4.1.1 实数指数幂及其运算
1.若＝－，则（ ）
A.a＝0 B.a≠0
C.a≤0 D.a≥0
2.用分数指数幂表示a·，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.＋2－2×－（0.01＝（ ）
A. B.3
C.－8 D.0
4.若代数式＋有意义，则＋2＝（ ）
A.2 B.3
C.2x－1 D.x－2
5.（多选）下列各式中一定成立的有（ ）
A.＝b3
B.＝
C.＝（x＋y
D.＝
6.将－（x＞0）表示为根式的形式为 .
7.当x＜0时，化简｜x｜＋＋＝ .
8.如果a＝3，b＝384，那么a＝ .
9.化简与计算：
（1）－（0.5）－3＋（ ）－6×（ ；
（2）（a－2b－3）·（－4a－1b）÷（12a－4b－2c）；
（3）·＋（（a＞0）.
10.已知0＜x＜1，x2－3x＋1＝0，则－＝（ ）
A.1 B.－1
C.1或－1 D.－
11.若＋＝0，则x2 023＋y2 024＝ .
12.已知x＋y＝12，xy＝9，且x＞y，求的值.
13.设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为（ ）
A. B.
C.1 D.
14.某地区脑卒中发病人数呈上升趋势.经统计分析，从2011年到2020年的10年间每两年上升2%，2019年和2020年共发病815人.如果按照这个比例下去，从2021年到2024年有多少人发病？
4.1.1 实数指数幂及其运算
1.A 因为与－互为相反数，所以a＝0.
2.B a·＝a·＝a·＝a·＝a·＝a·＝，故选B.
3.A 原式＝1＋×－＝，故选A.
4.B 由＋有意义，得解得≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以＋2＝＋2｜x－2｜＝｜2x－1｜＋2｜x－2｜＝2x－1＋2（2－x）＝3.故选B.
5.BD 对于A，＝b3a－3，故A错误；对于B，＝＝，故B正确；对于C，＝（x2＋y2，（x＋y＝（x2＋y2＋2xy，故C错误；对于D，＝＝（＝＝，故D正确.故选B、D.
6.－ 解析：由分数指数幂的意义可知，－＝－＝－.
7.－x 解析：因为x＜0，所以｜x｜＋＋＝－x－x＋x＝－x.
8.3×2n－3 解析：a＝3＝＝3×2n－3.
9.解：（1）－（0.5）－3＋×
＝（23－（2－1）－3＋（）－6×＝22－23＋33×＝4－8＋27×＝4.
（2）（a－2b－3）·（－4a－1b）÷（12a－4b－2c）＝（－4÷12）·a－2－1＋4·b－3＋1＋2c－1＝－.
（3）·＋（2＝＋2＝a0＋24＝1＋16＝17.
10.B 由x2－3x＋1＝0，可得x2＋1＝3x，因为0＜x＜1，两边同时除以x，可得x＋x－1＝3，则＝x＋x－1－2＝3－2＝1，又因为0＜x＜1，所以－＝－＝＜0，所以－＝－1.故选B.
11.2 解析：∵≥0，≥0，且＋＝0，∴ ∴x2 023＋y2 024＝1＋1＝2.
12.解：∵x＋y＝12，xy＝9，则（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝108，∵x＞y，则x－y＝6，故＝＝＝＝＝.
13.B ∵x9x＝（9x）x，（x9）x＝（9x）x，∴x9＝9x.∴x8＝9，∴x＝＝.
14.解：设2011年和2012年发病的总人数为x人，则由2019年和2020年共发病815人，可得x（1＋2%）4＝815，则从2021年到2024年发病总人数为x（1＋2%）5＋x（1＋2%）6＝x（1＋2%）4×（1＋0.02＋1＋0.04＋0.000 4）≈1 679.
故按照这个比例下去，从2021年到2024年大约有1 679人发病.
2 / 24.1.1 实数指数幂及其运算
新课程标准解读 核心素养
通过对有理数指数幂（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质 数学抽象、 数学运算
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石.而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰.
对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.正因为这一发现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴.史称“第一次数学危机”.希帕索斯也因发现了，撼动了学派的基石而被扔进大海.
【问题】 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎样表示？
知识点一 根式
1.n次方根
（1）定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根；
（2）表示：
n为奇数 n为偶数
a∈R a＞0 a＝0 a＜0
x＝ 不存在
2.根式
（1）当有意义时， 称为根式， 称为根指数， 称为被开方数；
（2）性质：①（）n＝ ；②＝
【想一想】
1. 对于式子中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？
2.（）n与中的字母a的取值范围是否一样？
知识点二 指数幂及其运算性质
1.分数指数幂的意义
正分 数指 数幂 n为正整数，有意义，且a≠0时，规定＝
正分数，＝ ＝
负分数 指数幂 s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝
2.无理数指数幂
当a＞0且t是无理数时，at是一个确定的 .
3.实数指数幂的运算法则（a＞0，b＞0，r，s∈R）
（1）aras＝ ；（2）（ar）s＝ ；（3）（ab）r＝ .
提醒 对分数指数幂的进一步理解：（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已；
（2）指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义.如（－1＝＝－1，但（－1就不是实数了.为了保证在取任何有理数时，都有意义，所以规定a＞0；
（3）注意幂指数不能随意约分.如（－4＝＝[（－4）2＝2，而（－4＝在实数范围内无意义.
1.若（1－2x有意义，则x的取值范围是（ ）
A.（－∞，＋∞） B.∪
C. D.
2.若m＝，n＝，则m＋n的值为（ ）
A.－7 B.－1
C.1 D.7
3.求值：（1）＝ ；（2）2＝ ；（3）π0＋2－2×＝ .
题型一 根式的概念与性质
【例1】 （1）若x＜，则＝（ ）
A.3x－1 B.1－3x
C.（1－3x）2 D.非以上答案
（2）若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝ ；
（3）若有意义，则实数a的取值范围是 .
尝试解答
通性通法
1.根式概念问题应关注的两点
（1）n为奇数时，对任意实数a都存在n次方根；
（2）n是偶数时，只有a≥0时才有n次方根，表示为±.
2.根式化简应遵循的三个原则
（1）被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数是带分数的要化成假分数；
（3）被开方数中不能含有分母；使用＝·（a≥0，b≥0）化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式.
【跟踪训练】
1.的值是（ ）
A.3 B.－3
C.±3 D.81
2.若x6＝2 024，则x＝ .
题型二 根式与分数指数幂的互化
【例2】 用根式或分数指数幂表示下列各式：，（a＞0），，（a＞0），（a＞0）.
尝试解答
通性通法
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子；
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【跟踪训练】
1.化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.x6
2.下列各式的运算，正确的是（ ）
A.－＝（－x B.＝－
C.＝ D.＝
题型三 指数幂的运算
角度1 利用分数指数幂的运算性质化简与求值
【例3】 计算下列各式：
（1）÷；
（2）－－（－1）0＋（－1）2 025＋2－1.
尝试解答
通性通法
1.指数幂运算的解题通法
（1）有括号的先算括号内的，无括号的先做指数运算，再乘除，最后计算加减；
（2）负指数幂一般化成正指数幂的倒数；
（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；
（4）若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
2.分数指数幂的运算式化简结果的一个要求和两点注意
【跟踪训练】
1.化简的结果是（ ）
A.－ B.－ C.－ D.－
2.·（a＞0， b＞0）＝ .
角度2 指数式的条件求值问题
【例4】 已知＋＝，求下列各式的值：
（1）a＋a－1；（2）a2＋a－2.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）在例4条件下，a2－a－2＝ .
通性通法
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下（a＞0，b＞0）：
（1）a±2＋b＝（±）2；
（2）a－b＝（＋）（－）；
（3）＋＝（＋）（a－＋b）；
（4）－＝（－）（a＋＋b）.
【跟踪训练】
若，为方程x2－3x＋a＝0的两根，则＝ .
1.化简的结果是（ ）
A. B. C.3 D.5
2.化简（2x＞1）的结果是（ ）
A.1－2x B.0
C.2x－1 D.（1－2x）2
3.计算（2a－3）（－3a－1b）÷（4a－4）＝（ ）
A.－b2 B.b2 C.－ D.
4.（多选）下列各式错误的是（ ）
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D.＝2
5.计算6－＋（2－3＋16－0.75＝ .
4.1.1 实数指数幂及其运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（2） ± 0 2.（1） n a （2）a a ｜a｜
想一想
1.提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0.
2.提示：取值范围不同.式子（）n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R.
知识点二
1. （）m 2.实数 3.（1）ar＋s （2）ars （3）arbr
自我诊断
1.D 因为（1－2x＝，则1－2x＞0，解得x＜.故选D.
2.C m＋n＝π－3＋｜π－4｜＝π－3＋4－π＝1，故选C.
3.（1）4 （2） （3）
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）－11或7 （3）（3，＋∞）
解析：（1）因为x＜，所以1－3x＞0，
所以＝＝｜1－3x｜＝1－3x.
（2）因为（±9）2＝81，所以81的平方根为±9，即a＝±9，又（－2）3＝－8，
所以－8的立方根为－2，所以b＝－2，
所以a＋b＝－9－2＝－11或a＋b＝9－2＝7.
（3）要使有意义，则a－3＞0，即a＞3.
跟踪训练
1.A ＝｜－3｜＝3.
2.± 解析：因为x6＝2 024，所以x＝±.
【例2】 解：＝；＝（a＞0）；＝＝a2；
＝＝（a＞0）；＝＝＝（a＞0）.
跟踪训练
1.A 利用分数指数幂与根式的互化可得＝.故选A.
2.C 对于A，－＝－；对于B，＝＝；对于D，等式成立的条件是底数大于等于零.故选项A、B、D均错误，故选C.
【例3】 解：（1）÷
＝[4×（－2）÷（－1）]＝8.
（2）－－（－1）0＋（－1）2 025＋2－1
＝－－1－1＋＝－－＝－.
跟踪训练
1.B 由题意得＝－＝－＝－＝－.故选B.
2. 解析：原式＝＝.
【例4】 解：（1）将＋＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
（2）将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
即a2＋a－2＝7.
母题探究
±3 解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
跟踪训练
解析：因为，为方程x2－3x＋a＝0的两根，所以＋＝3，所以＋＝（＋）·（x＋x－1－1）＝（＋）·［（＋）2－3］＝3×（32－3）＝18，x2＋x－2＝（x＋x－1）2－2＝［（ ＋）2－2］2－2＝（32－2）2－2＝47，所以＝＝.
随堂检测
1.B ＝＝＝，故选B.
2.C ∵2x＞1，则1－2x＜0，∴＝｜1－2x｜＝2x－1.故选C.
3.A 原式＝＝－b2.
4.ABD ＝3，A错误；＝｜a｜，B错误；＝2，C正确；＝－2，D错误.故选A、B、D.
5.－ 解析：由题得6＝＝，（2－3＝2－4＝，16－0.75＝1＝＝＝，原式＝－1＋＋＝－.
5 / 5(共59张PPT)
4.1.1
实数指数幂及其运算
新课程标准解读 核心素养
通过对有理数指数幂 （ a ＞0，且 a ≠1； m ， n 为
整数，且 n ＞0）、实数指数幂 ax （ a ＞0，且 a ≠1； x
∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指
数幂的运算性质 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，
毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石.
而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰.
对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：
边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用
整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发
现导致了数学史上第一个无理数的诞生.正因为这一发现，却在当时
的数学界掀起了一场巨大的风暴.史称“第一次数学危机”.希帕索斯
也因发现了 ，撼动了学派的基石而被扔进大海.
【问题】 若 x2＝3，这样的 x 有几个？它们叫作3的什么？怎样表
示？
知识点一 根式
1. n 次方根
（1）定义：给定大于1的正整数 n 和实数 a ，如果存在实数 x ，使
得 xn ＝ a ，则 x 称为 a 的 n 次方根；
（2）表示：
n 为奇数 n 为偶数
a ∈R a ＞0 a ＝0 a ＜0
x ＝ 不存在
±
0
2. 根式
（1）当 有意义时， 称为根式， 称为根指
数， 称为被开方数；
（2）性质：①（ ） n ＝ ；② ＝
n
a
a
【想一想】
1. 对于式子 中 a 一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？
提示：不一定是非负数，其范围由 n 的奇偶决定；当 n 为奇数时，
a ∈R；当 n 为偶数时， a ≥0.
2. （ ） n 与 中的字母 a 的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同.式子（ ） n 中隐含 a 是有意义的，若 n 为
偶数，则 a ≥0，若 n 为奇数， a ∈R；式子 中， a ∈R.
知识点二 指数幂及其运算性质
1. 分数指数幂的意义
正分数指数幂 n 为正整数， 有意义，且 a ≠0时，规定
＝
正分数 ， ＝ （ ） m ＝
负分数指数幂 s 是正分数， as 有意义且 a ≠0时，规定 a－ s ＝
2. 无理数指数幂
当 a ＞0且 t 是无理数时， at 是一个确定的 .
（ ） m
实数
3. 实数指数幂的运算法则（ a ＞0， b ＞0， r ， s ∈R）
（1） aras ＝ ；（2）（ ar ） s ＝ ；（3）（ ab ） r
＝ .
ar＋ s
ars
arbr
提醒 对分数指数幂的进一步理解：（1）分数指数幂是指数概念的
又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 a 相乘，它是根式的一种新
的写法.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，
只是形式不同而已；
（2）指数的概念扩充到有理数指数后，当 a ≤0时， 有时有意
义，有时无意义.如（－1 ＝ ＝－1，但（－1 就
不是实数了.为了保证在 取任何有理数时， 都有意义，
所以规定 a ＞0；
（3）注意幂指数不能随意约分.如（－4 ＝ ＝[（－4）2
＝2，而（－4 ＝ 在实数范围内无意义.
1. 若（1－2 x 有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A. （－∞，＋∞） B. ∪
C. D.
解析： 因为（1－2 x ＝ ，则1－2 x ＞0，解得 x
＜ .故选D.
2. 若 m ＝ ， n ＝ ，则 m ＋ n 的值为
（ ）
A. －7 B. －1
C. 1 D. 7
解析： m ＋ n ＝π－3＋｜π－4｜＝π－3＋4－π＝1，故选C.
3. 求值：（1） ＝ ；（2）2 ＝ ；（3）π0＋2－2×
＝ .
4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 根式的概念与性质
【例1】 （1）若 x ＜ ，则 ＝（ B ）
A. 3 x －1 B. 1－3 x
C. （1－3 x ）2 D. 非以上答案
解析： 因为 x ＜ ，所以1－3 x ＞0，
所以 ＝ ＝｜1－3 x ｜＝1－3 x .
B
（2）若81的平方根为 a ，－8的立方根为 b ，则 a ＋ b ＝
；
解析： 因为（±9）2＝81，所以81的平方根为±9，即 a ＝
±9，又（－2）3＝－8，
所以－8的立方根为－2，所以 b ＝－2，
所以 a ＋ b ＝－9－2＝－11或 a ＋ b ＝9－2＝7.
（3）若 有意义，则实数 a 的取值范围是 .
解析： 要使 有意义，则 a －3＞0，即 a ＞3.
－11或
7
（3，＋∞）
通性通法
1. 根式概念问题应关注的两点
（1） n 为奇数时，对任意实数 a 都存在 n 次方根；
（2） n 是偶数时，只有 a ≥0时才有 n 次方根，表示为± .
2. 根式化简应遵循的三个原则
（1）被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数是带分数的要化成假分数；
（3）被开方数中不能含有分母；使用 ＝ · （ a ≥0， b
≥0）化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的
形式.
【跟踪训练】
1. 的值是（ ）
A. 3 B. －3
C. ±3 D. 81
解析： ＝｜－3｜＝3.
2. 若 x6＝2 024，则 x ＝ .
解析：因为 x6＝2 024，所以 x ＝± .
±
题型二 根式与分数指数幂的互化
【例2】 用根式或分数指数幂表示下列各式： ， （ a ＞0），
， （ a ＞0）， （ a ＞0）.
解： ＝ ； ＝ （ a ＞0）； ＝ ＝ a2；
＝ ＝ （ a ＞0）； ＝ ＝ ＝ （ a ＞0）.
通性通法
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数 分数指数的分母，被开方数（式）的指
数 分数指数的分子；
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后
利用有理数指数幂的运算性质解题.
【跟踪训练】
1. 化简 的结果是（ ）
A. B.
C. D. x6
解析： 利用分数指数幂与根式的互化可得 ＝ .故选A.
2. 下列各式的运算，正确的是（ ）
A. － ＝（－ x
B. ＝－
C. ＝
D. ＝
解析： 对于A，－ ＝－ ；对于B， ＝ ＝ ；对于
D，等式成立的条件是底数大于等于零.故选项A、B、D均错误，
故选C.
题型三 指数幂的运算
角度1 利用分数指数幂的运算性质化简与求值
【例3】 计算下列各式：
（1） ÷ ；
解： ÷
＝[4×（－2）÷（－1）] ＝8 .
（2） － －（ －1）0＋（－1）2 025＋2－1.
解： － －（ －1）0＋（－1）2 025＋2－1
＝ － －1－1＋ ＝ － － ＝－ .
通性通法
1. 指数幂运算的解题通法
（1）有括号的先算括号内的，无括号的先做指数运算，再乘除，
最后计算加减；
（2）负指数幂一般化成正指数幂的倒数；
（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数
是带分数，先化成假分数；
（4）若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，
运用指数幂的运算性质来解答.
2. 分数指数幂的运算式化简结果的一个要求和两点注意
【跟踪训练】
1. 化简 的结果是（ ）
A. － B. －
C. － D. －
解析： 由题意得 ＝－ ＝ ＝－ ＝
－ .故选B.
2. · （ a ＞0， b ＞0）＝ .
解析：原式＝ ＝ .
角度2 指数式的条件求值问题
【例4】 已知 ＋ ＝ ，求下列各式的值：
（1） a ＋ a－1；（2） a2＋ a－2.
解：（1）将 ＋ ＝ 两边平方，
得 a ＋ a－1＋2＝5，
即 a ＋ a－1＝3.
（2）将 a ＋ a－1＝3两边平方，
得 a2＋ a－2＋2＝9，
即 a2＋ a－2＝7.
【母题探究】
（变设问）在例4条件下， a2－ a－2＝ .
解析：令 y ＝ a2－ a－2，两边平方，得 y2＝ a4＋ a－4－2＝（ a2＋ a－2）2
－4＝72－4＝45，∴ y ＝±3 ，即 a2－ a－2＝±3 .
±3
通性通法
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求
值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当
地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入
法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值常用的变形公
式如下（ a ＞0， b ＞0）：
（1） a ±2 ＋ b ＝（ ± ）2；
（2） a － b ＝（ ＋ ）（ － ）；
（3） ＋ ＝（ ＋ ）（ a － ＋ b ）；
（4） － ＝（ － ）（ a ＋ ＋ b ）.
【跟踪训练】
若 ， 为方程 x2－3 x ＋ a ＝0的两根，则 ＝ .
解析：因为 ， 为方程 x2－3 x ＋ a ＝0的两根，所以 ＋ ＝
3，所以 ＋ ＝（ ＋ ）·（ x ＋ x－1－1）＝（ ＋
）·［（ ＋ ）2－3］＝3×（32－3）＝18， x2＋ x－2＝（ x ＋
x－1）2－2＝［（ ＋ ）2－2］2－2＝（32－2）2－2＝47，所以
＝ ＝ .
1. 化简 的结果是（ ）
A. B.
C. 3 D. 5
解析： ＝ ＝ ＝ ，故选B.
2. 化简 （2 x ＞1）的结果是（ ）
A. 1－2 x B. 0
C. 2 x －1 D. （1－2 x ）2
解析： ∵2 x ＞1，则1－2 x ＜0，∴ ＝｜1－2 x ｜
＝2 x －1.故选C.
3. 计算（2 a－3 ）·（－3 a－1 b ）÷（4 a－4 ）＝（ ）
A. － b2 B. b2
C. － D.
解析： 原式＝ ＝－ b2.
4. （多选）下列各式错误的是（ ）
A. ＝－3 B. ＝ a
C. ＝2 D. ＝2
解析：ABD ＝3，A错误； ＝｜ a ｜，B错误；
＝2，C正确； ＝－2，D错误.故选A、B、D.
5. 计算6 － ＋（2－3 ＋16－0.75＝ － .
解析：由题得6 ＝ ＝ ，（2－3 ＝2－4＝ ，16－0.75＝1
＝ ＝ ＝ ，原式＝ －1＋ ＋ ＝－ .
－
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若 ＝－ ，则（ ）
A. a ＝0 B. a ≠0
C. a ≤0 D. a ≥0
解析： 因为 与－ 互为相反数，所以 a ＝0.
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2. 用分数指数幂表示 a · ，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解析： a · ＝ a · ＝ a · ＝ a · ＝
a · ＝ a · ＝ ，故选B.
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3. ＋2－2× －（0.01 ＝（ ）
A. B. 3
C. －8 D. 0
解析： 原式＝1＋ × － ＝ ，故选A.
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4. 若代数式 ＋ 有意义，则 ＋2
＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 2 x －1 D. x －2
解析： 由 ＋ 有意义，得解得 ≤
x ≤2.所以 x －2≤0，2 x －1≥0，所以 ＋2
＝ ＋2｜ x －2｜＝｜2 x －1｜＋2｜ x －
2｜＝2 x －1＋2（2－ x ）＝3.故选B.
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5. （多选）下列各式中一定成立的有（ ）
A. ＝ b3
B. ＝
C. ＝（ x ＋ y
D. ＝
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解析： 对于A， ＝ b3 a－3，故A错误；对于B，
＝ ＝ ，故B正确；对于C， ＝（ x2＋ y2 ，（ x
＋ y ＝（ x2＋ y2＋2 xy ，故C错误；对于D， ＝ ＝
（ ＝ ＝ ，故D正确.故选B、D.
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6. 将－ （ x ＞0）表示为根式的形式为 － .
解析：由分数指数幂的意义可知，－ ＝－ ＝－ .
－
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7. 当 x ＜0时，化简｜ x ｜＋ ＋ ＝ .
解析：因为 x ＜0，所以｜ x ｜＋ ＋ ＝－ x － x ＋ x ＝－ x .
－ x
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8. 如果 a ＝3， b ＝384，那么 a ＝ .
解析： a ＝3 ＝3[（128 ] n－3＝3×2 n－3.
3×2 n－3
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9. 化简与计算：
（1） －（0.5）－3＋ × ；
解： －（0.5）－3＋ ×
＝（23 －（2－1）－3＋（ ）－6× ＝22－23＋
33× ＝4－8＋27× ＝4.
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（2）（ a－2 b－3）·（－4 a－1 b ）÷（12 a－4 b－2 c ）；
解： （ a－2 b－3）·（－4 a－1 b ）÷（12 a－4 b－2 c ）＝（－
4÷12）· a－2－1＋4· b－3＋1＋2 c－1＝－ .
（3） · ＋（ （ a ＞0）.
解： · ＋（ ＝ ＋ ＝ a0＋24
＝1＋16＝17.
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10. 已知0＜ x ＜1， x2－3 x ＋1＝0，则 － ＝（ ）
A. 1 B. －1
C. 1或－1 D. －
解析： 由 x2－3 x ＋1＝0，可得 x2＋1＝3 x ，因为0＜ x ＜1，两
边同时除以 x ，可得 x ＋ x－1＝3，则 ＝ x ＋ x－1－2＝3
－2＝1，又因为0＜ x ＜1，所以 － ＝ － ＝ ＜0，所
以 － ＝－1.故选B.
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11. 若 ＋ ＝0，则 x2 023＋ y2 024＝ .
解析：∵ ≥0， ≥0，且 ＋ ＝0，
∴ ∴ x2 023＋ y2 024＝1＋1＝2.
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12. 已知 x ＋ y ＝12， xy ＝9，且 x ＞ y ，求 的值.
解：∵ x ＋ y ＝12， xy ＝9，
则（ x － y ）2＝（ x ＋ y ）2－4 xy ＝108，
∵ x ＞ y ，则 x － y ＝6 ，
故 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
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13. 设 x ， y 是正数，且 xy ＝ yx ， y ＝9 x ，则 x 的值为（ ）
A. B.
C. 1 D.
解析： ∵ x9 x ＝（9 x ） x ，（ x9） x ＝（9 x ） x ，∴ x9＝9 x .∴ x8
＝9，∴ x ＝ ＝ .
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14. 某地区脑卒中发病人数呈上升趋势.经统计分析，从2011年到2020
年的10年间每两年上升2%，2019年和2020年共发病815人.如果按
照这个比例下去，从2021年到2024年有多少人发病？
解：设2011年和2012年发病的总人数为 x 人，
则由2019年和2020年共发病815人，
可得 x （1＋2%）4＝815，
则从2021年到2024年发病总人数为 x （1＋2%）5＋ x （1＋2%）6
＝ x （1＋2%）4×（1＋0.02＋1＋0.04＋0.000 4）≈1 679.
故按照这个比例下去，从2021年到2024年大约有1 679人发病.
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谢 谢 观 看！
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