4.1.2 指数函数的性质与图象
第1课时 指数函数的概念、性质与图象
1.若函数f（x）＝·ax是指数函数，则f的值为（ ）
A.2 B.2
C.－2 D.－2
2.下列函数中，既是指数函数，又在区间（0，＋∞）上为严格减函数的是（ ）
A.y＝ B.y＝x2
C.y＝ D.y＝2x
3.函数y＝（a＞1）的图象大致形状是（ ）
4.若函数y＝的定义域为[2，5]，则该函数的值域是（ ）
A.[4，32] B.[4，16]
C.[2，32] D.[2，16]
5.（多选）若函数y＝ax－（b＋1）（a＞0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则必有（ ）
A.0＜a＜1 B.a＞1
C.b＞0 D.b＜0
6.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b＝ .
7.已知函数y＝f（x）的定义域为（1，2），则函数y＝f（2x）的定义域为 .
8.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝3x＋a（a为常数），当x＜0时，f（x）＝ .
9.已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），且f（2）＝4.
（1）求a的值；
（2）当x∈[0，2]时，求g（x）＝a2x－ax－1的值域.
10.函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
11.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.任取x＞0，均有3x＞2x
B.y＝（）－x是增函数
C.y＝2｜x｜的最小值为1
D.在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称
12.已知函数f（x）＝是奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）的值域.
13.已知函数f（x）＝若实数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则2a＋c＋2b＋c的取值范围为（ ）
A.（4，8） B.（4，16）
C.（8，32） D.（16，32）
14.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0且a≠1）.
（1）若函数f（x）的图象不经过第二象限，求a，b的取值范围；
（2）当b＝1时，f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值之比为3∶2，求a的值.
第1课时 指数函数的概念、性质与图象
1.B ∵函数f（x）＝·ax是指数函数，∴a－3＝1，a＞0且a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f＝＝2，故选B.
2.C 对A，函数y＝不是指数函数，故错；对B，函数y＝x2不是指数函数，故错；对C，函数y＝为指数函数，且在（0，＋∞）上为严格减函数，故正确；对D，函数y＝2x为指数函数，且在（0，＋∞）上为严格增函数，故错.故选C.
3.C 令y＝f（x）＝（a＞1），则f（x）＝（a＞1），∴当x＞0时，其图象与y＝ax（a＞1）在第一象限内的图象一样；当x＜0时，其图象与y＝ax（a＞1）的图象关于x轴对称，故选C.
4.C 令μ（x）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，因为x∈[2，5]，则μ（x）∈[1，5]，又因为y＝2x为单调递增函数，所以y＝∈[2，32].故选C.
5.BC 若0＜a＜1，则y＝ax－（b＋1）的图象必过第二象限，而函数y＝ax－（b＋1）（a＞0且a≠1）的图象过第一、三、四象限，所以a＞1.当a＞1时，要使y＝ax－（b＋1）的图象过第一、三、四象限，则b＋1＞1，即b＞0.故选B、C.
6.1 解析：因为函数y＝a·2x是指数函数，所以a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，所以b＝0，所以a＋b＝1.
7.（0，1） 解析：由函数的定义，得1＜2x＜2 0＜x＜1.所以y＝f（2x）的定义域为（0，1）.
8.1－3－x 解析：因为f（x）为定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）＝3x＋a，所以f（0）＝30＋a＝0，解得a＝－1，设x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝3－x－1，所以f（x）＝－f（－x）＝1－3－x.
9.解：（1）∵指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），且f（2）＝4，
∴a2＝4，又a＞0，a≠1，∴a＝2.
（2）由（1）知，g（x）＝22x－2x－1，x∈[0，2]，令t＝2x∈[1，4]，
则y＝t2－t－1＝－，∴y＝t2－t－1在[1，4]上单调递增，∴函数y＝t2－t－1的值域为[－1，11]，即g（x）＝a2x－ax－1的值域为[－1，11].
10.C 直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而＞＞＞，所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选C.
11.ACD 任取x＞0，均有3x＞2x，即A正确；y＝（）－x是减函数，B错误；y＝2｜x｜的最小值为1，C正确；在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x＝的图象关于y轴对称，D正确.故选A、C、D.
12.解：（1）因为f（x）＝，f（－x）＝＝，由f（－x）＝－f（x），可得＝－，（1－a·2x）（2x＋a）＝（1＋a·2x）（a－2x），
2x－a·2x·2x＋a－a2·2x＝a＋a2·2x－2x－a·2x·2x，
整理得2x（a2－1）＝0，于是a2－1＝0，a＝±1.
当a＝1时，f（x）定义域为R，f（x）是奇函数；
当a＝－1时，f（x）定义域为{x｜x≠0}，f（x）是奇函数.因此a＝±1.
（2）当a＝1时，f（x）＝1－，定义域为R，所以2x＞0，于是2x＋1＞1，0＜＜2，因此－1＜1－＜1，故f（x）的值域为（－1，1）；
当a＝－1时，f（x）＝1＋，定义域为{x｜x≠0}，所以2x＞0，且2x≠1，于是2x－1＞－1，且2x－1≠0，所以＜－2，或＞0.
因此1＋＜－1或1＋＞1，故f（x）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
13.D 作出函数f（x）的图象，如图，当x＜0时，f（x）＝｜2x－1｜＝1－2x∈（0，1），由图可知，f（a）＝f（b）＝f（c）∈（0，1），即4－c∈（0，1）得3＜c＜4，则8＜2c＜16，由f（a）＝f（b），即｜2a－1｜＝｜2b－1｜，得1－2a＝2b－1，求得2a＋2b＝2，∴2a＋c＋2b＋c＝2c（2a＋2b）＝2×2c∈（16，32），故选D.
14.解：（1）①当0＜a＜1时，f（x）单调递减，根据指数函数的图象可知，函数图象必然经过第二象限，故不成立；
②当a＞1时，f（x）单调递增，f（x）的图象与y轴的交点为（0，b＋1），根据指数函数的图象可知，要使f（x）的图象不经过第二象限，则b＋1≤0，b≤－1.
所以a＞1，b≤－1.
综上，a，b的取值范围是a＞1，b≤－1.
（2）当b＝1时，f（x）＝ax＋1.
①当0＜a＜1时，f（x）单调递减，f（x）在[1，2]上的最大值为f（1）＝a＋1，最小值为f（2）＝a2＋1，由题意可得＝，无解；
②当a＞1时，f（x）单调递增，f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）＝a2＋1，最小值为f（1）＝a＋1，由题意可得＝，解得a＝，因为a＞1，所以a＝.
综上，a的值是.
2 / 24.1.2 指数函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 直观想象
第1课时 指数函数的概念、性质与图象
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S（设原面积为1）与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝＝
x＝3 y＝8＝23 S＝＝
…… …… ……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x（x∈N*），对折后的面积S＝（x∈N*）.
【问题】 实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
知识点一 指数函数的概念
一般地，函数 称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.
【想一想】
1.为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1？
2.指数函数的解析式有什么特征？
知识点二 指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性 质 定义域
值域
过定点
单调性 在R上是 在R上是
奇偶性 非奇非偶函数
提醒 指数函数图象的特征：
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示.
直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”.【想一想】
1.在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
2.指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象与底数a有什么关系？
1.下列是指数函数的是（ ）
A.y＝（－4）x B.y＝
C.y＝ax D.y＝πx
2.函数y＝（a2－4a＋4）ax是指数函数，则有（ ）
A.a＝1或a＝3 B.a＝1
C.a＝3 D.a＞0且a≠1
3.若函数f（x）是指数函数，且f（2）＝2，则f（x）＝ .
题型一 指数函数的概念
【例1】 （1）下列函数中是指数函数的是 （填序号）.
①y＝2·（）x；②y＝2x－1；③y＝.
（2）若函数y＝（k＋2）ax＋2－b（a＞0且a≠1）是指数函数，则k＝ ，b＝ .
尝试解答
通性通法
判断一个函数是指数函数的方法
（1）看形式：判断其解析式是否符合y＝ax（a＞0且a≠1）这一结构特征；
（2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.
【跟踪训练】
1.若函数y＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，则a＝ .
2.若函数f（x）是指数函数且f（3）＝8，则f（x）＝ .
题型二 指数型函数的图象
【例2】 （1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0
（2）在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f（x）＝｜2x－1｜的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是 .
尝试解答
通性通法
处理函数图象问题的策略
（1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点（0，1），求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点；
（2）巧用图象变换：
①平移变换：设b＞0，
（ⅰ）y＝ax的图象y＝ax＋b的图象；
（ⅱ）y＝ax的图象y＝ax－b的图象；
（ⅲ）y＝ax的图象y＝ax＋b的图象；
（ⅳ）y＝ax的图象y＝ax－b的图象.
②对称变换
y＝ax（a＞0且a≠1）的图象 与y＝a－x的图象关于y轴对称
与y＝－ax的图象关于x轴对称
与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称
（3）利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.
【跟踪训练】
1.若函数f（x）＝ax＋b的图象如图所示，且f（－1）＝0，则实数a，b的值可能为（ ）
A.a＝3，b＝－3 B.a＝，b＝－
C.a＝2，b＝－ D.a＝，b＝－2
2.函数f（x）＝ax＋1－1（a＞0且a≠1）图象恒过点的坐标为（ ）
A.（0，1） B.（0，0）
C.（－1，0） D.（－1，1）
题型三 求指数型复合函数的定义域、值域
【例3】 求函数y＝0.的定义域、值域.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若函数变为y＝，如何求该函数的定义域和值域.
通性通法
函数y＝af（x）定义域、值域的求法
（1）定义域：形如y＝af（x）形式的函数的定义域是使得f（x）有意义的x的取值集合；
（2）值域：①换元，令t＝f（x）；②求t＝f（x）的定义域x∈D；③求t＝f（x）的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.
注意 （1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝的值域为（ ）
A. B.（－∞，2]
C. D.（0，2]
2.若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的定义域是[1，＋∞），则a的取值范围是 .
函数图象变化规律的探究
为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f（x）＝2x为例，借助几何画板画出了如图所示的4个函数的图象：
（1）y＝f（x－1）；（2）y＝f（｜x｜）＋1；
（3）y＝－f（x）；（4）y＝｜f（x）－1｜.
【问题探究】
1.请分别写出这4个函数的解析式；
提示：（1）y＝f（x－1）＝2x－1；
（2）y＝f（｜x｜）＋1＝2｜x｜＋1；
（3）y＝－f（x）＝－2x；
（4）y＝｜f（x）－1｜＝｜2x－1｜.
2.若给出函数f（x）＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4个函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程.
提示：能.（1）将函数y＝f（x）＝4x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（x－1）＝4x－1的图象.
（2）保留函数y＝f（x）＝4x在y轴右方的图象，并对称至y轴左边，再向上平移1个单位长度得到y＝f（｜x｜）＋1＝4｜x｜＋1的图象.
（3）函数y＝－f（x）＝－4x与y＝f（x）＝4x的图象关于x轴对称.
（4）将函数y＝f（x）＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝f（x）－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数y＝｜f（x）－1｜＝｜4x－1｜的图象.
【迁移应用】
1.若将函数变为y＝，并得到如图图象，试根据函数y＝的图象，作出下列各函数的图象：（1）y＝；（2）y＝－1；（3）y＝－.
2.已知函数y＝f（x）的图象，怎样利用图象变换的方法分别得到函数y＝f（x±a）（a＞0），y＝f（x）±b（b＞0），y＝－f（x），y＝f（｜x｜），y＝｜f（x）｜的图象，试写出变换过程.
1.下列函数：①y＝；②y＝6x；③y＝6·2x；④y＝8x＋1；⑤y＝－6x.其中一定为指数函数的有（ ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2.若函数y＝（2a－1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（ ）
A.a＞0，且a≠1 B.a≥0，且a≠1
C.a＞，且a≠1 D.a≥
3.函数y＝的值域是（ ）
A.（－∞，1）
B.（－∞，0）∪（0，＋∞）
C.（－1，＋∞）
D.（－∞，－1）∪（0，＋∞）
4.（多选）函数y＝ax－（a＞0且a≠1）的图象可能是（ ）
5.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝3a，则a的值为 .
第1课时 指数函数的概念、性质与图象
【基础知识·重落实】
知识点一
y＝ax
想一想
1.提示：①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；
②如果a＜0，例如y＝（－4）x，这时对于x＝，，…，该函数无意义；
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
2.提示：指数函数解析式的3个特征：
①底数a为大于0且不等于1的常数；
②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；
③ax的系数是1.
知识点二
R （0，＋∞） （0，1） 增函数 减函数
想一想
1.提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限.
2.提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的.
自我诊断
1.D 根据指数函数的解析式可知，y＝πx为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，C选项中的底数a的范围未知，不满足指数函数的定义.故选D.
2.C 由已知得即解得a＝3.故选C.
3.（）x 解析：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），∵f（2）＝2，∴a2＝2，∴a＝，即f（x）＝（）x.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）③ （2）－1 2 解析：（1）①中指数式（）x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数.
（2）根据指数函数的定义，得解得
跟踪训练
1.2 解析：由y＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，可得解得∴a＝2.
2.2x 解析：∵函数f（x）是指数函数，∴设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则f（3）＝a3＝8，∴a＝2，∴f（x）＝2x.
【例2】 （1）D （2）{m｜m≥1或m＝0} 解析：（1）从曲线的变化趋势，可以得到函数f（x）为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax（0＜a＜1）的图象向左平移｜－b｜个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
（2）画出函数f（x）＝｜2x－1｜的图象，如图所示，
若直线y＝m与函数f（x）＝｜2x－1｜的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，即实数m的取值范围是{m｜m≥1或m＝0}.
跟踪训练
1.C 由函数f（x）＝ax＋b的图象，可得函数f（x）为单调递增函数，所以a＞1，又由f（－1）＝0，可得a－1＋b＝0，可得ab＝－1，结合选项，只有C项适合，故选C.
2.C 令x＋1＝0，解得x＝－1，此时y＝0，所以函数f（x）＝ax＋1－1（a＞0且a≠1）图象恒过点的坐标为（－1，0），故选C.
【例3】 解：由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x｜x≠1}.
由≠0得y≠1，所以函数值域为{y｜y＞0且y≠1}.
母题探究
解：函数的定义域为R（∵对一切x∈R，3x≠－1）.
法一 ∵y＝＝1－，又∵3x＞0，1＋3x＞1，
∴0＜＜1，∴－1＜－＜0，
∴0＜1－＜1，∴值域为（0，1）.
法二 由y＝，解得3x＝＞0 y（y－1）＜0，又y＞0，∴0＜y＜1，故值域为（0，1）.
跟踪训练
1.D 由二次函数的性质可知x2－2x＝（x－1）2－1∈[－1，＋∞），因此f（x）＝∈（0，2]，即函数f（x）＝的值域为（0，2].故选D.
2.（1，＋∞） 解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当0＜a＜1时，x≤1；当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时，a＞1.
拓视野 函数图象变化规律的探究
迁移应用
1.解：（1），（2），（3）中的函数的图象分别如图①②③所示：
2.解：（1）函数y＝f（x±a）（a＞0）的图象，可由y＝f（x）的图象向左（＋）或向右（－）平移a个单位长度得到.
（2）函数y＝f（x）±b（b＞0）的图象，可由y＝f（x）的图象向上（＋）或向下（－）平移b个单位长度得到.
（3）将函数y＝f（x）的图象关于x轴对称，便得到函数y＝－f（x）的图象.
（4）保留函数y＝f（x）在y轴右方的部分图象，再将其沿y轴翻折到左侧，便得到函数y＝f（｜x｜）的图象.
（5）保留函数y＝f（x）在x轴上方的图象，并将y＝f（x）在x轴下方的图象沿x轴翻折到上方，便得到函数y＝｜f（x）｜的图象.
随堂检测
1.B 形如y＝ax（a＞0且a≠1）为指数函数，其解析式需满足底数为大于0，且不等于1的常数，系数为1，指数为自变量，所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，故选B.
2.C 依题意得：2a－1＞0，且2a－1≠1，解得a＞，且a≠1，故选C.
3.D 由知，当－1＜2x－1＜0时，y∈（－∞，－1）；当2x－1＞0时，y∈（0，＋∞）；综上函数的值域是（－∞，－1）∪（0，＋∞）.故选D.
4.BD 当a＞1时，∈（0，1），因此x＝0时，0＜y＝1－＜1；当0＜a＜1时，＞1，因此x＝0时，y＜0.故选B、D.
5.4 解析：由题意可知f（0）＝20＋1＝2，f（2）＝22＋2a＝3a，解得a＝4.
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第1课时
指数函数的概念、性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指
数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图
象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
将一张报纸连续对折，折叠次数 x 与对应的层数 y 之间存在什么
关系？对折后的面积 S （设原面积为1）与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积 S
x ＝1 y ＝2＝21 S ＝
x ＝2 y ＝4＝22 S ＝ ＝
x ＝3 y ＝8＝23 S ＝ ＝
…… …… ……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第 x 次折叠后对应的层数为 y
＝2 x （ x ∈N*），对折后的面积 S ＝ （ x ∈N*）.
【问题】 实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
知识点一 指数函数的概念
一般地，函数 称为指数函数，其中 a 是常数， a ＞0且 a
≠1.
y ＝ ax
【想一想】
1. 为什么指数函数的底数 a ＞0，且 a ≠1？
提示：①如果 a ＝0，当 x ＞0时， ax 恒等于0，没有研究的必要；
②如果 a ＜0，例如 y ＝（－4） x ，这时对于 x ＝ ， ，…，该函数
无意义；
③如果 a ＝1，则 y ＝1 x 是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定 a ＞0且 a ≠1.
2. 指数函数的解析式有什么特征？
提示：指数函数解析式的3个特征：
①底数 a 为大于0且不等于1的常数；
②自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是1；
③ ax 的系数是1.
知识点二 指数函数的图象和性质
a 的范围 a ＞1 0＜ a ＜1
图象
a 的范围 a ＞1 0＜ a ＜1
性 质 定义域
值域
过定点
单调性 在R上是
在R上是
奇偶性 非奇非偶函数
R
（0，＋∞）
（0，1）
增函
数
减函数
提醒 指数函数图象的特征：同一坐标系中，画出不同底数的指数函
数的图象如图所示；直线 x ＝1与四个指数函数 y ＝ ax ， y ＝ bx ， y ＝
cx ， y ＝ dx 的交点依次为（1， a ），（1， b ），（1， c ），（1，
d ），所以有0＜ b ＜ a ＜1＜ d ＜ c ，因此可得出以下结论：在 y 轴的右
侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”.
【想一想】
1. 在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第
三、四象限.
2. 指数函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象与底数 a 有什么关系？
提示：底数 a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与
“降”.当 a ＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜ a ＜1
时，指数函数的图象是“下降”的.
1. 下列是指数函数的是（ ）
A. y ＝（－4） x B. y ＝
C. y ＝ ax D. y ＝π x
解析： 根据指数函数的解析式可知， y ＝π x 为指数函数，A、B
选项中的函数均不为指数函数，C选项中的底数 a 的范围未知，不
满足指数函数的定义.故选D.
2. 函数 y ＝（ a2－4 a ＋4） ax 是指数函数，则有（ ）
A. a ＝1或 a ＝3 B. a ＝1
C. a ＝3 D. a ＞0且 a ≠1
解析： 由已知得即解得
a ＝3.故选C.
3. 若函数 f （ x ）是指数函数，且 f （2）＝2，则 f （ x ）＝ .
解析：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），∵ f （2）＝2，∴ a2＝2，
∴ a ＝ ，即 f （ x ）＝（ ） x .
（ ） x
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 指数函数的概念
【例1】 （1）下列函数中是指数函数的是 （填序号）.
① y ＝2·（ ） x ；② y ＝2 x－1；③ y ＝ .
解析： ①中指数式（ ） x 的系数不为1，故不是指数函
数；②中 y ＝2 x－1＝ ·2 x ，指数式2 x 的系数不为1，故不是指数
函数；③是指数函数.
③
（2）若函数 y ＝（ k ＋2） ax ＋2－ b （ a ＞0且 a ≠1）是指数函数，则
k ＝ ， b ＝ .
解析： 根据指数函数的定义，得解得
－1
2
通性通法
判断一个函数是指数函数的方法
（1）看形式：判断其解析式是否符合 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）这一结
构特征；
（2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一
个特征不具备，该函数就不是指数函数.
【跟踪训练】
1. 若函数 y ＝（ a2－3 a ＋3） ax 是指数函数，则 a ＝ .
解析：由 y ＝（ a2－3 a ＋3） ax 是指数函数，可得
解得∴ a ＝2.
2. 若函数 f （ x ）是指数函数且 f （3）＝8，则 f （ x ）＝ .
解析：∵函数 f （ x ）是指数函数，∴设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a
≠1），则 f （3）＝ a3＝8，∴ a ＝2，∴ f （ x ）＝2 x .
2
2 x
题型二 指数型函数的图象
【例2】 （1）函数 f （ x ）＝ ax－ b 的图象如图所示，其中 a ， b 为常
数，则下列结论正确的是（ D ）
A. a ＞1， b ＜0
B. a ＞1， b ＞0
C. 0＜ a ＜1， b ＞0
D. 0＜ a ＜1， b ＜0
D
解析： 从曲线的变化趋势，可以得到函数 f （ x ）为减函数，从而有0＜ a ＜1；从曲线位置看，是由函数 y ＝ ax （0＜ a ＜1）的图象向左平移｜－ b ｜个单位长度得到，所以－ b ＞0，即 b ＜0.
（2）在平面直角坐标系中，若直线 y ＝ m 与函数 f （ x ）＝｜2 x －1｜
的图象只有一个交点，则实数 m 的取值范围是
.
解析： 画出函数 f （ x ）＝｜2 x －1｜的图
象，如图所示，若直线 y ＝ m 与函数 f （ x ）
＝｜2 x －1｜的图象只有1个交点，则 m ≥1或
m ＝0，即实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥1或 m
＝0}.
{ m ｜ m ≥1或 m
＝0}
通性通法
处理函数图象问题的策略
（1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点（0，1），求指数型函数
图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的 y 的值，即可
得函数图象所过的定点；
（2）巧用图象变换：
①平移变换：设 b ＞0，
（ⅰ） y ＝ ax 的图象 y ＝ ax ＋ b 的图象；
（ⅱ） y ＝ ax 的图象 y ＝ ax － b 的图象；
（ⅲ） y ＝ ax 的图象 y ＝ ax＋ b 的图象；
（ⅳ） y ＝ ax 的图象 y ＝ ax－ b 的图象.
②对称变换
y ＝ ax （ a ＞0且 a
≠1）的图象 与 y ＝ a－ x 的图象关于 y 轴对称
与 y ＝－ ax 的图象关于 x 轴对称
与 y ＝－ a－ x 的图象关于坐标原点对称
（3）利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函
数图象的走势.
【跟踪训练】
1. 若函数 f （ x ）＝ ax ＋ b 的图象如图所示，且 f （－1）＝0，则实数
a ， b 的值可能为（ ）
A. a ＝3， b ＝－3
B. a ＝ ， b ＝－
C. a ＝2， b ＝－
D. a ＝ ， b ＝－2
解析： 由函数 f （ x ）＝ ax ＋ b 的图象，可得函数 f （ x ）为单调
递增函数，所以 a ＞1，又由 f （－1）＝0，可得 a－1＋ b ＝0，可得
ab ＝－1，结合选项，只有C项适合，故选C.
2. 函数 f （ x ）＝ ax＋1－1（ a ＞0且 a ≠1）图象恒过点的坐标为
（ ）
A. （0，1） B. （0，0）
C. （－1，0） D. （－1，1）
解析： 令 x ＋1＝0，解得 x ＝－1，此时 y ＝0，所以函数 f
（ x ）＝ ax＋1－1（ a ＞0且 a ≠1）图象恒过点的坐标为（－1，
0），故选C.
题型三 求指数型复合函数的定义域、值域
【例3】 求函数 y ＝0. 的定义域、值域.
解：由 x －1≠0得 x ≠1，所以函数定义域为{ x ｜ x ≠1}.
由 ≠0得 y ≠1，所以函数值域为{ y ｜ y ＞0且 y ≠1}.
【母题探究】
（变条件）若函数变为 y ＝ ，如何求该函数的定义域和值域.
解：函数的定义域为R（∵对一切 x ∈R，3 x ≠－1）.
法一 ∵ y ＝ ＝1－ ，又∵3 x ＞0，1＋3 x ＞1，
∴0＜ ＜1，∴－1＜－ ＜0，
∴0＜1－ ＜1，∴值域为（0，1）.
法二 由 y ＝ ，解得3 x ＝ ＞0 y （ y －1）＜0，又 y ＞0，∴0
＜ y ＜1，故值域为（0，1）.
通性通法
函数 y ＝ af（ x）定义域、值域的求法
（1）定义域：形如 y ＝ af（ x）形式的函数的定义域是使得 f （ x ）有意
义的 x 的取值集合；
（2）值域：①换元，令 t ＝ f （ x ）；②求 t ＝ f （ x ）的定义域 x ∈
D ；③求 t ＝ f （ x ）的值域 t ∈ M ；④利用 y ＝ at 的单调性求 y ＝
at ， t ∈ M 的值域.
注意 （1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不
等关系解集的交集；（2）当指数型函数的底数含字母时，在求
定义域、值域时要注意分类讨论.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝ 的值域为（ ）
A. B. （－∞，2]
C. D. （0，2]
解析： 由二次函数的性质可知 x2－2 x ＝（ x －1）2－1∈[－1，
＋∞），因此 f （ x ）＝ ∈（0，2]，即函数 f （ x ）＝
的值域为（0，2].故选D.
2. 若函数 f （ x ）＝ （ a ＞0且 a ≠1）的定义域是[1，＋
∞），则 a 的取值范围是 .
解析：∵ ax － a ≥0，∴ ax ≥ a ，∴当0＜ a ＜1时， x ≤1；当 a ＞1
时， x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时， a ＞1.
（1，＋∞）
函数图象变化规律的探究
为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数 f （ x ）＝2 x
为例，借助几何画板画出了如图所示的4个函数的图象：
（1） y ＝ f （ x －1）；
（2） y ＝ f （｜ x ｜）＋1；
（3） y ＝－ f （ x ）；
（4） y ＝｜ f （ x ）－1｜.
【问题探究】
1. 请分别写出这4个函数的解析式；
提示：（1） y ＝ f （ x －1）＝2 x－1；
（2） y ＝ f （｜ x ｜）＋1＝2｜ x｜＋1；
（3） y ＝－ f （ x ）＝－2 x ；
（4） y ＝｜ f （ x ）－1｜＝｜2 x －1｜.
2. 若给出函数 f （ x ）＝4 x 的图象，能否由图象变换的方法得到上面
这4个函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程.
提示：能.（1）将函数 y ＝ f （ x ）＝4 x 的图象向右平移1个单位长
度得到函数 y ＝ f （ x －1）＝4 x－1的图象.
（2）保留函数 y ＝ f （ x ）＝4 x 在 y 轴右方的图象，并对称至 y 轴左
边，再向上平移1个单位长度得到 y ＝ f （｜ x ｜）＋1＝4｜ x｜＋1的
图象.
（3）函数 y ＝－ f （ x ）＝－4 x 与 y ＝ f （ x ）＝4 x 的图象关于
x 轴对称.
（4）将函数 y ＝ f （ x ）＝4 x 的图象向下平移1个单位长度得到函数
y ＝ f （ x ）－1＝4 x －1的图象，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x
轴的上方，便得到函数 y ＝｜ f （ x ）－1｜＝｜4 x －1｜的图象.
【迁移应用】
1. 若将函数变为 y ＝ ，并得到如图图象，试根
据函数 y ＝ 的图象，作出下列各函数的图象：
（1） y ＝ ；（2） y ＝ －1；（3） y ＝－ .
解：（1），（2），（3）中的函数的图象分别如图①②③所示：
2. 已知函数 y ＝ f （ x ）的图象，怎样利用图象变换的方法分别得
到函数 y ＝ f （ x ± a ）（ a ＞0）， y ＝ f （ x ）± b （ b ＞
0）， y ＝－ f （ x ）， y ＝ f （｜ x ｜）， y ＝｜ f （ x ）｜的图
象，试写出变换过程.
解：（1）函数 y ＝ f （ x ± a ）（ a ＞0）的图象，可由 y ＝ f （ x ）
的图象向左（＋）或向右（－）平移 a 个单位长度得到.
（2）函数 y ＝ f （ x ）± b （ b ＞0）的图象，可由 y ＝ f （ x ）的图
象向上（＋）或向下（－）平移 b 个单位长度得到.
（3）将函数 y ＝ f （ x ）的图象关于 x 轴对称，便得到函数 y ＝－ f
（ x ）的图象.
（4）保留函数 y ＝ f （ x ）在 y 轴右方的部分图象，再将其沿 y 轴翻
折到左侧，便得到函数 y ＝ f （｜ x ｜）的图象.
（5）保留函数 y ＝ f （ x ）在 x 轴上方的图象，并将 y ＝ f
（ x ）在 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到上方，便得到函数 y ＝｜
f （ x ）｜的图象.
1. 下列函数：① y ＝ ；② y ＝6 x ；③ y ＝6·2 x ；④ y ＝8 x ＋1；⑤ y
＝－6 x .其中一定为指数函数的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解析： 形如 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）为指数函数，其解析式需满
足底数为大于0，且不等于1的常数，系数为1，指数为自变量，所
以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，故选B.
2. 若函数 y ＝（2 a －1） x （ x 是自变量）是指数函数，则 a 的取值范
围是（ ）
A. a ＞0，且 a ≠1 B. a ≥0，且 a ≠1
C. a ＞ ，且 a ≠1 D. a ≥
解析： 依题意得：2 a －1＞0，且2 a －1≠1，解得 a ＞ ，且 a
≠1，故选C.
3. 函数 y ＝ 的值域是（ ）
A. （－∞，1） B. （－∞，0）∪（0，＋∞）
C. （－1，＋∞） D. （－∞，－1）∪（0，＋∞）
解析： 由知，当－1＜2 x －1＜0时， y ∈（－
∞，－1）；当2 x －1＞0时， y ∈（0，＋∞）；综上函数的值域是
（－∞，－1）∪（0，＋∞）.故选D.
4. （多选）函数 y ＝ ax － （ a ＞0且 a ≠1）的图象可能是（ ）
解析： 当 a ＞1时， ∈（0，1），因此 x ＝0时，0＜ y ＝1－
＜1；当0＜ a ＜1时， ＞1，因此 x ＝0时， y ＜0.故选B、D.
5. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ f （0））＝3 a ，则 a 的
值为 .
解析：由题意可知 f （0）＝20＋1＝2， f （2）＝22＋2 a ＝3 a ，解
得 a ＝4.
4
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若函数 f （ x ）＝ · ax 是指数函数，则 f 的值为（ ）
A. 2 B. 2 C. －2 D. －2
解析： ∵函数 f （ x ）＝ · ax 是指数函数，∴ a －3＝
1， a ＞0且 a ≠1，解得 a ＝8，∴ f （ x ）＝8 x ，∴ f ＝ ＝2
，故选B.
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2. 下列函数中，既是指数函数，又在区间（0，＋∞）上为严格减函
数的是（ ）
A. y ＝ B. y ＝ x2
C. y ＝ D. y ＝2 x
解析： 对A，函数 y ＝ 不是指数函数，故错；对B，函数 y
＝ x2不是指数函数，故错；对C，函数 y ＝ 为指数函数，且在
（0，＋∞）上为严格减函数，故正确；对D，函数 y ＝2 x 为指数函
数，且在（0，＋∞）上为严格增函数，故错.故选C.
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3. 函数 y ＝ （ a ＞1）的图象大致形状是（ ）
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解析： 令 y ＝ f （ x ）＝ （ a ＞1），则 f （ x ）＝
（ a ＞1），∴当 x ＞0时，其图象与 y ＝ ax （ a ＞
1）在第一象限内的图象一样；当 x ＜0时，其图象与 y ＝ ax （ a ＞
1）的图象关于 x 轴对称，故选C.
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4. 若函数 y ＝ 的定义域为[2，5]，则该函数的值域是
（ ）
A. [4，32] B. [4，16]
C. [2，32] D. [2，16]
解析： 令μ（ x ）＝ x2－6 x ＋10＝（ x －3）2＋1，因为 x
∈[2，5]，则μ（ x ）∈[1，5]，又因为 y ＝2 x 为单调递增函数，
所以 y ＝ ∈[2，32].故选C.
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5. （多选）若函数 y ＝ ax －（ b ＋1）（ a ＞0且 a ≠1）的图象经过第
一、三、四象限，则必有（ ）
A. 0＜ a ＜1 B. a ＞1
C. b ＞0 D. b ＜0
解析： 若0＜ a ＜1，则 y ＝ ax －（ b ＋1）的图象必过第二象
限，而函数 y ＝ ax －（ b ＋1）（ a ＞0且 a ≠1）的图象过第一、
三、四象限，所以 a ＞1.当 a ＞1时，要使 y ＝ ax －（ b ＋1）的图象
过第一、三、四象限，则 b ＋1＞1，即 b ＞0.故选B、C.
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6. 已知函数 y ＝ a ·2 x 和 y ＝2 x＋ b 都是指数函数，则 a ＋ b ＝ .
解析：因为函数 y ＝ a ·2 x 是指数函数，所以 a ＝1，由 y ＝2 x＋ b 是指
数函数，所以 b ＝0，所以 a ＋ b ＝1.
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7. 已知函数 y ＝ f （ x ）的定义域为（1，2），则函数 y ＝ f （2 x ）的
定义域为 .
解析：由函数的定义，得1＜2 x ＜2 0＜ x ＜1.所以 y ＝ f （2 x ）的
定义域为（0，1）.
（0，1）
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8. 设 f （ x ）为定义在R上的奇函数，当 x ≥0时， f （ x ）＝3 x ＋ a （ a
为常数），当 x ＜0时， f （ x ）＝ .
解析：因为 f （ x ）为定义在R上的奇函数，且 x ≥0时， f （ x ）＝3
x ＋ a ，所以 f （0）＝30＋ a ＝0，解得 a ＝－1，设 x ＜0，则－ x ＞
0，所以 f （－ x ）＝3－ x －1，所以 f （ x ）＝－ f （－ x ）＝1－3－ x .
1－3－ x
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9. 已知指数函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1），且 f （2）＝4.
（1）求 a 的值；
解：∵指数函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1），且 f（2）＝4，
∴ a2＝4，又 a ＞0， a ≠1，∴ a ＝2.
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（2）当 x ∈[0，2]时，求 g （ x ）＝ a2 x － ax －1的值域.
解： 由（1）知， g （ x ）＝22 x －2 x －1， x ∈[0，2]，
令 t ＝2 x ∈[1，4]，
则 y ＝ t2－ t －1＝ － ，∴ y ＝ t2－ t －1在[1，4]上单
调递增，∴函数 y ＝ t2－ t －1的值域为[－1，11]，即 g （ x ）
＝ a2 x － ax －1的值域为[－1，11].
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10. 函数① y ＝ ax ；② y ＝ bx ；③ y ＝ cx ；④ y ＝ dx 的图象如图所示，
a ， b ， c ， d 分别是下列四个数： ， ， ， 中的一个，则
a ， b ， c ， d 的值分别是（ ）
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
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解析： 直线 x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为
c ， d ， a ， b ，而 ＞ ＞ ＞ ，所以 a ， b ， c ， d 的值分别是
， ， ， ，故选C.
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11. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 任取 x ＞0，均有3 x ＞2 x
B. y ＝（ ）－ x 是增函数
C. y ＝2｜ x｜的最小值为1
D. 在同一坐标系中， y ＝2 x 与 y ＝2－ x 的图象关于 y 轴对称
解析 任取 x ＞0，均有3 x ＞2 x ，即A正确； y ＝（ ）－ x
是减函数，B错误； y ＝2｜ x｜的最小值为1，C正确；在同一坐标
系中， y ＝2 x 与 y ＝2－ x ＝ 的图象关于 y 轴对称，D正确.故选
A、C、D.
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解： 因为 f （ x ）＝ ， f （－ x ）＝ ＝
，由 f （－ x ）＝－ f （ x ），可得 ＝－ ，
（1－ a ·2 x ）（2 x ＋ a ）＝（1＋ a ·2 x ）（ a －2 x ），
2 x － a ·2 x ·2 x ＋ a － a2·2 x ＝ a ＋ a2·2 x －2 x － a ·2 x ·2 x ，
整理得2 x （ a2－1）＝0，于是 a2－1＝0， a ＝±1.
当 a ＝1时， f （ x ）定义域为R， f （ x ）是奇函数；
当 a ＝－1时， f （ x ）定义域为{ x ｜ x ≠0}， f （ x ）是奇函
数.因此 a ＝±1.
12. 已知函数 f （ x ）＝ 是奇函数.
（1）求实数 a 的值；
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（2）求 f （ x ）的值域.
解： 当 a ＝1时， f （ x ）＝1－ ，定义域为R，所
以2 x ＞0，于是2 x ＋1＞1，0＜ ＜2，因此－1＜1－
＜1，故 f （ x ）的值域为（－1，1）；
当 a ＝－1时， f （ x ）＝1＋ ，定义域为{ x ｜ x ≠0}，所
以2 x ＞0，且2 x ≠1，于是2 x －1＞－1，且2 x －1≠0，所以
＜－2，或 ＞0.
因此1＋ ＜－1或1＋ ＞1，故 f （ x ）的值域为（－∞，－1）
∪（1，＋∞）.
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13. 已知函数 f （ x ）＝若实数 a ， b ， c 满足 a ＜ b
＜ c ，且 f （ a ）＝ f （ b ）＝ f （ c ），则2 a＋ c ＋2 b＋ c 的取值范围
为（ ）
A. （4，8） B. （4，16）
C. （8，32） D. （16，32）
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解析： 作出函数 f （ x ）的图
象，如图，当 x ＜0时， f （ x ）＝｜
2 x －1｜＝1－2 x ∈（0，1），由图
可知， f （ a ）＝ f （ b ）＝ f （ c ）∈
（0，1），即4－ c ∈（0，1）得3＜c ＜4，则8＜2 c ＜16，由 f （ a ）＝ f （ b ），即｜2 a －1｜＝｜2 b －1｜，得1－2 a ＝2 b －1，求得2 a ＋2 b ＝2，∴2 a＋ c ＋2 b＋ c ＝2 c （2 a ＋2 b ）＝2×2 c ∈（16，32），故选D.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ＞0且 a ≠1）.
（1）若函数 f （ x ）的图象不经过第二象限，求 a ， b 的取值
范围；
解： ①当0＜ a ＜1时， f （ x ）单调递减，根据指数函
数的图象可知，函数图象必然经过第二象限，故不成立；
②当 a ＞1时， f （ x ）单调递增， f （ x ）的图象与 y 轴的交
点为（0， b ＋1），根据指数函数的图象可知，要使 f （ x ）
的图象不经过第二象限，则 b ＋1≤0， b ≤－1.
所以 a ＞1， b ≤－1.
综上， a ， b 的取值范围是 a ＞1， b ≤－1.
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（2）当 b ＝1时， f （ x ）在区间[1，2]上的最大值与最小值之比
为3∶2，求 a 的值.
解： 当 b ＝1时， f （ x ）＝ ax ＋1.
①当0＜ a ＜1时， f （ x ）单调递减， f （ x ）在[1，2]上的
最大值为 f （1）＝ a ＋1，最小值为 f （2）＝ a2＋1，由题意
可得 ＝ ，无解；
②当 a ＞1时， f （ x ）单调递增， f （ x ）在[1，2]上的最大
值为 f （2）＝ a2＋1，最小值为 f （1）＝ a ＋1，由题意可得
＝ ，解得 a ＝ ，因为 a ＞1，所以 a ＝ .
综上， a 的值是 .
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