(共62张PPT)
第2课时 分层抽样
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例,了解分层抽样的特点和适用范
围,了解分层抽样的必要性 数学抽象、数据分析
2.掌握各层样本量比例分配的方法,利用分
层抽样的方法解决实际问题 数据分析、数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
为了考察某校的教学水平,将对这个学校高三年级部分学生的本
学年考试成绩进行考察,为了全面地反映实际情况,采取以下三种方
式进行抽查(已知该校高三年级共有20个教学班,并且每个班内的学
生已经按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相同).
(1)从全年级20个班中任意抽取一个班,再从该班中任意抽取20
人,考察他们的学习成绩;
(2)每个班都抽取1人,共计20人,考察这20个学生的成绩;
(3)把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级
别,从其中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分,该校
高三学生中优秀学生有150名,良好学生有600名,普通学生有
250名).
【问题】 (1)上面三种抽取方式中各采用的是何种抽取样本的
方法?
(2)方式三中按照各种事先划定的分数段分层确定优秀生、良好
生、普通生的人数,再按各层抽取有什么好处?
知识点 分层抽样
一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分成有
的、 的几部分时,每一部分可称为层,在各层中
按 进行随机抽样的方法称为分层抽样(简称
为分层抽样).
明显差
别
互不重叠
层在总体中所占比例
提醒 (1)分层抽样如何分层要视具体情况而定,总的原则是每层
内样本的差异要尽可能小,而层与层之间的差异要尽可能大,且互不
重叠,否则将失去分层的意义;(2)所有层都按同一抽样比等可能
抽取,以保证每个个体被等可能抽取;(3)根据实际情况,可对每
层所抽取的数目进行适当的细微调整.
【想一想】
1. 适合分层抽样的总体具备什么特征?
提示:总体由差异明显的几部分组成.
2. 如何理解“层在总体中所占比例”?
提示:从 N 个个体中抽取 n 个个体,若将总体分为 A , B , C 三
层,含有的个体数目分别是 x , y , z ,在 A , B , C 三层应抽取的
个体数目分别是 a , b , c ,那么 = = = .
1. 分层抽样适合的总体是( )
A. 总体容量较多 B. 样本量较多
C. 总体中个体有差异 D. 任何总体
解析: 当总体中个体有差异,采用分层抽样.故选C.
2. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学
生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业
共抽取40名学生进行调查,则应在丙专业抽取的学生人数
为 .
解析:设应在丙专业抽取的学生人数为 x ,则 =
,即 = ,解得 x =16 .
16
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分层抽样的概念
【例1】 (1)下列各项中属于分层抽样的特点的是( B )
A. 从总体中逐个抽取
B. 将总体分成几层,分层进行抽取
C. 将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取
D. 将总体随意分成几部分,然后进行随机抽取
B
解析: A属于简单随机抽样的特点,B属于分层抽样的特
点,C,D不属于分层抽样方法,所以应选B.
(2)下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是( B )
A. 从10名同学中抽取3人参加座谈会
B. 一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90~100分,
12人低于90分,现从中抽取12人了解有关情况
C. 从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D. 从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
解析: A中总体个体无明显差异,适合用简单随机抽样;C和D中
总体个体无明显差异,不适合用分层抽样;B中总体个体差异明
显,适合用分层抽样.
B
通性通法
1. 使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区
别,而层内个体间差异较小.
2. 使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个
体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进
行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于
抽样比.
【跟踪训练】
1. 某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而
男、女生视力情况差异不大,为了解该地区中小学生的视力情况,
最合理的抽样方法是( )
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样
C. 按学段分层抽样 D. 其他抽样方法
解析: 因为小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有
较大差异,男、女生视力情况差异不大,则应按学段分层抽
样,故选C.
2. 某学院有四个饲养房,分别养有18,54,24,48只白鼠供试验用.
某项试验需抽取24只,为使实验尽可能真实,你认为最合适的抽样
方法为 .
①在每个饲养房各抽取6只;
②把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈,用随机抽样法确定
24只;
③在四个饲养房分别随手提出3,9,4,8只;
④先确定在这四个饲养房应分别抽取3,9,4,8只,再由各饲养房
自己加号码颈圈,用简单随机抽样法确定各自抽取的对象.
④
解析:①中对四个饲养房抽取的白鼠平均分,但由于各饲养房所养
数量不一,反而造成了每个个体入选的可能性不相等,是错误的方
法;②中保证了每个个体入选的可能性相等,但由于没有注意到处
在四个不同环境会产生不同差异,不如采用分层抽样可靠性高,且
统一编号、统一选择加大了工作量;③中总体采用了分层抽样,但
在每个层次中抽取时有一定的主观性,貌似随机,实则每个个体被
抽到的可能性无法保证相等.
题型二 分层抽样的计算
角度1 求各层中样本抽取的量
【例2】 (1)某市有大型超市200家,中型超市400家,小型超市1
400家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样的方法抽取一个容
量为100的样本,则应抽取中型超市 家;
解析: 根据题意,可得抽样比为 = ,故应
抽取中型超市400× =20(家).
20
(2)某单位共有老、中、青职工430人,其中有青年职工160人,中
年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况,现
采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32
人,则该样本中的老年职工人数为 .
解析: 设该单位老年职工人数为 x ,由题意得3 x =430-
160,解得 x =90.则样本中的老年职工人数为90× =18.
18
角度2 求总体容量
【例3】 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新
法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查,假设
四个社区驾驶员的总人数为 N ,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、
乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这
四个社区驾驶员的总人数 N 为( )
A. 101 B. 808
C. 1 212 D. 2 012
解析: 因为甲社区有驾驶员96人,并且在甲社区抽取的驾驶员的
人数为12,所以四个社区抽取驾驶员的比例为 = ,所以驾驶员的
总人数为(12+21+25+43)÷ =808.
通性通法
分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法
(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时,首先确定抽样比
,其中 N 为总体容量, n 为样本容量;然后确定每层抽取的个
体的个数 ni = Ni × ,其中 Ni 为第 i ( i =1,2,…, k )层的个
体数, ni 为第 i 层应抽取的个体数;
(2)已知各层个体数之比为 m1∶ m2∶…∶ mk ,样本容量为 n 时,每
层抽取的个体数为 ni = n × ( i =1,2,…,
k ).
【跟踪训练】
1. 某校高一、高二、高三的学生人数分别为800,750,650,为了解
学生的视力情况,现用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调
查,若样本中高二学生的人数为30,则这次调查的样本容量为
( )
A. 88 B. 90
C. 92 D. 94
解析: 设样本容量为 x ,则 = ,解得 x =88.故
选A.
2. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为
100,200,150,50件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从
以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽
取 件.
解析:由题意,甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为
100,200,150,50件,用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取
60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取个数为
×60=18件.
18
题型三 分层抽样的方案设计
【例4】 一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至
49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人,为了了解这个单位职工
与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工
年龄与这项指标有关,应该怎样抽取?
解:因为职工年龄与这项指标有关,故采用分层抽样.
步骤如下:(1)分层:按年龄将职工分成三层:不到35岁的职工;
35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工.
(2)确定每层抽取个体的个数:抽样比为 = ,则在不到35岁的
职工中抽125× =25(人);
在35岁至49岁的职工中抽280× =56(人);
在50岁及50岁以上的职工中抽95× =19(人).
(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.
(4)综合每层抽样,组成样本.
【母题探究】
(变设问)本例条件不变,若要从中抽取200名职工作为样本,则各
年龄段依次抽取多少人?
解:按 = 的比例抽样,所以依次抽取125× =50(人),280×
=112(人),95× =38(人).
通性通法
分层抽样的步骤
【跟踪训练】
有以下二个案例.
案例一:从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰
按的含量.
案例二:某公司有员工800人,其中具有高级职称的有160人,具有中
级职称的有320人,具有初级职称的有200人,其他人员120人,从中
抽取容量为40的样本,了解他们的收入情况.
(1)你认为这些案例采用怎样的抽样方式较为合适?
解: 案例一用简单随机抽样,案例二用分层随机抽样.
(2)在你使用分层随机抽样的案例中写出抽样过程.
解: ①将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称的
人员及其他人员四层;
②确定抽样比 q = = ;
③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8,16,10,6;
④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本;
⑤将各层汇总,构成一个容量为40的样本.
1. 某大学工程学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200
人,要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本,则应抽
取博士生的人数为( )
A. 20 B. 25
C. 40 D. 50
解析: 因为学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200
人,所以应抽取博士生的人数为 ×180=20.故选A.
2. (多选)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个
班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二,学校计划从这两个
年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A. 应该采用分层抽样法抽取
B. 高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C. 乙被抽到的可能性比甲大
D. 该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
解析: 易知应采用分层抽样法抽取,A正确;由题意可得高
一年级的人数为20×50=1 000,高二年级的人数为30×45=1
350,则高一年级应抽取的人数为235× =100,高二年
级应抽取的人数为235-100=135,所以高一、高二年级应分别抽
取100人和135人,故B正确;乙被抽到的可能性与甲一样大,故C
错误;该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力,故D
正确.故选A、B、D.
3. 某车间生产 A , B , C 三种不同型号的产品,产量之比分别为5∶
k ∶3,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法抽取一个容量为
120的样本进行检验,已知 B 种型号的产品共抽取了24件,则 C 种
型号的产品抽取的件数为 .
解析:由题意,得 = ,所以 k =2,所以 C 种型号的产品
抽取的件数为120× =36.
36
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 立德中学高一年级共有学生640人,其中男生300人,现采用分层抽
样的方法调查学生的身高情况,在抽取的样本中,男生有30人,那
么该样本中女生的人数为( )
A. 30 B. 34
C. 60 D. 64
解析: = 得 x =34,故选B.
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2. 四书五经详细记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外
交、文化等各个方面的史实资料,在中国的传统文化的诸多文学作
品中,占据相当重要的位置.某学校古典研读社的学生为了了解现
在高一年级1 040名学生(其中女生480名)对四书五经的研读情
况,进行了一次问卷调查.用分层随机抽样的方法从高一年级学生
中抽取了一个容量为 n 的样本,已知抽到男生70人,则样本容量 n
为( )
A. 60 B. 90
C. 130 D. 150
解析: 由题意得 = ,解得 n =130.
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3. 第24届冬奥会于2022年02月04日~2022年02月20日在我国北京市和
张家口市联合举行.为了解某校中小学生对冬奥会参赛项目的熟知
程度,从该校3 000名学生中,利用分层抽样的方法抽取100人进行
调查,若小学、初中、高中的学生人数如下表:
小学生 初中生 高中生
1 200 1 050 a
则从高中生中应抽取的人数为( )
A. 25 B. 30
C. 35 D. 40
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解析: ∵高中生人数为3 000-1 200-1 050=750,∴从高中生
中应抽取的人数为750× =25.故选A.
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4. 某学校高二年级选择“史政地”,“史政生”和“史地生”组合的
同学人数分别为210,90和60.现采用分层抽样的方法选出12位同学
进行一项调查研究,则“史政生”组合中选出的同学人数为( )
A. 7 B. 6
C. 3 D. 2
解析: 由条件可知,“史政生”组合中选出的同学人数为12×
=3.故选C.
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5. (多选)某运动队由足球运动员18人,篮球运动员12人,乒乓球运
动员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取一个容
量为 n 的样本,若采用分层抽样的方法,且不用删除个体,则样本
量 n 的取值不可能是( )
A. 5 B. 6
C. 20 D. 24
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解析: 因为运动队有足球运动员18人,篮球运动员12人,乒
乓球运动员6人,所以当样本容量为 n 时,分层抽样的抽样比为
,则足球运动员为 ×18= 人,篮球运动员为 ×12= 人,
乒乓球运动员为 ×6= 人,所以 n 是6的整数倍,故选A、C.
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6. 某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12
岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,
180份,240份, x 份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层
抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则
在15~16岁学生中抽取的问卷份数为 .
解析:由题意可得 = ,解得 x =360,故在15~16
岁学生中抽取的问卷份数为360× =120.
120
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7. 为了解某校1 200名高一学生的身高状况,按性别比例采用分层抽
样的方法从中抽取50人进行调查,若样本中男生比女生多10人,则
该校高一学生中女生的人数为 .
解析:由抽取样本50人中,男生比女生多10人,可得样本中男生30
人,女生20人,男女生比例为3∶2,所以该校高一学生中女生的人
数为1 200× =480.
480
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8. 某企业三月中旬生产 A , B , C 三种产品共3 000件,根据分层抽样
的结果,该企业统计员制作了如下的统计表:
由于不小心,表格中 A , C 产品的有关数据已被污染,导致看不清
楚,统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多10,则 C
产品的数量是 件.
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解析:设 C 产品的数量为 x 件,则 A 产品的数量为3 000-1 300- x
=(1 700- x )件.设 C 产品的样本容量为 a ,则 A 产品的样本容量
为10+ a ,由分层抽样的定义可知 = = ,解得 x =
800.
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9. 某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的 A , B , C 三种
放假方案进行了问卷调查,调查结果如下:
支持 A 方案 支持 B 方案 支持 C
方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含 35岁)的人数 100 100 400
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(1)从所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,已知
从支持 A 方案的人中抽取了6人,求 n 的值;
解: 由题意得
= ,
解得 n =40.
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(2)从支持 B 方案的人中,用分层抽样的方法抽取5人,这5人
中在35岁以上(含35岁)的人数是多少?35岁以下的人数
是多少?
解: 35岁以下的人数为 ×400=4,
35岁以上(含35岁)的人数为5-4=1.
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10. 甲、乙、丙、丁四所学校分别有150,120,180,150名高二学生
参加某次数学调研测试.为了解学生能力水平,需从这600名学生
中抽取一个容量为100的样本作卷面分析,记这项调查为①;在丙
校有30名数学培优生,需要从中抽取5名学生进行失分分析,记这
项调查为②.完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )
A. 分层抽样法、分层抽样法
B. 分层抽样法、抽签法
C. 抽签法、分层抽样法
D. 随机数表法、分层抽样法
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解析: 对于①,四所学校,学生有差异,故①使用分层抽
样;对于②,在同一所学校,且人数较少,使用的是抽签法.
故选B.
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11. 某学校在校学生有2 000人,为了增强学生的体质,学校举行了跑
步和登山比赛,每人都参加且只参加其中一项比赛,高一、高
二、高三年级参加跑步的人数分别为 a , b , c ,且 a ∶ b ∶ c =
2∶5∶3,全校参加登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本
次比赛的满意程度,按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的
样本进行调查,则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数
为 .
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解析:由题意,参加跑步的总人数为2 000× =1 500人,
样本中抽取跑步的人数为 ×1 500=150人,又高一、高二、
高三年级参加跑步的人数分别为 a , b , c ,且 a ∶ b ∶ c =
2∶5∶3,所以样本中抽取的高三的人数为150× =45.
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12. 某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数
如下表:
第一车间 第二车间 第三车间
女工 173 100 y
男工 177 x z
已知在全厂工人中随机抽取20名,这20名工人中恰好有3名是第二
车间的男工.
(1)求 x 的值;
解: 由 = ,得 x =150.
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(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,则应在第三车间
抽取多少名工人?
解: 因为第一车间的工人数是173+177=350,第二车
间的工人数是100+150=250,所以第三车间的工人数是1
000-350-250=400.
设应从第三车间抽取 m 名工人,则由 = ,得 m =
20.
所以应在第三车间抽取20名工人.
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13. 某学校老师中,O型血有36人,A型血有24人,B型血有12人,现
需要从这些老师中抽取一个容量为 n 的样本.如果采用分层抽样方
法抽取,不用剔除个体;如果样本容量减少一个,则在总体中随
机剔除2个个体才能被该样本容量整除,则样本容量 n 为( )
A. 12 B. 8
C. 6 D. 4
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解析: 因为采用分层抽样方法抽取,不用剔除个体;所以样
本容量 n 为36,24,12的公约数,因为36∶24∶12=3∶2∶1,所
以样本容量 n 为3+2+1=6的倍数,因此舍去B、D;因为如果样
本容量 n 减少一个,则在总体中随机剔除2个个体则72-2=70,
其约数加1才为样本容量 n ,因此选C.
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14. 为了对某课题进行研究,分别从 A , B , C 三所高校中用分层抽
样法抽取若干名教授组成研究小组,其中高校 A 有 m 名教授,高
校 B 有72名教授,高校 C 有 n 名教授(其中0< m ≤72≤ n ).
(1)若 A , B 两所高校中共抽取3名教授, B , C 两所高校中共抽
取5名教授,求 m , n ;
解: 因为0< m ≤72≤ n , A , B 两所高校中共抽取3名
教授, B , C 两所高校中共抽取5名教授,所以 B 高校中抽
取2人, A 高校中抽取1人, C 高校中抽取3人,所以 =
= ,解得 m =36, n =108.
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(2)若高校 B 中抽取的教授数是高校 A 和 C 中抽取的教授总数的
,求三所高校的教授的总人数.
解: 因为高校 B 中抽取的教授数是高校 A 和 C 中抽取
的教授总数的 ,
所以 ( m + n )=72,解得 m + n =108,
所以三所高校的教授的总人数为 m + n +72=180.
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谢 谢 观 看!第2课时 分层抽样
1.立德中学高一年级共有学生640人,其中男生300人,现采用分层抽样的方法调查学生的身高情况,在抽取的样本中,男生有30人,那么该样本中女生的人数为( )
A.30 B.34 C.60 D.64
2.四书五经详细记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料,在中国的传统文化的诸多文学作品中,占据相当重要的位置.某学校古典研读社的学生为了了解现在高一年级1 040名学生(其中女生480名)对四书五经的研读情况,进行了一次问卷调查.用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取了一个容量为n的样本,已知抽到男生70人,则样本容量n为( )
A.60 B.90 C.130 D.150
3.第24届冬奥会于2022年02月04日~2022年02月20日在我国北京市和张家口市联合举行.为了解某校中小学生对冬奥会参赛项目的熟知程度,从该校3 000名学生中,利用分层抽样的方法抽取100人进行调查,若小学、初中、高中的学生人数如下表:
小学生 初中生 高中生
1 200 1 050 a
则从高中生中应抽取的人数为( )
A.25 B.30
C.35 D.40
4.某学校高二年级选择“史政地”,“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210,90和60.现采用分层抽样的方法选出12位同学进行一项调查研究,则“史政生”组合中选出的同学人数为( )
A.7 B.6
C.3 D.2
5.(多选)某运动队由足球运动员18人,篮球运动员12人,乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本,若采用分层抽样的方法,且不用删除个体,则样本量n的取值不可能是( )
A.5 B.6
C.20 D.24
6.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为 .
7.为了解某校1 200名高一学生的身高状况,按性别比例采用分层抽样的方法从中抽取50人进行调查,若样本中男生比女生多10人,则该校高一学生中女生的人数为 .
8.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层抽样的结果,该企业统计员制作了如下的统计表:
由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染,导致看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,则C产品的数量是 件.
9.某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查,调查结果如下:
支持 A方案 支持 B方案 支持 C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含 35岁)的人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)从支持B方案的人中,用分层抽样的方法抽取5人,这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少?35岁以下的人数是多少?
10.甲、乙、丙、丁四所学校分别有150,120,180,150名高二学生参加某次数学调研测试.为了解学生能力水平,需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析,记这项调查为①;在丙校有30名数学培优生,需要从中抽取5名学生进行失分分析,记这项调查为②.完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )
A.分层抽样法、分层抽样法
B.分层抽样法、抽签法
C.抽签法、分层抽样法
D.随机数表法、分层抽样法
11.某学校在校学生有2 000人,为了增强学生的体质,学校举行了跑步和登山比赛,每人都参加且只参加其中一项比赛,高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a,b,c,且a∶b∶c=2∶5∶3,全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度,按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查,则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为 .
12.某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如下表:
第一车间 第二车间 第三车间
女工 173 100 y
男工 177 x z
已知在全厂工人中随机抽取20名,这20名工人中恰好有3名是第二车间的男工.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,则应在第三车间抽取多少名工人?
13.某学校老师中,O型血有36人,A型血有24人,B型血有12人,现需要从这些老师中抽取一个容量为n的样本.如果采用分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量减少一个,则在总体中随机剔除2个个体才能被该样本容量整除,则样本容量n为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
14.为了对某课题进行研究,分别从A,B,C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0<m≤72≤n).
(1)若A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n;
(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,求三所高校的教授的总人数.
第2课时 分层抽样
1.B =得x=34,故选B.
2.C 由题意得=,解得n=130.
3.A ∵高中生人数为3 000-1 200-1 050=750,∴从高中生中应抽取的人数为750×=25.故选A.
4.C 由条件可知,“史政生”组合中选出的同学人数为12×=3.故选C.
5.AC 因为运动队有足球运动员18人,篮球运动员12人,乒乓球运动员6人,所以当样本容量为n时,分层抽样的抽样比为,则足球运动员为×18=人,篮球运动员为×12=人,乒乓球运动员为×6=人,所以n是6的整数倍,故选A、C.
6.120 解析:由题意可得=,解得x=360,故在15~16岁学生中抽取的问卷份数为360×=120.
7.480 解析:由抽取样本50人中,男生比女生多10人,可得样本中男生30人,女生20人,男女生比例为3∶2,所以该校高一学生中女生的人数为1 200×=480.
8.800 解析:设C产品的数量为x件,则A产品的数量为3 000-1 300-x=(1 700-x)件.设C产品的样本容量为a,则A产品的样本容量为10+a,由分层抽样的定义可知==,解得x=800.
9.解:(1)由题意得=,
解得n=40.
(2)35岁以下的人数为×400=4,
35岁以上(含35岁)的人数为5-4=1.
10.B 对于①,四所学校,学生有差异,故①使用分层抽样;对于②,在同一所学校,且人数较少,使用的是抽签法.故选B.
11.45 解析:由题意,参加跑步的总人数为2 000×=1 500人,样本中抽取跑步的人数为×1 500=150人,又高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a,b,c,且a∶b∶c=2∶5∶3,所以样本中抽取的高三的人数为150×=45.
12.解:(1)由=,得x=150.
(2)因为第一车间的工人数是173+177=350,第二车间的工人数是100+150=250,所以第三车间的工人数是1 000-350-250=400.
设应从第三车间抽取m名工人,则由=,得m=20.
所以应在第三车间抽取20名工人.
13.C 因为采用分层抽样方法抽取,不用剔除个体;所以样本容量n为36,24,12的公约数,因为36∶24∶12=3∶2∶1,所以样本容量n为3+2+1=6的倍数,因此舍去B、D;因为如果样本容量n减少一个,则在总体中随机剔除2个个体则72-2=70,其约数加1才为样本容量n,因此选C.
14.解:(1)因为0<m≤72≤n,A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,所以B高校中抽取2人,A高校中抽取1人,C高校中抽取3人,所以==,解得m=36,n=108.
(2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,
所以(m+n)=72,解得m+n=108,
所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180.
3 / 3第2课时 分层抽样
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例,了解分层抽样的特点和适用范围,了解分层抽样的必要性 数学抽象、数据分析
2.掌握各层样本量比例分配的方法,利用分层抽样的方法解决实际问题 数据分析、数学建模
为了考察某校的教学水平,将对这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察,为了全面地反映实际情况,采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个教学班,并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相同).
(1)从全年级20个班中任意抽取一个班,再从该班中任意抽取20人,考察他们的学习成绩;
(2)每个班都抽取1人,共计20人,考察这20个学生的成绩;
(3)把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从其中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分,该校高三学生中优秀学生有150名,良好学生有600名,普通学生有250名).
【问题】 (1)上面三种抽取方式中各采用的是何种抽取样本的方法?
(2)方式三中按照各种事先划定的分数段分层确定优秀生、良好生、普通生的人数,再按各层抽取有什么好处?
知识点 分层抽样
一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分成有 的、 的几部分时,每一部分可称为层,在各层中按 进行随机抽样的方法称为分层抽样(简称为分层抽样).
提醒 (1)分层抽样如何分层要视具体情况而定,总的原则是每层内样本的差异要尽可能小,而层与层之间的差异要尽可能大,且互不重叠,否则将失去分层的意义;(2)所有层都按同一抽样比等可能抽取,以保证每个个体被等可能抽取;(3)根据实际情况,可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整.
【想一想】
1.适合分层抽样的总体具备什么特征?
2.如何理解“层在总体中所占比例”?
1.分层抽样适合的总体是( )
A.总体容量较多
B.样本量较多
C.总体中个体有差异
D.任何总体
2.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,则应在丙专业抽取的学生人数为 .
题型一 分层抽样的概念
【例1】 (1)下列各项中属于分层抽样的特点的是( )
A.从总体中逐个抽取
B.将总体分成几层,分层进行抽取
C.将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取
D.将总体随意分成几部分,然后进行随机抽取
(2)下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90~100分,12人低于90分,现从中抽取12人了解有关情况
C.从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
尝试解答
通性通法
1.使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.
2.使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
【跟踪训练】
1.某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大,为了解该地区中小学生的视力情况,最合理的抽样方法是( )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.其他抽样方法
2.某学院有四个饲养房,分别养有18,54,24,48只白鼠供试验用.某项试验需抽取24只,为使实验尽可能真实,你认为最合适的抽样方法为 .
①在每个饲养房各抽取6只;
②把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈,用随机抽样法确定24只;
③在四个饲养房分别随手提出3,9,4,8只;
④先确定在这四个饲养房应分别抽取3,9,4,8只,再由各饲养房自己加号码颈圈,用简单随机抽样法确定各自抽取的对象.
题型二 分层抽样的计算
角度1 求各层中样本抽取的量
【例2】 (1)某市有大型超市200家,中型超市400家,小型超市1 400家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本,则应抽取中型超市 家;
(2)某单位共有老、中、青职工430人,其中有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为 .
尝试解答
角度2 求总体容量
【例3】 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查,假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A.101 B.808
C.1 212 D.2 012
尝试解答
通性通法
分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法
(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时,首先确定抽样比,其中N为总体容量,n为样本容量;然后确定每层抽取的个体的个数ni=Ni×,其中Ni为第i(i=1,2,…,k)层的个体数,ni为第i层应抽取的个体数;
(2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk,样本容量为n时,每层抽取的个体数为ni=n×(i=1,2,…,k).
【跟踪训练】
1.某校高一、高二、高三的学生人数分别为800,750,650,为了解学生的视力情况,现用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调查,若样本中高二学生的人数为30,则这次调查的样本容量为( )
A.88 B.90
C.92 D.94
2.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.
题型三 分层抽样的方案设计
【例4】 一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人,为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取?
尝试解答
【母题探究】
(变设问)本例条件不变,若要从中抽取200名职工作为样本,则各年龄段依次抽取多少人?
通性通法
分层抽样的步骤
【跟踪训练】
有以下二个案例.
案例一:从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰按的含量.
案例二:某公司有员工800人,其中具有高级职称的有160人,具有中级职称的有320人,具有初级职称的有200人,其他人员120人,从中抽取容量为40的样本,了解他们的收入情况.
(1)你认为这些案例采用怎样的抽样方式较为合适?
(2)在你使用分层随机抽样的案例中写出抽样过程.
1.某大学工程学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200人,要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本,则应抽取博士生的人数为( )
A.20 B.25 C.40 D.50
2.(多选)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二,学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A.应该采用分层抽样法抽取
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
3.某车间生产A,B,C三种不同型号的产品,产量之比分别为5∶k∶3,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验,已知B种型号的产品共抽取了24件,则C种型号的产品抽取的件数为 .
第2课时 分层抽样
【基础知识·重落实】
知识点
明显差别 互不重叠 层在总体中所占比例
想一想
1.提示:总体由差异明显的几部分组成.
2.提示:从N个个体中抽取n个个体,若将总体分为A,B,C三层,含有的个体数目分别是x,y,z,在A,B,C三层应抽取的个体数目分别是a,b,c,那么===.
自我诊断
1.C 当总体中个体有差异,采用分层抽样.故选C.
2.16 解析:设应在丙专业抽取的学生人数为x,则=,即=,解得x=16 .
【典型例题·精研析】
【例1】 (1)B (2)B 解析:(1)A属于简单随机抽样的特点,B属于分层抽样的特点,C,D不属于分层抽样方法,所以应选B.
(2)A中总体个体无明显差异,适合用简单随机抽样;C和D中总体个体无明显差异,不适合用分层抽样;B中总体个体差异明显,适合用分层抽样.
跟踪训练
1.C 因为小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,男、女生视力情况差异不大,则应按学段分层抽样,故选C.
2.④ 解析:①中对四个饲养房抽取的白鼠平均分,但由于各饲养房所养数量不一,反而造成了每个个体入选的可能性不相等,是错误的方法;②中保证了每个个体入选的可能性相等,但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异,不如采用分层抽样可靠性高,且统一编号、统一选择加大了工作量;③中总体采用了分层抽样,但在每个层次中抽取时有一定的主观性,貌似随机,实则每个个体被抽到的可能性无法保证相等.
【例2】 (1)20 (2)18 解析:(1)根据题意,可得抽样比为=,故应抽取中型超市400×=20(家).
(2)设该单位老年职工人数为x,由题意得3x=430-160,解得x=90.则样本中的老年职工人数为90×=18.
【例3】 B 因为甲社区有驾驶员96人,并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12,所以四个社区抽取驾驶员的比例为=,所以驾驶员的总人数为(12+21+25+43)÷=808.
跟踪训练
1.A 设样本容量为x,则=,解得x=88.故选A.
2.18 解析:由题意,甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50件,用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取个数为×60=18件.
【例4】 解:因为职工年龄与这项指标有关,故采用分层抽样.
步骤如下:(1)分层:按年龄将职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工.
(2)确定每层抽取个体的个数:抽样比为=,则在不到35岁的职工中抽125×=25(人);
在35岁至49岁的职工中抽280×=56(人);
在50岁及50岁以上的职工中抽95×=19(人).
(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.
(4)综合每层抽样,组成样本.
母题探究
解:按=的比例抽样,所以依次抽取125×=50(人),280×=112(人),95×=38(人).
跟踪训练
解:(1)案例一用简单随机抽样,案例二用分层随机抽样.
(2)①将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称的人员及其他人员四层;
②确定抽样比q==;
③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8,16,10,6;
④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本;
⑤将各层汇总,构成一个容量为40的样本.
随堂检测
1.A 因为学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200人,所以应抽取博士生的人数为×180=20.故选A.
2.ABD 易知应采用分层抽样法抽取,A正确;由题意可得高一年级的人数为20×50=1 000,高二年级的人数为30×45=1 350,则高一年级应抽取的人数为235×=100,高二年级应抽取的人数为235-100=135,所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人,故B正确;乙被抽到的可能性与甲一样大,故C错误;该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力,故D正确.故选A、B、D.
3.36 解析:由题意,得=,所以k=2,所以C种型号的产品抽取的件数为120×=36.
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