5.1.2 数据的数字特征
1.已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是（ ）
A.7 B.57
C.67 D.11
2.将10个数据按照从小到大的顺序进行排列，第四个数据被墨水污染，2，4，5，，10，14，15，39，41，50，已知40%分位数是8.5，则第四个数据是（ ）
A.5 B.7.5
C.8 D.7
3.某学校高一年级（1）班，（2）班，（3）班的人数分别为45，50，55，在某次考试中，（1）班的平均分为83分，（3）班的平均分为91分，三个班的平均分为86.6分，则（2）班的平均分为（ ）
A.84分 B.85分 C.86分 D.87分
4.某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5个，全年比赛失球个数的标准差为1.4；乙队每场比赛平均失球数是2.3个，全年比赛失球个数的标准差为0.3，下列说法正确的是（ ）
A.甲乙两队相比，乙队很少失球
B.甲队比乙队技术水平更稳定
C.平均来说，甲队比乙队防守技术好
D.乙队有时表现很差，有时表现又非常好
5.（多选）一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（ ）
A.众数为8 B.极差为6
C.中位数为8 D.方差为
6.某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表：
鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是 .
①平均数；②众数；③中位数；④方差.
7.样本中共有五个个体，其值分别为1，m，n，2，5（m，n∈N*）.若该样本的中位数与平均数都为3，则mn＝ .
8.若数据3x1，3x2，…，3x8的方差为9，则数据x1，x2，…，x8的方差为 .
9.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲 6 9 7 8 8 5 6
乙 a 3 9 8 9 6 4
经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的.
（1）求实数a的值；
（2）请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定？
10.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.有甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B.数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
11.小明5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为 .
12.某校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班学生在一次数学测试（满分100分）中的成绩（单位：分）统计如下表：
班级 平均分 众数 中位数 标准差
高一（1）班 79 70 87 19.8
高一（2）班 79 70 79 5.2
（1）请你对下面的一段话给予简要分析：高一（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了.”
（2）请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议.
13.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差.后来又转学来一位同学.若该同学中考体育的成绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是（ ）
A.班级平均分不变，方差变小
B.班级平均分不变，方差变大
C.班级平均分改变，方差变小
D.班级平均分改变，方差变大
14.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；
乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军.该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？
5.1.2 数据的数字特征
1.B 由这组数据的众数为5，可知x＝5.把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，可知中位数为5.
2.D 设第四个数据为x，因为一共有10个数据，10×40%＝4为整数，根据百分位数的定义可得：＝8.5，解得x＝7.故选D.
3.B 设（2）班的平均分为x分，则有＝86.6，解得x＝85.故选B.
4.C 乙队平均失球大于甲队平均失球，所以选项A错误；乙队失球个数的标准差0.3小于甲队失球个数的标准差，∴选项B、D错误；甲队每场比赛平均失球数1.5个，小于乙队每场比赛平均失球数2.3个，所以平均来说，甲队比乙队防守技术好.故选C.
5.BD 由题可得＝8，∴a＝7，∴此组数据众数为7，极差为12－6＝6，中位数为7，方差为＝.故选B、D.
6.② 解析：鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数.
7.12 解析：∵1，m，n，2，5的中位数为3，∴m，n中必定至少一个是3，不妨设m＝3，∵1，m，n，2，5的平均数为3，∴＝3，解得n＝4，∴mn＝12.
8.1 解析：令＝，则＝3.又＝9，则＝9，∴＝1，即数据x1，x2，…，x8的方差为1.
9.解：（1）由题意，甲的平均成绩为＝×（6＋9＋7＋8＋8＋5＋6）＝7，乙的平均成绩为＝×（a＋3＋9＋8＋9＋6＋4）＝（a＋39），又甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的，有（a＋39）＝7，解得a＝10，故实数a为10.
（2）甲的方差＝×[（6－7）2＋（9－7）2＋（7－7）2＋（8－7）2＋（8－7）2＋（5－7）2＋（6－7）2]＝，乙的方差＝×[（10－7）2＋（3－7）2＋（9－7）2＋（8－7）2＋（9－7）2＋（6－7）2＋（4－7）2]＝，由＜知，甲比乙成绩更稳定.
10.BD 对于A，甲抽取的个体数为9，那么乙丙抽取的个体数应为3和6，故样本容量为18，故A错误；对于B，平均数为＝3，众数为3，中位数为3，故B正确；对于C，乙的平均数为＝7，方差为[（5－7）2＋（6－7）2＋（9－7）2＋（10－7）2＋（5－7）2]＝＞4，故较稳定的是甲，故C不正确；对于D，将数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由10×85%＝8.5，则该组数据的85%分位数为5，故D正确.故选B、D.
11.4 解析：由题意可得x＋y＝20，（x－10）2＋（y－10）2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，｜t｜＝2，故｜x－y｜＝2｜t｜＝4.
12.解：（1）由高一（1）班成绩的中位数是87可知，85分排在第25名以后，从名次上讲并不能说85分在班里是上游.
（2）高一（1）班成绩的中位数是87，说明高于87分的人数将近一半，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分者很多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助；
高一（2）班成绩的中位数和平均数都是79，标准差较小，说明学生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数.
13.A 设该班原有n个学生，平均分为，方差为s2，则＝，s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]，故x1＋x2＋…＋xn＝n，（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2＝ns2，则转来一位同学后的平均分为＝＝，方差[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2＋（－）2]＝＜s2，故选A.
14.解：甲的平均成绩和方差如下：
＝×（1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67）＝1.69，
＝×[（1.70－1.69）2＋（1.65－1.69）2＋…＋（1.67－1.69）2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差如下：
＝×（1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75）＝1.68，
＝×[（1.60－1.68）2＋（1.73－1.68）2＋…＋（1.75－1.68）2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛.
在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛.
2 / 25.1.2 数据的数字特征
新课程标准解读 核心素养
1.会求一组数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差与标准差 数学运算、数据分析
2.理解上述数字特征的意义，并能解决与之相关的实际问题 数学运算、数据分析
2019年国际射击联合会世界杯总决赛在福建莆田落下帷幕.中国射击队获得11金15银18铜共44枚奖牌，在奖牌榜上高居首位.这次总决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
【问题】 （1）如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？
（2）如果这是一次选拔性考核，你认为派哪名运动员参赛最好？
知识点一 最值、平均数、中位数、百分位数、众数
1.最值
一组数据的最值指的是其中的 与 ，最值反映的是这组数 的情况.
一般地，最大值用 表示，最小值用 表示.
2.平均数
（1）定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝ .
这一公式在数学中常简记为＝ .
（2）求和符号∑具有的性质：
①（xi＋yi）＝ ；
②（kxi）＝ ；
③t＝nt.
（3）如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为 .
3.中位数
（1）如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称 为这组数的中位数；
（2）如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称 为这组数的中位数.
4.百分位数
（1）定义：一组数的p%（p∈（0，100））分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有 的数据不大于该值，且至少有 的数据不小于该值；
（2）计算方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝ 的值，如果i不是整数，设i0为 ，取为p%分位数；如果i是整数，取 为p%分位数.
规定：0分位数是x1（即最小值），100%分位数是xn（即最大值）.
5.众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的 ，出现次数 的数据称为这组数据的众数.
【想一想】
1.x5＋x6＋…＋x15如何用符号∑表示？
2.如何证明（kxi）＝kxi？
3.中位数和百分位数的关系是什么？
知识点二 极差、方差与标准差
1.极差
一组数的极差指的是这组数的 减去 所得的差.
2.方差与标准差
（1）如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差s2＝（xi－）2，方差的算术平方根称为 ；
（2）如果x1，x2，…，xn的方差为s2，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差是 .
【想一想】
1.方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含义是什么？
2.方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？
1.某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
环数 5 6 7 8 9 10
人数 1 2 7 6 3 1
A.7，7 B.8，7.5
C.7，7.5 D.8，6
2.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A.9.4，0.484 B.9.4，0.016
C.9.5，0.04 D.9.5，0.016
3.5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的25%分位数为 ，75%分位数为 ，90%分位数为 .
题型一 平均数、中位数、百分位数、众数的计算
【例1】 已知甲、乙两组数据：
甲：18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5；
乙：2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6.
（1）求这两组数的众数、中位数、平均数；
（2）求这两组数的25%分位数、75%分位数及90%分位数.
尝试解答
通性通法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数和百分位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.
【跟踪训练】
以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ）
A.86 B.87 C.88 D.89
题型二 极差、方差、标准差的计算及应用
【例2】 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下（单位：分）：
甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
（1）试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
（2）哪一组的成绩较稳定？
尝试解答
通性通法
计算标准差的5步骤
（1）求出样本数据的平均数；（2）求出每个样本数据与样本平均数的差xi－（i＝1，2，…，n）；（3）求出xi－（i＝1，2，…，n）的平方值；（4）求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差；（5）求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差.
【跟踪训练】
已知一组样本数据5，6，a，6，8的极差为5，若a＞3，则其方差为 .
题型三 样本的数字特征的意义及应用
【例3】 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：中位数为2，众数为3；
乙地：总体平均数为2，总体方差为3；
丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丁地：总体平均数为3，中位数为4.
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地
尝试解答
通性通法
1.平均数、众数、中位数的作用
因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.
2.标准差（方差）的两个作用
（1）标准差（方差）较大，数据的离散程度较大；标准差（方差）较小，数据的离散程度较小；
（2）在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均数相等的情况下，比较方差或标准差来确定稳定性.
【跟踪训练】
某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：103 km）：
A类轮胎：94，96，99，99，105，107；
B类轮胎：95，95，98，99，104，109.
根据以上数据，下列说法正确的是（ ）
A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数
B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差
C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数
D.A类轮胎的性能更加稳定
1.在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.则这一组数据的众数和中位数分别为（ ）
A.84，68 B.84，78
C.84，81 D.78，81
2.某学生2022年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为x1，x2，x3，…，x10，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用以下哪个数字特征最为合适（ ）
A.x1，x2，x3，…，x10的平均数
B.x1，x2，x3，…，x10的标准差
C.x1，x2，x3，…，x10的中位数
D.x1，x2，x3，…，x10的众数
3.已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（ ）
A.这五位同学年龄的平均数变为19
B.这五位同学年龄的中位数变为19
C.这五位同学年龄的方差仍为0.8
D.这五位同学年龄的方差变为3.8
4.某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）为65，65，66，74，73，81，80，则它们的75%分位数是 .
5.1.2 数据的数字特征
【基础知识·重落实】
知识点一
1.最大值 最小值 最极端 max min 2.（1）（x1＋x2＋…＋xn） xi （2）xi＋yi kxi （3）a＋b 3.（1）xn＋1 （2） 4.（1）p% （2）（100－p）% （2）np% 大于i的最小整数
5.频数 最多
想一想
1.提示：x5＋x6＋…＋x15＝xi.
2.提示：（kxi）＝kx1＋kx2＋…＋kxn＝k（x1＋x2＋…＋xn）＝kxi.
3.提示：中位数是50%分位数.
知识点二
1.最大值 最小值 2.（1）标准差 （2）a2s2
想一想
1.提示：标准差、方差的取值范围为[0，＋∞）.
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度.
2.提示：标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
自我诊断
1.C 从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第10个数是7，第11个数是8，所以中位数是＝7.5.
2.D ＝＝9.5，
s2＝×（0.12×4＋0.22）＝0.016.
3.7 12 13.5 解析：由于共有10个数字，则10×25%＝2.5，10×75%＝7.5，10×90%＝9.故25%分位数为7，75%分位数为12，90%分位数为＝13.5.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）将甲按从小到大的顺序排列为：18.8，18.9，19，19.2，19.5，19.5，19.5.
则甲组数众数为19.5，中位数为19.2，平均数为
＝19.2.
乙组数众数为5，中位数为4，
平均数为＝4.
（2）∵7×25%＝1.75，7×75%＝5.25，7×90%＝6.3.
故甲的25%分位数、75%分位数、90%分位数分别为数据中的第2个，第6个和第7个数.
即25%分位数为18.9，75%分位数为19.5，90%分位数为19.5.
又∵20×25%＝5，20×75%＝15，20×90%＝18，
故乙的25%分位数为＝3，75%分位数为＝5，90%分位数为＝5.5.
跟踪训练
C 因为15×0.7＝10.5，所以这15人的70%分位数为第11位数：88.故选C.
【例2】 解：（1）甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35（分），
平均分为＝×（60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80）＝79（分），
方差为＝×[（60－79）2＋（90－79）2＋（85－79）2＋（75－79）2＋（65－79）2＋（70－79）2＋（80－79）2＋（90－79）2＋（95－79）2＋（80－79）2]＝119，
标准差为s甲＝＝≈10.91（分）.
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30（分），
平均分为＝×（85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85）＝81.5（分），
方差为＝×[（85－81.5）2＋（95－81.5）2＋（75－81.5）2＋（70－81.5）2＋（85－81.5）2＋（80－81.5）2＋（85－81.5）2＋（65－81.5）2＋（90－81.5）2＋（85－81.5）2]＝75.25，
标准差为s乙＝＝≈8.67（分）.
（2）由于乙组的方差（标准差）小于甲组的方差（标准差），因此乙组的成绩较稳定.
从（1）中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.
跟踪训练
3.2 解析：因为该组数据的极差为5，a＞3，所以a－5＝5，解得a＝10.因为＝＝7，所以该组数据的方差为＝3.2.
【例3】 B 对于甲地，若连续10日的数据为0，0，1，1，2，2，3，3，3，10，则满足中位数为2，众数为3，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；对于乙地，若总体平均数为2，假设有一天数据为8人，则方差s2＞×（8－2）2＝3.6＞3，不可能总体方差为3，则不可能有一天数据超过7人，符合没有发生大规模群体感染的标志，B正确；对于丙地，若连续10日的数据为0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，则满足平均数为1，方差大于0，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，C错误；对于丁地，若连续10日的数据为0，0，0，0，4，4，4，4，4，10，则满足平均数为3，中位数为4，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，D错误.故选B.
跟踪训练
D 对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误；对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为100＋＝100，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为100＋＝100，选项C错误；对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为[（94－100）2＋（96－100）2＋（99－100）2×2＋（105－100）2＋（107－100）2]＝，B类轮胎行驶的最远里程的方差为[（95－100）2×2＋（98－100）2＋（99－100）2＋（104－100）2＋（109－100）2]＝＞，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确.故选D.
随堂检测
1.C 将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两个数是79，83，它们的中位数为81.
2.B 根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.故选B.
3.D 甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为16，方差为0.8，三年后，这五位同学年龄的平均数变为16＋3＝19，故A正确；这五位同学年龄的中位数变为16＋3＝19，故B正确；这五位同学的方差不变，仍为0.8，故C正确，D错误.故选D.
4.80 解析：从小到大排序为65，65，66，73，74，80，81，又7×75%＝5.25，所以75%分位数是第6项数据80.
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5.1.2 数据的数字特征
新课程标准解读 核心素养
1.会求一组数据的最值、平均数、中位数、百
分位数、众数、极差、方差与标准差 数学运算、数据分析
2.理解上述数字特征的意义，并能解决与之相
关的实际问题 数学运算、数据分析
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
2019年国际射击联合会世界杯总决赛在福建莆田落下帷幕.中国
射击队获得11金15银18铜共44枚奖牌，在奖牌榜上高居首位.这次总
决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的
环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
【问题】 （1）如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出
评价？
（2）如果这是一次选拔性考核，你认为派哪名运动员参赛最好？
知识点一 最值、平均数、中位数、百分位数、众数
1. 最值
一组数据的最值指的是其中的 与 ，最值反映
的是这组数 的情况.
一般地，最大值用 表示，最小值用 表示.
最大值
最小值
最极端
max
min
（1）定义：如果给定的一组数是 x1， x2，…， xn ，则这组数的平
均数为 ＝ .
这一公式在数学中常简记为 ＝ .
（2）求和符号∑具有的性质：
① （ xi ＋ yi ）＝ ；
② （ kxi ）＝ ；
③ t ＝ nt .
（ x1＋ x2＋…＋ xn ）
xi
2. 平均数
xi ＋ yi
k xi
（3）如果 x1， x2，…， xn 的平均数为 ，且 a ， b 为常数，则 ax1＋
b ， ax2＋ b ，…， axn ＋ b 的平均数为 .
3. 中位数
（1）如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为 x1，
x2，…， x2 n＋1，则称 为这组数的中位数；
（2）如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 x1，
x2，…， x2 n ，则称 为这组数的中位数.
a ＋ b
xn＋1
4. 百分位数
（1）定义：一组数的 p %（ p ∈（0，100））分位数指的是满足下
列条件的一个数值：至少有 的数据不大于该值，且
至少有 的数据不小于该值；
p %
（100－ p ）%
（2）计算方法：设一组数按照从小到大排列后为 x1， x2，…，
xn ，计算 i ＝ 的值，如果 i 不是整数，设 i0为
，取 为 p %分位数；如果 i 是整数，
取 为 p %分位数.
规定：0分位数是 x1（即最小值），100%分位数是 xn （即最
大值）.
np %
大于 i
的最小整数
5. 众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的 ，出现
次数 的数据称为这组数据的众数.
频数
最多
【想一想】
1. x5＋ x6＋…＋ x15如何用符号∑表示？
提示： x5＋ x6＋…＋ x15＝ xi .
2. 如何证明 （ kxi ）＝ k xi ？
提示： （ kxi ）＝ kx1＋ kx2＋…＋ kxn ＝ k （ x1＋ x2＋…＋ xn ）＝ k
xi .
3. 中位数和百分位数的关系是什么？
提示：中位数是50%分位数.
知识点二 极差、方差与标准差
1. 极差
一组数的极差指的是这组数的 减去 所得
的差.
2. 方差与标准差
（1）如果 x1， x2，…， xn 的平均数为 ，则方差 s2＝ （ xi －
）2，方差的算术平方根称为 ；
（2）如果 x1， x2，…， xn 的方差为 s2，且 a ， b 为常数，则 ax1＋
b ， ax2＋ b ，…， axn ＋ b 的方差是 .
最大值
最小值
标准差
a2 s2
【想一想】
1. 方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含义是什
么？
提示：标准差、方差的取值范围为[0，＋∞）.
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度.
2. 方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？
提示：标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越
小，数据的离散程度越小.
1. 某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
环数 5 6 7 8 9 10
人数 1 2 7 6 3 1
A. 7，7 B. 8，7.5
C. 7，7.5 D. 8，6
解析： 从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；
中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第
10个数是7，第11个数是8，所以中位数是 ＝7.5.
2. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，
8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分
后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A. 9.4，0.484 B. 9.4，0.016
C. 9.5，0.04 D. 9.5，0.016
解析： ＝ ＝9.5， s2＝ ×（0.12×4＋0.22）＝
0.016.
3.5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的25%分位数为 ，75%
分位数为 ，90%分位数为 .
解析：由于共有10个数字，则10×25%＝2.5，10×75%＝7.5，
10×90%＝9.故25%分位数为7，75%分位数为12，90%分位数为
＝13.5.
7
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13.5
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平均数、中位数、百分位数、众数的计算
【例1】 已知甲、乙两组数据：
甲：18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5；
乙：2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，
6，6.
（1）求这两组数的众数、中位数、平均数；
解： 将甲按从小到大的顺序排列为：18.8，18.9，19，
19.2，19.5，19.5，19.5.
则甲组数众数为19.5，中位数为19.2，平均数为
＝19.2.
乙组数众数为5，中位数为4，
平均数为 ＝4.
（2）求这两组数的25%分位数、75%分位数及90%分位数.
解： ∵7×25%＝1.75，7×75%＝5.25，7×90%＝6.3.
故甲的25%分位数、75%分位数、90%分位数分别为数据中的第2个，
第6个和第7个数.
即25%分位数为18.9，75%分位数为19.5，90%分位数为19.5.
又∵20×25%＝5，20×75%＝15，20×90%＝18，
故乙的25%分位数为 ＝3，75%分位数为 ＝5，90%分位数为
＝5.5.
通性通法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数和百分位数
时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自
的定义计算.
【跟踪训练】
以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，
79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的
70%分位数是（ ）
A. 86 B. 87
C. 88 D. 89
解析： 因为15×0.7＝10.5，所以这15人的70%分位数为第11位
数：88.故选C.
题型二 极差、方差、标准差的计算及应用
【例2】 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课
考试成绩如下（单位：分）：
甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
（1）试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
解： 甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60
＝35（分），
平均分为 ＝ ×（60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋
80）＝79（分），
方差为 ＝ ×[（60－79）2＋（90－79）2＋（85－79）2＋
（75－79）2＋（65－79）2＋（70－79）2＋（80－79）2＋（90
－79）2＋（95－79）2＋（80－79）2]＝119，
标准差为 s甲＝ ＝ ≈10.91（分）.
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30
（分），
平均分为 ＝ ×（85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋
85）＝81.5（分），
方差为 ＝ ×[（85－81.5）2＋（95－81.5）2＋（75－
81.5）2＋（70－81.5）2＋（85－81.5）2＋（80－81.5）2＋
（85－81.5）2＋（65－81.5）2＋（90－81.5）2＋（85－
81.5）2]＝75.25，
标准差为 s乙＝ ＝ ≈8.67（分）.
（2）哪一组的成绩较稳定？
解： 由于乙组的方差（标准差）小于甲组的方差（标准
差），因此乙组的成绩较稳定.
从（1）中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.
通性通法
计算标准差的5步骤
（1）求出样本数据的平均数 ；
（2）求出每个样本数据与样本平均数的差 xi － （ i ＝1，2，…，
n ）；
（3）求出 xi － （ i ＝1，2，…， n ）的平方值；
（4）求出上一步中 n 个平方值的平均数，即为样本方差；
（5）求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差.
【跟踪训练】
已知一组样本数据5，6， a ，6，8的极差为5，若 a ＞3，则其方差
为 .
解析：因为该组数据的极差为5， a ＞3，所以 a －5＝5，解得 a ＝10.
因为 ＝ ＝7，所以该组数据的方差为
＝3.2.
3.2
题型三 样本的数字特征的意义及应用
【例3】 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一
段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑
似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数
据信息如下：
甲地：中位数为2，众数为3；
乙地：总体平均数为2，总体方差为3；
丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丁地：总体平均数为3，中位数为4.
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A. 甲地 B. 乙地
C. 丙地 D. 丁地
解析： 对于甲地，若连续10日的数据为0，0，1，1，2，2，3，
3，3，10，则满足中位数为2，众数为3，但不符合没有发生大规模群
体感染的标志，A错误；对于乙地，若总体平均数为2，假设有一天数
据为8人，则方差 s2＞ ×（8－2）2＝3.6＞3，不可能总体方差为3，
则不可能有一天数据超过7人，符合没有发生大规模群体感染的标
志，B正确；对于丙地，若连续10日的数据为0，0，0，0，0，0，0，
0，0，10，则满足平均数为1，方差大于0，但不符合没有发生大规模
群体感染的标志，C错误；对于丁地，若连续10日的数据为0，0，0，
0，4，4，4，4，4，10，则满足平均数为3，中位数为4，但不符合没
有发生大规模群体感染的标志，D错误.故选B.
通性通法
1. 平均数、众数、中位数的作用
因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变
都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因
为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的
关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，
使平均数在估计总体时可靠性降低.
2. 标准差（方差）的两个作用
（1）标准差（方差）较大，数据的离散程度较大；标准差（方
差）较小，数据的离散程度较小；
（2）在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在
平均数相等的情况下，比较方差或标准差来确定稳定性.
【跟踪训练】
某汽车制造厂分别从 A ， B 两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，
下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：103 km）：
A 类轮胎：94，96，99，99，105，107；
B 类轮胎：95，95，98，99，104，109.
根据以上数据，下列说法正确的是（ ）
A. A 类轮胎行驶的最远里程的众数小于 B 类轮胎行驶的最远里程的众
数
B. A 类轮胎行驶的最远里程的极差等于 B 类轮胎行驶的最远里程的极
差
C. A 类轮胎行驶的最远里程的平均数大于 B 类轮胎行驶的最远里程的
平均数
D. A 类轮胎的性能更加稳定
解析： 对A： A 类轮胎行驶的最远里程的众数为99， B 类轮胎行驶
的最远里程的众数为95，选项A错误；对B： A 类轮胎行驶的最远里程
的极差为13， B 类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误；对
C： A 类轮胎行驶的最远里程的平均数为100＋ ＝100， B
类轮胎行驶的最远里程的平均数为100＋ ＝100，选项C
错误；
对D： A 类轮胎行驶的最远里程的方差为 [（94－100）2＋（96－100）
2＋（99－100）2×2＋（105－100）2＋（107－100）2]＝ ， B 类轮
胎行驶的最远里程的方差为 [（95－100）2×2＋（98－100）2＋
（99－100）2＋（104－100）2＋（109－100）2]＝ ＞ ，故 A 类轮
胎的性能更加稳定，选项D正确.故选D.
1. 在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，
70，85，79，95.则这一组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 84，68 B. 84，78
C. 84，81 D. 78，81
解析： 将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，
83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两
个数是79，83，它们的中位数为81.
2. 某学生2022年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为 x1，
x2， x3，…， x10，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用以下哪个
数字特征最为合适（ ）
A. x1， x2， x3，…， x10的平均数
B. x1， x2， x3，…， x10的标准差
C. x1， x2， x3，…， x10的中位数
D. x1， x2， x3，…， x10的众数
解析： 根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位
数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数
据的稳定程度.故选B.
3. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位
数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（ ）
A. 这五位同学年龄的平均数变为19
B. 这五位同学年龄的中位数变为19
C. 这五位同学年龄的方差仍为0.8
D. 这五位同学年龄的方差变为3.8
解析： 甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均
数、中位数均为16，方差为0.8，三年后，这五位同学年龄的平均
数变为16＋3＝19，故A正确；这五位同学年龄的中位数变为16＋3
＝19，故B正确；这五位同学的方差不变，仍为0.8，故C正确，D
错误.故选D.
4. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）为65，
65，66，74，73，81，80，则它们的75%分位数是 .
解析：从小到大排序为65，65，66，73，74，80，81，又7×75%
＝5.25，所以75%分位数是第6项数据80.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知一组数据为－3，5，7， x ，11，且这组数据的众数为5，那么
该组数据的中位数是（ ）
A. 7 B. 5
C. 6 D. 11
解析： 由这组数据的众数为5，可知 x ＝5.把这组数据由小到大
排列为－3，5，5，7，11，可知中位数为5.
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2. 将10个数据按照从小到大的顺序进行排列，第四个数据被墨水污
染，2，4，5， ，10，14，15，39，41，50，已知40%分位数是
8.5，则第四个数据是（ ）
A. 5 B. 7.5
C. 8 D. 7
解析： 设第四个数据为 x ，因为一共有10个数据，10×40%
＝4为整数，根据百分位数的定义可得： ＝8.5，解得 x ＝
7.故选D.
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3. 某学校高一年级（1）班，（2）班，（3）班的人数分别为45，
50，55，在某次考试中，（1）班的平均分为83分，（3）班的平均
分为91分，三个班的平均分为86.6分，则（2）班的平均分为（ ）
A. 84分 B. 85分
C. 86分 D. 87分
解析： 设（2）班的平均分为 x 分，则有 ＝
86.6，解得 x ＝85.故选B.
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4. 某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5个，全年比赛
失球个数的标准差为1.4；乙队每场比赛平均失球数是2.3个，全年
比赛失球个数的标准差为0.3，下列说法正确的是（ ）
A. 甲乙两队相比，乙队很少失球
B. 甲队比乙队技术水平更稳定
C. 平均来说，甲队比乙队防守技术好
D. 乙队有时表现很差，有时表现又非常好
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解析： 乙队平均失球大于甲队平均失球，所以选项A错误；乙
队失球个数的标准差0.3小于甲队失球个数的标准差，∴选项B、D
错误；甲队每场比赛平均失球数1.5个，小于乙队每场比赛平均失
球数2.3个，所以平均来说，甲队比乙队防守技术好.故选C.
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5. （多选）一组数据6，7，8， a ，12的平均数为8，则此组数据的
（ ）
A. 众数为8 B. 极差为6
C. 中位数为8 D. 方差为
解析： 由题可得 ＝8，∴ a ＝7，∴此组数据众数
为7，极差为12－6＝6，中位数为7，方差为
＝ .故选
B、D.
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6. 某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表：
鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的
是 .
①平均数；②众数；③中位数；④方差.
解析：鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的
众数.
②
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7. 样本中共有五个个体，其值分别为1， m ， n ，2，5（ m ， n
∈N*）.若该样本的中位数与平均数都为3，则 mn ＝ .
解析：∵1， m ， n ，2，5的中位数为3，∴ m ， n 中必定至少一个
是3，不妨设 m ＝3，∵1， m ， n ，2，5的平均数为3，
∴ ＝3，解得 n ＝4，∴ mn ＝12.
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8. 若数据3 x1，3 x2，…，3 x8的方差为9，则数据 x1， x2，…， x8的方
差为 .
解析：令 ＝ ，则 ＝3 .又
＝9，则
＝9，
∴ ＝1，即数据 x1， x2，…，
x8的方差为1.
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9. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数
如下：
甲 6 9 7 8 8 5 6
乙 a 3 9 8 9 6 4
经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的.
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（1）求实数 a 的值；
解： 由题意，甲的平均成绩为 ＝ ×（6＋9＋7＋8＋
8＋5＋6）＝7，乙的平均成绩为 ＝ ×（ a ＋3＋9＋8＋9
＋6＋4）＝ （ a ＋39），又甲、乙两名射击运动员的平均成
绩是一样的，有 （ a ＋39）＝7，解得 a ＝10，故实数 a 为
10.
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（2）请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更
稳定？
解： 甲的方差 ＝ ×[（6－7）2＋（9－7）2＋（7－
7）2＋（8－7）2＋（8－7）2＋（5－7）2＋（6－7）2]＝
，乙的方差 ＝ ×[（10－7）2＋（3－7）2＋（9－7）2
＋（8－7）2＋（9－7）2＋（6－7）2＋（4－7）2]＝ ，由
＜ 知，甲比乙成绩更稳定.
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10. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 有甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取
的甲个体数为9，则样本容量为30
B. 数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C. 甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据
中较稳定的是乙
D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
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解析： 对于A，甲抽取的个体数为9，那么乙丙抽取的个体
数应为3和6，故样本容量为18，故A错误；对于B，平均数为
＝3，众数为3，中位数为3，故B正确；对于C，乙的
平均数为 ＝7，方差为 [（5－7）2＋（6－7）2＋（9
－7）2＋（10－7）2＋（5－7）2]＝ ＞4，故较稳定的是甲，故
C不正确；对于D，将数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1从小到
大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由10×85%＝8.5，
则该组数据的85%分位数为5，故D正确.故选B、D.
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11. 小明5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x ， y ，10，
11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜ x － y ｜的值
为 .
解析：由题意可得 x ＋ y ＝20，（ x －10）2＋（ y －10）2＝8，
设 x ＝10＋ t ， y ＝10－ t ，则 t2＝4，｜ t ｜＝2，故｜ x － y ｜＝
2｜ t ｜＝4.
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12. 某校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班学生在一次数学测
试（满分100分）中的成绩（单位：分）统计如下表：
班级 平均分 众数 中位数 标准差
高一（1）班 79 70 87 19.8
高一（2）班 79 70 79 5.2
（1）请你对下面的一段话给予简要分析：高一（1）班的小刚回
家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，
得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了.”
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解： 由高一（1）班成绩的中位数是87可知，85分排在
第25名以后，从名次上讲并不能说85分在班里是上游.
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（2）请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学
建议.
解：高一（1）班成绩的中位数是87，说明高于87分的人数
将近一半，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分者很
多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助；
高一（2）班成绩的中位数和平均数都是79，标准差较小，
说明学生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学
习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数.
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13. 在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平
均分和方差.后来又转学来一位同学.若该同学中考体育的成绩恰
好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是（ ）
A. 班级平均分不变，方差变小
B. 班级平均分不变，方差变大
C. 班级平均分改变，方差变小
D. 班级平均分改变，方差变大
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解析： 设该班原有 n 个学生，平均分为 ，方差为 s2，则 ＝
， s2＝ [（ x1－ ）2＋（ x2－ ）2＋…＋（ xn －
）2]，故 x1＋ x2＋…＋ xn ＝ n ，（ x1－ ）2＋（ x2－ ）2＋…
＋（ xn － ）2＝ ns2，则转来一位同学后的平均分为
＝ ＝ ，方差 ·[（ x1－ ）2＋（ x2－
）2＋…＋（ xn － ）2＋（ － ）2]＝ ＜ s2，故选A.
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14. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高
运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；
乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军.该校为了获取冠军，可能
选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？
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解：甲的平均成绩和方差如下：
＝ ×（1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋
1.67）＝1.69，
＝ ×[（1.70－1.69）2＋（1.65－1.69）2＋…＋（1.67－
1.69）2]＝0.000 6.
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乙的平均成绩和方差如下：
＝ ×（1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋
1.75）＝1.68，
＝ ×[（1.60－1.68）2＋（1.73－1.68）2＋…＋（1.75－
1.68）2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的
方差，说明甲的成绩比乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙，且成绩
稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛.
在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如
甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所
以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛.
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