期末质量评估（含答案） 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

期末质量评估
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.勾股数，又名毕氏三元数，下列各组数构成勾股数的是(　 　)
A.，， B.，， C.9，40，41 D.5，15，20
2.点M(－4，－1)关于y轴对称的点的坐标为(　 　)
A.(－4，1) B.(4，1) C.(4，－1) D.(－4，－1)
3.一组数据3，6，7，4，x的平均数是5，则这组数据的中位数是(　 　)
A.4 B.4.5 C.5 D.6
4.已知｜3x－2y－1｜＋＝0，则x，y的值为(　 　)
A. B. C. D.
5.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过点P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的周长为8，则该直线的函数表达式是(　 　)
A.y＝－x＋4 B.y＝x＋4 C.y＝x＋8 D.y＝－x＋8
6.已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放。若∠1＝120°，则∠2的度数为(　 　)
A.120° B.130° C.140° D.150°
7.直线y＝－ax＋a与直线y＝ax在同一坐标系中的大致图象可能是(　 　)
8.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十。今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为。今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少。向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗。问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为(　 　)
A. B.
C. D.
9.如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的外表面爬到点B处觅食，则它爬行的最短路程为(　 　)
A. B.3 C.2 D.
10.甲、乙两名运动员同时从A地出发前往B地，在笔直的公路上进行骑自行车训练。如图反映了甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程s(单位：千米)与行驶时间t(单位：时)之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/时；②乙的速度始终为50千米/时；③行驶1小时时，乙在甲前方10千米处；④甲、乙两名运动员相距5千米时，t＝0.5或t＝2。其中正确的有(　 　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
11.命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是　　　　　(填“真命题”或“假命题”)。
12.已知＋1的整数部分为a，小数部分为b，则＝　　　　　。
13.如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝4cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝6cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝8 cm，则钟摆AD的长度为　　　　　。
14.如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A(－2，0)，C(1，2)，则点B的坐标为　　　　　　。
15.已知直线y＝－x＋(n为整数)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝　　　　　。
三、解答题(本题共8小题，共75分)
16.(8分)
(1)计算：＋(＋)(－)；
(2)解方程组：
17.(8分)如图，已知DC∥AB，E，F分别在DC，AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB。
(1)AD是否平行于BC？并说明理由。
(2)求证：AE⊥EF。
18.(8分)某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人，为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试。在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分(满分为100分)分别为87分、85分、90分。运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分(每位测试员打分不超过10分)，各位测试员打分之和作为该款智能机器人运动能力测试成绩。下面是机器人运动能力得分的统计图表：
A，B两款机器人运动
能力得分的折线图
C款机器人运动能力
得分的扇形统计图
A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分 的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差
A m 9和10 85 1.85
B 8.5 8 87 s2
C 8 n p 2.01
现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优。
(1)填空：m＝　　　　，n＝　　　　；
(2)通过比较方差，判断测试员对　　　　(填“A”“B”或“C”)款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高；
(3)按图象识别能力测试成绩占40％，运动能力测试成绩占60％计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
19.(8分)某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售。据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元。
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元。
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元，销售1辆B型汽车可获利5 000元，则要购进A型、B型汽车各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
20.(8分)和为整数，4－1＝3＝2×1＋1；
和为整数，9－4＝5＝2×2＋1；
和为整数，16－9＝7＝2×3＋1；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，且a＜b，则b－a＝2＋1。
并给出了证明：∵和为相邻的两个整数，a＜b，
∴＝＋1，∴b＝a＋2＋1，
∴b－a＝2＋1。
请利用小明的结论和方法解决下列问题：
(1)若和为两个相邻整数，求a的值；
(2)若和为相差4的两个整数，求a的值。
21.(10分)在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ＝1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ＝0。例如，点P(1，2)是直线y＝x的最佳关联点。根据阅读材料，解决下列问题。
如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝－x＋3，l2：y＝2x＋b。
(1)已知点A(0，4)，B(2，3)，其中是直线l1的关联点是　　　　　；
(2)若点D(－1，m)是直线l1的最佳关联点，求m的值；
(3)点E在x轴的正半轴上，点A(0，4)，以OA、OE为边作正方形AOEF，若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，求b的取值范围。
22.(12分)(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象。如图1，光线A从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线B，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线A与光线B是否平行，并说明理由。
图1
(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等。如图2，有一口井，已知入射光线A与水平线OC的夹角为40°，现放置平面镜MN，可使反射光线B正好垂直照射到井底，则MN与水平线的夹角∠MOC的度数为　　　　　。
图2
(3)如图3，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD。已知∠BAF＝110°，∠DCF＝80°，射线AB绕A点以2°/秒的速度顺时针转动，同时射线CD绕点C以3°/秒的速度逆时针转动，设时间为t，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t。
图3
23.(13分)[2024·余姚市期末]【定义理解】
在平面直角坐标系中，有A(m，0)，B(0，n)两点，若存在点C使得∠ABC＝90°，且AB＝BC，则称点C为m的“等垂点”。
例如，在A(1，0)，B(0，1)，C(－1，0)三点中，因为∠ABC＝90°，且AB＝BC，所以点C为1的“等垂点”。
【探究应用】
(1)点A(2，0)，B(0，2)，则C(2，4)　　　　　2的“等垂点”(填“是”或“不是”)。
(2)如图1，若点A(4，0)，B(0，3)，若点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为　　　　　。
图1
(3)如图2，若一次函数y＝3x－5上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标。
图2
【拓展提升】
(4)若在直线y＝kx＋b(k＞0)上存在无数个5的“等垂点”，且直线y＝kx＋b(k＞0)与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP＝4，OP＝3，连接MP。设EM＝a，直接写出△EPM的面积S关于a的函数表达式。
备用图
参考答案
期末质量评估
1.C　2.C　3.C　4.D　5.A　6.D　7.D　8.A　9.B　10.B　11.假命题　12.　13.17 cm　14.(3，－1)　15.
16.(1)原式＝6。
(2)方程组的解是
17.(1)AD∥BC，理由略。　(2)略
18.(1)9　8　(2)B　(3)综合成绩最高的是B款机器人。
19.(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元。
(2)购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润为91 000元。
20.(1)a＝25　(2)a＝625
21.(1)A　(2)m＝3或m＝5　(3)2≤b≤4或－8≤b≤－4时，交点中至少有一个是直线l1的关联点。
22.(1)a∥b。理由略。　(2)65°　(3)t的值为2，38，74，110或146。
23.(1)是　(2)(3，7)或(－3，－1)
(3)点C的坐标为(5，10)或C(0，－5)。
(4)△EPM的面积S关于a的函数表达式为S＝a。
。