5.3.1 样本空间与事件
1.下列事件：
①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③下周六是晴天.
其中，是随机事件的是（ ）
A.①② B.②③
C.①③ D.②
2.在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是（ ）
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上选项均有可能
3.已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有（ ）
A.7个 B.8个
C.9个 D.10个
4.抛掷2枚质地均匀的5角、1元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（ ）
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”
5.（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（ ）
A.3件都是正品 B.至少有1件次品
C.3件都是次品 D.至少有1件正品
6.从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字.这个试验的样本点的总数为 .
7.将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间Ω＝ .
8.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最大值为 .
9.将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用（x，y）表示一个样本点.
（1）请写出所有的样本点；
（2）满足条件“为整数”这一事件包含哪几个样本点？
10.（多选）已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，则下列命题为真命题的是（ ）
A.“若x∈A，则x∈B”是必然事件
B.“若x A，则x∈B”是不可能事件
C.“若x∈B，则x∈A”是随机事件
D.“若x B，则x A”是必然事件
11.在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为（ ）
A.5 B.6
C.3或4 D.5或6
12.一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球，且分别标有1，2，3三个号码.记“从袋中不放回地依次抽取2个球，第一个球的号码是1”为事件A，“第二个球的号码是2”为事件B，“两球号码之和为4”为事件C.试分别写出Ω，A，B，C所包含的样本点.
13.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝ .
14.如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，元件处于正常状态记为“1”，处于失效状态记为“0”，把每个元件是否处于正常状态看成随机现象，记（a，b，c）表示A，B，C的状态，a，b，c∈{0，1}，指出下列随机事件的含义.
（1）事件M＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}；
（2）事件N＝{（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1）}；
（3）事件P＝{（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，0，0）}.
5.3.1 样本空间与事件
1.B ①为必然事件；②③为随机事件.
2.A 从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.故选A.
3.C “点落在x轴上”这一事件记为M，则M＝{（－9，0），（－7，0），（－5，0），（－3，0），（－1，0），（2，0），（4，0），（6，0），（8，0）}，包含9个样本点.故选C.
4.A “至少一枚硬币正面向上”包括“5角正面向上，1元正面向上”“5角正面向上，1元正面向下”“5角正面向下，一元正面向上”3个样本点.
5.CD 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，又25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必然事件，而A、B是随机事件，故选C、D.
6.10 解析：从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，共有以下10种情况，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}.
7.{110，101，011} 解析：将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间Ω＝{110，101，011}.
8.16 解析：要求k的最大值，必须把白球，黑球全摸出来，故k＝16时首次摸到红球.
9.解：（1）先后抛掷两次正四面体的样本点：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.共16个样本点.
（2）用A表示满足条件“为整数”的事件，则A包含的样本点有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，3），（4，1），（4，2），（4，4），共8个样本点.
10.ACD 对A，符合真子集的定义，故A正确；对B，“若x A，则x∈B”也可能成立，故B错误；对C，“若x∈B，则x∈A”成立，也可能x A，故C正确；对D，“若x B，则x A”，故D正确；故选A、C、D.
11.C 由题意知，10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.
12.解：样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2）}，事件A＝{（1，2），（1，3）}，事件B＝{（1，2），（3，2）}，事件C＝{（1，3），（3，1）}.
13.{0，2，4，6，8} 解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
14.解：（1）观察事件M中所含的样本点（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），知每个样本点中都有两个1，一个0，故事件M的含义为三个电器元件中恰好有两个电器元件处于正常状态.
（2）观察事件N中所含的样本点（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1），知每个样本点中第一个数均为1，第二个数和第三个数中至少有一个为1，故事件N的含义为这个电路是通路.
（3）观察事件P中所含的样本点（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，0，0），知这五个样本点可划分为两类：
第一类：（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），这四个样本点中第1个数均为0；
第二类：（1，0，0），该样本点中第一个数为1，第二个数和第三个数均为0.
这两类样本点包含了这个电路是断路的所有情况.
故事件P的含义为这个电路是断路.
1 / 25.3 概率
5.3.1 样本空间与事件
新课程标准解读 核心素养
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系 数学抽象、直观想象、逻辑推理
观察几幅图片：
事件一：常温下石头在一天内被风化；
事件二：木柴燃烧产生热量；
事件三：射击运动员射击一次击中十环.
【问题】 以上三个事件一定会发生吗？
知识点一 样本点和样本空间
1.常见现象的特点及分类
名称 定义
必然 现象 一定条件下，发生的结果事先能够 的现象就是必然现象（或确定性现象）
随机 现象 一定条件下，发生的结果事先 的现象就是随机现象（或偶然现象）
2.样本点和样本空间
（1）随机试验：我们把在 条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验（简称为试验）；
（2）样本点与样本空间：把随机试验中 出现的结果，都称为样本点，把由 组成的集合称为样本空间（通常用大写希腊字母Ω表示）.
知识点二 随机事件及随机事件的概率
1.事件
（1）不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中 一定不发生，从而称 为不可能事件；
（2）必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中Ω ，称Ω为必然事件；
（3）随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，随机事件A ， ，即A是Ω的一个非空子集；
（4）基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件.
2.随机事件的概率
不可能事件 的概率为 ；必然事件Ω的概率为 ；任意事件A的概率为 .
提醒 （1）基本事件具有如下性质：①基本事件是不能再分解的最简单的随机事件；②不同的基本事件不可能同时发生；（2）事件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，而事件可以由若干个基本事件组成；（3）样本点是一个元素，基本事件是含有一个元素的集合.
1.下列现象：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②异性电荷相互吸引；③抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是（ ）
A.一枚是3点，一枚是1点
B.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
3.从甲、乙、丙三人中选出两名代表，试写出其样本空间为 .
题型一 随机现象与事件类型的判断
【例1】 （1）判断下列现象是必然现象还是随机现象，并指出随机现象的试验结果.
①y＝xα（α∈R）在（0，＋∞）上的单调性；
②在10个同类产品中，有8个正品2个次品，从中任意抽取3个检验，抽到正品的个数；
③任意的实数x，都有x2≥0.
（2）指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
①中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；
②出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；
③若x∈R，则x2＋1≥1；
④小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书.
尝试解答
通性通法
1.随机现象是在一定条件下，某种结果可能发生也可能不发生，事先很难预测哪种结果会出现.
2.判断是必然现象还是随机现象关键是看给定条件下的结果是否发生.若一定发生，则为必然现象.若不确定，则为随机现象.
3.要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
【跟踪训练】
1.下列现象是随机现象的是（ ）
①当x是实数时，x－｜x｜＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团上的数是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码.
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
2.下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍.其中随机事件的个数是（ ）
A.1 B.3 C.0 D.4
题型二 样本点和样本空间
【例2】 甲、乙两同学向标有1，2，3，4的四个面积相等的区域投掷飞镖，若每支飞镖都能钉在四个区域中的某一区域，记甲掷飞镖钉在x区域，乙掷飞镖钉在y区域，如图.
1 2
3 4
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点的总数；
（3）“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且y＞1”呢？
（4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
尝试解答
通性通法
基本事件的两个探求方法
（1）列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题；
（2）树状图法：使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段.
注意 确立样本空间应关注两点：（1）必须明确事件发生的条件；（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
【跟踪训练】
1.为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（ ）
A.3 B.5 C.6 D.9
2.一个口袋中装有4个相同的小球，分别标有号码1，2，3，4，从中任取两球，取后不放回，则这个试验的样本空间Ω＝ .
题型三 随机事件的含义
【例3】 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：
（1）这个试验的样本空间；
（2）这个试验的结果的个数；
（3）指出事件A＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}的含义.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）根据本例中的样本空间Ω，写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件B＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}的含义.
通性通法
解决此类问题的关键是根据给出事件的样本点的特征，写出相应事件的含义.
【跟踪训练】
连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出对应的样本空间；
（2）求这个实验的样本空间中样本点的个数；
（3）写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.
1.关于样本点、样本空间，下列说法错误的是（ ）
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
2.一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则样本空间Ω＝（ ）
A.{（男，女），（男，男），（女，女）}
B.{（男，女），（女，男）}
C.{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}
D.{（男，男），（女，女）}
3.同时投掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
4.（多选）下列四个命题中，正确的有（ ）
A.“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B.“当x为某一实数时，可使x2＜0”是不可能事件
C.“明天兰州要下雨”是必然事件
D.“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件
5.抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是 .
①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；
②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；
③这枚骰子质地一定不均匀.
5.3.1 样本空间与事件
【基础知识·重落实】
知识点一
1.确定 不能确定 2.（1）相同 （2）每一种可能 所有样本点
知识点二
1.（2）一定发生 （3）可能发生 也可能不发生 2.0 1 0≤P（A）≤1
自我诊断
1.A ①是随机现象，②③是确定性现象，故选A.
2.B 投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点.故选B.
3.{甲乙、甲丙、乙丙} 解析：从甲、乙、丙三人中选出两名代表，其基本事件为：甲乙、甲丙、乙丙，所以样本空间为：{甲乙、甲丙、乙丙}.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）①幂函数在（0，＋∞）上的单调性不确定，故为随机现象.
试验结果为：当α＞0时，在（0，＋∞）上递增；当α＜0时，在（0，＋∞）上递减.
②抽到正品的个数不确定，故为随机现象.试验结果为“一正品，两次品”“两正品，一次品”“三个正品”.
③对任意的实数x，都有x2≥0是必然的，故为必然现象.
（2）①②中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；
③中的事件一定会发生，所以是必然事件；
④中小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件.
跟踪训练
1.C 由于方程x－｜x｜＝2无解，故①不可能发生，不是随机现象，由随机现象的定义知②③④是随机现象.
2.B ①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件.则随机事件有3个.故选B.
【例2】 解：（1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}.
（2）样本点的总数为16.
（3）“x＋y＝5”包含以下4个样本点：
（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；
“x＜3且y＞1”包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）.
（4）“xy＝4”包含以下3个样本点：（1，4），（2，2），（4，1）；“x＝y”包括以下4个样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.
跟踪训练
1.C 由题意，得样本点为（数学，计算机），（数学，航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共6个，故选C.
2.{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}
解析：由题意可知，样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.
【例3】 解：（1）这个试验的样本空间Ω为{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
（2）这个试验的结果的个数为36.
（3）事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
母题探究
解：事件“出现的点数之和大于8”的所有结果为（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.
事件B的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数相同.
跟踪训练
解：（1）样本空间Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}.
（2）样本点个数是8.
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示为{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.
随堂检测
1.D 由定义知A、B、C均正确.因为随机事件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知D错.故选D.
2.C 由题知样本空间Ω＝{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}.故选C.
3.D 有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）共6个样本点.
4.ABD “三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，A正确；“当x为某一实数时，可使x2＜0”不可能发生，是不可能事件，B正确；“明天兰州要下雨”是随机事件，故C错误；“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故D正确.
5.② 解析：根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确.
5 / 5(共61张PPT)
5.3.1 样本空间与事件
新课程标准解读 核心素养
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间
的含义，理解随机事件与样本点的关系 数学抽象、
直观想象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察几幅图片：
事件一：常温下石头在一天内被风化；
事件二：木柴燃烧产生热量；
事件三：射击运动员射击一次击中十环.
【问题】 以上三个事件一定会发生吗？
知识点一 样本点和样本空间
1. 常见现象的特点及分类
名称 定义
必然现象 一定条件下，发生的结果事先能够 的现象就
是必然现象（或确定性现象）
随机现象 一定条件下，发生的结果事先 的现象就
是随机现象（或偶然现象）
确定
不能确定
2. 样本点和样本空间
（1）随机试验：我们把在 条件下，对随机现象所进行的
观察或实验称为随机试验（简称为试验）；
（2）样本点与样本空间：把随机试验中 出现的结
果，都称为样本点，把由 组成的集合称为样
本空间（通常用大写希腊字母Ω表示）.
相同
每一种可能
所有样本点
知识点二 随机事件及随机事件的概率
1. 事件
（1）不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中
一定不发生，从而称 为不可能事件；
（2）必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中
Ω ，称Ω为必然事件；
（3）随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，随机事件
A ， ，即 A 是Ω的一个非
空子集；
（4）基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件.
一定发生
可能发生
也可能不发生
2. 随机事件的概率
不可能事件 的概率为 ；必然事件Ω的概率为 ；任意事
件 A 的概率为 .
提醒 （1）基本事件具有如下性质：①基本事件是不能再分解的
最简单的随机事件；②不同的基本事件不可能同时发生；（2）事
件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能再分解的最简单的随
机事件，而事件可以由若干个基本事件组成；（3）样本点是一个
元素，基本事件是含有一个元素的集合.
0
1
0≤ P （ A ）≤1
1. 下列现象：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②异性
电荷相互吸引；③抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： ①是随机现象，②③是确定性现象，故选A.
2. 投掷两枚骰子，所得点数之和记为 X ，那么 X ＝4表示的随机试验
的样本点是（ ）
A. 一枚是3点，一枚是1点
B. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
C. 两枚都是4点
D. 两枚都是2点
解析： 投掷两枚骰子，所得点数之和记为 X ，那么 X ＝4表
示的随机试验的样本点是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2
点.故选B.
3. 从甲、乙、丙三人中选出两名代表，试写出其样本空间为
.
解析：从甲、乙、丙三人中选出两名代表，其基本事件为：甲乙、
甲丙、乙丙，所以样本空间为：{甲乙、甲丙、乙丙}.
{甲
乙、甲丙、乙丙}
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 随机现象与事件类型的判断
【例1】 （1）判断下列现象是必然现象还是随机现象，并指出随机
现象的试验结果.
① y ＝ xα（α∈R）在（0，＋∞）上的单调性；
②在10个同类产品中，有8个正品2个次品，从中任意抽取3个检验，
抽到正品的个数；
③任意的实数 x ，都有 x2≥0.
解：（1）①幂函数在（0，＋∞）上的单调性不确定，故为随
机现象.
试验结果为：当α＞0时，在（0，＋∞）上递增；当α＜0时，
在（0，＋∞）上递减.
②抽到正品的个数不确定，故为随机现象.试验结果为“一正
品，两次品”“两正品，一次品”“三个正品”.
③对任意的实数 x ，都有 x2≥0是必然的，故为必然现象.
①中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；
②出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；
③若 x ∈R，则 x2＋1≥1；
④小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意
拿出一本，是漫画书.
解： ①②中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机
事件；
③中的事件一定会发生，所以是必然事件；
④中小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件.
（2）指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
通性通法
1. 随机现象是在一定条件下，某种结果可能发生也可能不发生，事先
很难预测哪种结果会出现.
2. 判断是必然现象还是随机现象关键是看给定条件下的结果是否发
生.若一定发生，则为必然现象.若不确定，则为随机现象.
3. 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对
于一定条件而言的；第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，
还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事
件，一定不发生的是不可能事件.
【跟踪训练】
1. 下列现象是随机现象的是（ ）
①当 x 是实数时， x －｜ x ｜＝2；②某班一次数学测试，及格
率低于75%；③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸
团中任取一个，取出的纸团上的数是偶数；④体育彩票某期的
特等奖号码.
A. ①②③ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②④
解析： 由于方程 x －｜ x ｜＝2无解，故①不可能发生，不是随
机现象，由随机现象的定义知②③④是随机现象.
2. 下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测
试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实
力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的
2倍时，圆的面积是原来的4倍.其中随机事件的个数是（ ）
A. 1 B. 3
C. 0 D. 4
解析： ①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事
件，④是一定发生的事件，为必然事件.则随机事件有3个.故选B.
题型二 样本点和样本空间
【例2】 甲、乙两同学向标有1，2，3，4的四个面积相等的区域投
掷飞镖，若每支飞镖都能钉在四个区域中的某一区域，记甲掷飞镖钉
在 x 区域，乙掷飞镖钉在 y 区域，如图.
1 2
3 4
（1）写出这个试验的样本空间；
解： Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，
2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），
（4，4）}.
（2）求这个试验的样本点的总数；
解： 样本点的总数为16.
（3）“ x ＋ y ＝5”这一事件包含哪几个样本点？“ x ＜3且 y ＞
1”呢？
解： “ x ＋ y ＝5”包含以下4个样本点：
（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；
“ x ＜3且 y ＞1”包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），
（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）.
（4）“ xy ＝4”这一事件包含哪几个样本点？“ x ＝ y ”呢？
解： “ xy ＝4”包含以下3个样本点：（1，4），（2，
2），（4，1）；“ x ＝ y ”包括以下4个样本点：（1，1），
（2，2），（3，3），（4，4）.
通性通法
基本事件的两个探求方法
（1）列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简
单的试验问题；
（2）树状图法：使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，
树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问
题，可以作为一种分析问题的主要手段.
注意 确立样本空间应关注两点：（1）必须明确事件发生的条
件；（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注
意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也
不遗漏.
【跟踪训练】
1. 为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模
型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样
本点的个数为（ ）
A. 3 B. 5
C. 6 D. 9
解析： 由题意，得样本点为（数学，计算机），（数学，航空
模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘
画），（航空模型，绘画），共6个，故选C.
2. 一个口袋中装有4个相同的小球，分别标有号码1，2，3，4，从中
任取两球，取后不放回，则这个试验的样本空间Ω＝
.
解析：由题意可知，样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，
4），（2，3），（2，4），（3，4）}.
{（1，
2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}
题型三 随机事件的含义
【例3】 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用（ x ， y ）表示结果，其
中 x 表示红色骰子出现的点数， y 表示蓝色骰子出现的点数.写出：
（1）这个试验的样本空间；
解： 这个试验的样本空间Ω为{（1，1），（1，2），
（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，
2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，
1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，
6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），
（6，6）}.
（2）这个试验的结果的个数；
解： 这个试验的结果的个数为36.
（3）指出事件 A ＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），
（5，2），（6，1）}的含义.
解： 事件 A 的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之
和为7.
【母题探究】
（变设问）根据本例中的样本空间Ω，写出“出现点数之和大于8”的
所有样本点，并指出事件 B ＝{（1，1），（2，2），（3，3），
（4，4），（5，5），（6，6）}的含义.
解：事件“出现的点数之和大于8”的所有结果为（3，6），（4，
5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，
4），（6，5），（6，6）.
事件 B 的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数相同.
通性通法
解决此类问题的关键是根据给出事件的样本点的特征，写出相应
事件的含义.
【跟踪训练】
连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出对应的样本空间；
解： 样本空间Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），
（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，
正，反），（反，反，正），（反，反，反）}.
（2）求这个实验的样本空间中样本点的个数；
解： 样本点个数是8.
（3）写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.
解： “恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示为
{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.
1. 关于样本点、样本空间，下列说法错误的是（ ）
A. 样本点是构成样本空间的元素
B. 样本点是构成随机事件的元素
C. 随机事件是样本空间的子集
D. 随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
解析： 由定义知A、B、C均正确.因为随机事件是样本空间的
子集，所以由子集的定义可知D错.故选D.
2. 一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子
的性别写在后边，则样本空间Ω＝（ ）
A. {（男，女），（男，男），（女，女）}
B. {（男，女），（女，男）}
C. {（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}
D. {（男，男），（女，女）}
解析： 由题知样本空间Ω＝{（男，男），（男，女），（女，
男），（女，女）}.故选C.
3. 同时投掷两枚大小相同的骰子，用（ x ， y ）表示结果，记 A 为
“所得点数之和小于5”，则事件 A 包含的样本点的个数是
（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，
2），（3，1）共6个样本点.
4. （多选）下列四个命题中，正确的有（ ）
A. “三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的
球”是必然事件
B. “当 x 为某一实数时，可使 x2＜0”是不可能事件
C. “明天兰州要下雨”是必然事件
D. “从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件
解析： “三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子
有一个以上的球”一定发生，是必然事件，A正确；“当 x 为某
一实数时，可使 x2＜0”不可能发生，是不可能事件，B正确；
“明天兰州要下雨”是随机事件，故C错误；“从100个灯泡中
取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机
事件，故D正确.
5. 抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号
是 .
①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；
②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；
③这枚骰子质地一定不均匀.
解析：根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这
枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①
③错误，②正确.
②
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列事件：
①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③下周六是晴天.
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其中，是随机事件的是（ ）
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ②
解析： ①为必然事件；②③为随机事件.
2. 在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么
“这三个数字的和大于5”这一事件是（ ）
A. 必然事件 B. 不可能事件
C. 随机事件 D. 以上选项均有可能
解析： 从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数
字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数
字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件
是必然事件.故选A.
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3. 已知集合 A ＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集
合 A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点
的位置，则事件“点落在 x 轴上”包含的样本点共有（ ）
A. 7个 B. 8个
C. 9个 D. 10个
解析： “点落在 x 轴上”这一事件记为 M ，则 M ＝{（－9，
0），（－7，0），（－5，0），（－3，0），（－1，0），（2，
0），（4，0），（6，0），（8，0）}，包含9个样本点.故选C.
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4. 抛掷2枚质地均匀的5角、1元的硬币，观察落地后硬币的正反面情
况，则下列事件包含3个样本点的是（ ）
A. “至少一枚硬币正面向上”
B. “只有一枚硬币正面向上”
C. “两枚硬币都是正面向上”
D. “两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析： “至少一枚硬币正面向上”包括“5角正面向上，1元正
面向上”“5角正面向上，1元正面向下”“5角正面向下，一元正
面向上”3个样本点.
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5. （多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中
不是随机事件的是（ ）
A. 3件都是正品 B. 至少有1件次品
C. 3件都是次品 D. 至少有1件正品
解析： 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次
品，则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，又25件产
品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必
然事件，而A、B是随机事件，故选C、D.
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6. 从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的
数字.这个试验的样本点的总数为 .
解析：从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，共有以下10种
情况，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，
5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}.
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7. 将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间Ω＝
.
解析：将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间Ω＝
{110，101，011}.
{110，
101，011}
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8. 一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一
个摸出来，为了保证在第 k 次或第 k 次之前能首次摸出红球，则 k
的最大值为 .
解析：要求 k 的最大值，必须把白球，黑球全摸出来，故 k ＝16时
首次摸到红球.
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9. 将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛
掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为 x ，第二次
朝下面的数字为 y .用（ x ， y ）表示一个样本点.
（1）请写出所有的样本点；
解： 先后抛掷两次正四面体的样本点：（1，1），
（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），
（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.共16
个样本点.
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（2）满足条件“ 为整数”这一事件包含哪几个样本点？
解： 用 A 表示满足条件“ 为整数”的事件，则 A 包含
的样本点有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），
（3，3），（4，1），（4，2），（4，4），共8个样本点.
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10. （多选）已知非空集合 A ， B ，且集合 A 是集合 B 的真子集，则下
列命题为真命题的是（ ）
A. “若 x ∈ A ，则 x ∈ B ”是必然事件
B. “若 x A ，则 x ∈ B ”是不可能事件
C. “若 x ∈ B ，则 x ∈ A ”是随机事件
D. “若 x B ，则 x A ”是必然事件
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解析： 对A，符合真子集的定义，故A正确；对B，“若 x
A ，则 x ∈ B ”也可能成立，故B错误；对C，“若 x ∈ B ，则 x ∈
A ”成立，也可能 x A ，故C正确；对D，“若 x B ，则 x A ”，
故D正确；故选A、C、D.
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11. 在10名学生中，男生有 x 名，现从10名学生中任选6人去参加某项
活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名
女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则
x 为（ ）
A. 5 B. 6
C. 3或4 D. 5或6
解析： 由题意知，10名学生中，男生人数少于5人，但不少于
3人，∴ x ＝3或 x ＝4.故选C.
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12. 一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球，且分别标有1，2，3
三个号码.记“从袋中不放回地依次抽取2个球，第一个球的号码
是1”为事件 A ，“第二个球的号码是2”为事件 B ，“两球号码
之和为4”为事件 C . 试分别写出Ω， A ， B ， C 所包含的样本点.
解：样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），
（3，1），（3，2）}，事件 A ＝{（1，2），（1，3）}，事件 B
＝{（1，2），（3，2）}，事件 C ＝{（1，3），（3，1）}.
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13. 笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记
录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝
.
解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4
只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
{0，2，4，6，
8}
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14. 如图，一个电路中有 A ， B ， C 三个电器元件，每个元件可能正
常，也可能失效，元件处于正常状态记为“1”，处于失效状态记
为“0”，把每个元件是否处于正常状态看成随机现象，记（ a ，
b ， c ）表示 A ， B ， C 的状态， a ， b ， c ∈{0，1}，指出下列随
机事件的含义.
（1）事件 M ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}；
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解： 观察事件 M 中所含的样本点（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），知每个样本点中都有两个1，一个0，故事件 M 的含义为三个电器元件中恰好有两个电器元件处于正常状态.
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（2）事件 N ＝{（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1）}；
解： 观察事件 N 中所含的样本点（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1），知每个样本点中第一个数均为1，第
二个数和第三个数中至少有一个为1，故事件 N 的含义为这个电路是通路.
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（3）事件 P ＝{（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），
（0，1，1），（1，0，0）}.
解： 观察事件 P 中所含的样本点（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，0，0），知这
五个样本点可划分为两类：第一类：（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），这四个样本点中第1个数均为0；
第二类：（1，0，0），该样本点中第一个数为1，第二个数
和第三个数均为0.
这两类样本点包含了这个电路是断路的所有情况.
故事件 P 的含义为这个电路是断路.
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