
5}，若 A ∩ B ≠ ，求实数 a 的取值范围.
解：当 A ∩ B ＝ 时，如图所示，则解得－1≤ a ≤1.
即 A ∩ B ＝ 时，实数 a 的取值范围为 M ＝{ a ｜－1≤ a ≤1}.
而 A ∩ B ≠ 时，实数 a 的取值范围显然是集合 M 在R中的补集，故实
数 a 的取值范围为{ a ｜ a ＜－1，或 a ＞1}.
反思感悟
“正难则反”——补集思想的应用
补集的性质 A ＝ U （ UA ）为我们提供了“正难则反”的解题思
想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决，要么解题思路
不明朗，要么需要考虑的因素太多，因此，用补集思想考虑其对立
面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路.
谢 谢 观 看！
