5.3.2 事件之间的关系与运算
1.在试验E“连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用（i，j）表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则事件M∩N＝（ ）
A.{（6，6）} B.{（4，6），（6，6）}
C.{（5，6），（6，6）} D.{（4，6），（6，4），（6，6）}
2.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A.A D B.B∩D＝
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
3.已知A与B是互斥事件，且P（）＝0.3，P（B）＝0.1，则P（A＋B）＝（ ）
A.0.1 B.0.3
C.0.4 D.0.8
4.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A.62% B.56%
C.46% D.42%
5.（多选）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“恰有一次中靶”互斥的是（ ）
A.至多一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶
6.中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .
7.对于事件A与事件B，已知P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，如果B A，则P（AB）＝ .
8.某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品.若生产中出现二级品的概率为0.02，出现三级品的概率为0.01，则出现正品的概率为 .
9.某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
10.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11.一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出不是红球的概率为 .
12.已知某大学的一个图书室中只有中文版和英文版的书，现从该图书室中任选一本书，设A＝{选到一本数学书}，B＝{选到一本中文版的书}，C＝{选到一本2010年后出版的书}.
（1）A∩B∩，A∩（∪）分别指什么事件？
（2）在什么条件下有A∩B∩C＝A？
（3）如果＝B，那么是否意味着图书室中所有的数学书都是英文版的？并说明理由.
13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品，规则如下：（1）摇号的初始中签率为0.18；（2）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参加与“好友助力”活动可使中签率增加0.06.为了使中签率超过0.88，则至少需要邀请 位好友参与到“好友助力”活动.
14.河流A与河流B是水库C的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库C就不缺水.根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.7和0.9，同时不缺水的概率是0.65.试计算水库C不缺水的概率.
5.3.2 事件之间的关系与运算
1.D 根据题意，事件M＝{（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，事件N＝{（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6）}，所以事件M∩N＝{（4，6），（6，4），（6，6）}，选项D正确.故选D.
2.D “恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中.故A D，A∪C＝D，B，D为互斥事件，B∩D＝ ；A∪B＝“两次都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故选D.
3.D 由题：A，B是互斥事件，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B），且P（A）＝1－P（）＝1－0.3＝0.7，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.8.故选D.
4.C 记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A＋B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.82，P（A＋B）＝0.96，所以P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A＋B）＝0.6＋0.82－0.96＝0.46.所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.
5.BD 对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，A选项不满足条件；对于B，“两次都中靶”与“恰有一次中靶”互斥，B选项满足条件；对于C，“只有一次中靶”与“恰有一次中靶”是同一事件，C选项不满足条件；对于D，“两次都没有中靶”与“恰有一次中靶”互斥，D选项满足条件.故选B、D.
6. 解析：设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝.∵A，B是互斥事件，∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.
7.0.2 解析：因为B A，所以P（AB）＝P（B）＝0.2.
8.0.97 解析：出现正品的概率为p＝1－0.02－0.01＝0.97.
9.解：（1）设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N），那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，
得P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.根据对立事件的概率公式，得P（）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.
10.C 因随机事件A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝3a－3，依题意及概率的性质得即解得＜a≤，所以实数a的取值范围是.故选C.
11.0.80 解析：设A＝{摸出红球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出黑球}，则A，B，C两两互斥，A与为对立事件，
因为P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.58，P（A＋C）＝P（A）＋P（C）＝0.62，P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝1，所以P（C）＝0.42，P（B）＝0.38，P（A）＝0.20，所以P（）＝1－P（A）＝1－0.20＝0.80.
12.解：（1）因为A＝{选到一本数学书}，B＝{选到一本中文版的书}，C＝{选到一本2010年后出版的书}，所以A∩B∩＝{选到一本2010年或2010年前出版的中文版的数学书}.∪＝{选到一本2010年或2010年前出版的英文版的书}，则A∩（∪）＝{选到一本2010年或2010年前出版的英文版的数学书}.
（2）因为A∩B∩C＝{选到一本2010年后出版的中文版的数学书}，所以在图书室中所有的数学书都是2010年后出版的且为中文版的条件下才有A∩B∩C＝A.
（3）是.由于＝B等价于＝A，因此＝B意味着图书室中所有数学书都是英文版的，且所有英文版的书都是数学书.
13.12 解析：根据题意，设至少需要x位好友参与到“好友助力”活动，则有：0.18＋0.06x≥0.88，解得：x≥，故至少需要12位好友参与到“好友助力”活动.
14.解：记“河流A不缺水”为事件A，记“河流B不缺水”为事件B，记“水库C不缺水”为事件C，
则P（A）＝0.7，P（B）＝0.9，P（A∩B）＝0.65，
故P（C）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝0.7＋0.9－0.65＝0.95，
即水库C不缺水的概率为0.95.
2 / 25.3.2 事件之间的关系与运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算 数学抽象、数学运算
2.通过实例，了解并、交事件概率的有关性质，掌握随机事件概率的运算法则 数学抽象、逻辑推理、数学运算
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数不大于3}，D3＝{出现的点数不大于5}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}.
【问题】 （1）在上述事件中，事件C1与事件C2的并事件是什么？
（2）事件D2与G及事件C2间有什么关系？
（3）事件C1与事件C2间有什么关系？
（4）事件G与事件H间有什么关系？
知识点 事件之间的关系与运算
1.事件的包含与相等
（1）包含关系：
一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A”），记作 （或 ）.用图形表示为：
（2）相等关系：如果事件A发生时，事件B ；而且事件B发生时，事件A也 ，则称“A与B相等”，记作A＝B.
2.和事件与积事件
（1）事件的和（并）：
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作 （或 ）.事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示.
（2）
事件的积（交）：给定事件A，B，由A与B中的 组成的事件称为A与B的积（或交），记作AB（或A∩B）.事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示.
3.事件的互斥与对立
（1）给定事件A，B，若事件A与B ，则称A与B互斥，记作AB＝ （或A∩B＝ ）；
（2）互斥事件的概率加法公式：若A与B互斥（即A∩B＝ ），则：P（A＋B）＝ ；
（3）给定样本空间Ω与随机事件A与B，若A∩B为 事件，A∪B为 事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.事件A的对立事件记为.则：P（A）＋P（）＝ .
提醒 （1）如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立；（2）一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）；（3）（A）＋（B）表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生；（4）同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此（A）＋（B）可简写为A＋B.
【想一想】
1.如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？
2.“A∩B＝ ”的含义是什么？
1.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是（ ）
A.A B
B.A∩B＝{出现的点数为2}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
2.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是 .
题型一 事件间关系的判断
【例1】 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；
（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；
（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
尝试解答
通性通法
判断事件间关系的方法
（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的；
（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用维恩图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
【跟踪训练】
（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（ ）
A.A与B为互斥事件
B.与C为对立事件
C.A∩B与为互斥事件
D.∩与C为对立事件
题型二 事件的运算
【例2】 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
问：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
尝试解答
【母题探究】
（变条件、变设问）在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
通性通法
事件运算应注意的两个问题
（1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用维恩图或列出全部的试验结果进行分析；
（2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
【跟踪训练】
1.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，设“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为（ ）
A.1，6 B.4，2
C.5，1 D.6，1
2.向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数}，则事件C与A，B的运算关系是 .
题型三 互斥事件与对立事件的概率公式的应用
【例3】 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率.
尝试解答
通性通法
互斥事件、对立事件概率的求解方法
（1）互斥事件的概率加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；
（2）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.
【跟踪训练】
1.在第3，6，16路车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公交车），有一位乘客可乘3路车或6路车，已知3路车、6路车在5分钟之内到此站的概率分别为0.20和0.60，则此乘客在5分钟之内乘到所需要的车的概率是（ ）
A.0.20 B.0.60
C.0.80 D.0.12
2.从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45 g的概率为0.22，质量不小于2.50 g的概率为0.20，则质量在2.45～2.50 g范围内的概率为 .
事件关系的判断与集合形式表示
2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆23日相继发布了本省份高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施.
根据公布的实施方案，8个省市将采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科.
【问题探究】
1.小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，请写出试验的样本空间，并说出样本点的个数.
提示：试验的样本点可用（x，y，z）表示，其中从物理、历史中选择1门，结果用x表示；从思想政治、地理、化学、生物中选择2门，结果用y，z表示.
该试验的样本空间Ω＝{（物理，思想政治，地理），（物理，思想政治，化学），（物理，思想政治，生物），（物理，地理，化学），（物理，地理，生物），（物理，化学，生物），（历史，思想政治，地理），（历史，思想政治，化学），（历史，思想政治，生物），（历史，地理，化学），（历史，地理，生物），（历史，化学，生物）}，样本点的个数为12.
2.小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件.
提示：A＝{（物理，思想政治，地理），（物理，思想政治，化学），（物理，思想政治，生物），（物理，地理，化学），（物理，地理，生物），（物理，化学，生物）}，
B＝{（物理，思想政治，生物），（物理，地理，生物），（物理，化学，生物），（历史，思想政治，生物），（历史，地理，生物），（历史，化学，生物）}.
则事件A，B中含有相同的样本点（物理，思想政治，生物），（物理，地理，生物），（物理，化学，生物），
所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件.
3.在第2题的条件下，用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明事件A∪B和事件∩的关系.
提示：由第2题可知，事件A∪B＝{（物理，思想政治，地理），（物理，思想政治，化学），（物理，思想政治，生物），（物理，地理，化学），（物理，地理，生物），（物理，化学，生物），（历史，思想政治，生物），（历史，地理，生物），（历史，化学，生物）}，
事件∩＝{（历史，思想政治，地理），（历史，思想政治，化学），（历史，地理，化学）}，
所以事件A∪B和事件∩既是互斥事件，也是对立事件.
【迁移应用】
有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，记下正方体朝上的数字为b，若｜a－b｜≤1，就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的样本点为 ；共有 个.
1.打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（ ）
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.以上均不正确
2.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A. B.
C. D.1
3.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A.0.40 B.0.30
C.0.60 D.0.90
4.（多选）盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（ ）
A.2个小球都是黑色
B.2个小球恰有1个是红色
C.2个小球都不是红色
D.2个小球至多有1个是红色
5.某医院派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
则至少派出医生2人的概率是 .
5.3.2 事件之间的关系与运算
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）A B B A （2）一定发生 一定发生 2.（1）A＋B A∪B （2）公共样本点 3.（1）不能同时发生 （2）P（A）＋P（B） （3）不可能 必然 1
想一想
1.提示：如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同.即：A＝B A B且B A A与B有相同的样本点.
2.提示：在一次试验中，事件A、B不可能同时发生.
自我诊断
1.B 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}.
2.D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥.
3.0.8
【典型例题·精研析】
【例1】 解：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女.
（1）“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件.
（2）“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.
（3）“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
（4）“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
跟踪训练
CD 当A发生时，B也可能发生，即A与B不为互斥事件，则A错误；当发生时，若甲中奖，则C也能发生，则B错误；A∩B为甲、乙都中奖，为甲、乙都不中奖，A∩B与不可能同时发生，且（A∩B）∪也不是必然事件，即A∩B与为互斥事件，则C正确；∩为甲、乙都不中奖，C为甲、乙中至少有一人中奖，∩与C不可能同时发生，且（∩）∪C为必然事件，即∩与C为对立事件，则D正确.故选C、D.
【例2】 解：（1）对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A＋B.
（2）对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故CA＝A.
母题探究
解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以CF＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
跟踪训练
1.C 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中事件A包含的样本点有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个.事件B包含的样本点有：（1，3），（2，4），共2个.所以事件A＋B包含的样本点有：（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；事件AB包含的样本点有：（2，4），共1个.故选C.
2.C＝A∪B 解析：由题意可知C＝A∪B.
【例3】 解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则不难看出A，B，C，D，E两两互斥，则
（1）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
（2）因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式，得至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
跟踪训练
1.C 由题意知，此乘客乘3路车和乘6路车是互斥事件，所以此乘客在5分钟内能乘到所需要车的概率是0.20＋0.60＝0.80.故选C.
2.0.58 解析：依题意质量在2.45～2.50 g范围内的概率为1－0.22－0.2＝0.58.
拓视野 事件关系的判断与集合形式表示
迁移应用
（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6） 16
随堂检测
1.B A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.
2.C 从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件A，同为黑子为事件B，同为白子为事件C，则P（A）＝P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝＋＝.故选C.
3.A 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.
4.ABC 根据互斥事件和对立事件的概念可知“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件；“2个小球恰有1个是红色”与“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件；“2个小球都不是红色”与“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件，“2个小球至多有1个是红色”与“2个小球都是红色”是互斥事件但也是对立事件，故选A、B、C.
5.0.74 解析：由题意可知，事件“至少派出医生2人”包含“派出的医生数是2、3、4、5人及以上”，这几个事件是互斥的，概率之和为0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74，故至少派出医生2人的概率是0.74.
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5.3.2
事件之间的关系与运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含
义，能结合实例进行随机事件的并、交运算 数学抽象、
数学运算
2.通过实例，了解并、交事件概率的有关性
质，掌握随机事件概率的运算法则 数学抽象、逻辑推
理、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在掷骰子试验中，定义如下事件： C1＝{出现1点}， C2＝{出现2
点}， C3＝{出现3点}， C4＝{出现4点}， C5＝{出现5点}， C6＝{出现
6点}， D1＝{出现的点数不大于1}， D2＝{出现的点数不大于3}， D3
＝{出现的点数不大于5}， E ＝{出现的点数小于7}， F ＝{出现的点数
大于6}， G ＝{出现的点数为偶数}， H ＝{出现的点数为奇数}.
【问题】 （1）在上述事件中，事件 C1与事件 C2的并事件是什么？
（2）事件 D2与 G 及事件 C2间有什么关系？
（3）事件 C1与事件 C2间有什么关系？
（4）事件 G 与事件 H 间有什么关系？
知识点 事件之间的关系与运算
1. 事件的包含与相等
（1）包含关系：一般地，如果事件 A 发生时，事件 B 一定发生，
则称“ A 包含于 B ”（或“ B 包含 A ”），记作
（或 ）.用图形表示为：
A B
B A
（2）相等关系：如果事件 A 发生时，事件 B ；而且
事件 B 发生时，事件 A 也 ，则称“ A 与 B 相
等”，记作 A ＝ B .
一定发生
一定发生
2. 和事件与积事件
（1）事件的和（并）：
给定事件 A ， B ，由所有 A 中的样本点与 B 中的样本点组成的
事件称为 A 与 B 的和（或并），记作 （或
）.事件 A 与 B 的和可以用如图中的阴影部分表示.
A ＋ B
A ∪
B
（2）事件的积（交）：
给定事件 A ， B ，由 A 与 B 中的 组成的事件称
为 A 与 B 的积（或交），记作 AB （或 A ∩ B ）.事件 A 与事件
B 的积可以用如图中的阴影部分表示.
公共样本点
3. 事件的互斥与对立
（1）给定事件 A ， B ，若事件 A 与 B ，则称 A 与
B 互斥，记作 AB ＝ （或 A ∩ B ＝ ）；
不能同时发生
（3）给定样本空间Ω与随机事件 A 与 B ，若 A ∩ B 为 事
件， A ∪ B 为 事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立
事件，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅
有一个发生.事件 A 的对立事件记为 .则： P （ A ）＋ P
（ ）＝ .
（2）互斥事件的概率加法公式：若 A 与 B 互斥（即 A ∩ B ＝ ），
则： P （ A ＋ B ）＝ ；
P （ A ）＋ P （ B ）
不可能
必然
1
提醒 （1）如果 A 与 B 相互对立，则 A 与 B 互斥，但反之不成立；
（2）一般地，如果 A1， A2，…， An 是两两互斥的事件，则 P （ A1＋
A2＋…＋ An ）＝ P （ A1）＋ P （ A2）＋…＋ P （ An ）；（3）（ A ）
＋（ B ）表示的是 A 与 B 的和，实际意义是： A 发生且 B 不发
生，或者 A 不发生且 B 发生，换句话说就是 A 与 B 中恰有一个发生；
（4）同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优
先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此（ A ）＋
（ B ）可简写为 A ＋ B .
【想一想】
1. 如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？
提示：如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同.即： A ＝ B
A B 且 B A A 与 B 有相同的样本点.
2. “ A ∩ B ＝ ”的含义是什么？
提示：在一次试验中，事件 A 、 B 不可能同时发生.
1. 掷一枚骰子，设事件 A ＝{出现的点数不大于3}， B ＝{出现的点数
为偶数}，则事件 A 与事件 B 的关系是（ ）
A. A B
B. A ∩ B ＝{出现的点数为2}
C. 事件 A 与 B 互斥
D. 事件 A 与 B 是对立事件
解析： 由题意事件 A 表示出现的点数是1或2或3；事件 B 表示出
现的点数是2或4或6.故 A ∩ B ＝{出现的点数为2}.
2. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件
是（ ）
A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶
C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶
解析： 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中
靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”
与之互斥.
3. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为
0.5，那么甲不输的概率是 .
0.8
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 事件间关系的判断
【例1】 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比
赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是
对立事件：
（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
（1）“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时
发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两
事件都不发生，所以它们不是对立事件.
解：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男
生，2名女生，1男1女.
（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；
解：“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件
“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.
（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；
解：“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以
它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解：“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选
出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同
时发生，所以它们不是互斥事件.
通性通法
判断事件间关系的方法
（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立
其发生的条件都是一样的；
（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用维恩图分析，对
较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
【跟踪训练】
（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，
设事件 A 为“甲中奖”，事件 B 为“乙中奖”，事件 C 为“甲、乙中
至少有一人中奖”，则（ ）
A. A 与 B 为互斥事件
B. 与 C 为对立事件
C. A ∩ B 与 为互斥事件
D. ∩ 与 C 为对立事件
解析： 当 A 发生时， B 也可能发生，即 A 与 B 不为互斥事件，则
A错误；当 发生时，若甲中奖，则 C 也能发生，则B错误； A ∩ B 为
甲、乙都中奖， 为甲、乙都不中奖， A ∩ B 与 不可能同时发生，
且（ A ∩ B ）∪ 也不是必然事件，即 A ∩ B 与 为互斥事件，则C正
确； ∩ 为甲、乙都不中奖， C 为甲、乙中至少有一人中奖， ∩
与 C 不可能同时发生，且（ ∩ ）∪ C 为必然事件，即 ∩ 与 C
为对立事件，则D正确.故选C、D.
题型二 事件的运算
【例2】 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件 A
＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件 B ＝{3个球中有2个红球1个白
球}，事件 C ＝{3个球中至少有1个红球}，事件 D ＝{3个球中既有红
球又有白球}.
问：（1）事件 D 与 A ， B 是什么样的运算关系？
解： 对于事件 D ，可能的结果为1个红球2个白球或2个红
球1个白球，故 D ＝ A ＋ B .
（2）事件 C 与 A 的交事件是什么事件？
解： 对于事件 C ，可能的结果为1个红球2个白球或2个红
球1个白球或3个均为红球，故 CA ＝ A .
【母题探究】
（变条件、变设问）在本例中，设事件 E ＝{3个红球}，事件 F ＝{3个
球中至少有1个白球}，那么事件 C 与 B ， E 是什么运算关系？ C 与 F
的交事件是什么？
解：由事件 C 包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，
3个红球三种情况，故 B C ， E C ，而事件 F 包括的可能结果有1
个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以 CF ＝{1个红球2个
白球，2个红球1个白球}＝ D .
通性通法
事件运算应注意的两个问题
（1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查
同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用维恩图
或列出全部的试验结果进行分析；
（2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以
根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事
件之间关系的定义来推理.
【跟踪训练】
1. 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，设“这2个数的和大于
4”为事件 A ，“这2个数的和为偶数”为事件 B ，则 A ＋ B 和 AB 包
含的样本点数分别为（ ）
A. 1，6 B. 4，2 C. 5，1 D. 6，1
解析： 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样
本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，
4），（3，4）}.其中事件 A 包含的样本点有：（1，4），（2，
3），（2，4），（3，4），共4个.事件 B 包含的样本点有：（1，
3），（2，4），共2个.所以事件 A ＋ B 包含的样本点有：（1，
3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；事件
AB 包含的样本点有：（2，4），共1个.故选C.
2. 向上抛掷一枚骰子，设事件 A ＝{点数为2或4}，事件 B ＝{点数为2
或6}，事件 C ＝{点数为偶数}，则事件 C 与 A ， B 的运算关系
是 .
解析：由题意可知 C ＝ A ∪ B .
C ＝ A ∪ B
题型三 互斥事件与对立事件的概率公式的应用
【例3】 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7
环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一
次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（1） P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7
环”、“射中7环以下”的事件分别为 A ， B ， C ， D ， E ，则
不难看出 A ， B ， C ， D ， E 两两互斥，则
（2）至少射中7环的概率.
解：因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公
式，得至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
通性通法
互斥事件、对立事件概率的求解方法
（1）互斥事件的概率加法公式 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）＋ P
（ B ）；
（2）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，
常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.
【跟踪训练】
1. 在第3，6，16路车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公交
车），有一位乘客可乘3路车或6路车，已知3路车、6路车在5分钟
之内到此站的概率分别为0.20和0.60，则此乘客在5分钟之内乘到
所需要的车的概率是（ ）
A. 0.20 B. 0.60 C. 0.80 D. 0.12
解析： 由题意知，此乘客乘3路车和乘6路车是互斥事件，
所以此乘客在5分钟内能乘到所需要车的概率是0.20＋0.60＝
0.80.故选C.
2. 从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45 g的概率为
0.22，质量不小于2.50 g的概率为0.20，则质量在2.45～2.50 g范
围内的概率为 .
解析：依题意质量在2.45～2.50 g范围内的概率为1－0.22－0.2＝
0.58.
0.58
事件关系的判断与集合形式表示
2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省
市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆23日相继发
布了本省份高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一
年级学生开始实施.
根据公布的实施方案，8个省市将采用“3＋1＋2”模式：“3”
为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科
目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；
“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中
选择两科.
【问题探究】
1. 小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物
中选择2门，请写出试验的样本空间，并说出样本点的个数.
提示：试验的样本点可用（ x ， y ， z ）表示，其中从物理、历史中
选择1门，结果用 x 表示；从思想政治、地理、化学、生物中选择2
门，结果用 y ， z 表示.
该试验的样本空间Ω＝{（物理，思想政治，地理），（物理，思
想政治，化学），（物理，思想政治，生物），（物理，地理，化
学），（物理，地理，生物），（物理，化学，生物），（历史，
思想政治，地理），（历史，思想政治，化学），（历史，思想政
治，生物），（历史，地理，化学），（历史，地理，生物），
（历史，化学，生物）}，样本点的个数为12.
2. 小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物
中选择2门，若记事件 A 为“小李物理必选”；事件 B 为“小李生
物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件 A 与事件 B 是不是
互斥事件，是不是对立事件.
提示： A ＝{（物理，思想政治，地理），（物理，思想政治，化
学），（物理，思想政治，生物），（物理，地理，化学），（物
理，地理，生物），（物理，化学，生物）}，
B ＝{（物理，思想政治，生物），（物理，地理，生物），（物
理，化学，生物），（历史，思想政治，生物），（历史，地理，
生物），（历史，化学，生物）}.
则事件 A ， B 中含有相同的样本点（物理，思想政治，生物），
（物理，地理，生物），（物理，化学，生物），
所以事件 A 与事件 B 不是互斥事件，也不是对立事件.
3. 在第2题的条件下，用集合的形式表示事件 A ∪ B 和事件 ∩ ，并
说明事件 A ∪ B 和事件 ∩ 的关系.
提示：由第2题可知，事件 A ∪ B ＝{（物理，思想政治，地理），
（物理，思想政治，化学），（物理，思想政治，生物），（物
理，地理，化学），（物理，地理，生物），（物理，化学，生
物），（历史，思想政治，生物），（历史，地理，生物），（历
史，化学，生物）}，
事件 ∩ ＝{（历史，思想政治，地理），（历史，思想政治，
化学），（历史，地理，化学）}，
所以事件 A ∪ B 和事件 ∩ 既是互斥事件，也是对立事件.
【迁移应用】
有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙
两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为
a ，再由乙抛掷一次，记下正方体朝上的数字为 b ，若｜ a － b ｜
≤1，就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的
样本点为
；共
有 个.
（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），
（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），
（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）
16
1. 打靶3次，事件 Ai 表示“击中 i 发”，其中 i ＝0，1，2，3.那么 A ＝
A1∪ A2∪ A3表示（ ）
A. 全部击中 B. 至少击中1发
C. 至少击中2发 D. 以上均不正确
解析： A ＝ A1∪ A2∪ A3所表示的含义是 A1， A2， A3这三个事件
中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.
2. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率
为 ，都是白子的概率是 ，则从中任意取出2粒恰好是同一色的
概率是（ ）
A. B. C. D. 1
解析： 从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两
个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件 A ，同为
黑子为事件 B ，同为白子为事件 C ，则 P （ A ）＝ P （ B ＋ C ）＝ P
（ B ）＋ P （ C ）＝ ＋ ＝ .故选C.
3. 某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，
0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A. 0.40 B. 0.30
C. 0.60 D. 0.90
解析： 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝
0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.
4. （多选）盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小
球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事
件是（ ）
A. 2个小球都是黑色
B. 2个小球恰有1个是红色
C. 2个小球都不是红色
D. 2个小球至多有1个是红色
解析： 根据互斥事件和对立事件的概念可知“2个小球都是
黑色”与“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件；“2个小球恰
有1个是红色”与“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件；“2
个小球都不是红色”与“2个小球都是红色”互斥但不对立的事
件，“2个小球至多有1个是红色”与“2个小球都是红色”是互斥
事件但也是对立事件，故选A、B、C.
5. 某医院派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
则至少派出医生2人的概率是 .
解析：由题意可知，事件“至少派出医生2人”包含“派出的医生
数是2、3、4、5人及以上”，这几个事件是互斥的，概率之和为
0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74，故至少派出医生2人的概率是0.74.
0.74
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在试验 E “连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，
事件 M 表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件 N 表示随
机事件“两次掷出的点数和比9大”，用（ i ， j ）表示抛掷的结
果，其中 i 表示第一次掷出的点数， j 表示第二次掷出的点数，则
事件 M ∩ N ＝（ ）
A. {（6，6）}
B. {（4，6），（6，6）}
C. {（5，6），（6，6）}
D. {（4，6），（6，4），（6，6）}
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解析： 根据题意，事件 M ＝{（2，2），（2，4），（2，
6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），
（6，6）}，事件 N ＝{（4，6），（5，5），（5，6），（6，
4），（6，5），（6，6）}，所以事件 M ∩ N ＝{（4，6），（6，
4），（6，6）}，选项D正确.故选D.
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2. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A ＝“两
次都击中飞机”， B ＝“两次都没击中飞机”， C ＝“恰有一枚炮
弹击中飞机”， D ＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正
确的是（ ）
A. A D B. B ∩ D ＝
C. A ∪ C ＝ D D. A ∪ B ＝ B ∪ D
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解析： “恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中
或第一枚没击中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情
况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中.故 A D ， A ∪ C ＝
D ， B ， D 为互斥事件， B ∩ D ＝ ； A ∪ B ＝“两次都击中或者
都没击中”， B ∪ D 为必然事件，这两者不相等.故选D.
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3. 已知 A 与 B 是互斥事件，且 P （ ）＝0.3， P （ B ）＝0.1，则 P
（ A ＋ B ）＝（ ）
A. 0.1 B. 0.3
C. 0.4 D. 0.8
解析： 由题： A ， B 是互斥事件，所以 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）
＋ P （ B ），且 P （ A ）＝1－ P （ ）＝1－0.3＝0.7，则 P （ A ＋
B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝0.8.故选D.
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4. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游
泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢
足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
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解析： 记“该中学学生喜欢足球”为事件 A ，“该中学学生喜
欢游泳”为事件 B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 A ＋
B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 AB ，则 P （ A ）
＝0.6， P （ B ）＝0.82， P （ A ＋ B ）＝0.96，所以 P （ AB ）＝ P
（ A ）＋ P （ B ）－ P （ A ＋ B ）＝0.6＋0.82－0.96＝0.46.所以
该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
46%.
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5. （多选）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“恰有一次
中靶”互斥的是（ ）
A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶
C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶
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解析： 对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都
不中靶，A选项不满足条件；对于B，“两次都中靶”与“恰有一
次中靶”互斥，B选项满足条件；对于C，“只有一次中靶”与
“恰有一次中靶”是同一事件，C选项不满足条件；对于D，“两
次都没有中靶”与“恰有一次中靶”互斥，D选项满足条件.故选
B、D.
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6. 中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲
夺得冠军的概率是 ，乙夺得冠军的概率是 ，那么中国队夺得女
子乒乓球单打冠军的概率为 .
解析：设“甲夺得冠军”为事件 A ，“乙夺得冠军”为事件 B ，则
P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ .∵ A ， B 是互斥事件，∴ P （ A ∪ B ）
＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝ ＋ ＝ .
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7. 对于事件 A 与事件 B ，已知 P （ A ）＝0.6， P （ B ）＝0.2，如果 B
A ，则 P （ AB ）＝ .
解析：因为 B A ，所以 P （ AB ）＝ P （ B ）＝0.2.
0.2
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8. 某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品.若生产中出现二
级品的概率为0.02，出现三级品的概率为0.01，则出现正品的概率
为 .
解析：出现正品的概率为 p ＝1－0.02－0.01＝0.97.
0.97
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9. 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时
被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的
概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
解： 设事件“电话响第 k 声时被接”为 Ak （ k ∈N），
那么事件 Ak 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”
为事件 A ，根据互斥事件概率加法公式，
得 P （ A ）＝ P （ A1∪ A2∪ A3∪ A4）＝ P （ A1）＋ P （ A2）
＋ P （ A3）＋ P （ A4）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
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（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解： 事件“打进的电话响4声而不被接”是事件 A “打
进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为 .根据对立
事件的概率公式，得 P （ ）＝1－ P （ A ）＝1－0.95＝
0.05.
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10. 若随机事件 A ， B 互斥， A ， B 发生的概率均不等于0，且 P
（ A ）＝2－ a ， P （ B ）＝4 a －5，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 因随机事件 A ， B 互斥，则 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）＋ P
（ B ）＝3 a －3，依题意及概率的性质得
即解得 ＜ a ≤ ，所以实数 a 的取值范围是
.故选C.
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11. 一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，
摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，
那么摸出不是红球的概率为 .
解析：设 A ＝{摸出红球}， B ＝{摸出白球}， C ＝{摸出黑球}，
则 A ， B ， C 两两互斥， A 与 为对立事件，
因为 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝0.58， P （ A ＋ C ）＝ P
（ A ）＋ P （ C ）＝0.62， P （ A ＋ B ＋ C ）＝ P （ A ）＋ P
（ B ）＋ P （ C ）＝1，所以 P （ C ）＝0.42， P （ B ）＝0.38， P
（ A ）＝0.20，所以 P （ ）＝1－ P （ A ）＝1－0.20＝0.80.
0.80
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12. 已知某大学的一个图书室中只有中文版和英文版的书，现从该图
书室中任选一本书，设 A ＝{选到一本数学书}， B ＝{选到一本中
文版的书}， C ＝{选到一本2010年后出版的书}.
（1） A ∩ B ∩ ， A ∩（ ∪ ）分别指什么事件？
解： 因为 A ＝{选到一本数学书}， B ＝{选到一本中文
版的书}， C ＝{选到一本2010年后出版的书}，所以 A ∩ B
∩ ＝{选到一本2010年或2010年前出版的中文版的数学
书}. ∪ ＝{选到一本2010年或2010年前出版的英文版的
书}，则 A ∩（ ∪ ）＝{选到一本2010年或2010年前出版
的英文版的数学书}.
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（2）在什么条件下有 A ∩ B ∩ C ＝ A ？
解： 因为 A ∩ B ∩ C ＝{选到一本2010年后出版的中文
版的数学书}，所以在图书室中所有的数学书都是2010年后
出版的且为中文版的条件下才有 A ∩ B ∩ C ＝ A .
（3）如果 ＝ B ，那么是否意味着图书室中所有的数学书都是英
文版的？并说明理由.
解： 是.由于 ＝ B 等价于 ＝ A ，因此 ＝ B 意味着
图书室中所有数学书都是英文版的，且所有英文版的书都是
数学书.
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13. 某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约
一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品，规则
如下：（1）摇号的初始中签率为0.18；（2）当中签率不超过1
时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参
加与“好友助力”活动可使中签率增加0.06.为了使中签率超过
0.88，则至少需要邀请 位好友参与到“好友助力”活动.
解析：根据题意，设至少需要 x 位好友参与到“好友助力”活
动，则有：0.18＋0.06 x ≥0.88，解得：
x ≥ ，故至少需要12位好友参与到“好友助力”活动.
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14. 河流 A 与河流 B 是水库 C 的主要水源，只要河流 A ， B 之一不
缺水，水库 C 就不缺水.根据经验知道河流 A ， B 不缺水的概
率分别是0.7和0.9，同时不缺水的概率是0.65.试计算水库 C
不缺水的概率.
解：记“河流 A 不缺水”为事件 A ，记“河流 B 不缺水”为事件
B ，记“水库 C 不缺水”为事件 C ，
则 P （ A ）＝0.7， P （ B ）＝0.9， P （ A ∩ B ）＝0.65，
故 P （ C ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）－ P （ A ∩ B ）＝0.7＋0.9－
0.65＝0.95，即水库 C 不缺水的概率为0.95.
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